53
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Tập 33, Số 3 (2023): 53-57
*Email: manhnt79@gmail.com
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG
Tập 32, Số 3 (2023): 53 - 57
JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
HUNG VUONG UNIVERSITY
Vol. 32, No. 3 (2023): 53 - 57
Email: tapchikhoahoc@hvu.edu.vn Website: www.jst.hvu.edu.vn
DẤU HIỆU CHIA HẾT TRONG HỆ THỐNG GHI SỐ TÙY Ý
Nguyễn Tiến Mạnh1*
1Khoa Giáo dục Tiểu học và Mầm non, Trường Đại học Hùng Vương, Phú Thọ
Ngày nhận bài: 17/8/2023; Ngày chỉnh sửa: 12/9/2023; Ngày duyệt đăng: 15/9/2023
DOI: https://doi.org/10.59775/1859-3968.150
Tóm tắt
Bài báo này mở rộng các kết quả đã biết về dấu hiệu chia hết trong hệ thập phân để nhận được các dấu hiệu
chia hết trong một hệ thống ghi số tùy ý. Từ những kết quả tổng quát, chúng tôi nhận lại được những dấu
hiệu chia hết đã biết và một số kết quả về phép chia có dư liên quan đến các dấu hiệu chia hết trong hệ thập phân.
Từ khóa: Dấu hiệu chia hết, hệ thống ghi số, hệ thập phân, hệ g-phân.
1. Đặt vấn đề
Chia hết và chia có dư là một nội dung quen
thuộc được đề cập từ bậc học tiểu học, trung học
cơ sở và được trình bày một cách hệ thống trong
phần số học ở bậc học đại học khi đào tạo giáo
viên tiểu học [1, 2] hoặc giáo viên dạy môn toán
ở trung học cơ sở hay trung học phổ thông [3,
4]. Đi kèm với lý thuyết chia hết là các dấu hiệu
chia hết quen thuộc như: dấu hiệu chia hết cho 2,
dấu hiệu chia hết cho 5, dấu hiệu chia hết cho 3
và dấu hiệu chia hết cho 9. Những dấu hiệu này
đã được giới thiệu cho học sinh ngay từ bậc học
tiểu học trong sách giáo khoa lớp 4 [5]. Trong
một số tài liệu tham khảo đã đề cập thêm những
dấu hiệu chia hết khác như: dấu hiệu chia hết cho
4, dấu hiệu chia hết cho 25, dấu hiệu chia hết
cho 8, dấu hiệu chia hết cho 125, dấu hiệu chia
hết cho 6, dấu hiệu chia hết cho 11 [1, 2]. Ngoài
ra, còn có những bài toán mở rộng liên quan đến
dấu hiệu chia hết, chẳng hạn những bài toán liên
quan đến phép chia có dư khi thực hiện chia một
số cho 5, cho 4, cho 3, cho 9,… Nghiên cứu việc
chứng minh các dấu hiệu chia hết cho thấy người
ta đã khai thác mối quan hệ giữa việc biểu diễn
số trong hệ thập phân với số chia đã cho. Như
vậy, với hệ thống ghi số thập phân quen thuộc
chúng ta có thể khai thác để lựa chọn ra các dấu
hiệu chia hết cho các số chia phù hợp. Từ đây nảy
sinh vấn đề tương tự: Khi xét trong hệ cơ số g tùy
ý, chúng ta có thể thiết lập những dấu hiệu chia
hết nào? Trong bài báo này, chúng tôi xây dựng
những dấu hiệu chia hết trong hệ ghi cơ số g tùy
ý. Cách tiếp cận của chúng tôi dựa trên cơ sở
phân tích, khai thác những vấn đề đã biết về dấu
hiệu chia hết trong hệ thập phân để từ đó khái
quát và mở rộng cho trường hợp cơ số tổng quát.
2. Phương pháp nghiên cứu
Thông qua nghiên cứu nội dung và chứng
minh của một số dấu hiệu chia hết quen thuộc:
Dấu hiệu chia hết cho 2; Dấu hiệu chia hết cho 5;
Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25; Dấu hiệu chia hết
54
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Nguyễn Tiến Mạnh
cho 8 và 125; Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9; Dấu
hiệu chia hết cho 11, chúng tôi phân tích để thấy
được mối quan hệ đồng dư giữa số chia và cơ số
10 (cơ số thập phân), chẳng hạn:
10 ≡ 0 (mod 2), 10 ≡ 0 (mod 5), 10 ≡ 1 (mod
3), 10 ≡ 1 (mod 9),
10 ≡ -1 (mod 11), 100 ≡ 0 (mod 4), 100 ≡ 0
(mod 25),
1000 ≡ 0 (mod 8), 1000 ≡ 0 (mod 125).
