Chương 3
ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN QUAY
3.1 Phương trình cơ bản của vật rắn quay
3.1.1 Mô men lực:
a. Tác dụng của lực trong chuyển động quay:
Lực tác dụng lên vật rắn tại điểm M làm cho vật rắn quay xung quanh trục
Δ.(hình 3-1).
F
G
Ta phân tích ra các thành phần như hình vẽ: F
G
tn221 FFFFFF
G
G
G
G
G
G
++=+=
trong đó:
2
F
G
không gây ra chuyển động quay.
không gây ra chuyển động quay.
n
F
G
t
F
G
gây ra chuyển động quay.
Vậy: Trong chuyển động quay của vật rắn xung quanh 1 trục, chỉ những thành phần
lực tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm đặt mới có tác dụng thực sự.
F
2
F
b. Mô men của lực đối với trục quay:
Định nghĩa: Mô men của lực t
F
G
đối với trục quay Δ là một véc tơ xác định bởi: M
G
[
]
t
F.rM
G
G
G= (3-1)
M
G có phương trùng với trục quay Δ, có chiều thuận đối với chiều quay từ
r
sang t
F
G
,
có trị số:
M = r.Ft (3-2)
Nhận xét:
-
[
]
[
]
[
]
F.rF.rF.rM 1
t
G
G
G
G
G
G
G===
1
F
n
F
t
F
O
M
Hình 3-1
31
- 0M = khi
G0Ft=
G
hay t
F
G
//Δ.
- M
G là mô men của t
F
G
đối với điểm O.
3.1.2 Thiết lập phương trình cơ bản của chuyển động quay:
M
i là chất điểm thứ i bất kỳ của vật rắn nằm cách trục quay Δ một khoảng ri với
, có khối lượng là m
i
OM r=
GG
ii và chịu tác dụng củati
F
G
,gọiti
a
G
là gia tốc tiếp tuyến của
Mi (hình 3-2), ta có:
titii Fam
G
G
=
Nhân hữu hướng 2 vế của biểu thức trên với i
r
G
:
[]
[
]
itiitiii MF.ra.rm
G
G
G
G
G
== (3-3)
Ta có:
[]
[
]
[
]
βr)β.r(r)r.r(βr.β.ra.r 2
iiiiiiitii
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
G
=−==
Vậy (3-3) thành i
2
ii Mβrm
G
G
= (3-4)
Cộng các phương trình (3-4) vế với vế theo i, ta được:
∑
∑=
i
i
i
2
ii Mβrm
G
G
(3-5)
MM
i
i
G
G
=
∑là tổng mô men các ngoại lực tác dụng lên vật rắn đối với trục Δ.
β
Irm
i
2
ii =
∑ gọi là mô men quán tính của vật rắn đối với trục Δ.
Vậy: MβI
G
G= (3-6)
(3-6) là phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục.
Từ (3-6) suy ra:
I
M
β
G
G
= (3-7)
O
M
ati
rF
i
i
ti
M
i
Hình 3-2
32
Kết luận: Gia tốc trong chuyển động quay của vật rắn xung quanh một trục tỉ lệ với
tổng hợp mô men các ngoại lực và tỉ lệ nghịch với mô men quán tính của vật rắn đối
với trục.
3.1.3 Tính mô men quán tính:
Theo kết quả trên, ta có công thức tính mô men quán tính:
∑
=
i
2
ii rmI
Nếu khối lượng của vật rắn phân bố một cách liên tục thì ta áp dụng công thức:
∫
=dmrI 2 (3-8)
(tích phân trên toàn bộ vật rắn)
trong đó r là khoảng cách từ dm đến trục quay Δ.
Ví dụ 1: Tính mô men quán tính I của một thanh đồng chất chiều dài l, khối lượng M
đối với trục Δ0 đi qua trung điểm G cuả thanh và vuông góc với thanh.
Giải
Xét một phần tử của thanh khối lượng dm, chiều dài dx, cách G một đoạn x
(hình 3-3).
