http://ductam_tp.violet.vn/
S GD & ĐT H NG YÊN Ở Ư Đ THI TH Đ I H C NĂM 2011Ề Ử Ạ Ọ
TR NG THPT MINH CHÂU ƯỜ Môn toán - KH I A Ố
Th i gian 180 phút ( không k giao đ )ờ ể ề
PH N A :Ầ DÀNH CHO T T C CÁC THI SINH .Ấ Ả
Câu I (2,0 đi m) 1) Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s : y = xể ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố 3 – 3x2 + 2
2) Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình : ệ ậ ố ệ ủ ươ
2
2 2 1
m
x x x
− − = −
Câu II (2,0 đi m ) 1) Gi i ph ng trình : ể ả ươ
5
2 2 os sin 1
12
c x x
π
− =
÷
2) Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
2 8
2 2 2 2
log 3log ( 2)
1 3
x y x y
x y x y
+ = − +
+ + − − =
.
Câu III(1,0 đi m ) Tính tích phânể:
/4
2
/4
sin
1
x
I dx
x x
π
π
−
=+ +
∫
Câu IV ( 1,0 đi m ) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i AB = a ,ể ữ ậ ớ
AD = 2a . C nh SA vuông góc v i m t ph ng đáy , c nh bên SB t o v i m t ph ng đáy m t gócạ ớ ặ ẳ ạ ạ ớ ặ ắ ộ
600 .Trên c nh SA l y đi m M sao cho AM =ạ ấ ể
3
3
a
, m t ph ng ( BCM) c t c nh SD t i N .Tínhặ ẳ ắ ạ ạ
th tích kh i chóp S.BCNM ể ố
Câu V (1,0 đi m ) ểCho x , y , z là ba s th c th a mãn : 5ố ự ỏ -x + 5-y +5-z = 1 .Ch ng minh r ngứ ằ
+ + +
+ +
+ + +
25 25 25
25 5 5 5 5 5
x y z
x y z y z x z x y
≥
+ +
5 5 5
4
x y z
PH N B ( THÍ SINH CH Đ C LÀM M T TRONG HAI PH N ( PH N 1 HO C PH N 2) Ầ Ỉ ƯỢ Ộ Ầ Ầ Ặ Ầ
PH N 1Ầ ( Dành cho h c sinh h c theo ch ng trình chu n ) ọ ọ ươ ẩ
Câu VI.a 1.( 1,0 đi mể ) Trong m t ph ng ặ ẳ Oxy cho tam giác ABC v i ớA(1; -2), đ ng caoườ
, phân giác trong
: 2 5 0BN x y+ + =
.Tìm to đ các đ nh B,C và tính di n tíchạ ộ ỉ ệ
tam giác ABC
2.( 1,0 đi mể ) Trong không gian v i h t a đ 0xyz cho đ ng th ng d ớ ệ ọ ộ ườ ẳ
2 1
4 6 8
x y z− +
= =
− −
và hai đi m A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm đi m I trên đ ng th ng d sao cho IA +IB đ t giá trể ể ườ ẳ ạ ị
nh nh t ỏ ấ
Câu VII. a (1 đi m): Gi i ph ng trình sau trên t p s ph c C: ể ả ươ ậ ố ứ
2
4 3 1 0
2
z
z z z− + + + =
PH N 2Ầ ( Dành cho h c sinh h c ch ng trình nâng cao ) ọ ọ ươ
Câu VI.b 1. (1.0 đi mể) Trong m t ph ng v i h tr c to đ ặ ẳ ớ ệ ụ ạ ộ Oxy cho hình ch nh t ữ ậ ABCD
có di n tích b ng 12, tâm ệ ằ I là giao đi m c a đ ng th ng ể ủ ườ ẳ
03:
1=−− yxd
và
06:
2=−+ yxd
. Trung đi m c a m t c nh là giao đi m c a ể ủ ộ ạ ể ủ d1 v i tr c ớ ụ Ox. Tìm to đ ạ ộ
các đ nh c a hình ch nh t.ỉ ủ ữ ậ
2. (1,0đi mể) Trong không gian v i h t a đ 0xyz cho hai đ ng th ng : ớ ệ ọ ộ ườ ẳ
D1 :
2 1
1 1 2
x y z
− −
= =
−
, D2 :
2 2
3
x t
y
z t
= −
=
=
Vi t ph ng trình m t c u có đ ng kính là đo n vuông góc chung c a Dế ươ ặ ầ ườ ạ ủ 1 và D2
CâuVII.b ( 1,0 đi m) ểTính t ng: ổ
0 4 8 2004 2008
2009 2009 2009 2009 2009
...S C C C C C= + + + + +
…….H t ......ế.
