Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1
111
ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TÌM CÔNG THỨC
NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ
Đỗ Lân1, Lê Thị Thúy2
1Trường Đại học Thủy lợi
2Trường Đại học Điện lực
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Trong báo cáo này, tôi trình bày về ứng
dụng của phép biến đổi Laplace và biến đổi
Laplace ngược để đưa ra công thức nghiệm
tích phân cho một lớp phương trình vi phân
bậc phân số có xung.
2. NỘI DUNG BÁO CÁO
Khái niệm đạo hàm bậc phân số lần đầu
tiên được đề cập tới vào năm 1695 trong một
trao đổi giữa G.A. de L’Hospital và G.W.
Leibniz. Sau đó, khái niệm này đã được nhiều
nhà toán học phát triển trong thế kỷ 18 và 19.
Trong khoảng 6 thập kỷ trở lại đây, giải tích
bậc phân số có vai trò quan trọng trong nhiều
lĩnh vực như vật lý, hóa học, cơ học, điện học,
kinh tế, lý thuyết điều khiển, tín hiệu và xử lý
ảnh, ngành lý sinh, khí động học…
Chủ đề Giải tích bậc phân số (ở đây có
nghĩa là, giải tích của tích phân và đạo hàm
bậc , với là một số thực hoặc phức bất kỳ)
đã và đang nhận được nhiều sự quan tâm do
các ứng dụng của nó trong nhiều lĩnh vực
khoa học và kỹ thuật. Đồng thời, giải tích bậc
phân số là một công cụ hữu ích cho việc giải
quyết các phương trình vi phân và tích phân,
cũng như các vấn đề khác của vật lý và toán
học. Sự phát triển và các ứng dụng của
Phương trình vi phân - đạo hàm riêng bậc
phân số có thể xem thêm trong các tài liệu
tham khảo [1], [3] và [4].
Trong báo cáo này, sử dụng các phép biến
đổi Laplace, tôi đưa ra định nghĩa nghiệm
tích phân cho hệ vi phân bậc phân số dạng

() () (, (), ), 0 (1)
() (()) (2)
() (()) (), ;0 (3)



Ct
kkk
Dut Aut Ftut u t
ut I ut
us gus s s h
trong đó, u là hàm nhận giá trị trong không
gian Banach X, ut là hàm trễ, tức là
() ( ), ;0
t
us ut s s h . Kí hiệu C
D
thể
hiện đạo hàm bậc phân số bậc
. Toán tử A là
một toán tử đóng, sinh ra một nửa nhóm liên
tục mạnh còn
F
là một hàm phi tuyến.
2.1. Biến đổi Laplace
Trong mục này, ta đưa ra định nghĩa và
một số tính chất cơ bản của phép biến đổi
Laplace và Laplace ngược.
Định nghĩa 1: Biến đổi Laplace của một
hàm ()tj với 0t> được xác định bởi
[]
0
( )() ()() (): () ,
,Re 0
st
L
sLts s e tdt
ss
jjj j
+¥ -
===
Î>
ò
Định nghĩa 2: Biến đổi Laplace ngược
được cho bởi công thức
[]
11 1
( )() ()(): () , 0.
2
i
sx
i
L g s L gs x e gsds
i
g
g
g
p
+¥
--
-¥
== >
ò
Từ định nghĩa, ta thấy các toán tử L và
1
L- là các toán tử tuyến tính và
11
;.
L
LLLggjj
--
==
Ta có các tính chất sau đây của biến đổi
Laplace. (Xem trong [2])
Tính chất 1. Nếu
L
ft fs, thì:
L
f' t sf s f 0 .
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1
112
Tổng quát ta có:



 
nnn1
n2 n1
Lf t sfs s f0
s
f' 0 ... f 0 .



Tính chất 2. Giả sử f là một hàm liên tục
từng khúc (hàm xung) với các điểm xung là
k
t(k N)
 và
L
ft f .
Khi đó:
 

stkkk
k
Lf't sfs f0
eftft.


Tính chất 3. Nếu
L
ft fs và
L
gt gs thì:
L
ft gt fsgs,
ở đây,
 
f
tgt là tích chập của
f
t và

g
t được xác định bởi công thức:
 
0
.
t
f
tgt ft g d


2.2. Công thức nghiệm của phương
trình vi phân bậc phân số có xung
Để xác định biến đổi Laplace của
C
D
t
,
ta đặt:
 
1,
1
g
tt

thì:


'.
C
D
tgtut

Ta có


1,Lg t
nên:


 








0
1
'
= 0 .
C
LDt gtut
Lg t Lut
ut u


Bây giờ, ta xét bài toán
1(3). Đặt:
 
,,.
t
tftutu
Với

0;1
, biến đổi Laplace cho
phương trình

1 , ta thu được:






1.' .
1Lu ALuL





Do đó:







1
1
10
1
.
k
t
k
k
Lu e I u
AL u L




 


 

Vậy:


 




1
1
1
1
1
00
.(4)




k
t
k
k
Lu I A g u
IA e I
IAL





Đặt
St
và
P
t,t ,
là các toán tử
thỏa mãn:


1
1,LS I A




1
1
..LP IA




Thay vào (4) ta có







1
1
00
..
k
t
k
k
Lu LS g u
LS e I L P L








Áp dụng tính chất 2 và 3 của biến đổi
Laplace ngược ta thu được công thức nghiệm
tích phân của bài toán (1) – (3):


 

0
1
0
00
+
,, ,0.
k
kk k
tt
t
ss
ut S t gu
SttIut
ts Ptsfsusudt





Gọi
W. là 0
C-nửa nhóm sinh bởi
A
,
biểu diễn cụ thể của S
và
P
được đưa ra
trong [3]:


0
W,Stx t xd




0
W,,
P
tx t xd x X



với
là hàm mật độ xác suất trên khoảng
0, ,
tức là,
0

và

0
1.d

Cụ thể,
được xác định bởi:
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1
113

11
1
1,




 

11
1
1
11sin.
!
nn
n
nn
n




3. KẾT LUẬN
Do đặc thù của đạo hàm bậc phân số nên
đối với hệ vi phân dạng
1(3), ta không
thể thu được các khái niệm nghiệm cổ điển
hay nghiệm mạnh thông thường. Khái niệm
nghiệm tích phân được xây dựng từ các biến
đổi Laplace là một khái niệm đủ tốt để ta
nghiên cứu các vấn đề tiếp theo cho hệ vi
phân dạng
1(3).
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] E.G. Bajlekova, (2001), Fractional Evolution
Equations in Banach Spaces, PhD Thesis,
Eindhoven University of Technology.
[2] L. Debnath, D. Bhatta, (2007) Integral
Transforms and their Applications(second
ed.), Chapman & Hall, CRC.
[3] R.N. Wang, D.H. Chena, T.J. Xiao,
Abstract fractional Cauchy problems with
almost sectorial operators, J. Differential
Equations, 252 (2012), 202-235.
[4] Y. Zhou, (2014) Basic Theory of Fractional
Differential Equations, World Scientific,
Singapore.