Trần Sĩ Tùng
Trung tâm BDVH & LTĐH
THÀNH ĐẠT
Đề số 2
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN – Khối A–B–D–V
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số yxxx
32
18
3
33
=--+
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạ độ).
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: xx
2
1
(14sin)sin3
2
-=
2) Giải phương trình: xxxx
222
31tan1
6
p
-+=-++
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I =
2
522
2
()4
-
+-
ò
Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc
0
60
. Gọi M là điểm đối
xứng với C qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của
hai phần đó.
Câu V (1 điểm): Cho x, y, z là các số dương thoả mãn xyz
222
1
++=
. Chứng minh:
P = xyz
yzzxxy
222222
33
2
++³
+++
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): xy
22
(1)(2)9
-++=
và đường thẳng d:
xym
0
++=
. Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới
đường tròn (C) sao cho tam giác ABC vuông (B, C là hai tiếp điểm).
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q):
xyz
0
++=
và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng
2
.
Câu VII.a (1 điểm): Tìm hệ số của
x
8
trong khai triển nhị thức Niu–tơn của
( )
n
x
2
2
+, biết:
nnn
ACC
321
849
-+=
(n Î N, n > 3).
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d:
xy
10
--=
và hai đường tròn có phương trình:
(C1): xy
22
(3)(4)8
-++=
, (C2): xy
22
(5)(4)32
++-=
Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I thuộc d và tiếp xúc ngoài với (C1) và (C2).
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng D:
xyz
2
122
-
==
và mặt phẳng (P):
xyz
50
-+-=
. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường thẳng D
một góc
0
45
.
Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình:
xyxy
xyxy
222
2
lglglg()
lg()lg.lg0
ì
ï=+
í
-+=
ï
î
============================
Trần Sĩ Tùng
Hướng dẫn:
I. PHẦN CHUNG
Câu I: 2) Giả sử phương trình đường thẳng d: y = m.
PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
xxxm
32
18
3
33
--+=
Û xxxm
32
39830
--+-=
(1)
Để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho DOAB cân tại O thì (1) phải có x1, – x1, x2 (x1, –x1 là hoành độ của A,
B) Þ x1, x2 là các nghiệm của phương trình: xxxx
22
12
()()0
--=
Û xxxxxxx
3222
2112
0
--+=
(2)
Đồng nhất (1) và (2) ta được:
x
x
xxm
2
2
1
2
12
3
9
83
ì=
ï=
í
ï=-
î
Û
x
x
m
1
2
3
3
19
3
ì
=±
ï
ï=
í
ï
=-
ï
î
. Kết luận: d: y
19
3
=-
.
Câu II: 1) Nhận xét: cosx = 0 không phải là nghiệm của PT. Nhân 2 vế của PT với cosx, ta được:
PT Û
xxxx
3
2sin3(4cos3cos)cos
-= Û
xxx
2sin3.cos3cos
=
Û
xx
sin6sin 2
p
æö
=-
ç÷
èø
Û
kk
xx
22
147105
pppp
=+Ú=+
2) PT Û xxxx
242
3
311
3
-+=-++
(1)
Chú ý: xxxxxx
4222
1(1)(1)
++=++-+
, xxxxxx
222
312(1)(1)
-+=-+-++
Do đó: (1) Û xxxxxxxx
2222
3
2(1)(1)(1)(1)
3
-+-++=-++-+
.
Chia 2 vế cho
( )
xxxx
2
22
11
++=++ và đặt xx
tt
xx
2
2
1
,0
1
-+
=>
++
Ta được: (1) Û tt
2
3
210
3
+-=
Û
t
t
3
0
23
1
3
é-
=<
ê
ê
ê=
ê
ë
Û xx
xx
2
2
11
3
1
-+=
++ Û
x
1
=
.
Câu III: I =
2522
2
()4
-
+-
ò =
xxdx
252
2
4
-
-
ò +
xxdx
222
2
4
-
-
ò = A + B.
· Tính A =
xxdx
252
2
4
-
-
ò. Đặt
tx
=-
. Tính được: A = 0.
· Tính B =
xxdx
222
2
4
-
-
ò. Đặt
xt
2sin
=
. Tính được: B =
2
p
.
Câu IV: Gọi P = MN Ç SD, Q = BM Ç AD Þ P là trọng tâm DSCM, Q là trung điểm của MB.
· MDPQ
MCNB
VMDMPMQ
VMCMNMB
1211
....
2326
===
Þ
DPQCNBMCNB
VV
5
6
=
· Vì D là trung điểm của MC nên
dMCNBdDCNB
(,())2(,())
=
Þ
MCNBDCNBDCSBSABCD
VVVV
.
1
22
===
Þ
DPQCNBSABCD
VV
.
5
12
= Þ
SABNPQSABCD
VV
.
7
12
= Þ SABNPQ
DPQCNB
V
V
7
5
=
.
Câu V: Từ giả thiết xyz
222
1
++=
Þ
xyz
0,,1
<<
.
