Trần Sĩ Tùng
Trường THPT Chuyên LƯƠNG VĂN CHÁNH
PHÚ YÊN
Đề số 14
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN – Khối A
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số
x
yx
2
2
=
+
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là lớn
nhất.
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình:
x
xx
xx
2
4cos2
tan2.tan2
pp
æöæö
-+=
ç÷ç÷ -
èøèø
2) Giải hệ phương trình:
y
x
xy
x
xy y
22
22
3
21
1
422
ì
+=
ï
ï+-
í
ï++=
ï
î
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = x
Idx
x
8
3
ln
1
=+
ò
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 600. Mặt
phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M, N. Tính thể tích hình chóp
S.ABMN theo a.
Câu V (1 điểm): Cho các số thực a, b, c thỏa mãn :
abc
01;01;01
<£<£<£
. Chứng minh rằng:
( )
abc
abcabc
1111
13
æö
+++³+++
ç÷
èø
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có
(
)
A
3;6
-, trực tâm
(
)
H
2;1
, trọng tâm G
47
;
33
æö
ç÷
èø
.
Xác định toạ độ các đỉnh B và C.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu
()
Sxyzxyz
222
:24840
++-+--=
và mặt phẳng
(
)
xyz
:2230
a
-+-=
. Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng
(
)
a
. Viết phương trình mặt cầu (S¢)
đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng
(
)
a
.
Câu VII.a (1 điểm): Một đội dự tuyển bóng bàn có 10 nữ, 7 nam, trong đó có danh thủ nam là Vũ Mạnh Cường và danh
thủ nữ là Ngô Thu Thủy. Người ta cần lập một đội tuyển bóng bàn quốc gia từ đội dự tuyển nói trên. Đội tuyển quốc
gia bao gồm 3 nữ và 4 nam. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội tuyển quốc gia sao cho trong đội tuyển có mặt chỉ một
trong hai danh thủ trên.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y – 2 = 0, cạnh BC
song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0 và trung điểm của cạnh AC là M(1; 1). Tìm toạ độ các
đỉnh A, B, C.
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với
(
)
(
)
(
)
ABC
3;1;2,1;5;1,2;3;3
-- , trong
đó AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ. Tìm toạ độ điểm D.
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình:
xyyx
xxyx
3123
2
223.2
311
+-+
ì
+=
ï
í
++=+
ï
î
============================
Trần Sĩ Tùng
Hướng dẫn:
I. PHẦN CHUNG
Câu I: 2) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ
a
2
¹-
thuộc đồ thị (C) có phương trình:
( )
( ) ( ) ()
a
yxaxayad
a
a
22
2
42
4220
2
2
=-+Û-++=
+
+
Tâm đối xứng
(
)
I
2;2
-. Ta có
( ) ( ) ( )
aaa
dId
a
aa
42
828282
,22
222
1622.4.2
+++
=£==
+
+++
(
)
dId
,
lớn nhất Û
( )
a
aa
2
0
24
4
é
=
+=Û
ê
=-
ë
Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến
yx
=
và
yx
8
=+
.
Câu II: 1) Điều kiện
()
xx
xxx
cos20;cos20
*
44
sin20;tancot0
pp
ì
æöæö
-¹+¹
ï
ç÷ç÷
í
èøèø
ï
¹-¹
î
Để ý rằng: xxxxxx
tan2.tan2tan2.tan2cot2.tan21
444444
pppppp
æöæöæöæöæöæö
-+=--+=-++=-
ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèøèøèø
Khi đó PT trở thành: x
xxx
xx
22
4cos2
1cottan4cos2
tancot
-=Û-=
-
( )
xx
xx
xx
22
22
1tan124
4tan210
tantan2
1tan21tan2
-
Û=Û=Û-=
++
( )
xxmxkktan212 482
ppp
p
Û=Û=+Û=+Î
Z
: Không thoả điều kiện (*).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2) Điều kiện: xyxy
22
0,0,10
¹¹+-¹
Đặt
x
uxyv
y
22
1;
=+-=
. Hệ PT trở thành: uvuv
uvuv
3232
11(1)
1422214(2)
ìì
ïï
+=+=
Û
íí
ïï
++==-
îî
Thay (2) vào (1) ta được:
v
vv v
vv
2
3
32
1213210
7
214
2
é
=
ê
+=Û-+=Û
=
ê
-ë
· Nếu v = 3 thì u = 9, ta có Hệ PT:
xy xx
xy
xyy
xy
y
22
22
19
33
10
11
33
ì+-= ì
ïìì
==-
+=
ÛÛÚ
íííí
==-
==îî
î
ï
î
· Nếu v
7
2
=
thì u = 7, ta có Hệ PT:
yy
xy xy
xxy
yxx
22 22
22
44
17 8
5353
77
22
21414
2
5353
ìì
ìì==-
+-= ïï
+=
ïïïï
ÛÛÚ
íííí
==
ïïïï
==-
î
îïï
îî
So sánh điều kiện ta được 4 nghiệm của Hệ PT.
