n0 crAo DUc VA
DAo TAo Hq vd t€n thi sinh:
DAI HOC I{Ufi Sd bdo danh:
KV rHI ruyfx srNH sAU
DAI
Hoc NAM 2006
MOn
thi: To6n cho vilt ly
(ddnh
cho: Cao hgc)
Thdi
gian
ldm
bdi: 180
phtit
CAU 1. Tim hbm
u(r,y) th6a
mdn
phuong
fiinh
02u ^ 0'u .0'u ^
a*r-"araa-o6rz:v
vi th6a
m6n
cdc didu kiOn
u(r,
a)lr:o
: 3r2
, Hlr:o
: O.
Ctllu
2. Tim phAn
b0 nhi0t
dE u(r,t) trong
mQt thanh
htru
han c6 chidu ddi (,
tat
thdi didm bat ky t > 0. BiCt rang
phAn
bd nhiet d0 ban ddu trong
thanh c6 dang
u(r,,O)
: Ar((,
- r), (A li hang s0). Tiong thanh
khOng
c6 ngu6n nhiOt,
hai ddu
mrit ctra thanh
luOn dugc gifr 6 nhiet dQ
bang
khOng.
86 qua su ffao Cdi ntriet
qua
mdt b0n,
vdn tdc truydn nhigt ffong thanh bdng a.
Ciu 3. X€t
hinh trbn bdn kinh R c6 tam nam
tai gOc
toa d0. Gia srl
(r,
p) ld cdc
toa d0 c{c, (r,il ld cdc
toa dO pC
Cac hai chidu. Tim nghiOm cira
phuong
ffinh Laplace
ddi vdi midn trong hinh trbn th6a mdn didu kiqn biOn Dirichlet:
u(r,
p)
l":" - u(R,p)
: A
+ B sin29,
trong d6 A vh s ld c6c
hang
sd
CAu
4. Cho b6n
kinh vecto
i_ ri+aV
+ rE, r: ld. Hdy tfnh:
div
[r.grad
(r-')] ,
trong
d6 n ld sd nguyOn.
Ghi chit: Cdn
bd coi thi kh1ng
gidi thich
gi th€m
Ky THI TUyfN SINH SAU DAI HQC ivAvt 2ooz
M6n thi: Todn cho Vat li
(dd'nh
cho
Cao
hP")
Thdi g'i,an
ld,m
bd'i:
180 Phrit
r\ I- t ^'
{,/ .- L:-r-6
CAu I.
(r. Tfnh tich phan m6t i - $ ; (;;) dS,
trons d6 7 ra
vecto
kh6ng
ddi, 7: vects
Js \ /
vj tri, d: vects dcrn
vi ph6p tuydn cria
m{t ,S.
b. Sr!
dpng
dinh tf Oxtr6gratxki-Gaoxo,
hey tfnh t!6ng lugng crLa
vects
i, -z.3,i,
+a3
j *rzyk
grli qua mQt md,t
kfn ,9
gi6i h?n bdi hinh n6n c6 bdr-
kinh ddy.R,
chibu cao
H:
*2 )- o,2 72
Tsp, o1z1H-
CAu II.
X6c dlnh dao
d6ng
tg do crlamQt
d6y
huu hq,t,
gXn
ch5,t
tai c6c
mri.t
r - 0,n: !,,
bi6t d9 lQch
ban db,u
dugc cho
bdi: Am(0--)
, u(",0):T,0( rS(,
cbn
v6,n
t6c ban dbu bXng 0.
C5.u
III.
MQt thanh dbng chdt c6 chiEu
dei / v6i c6c mdt b€n cd trao ddi nhi6t v6i m6i
trulng xung quanh, nhiet d6 m6i trulng bXng
0, cbn c6,c
mrit n : 0,
n : {,
dugc gifr &
nhiQt
ag f.nO"! ddi bHng
0. Tlm ph6,n
bd nhiQt
tr6n thanh iric t > 0? Bidt rH,ng
nhi€t
d6
ban db,u
crla
thanh c6
dang:
u(r,O) : An (A: hXng
s6).
Ciu IV.
nQ cmo DUc
vA DAO
TAO
DAI
HQC
HU6 Ho ud,
t€n th{ s'inh:
56 b6,o
danh:
fim hh,m
u(r,A)
c6c
dibu kiQo
bi6n: diEu
hoA,
trong hinh chfr
nh6t A I r I a, 0 < g ( b vb thod,
md,n
u(r,0)
:0, u(r,b)-n, 0Sn3a
ur(O,g)
: 0,
ur(a,A)
: 0, 0
< g < b-
C6.u
V.
a. Cho F - r^l trong toq, dQ
ch,u,
{: vecto dcrn
vi theo phuong
xuy6n
t6,rn.
Chftng
minhrxng: v* F-',vF -(n+z)rn-r.
b. Chfrng
minh rXng,
hh,m f1r
u(r,A,
z)
- J
_*f (, + ir cost
* i'ysinf,
t)dt
v6i f (r,
t) le hA,m
tdj' i, gi&i
tfch
theo
r vh 1i6n
tuc
theo
t, lb
hhm
dibu
hoh-
Ghi chfr: Cd,n
b6 coi ttti,
kh'6ng
gidi th{ch'
gi'
th,€m.
