GIÁO TRÌNH SÓNG GIÓ ( VŨ THANH CA ) - CHƯƠNG 4

Ch−¬ng 4 nh÷ng lý thuyÕt sãng phi tuyÕn cho

vïng cã ®é s©u kh«ng ®æi

4.1 Giíi thiÖu chung

Kh«ng cã mét lêi gi¶i chÝnh x¸c nµo cho c¸c ph−¬ng tr×nh ®Çy ®ñ vÒ sãng ®−îc tr×nh

bµy trong ch−¬ng 3. §iÒu nµy lµ do c¸c sè h¹ng phi tuyÕn trong c¸c ®iÒu kiÖn biªn trªn bÒ

mÆt tù do. Trong c¸c xÊp xØ tuyÕn tÝnh, c¸c sè h¹ng nµy bÞ bá qua hoµn toµn. Tuy nhiªn,

trong c¸c lý thuyÕt phi tuyÕn th× chóng ®−îc tÝnh ®Õn b»ng c¸ch xÊp xØ. RÊt nhiÒu lý thuyÕt

vÒ sãng phi tuyÕn víi ph−¬ng ph¸p gi¶i quyÕt vµ møc ®é chÝnh x¸c cña viÖc xÊp xØ kh¸c

nhau ®· ®−îc ®−a ra. Trong ch−¬ng nµy, ta sÏ tr×nh bµy mét c¸ch ®Þnh tÝnh tæng quan vÒ

nh÷ng lý thuyÕt nµy.

Lý thuyÕt sãng phi tuyÕn ®Çu tiªn do Stokes (1847) ®−a ra. Lý thuyÕt cña «ng vÒ mÆt

nguyªn t¾c lµ cã thÓ ¸p dông cho tÊt c¶ c¸c ®é s©u. Tuy nhiªn, trong thùc tÕ, ®èi víi n−íc

n«ng th× kÕt qu¶ lý thuyÕt nµy chØ chÊp nhËn ®−îc khi mµ ®é cao sãng rÊt nhá. Mét lo¹i lý

thuyÕt thø hai lµ chØ ¸p dông cho c¸c ®iÒu kiÖn sãng n−íc n«ng. Nh÷ng lý thuyÕt nµy sÏ

®−îc tr×nh bµy trong môc 4.3.

C¸c lý thuyÕt võa nãi cho ta c¸c biÓu thøc gi¶i tÝch vÒ nhiÒu hÖ sè cÇn thiÕt cho viÖc

tÝnh to¸n sãng. C¸c lý thuyÕt sè trÞ cho ta thuËt to¸n ®Ó x¸c ®Þnh gi¸ trÞ cña c¸c hÖ sè cho

mét tËp hîp cho tr−íc c¸c ®iÒu kiÖn ®Çu vµo. Mét sè lý thuyÕt sè trÞ sÏ ®−îc tr×nh bµy trong

môc 4.4. VÊn ®Ò vÒ tÝnh ®óng ®¾n cña c¸c lý thuyÕt sÏ ®−îc xö lý trong môc 4.5.

4.2 Lý thuyÕt Stokes

Stokes (1847) dïng ph−¬ng ph¸p xÊp xØ liªn tiÕp, cã thÓ ®−îc m« t¶ s¬ qua nh− sau.

KÕt qu¶ cña lý thuyÕt tuyÕn tÝnh ®−îc dïng ®Ó t×m mét xÊp xØ thø nhÊt cho c¸c sè h¹ng

phi tuyÕn bÞ bá qua. ViÖc hiÖu chØnh c¸c kÕt qu¶ cña phÐp xÊp xØ thø nhÊt (tuyÕn tÝnh) cña

nghiÖm ®−îc tiÕn hµnh b»ng c¸ch tÝnh ®Õn ®iÒu trªn.

B»ng c¸ch dïng nghiÖm ®· ®−îc hiÖu chØnh lÇn thø nhÊt, mét xÊp xØ lÇn thø hai cho

c¸c sè h¹ng phi tuyÕn ®−îc tiÕn hµnh. Sau ®ã lµ xÊp xØ lÇn thø ba. NÕu nh− qu¸ tr×nh nµy héi

tô th× nã cã thÓ cø ®−îc tiÕp tôc cho ®Õn khi ®¹i l−îng hiÖu chØnh trë nªn ®ñ bÐ. ThËt ra th×

41

mét giíi h¹n thùc tÕ sÏ ®¹t ®−îc sím mµ kh«ng ph¶i tiÕn hµnh nhiÒu phÐp xÊp xØ v× c¸c biÓu thøc to¸n häc trë nªn rÊt dµi vµ rÊt khã t×m ra c¸c xÊp xØ bËc cao.

Nh− ®· tr×nh bµy ë trªn, c¸c biÓu thøc to¸n häc trong nh÷ng xÊp xØ bËc cao rÊt dµi. Bëi

vËy, ®Ó dÔ dµng h¬n trong viÖc ¸p dông nh÷ng lý thuyÕt nµy, ng−êi ta ®· chuÈn bÞ nh÷ng ®å

thÞ vµ b¶ng nh− lµ nh÷ng ®å thÞ vµ b¶ng cña Skjelbreia (1959) cho xÊp xØ bËc 3, trong ®ã tÊt

c¶ nh÷ng sè h¹ng cã bËc 3 hay nhá h¬n ®−îc gi÷ nguyªn vµ nh÷ng sè h¹ng kh¸c bÞ bá qua.