Mô men quán tính của dm đối với trục Δ0 là: dI = x2dm (1)
Vì thanh đồng chất nên: l
dx
M
dm =
o
G
Suy ra: dx
l
M
dm=
(1) thành: dxx
l
M
dI 2
=
Suy ra: 12
Ml
dxx
l
M
I
2
2
l
2
l
2== ∫
−
(2)
Ví dụ 2: Tính mô men quán tính I của một đĩa đồng chất bán kính R, khối lượng M đối
với trục Δ0 đi qua tâm 0 cuả đĩa và vuông góc với đĩa.
Giải
l
xdx
Hình 3-3
33
Chia đĩa thành nhiều phần tử hình vành khăn có bán kính là x, bề rộng của hình
vành khăn là dx (hình 3-4).
diện tích của hình vành khăn là:
dS = d(πx2) = 2πxdx
Áp dụng công thức (1) : dI = x2dm
Vì đĩa đồng chất nên:
22
dm dS 2 xdx 2xdx
MπRπRR
2
π
== =
suy ra: xdx
R
M
2dm 2
=
(1) thành dxx
R
2M
dI =
3
2
Suy ra: 2
MR
dxx
R
2M
dII
2
R
0
3
2=== ∫∫ (3)
Mô men quán tính của một số vật rắn đồng chất có hình dạng đối xứng:
- Vành tròn bán kính R có trục quay đi qua tâm O và vuông góc với mặt phẳng của
vành:
I = MR2
- Khối cầu bán kính R có trục quay đi qua tâm O:
2
2
I=
MR
5
- Mặt chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b có trục quay đi qua tâm O và vuông góc
với mặt phẳng của mặt chữ nhật:
22
1
I=
M(a +b )
12
Định lý Stene-Huygens:
Ở trên ta đã tìm được mô men quán tính của các vật rắn đối với trục đối xứng Δ0
(đi qua khối tâm G) của chúng. Trong nhiều trường hợp ta phải tìm mô men quán tính
xx
d
O
o
Hình 3-4
34
của các vật rắn đối với một trục bất kỳ. Khi đó ta có thể áp dụng định lý Stene-
Huygens, được phát biểu như sau:
Mô men quán tính của 1vật rắn đối với 1trục
Δ
bất kỳ bằng mô men quán tính
của vật đối với trục
Δ
0 song song với trục
Δ
đi qua khối tâm G cuả vật cộng với tích
của khối lượng M của vật rắn với bình phương khoảng cách d giữa 2 trục.
Xét trường hợp thanh đồng chất chiều dài l, khối lượng M, hai trục Δ0 và Δ cách
nhau một khoảng d,song song với nhau và cùng vuông góc với thanh (hình 3-5).
Khi đó mô men quán tính I của các vật rắn đối với trục Δ được xác định bởi công thức
(3-9):
I = I
0 + Md2 (3-9)
3.1.4 Ứng dụng
Bài toán: Hai vật có khối lượng lần lượt là m1=2kg, m2=1kg, được nối với nhau bằng
1 sợi dây vắt qua ròng rọc có khối lượng m=1kg (hình 3-6). Tìm:
1. Gia tốc của các vật.
2. Sức căng T1 và T2 của các dây treo.
Coi ròng rọc là 1 đĩa tròn, các dây nối không giãn có khối lượng rất nhỏ, ma sát
không đáng kể.
Giải
Các lực tác dụng vào m1, m2 và ròng rọc như hình (3-6):
Áp dụng phương trình cơ bản của cơ học chất điểm cho 2 vật m1 và m2:
(1)
amTP 111
G
GG =+
(2)
amTP 222
G
GG =+
Áp dụng phương trình cơ bản của vật rắn quay cho ròng rọc:
12
R.(T ' T ') Iβ
⎡⎤
+=
⎣⎦
G
GG G (3)
Chiếu (1), (2) và (3) lên chiều dương đã chọn, ta được:
P
1 - T1 = m1a (1')
T2 - P2 = m2a (2')
(T1' - T2').R =Iβ (3')
o
G
l
xdx
Δd
Hình 3-5
0
Δ
35