Tiếp đó, nhờ khái quát hóa chúng tôi mở rộng
những dấu hiệu chia hết nói trên cho trường hợp
hệ ghi số với cơ số tùy ý theo hướng tìm dấu
hiệu cho số chia phù hợp liên quan đến cơ số cho
trước. Cuối cùng, bằng cụ thể hóa và đặc biệt
hóa, từ những kết quả tổng quát nhận được chúng
tôi liên hệ với những những dấu hiệu chia hết đã
biết qua các ví dụ minh họa.
3. Kết quả nghiên cứu và thảo luận
Phần này đưa ra các dấu hiệu chia hết trong
hệ cơ số tùy ý. Đây là những kết quả khái quát
và mở rộng của các dấu hiệu chia hết trong hệ
thập phân. Từ các kết quả này, chúng ta nhận
lại được những dấu hiệu chia hết hoặc những
kết quả về phép chia có dư đã biết được suy ra
từ quá trình chứng minh các dấu hiệu chia hết
trong hệ thập phân.
Cho số tự nhiên g > 1. Khi đó với mỗi số
tự nhiên A ≠ 0 luôn biểu diễn được duy nhất
dưới dạng:
A = angn + an-1gn-1 + ... + a1g + a0
với a0, a1,..., an ∈ , an ≠ 0,0 ≤ a0,a1,...an ≤
g - 1. Ta viết 1 10
()
...
nn g
A aa aa
−
= và cách viết
này được gọi là biểu diễn của A theo cơ số g
hay biểu diễn của A trong hệ g- phân. Các số
a0, a1,..., an được gọi là các chữ số biểu diễn A
theo cơ số g [5].
Giả sử 12
12
k
k
g pp p=
α
αα
là sự phân tích tiêu
chuẩn của g, ở đây p1, p2,... pk là các số nguyên tố
phân biệt và *
12
, ,, ∈

αα α
và gọi d là một
ước của g. Định lý sau có thể được xem là dấu
hiệu chia hết cho d trong hệ ghi cơ số g.
Định lý 3.1. Cho 1 10
()
...
nn g
A aa aa
−
=là số tự
nhiên được viết trong hệ cơ số g. Khi đó A chia
hết cho g nếu và chỉ nếu a0 chia hết cho d.
Chứng minh. Ta có
11 0 11 0
() ()
... 0 ... .
nn nn
gg
A aa a a gaa a a
−−
= += +
Vì
11
()
...
nn g
ga a a
− luôn chia hết cho d nên A
d khi và chỉ khi a0 d
Hệ quả 3.2. A chia hết cho pi (1 ≤ i ≤ k) khi và
chỉ khi a0 chia hết cho pi (1 ≤ i ≤ k).
Chú ý 3.3. (i) Trong trường hợp g = 10 = 2 × 5
theo Hệ quả 3.2, A chia hết cho 2 hay A chia hết
cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng a0 chia hết
cho 2 hay chia hết cho 5 tương ứng. Trong trường
hợp chia hết cho 2, vì 0 ≤ a0 ≤ 9 nên a0 = 0; 2;
4; 6; 8. Với trường hợp chia hết cho 5, vì 0 ≤ a0
≤ 9 nên a0 = 0; 5. Đây là nội dung của dấu hiệu
chia hết cho 2 và dấu hiệu chia hết cho 5 (trong
hệ thập phân).
(ii) A chia cho d dư r khi và chỉ khi chữ số tận
cùng là a0 chia cho d dư r.
Ví dụ 3.4. Với g = 15 = 3 × 5, và
...Aaaaa()
nn11015
=-
là số tự nhiên được viết
trong hệ cơ số 15. Khi đó A chia hết cho 3 nếu và
chỉ nếu a0 chia hết cho 3 hay a0 = 0, 3, 6, 9, 12.
Tương tự A chia hết cho 5 nếu và chỉ nếu a0 chia
hết cho 5 hay a0 = 0, 5, 10.
Cho số tự nhiên A có nhiều hơn 2 chữ số. Giả
sử d’ là một ước số của g2. Ta có định lý sau
mà nó được xem như là dấu hiệu chia hết cho d’
trong hệ ghi cơ số g.
Định lý 3.5. Cho 1 10
()
...
nn g
A aa aa
−
=là số tự
nhiên được viết trong hệ cơ số g và A có nhiều
hơn 2 chữ số. Giả sử d’ là một ước số của g2.
Khi đó A chia hết cho d’ nếu và chỉ nếu số
tạo bởi hai chữ số tận cùng là
1 0( )
g
aa chia hết
cho d’ .
