TrườngTHPTNgôGiaTự ĐỀTHITHỬĐẠIHỌCLẦNIV
MônThi:Toán –KhốiA
Thờigian:180phút,khôngkểthờigiangiaođề
I.PHẦNCHUNGCHOTẤTCẢTHÍSINH(7,0điểm)
CâuI(2điểm)Chohàmsố 3 2
3 2 y x x = - + -(C)
1)Khảosátsựbiếnthiênvàvẽđồthị(C).
2)Tìmtrênđườngthẳng(d):y=2cácđiểmmàtừđócóthểkẻđượcbatiếptuyếnđến
đồthị(C).
CâuII(2điểm)
1)Giảiphươngtrình: 2 2
2 11 15 2 3 6 + + + + - ³ + x x x x x.
2)Giảiphươngtrình: x x x x
3
2 2 cos2 sin2 cos 4sin 0
4 4
p p
æ ö æ ö
+ + - + =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø.
CâuIII(1điểm) Tínhtíchphân: I x x x x dx
2 4 4 6 6
0
(sin cos )(sin cos )
p
= + +
ò.
Câu IV (2 điểm) Chohình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a,
BC=a 3,SAvuônggócvớimặtphẳng(ABC),SA=2a.GọiM,Nlầnlượtlàhình
chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnhSB và SC. Tính thể tích của khối chóp
A.BCNM.
CâuV(1điểm)Choa,b,c,dlàcácsốdương.Chứngminhrằng:
abcd
a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 1 1
+ + + £
+ + + + + + + + + + + +
II.PHẦNRIÊNG (3,0điểm)
A.Theochươngtrìnhchuẩn.
CâuVI.a(2điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, gọi A, B là các giao điểm của đường thẳng
(d): 2x – y– 5 = 0 vàđường tròn (C’): 2 2 20 50 0 x y x + - + =.Hãy viết phương trình
đườngtròn(C) điquabađiểmA,B,CvớiC(1;1).
2)TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chođiểmA(4;5;6).Viếtphươngtrìnhmặt
phẳng(P)quaA,cắtcáctrụctọađộlầnlượttạiI,J,KmàAlàtrựctâmcủatamgiác
IJK.
CâuVII.a(1điểm)Chứngminhrằngnếu n
a bi (c di) + = +thì 2 2 2 2 n
a b c d ( ) + = +.
B.Theochươngtrìnhnângcao
CâuVI.b(2điểm)
1)TrongmặtphẳngvớihệtoạđộOxy,chotamgiácABCcódiệntíchbằng 3
2,A(2;–3),
B(3;–2),trọngtâm của DABCnằmtrênđườngthẳng(d):3x–y–8=0.Viếtphương
trìnhđườngtrònđiqua3điểmA,B,C.
2)TrongkhônggianvớihệtrụctọađộOxyz,chobốnđiểmA(4;5;6);B(0;0;1);C(0;2;0);
D(3;0;0).ChứngminhcácđườngthẳngABvàCDchéonhau.Viếtphươngtrìnhđường
thẳng(D)vuônggócvớimặtphẳngOxyvàcắtcácđườngthẳngAB,CD.
CâuVII.b(1điểm)Giảihệphươngtrình: x y x x y
x
xy y y x y
2 2
4 4 4
2
4 4 4
log ( ) log (2 ) 1 log ( 3 )
log ( 1) log (4 2 2 4) log 1
ì + - + = +
ï æ ö
í + - + - + = -
ç ÷
ï è ø
î
Hết
www.laisac.page.tl
ĐÁPÁNVÀTHANGĐIỂM–KhốiA
Câu Ý Nộidung Điểm
I. 1. TXĐ:R
Cóy’=3x
2 +6x
y’=0 ê
ë
é
= Þ =
- = Þ =
Û22
20
yx
yx
+¥ = -¥ = -¥ ® +¥ ®
yy
xxlimlim ;
Đồthị:
1.0
0.25
0.25
0.25
0.25
2. GiảsửM(a;2)làmộtđiểmtrênđườngthẳng(d): y=2vàgọid’làđường
thẳngđiquaMvớihệsốgóc k.Khiđód’cópt:y=k(xa)+2.
