450
ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GÂY NHIỄU ĐỒNG LUÂN
KẾT HỢP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CẤP HAI
Nguyễn Thị Linh 1
1. Khoa Sư phạm, Đại học Thủ Dầu Một
TÓM TẮT
Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu một phương pháp gọi là phương pháp gây nhiễu
đồng luân kết hợp biến đổi Laplace để giải phương trnh vi phân cấp hai thoả điều kiện đầu.
Một số ví dụ được đưa ra để minh hoạ cho phương pháp trên.
Từ khoá: Laplace transform; ordinary differential equation, New homotopy perturbation
method.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Bất kỳ nỗ lực thiết kế hệ thống nào cũng phải bắt đầu bằng việc dự đoán về hiệu suất của
nó trước khi hệ thống đó có thể được thiết kế chi tiết hoặc được xây dựng thực sự. Dự đoán như
vậy thường dựa trên mô tả toán học về các đặc tính của hệ thống. Mô tả toán học đó được gọi
là mô hình toán học. Đối với nhiều hệ thống vật lý, kỹ thuật, các mô hình toán học được mô tả
dưới dạng các phương trình vi phân. Ví dụ như: mô hình của hệ thống điện, mô hình của hệ
thống lò xo giảm chấn, mô hình của hệ thống khuếch đại hoạt động, mô hình của hệ thống khí
nn, mô hình của hệ thống nhiệt, mô hình của hệ thống thuỷ lực,… các mô hình này thường
được đưa về phương trình vi phân tuyến tính cấp một hoặc cấp hai hệ số hằng giải bằng phương
pháp giải tích cổ điển, hoặc bằng phương pháp biến đổi Laplace, chuỗi luỹ thừa, chuỗi
Fourier,…Tuy nhiên với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học, những mô hình tuyến tính cổ
điển không còn thể hiện tốt các tính chất của vật liệu, của hệ thống,… Ngày càng xuất hiện các
mô hình mới dưới dạng phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hàm, phương trình phi
tuyến tính và gần đây là các phương trình vi phân cấp phân số mới có độ tốt để mô phỏng. Để
tìm được nghiệm chính xác của các mô hình này khó khăn hơn các mô hình cổ điển, ngày càng
đòi hỏi các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều phương pháp mới.
Ở bài báo này, chúng tôi chỉ đề cập đến phương pháp giải tích. Trong môn học phương
trình vi phân, có nhiều phương pháp giải tích được giới thiệu để tìm nghiệm chính xác của một
số loại phương trình vi phân nhất định. Một trong những phương pháp chưa được đề cập trong
các giáo trình đại học là phương pháp gây nhiễu đồng luân để giải các phương trình hàm của J.
H. He. đề xuất (J. H. He. , 1999) . Phương pháp này đ thu hút được nhiều nhà nghiên cứu áp
dụng vào giải phương trình vi phân tuyến tính và cả phi tuyến tính (D.D. Ganji · và nnk , 2008;
Syed Tauseef Mohyud-Din và nnk, 2009; H. Aminikhah và nnk, 2010; H. Aminikhah,
451
2012;…). Trong bài báo này, chúng tôi sẽ giới thiệu phương pháp gây nhiễu đồng luân kết hợp
biến đổi Laplace (H. Aminikhah và nnk, 2010; H. Aminikhah, 2012). Áp dụng phương pháp
này vào giải phương trình vi phân cấp 2 thoả điều kiện đầu.
2. PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
Trong phần này, chúng tôi nhắc lại khái niệm phép biến đổi Laplace và một số tính chất
có liên quan đến phần sau.
2.1. Định nghĩa. Cho 𝑓(𝑡) xác định trên [0,+∞] , 𝑓 khả tích trên mọi khoảng hữu hạn
và thoả 𝑓(𝑡)<𝐾𝑒𝐴𝑡 với mọi t >M, ta gọi phép biến đổi Laplace của hàm 𝑓 là
𝐿{𝑓(𝑡)}=𝐹(𝑠)=∫𝑒−𝑠𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡
∞
0.