Trong phÇn tiÕp theo, mét sè kÕt qu¶ sÏ ®−îc tr×nh bµy chñ yÕu d−íi d¹ng ®Þnh tÝnh.

Mét sè ph−¬ng tr×nh cña lý thuyÕt bËc hai sÏ ®−îc tr×nh bµy víi môc ®Ých diÔn gi¶i.

4.2.1 MÆt c¾t bÒ mÆt n−íc

cos

S

sin

S

ζ

=

+

BiÓu thøc bËc 2 ®èi víi mÆt n−íc cã thÓ ®−îc viÕt nh− sau:

( ) S

ˆ ζ 1

ˆ ζ 2

(4.1)

a=ˆζ

trong ®ã:

1

cosh

kh

kh

2

)

2

ka

(4.2)

ˆ =ζ 2

1 2

( 2 + 2 sinh

cosh kh §iÓm S=0 ®−îc chän t¹i mét ®Ønh sãng. H×nh 4.1 tr×nh bµy mét ph¸c th¶o cña (4.1).

S

a cos

(4.3)

Mét sè h¹ng tuyÕn tÝnh ®iÓn h×nh lµ tû lÖ víi

S −

a sin ( t = ω

2

2

hay S cña dao ®éng mùc n−íc trong phÐp xÊp xØ tuyÕn tÝnh, vµ

2u ) a

)S

cos cos S a 2 + = thµnh phÇn phi tuyÕn bao gåm c¸c tÝch nh− lµ ( 2/1 gåm c¸c sè h¹ng tû lÖ víi

sin

S2

2a

3a

, trong ®ã a lµ biªn ®é )kx lµ pha. Bëi v× c¸c , xÊp xØ ®Çu tiªn cho c¸c sè h¹ng nµy bao ( 2 1 , vµ c¸c sè h¹ng t−¬ng tù víi . §iÒu nµy còng ¸p dông ®−îc cho hiÖu chØnh thø nhÊt cña xÊp xØ tuyÕn tÝnh cña nghiÖm chÝnh x¸c. TiÕp tôc theo c¸ch nµy, ta cã thÓ t×m ®−îc nh÷ng xÊp xØ liªn tiÕp cña nghiÖm chÝnh x¸c d−íi d¹ng nh÷ng sè h¹ng liªn tôc cña mét chuçi sè mò cña a (c¸c sè

,

h¹ng tû lÖ víi a, , v.v...). NÕu a lµ ®ñ nhá (®èi víi L vµ h), mçi sè h¹ng bËc cao sÏ nhá h¬n nhiÒu nh÷ng sè h¹ng bËc thÊp h¬n vµ nÕu nh− khi ®ã chuçi ®−îc kÕt thóc b»ng mét mét

vµi sè h¹ng th× ta cã thÓ t×m ®−îc mét xÊp xØ tiÖn lîi.

MÆt c¾t sãng d−êng nh− cã c¸c ®Ønh hÑp h¬n vµ nhän h¬n mÆt c¾t biÓu thÞ b»ng hµm

ˆζ

cosine, vµ bông réng h¬n vµ ph¼ng h¬n. HÖ qu¶ lµ mùc n−íc t¹i ®Ønh sãng trªn mùc biÓn

2

trung b×nh (MWL) cao h¬n mét nöa chiÒu cao sãng, víi gi¸ trÞ v−ît qu¸ lµ (tíi bËc 2).

§iÒu nµy quan träng cho viÖc tÝnh to¸n lùc sãng t¸c ®éng lªn c¸c c«ng tr×nh ë n−íc n«ng hay lµ cho viÖc x¸c ®Þnh ®é cao cÇn thiÕt cña kho¶ng kh«ng gi÷a mÆt d−íi cña cÇu tµu hay

42

bÕn mµ mùc MWL (cßn ®−îc gäi lµ “kho¶ng kh«ng”).

1 ζζ + 2 1ζ

2ζ

MWL

H×nh 4.1 MÆt c¾t bÒ mÆt n−íc khi cã sãng xÊp xØ b»ng lý thuyÕt bËc 2 cña Stokes

TÝnh bÊt ®èi xøng nh− ë trªn th−êng ®−îc quan s¸t thÊy râ rµng trong c¸c sãng thùc.