ĐÁP ÁN
Cõu I 2 đi mể
a) Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s ả ự ế ẽ ồ ị ủ ố
3 2
3 2y x x .= − +
T p xác đ nh: Hàm s có t p xác đ nh ậ ị ố ậ ị
D R.=
S bi n thi n: ự ế ờ
2
3 6y' x x.= −
Ta có
0
02
x
y' x
=
= ⇔ =
0,25
( ) ( )
0 2 2 2
CD CT
y y ; y y .= = = = −
0,25
B ng bi n thiên: ả ế
x
−∞
0 2
+∞
y'
+
0
−
0
+
y
2
+∞
−∞
2−
0,25
Đ th : ồ ị
f(x)=(x^3)-3*(x)^2+2
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
0,25
b) Bi n lu n s nghi m c a ph ng trình ệ ậ ố ệ ủ ươ
1
22
2
−
=−− x
m
xx
theo tham s ốm.
Ta có
( )
2 2
2 2 2 2 1 1
1
m
x x x x x m,x .
x
− − = ⇔ − − − = ≠
−
Do đó s nghi mố ệ
c a ph ng trình b ng s giao đi m c a ủ ươ ằ ố ể ủ
( )
( )
2
2 2 1y x x x , C'= − − −
và
đ ng th ng ườ ẳ
1y m,x .= ≠
0,25
V ỡ
( )
( )
( )
2
1
2 2 1 1
f x khi x
y x x x f x khi x
>
= − − − = − <
n n ờ
( )
C'
bao g m:ồ
+ Gi nguyên đ th (ữ ồ ị C) bên ph i đ ng th ng ả ườ ẳ
1x .
=
+ L y đ i x ng đ th (ấ ố ứ ồ ị C) bên trái đ ng th ng ườ ẳ
1x
=
qua Ox.
0,25
hình
f(x)=abs(x-1)(x^2-2*x-2)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
0,25
D a vào đ th ta có: ự ồ ị
+
2m :< −
Ph ng trình v nghi m;ươ ụ ệ
+
2m := −
Ph ng trình có 2 nghi m k p;ươ ệ ộ
+
2 0m :− < <
Ph ng trình có 4 nghi m phõn bi t;ươ ệ ệ
+
0m :≥
Ph ng trình có 2 nghi m phõn bi t.ươ ệ ệ
0,25
2) Đ th hàm s y = ồ ị ố
2
( 2 2) 1x x x− − −
, v i x ớ
≠
1 có d ng nh hình v : ạ ư ẽ
1+
1-
- 2
m
1 2
II
1)
1)
5
2 2 os sin 1
12
c x x
π
− =
÷
5 5
2 sin 2 sin 1
12 12
x
π π
⇔ − + =
÷
0.25
5 5 1 5 5
sin 2 sin sin sin 2 sin sin
12 12 4 12 4 12
2
2cos sin sin
3 12 12
x x
π π π π π π
π π π
⇔ − + = = ⇔ − = − =
÷ ÷
= − = −
÷ ÷
0.25
( )
5
2 2
56
12 12
sin 2 sin 5 13 3
12 12 2 2
12 12 4
x k
x k
x k
x k x k
π
π π π
π
π π
π π π
π π
= +
− = − +
⇔ − = − ⇔ ⇔ ∈
÷ ÷
− = + = +
¢
0.5
2.)
Gi i h ph ng trình: ả ệ ươ
2 8
2 2 2 2
log 3log ( 2)
1 3
x y x y
x y x y
+ = − +
+ + − − =
.