Khi đó 𝐹(𝑠) được gọi là ảnh của biến đổi Laplace của 𝑓(𝑡).
Nếu 𝐹(𝑠) là ảnh của biến đổi Laplace của 𝑓(𝑡) th ta cũng nói 𝑓(𝑡) là biến đổi Laplace
ngược của 𝐹(𝑠), kí hiệu là 𝑓(𝑡)=𝐿−1{𝐹(𝑠)}.
2.2. Tính chất
a) Tính tuyến tính 𝐿{𝑎𝑓+𝑏𝑔}=𝑎𝐿{𝑓}+𝑏𝐿{𝑔};
𝐿−1{𝑎𝑓+𝑏𝑔}=𝑎𝐿−1{𝑓}+𝑏𝐿−1{𝑔}.
b) Biến đổi Laplace của đạo hàm
𝐿{𝑓′}=∫𝑒−𝑠𝑡𝑓′(𝑡)d𝑡
∞
0=𝑠𝐿{𝑓}−𝑓(0);
𝐿{𝑓(𝑛)}=𝑠𝑛𝐿{𝑓}−𝑠𝑛−1𝑓(0)−𝑠𝑛−2𝑓′(0)−⋯−𝑠𝑓(𝑛−2)(0)−𝑓(𝑛−1)(0).
2.3 Một số biến đổi Laplace thông dụng
𝑓
𝐿{𝑓}
1
1
𝑠
t
1
𝑠2
𝑡𝑛
𝑛!
𝑠𝑛+1
𝑒𝑎𝑡
1
𝑠−𝑎
Cos(at)
𝑠
𝑠2+𝑎2
Sin(at)
𝑎
𝑠2+𝑎2
2.3 Giải phương trình vi phân bằng phép biến đổi Laplace
Bước 1: biến dổi Laplace hai vế của phương trình ta thu được phương trình theo 𝐹(𝑠).
452
Bước 2: giải phương trình này tìm 𝐹(𝑠).
Bước 3: Bằng phép biến đổi Laplace ngược tìm nghiệm ban đầu
𝑓(𝑡)=𝐿−1{𝐹(𝑠)}.
Ví dụ: Giải phương trình 𝑥′′(t)+ 𝑥(t)=sin (2t).
Thực hiện biến đổi Laplace cả hai vế của phương trình ta thu được
𝑠2𝐿{𝑥(𝑡)}−𝑠𝑥(0)−𝑥′(0)+𝐿{𝑥(𝑡)}=𝐿{sin (2t)}
Hay
𝑠2𝐹(𝑠)−2𝑠−1+𝐹(𝑠)= 2
𝑠2+4
Từ đó ta có
𝐹(𝑠)=(2𝑠+1)(𝑠2+4)+2
(𝑠2+4)(𝑠2+1) =2𝑠
𝑠2+1+5
3(𝑠2+1)−2
3(𝑠2+4)
Tra bảng phép biến đổi Laplace thông dụng ta có nghiệm cần tìm là
𝑥(𝑡)=2𝑐𝑜𝑠𝑡+5
3𝑠𝑖𝑛𝑡−1
3𝑠𝑖𝑛2𝑡.
3. PHƯƠNG PHÁP GÂY NHIỄU ĐỒNG LUÂN
Trong phần này, chúng tôi nhắc lại phương pháp gây nhiễu đồng luân có sửa đổi
(Hossein Aminikhah, 2010).
Xt phương trình vi phân phi tuyến sau đây
𝐴(𝑈)−𝑓(𝑟)=0,𝑟∈Ω,𝑈∈ℝ𝑛 (1)
Với các điều kiện đầu
𝑈(0)=𝛼0,𝑈′(0)=𝛼1,…,𝑈(𝑛−1)(0)=𝛼𝑛−1,
Trong đó, A là toán tử vi phân tổng quát và f(r) là hàm giải tích cho trước. Toán tử A có
thể được chia thành hai phần L và N, trong đó L là toán tử tuyến tính và N là toán tử phi tuyến
tính. Do đó phương trình (1) có thể được viết lại như sau
𝐿(𝑈)+𝑁(𝑈)−𝑓(𝑟)=0.