· Áp dụng BĐT Cô–si cho 3 số dương:
xxx
222
2,1.1
--
ta được:
Trần Sĩ Tùng
xxx
xx
222
222
3
2(1)(1)
2(1)
3
+-+- ³- Û xx
222
3
2
2(1)
3
-£
Û
xx
2
2
(1)
33
-£ Û
x
x
x
2
2
33
2
1
³
-
Û
x
x
yz
2
22
33
2
³
+ (1)
· Tương tự ta có: y
y
zx
2
22
33
2
³
+ (2), z
z
xy
2
22
33
2
³
+ (3)
· Từ (1), (2), (3) Þ xyz xyz
yzzxxy
222
222222
3333
()
22
++³++=
+++
Dấu "=" xảy ra Û xyz
3
3
=== .
II. PHẦN TỰ CHỌN
1. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: 1) (C) có tâm I(1; –2), bán kính R = 3. Vì các tiếp tuyến AB, AC vuông góc nên ABIC là hình vuông có cạnh
bằng 3 Þ IA =
32
. Giả sử A(x; –x – m) Î d.
IA
2
18
=
Û xmx
22
(1)(2)18
-+--+=
Û xmxmm
22
22(3)4130
--+--=
(1)
Để chỉ có duy nhất một điểm A thì (1) có 1 nghiệm duy nhất Û D¢ = mm
2
2350
-++=
Û
m
m
7
5
é
=
ê
=-
ë
.
2) PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng:
AxByCz
0
++=
(với ABC
222
0
++¹
).
· Vì (P) ^ (Q) nên:
ABC
1.1.1.0
++=
Û
CAB
=--
(1)
· dMP
(,())2
= Û
ABC
ABC
222
2
2
+- =
++
Û
ABCABC
2222
(2)2()
+-=++ (2)
Từ (1) và (2) ta được:
ABB
2
850
+=
Û
B
AB
0(3)
850(4)
é
=
ê
+=
ë
· Từ (3): B = 0 Þ C = –A. Chọn A = 1, C = –1 Þ (P):
xz
0
-=
· Từ (4): 8A + 5B = 0. Chọn A = 5, B = –8 Þ C = 3 Þ (P):
xyz
5830
-+=
.
Câu VII.a: Ta có: nnn
ACC
321
849
-+=
Û nn
nnnn
8(1)
(1)(2)49
2
-
---+=
Û
nnn
32
77490
-+-=
Û
n
7
=
.
nkkk
k
xxCx
7
2272(7)
7
0
(2)(2)2
-
=
+=+=
å. Số hạng chứa
x
8
Û
k
2(7)8
-=
Û k = 3.
Þ Hệ số của
x
8
là: C33
7
.2280
=.
2. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1) Gọi I, I1, I2, R, R1, R2 lần lượt là tâm và bán kính của (C), (C1), (C2).
Giả sử I(a; a – 1) Î d. (C) tiếp xúc ngoài với (C1), (C2) nên II1 = R + R1, II2 = R + R2 Þ II1 – R1 = II2 – R2
Û aaaa
2222
(3)(3)22(5)(5)42
-++-=-++- Û a = 0 Þ I(0; –1), R =
2
Þ Phương trình (C): xy
22
(1)2
++=
.
2) Gọi
dP
uun
,,
D
rrr
lần lượt là các VTCP của d, D và VTPT của (P). Giả sử d
uabcabc
222
(;;)(0)
=++¹
r
.
· Vì d Ì (P) nên
dP
un
^
rr
Þ
abc
0
-+=
Û
bac
=+
(1)
·
·
(
)
d
0
,45
D
= Û
abc
abc
222
222
2
3
++ =
++
Û
abcabc
2(2)9()
++=++ (2)
Từ (1) và (2) ta được: cac
2
14300
+=
Û
c
ac
0
1570
é
=
ê
+=
ë
· Với c = 0: chọn a = b = 1 Þ PTTS của d:
{
xtytz
3;1;1
=+=--=
· Với 15a + 7c = 0: chọn a = 7, c = –15, b = –8 Þ PTTS của d:
{
xtytzt
37;18;115
=+=--=- .
Trần Sĩ Tùng
Câu VII.b: Điều kiện: x > y > 0.
Hệ PT Û
xyxy
xyxy
222
2
lglg(lglg)
lg()lg.lg0
ì
ï=++
í-+=
ï
î Û
yxy
xyxy
2
lg(lglg)0
lg()lg.lg0
ì+=
í
-+=
î
Û y
xy
2
lg0
(1)
lg()0
ì=
í-=
î hoặc xy
xyxy
2
lglg0
lg()lg.lg0
ì+=
í
-+=
î (2)
· (1) Û y
xy
1
1
ì=
í
-=
î Û x
y
2
1
ì
=
í
=
î.
· (2) Û
yx
xx
xx
2
1
11
lglg.lg0
ì=
ï
ï
íæö
ï
-+=
ç÷
ï
èø
î
Û
y
x
x
x
x
2
22
1
1
lglg
ì=
ï
ï
íæö
-
ï=
ç÷
ï
èø
î
Û
y
x
x2
1
2
ì=
ï
í
ï
=
î
Û
x
y
2
1
2
ì=
ï
í=
ï
î
Kết luận: Hệ có nghiệm: (2; 1) và
1
2;
2
æö
ç÷
èø
.
=====================