Câu III: Đặt
ux dx
du
dx x
dv
vx
x
ln
21
1
ìì= =
ïï
Þ
íí
=
ïï
=+
+î
î
( )
x
IxxdxJ
x
8
8
3
3
1
21.ln26ln84ln32
+
Þ=+-=--
ò
· Tính x
Jdx
x
8
3
1
+
=ò. Đặt tt
txJtdtdtdt
tt
tt
333
2
22
222
11
1.222
11
11
æö
=+Þ===+-
ç÷
-+
--
èø
òòò
t
t
t
8
3
1
2ln2ln3ln2
1
æö
-
=+=+-
ç÷
+
èø
Trần Sĩ Tùng
Từ đó
I
20ln26ln34
=--
.
Câu IV: Kẻ SO ^ (ABCD) thì O là giao điểm của AC và BD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng
tâm
D
SAC .
Góc giữa mặt bên (SCD) và đáy (ABCD) là
SJI
0
60
=Þ DSIJ đều cạnh a Þ G cũng là trọng tâm DSIJ.
IG cắt SJ tại K là trung điểm của SJ; M, N là trung điểm của SC, SD.
ABMN
aa
IKSABMNIK
2
3133
;()
228
==+=;
a
SKABMNSK();
2
^=
Suy ra: ABMN
a
VSSK
3
13
.
316
==.
Câu V: Vì
ab
01,01
<£<£
nên
(
)
(
)
ababab
11010
--³Þ--+³
abab
1
Þ³+-
abab
111
1(1)
Þ³+-
Tương tự : bcbccaca
111111
1(2),1(3)
³+-³+-
Cộng các BĐT (1), (2), (3) vế theo vế ta được: abbccaabc
111111
23(4)
æö
++³++-
ç÷
èø
Sử dụng BĐT (4) và BĐT Cô–si ta có:
( )
abcabcabc
abcabbccaabc
1111111
123
æöæö
+++=+++++³+++++-
ç÷ç÷
èøèø
( )
abc abcabc
111111
23
æö
³+++++++-
ç÷
èø
Cũng theo BĐT Cô–si ta có :
( )
abc abc
111
9
æö
++++³
ç÷
èø
Do đó:
( )
abc
abcabcabc
1111111
1633
æö
+++³+++-=+++
ç÷
èø (đpcm)
Dấu "=" xảy ra Û a = b = c = 1.
II. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: 1) Gọi I là trung điểm của BC. Ta có AGAII
271
;
322
æö
=Þ
ç÷
èø
uuuruur
Đường thẳng BC qua I vuông góc với AH có phương trình:
xy
––30
=
Vì I
71
;
22
æö
ç÷
èø
là trung điểm của BC nên giả sử
(
)
BB
Bxy
; thì
(
)
BB
Cxy
7;1-- và BB
xy
30
--=
H là trực tâm của tam giác ABC nên
CHAB
^
;
(
)
(
)
BBBB
CHxyABxy
5;,3;6
=-+=+-
uuuruuur
()( ) ( )
BB BB
BBB BB
xy xx
CHAB xxy yy
3
16
.0 5360
23
ì-= ìì
==
ï
=ÛÛÚ
ííí
-++-=
=-=
ïîî
î
uuuruuur
Vậy
(
)
(
)
BC
1;2,6;3
- hoặc
(
)
(
)
BC
6;3,1;2
-
2)
( )
( )
( )
Sxyz
222
():12425
-+++-=
có tâm
(
)
I
1;2;4
- và R = 5.
Khoảng cách từ I đến (a) là:
(
)
dIR
,()3
a
=<
Þ (a) và mặt cầu (S) cắt nhau.
Gọi J là điểm đối xứng của I qua (a). Phương trình đường thẳng IJ :
xt
yt
zt
12
2
42
ì
=+
ï
=--
í
ï
=+
î
Toạ độ giao điểm H của IJ và (a) thoả
( )
xtt
ytx
H
zty
xyzz
121
21
1;1;2
421
22302
ìì
=+=-
ïï
ïï
=--=-
ÛÞ--
íí
=+=-
ïï
-+-==
ïï
îî
Trần Sĩ Tùng
Vì H là trung điểm của IJ nên
(
)
J
3;0;0
-.