MÆt c¾t thùc ®o d−êng nh− ®−îc dù b¸o rÊt tèt b»ng lý thuyÕt Stokes bËc 2 vµ bËc 3 cho sãng

n−íc s©u, nh−ng sù phï hîp lµ kÐm h¬n cho c¸c ®iÒu kiÖn n−íc n«ng. Tõ lý thuyÕt cã thÓ rót

ra mét chØ thÞ cho qu¸ tr×nh nµy, thÝ dô nh− tû sè cña biªn ®é bËc hai vµ biªn ®é bËc nhÊt cÇn

ph¶i nhá ®Ó ph−¬ng ph¸p tiÕp cËn Stokes lµ cã gi¸ trÞ. T¹i n−íc s©u, tû sè nµy lµ (xem c¸c

kh

ka

≅

≅

ph−¬ng tr×nh 4.2 vµ 4.3):

(4.4) (

)1>>

1 2

π 2

H L

ˆ ζ 2 ˆ ζ 1

Tû sè nµy th−êng lµ nhá (lín nhÊt lµ vµo kho¶ng 0.2) v× r»ng sãng vì giíi h¹n ®é dèc

cã thÓ cã cña sãng. MÆt kh¸c t¹i n−íc s©u h¬n tû sè trªn trë thµnh (xem c¸c ph−¬ng tr×nh 4.2

3

−

2

−

kh

ka

10

≅

≅

≅

×

vµ 4.3):

(4.5) (

)1<<

( kh

)

3 4

2 HL 3 h

2 HL 3 h

3 2 32 π

ˆ ζ 1 ˆ ζ 2

ˆ ζ ≤ 2

ˆ2.0 ζ 1

20

≤

2 HL 3 h

NÕu ta yªu cÇu th× bÊt ®¼ng thøc sau sÏ ph¶i ®−îc tháa m·n:

2 HL 3 h

§©y lµ mét yªu cÇu rÊt chÆt chÏ vÒ H/L v× r»ng L>>h t¹i n−íc n«ng. Tû sè th−êng

®−îc gäi lµ sè Ursell, ký hiÖu bëi U : r

U r =

2 HL 3 h

43

(4.6)

rU

4/ˆ

NÕu lµ qu¸ lín th× chuçi Stokes ph©n kú. Mét chØ thÞ cho ®iÒu nµy lµ sù xuÊt hiÖn

ˆ ζζ > 1

2

cña mét cùc ®¹i thø hai t¹i bông sãng khi mµ nh− ®−îc ph¸c th¶o trªn h×nh Fig.

4.2. Khi mµ cùc ®¹i thø hai t¹i bông sãng kh«ng ®−îc quan tr¾c ë sãng thùc t¹i n−íc n«ng

th× sù xuÊt hiÖn cña nã trong c¸c kÕt qu¶ tÝnh to¸n chØ ra r»ng lý thuyÕt ®−îc sö dông trong

c¸c ®iÒu kiÖn v−ît qu¸ giíi h¹n ¸p dông cña nã.

H×nh 4.2 Cùc ®¹i thø hai t¹i bông sãng do lý thuyÕt Stokes bËc 2 dù b¸o t¹i n−íc

rÊt n«ng.

C¸c ®o ®¹c mùc n−íc khi cã sãng lín t¹i n−íc n«ng cho thÊy c¸c profile mÆt n−íc víi

bông dµi vµ ph¼ng cïng víi ®Ønh hÑp vµ nhän, nh− chØ ra trªn h×nh 4.3.

NÕu profile nµy ®−îc xÊp xØ b»ng mét tæng c¸c thµnh phÇn ®iÒu hßa d¹ng cosin (cos S, cos 2S v.v.) th× cÇn cã mét sè l−îng lín c¸c thµnh phÇn. §iÒu nµy cã nghÜa lµ chuçi cÇn ph¶i

®−îc tÝnh t¹i mét bËc rÊt cao. §©y lµ mét nhiÖm vô rÊt khã kh¨n vµ mÊt thêi gian, vµ do vËy

trong thùc tÕ, kh«ng nªn ¸p dông chuçi Stokes trong c¸c ®iÒu kiÖn ®ã, thËm chÝ c¶ khi mµ nã

kh«ng ph©n kú.

H×nh 4.3 Profile mÆt n−íc khi cã sãng ®o ®−îc t¹i n−íc n«ng.

44

4.2.2 VËn tèc vµ quü ®¹o h¹t n−íc

Trong xÊp xØ phi tuyÕn, vËn tèc h¹t n−íc kh«ng cßn lµ ®èi xøng qua gi¸ trÞ trung b×nh

(b»ng 0 nÕu chØ cã sãng). VËn tèc n»m ngang cña h¹t n−íc cã d¹ng bÊt ®èi xøng gÇn gièng

víi mÆt n−íc. V× vËy, vËn tèc cã gi¸ trÞ tuyÖt ®èi lín h¬n bªn d−íi ®Ønh so víi bªn d−íi bông.

§iÒu nµy ¶nh h−ëng m¹nh tíi viÖc tÝnh to¸n ¸p lùc sãng lªn c«ng tr×nh, ®Æc biÖt lµ trong c¸c

®iÒu kiÖn n−íc n«ng. C¸c sè h¹ng bËc cao trong c¸c chuçi vËn tèc h¹t n−íc gi¶m nhanh h¬n

theo kho¶ng c¸ch d−íi bÒ mÆt so víi c¸c sè h¹ng bËc thÊp. VËn tèc ë gÇn ®¸y ®−îc dù b¸o

kh¸ tèt b»ng lý thuyÕt tuyÕn tÝnh.

