Dấu hiệu chia hết trong hệ thống ghi số tùy ý

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết này mở rộng các kết quả đã biết về dấu hiệu chia hết trong hệ thập phân để nhận được các dấu hiệu chia hết trong một hệ thống ghi số tùy ý. Từ những kết quả tổng quát, chúng tôi nhận lại được những dấu hiệu chia hết đã biết và một số kết quả về phép chia có dư liên quan đến các dấu hiệu chia hết trong hệ thập phân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Dấu hiệu chia hết trong hệ thống ghi số tùy ý

TẠP TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀCHÍ CÔNGKHOA NGHỆHỌC VÀ CÔNG NGHỆ JOURNAL OF SCIENCE AND Tập 33, Số TECHNOLOGY 3 (2023): 53-57 TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG HUNG VUONG UNIVERSITY Tập 32, Số 3 (2023): 53 - 57 Vol. 32, No. 3 (2023): 53 - 57 Email: tapchikhoahoc@hvu.edu.vn Website: www.jst.hvu.edu.vn DẤU HIỆU CHIA HẾT TRONG HỆ THỐNG GHI SỐ TÙY Ý Nguyễn Tiến Mạnh1* 1 Khoa Giáo dục Tiểu học và Mầm non, Trường Đại học Hùng Vương, Phú Thọ Ngày nhận bài: 17/8/2023; Ngày chỉnh sửa: 12/9/2023; Ngày duyệt đăng: 15/9/2023 DOI: https://doi.org/10.59775/1859-3968.150 Tóm tắt B ài báo này mở rộng các kết quả đã biết về dấu hiệu chia hết trong hệ thập phân để nhận được các dấu hiệu chia hết trong một hệ thống ghi số tùy ý. Từ những kết quả tổng quát, chúng tôi nhận lại được những dấu hiệu chia hết đã biết và một số kết quả về phép chia có dư liên quan đến các dấu hiệu chia hết trong hệ thập phân. Từ khóa: Dấu hiệu chia hết, hệ thống ghi số, hệ thập phân, hệ g-phân. 1. Đặt vấn đề số cho 5, cho 4, cho 3, cho 9,… Nghiên cứu việc Chia hết và chia có dư là một nội dung quen chứng minh các dấu hiệu chia hết cho thấy người thuộc được đề cập từ bậc học tiểu học, trung học ta đã khai thác mối quan hệ giữa việc biểu diễn cơ sở và được trình bày một cách hệ thống trong số trong hệ thập phân với số chia đã cho. Như phần số học ở bậc học đại học khi đào tạo giáo vậy, với hệ thống ghi số thập phân quen thuộc viên tiểu học [1, 2] hoặc giáo viên dạy môn toán chúng ta có thể khai thác để lựa chọn ra các dấu ở trung học cơ sở hay trung học phổ thông [3, hiệu chia hết cho các số chia phù hợp. Từ đây nảy 4]. Đi kèm với lý thuyết chia hết là các dấu hiệu sinh vấn đề tương tự: Khi xét trong hệ cơ số g tùy chia hết quen thuộc như: dấu hiệu chia hết cho 2, ý, chúng ta có thể thiết lập những dấu hiệu chia dấu hiệu chia hết cho 5, dấu hiệu chia hết cho 3 hết nào? Trong bài báo này, chúng tôi xây dựng và dấu hiệu chia hết cho 9. Những dấu hiệu này những dấu hiệu chia hết trong hệ ghi cơ số g tùy đã được giới thiệu cho học sinh ngay từ bậc học ý. Cách tiếp cận của chúng tôi dựa trên cơ sở tiểu học trong sách giáo khoa lớp 4 [5]. Trong phân tích, khai thác những vấn đề đã biết về dấu một số tài liệu tham khảo đã đề cập thêm những hiệu chia hết trong hệ thập phân để từ đó khái dấu hiệu chia hết khác như: dấu hiệu chia hết cho quát và mở rộng cho trường hợp cơ số tổng quát. 4, dấu hiệu chia hết cho 25, dấu hiệu chia hết cho 8, dấu hiệu chia hết cho 125, dấu hiệu chia 2. Phương pháp nghiên cứu hết cho 6, dấu hiệu chia hết cho 11 [1, 2]. Ngoài Thông qua nghiên cứu nội dung và chứng ra, còn có những bài toán mở rộng liên quan đến minh của một số dấu hiệu chia hết quen thuộc: dấu hiệu chia hết, chẳng hạn những bài toán liên Dấu hiệu chia hết cho 2; Dấu hiệu chia hết cho 5; quan đến phép chia có dư khi thực hiện chia một Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25; Dấu hiệu chia hết *Email: manhnt79@gmail.com 53