T40 Hg ud,
t€n tht s'inh:
Sd b6,o danh:
)v
TUYEN SINH SAU D4I HQC NAM 2OO8
M6n thi: TOAN CHO VAr r,Y
(d,anh
cho Cao hp")
Thdi g'ian ld,m
bd,i: 180 phft
CAU I.
Vecto cubng d6 di6n trulng do di6n tich didm q dqt tai gdc toa d6 O Sa^y
ra tai
didm M d,uoc
cho b&i c6ng thirc:
a. Tfnh divE tai didm M c6 , + \
b. Tfnh th6ng lugng cria trulng E qua mdt cbu t6,m O, b5"n
kfnh R. C6 thd d,p
dpng dinh lf Ostr6gratxki-Ga.oxo tld tintr th6ng lucrng n6i tr6n iluoc kh6ng? Vi
sao?
CAU II.
Tim hbm u(r,t) th6a m5n phuong trinh vb c6c dibu kion sau:
1trtt
: A2Urr, 0 ( t I (,,,
t > 0,
u*(0,t)
: u((.,t)
- 0, t ) 0,
u(r,O)
: r, ut(r,0)
: 1,
0
S r < (..
CAU
III.
MOt thanh mAnh,
ilbng chdt c6 chibu
dei / v6i c6c m6,t
b6n cach
nhi6t, cbn c6c
db,u
mrit r : 0 vd,
n,
: / lu6n cluoc giu d nhi6t d6 kh6ns eldi bXng
0. Tbong
thanh
kh6ng.c6
ngubn
nhi6t. Tim ph6,n
b6 nhi0t tt6 trong thanh tai thli didm bdt ky t > 0.
Bi6t rXng
phdn bd nhi6t dO
ban dh,u
trong thanh c6 dang
u(r,O)
:T.r((.-r),
trong
d,6 T" lb hXng
s6. Cho
vdn t6c truybn
nhi6t
trong
thanh bHng
a.
CAu fV.
Tim hbm u(r,y) dibu hba trong hinh chir nhd,t
0 < r I a,
0 ( g < b vb thda
m6,n
cd,c
dibu ki6n bi6n
u(0,a)
: 0, u(a,A)
: 0,
A
< y
I b,
u(r,0)
:0, u(r,b): f("),0S rSa.
Ap
dung
cho trubng
hep
a
- b: Tr f @): sinr.
e0 ctAo DVC
vA DAo
/
DAr HgC HUE
KV THI
i -nn4,
T"
trong
d6 7 -ffi,, : l?1,
k lA,
hXng
sd.
Ghi chf: Cd,n
b6 coi,
thi khdng
gid,i,
thfuh gi th€m.
BO GIAO DL,C
\TA
DAO T4O
/
DAr HgC HUtr
KY rlrr ruydw srr{rr sAu DAr
Hec xArn 200e
(Dot
r)
M6n
thi: roAx cHo vAT t..i
(dd"nh
cho Cao
hq")
Thdt gian ldm bdi: 180 phrit
CAu I. 1. Xd.c dinh c6,c he sd Lame trong he toa do chu (r,0,'g). Tu do viSt ra
bidu thf'c cria
dir,,A-
ttong he
toa do ndy.
2. Tinh tfch phAn
r-
I-
9rrt
z"
d.rdad,z
vor V Ia hinh chu 12 + y2
* z2 < R2.
CAu II. Tim nghiem u - u(r,t) cua bai to6n h5n hcrp
sau
utt : urr
,(0,/)
: 0. u,({,/)
: 0
u(r,0) : t. ut(r,
0)
:rry
- ll.L
qln - J- qtn
vrrr (\ t, I vrrr
!(
thi sinh:
b6o
danh:......
r 1{, t > 0
0
r{[
Ho vd t6n
S5
Ill
\;'
0<
t>
3rr
_ u<
:(
vot {.
) 0 cho tru6c.
CAu III. Tim phAn
bo nhiet
cv
thcvi di6m / > 0 tren mQt
thanh dbng
chdt
c6 chibu
(. vot c5,c mdt ben
c6ch
nhiet khi bi6t nhiet do ban dbu b5ng
0. mrit r:
ducyc
giu cr
nhiet do khong doi bing 7, cbn
mrit r - ( duoc
giu cr nhiet
khong doi bXn
g U.
Cdu IV. Tim hdm u(r,g) @ho
trong toa d6 cuc) diEu h6a trong hinh trdn c6 tAm d
e6c toa d6 O vd brin kinh E. th6a man dibu ki6n tr6n bi6n cria hinh trdn
u(R,
P) : '4
(sin
(P
+ 2 cos
2P) '
CAu V. Tim ne.hiArn tt - u(r,y) cua
phucrng
trinh
ur, - 2
sin
g,'r-t,ra
- .or2 fr.uaa
- cos r.uo - Q
th6a min dlEu
ki6n sau
u(r, cos r) - sin rr ur(r)
cos r) : r * cos
r.
dei
-n
+^
oo
cac
Ghi chri: Cdn bo coi thi khdng giAi thfch gi them.