Trong lý thuyÕt tuyÕn tÝnh, quü ®¹o h¹t n−íc lµ ®èi xøng c¶ theo ph−¬ng ®øng vµ

ph−¬ng ngang. Trong c¸c lý thuyÕt phi tuyÕn, kh«ng thÓ bá qua sù bÊt ®èi xøng cña vËn tèc

h¹t n−íc. V× vËy quü ®¹o h¹t n−íc kh«ng cßn lµ ®èi xøng. Sau mét chu kú sãng th× h¹t n−íc

tiÕn vÒ phÝa tr−íc mét chót, nh− vÏ trªn h×nh 4.4.

H×nh 4.4 Quü ®¹o h¹t n−íc xÊp xØ b»ng c¸c lý thuyÕt sãng phi tuyÕn

VËy, sãng g©y ra vËn chuyÓn khèi l−îng ®èi víi hÖ quy chiÕu cña ta. Mét c¸ch kh¸c lµ

ta cã thÓ chän mét hÖ quy chiÕu sao cho vËn tèc vËn chuyÓn khèi l−îng tæng céng d− tÝch

ph©n theo ph−¬ng th¼ng ®øng b»ng 0. Trong tr−êng hîp nµy c¸c h¹t n−íc trong phÇn thÊp

cña profile th¼ng ®øng sÏ cã vËn tèc d− ng−îc l¹i vµ chØ cã c¸c h¹t n−íc ë trªn lµ cã vËn tèc

0z

kz 02

kh

1>>

ae

ka ω=

d− theo h−íng sãng. Víi ®é chÝnh x¸c bËc hai, vËn tèc trung b×nh thêi gian cña mét h¹t n−íc t¹i mét ®é cao trung b×nh trong c¸c ®iÒu kiÖn sãng n−íc s©u ®−îc cho bëi:

( zu

)

0

(4.7)

Víi n−íc trung b×nh vµ n−íc n«ng, lý thuyÕt Stokes cho dù ®o¸n kh«ng chÝnh x¸c vÒ

vËn tèc vËn chuyÓn vËt chÊt. §iÒu nµy lµ do ¶nh h−ëng cña ®é nhít (chØ giíi h¹n trong líp

biªn máng gÇn ®¸y). Longuet-Higgins (1953) ®· ph©n tÝch kü cµng vÒ tèc ®é vËn chuyÓn vËt

chÊt do sãng g©y ra tÝnh theo c¸c lý thuyÕt sãng kh¸c nhau vµ cã tÝnh ®Õn ¶nh h−ëng cña ®é

nhít.

4.2.3 Mèi liªn hÖ ph©n t¸n vµ vËn tèc pha

45

Trong xÊp xØ Stokes bËc 2, mèi liªn hÖ ph©n t¸n gièng nh− trong lý thuyÕt tuyÕn tÝnh.

Trong lý thuyÕt bËc 3, xuÊt hiÖn mét thµnh phÇn hiÖu chØnh phi tuyÕn tû lÖ víi b×nh ph−¬ng

®é dèc sãng. HiÖu øng cña nã lµ lµm t¨ng vËn tèc pha. Do vËy, vËn tèc pha t¹i mäi ®é s©u

kh«ng chØ phô thuéc vµo tÇn sè mµ cßn phô thuéc vµo biªn ®é. Tuy r»ng hiÖu chØnh lµ t−¬ng

®èi nhá nh−ng nã thÓ trë nªn ®¸ng kÓ khi mµ kh¸c biÖt trong vËn tèc pha lµ ®¸ng kÓ, nh−

trong tr−êng hîp nhãm sãng.

4.2.4 Hµm l−îng n¨ng l−îng vµ vËn chuyÓn n¨ng l−îng

2a

Trong xÊp xØ bËc thÊp nhÊt, hµm l−îng n¨ng l−îng (E) vµ tèc ®é vËn chuyÓn n¨ng

4a

l−îng lµ tû lÖ víi . HiÖu chØnh phi tuyÕn cho ®¹i l−îng nµy bao gåm c¸c thµnh phÇn tû lÖ

2

víi v.v... N¨ng l−îng tæng céng cña sãng cã ®é cao nµo ®ã trë nªn nhá h¬n gi¸ trÞ tÝnh theo lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh. Cã thÓ thÊy ®−îc ®iÒu nµy mµ kh«ng cÇn c¸c tÝnh to¸n chi

( 2/1

) ζρg

2

2

2 =ζ

2 / Hζ

tiÕt vÒ thÕ n¨ng trung b×nh, b»ng víi . Víi c¸c sãng h×nh sin,

( 2/1

) 2 a =

( 8/1

) H

. Tû sè gi¶m khi mµ profile trë nªn nhän h¬n.

fE

T¹i n−íc s©u, c¸c hiÖu chØnh phi tuyÕn cho E vµ lµ ®¸ng kÓ cho c¸c sãng gÇn vì.

Chóng lµ quan träng trong n−íc n«ng, nh−ng trong tr−êng hîp ®ã chuçi Stokes lµ kh«ng phï

hîp ngo¹i trõ c¸c gi¸ trÞ nhá cña ®é cao sãng t−¬ng ®èi, nh− ®· th¶o luËn ë trªn.