55
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Tập 33, Số 3 (2023): 53-57
Chứng minh. Ta biểu diễn A dưới dạng:
2
1 2 10 1 2 10
... 00 ... .
nn nn
A aa a aa g aa a aa
= += +
Vì 2
12
()
...
nn g
g aa a
− luôn chia hết cho d’ nên A
d’ khi và chỉ khi 10
() '.
g
aa d
Hệ quả 3.6. A chia hết cho 2
(1 )
i
p ik≤≤
khi
và chỉ khi
1 0( )
g
aa chia hết cho
2(1 ).
i
p ik≤≤
Chú ý 3.7. (i) Trong trường hợp g = 10 = 2
× 5, ta có g2 = 102 = 22 × 52. Theo Hệ quả 3.6,
A chia hết cho 4 hay A chia hết cho 25 khi và
chỉ khi số tạo bởi hai chữ số tận cùng là
1 0( )
g
aa
chia hết cho 4 hay chia hết cho 25 tương ứng. Đó
chính là nội dung của dấu hiệu chia hết cho 4 và
dấu hiệu chia hết cho 25 (trong hệ thập phân).
(ii) A chia cho d’ dư r khi và chỉ khi số tạo bởi
hai chữ số tận cùng là
1 0( )
g
aa chia cho d’ dư r.
Ví dụ 3.8. Với g = 15 = 3 × 5, và
1 10
(15)
...
nn
A aa aa
−
=là số tự nhiên được viết trong
hệ cơ số 15. Khi đó A chia hết cho 9 nếu và chỉ
nếu số tạo bởi hai chữ số tận cùng là 1 0 (15)
aa
chia hết cho 9. Tương tự A chia hết cho (15)
1(10)
(chú ý rằng (15)
1(10) 25
= trong hệ thập phân)
nếu và chỉ nếu số tạo bởi hai chữ số tận cùng là
1 0 (15)
aa chia hết cho (15)
1(10) .
Gọi A là một số tự nhiên có nhiều hơn 3 chữ
số. Giả sử d” là một ước số của g3. Dấu hiệu chia
hết cho d” trong hệ ghi cơ số g được thể hiện
trong nội dung của định lý dưới đây.
Định lý 3.9. Cho 1 10
()
...
nn g
A aa aa
−
=là số tự
nhiên được viết trong hệ cơ số g và A có nhiều hơn
3 chữ số. Giả sử d” là một ước số của g3. Khi đó A
chia hết cho d” nếu và chỉ nếu số tạo bởi ba chữ số
tận cùng là
2 1 0( )
g
aaa chia hết cho d”.
Chứng minh. Ta biểu diễn A như sau:
3
1 3 210 1 3 210
() () () ()
... 000 ... .
nn nn
gg gg
A aa a a aa g a a a a aa
−−
= += +
Vì 3
13
()
...
nn g
g aa a
− chia hết cho d” nên A d”
khi và chỉ khi 210
() ''.
g
aaa d
Hệ quả 3.10. A chia hết cho 3
(1 )
i
p ik
≤≤ khi
và chỉ khi
2 1 0( )
g
aaa chia hết cho 3(1 ).
i
p ik
≤≤
Chú ý 3.11. (i) Trong trường hợp g = 10 = 2
× 5 ta có g3 = 103 = 23 × 53. Theo Hệ quả 3.10, A
chia hết cho 8 hay 125 khi và chỉ khi số tạo bởi
hai chữ số tận cùng là
10
aa chia hết cho 8 hay
125 một cách tương ứng. Đây là nội dung của
dấu hiệu chia hết cho 8 và dấu hiệu chia hết cho
125 (trong hệ thập phân).
(ii) A chia cho d” dư r khi và chỉ khi số tạo
bởi ba chữ số tận cùng là
2 1 0( )
g
aaa chia cho d”
dư r.
Ví dụ 3.12. Với g = 15 = 3 × 5, và
1 10
(15)
...
nn
A aa aa
−
=là số tự nhiên được viết trong
hệ cơ số 15. Khi đó
A
chia hết cho (15)
1(12)
(chú
ý rằng (15)
1(12) 27
= trong hệ thập phân) nếu và
chỉ nếu số tạo bởi ba chữ số tận cùng là 2 1 0 (15)
aaa
chia hết cho (15)
1(12) .
Tương tự A chia hết cho
(15)
85 (ở đây (15)
85 125= trong hệ thập phân)
nếu và chỉ nếu số tạo bởi ba chữ số tận cùng là
2 1 0 (15)
aaa chia hết cho (15)
85 .