Bằng kỹ thuật đồng luân, chúng ta xây dựng một hàm đồng luân 𝑉(𝑟,𝑝): Ω x [0,1]→ℝ
thỏa mn 𝐻(𝑉,𝑝)=(1−𝑝)[𝐿(𝑉)−𝑣0]+𝑝(𝐴(𝑉)−𝑓(𝑟))=0,𝑝∈[0;1],𝑟∈Ω
Hay 𝐻(𝑉,𝑝)=𝐿(𝑉)−𝐿(𝑣0)+𝑝𝐿(𝑣0)+𝑝(𝑁(𝑉)−𝑓(𝑟))=0 (2)
Trong đó 𝑝∈[0;1] là tham số gây nhiễu, 𝑣0 là nghiệm gần đúng ban đầu của phương
trình (1). Rõ ràng ta có 𝐻(𝑉,0)= 𝐿(𝑉)−𝐿(𝑣0)=0 (3)
𝐻(𝑉,1)= 𝐴(𝑉)−𝑓(𝑟)=0 (4)
453
Theo phương pháp gây nhiễu đồng luân (J. H. He. , 1999), trước tiên chúng ta có thể sử
dụng tham số gây nhiễu p làm tham số nhỏ và giả sử rằng các nghiệm của phương trình (2) có
thể được biểu diễn dưới dạng một chuỗi lũy thừa theo 𝑝
𝑉(𝑥)=∑𝑉𝑛
∞
𝑛=0 𝑝𝑛.
Ta viết lại phương trình (2) dưới dạng
𝐿(𝑉(𝑥))=𝑣0(𝑥)+𝑝(𝑓(𝑟)−𝑣0(𝑥)−𝑁(𝑉(𝑥))).
Tác động toán tử ngược 𝐿−1 vào hai vế của phương trình ta có
𝑉(𝑥)=𝐿−1 {𝑣0(𝑥)}+𝑝(𝐿−1 {𝑓(𝑟)}−𝐿−1 {𝑣0(𝑥)}−𝐿−1 {𝑁(𝑉(𝑥))}) (5)
Bây giờ giả sử nghiệm gần đúng ban đầu có dạng
𝑣0(𝑥)=∑𝑎𝑛
∞
𝑛=0 𝑃𝑛(𝑥).
Trong đó 𝑎0,𝑎1,𝑎2,… là các hằng số chưa biết, 𝑃1(𝑥), 𝑃2(𝑥),𝑃3(𝑥),… là các hàm đặc
biệt phụ thuộc vào bài toán đang xt. Khi đó phương trình (5) trở thành
∑𝑉𝑛(𝑥)
∞
𝑛=0 𝑝𝑛=𝐿−1{∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=0 𝑃𝑛(𝑥)}+𝑝(𝐿−1 {𝑓(𝑟)}−𝐿−1{∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=0 𝑃𝑛(𝑥)}−
𝐿−1 {𝑁(∑ 𝑉𝑛(𝑥)
∞
𝑛=0 𝑝𝑛)}).