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Nguyễn Tiến Mạnh cho 8 và 125; Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9; Dấu ước của g. Định lý sau có thể được xem là dấu hiệu chia hết cho 11, chúng tôi phân tích để thấy hiệu chia hết cho d trong hệ ghi cơ số g. được mối quan hệ đồng dư giữa số chia và cơ số Định lý 3.1. Cho A = an an −1...a1a0 ( g ) là số tự 10 (cơ số thập phân), chẳng hạn: nhiên được viết trong hệ cơ số g. Khi đó A chia 10 ≡ 0 (mod 2), 10 ≡ 0 (mod 5), 10 ≡ 1 (mod hết cho g nếu và chỉ nếu a chia hết cho d. 0 3), 10 ≡ 1 (mod 9), Chứng minh. Ta có 10 ≡ -1 (mod 11), 100 ≡ 0 (mod 4), 100 ≡ 0 (mod 25), = A an an −1...a1= 0( g ) + a0 gan an −1...a1 ( g ) + a0 . 1000 ≡ 0 (mod 8), 1000 ≡ 0 (mod 125). Vì gan an −1...a1 ( g ) luôn chia hết cho d nên A  Tiếp đó, nhờ khái quát hóa chúng tôi mở rộng d khi và chỉ khi a0  d những dấu hiệu chia hết nói trên cho trường hợp Hệ quả 3.2. A chia hết cho pi (1 ≤ i ≤ k) khi và hệ ghi số với cơ số tùy ý theo hướng tìm dấu chỉ khi a chia hết cho p (1 ≤ i ≤ k). 0 i hiệu cho số chia phù hợp liên quan đến cơ số cho trước. Cuối cùng, bằng cụ thể hóa và đặc biệt Chú ý 3.3. (i) Trong trường hợp g = 10 = 2 × 5 hóa, từ những kết quả tổng quát nhận được chúng theo Hệ quả 3.2, A chia hết cho 2 hay A chia hết tôi liên hệ với những những dấu hiệu chia hết đã cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng a0 chia hết biết qua các ví dụ minh họa. cho 2 hay chia hết cho 5 tương ứng. Trong trường hợp chia hết cho 2, vì 0 ≤ a0 ≤ 9 nên a0 = 0; 2; 3. Kết quả nghiên cứu và thảo luận 4; 6; 8. Với trường hợp chia hết cho 5, vì 0 ≤ a0 Phần này đưa ra các dấu hiệu chia hết trong ≤ 9 nên a = 0; 5. Đây là nội dung của dấu hiệu 0 hệ cơ số tùy ý. Đây là những kết quả khái quát chia hết cho 2 và dấu hiệu chia hết cho 5 (trong và mở rộng của các dấu hiệu chia hết trong hệ hệ thập phân). thập phân. Từ các kết quả này, chúng ta nhận (ii) A chia cho d dư r khi và chỉ khi chữ số tận lại được những dấu hiệu chia hết hoặc những cùng là a0 chia cho d dư r. kết quả về phép chia có dư đã biết được suy ra từ quá trình chứng minh các dấu hiệu chia hết Ví dụ 3.4. Với g = 15 = 3 × 5, và trong hệ thập phân. A = an an - 1 ...a1 a0(15) là số tự nhiên được viết trong hệ cơ số 15. Khi đó A chia hết cho 3 nếu và Cho số tự nhiên g > 1. Khi đó với mỗi số chỉ nếu a0 chia hết cho 3 hay a0 = 0, 3, 6, 9, 12. tự nhiên A ≠ 0 luôn biểu diễn được duy nhất Tương tự A chia hết cho 5 nếu và chỉ nếu a0 chia dưới dạng: hết cho 5 hay a0 = 0, 5, 10. A = angn + an-1gn-1 + ... + a1g + a0 Cho số tự nhiên A có nhiều hơn 2 chữ số. Giả với a0, a1,..., an ∈ , an ≠ 0,0 ≤ a0,a1,...an ≤ sử d’ là một ước số của g2. Ta có định lý sau g - 1. Ta viết A = an an −1...a1a0 ( g ) và cách viết mà nó được xem như là dấu hiệu chia hết cho d’ này được gọi là biểu diễn của A theo cơ số g trong hệ ghi cơ số g. hay biểu diễn của A trong hệ g- phân. Các số Định lý 3.5. Cho A = an an −1...a1a0 ( g ) là số tự a0, a1,..., an được gọi là các chữ số biểu diễn A nhiên được viết trong hệ cơ số g và A có nhiều theo cơ số g [5]. hơn 2 chữ số. Giả sử d’ là một ước số của g2. Giả sử g = p1 p2  pk là sự phân tích tiêu Khi đó A chia hết cho d’ nếu và chỉ nếu số α 1 α2 αk chuẩn của g, ở đây p1, p2,... pk là các số nguyên tố tạo bởi hai chữ số tận cùng là a1a0 ( g ) chia hết phân biệt và α1 , α 2 , , α ∈ * và gọi d là một cho d’ . 54
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Tập 33, Số 3 (2023): 53-57 Chứng minh. Ta biểu diễn A dưới dạng: =A an an −1...a2 00( g ) + a= 1a0 ( g ) g 2 an an −1...a2 ( g ) + a1a0 ( g ) . Vì g 2 an an −1...a2 ( g ) luôn chia hết cho d’ nên A  hệ cơ số 15. Khi đó A chia hết cho 9 nếu và chỉ nếu số tạo bởi hai chữ số tận cùng là a1a0 (15) d’ khi và chỉ khi a1a0 ( g )  d '. chia hết cho 9. Tương tự A chia hết cho 1(10)(15) Hệ quả 3.6. A chia hết cho pi (1 ≤ i ≤ k ) khi 2 (chú ý rằng 1(10)(15) = 25 trong hệ thập phân) và chỉ khi a1a0 ( g ) chia hết cho pi (1 ≤ i ≤ k ). 2 nếu và chỉ nếu số tạo bởi hai chữ số tận cùng là Chú ý 3.7. (i) Trong trường hợp g = 10 = 2 a1a0 (15) chia hết cho 1(10)(15) . × 5, ta có g2 = 102 = 22 × 52. Theo Hệ quả 3.6, Gọi A là một số tự nhiên có nhiều hơn 3 chữ A chia hết cho 4 hay A chia hết cho 25 khi và chỉ khi số tạo bởi hai chữ số tận cùng là a1a0 ( g ) số. Giả sử d” là một ước số của g3. Dấu hiệu chia chia hết cho 4 hay chia hết cho 25 tương ứng. Đó hết cho d” trong hệ ghi cơ số g được thể hiện chính là nội dung của dấu hiệu chia hết cho 4 và trong nội dung của định lý dưới đây. dấu hiệu chia hết cho 25 (trong hệ thập phân). Định lý 3.9. Cho A = an an −1...a1a0 ( g ) là số tự (ii) A chia cho d’ dư r khi và chỉ khi số tạo bởi nhiên được viết trong hệ cơ số g và A có nhiều hơn hai chữ số tận cùng là a1a0 ( g ) chia cho d’ dư r. 3 chữ số. Giả sử d” là một ước số của g3. Khi đó A Ví dụ 3.8. Với g = 15 = 3 × 5, và chia hết cho d” nếu và chỉ nếu số tạo bởi ba chữ số A = an an −1...a1a0 (15) là số tự nhiên được viết trong tận cùng là a2 a1a0 ( g ) chia hết cho d”. Chứng minh. Ta biểu diễn A như sau: =A an an −1...a3 000( g ) + a2 a1a= 0 (g) g 3 an an −1...a3 ( g ) + a2 a1a0 ( g ) . Vì g 3 an an −1...a3 ( g ) chia hết cho d” nên A  d” hệ cơ số 15. Khi đó A chia hết cho 1(12)(15) (chú khi và chỉ khi a2 a1a0 ( g )  d ''. ý rằng 1(12)(15) = 27 trong hệ thập phân) nếu và chỉ nếu số tạo bởi ba chữ số tận cùng là a2 a1a0 (15) Hệ quả 3.10. A chia hết cho pi3 (1 ≤ i ≤ k ) khi chia hết cho 1(12)(15) . Tương tự A chia hết cho và chỉ khi a2 a1a0 ( g ) chia hết cho pi (1 ≤ i ≤ k ). 3 85(15) (ở đây 85(15) = 125 trong hệ thập phân) Chú ý 3.11. (i) Trong trường hợp g = 10 = 2 nếu và chỉ nếu số tạo bởi ba chữ số tận cùng là × 5 ta có g3 = 103 = 23 × 53. Theo Hệ quả 3.10, A a2 a1a0 (15) chia hết cho 85(15) . chia hết cho 8 hay 125 khi và chỉ khi số tạo bởi hai chữ số tận cùng là a1a0 chia hết cho 8 hay Cho B là một ước số của g - 1. Dấu hiệu chia 125 một cách tương ứng. Đây là nội dung của hết cho B trong hệ ghi cơ số g được chỉ ra trong dấu hiệu chia hết cho 8 và dấu hiệu chia hết cho định lý sau. 125 (trong hệ thập phân). Định lý 3.13. Cho A = an an −1...a1a0 ( g ) là số tự (ii) A chia cho d” dư r khi và chỉ khi số tạo nhiên được viết trong hệ cơ số g. Khi đó A chia bởi ba chữ số tận cùng là a2 a1a0 ( g ) chia cho d” hết cho B nếu và chỉ nếu tổng các chữ số của A là dư r. an + an-1 +...