4.3 Lý thuyÕt Cnoidal

Mét c¸ch tiÕp cËn kh¸c cho sãng phi tuyÕn t¹i n−íc n«ng ®· ®−îc Boussinesq ®−a ra.

C¸c ph−¬ng tr×nh Boussinesq m« t¶ sãng t¹i n−íc n«ng cã tÝnh ®Õn mét chót ¶nh h−ëng cña

¸p suÊt phi thuû tÜnh x¶y ra d−íi ®Ønh sãng khi mµ ®é cong lµ kh¸ lín thËm chÝ nÕu b−íc

sãng lµ lín h¬n nhiÒu so víi ®é s©u. V× vËy, lêi gi¶i cña c¸c ph−¬ng tr×nh Boussinesq cã mét

sè tÝnh chÊt cña sãng dµi vµ mét sè tÝnh chÊt cña sãng ng¾n.

Lêi gi¶i cña c¸c ph−¬ng tr×nh Boussinesq biÓu thÞ c¸c sãng chu kú cã d¹ng kh«ng ®æi

®−îc diÔn t¶ b»ng mét hµm cã sö dông ký hiÖu "cn". V× vËy lêi gi¶i ®· ®−îc gäi lµ sãng

cnoidal vµ lý thuyÕt t−¬ng øng víi nã lµ lý thuyÕt cnoidal. Thùc ra lµ hiÖn nay mét tiÕp cËn

kh¸c vµ mét møc ®é xÊp xØ kh¸c ®· ®−îc sö dông nh−ng do lý do nguyªn nh©n lÞch sö, lý

thuyÕt trªn vÉn ®−îc gäi lµ lý thuyÕt cnoidal. Trong phÇn sau ta sÏ m« t¶ c¸c kÕt qu¶ cña

46

phÐp xÊp xØ do Skovgaard vµ céng sù (1974) sö dông. RÊt nhiÒu th«ng sè sãng do c¸c t¸c gi¶ x¸c ®Þnh theo lý thuyÕt Cnoidal ®−îc tr×nh bµy trong b¶ng 4.1.

h, H vµ T X¸c ®Þnh: L, c

Tham sè ®Þa ph−¬ng Cho:

B¶ng 4.1 C¸c th«ng sè sãng x¸c ®Þnh tõ lý thuyÕt Cnoidal

H−íng dÉn tÝnh sãng Cnoidal 1 1.1

2 N−íc n«ng Cho: Ha vµ T (hoÆc La) t¹i ®é s©u H X¸c ®Þnh: Hb vµ Lb t¹i ®é s©u hb

2

TÝnh

L

T

=

0

g 2 π

(= 1.561

T2 trong hÖ SI), KiÓm tra*

TÝnh L0 vµ La sö dông 1.1 hoÆc T vµ L0 sö dông 1

TÝnh

H/h vµ

hgT

/

T×m X¸c ®

L/h tõ b¶ng 2 vµ sau ®ã tÝnh L, Þnh c=L/T

H

TÝnh Ua vµ t×m Ba tµ b¶ng 1 4 /

=

(

) 2/1

a

LLBH a 0

h, H vµ L X¸c ®Þnh: T, c

1.2

TÝnh a 0 TÝnh hb/L0 vµ H0/L0 KiÓm tra* X¸c ®Þnh Hb/H0 tõ b¶ng 3 vµ sau ®ã tÝnh Hb X¸c ®Þnh Lb sö dông 1.1

X¸c ®

Þnh

gh

AH

h

/

=

+

Cho: KiÓm tra* A tõ b¶ng 1 T×m ( c

( ) 2/1 ) 1 vµ T=L/c * NÕu h/L0 > 0.10 (h/L > 0.13)

Lý thuyÕt Cnoidal kh«ng ¸p dông ®−îc, sö dông sãng d¹ng sin cho vïng n−íc s©u nµy

C«ng thøc c¬ b¶n

§¹i l−îng (hÖ SI)

B¶n tãm t¾t c¸c ph−¬ng tr×nh lý thuyÕt Cnoidal (Skovgaard vµ céng sù, 1974)

/

0 ≤Lh

47

Tr−íc khi ®i vµo chi tiÕt, ta h·y ®−a ra hai nhËn xÐt chung. Thø nhÊt lµ lý thuyÕt 1 cnoidal vÒ b¶n chÊt chØ giíi h¹n cho ®iÒu kiÖn n−íc n«ng víi tiªu chuÈn

1 2

ghT

8

≥

)

3

2 / h

U r = HL ( gi¸ trÞ nµo ®ã cña

) lµ tho¶ m·n. Thø hai, mét th«ng sè quan träng trong lý thuyÕt lµ sè Ursell (hay (

∞→rU

0→rU

rU

0

/ →hH

, ph−¬ng tr×nh 4.6). C¸c hµm to¸n häc d¹ng cnoidal m« t¶ nghiÖm cho mét . ®−îc gi¶m xuèng cho hai tr−êng hîp giíi h¹n: vµ

∞→hL /

Tr−êng hîp ®Çu tiªn t−¬ng øng víi (v× r»ng L/h>> 1 trong lý thuyÕt cnoidal). C¸c

kÕt qu¶ trong tr−êng hîp nµy trë thµnh c¸c kÕt qu¶ cña lý thuyÕt sãng tuyÕn tÝnh cho vïng (v× H/h lµ giíi h¹n; thùc n−íc n«ng. Tr−êng hîp giíi h¹n thø hai t−¬ng øng víi tÕ lµ ®· gi¶ thiÕt r»ng H/h<< 1). §iÒu nµy dÉn tíi tªn gäi lµ sãng c« lËp.