Mặt cầu (S¢) có tâm J bán kính R¢ = R = 5 nên có phương trình:
( )
Sxyz
222
():325
¢
+++=
Câu VII.a: Có 2 trường hợp xảy ra:
· Trường hợp 1: Đội tuyển có Vũ Mạnh Cường, không có Ngô Thu Thuỷ
Số cách chọn 3 nam còn lại là
C
3
6
.
Số cách chọn 3 nữ không có Ngô Thu Thuỷ là
C
3
9
.
Suy ra số cách chọn trong trường hợp này là CC
33
69
.1680
= (cách)
· Trường hợp 2: Đội tuyển có Ngô Thu Thuỷ, không có Vũ Mạnh Cường
Số cách chọn 4 nam không có Vũ Mạnh Cường là
C
4
6
Số cách chọn 2 nữ còn lại là
C
2
9
Suy ra số cách chọn trong trường hợp này là CC
42
69
.540
= (cách)
Vậy số cách chọn đội tuyển bóng bàn Quốc gia là: 1680 + 540 = 2220 (cách)
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1) Ta có AC vuông góc với BH và đi qua M(1; 1) nên có phương trình:
y x
=
.
Toạ độ đỉnh A là nghiệm của hệ :
x
xy A
yx y
2
22
420 3;
2
33
3
ì=-
ï
æö
ì--=
ÛÞ--
íí
ç÷
=
î
èø
ï=-
î
Vì M là trung điểm của AC nên C
88
;
33
æö
ç÷
èø
Vì BC đi qua C và song song với d nên BC có phương trình: x
y
2
4
=+
( )
xy x
BHBCBB
x
y
y
30 4
:4;1
1
2
4
ì++=
ïì=-
Ç=ÛÞ-
íí
=
=+ î
ï
î
2) Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 3.
Gọi
D
là đường thẳng qua C và song song với AB, (S) là mặt cầu tâm A bán kính R = 3. Điểm D cần tìm là giao
điểm của
D
và (S).
Đường thẳng
D
có vectơ chỉ phương
(
)
AB
2;6;3
=-
uuur
nên có phương trình:
xt
yt
zt
22
36
33
ì
=-
ï
=+
í
ï
=+
î
Phương trình mặt cầu
()( ) ( ) ( )
Sxyz
222
:3129
-++++=
Toạ độ điểm D thoả Hệ PT:
( ) ( ) ( )
xt
t
yt tt
zt t
xyz
2
222
22
1
36 4982330
33
33
49
3129
ì
=- é
ï=-
=+
ïê
Þ++=Û
í
=+ =-
ê
ïë
-++++=
ï
î
· Với t = – 1, thì D(4; – 3; 0) : không thoả vì AB = CD = 7
· Với tD
331645148
;;
49494949
æö
=-Þ-
ç÷
èø
(nhận)
Câu VII.b:
xyyx
xxyx
3123
2
223.2(1)
311(2)
+-+
ì
+=
ï
í++=+
ï
î
Ta có:
() ( )
x
x x
xxy
xyx
xxyx
2
1
10 1
2310
013
311
ì
³-ì +³ ì³-
ÛÛÛ
ííí
+-=
=Ú=-
++=+ î
îî
Trần Sĩ Tùng
· Với x = 0 thay vào (1) ta được: yyyyy y
2
2
88
223.28212.22log
1111
-
+=Û+=Û=Û=
· Với x
yx
1
13
ì
³-
í
=-
î thay
yx
1–3
=
vào (1) ta được : xx3131
223.2(3)
+--
+=
Đặt
x
t
31
2
+
=, vì
x
1
³-
nên t
1
4
³-
. Khi đó: (3) :
tloaïi
ttt
t
tthoaû
2
1
322()
6610
322()
é
=-
+=Û-+=Û
ê
=+
ë
Suy ra:
( )
xx
31
2
1
2322log3221
3
+
éù
=+Û=+-
ëû
;
(
)
yx 2
132log322
=-=-+
Vậy Hệ PT đã cho có 2 nghiệm
x
y2
0
8
log
11
ì
=
ï
í
=
ï
î
và
( )
( )
x
y
2
2
1
log3221
3
2log322
ì
éù
=+-
ï
ëû
í
ï
=-+
î
=====================