Cho B là một ước số của g - 1. Dấu hiệu chia
hết cho B trong hệ ghi cơ số g được chỉ ra trong
định lý sau.
Định lý 3.13. Cho 1 10
()
...
nn g
A aa aa
−
=là số tự
nhiên được viết trong hệ cơ số g. Khi đó A chia
hết cho B nếu và chỉ nếu tổng các chữ số của A là
an + an-1 +...+ a1 + a0 chia hết cho B.
Chứng minh. Từ g ≡ 1(mod(g - 1)) và gi ≡
1(mod(g - 1)) với mọi i ∈ , suy ra:
( )
1
1 10 1 1 0 1 1 0
()
... mod ( 1) .
nn
nn n n n n
g
A a a aa a g a g ag a a a a a g
−
−− −
= = + ++ +≡+ +++ −
56
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Nguyễn Tiến Mạnh
Vì B là một ước số của g - 1 nên A chia hết
cho B khi và chỉ khi tổng các chữ số của A là
1 10nn
aa aa
−
+ +++
chia hết cho B.
Hệ quả 3.14. A chia hết cho g - 1 nếu và chỉ
nếu tổng các chữ số của A là an + an-1 +...+ a1 +
a0 chia hết cho g - 1.
Chú ý 3.15. (i) Trong trường hợp g = 10 = 2
× 5, ta có g - 1 = 9. Theo Định lý 3.13 và Hệ quả
3.14, A chia hết cho 9 hay A chia hết cho 3 khi và
chỉ khi tổng các chữ số của A là an + an-1 +...+ a1
+ a0 chia hết cho 9 hay chia hết cho 3. Đó chính
là nội dung của dấu hiệu chia hết cho 9 và dấu
hiệu chia hết cho 3 trong hệ thập phân.
(ii) A chia cho B dư r khi và chỉ khi tổng các
chữ số của A là an +...+ a1 + a0 chia cho B dư r
Ví dụ 3.16. Với g = 15, 1 10
(15)
...
nn
A aa aa
−
=là
số tự nhiên được viết trong hệ cơ số 15, g - 1 =
15 - 1 = 14. Khi đó A chia hết cho 14 nếu và chỉ
nếu tổng các chữ số của A là an + an-1 +...+ a1 +
a0 chia hết cho 14. Vì 14 = 2 × 7 nên ta cũng có
A chia hết cho 2 hoặc 7 nếu và chỉ nếu tổng các
chữ số của A là an + an-1 +...+ a1 + a0 chia hết cho
2 hoặc 7 tương ứng.
Giả sử B’ là một ước số của g + 1. Dấu hiệu
chia hết cho B’ trong hệ ghi cơ số g được phát
biểu như sau.
Định lý 3.17. Cho 1 10
()
...
nn g
A aa aa
−
=
là số tự nhiên được viết trong hệ cơ số
g. Khi đó A chia hết cho B’ nếu và chỉ nếu
1
1 10
( 1) ( 1)
nn
nn
a a aa
−
−
− + − +−+
chia hết
cho B’.
Chứng minh. Từ g ≡ 1(mod(g - 1)) và gi ≡
1(mod(g - 1)) với mọi i ∈ suy ra:
1
1 10
nn
nn
A ag a g ag a
−
−
= + ++ +
( )
1
1 10
( 1) ( 1) mod ( 1) .
nn
nn
a a aa g
−
−
≡ − + − +−+ +
Vì B’ là một ước số của g + 1 nên A chia hết
cho B’ khi và chỉ khi
1
1 10
( 1) ( 1)
nn
nn
a a aa
−
−
− + − +−+
chia hết cho B’.
Hệ quả 3.18. A chia hết cho g + 1 khi và chỉ
khi
1
1 10
( 1) ( 1)
nn
nn
a a aa
−
−
− + − +−+
chia hết
cho g + 1
Chú ý 3.19. (i) Trong trường hợp g = 10 = 2 × 5,
ta có g + 1 = 11. Theo Hệ quả 3.18, A chia hết cho 11
khi và chỉ khi 1
1 10
( 1) ( 1)
nn
nn
a a aa
−
−
− + − +−+
chia hết cho 11. Đây là nội dung của dấu hiệu
chia hết cho 11. Áp dụng kết quả này để kiểm tra
một số có chia hết cho 11 hay không chúng ta lấy
tổng các chữ số ở vị trí có chỉ số hàng chẵn trừ
đi tổng các chữ số ở vị trí có chỉ số hàng lẻ (quy
ước hàng đơn vị ứng với chỉ số hàng là 0, hàng
chục ứng với chỉ số hàng là 1, hàng trăm ứng với
chỉ số hàng là 2,...).