4.3.1 Profile mÆt n−íc

rU

(xem h×nh 4.5).

rU

, profile mÆt n−íc cã d¹ng h×nh sin. Khi gi¸ trÞ Víi t¨ng lªn, ®Ønh sãng trë nªn Profile mÆt n−íc p dù b¸o theo lý thuyÕt cnoidal chØ phô thuéc vµo 0→rU

nhän h¬n vµ bông sãng trë nªn dµi h¬n vµ ph¼ng h¬n. Nãi chung c¸c profile dù b¸o phï hîp

tèt víi c¸c profile ®o ®¹c ®−îc.

x

−

crest

x L

troughζζ − H

H×nh 4.5 C¸c profile mÆt n−íc dù b¸o theo lý thuyÕt sãng Cnoidal (Skovgaard

vµ céng sù, 1974).

4.3.2 VËn tèc vµ quü ®¹o h¹t láng

Trong lý thuyÕt sãng cnoidal bËc nhÊt, vËn tèc n»m ngang cña h¹t láng lµ gÇn nh− tû lÖ víi mùc mÆt n−íc vµ thay ®æi theo kho¶ng c¸ch tõ ®¸y theo mét ®−êng parabol. Cã thÓ tham

minu

maxu

48

kh¶o Skovgaard vµ céng sù (1974) vÒ c¸c c«ng thøc víi vµ (B¶ng 4.1).

1

gh , h¬i gi¶m h¬n mét

4.3.3 VËn tèc pha

)2

VËn tèc pha trong lý thuyÕt sãng cnoidal cã bËc biªn ®é lµ (

chót v× gi¸ trÞ giíi h¹n cña tû sè gi÷a b−íc sãng vµ ®é s©u (hiÖu øng phô thuéc vµo tÇn sè

nh− trong lý thuyÕt cho sãng ng¾n) vµ t¨ng lªn mét chót do ¶nh h−ëng cña tÝnh h÷u h¹n cña

biªn ®é (hiÖu øng phi tuyÕn).

4.3.4 Hµm l−îng n¨ng l−îng vµ tèc ®é vËn chuyÓn n¨ng l−îng

8/2

2 H=ζ

N¨ng l−îng thÕ trung b×nh trªn mét ®¬n vÞ diÖn tÝch (PE, ph−¬ng tr×nh 3.103) lµ tû lÖ

2ζ . Víi mét mÆt sãng d¹ng h×nh sin,

2

2 / H

B ζ=

thuËn víi . Víi mÆt sãng cnoidal víi d¹ng

rU

ζρg

mÆt n−íc phô thuéc vµo , tû sè lµ mét hµm gi¶m cña . rU

/ζ= c

cho bëi xÊp xØ tÜnh häc Víi phÐp xÊp xØ bËc thÊp nhÊt, tèc ®é vËn chuyÓn n¨ng l−îng trong sãng cnoidal ®−îc p =+ , vµ u bëi biÓu thøc tuyÕn tÝnh cho

+p . §iÒu ®ã cho

0

T

2

2

E

udzdt

c

=

=

=

gc ζρ

gHB ρ

tÝnh tõ (3.111), víi u h sãng dµi

f

+

(4.8)

∫ ∫

1 T

2/ p 2/

T

h − −

ζρg t¹i c¸c

+p

Thùc ra, kh«ng ph¶i lµ thuû tÜnh vµ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña nã nhá h¬n

®iÓm thÊp h¬n MWL. V× vËy, (4.8) tÝnh qu¸ tèc ®é vËn chuyÓn n¨ng l−îng.

4.4. C¸c lý thuyÕt sè

C¸c lý thuyÕt ë trªn cung cÊp c¸c biÓu thøc gi¶i tÝch cho c¸c hÖ sè xuÊt hiÖn trong c¸c

chuçi sè mò gi¶ thiÕt víi bËc chÝnh x¸c cho tr−íc. Sù phøc t¹p cña c¸c biÓu thøc t¨ng nhanh

víi sù gia t¨ng cña bËc chÝnh x¸c. V× lý do ®ã mµ c¸c xÊp xØ gi¶i tÝch bËc cao lµ kh«ng kh¶

thi. Tuy nhiªn cã thÓ ®−a ra c¸c thuËt to¸n ®Ó tÝnh c¸c hÖ sè nµy b»ng ph−¬ng ph¸p sè trÞ.