+ a1 + a0 chia hết cho B. Chứng minh. Từ g ≡ 1(mod(g - 1)) và gi ≡ Ví dụ 3.12. Với g = 15 = 3 × 5, và 1(mod(g - 1)) với mọi i ∈ , suy ra: A = an an −1...a1a0 (15) là số tự nhiên được viết trong A= an an −1...a1a0 ( g )= an g n + an −1 g n −1 +  + a1 g + a0 ≡ an + an −1 +  + a1 + a0 ( mod ( g − 1) ) . 55
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Nguyễn Tiến Mạnh Vì B là một ước số của g - 1 nên A chia hết Hệ quả 3.18. A chia hết cho g + 1 khi và chỉ cho B khi và chỉ khi tổng các chữ số của A là khi an (−1) n + an −1 (−1) n −1 +  − a1 + a0 chia hết an + an −1 +  + a1 + a0 chia hết cho B. cho g + 1 Hệ quả 3.14. A chia hết cho g - 1 nếu và chỉ Chú ý 3.19. (i) Trong trường hợp g = 10 = 2 × 5, nếu tổng các chữ số của A là an + an-1 +...+ a1 + ta có g + 1 = 11. Theo Hệ quả 3.18, A chia hết cho 11 a0 chia hết cho g - 1. khi và chỉ khi an (−1) n + an −1 (−1) n −1 +  − a1 + a0 Chú ý 3.15. (i) Trong trường hợp g = 10 = 2 chia hết cho 11. Đây là nội dung của dấu hiệu × 5, ta có g - 1 = 9. Theo Định lý 3.13 và Hệ quả chia hết cho 11. Áp dụng kết quả này để kiểm tra 3.14, A chia hết cho 9 hay A chia hết cho 3 khi và một số có chia hết cho 11 hay không chúng ta lấy chỉ khi tổng các chữ số của A là an + an-1 +...+ a1 tổng các chữ số ở vị trí có chỉ số hàng chẵn trừ + a0 chia hết cho 9 hay chia hết cho 3. Đó chính đi tổng các chữ số ở vị trí có chỉ số hàng lẻ (quy là nội dung của dấu hiệu chia hết cho 9 và dấu ước hàng đơn vị ứng với chỉ số hàng là 0, hàng hiệu chia hết cho 3 trong hệ thập phân. chục ứng với chỉ số hàng là 1, hàng trăm ứng với (ii) A chia cho B dư r khi và chỉ khi tổng các chỉ số hàng là 2,...). chữ số của A là an +...+ a1 + a0 chia cho B dư r (ii) A chia cho B’ dư r khi và chỉ Ví dụ 3.16. Với g = 15, A = an an −1...a1a0 (15) là khi an (−1) n + an −1 (−1) n −1 +  − a1 + a0 chia cho số tự nhiên được viết trong hệ cơ số 15, g - 1 = B’ dư r. 15 - 1 = 14. Khi đó A chia hết cho 14 nếu và chỉ (iii) Áp dụng kết quả (ii) để tìm số dư khi nếu tổng các chữ số của A là an + an-1 +...+ a1 + chia A cho 11 xét trong hệ thập phân, đầu tiên a0 chia hết cho 14. Vì 14 = 2 × 7 nên ta cũng có chúng ta lấy tổng các chữ số ở vị trí có chỉ số A chia hết cho 2 hoặc 7 nếu và chỉ nếu tổng các hàng chẵn trừ đi tổng các chữ số ở vị trí có chỉ chữ số của A là an + an-1 +...+ a1 + a0 chia hết cho số hàng lẻ, sau đó xác định số dư của hiệu này 2 hoặc 7 tương ứng. khi chia cho 11. Đây chính là số dư cần tìm khi Giả sử B’ là một ước số của g + 1. Dấu hiệu chia A cho 11. chia hết cho B’ trong hệ ghi cơ số g được phát biểu như sau. Ví dụ 3.20. Với g = 15, A = an an −1...a1a0 (15) là số tự nhiên được viết trong hệ cơ số 15. Ta có g Định lý 3.17. Cho A = an an −1...a1a0 ( g ) + 1 = 16. Khi đó A chia hết cho 11(15) (chú ý rằng là số tự nhiên được viết trong hệ cơ số 11(15) = 16 trong hệ thập phân) nếu và chỉ nếu an g. Khi đó A chia hết cho B’ nếu và chỉ nếu + an-1 +...