(ii) A chia cho B’ dư r khi và chỉ
khi 1
1 10
( 1) ( 1)
nn
nn
a a aa
−
−
− + − +−+
chia cho
B’ dư r.
(iii) Áp dụng kết quả (ii) để tìm số dư khi
chia A cho 11 xét trong hệ thập phân, đầu tiên
chúng ta lấy tổng các chữ số ở vị trí có chỉ số
hàng chẵn trừ đi tổng các chữ số ở vị trí có chỉ
số hàng lẻ, sau đó xác định số dư của hiệu này
khi chia cho 11. Đây chính là số dư cần tìm khi
chia A cho 11.
Ví dụ 3.20. Với g = 15, 1 10
(15)
...
nn
A aa aa
−
=là
số tự nhiên được viết trong hệ cơ số 15. Ta có g
+ 1 = 16. Khi đó A chia hết cho (15)
11
(chú ý rằng
(15)
11 16
= trong hệ thập phân) nếu và chỉ nếu an
+ an-1 +...+ a1 + a0 chia hết cho (15)
11 .
Vì g + 1 =
16 có các ước là 2, 4 và 8 nên ta cũng có A chia
hết cho 2, 4 hoặc 8 nếu và chỉ nếu an + an-1 +...+
a1 + a0 chia hết cho 2, 4 hoặc 8 tương ứng.
4. Kết luận
Trên cơ sở phân tích và khai thác các chứng
minh dấu hiệu chia hết quen thuộc trong hệ
thập phân, bài báo đã mở rộng để đưa ra những
dấu hiệu chia hết trong hệ cơ số tùy ý. Ngược
lại, xuất phát từ các dấu hiệu chia hết trong hệ
cơ số tùy ý, chúng tôi nhận lại được những dấu
hiệu chia hết quen thuộc đã biết trong hệ thập
phân như những hệ quả trực tiếp. Đồng thời,
57
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Tập 33, Số 3 (2023): 53-57
những bài toán mở rộng liên quan đến phép
chia có dư gắn với các dấu hiệu chia hết cũng
được xem xét một cách tương tự như trong hệ
thập phân để khái quát hóa trong hệ cơ số tùy
ý. Các kết quả nghiên cứu chỉ ra rằng những
dấu hiệu chia hết hoàn toàn phụ thuộc vào cơ
số đang xét. Do đó việc chọn lựa cơ số phù
hợp đóng vai trò quan trọng không chỉ đối với
bài toán về chia hết và chia có dư mà còn đối
với nhiều bài toán số học khác. Vấn đề mà bài
báo đề cập có thể xem xét và nghiên cứu trong
các lớp vành khác với những tính chất số học
tương tự như vành số nguyên, chẳng hạn: vành
đa thức trên một trường hay tổng quát hơn là
vành Euclide.
Tài liệu tham khảo
[1] Trần Diên Hiển, Nguyễn Tiến Tài, Nguyễn Văn
Ngọc (2014). Giáo trình Lý thuyết số. Nhà xuất
bản Đại học Sư phạm, Hà Nội.
[2] Trần Diên Hiển (chủ biên), Nguyễn Thủy Chung
(2018). Cơ sở toán học của môn toán tiểu học.
Nhà xuất bản Đại học sư phạm, Hà Nội.
[3] Nguyễn Hữu Hoan (2004). Lý thuyết số. Nhà
xuất bản Đại học Sư phạm, Hà Nội.
[4] Dương Quốc Việt (chủ biên), Đàm Văn Nhỉ
(2008). Cơ sở lý thuyết số và đa thức. Nhà xuất
bản Đại học Sư phạm, Hà Nội.
[5] Đỗ Đình Hoan, Nguyễn Áng, Vũ Quốc Chung, Đỗ
Tiến Đạt, Đỗ Trung Hiệu, Trần Diên Hiển, Đào
Thái Lai, Phạm Thanh Tâm, Kiều Đức Thành, Lê
Tiến Thành, Vũ Dương Thụy (2019). Toán 4 (Sách
giáo khoa). Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
DIVISIBILITY RULES IN ARBITRARY NUMBER SYSTEMS
Nguyen Tien Manh1
1Faculty of Primary and Early-Childhood Education, Hung Vuong University, Phu Tho
Abstract
This paper generalizes the known results on divisibility rules in the decimal system to get the divisibility rules
in a general number system. From the extensive results on the divisibility rules, we get back the known
divisibility rules and some results on division with remainder related to the divisibility rules in the decimal
system.
Keywords: Divisibility rules, number systems, decimal system, radix system g.