Theo c¸ch nµy, cã thÓ dïng c¸c xÊp xØ cã ®é chÝnh x¸c rÊt cao (kho¶ng 100) ®Ó më réng

ph¹m vi ¸p dông cña lý thuyÕt vµ t¨ng c−êng ®é chÝnh x¸c. C¸c lý thuyÕt thuéc d¹ng nµy

®−îc gäi lµ c¸c lý thuyÕt sè trÞ. CÇn nhËn thÊy r»ng tªn nµy kh«ng cã nghÜa lµ lêi gi¶i sè trÞ

cho c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n c¬ b¶n, thÝ dô nh− b»ng ph−¬ng ph¸p sai ph©n h÷u h¹n hay phÇn tö h÷u h¹n.

49

Mét lý thuyÕt ®−îc biÕt ®Õn rÊt réng r·i lµ lý thuyÕt hµm dßng do Dean (1965) x©y

dùng. ViÖc sö dông nã kh¸ dÔ dµng nhê viÖc xuÊt b¶n c¸c b¶ng (Dean, 1974). C¸c b¶ng nµy

®· ®−îc x©y dùng ®Ó ¸p dông cho kü thuËt. Ngoµi c¸c th«ng sè kh¸c, nã chøa sè liÖu vÒ vËn

/ Lh 0

HH /

4/3,2/1,4/1

tèc pha, vËn tèc h¹t láng, gia tèc vµ ¸p lùc còng nh− moment sãng trªn c¸c h×nh trô ®øng. trong kho¶ng tõ 0.02 tíi C¸c ®¹i l−îng nµy ®−îc lËp b¶ng cho 10 ®é s©u t−¬ng ®èi 10 (

max =

maxH

2) vµ 4 ®é cao sãng t−¬ng ®èi ( vµ 1, trong ®ã lµ ®é cao cùc ®¹i

cña sãng cã b−íc sãng hay chu kú cho tr−íc t¹i mét ®é s©u cho tr−íc).

Chaplin (1980) ®· x©y dùng mét phiªn b¶n n÷a cña lý thuyÕt hµm dßng cã ®é chÝnh

/ HH

HH /

1

x¸c cao h¬n cho c¸c sãng rÊt dèc. ¤ng ®· so s¸nh kÕt qu¶ cña m×nh vµ c¸c kÕt qu¶ cña Dean

max =

max

, nh−ng víi (1974) víi kÕt qu¶ cña lý thuyÕt chÝnh x¸c cña Cokelet (xem d−íi ®©y). C¸c gi¸ trÞ tÝnh theo c¸c b¶ng cña Dean lµ chÝnh x¸c víi ba gi¸ trÞ nhá cña cã

mét sù sai kh¸c lín (cô thÓ lµ sai sè 30% trong vËn tèc h¹t n−íc cùc ®¹i ).

Rienecker vµ Fenton (1981) ®· ®−a ra nh÷ng c¶i tiÕn vÒ lý thuyÕt hµm dßng vµ mét

thuËt to¸n ®Ó tÝnh tËp hîp c¸c hÖ sè b»ng mét s¬ ®å lÆp hiÖu qu¶ víi tèc ®é héi tô nhanh.

Mét lý thuyÕt sè trÞ kh¸c do Cokelet (1977) ®Ò xuÊt ®· sö dông mèi liªn hÖ gi÷a c¸c hÖ

sè cña c¸c bËc kh¸c nhau ®Ó më réng lêi gi¶i tíi c¸c bËc rÊt cao. Thªm vµo ®ã, Cokelet

dïng mét kü thuËt to¸n ®Æc biÖt ®Ó c¶i tiÕn c¸ch lÊy tæng cña c¸c chuçi ®−îc t¹o thµnh. B»ng

c¸ch ®ã «ng ®· cã thÓ tÝnh to¸n rÊt nhiÒu ®Æc tÝnh cña sãng víi ®é chÝnh x¸c tíi hai ch÷ sè

sau dÊu phÈy, thËm chÝ cho sãng cao nhÊt cã thÓ cã nh− ®· ®−îc kiÓm chøng b»ng c¸ch so

s¸nh víi c¸c lý thuyÕt ®· ®−îc x©y dùng ®éc lËp cho tr−êng hîp ®Æc biÖt nµy. Cã vÎ nh− tõ

khÝa c¹nh thùc tÕ, c«ng tr×nh cña Cokelet cã thÓ ®−îc xem lµ cho mét lêi gi¶i chÝnh x¸c vÒ

c¸c vÊn ®Ò cæ ®iÓn nh− c¸c sãng träng lùc bÒ mÆt phi tuyÕn vµ kh«ng xo¸y. KÕt qu¶ cña «ng

cã thÓ ®−îc dïng nh− tiªu chuÈn ®Ó ®¸nh gi¸ c¸c lý thuyÕt xÊp xØ kh¸c nhau. Cokelet ®·

tr×nh bµy c¸c b¶ng vÒ c¸c tÝnh chÊt ®éc lËp vÒ pha vµ trung b×nh cña sãng mµ kh«ng ph¶i lµ

c¸c gi¸ trÞ tøc thêi nh− vËn tèc vµ gia tèc h¹t láng. ViÖc sö dông lý thuyÕt cña «ng vµo thùc

tÕ kü thuËt yªu cÇu ph¶i viÕt mét sè ch−¬ng tr×nh m¸y tÝnh kh¸ phøc t¹p.