Đi u ki n: ề ệ x+y>0, x-y>0
2 8
2 2 2 2 2 2 2 2
log 3log (2 ) 2
1 3 1 3
x y x y x y x y
x y x y x y x y
+ = + − + = + −
⇔
+ + − − = + + − − =
0,25đ
Đ t: ặ
u x y
v x y
= +
= −
ta có h : ệ
2 2 2 2
2 ( ) 2 4
2 2
3 3
2 2
u v u v u v uv
u v u v
uv uv
− = > + = +
⇔
+ + + +
− = − =
0,25đ
2
2 4 (1)
( ) 2 2 3 (2)
2
u v uv
u v uv uv
+ = +
⇔+ − + − =
. Th (1) vào (2) ta có:ế
2
8 9 3 8 9 (3 ) 0uv uv uv uv uv uv uv+ + − = ⇔ + + = + ⇔ =
.0,25đ
K t h p (1) ta có: ế ợ
04, 0
4
uv u v
u v
=
⇔ = =
+ =
(v ỡu>v). T đó ta có: ừx =2; y =2.(T/m)
KL: V y nghi m c a h là: (ậ ệ ủ ệ x; y)=(2; 2).
0,25đ
Câu III 1 Tính tích phân :
/4
2
/4
sin
1
x
I dx
x x
π
π
−
=+ +
∫
/4 /4 /4
2
1 2
2
/4 /4 /4
sin 1 sin sin
1
x
I dx x xdx x xdx I I
x x
π π π
π π π
− − −
= = + + = +
+ +
∫ ∫ ∫
Áp d ng hàm l , đ t ụ ẻ ặ x=-t thì
1
0I=
, tích phân t ng ph n ừ ầ
2
I
đ c k t qu .ượ ế ả
0.5đ
Áp d ng hàm l , đ t ụ ẻ ặ x=-t thì
1
0I=
, tích phân t ng ph n ừ ầ
2
I
đ c k t qu .ượ ế ả 0.5đ
Câu IV :
Tính th tích hình chóp SBCMNể
( BCM)// AD nên m t ph ng này c t mp( SAD) theo giao tuy n MN // AD ặ ẳ ắ ế
Ta có :
BC AB BC BM
BC SA
⊥
⇒ ⊥
⊥
. T giác BCMN là hình thang vuông có BM là đ ngứ ườ
cao
Ta có SA = AB tan600 = a
3
,
3
32
3
2 3
3
a
a
MN SM MN
AD SA a a
−
= ⇔ = =
Suy ra MN =
4
3
a
. BM =
2
3
a
Di n tích hình thang BCMN là : ệ
S =
2
4
22 10
3
2 2 3 3 3
a
a
BC MN a a
BM
+
÷
+= =
÷
÷
H AH ạ
⊥
BM . Ta có SH
⊥
BM và BC
⊥
(SAB)
⇒
BC
⊥
SH . V y SH ậ
⊥
( BCNM)
⇒
SH là đ ng cao c a kh i chóp SBCNM ườ ủ ố
Trong tam giác SBA ta có SB = 2a ,
AB AM
SB MS
=
=
1
2
.
V y BM là phân giác c a góc SBA ậ ủ
⇒
·
0
30SBH =
⇒
SH = SB.sin300 = a
G i V là th tích chóp SBCNM ta có V = ọ ể
1.( )
3SH dtBCNM
=
3
10 3
27
a
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu V Cho x , y , z là ba s th c th a mãn : 5ố ự ỏ -x + 5-y +5-z = 1 .Ch ng minh r ng : ứ ằ
+ + +
+ +
+ + +
25 25 25
25 5 5 5 5 5
x y z
x y z y z x z x y
≥
+ +
5 5 5
4
x y z
Đ t 5ặx = a , 5y =b , 5z = c . T gi thi t ta có : ab + bc + ca = abc ừ ả ế
B t đ ng th c c n ch ng minh có d ng : ấ ẳ ứ ầ ứ ạ
2 2 2
4
a b c a b c
a bc b ca c ab
+ +
+ + ≥
+ + +
( *) 0,25đ
A
S
BC
M
N
D