Đểd’làtiếptuyếncủađồthị(C)thìhệ
î
í
ì
= + -
+ - = - + -
)2(63
)1(2)(23
2
23
kxx
axkxxcónghiệm
Thế(2)vào(1)tađược: )3(046332 223 = - + - - axaxxx
( ) ( )
ê
ë
é
= + - +
=
Û402312
2
2xax
x
ĐểtừMkẻđượcbatiếptuyếnđếnđồthị(C)thìhệphảicóbanghiệmk phân
biệt,tứclàpt(3)phảicóbanghiệmx phânbiệt Û(4)cóhainghiệmphânbiệt
khác2
( )
( )
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
¹
ê
ê
ë
é
- <
>
Û
î
í
ì
¹ + - +
> - - = D
Û
2
1
3
5
022.318
01631 2
a
a
a
a
a(*)
Vậycácđiểmtrênđườngthẳng(d):y=2thỏamãnđềbàilàcácđiểmcó
hoànhđộthỏamãn(*).
1.0
0.25
0.25
0.25
0.25
II. 1.
*Điềukiện: ( ; 3] [1; )x Î -¥ - È +¥
TH1:Xét 1x ³
Bpttươngđương 3x + ( 2 5 1) 2 5 ( 1)x x x x + + - ³ + - -
3 2 5 1x x x Û + ³ + - - 3 1 2 5x x x Û + + - ³ +
2
4 8 21 0x x Û + - ³7 3
( ; ] [ ; )
2 2
x Û Î -¥ - È +¥
1.0
0.25
BBT
x
y’
y
¥ -0
0
2
0
¥ +
¥ -
¥ +
2
2
Hàmsốđồngbiếntrên(0;2)vànghịch
biếntr
ên(
¥ -
;0)và(2;
¥ +
)
Hàmsốđạtcựcđạitạix=2,y
CĐ =2
Hàms
ốđạtcựctiểutạix=0,y
CT =2
Kếthợpđiềukiện 1x ³tađượctậpnghiệmlà 1
3
[ ; )
2
T = +¥
TH2:Xét 3x £ -
Biếnđổibpttươngđươngvới
3x - -( 2 5 1 ) 1 ( 2 5)x x x x - - + - ³ - - - -3 1 2 5x x x Û - - ³ - - - -
3 2 5 1x x x Û - - + - - ³ -2
4 8 21 0x x Û + - ³7 3
( ; ] [ ; )
2 2
x Û Î -¥ - È +¥
Kếthợpđiềukiện 3x £ -tađượctậpnghiệmlà 2
7
( ; ]
2
T = -¥ -
Vậytậpnghiệmcủabấtphươngtrìnhđãcholà 7 3
( ; ] [ ; )
2 2
T = -¥ - È +¥
0.25
0.25
0.25
2. x x x x
3
2 2 cos2 sin2 cos 4sin 0
4 4
p p
æ ö æ ö
+ + - + =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
( )( )
( )
ê
ë
é
= - - -
= +
Û
= - - - + Û
)2(02cos.sinsincos2
)1(0cossin
02cos.sinsin2cos2cossin
xxxx
xx
xxxxxx
( )
Zkkx Î + - = Û ;
4
1
p
p
Giải(2)đượcnghiệmZkkxkx Î + - = = ;2
2
;2
p
p
p
1.0
0.25
0.25
0.25
0.25
III.
( )( )
ò + + =2
0
6644 cossincossin
p
dxxxxxI
=
( )( )
ò - -
2
0
2222 cossin31cossin21
p
dxxxxx
= ò ÷
ø
ö
ç
è
æ + +
2
0
8cos
64
3
4cos
16
7
64
33
p
dxxx
= 128
33
8sin
512
3
4sin
64
7
64
33 2
0
p
p
=
÷
ø
ö
ç
è
æ + + xxx
1.0
0.25
0.25
0.5
IV TheogiảthiếtSA ^(ABC)nênABCSABC SSAV D
= .
3
1
MàtamgiácABCvuôngtạiBnên
2
3
3.
2
1
.
2
1 2
a
aaBCABS ABC = = =
D3
3
2
3
.2
3
1 32aa
aV
SABC = = Þ
DoSA ^(ABC)nêntamgiácSABvuôngtạiA 5aSB = Þ
Lạicó 5
4
2a
SB
SA
SM = =5
4
= ÞSB
SM.
TacótamgiácABCvuôngtạiBnênAC=2a=SAnêntamgiácSACcântại
A,NlàhìnhchiếucủaAtrênSCnênNlàtrungđiểmSC.
1.0
0.25
0.25
Tacó 15
32
5
2
5
2
2
1
.
5
4
.
