Động lực học chất lỏng nghiên cứu cơ sở lý thuyết chuyển động của chất lỏng và xây dựng các phương trình vi phân mô tả chuyển động này trong mối quan hệ với các ngoại lực tác dụng. Nhằm giúp các bạn hiểu hơn về vấn đề này, mời các bạn cùng tham khảo nội dung tài liệu chương 4 "Động lực học chất lỏng lý tưởng". Hy vọng đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn.
0µ= .
ðộng lực học chất lỏng nghiên cứu cơ sở lý thuyết chuyển ñộng của chất lỏng và xây dựng các phương trình vi phân mô tả chuyển ñộng này trong mối quan hệ với các ngoại lực tác dụng. Chất lỏng lý tưởng khi bỏ qua sự ảnh hưởng của tính nhớt, có nghĩa là hệ số nhớt
1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ðỘNG - PHƯƠNG TRÌNH EULER.
Xuất phát từ nguyên lý biến thiên ñộng lượng: Ngoại lực tác dụng lên một hệ thống chất lỏng bằng tốc ñộ thay ñổi ñộng lượng của khối chất lỏng ñó. Ta có:
(cid:1) F
−
grad p
=
(cid:1) du dt
1 ρ
(4.1)
−
=
F x
p ∂ ∂ x
1 ρ
Chiếu lên các trục tọa ñộ, phương trình (1.1) trở thành:
−
=
F y
−
=
F z
∂ p ∂ y ∂ p ∂ z
du x dt du y dt du z dt
1 ρ 1 ρ Phương trình (4.1) và (4.2) gọi là phương trình vi phân chuyển ñộng Euler của chất lỏng lý tưởng dạng vector và hình chiếu tương ứng.
(4.2)
,
y
z
2. BÀI TOÁN ðỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG
Trong trường hợp chất lỏng lý tưởng, không nén ñược, hệ phương trình Euler u u u và áp suất p. ðể giải hệ phương trình này ta sử dụng thêm , có 4 ẩn x phương trình liên tục:
=
+
+
=
0
(cid:1) divu
u ∂ z z ∂
u ∂ y y ∂
u ∂ x x ∂ ðể tích phân hệ 4 phương trình trên, ta thêm vào ñiều kiện ñầu và ñiều kiện biên của nó:
(4.3)
1
• ðiều kiện ñầu là ñiều kiện xác ñịnh các thành phần vận tốc và áp suất tại thời ñiểm ban ñầu t=0:
x
y
2
(4.4)
3
= = = =
) ( 0 ) ( 0 ( ) 0 ( ) 0
) ) ) )
( ( ( (
u u u z p
f x y z , , 1 x y z f , , , f x y z , x y z f , , 4 • ðiều kiện biên là ñiều kiện xác ñịnh biên giới môi trường lỏng ñang xét và biểu thị bằng ñiều kiện cho trên mặt vật và ñiều kiện khá xa vật rắn (coi ở ∞ ). ðiều kiện biên trên mặt vật rắn phải thỏa mãn ñiều kiện hạt lỏng không xuyên qua hoặc tách rời khỏi mặt vật rắn.
- Khi vật rắn S ñứng yên, dòng chất lỏng lý tưởng chuyển ñộng từ
vô cùng ñến bao quanh vật ta có:
S
(4.5)
u
= v n n S u ∞ 0 =
- Khi vật rắn S chuyển ñộng trong chất lỏng lý tưởng với vận tốc
(cid:1) v
(4.6)
∞
Sau khi sắp xếp trên phương x, ta ñược
−
=
+
+
+
+
u
−
−
u
−
=
F x
z
y
p ∂ ∂ x
u ∂ x ∂ t
∂ ∂ x
u ∂ x ∂ z
u ∂ z ∂ y
u ∂ y ∂ x
u ∂ x ∂ y
du x dt
1 ρ
2 u x 2
2 u y 2
2 u z 2
(4.7)
2
=
+
+
−
( u rot u
)
( u rot u
)
z
y
y
z
u ∂ x ∂ t
∂ ∂ x
u 2
2
(4.8)
grad p
grad
(cid:1) u
∧
−
=
=
+
+
(cid:1) ( rot u
)
(cid:1) u 2
1 ρ
Ta biến ñổi tương tự cho phương y và z. Cuối cùng ta ñược dạng Lamb – Gromeco của phương trình Euler: (cid:1) (cid:1) du F dt
(cid:1) u ∂ ∂ t Tính chất ñặc biệt của phương trình vi phân chuyển ñộng của chất lỏng lý tưởng dưới dạng Gromeco là tồn tại dạng hiển của vector xoáy của vận tốc.
Trong trường hợp tổng quát, phương trình vi phân chuyển ñộng của chất lỏng lý tưởng không tích phân ñược. ðể tích phân ñược, ta xét một số trường hợp ñặc biệt.
4. PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI CHO DƯỜNG DÒNG
Xét chất lỏng không nén ñược, chuyển ñộng không xoáy dưới tác dụng của lực có thế, nghĩa là
2
a. Tích phân Lagrange – Cauchy với chuyển ñộng có thế
ρ
=
=
0
(a)
const (cid:1) rot u (cid:1) = u grad ϕ (cid:1) = F grad U
với ϕ là hàm thế vận tốc, U là hàm thế lực khối ñơn vị. Khi ñó:
(b)
grad
grad
=
=
(
) ϕ
(cid:1) u ∂ ∂ t
∂ ∂ t
(c)
gradp
=
grad
)
1 ( ρ
∂ ϕ ∂ t p ρ
Thế (a), (b) và (c) vào phương trình (4.8), ta thu ñược
2
(4.9)
+
+
−
=
0
grad
U
p ρ
u 2
∂ ϕ t ∂
Tích phân (1.9) cho ta
2
(4.10)
+
+
−
( ) U C t =
p ρ
∂ ϕ t ∂
u 2 xác ñịnh từ ñiều kiện biên.
với
Khi chất lỏng chuyển ñộng dừng, (4.10) có dạng
2
(4.11)
+ − U Const = p ρ u 2
= −
(4.12)
+ =
z Const
gz 2 u p + g γ 2
2
, (4.11) trở thành Khi lực khối là trọng lực, U
H
=
+ – ñộ cao thủy lực trong toàn miền chất lỏng.
z
u p + g γ 2
2
Gọi
– ñộ cao ño tốc.
– ñộ cao ño áp.
u 2 g p γ z– ñộ cao ño mức. c. Phương trình Bernulli cho ñường dòng
3
Xét chất lỏng lý tưởng không nén ñược, chuyển ñộng dừng dưới tác dụng của lực có thế là trọng lực. Khi ñó ta có phương trình Bernulli cho một ñường dòng như sau:
2
(4.13)
2
+ = = z C const u p + g γ 2
– Tỷ ñộng năng: ñộng năng của 1 ñơn vị trọng lượng chất lỏng.
– Tỷ áp năng: khả năng áp suất có thể ñưa một ñơn vị trọng lượng chất lưu Ý nghĩa của năng lượng Bernulli u g 2 p γ
p γ
2
2
(4.14)
+
+
=
+
+
z
z 1
2
u 2 g 2
u 1 g 2
lên ñộ cao so với mặt phẳng xy.
p 1 γ ðây chính là ñịnh luật bảo toàn năng lượng của chất lỏng lý tưởng
z – Tỷ vị năng. Tổng ba ñại lượng gọi là tỷ năng. Xét hai ñiểm khác nhau trên 1 ñường dòng, ta có p 2 γ
z
d
S
(cid:1) r
y
0
x
5. ðỊNH LÝ ðỘNG LƯỢNG – ðỊNH LÝ MOMEN ðỘNG LƯỢNG
Xét một thể tích hữu hạn V ñược bao quanh bởi mặt kín S trong chất lỏng ñang chuyển ñộng. Mặt kín S bao quanh thể tích hữu hạn gọi là mặt kiểm soát. Thể tích V gọi là thể tích kiểm soát. a. ðịnh lý ñộng lượng ñối với thể tích chất lỏng hữu hạn
(cid:1) K
udVρ= ∫∫∫
V
ðộng lượng của khối chất lỏng chuyển ñộng: (cid:1)
n
(4.15)
(cid:1) udV ρ
(cid:1) e F k
= ∑
k
= 1
V
n
∫∫∫ )
dV
(cid:1) ρ uu dS n
(cid:1) e F k
∑
(cid:2) ∫∫
∫∫∫
d dt (cid:1) ( ρ u t ∂
k
= 1
S
V
∂ = + ⇒
(cid:1) nu là hình chiếu của u sát.
4
lên phương pháp tuyến ngoài của mặt S tại ñiểm khảo
b. ðịnh lý mômen ñộng lượng ñối với thể tích chất lỏng hữu hạn
(cid:1) r
(
(cid:1) ) u dVρ
(cid:1) L 0
∫∫∫
V
n
(4.16)
Mômen ñộng lượng ñối với tâm 0: = ∧
∧
(cid:1) r
(
(cid:1) ) u dV ρ
(cid:1) (cid:1) ( e m F 0 k
ðịnh lý
= ∑
d dt
k
= 1
V
8.8 /
l s
Q
=
ðể ño vận tốc của dòng nước, người ta ñặt vào một ống pito AD hình chữ U có chứa thủy ngân (hình vẽ) sao cho ñầu A hướng về dòng tới của dòng chảy và ñầu B hướng vuông góc với dòng tới. Người ta ño ñộ chênh cột thủy ngân trong ống là h. Ví dụ 2.
5
Bỏ qua tổn thất năng lượng, xác ñịnh ñường kính d2 của mặt cắt co hẹp của ống ñể khi cho một lưu lượng nước qua ống là thì nước trong ống ñặt tại mặt cắt co hẹp sẽ ñược hút lên một ñộ cao H=55cm. ðường kính ống tại
2
N m /
mm
p = 1 103920
= d 1 100
3
3
mặt cắt 1 là và áp suất tại ñó là . Nước có
γ =
9,81.10
/N m
6
trọng lượng riêng là .