Cuèi cïng lµ cÇn ph¶i kÓ ®Õn c«ng tr×nh cña Williams (1985) ng−êi ®· ph¸t triÓn mét

c«ng thøc thay thÕ cã kh¶ n¨ng héi tô nhanh ngay c¶ víi nh÷ng sãng cao nhÊt. C¸c kÕt qu¶

cña «ng, kÓ c¶ ¸p suÊt thay ®æi theo pha vµ vËn tèc, gia tèc vµ dÞch chuyÓn n»m ngang vµ

th¼ng ®øng ®· ®−îc lËp thµnh b¶ng.

4.5 Giíi h¹n ¸p dông cña c¸c lý thuyÕt kh¸c nhau

Tr−íc khi t×m ra lêi gi¶i cã ®é chÝnh x¸c cao, mét c©u hái th«ng th−êng nhÊt lµ c¸c xÊp

xØ bËc thÊp (nh− Stokes bËc 1, 2 hay 3 hay cnoidal bËc 1 hay 2) lµ ¸p dông ®−îc cho mét

50

phèi hîp cho tr−íc cña ®é dèc sãng vµ ®é s©u t−¬ng ®èi. V× vËy, ng−êi ta ®· cè g¾ng x¸c lËp

giíi h¹n ¸p dông cña c¸c xÊp xØ bËc thÊp.

Tõ quan ®iÓm häc thuËt, viÖc x¸c lËp miÒn ¸p dông lµ mét viÖc lµm kh«ng phï hîp sau

khi Cokelet vµ nh÷ng ng−êi kh¸c ®· t×m ®−îc lêi gi¶i bËc cao hÇu nh− lµ chÝnh x¸c.

Kh«ng cã mét c©u tr¶ lêi duy nhÊt cho c©u hái lµ xÊp xØ bËc thÊp nµo cña mét tËp hîp c¸c xÊp xØ cho tr−íc lµ ¸p dông phï hîp nhÊt cho mét phèi hîp cho tr−íc cña H/L vµ h/L.

C©u tr¶ lêi phô thuéc vµo c¸c th«ng sè dïng ®Ó so s¸nh (vËn tèc pha, ®é cao cùc ®¹i cña ®Ønh

sãng v.v...).

Tõ quan ®iÓm thùc tÕ, viÖc quyÕt ®Þnh dïng xÊp xØ nµy hay xÊp xØ kia phô thuéc kh«ng

chØ vµo ®é chÝnh x¸c cã thÓ ®¹t ®−îc mµ cßn phô thuéc vµo ®é chÝnh x¸c mµ bµi to¸n thùc tÕ

yªu cÇu vµ c«ng søc ph¶i bá ra. Trong mèi liªn hÖ nµy, cÇn nhËn thÊy r»ng viÖc chØ chó ý tíi

®é chÝnh x¸c vµi phÇn tr¨m ch¼ng cã ý nghÜa ®¸ng kÓ nÕu c¸c sè liÖu ®Çu vµo cã sai sè

kho¶ng 10% hay 20%.

V× r»ng cã rÊt nhiÒu lý thuyÕt nªn khi xem xÐt kh¶ n¨ng còng nh− c«ng søc cã thÓ bá

ra cña ng−êi lµm nghiÖp vô, kh«ng thÓ ®−a ra mét nhËn xÐt chung nµo vÒ xÊp xØ nµo lµ xÊp

xØ tèt nhÊt. Tuy nhiªn, c¸c nhËn xÐt sau cã thÓ ®−îc xem nh− lµ h−íng dÉn chung:

Mét xÊp xØ bËc cao kh«ng nhÊt thiÕt lµ tèt h¬n mét xÊp xØ bËc thÊp v× r»ng chuçi sö

dông cã thÓ ph©n kú. VÝ dô nh− víi c¸c gi¸ trÞ cña sè Ursell lín, lý thuyÕt Stokes bËc 1 (lý

thuyÕt tuyÕn tÝnh) cho kÕt qu¶ xÊp xØ cña vËn tèc h¹t n−íc lín h¬n so víi xÊp xØ Stokes bËc 2

vµ bËc 3. §iÒu nãi trªn còng ®óng cho c¸c lý thuyÕt cnoidal.

TÝnh phi tuyÕn lµ t−¬ng ®èi quan träng víi c¸c gi¸ trÞ ®Þa ph−¬ng (nh− ®é cao ®Ønh

sãng, vËn tèc h¹t n−íc cùc ®¹i) h¬n lµ ®èi víi c¸c gi¸ trÞ chung (vËn tèc pha, hµm l−îng

n¨ng l−îng trung b×nh v.v...). Biªn ®é t−¬ng ®èi cña c¸c thµnh phÇn phi tuyÕn gi¶m theo ®é

51

s©u d−íi bÒ mÆt tù do.