3
a
VV
SC
SN
SB
SM
V
V
SABCSAMN
SABC
SAMN = = Þ = = =
MàVSABC=VSAMN +VABCMN nênVABCMN = 5
3
15
32
3
3 333aaa = -
0.25
0.25
V. ÁpdụngbđtCôsichohaisốkhôngâmtacó:
224422442244 2;2;2 acaccbcbbaba ³ + ³ + ³ +
( )
cbaabcaccbbacba + + ³ + + ³ + + Þ222222444
( )
dcbaabcabcdcba + + + ³ + + + Þ444
Tươngtựtacó
( )
dcbabcdabcddcb + + + ³ + + +444
( )
dcbacdaabcdadc + + + ³ + + +444
( )
dcbadababcdbad + + + ³ + + +444
VậyVT
( )
abcddcbaabcd
dcba 1
=
+ + +
+ + +
£(đpcm).
1.0
0.5
0.25
0.25
VIa. 1. TọađộAvàBlànghiệmcủahệ î
í
ì
= + - +
= - -
05020
052
22xyx
yx
TađượcA(3;1)vàB(5;5)
Từđótalậpđượcphươngtrình đườngtrònđiquabađiểmA,B,Clà:
01084
22 = + - - + yxyx
1.0
0.50
0.50
2. GiảsửI(a;0;0),J(0;b;0)vàK(0;0;c)thìpt(P)là: 1 = + +c
z
b
y
a
x
( ) ( ) ( ) ( )
caIKcbJKbJAaIA ;0;;;;0;6;5;4;6;5;4 - = - = - = - =
VìAlàtrựctâmtamgiácIJKnên
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
= + -
= + -
= + +
064
065
1
654
ca
cb
cba
Giảihệđược 6
77
;
5
77
;
4
77 = = = cba
1.0
0.25
0.25
0.25
Vậyphươngtrìnhmặtphẳng(P):4x+5y+6z– 77=0. 0.25
VIIa Tacó:a+bi=(c+di)
n Þ|a+bi|=|(c+di)
n |
Þ|a+bi|
2 =|(c+di)
n |
2 =|(c+di)|
2n Þa
2 +b
2 =(c
2 +d
2
)
n (đpcm)
0.25
0.75
VIb 1 VìtrọngtâmGcủatamgiácABCnằmtrênd:3x–y –8=0nêngiảsử
G(t;3t –8).KhiđóC(3t– 5;9t –19)
ĐườngthẳngABcóphươngtrìnhx –y –5=0
DoSABC = 2
3 vàAB= 2 nênd(C,AB) =
( ) ( )
2
3
2
519953 =
- - - - tt
( )
( )
ê
ë
é
- Þ =
- - Þ =
Û1;12
10;21
Ct
Ct
VớiC(2;10)thìpt(C): 91 91 416 0
3 3 3
2 2
x y x y + - + + =
VớiC(1;1)thìpt(C): 11 11 16 0
3 3 3
2 2
x y x y + - + + =
1.0
0.5
0.25
0.25
2 Tacó
( ) ( ) ( )
1;0;3;0;2;3;5;5;4 - = - = = BDCDBA
[
]
053., ¹ = Þ BDCDBAnênhaiđườngthẳngABvàCDchéonhau.
PhươngtrìnhAB: ï
î
ï
í
ì
+ =
=
=
tz
ty
tx
51
5
4
vàphươngtrìnhCD: ï
î
ï
í
ì
=
- =
=
0
'22
'3
z
ty
tx
Giảsử(D)cắtABtạiMvàcắtCDtạiNthìM(4t;5t;1+5t);N(3t’;22t’;0)
Khiđó
( )
tttttMN 51;5'22;4'3 - - - - - =làvtcpcủa(D)
Mà(D) ^(Oxy)nênMNcùngphươngvới
( )
1;0;0k,tứclà:
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
=
Þ
ï
î
ï
í
ì
Î = - -
= - -
= -
23
8
'
23
6
)(,51
05'22
04'3
t
t
Rkkt
tt
tt
÷
ø
ö
ç
è
æ
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
Þ23
53
;0;0;0;
23
30
;
23
24MNN.Vậy
phươngtrình(D)là:
ï
ï
ï
î
ï
ï
ï
í
ì
=
=
=
tz
y
x
23
30
23
24
0.25
0.5
0.25
VIIb ĐK:x>0;y>0
Hệ
( )
( )
( )
( )
( )( )
î
í
ì
= - -
= +
Û
ï
î
ï
í
ì
+ - + = +
+ = +
Û042
32
422414
324 22
2
22
xyx
xyyx
xyy
y
x
xy
yxxyx
ê
ë
é
= Þ =
> =
Û12
0
yx
yx.Vậyhệcónghiệmx=y>0hoặcx=2,y=1
0.25
0.25
0.5
Tổng: 10.00
Cáccáchgiảikhácđúngchođiểmtươngđương.