Đồng nhất hai vế ta thu được
𝑉0(𝑥)=𝐿−1{∑𝑎𝑛
∞
𝑛=0 𝑃𝑛(𝑥)}
𝑉1(𝑥)=𝐿−1 {𝑓(𝑟)}−𝐿−1{∑𝑎𝑛
∞
𝑛=0 𝑃𝑛(𝑥)}−𝐿−1 {𝑁(𝑉0(𝑥))}
𝑉2(𝑥)=−𝐿−1 {𝑁(𝑉0(𝑥),𝑉1(𝑥))}
⋮
𝑉𝑗(𝑥)=−𝐿−1 {𝑁(𝑉0(𝑥),𝑉1(𝑥),…,𝑉𝑗−1(𝑥))}
Bây giờ nếu có thể giải các phương trình này sao cho 𝑉1(𝑥)=0, trong một số trường
hợp, chúng ta đặt chuỗi Taylor của 𝑉1(𝑥)=0 thì kết quả là 𝑉2(𝑥)=𝑉3(𝑥)=⋯=𝑉𝑗(𝑥)=
⋯=0. Từ đó, nghiệm chính xác có thể thu được là
𝑉0(𝑥)=𝐿−1{∑𝑎𝑛
∞
𝑛=0 𝑃𝑛(𝑥)}.
Trong đó 𝑎0,𝑎1,𝑎2,… là các hằng số chưa biết cần được tính toán.
Sau đây là một số ví dụ minh họa cho sự kết hợp của phương pháp gây nhiễu đồng luân
và phép biến đổi Laplace.
454
4. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Xt phương trình tuyến tính
𝑥′′(t)−1
𝑡𝑥′(t)=t (1.1)
Thỏa điều kiện đầu 𝑥(0)=1;𝑥′(0)=0.
Giải.
Để giải phương trình (1.1), bằng phương pháp gây nhiễu đồng luân chúng tôi xây dựng
phương trình sau
(1−𝑝)[𝑥′′(𝑡)−𝑋0(𝑡)]+𝑝[𝑥′′(𝑡)−1
𝑡𝑥′(𝑡)−𝑡]=0
Hay
𝑥"(𝑡)=𝑋0(𝑡)−𝑝[𝑋0(𝑡)−1
𝑡𝑥′(𝑡)− 𝑡] (1.2)
Khai triển Laplace hai vế của phương trình (1.2) ta thu được
𝑠2𝐿{𝑥(𝑡)}−𝑠𝑥(0)−𝑥′(0)=𝐿{𝑋0(𝑡)−𝑝[𝑋0(𝑡)−1
𝑡𝑥′(𝑡)− 𝑡]} (1.3)
Từ đó ta có
𝑥(𝑡)=𝐿−1{1
𝑠2(s𝑥(0)+𝑥′(0)+L{𝑋0(𝑡)−p[𝑋0(𝑡)−1
𝑡𝑥′(t)− 𝑡]})} (1.4)
Hay
𝑥(𝑡)=𝐿−1{1
𝑠2(𝑠+L{𝑋0(𝑡)−p[𝑋0(𝑡)−1
𝑡𝑥′(t)− 𝑡]})} (1.5)
Giả sử rằng nghiệm của phương trình (1.2) có dạng
𝑥(𝑡)=𝑥0(𝑡)+p𝑥1(𝑡)+p2𝑥2(𝑡)+ ⋯ (1.6)
Trong đó các hàm 𝑥𝑖(𝑡) là các hàm cần được xác định.
Do tính tuyến tính của phép biến đổi Laplace, kết hợp (1.5) và (1.6) ta có
𝑥0(𝑡)=𝐿−1{1
𝑠2(𝑠+L{𝑋0(𝑡)})} (1.7)
𝑥1(𝑡)=𝐿−1{− 1
𝑠2L{𝑋0(𝑡)−1
𝑡𝑥′(t)− 𝑡}} (1.8)
Bây giờ giả sử rằng 𝑋0(𝑡) có dạng đa thức
𝑋0(𝑡)=∑𝑎𝑛
∞
𝑛=0 𝑡𝑛
Khi đó ta có
𝑥0(𝑡)=𝐿−1{1
𝑠2(𝑠+L{∑𝑎𝑛
∞
𝑛=0 𝑡𝑛})} = 𝐿−1{1
𝑠} + 𝐿−1{1
𝑠2∑𝑎𝑛
∞
𝑛=0 𝐿{𝑡𝑛} }