+ a1 + a0 chia hết cho 11(15) . Vì g + 1 = an (−1) n + an −1 (−1) n −1 +  − a1 + a0 chia hết 16 có các ước là 2, 4 và 8 nên ta cũng có A chia cho B’. hết cho 2, 4 hoặc 8 nếu và chỉ nếu an + an-1 +...+ Chứng minh. Từ g ≡ 1(mod(g - 1)) và gi ≡ a1 + a0 chia hết cho 2, 4 hoặc 8 tương ứng. 1(mod(g - 1)) với mọi i ∈  suy ra: A= an g n + an −1 g n −1 +  + a1 g + a0 4. Kết luận Trên cơ sở phân tích và khai thác các chứng ≡ an (−1) n + an −1 (−1) n −1 +  − a1 + a0 ( mod ( g + 1) ) . minh dấu hiệu chia hết quen thuộc trong hệ thập phân, bài báo đã mở rộng để đưa ra những Vì B’ là một ước số của g + 1 nên A chia hết cho B’ khi và chỉ khi dấu hiệu chia hết trong hệ cơ số tùy ý. Ngược lại, xuất phát từ các dấu hiệu chia hết trong hệ an (−1) n + an −1 (−1) n −1 +  − a1 + a0 cơ số tùy ý, chúng tôi nhận lại được những dấu chia hết cho B’. hiệu chia hết quen thuộc đã biết trong hệ thập phân như những hệ quả trực tiếp. Đồng thời, 56
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Tập 33, Số 3 (2023): 53-57 những bài toán mở rộng liên quan đến phép Tài liệu tham khảo chia có dư gắn với các dấu hiệu chia hết cũng [1] Trần Diên Hiển, Nguyễn Tiến Tài, Nguyễn Văn được xem xét một cách tương tự như trong hệ Ngọc (2014). Giáo trình Lý thuyết số. Nhà xuất thập phân để khái quát hóa trong hệ cơ số tùy bản Đại học Sư phạm, Hà Nội. ý. Các kết quả nghiên cứu chỉ ra rằng những [2] Trần Diên Hiển (chủ biên), Nguyễn Thủy Chung dấu hiệu chia hết hoàn toàn phụ thuộc vào cơ (2018). Cơ sở toán học của môn toán tiểu học. Nhà xuất bản Đại học sư phạm, Hà Nội. số đang xét. Do đó việc chọn lựa cơ số phù hợp đóng vai trò quan trọng không chỉ đối với [3] Nguyễn Hữu Hoan (2004). Lý thuyết số. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, Hà Nội. bài toán về chia hết và chia có dư mà còn đối [4] Dương Quốc Việt (chủ biên), Đàm Văn Nhỉ với nhiều bài toán số học khác. Vấn đề mà bài (2008). Cơ sở lý thuyết số và đa thức. Nhà xuất báo đề cập có thể xem xét và nghiên cứu trong bản Đại học Sư phạm, Hà Nội. các lớp vành khác với những tính chất số học [5] Đỗ Đình Hoan, Nguyễn Áng, Vũ Quốc Chung, Đỗ tương tự như vành số nguyên, chẳng hạn: vành Tiến Đạt, Đỗ Trung Hiệu, Trần Diên Hiển, Đào đa thức trên một trường hay tổng quát hơn là Thái Lai, Phạm Thanh Tâm, Kiều Đức Thành, Lê vành Euclide. Tiến Thành, Vũ Dương Thụy (2019). Toán 4 (Sách giáo khoa). Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam. DIVISIBILITY RULES IN ARBITRARY NUMBER SYSTEMS Nguyen Tien Manh1 1 Faculty of Primary and Early-Childhood Education, Hung Vuong University, Phu Tho Abstract T his paper generalizes the known results on divisibility rules in the decimal system to get the divisibility rules in a general number system. From the extensive results on the divisibility rules, we get back the known divisibility rules and some results on division with remainder related to the divisibility rules in the decimal system. Keywords: Divisibility rules, number systems, decimal system, radix system g. 57