Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1
LÝ THUYẾT SÓNG SPIN TUYẾN TÍNH CHO MÔ HÌNH HEISENBERG TRÊN MẠNG TỔ ONG TRONG BIỂU DIỄN FERMION
Phạm Thị Thanh Nga
Trường Đại học Thủy lợi, email: nga_ptt@tlu.edu.vn
1. GIỚI THIỆU CHUNG
0 )
H
ij
i
ij
(1) Sau các phát hiện gốm siêu dẫn nhiệt độ cao và siêu dẫn trên các hợp chất chứa sắt, tính chất từ của các vật liệu có cấu trúc lớp đang thu hút sự quan tâm rất lớn của các nhà vật lý. Ngoài các mạng cấu trúc hình vuông đặc trưng cho các vật liệu siêu dẫn, mạng tổ ong trong thời gian gần đây cũng đang được quan tâm đặc biệt, do các tính chất chuyển pha tô pô có liên quan tới kích thích từ và kích thích mật độ điện tích. Tuy đã có nhiều các công trình lý thuyết nghiên cứu tính chất từ trên mạng tổ ong, tuy nhiên các kết quả thu được chưa thể giải thích một cách thỏa đáng các kết quả thực nghiệm, cũng như đôi khi lại khác xa nhau. Có thể kể ra hai khó khăn chính khi nghiên cứu từ tính của mạng tổ ong. Một là, để nghiên cứu các hệ mô men từ định xứ người ta thường xuất phát từ Hamiltonian Heisenberg có dạng sau: J S .S (J ij j
trong các phương pháp để khắc phục khó khăn này là biểu diễn các toán tử spin qua các toán tử chính tắc boson hoặc fermion. Tuy nhiên, khi biểu diễn qua các toán tử mới này thì các trạng thái phi vật lý xuất hiện và người ta phải áp đặt các điều kiện ràng buộc để loại trừ các trạng thái phi vật lý (đây là nguyên nhân các boson hoặc fermion này được gọi là bị “cầm tù” (slave)). Việc xử lý các điều kiện ràng buộc thường không dễ dàng và phải tính gần đúng. Khó khăn thứ hai bắt nguồn từ cấu trúc của mạng tổ ong. Khác với mạng hình vuông hoặc mạng tam giác, mạng tổ ong là mạng hai thành phần (bipartite) trong đó có hai loại nguyên tử không tương đương nhau về mặt tương tác với các nguyên tử lân cận (xem phần dưới đây). Như vậy mạng tổ ong không phải là mạng Bravais và là mạng có hai nguyên tử trên một ô cơ sở. Do vậy so với các mạng hình vuông và mạng tam giác, tính toán sẽ phức tạp hơn và nhiều khi không có lời giải giải tích. Trong báo cáo này, chúng tôi sẽ nghiên cứu trật tự từ cho mô hình Heisenberg phản sắt từ trên mạng tổ ong, dựa trên biểu diễn fermion mà Popov-Fedotov đề xuất [1].
2. MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
j
i
i ij
S ,S i
ij
Nghiên cứu mô hình Heisenberg (1) trên , trong đó mạng tổ ong được mô tả như trên hình 1.
478
trong đó Jij là tương tác trao đổi có bản chất là tương tác tĩnh điện Coulomb có chú ý tới là các toán tử véc tơ thỏa nguyên lý Pauli. iS mãn hệ thức giao hoán của các mô men động ij là kí lượng: S hiệu delta Cronecker còn là ten xơ hạng hai phản xứng hoàn toàn. Như vậy các toán tử spin không phải là toán tử chính tắc, nghĩa là không thỏa mãn các hệ thức giao hoán (phản giao hoán) kiểu: . Đây chính là a a i , j nguồn gốc của các khó khăn khi nghiên cứu mô hình Heisenberg (1), bởi vì lúc này ta không thể áp dụng các kỹ thuật nhiễu loạn hiện đại của lý thuyết trường lượng tử. Một Hình 1. Cấu trúc tinh thể mạng tổ ong
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1
3 ,3
a 1
3 ,3 ; a 2
a 2
1,
1,
* ; a 2
* a 1
(2)
2 3
1 3
1 3
Các véc tơ cơ sở của mạng tinh thể là: a 2 Từ đây suy ra các véc tơ cơ sở của mạng đảo là: 2 (3) 3 Mỗi ô cơ sở gồm hai nguyên tử A và B. Các véc tơ nối spin trên nút A với nút B là
/ 2
i
a 0, 1
1
3
a 2
/ 3
i (i =1, 2, 3) a 3 ,1 ; 2 2 Ta chỉ giới hạn tương tác Jij là phản sắt từ trên các lân cận gần nhất Jij = J > 0. Vì tính toán khá dài nên chúng tôi chỉ liệt kê các bước chính sau đây.
(4) 3 ,1 ; chân không và trạng thái có hai fermion, còn với S = 1 thì trạng thái chân không và trạng thái có ba fermion là các trạng thái phi vật lý. Để loại bỏ các trạng thái phi vật lý, Popov- Fedotov đã biểu diễn tổng thống kê Z qua tích phân phiếm hàm trong trạng thái kết hợp của các biến phản giao hoán Grassmann ứng với và các toán tử fermion ia . Sau đó các tác ia giả đã đưa vào toán tử chiếu, tương đương với việc đưa vào một thế hóa học ảo: cho S = ½ và i cho S=1.
i .
i
1. Tham số hóa trạng thái cơ bản cổ điển 4. Vì Hamiltonian chứa tích 4 toán tử fermion nên như thông thường ta đưa vào i bằng cách dùng biến đổi trường phụ boson Hubbard-Stratonovich và ta có thể áp dụng kỹ thuật nhiễu loạn với trường phụ
i
5. Lý thuyết sóng spin tuyến tính tương ứng với việc ta dừng lại ở số hạng bậc hai đối i . Nhìn chung các tính toán là khá dài với và không đơn giản nên không đưa vào cụ thể ở đây, tham khảo [2-4].
3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
2
J
E = cl
và góc i: bằng véc tơ trật tự từ Q (5) v u sin Qr S =S cos Qr i i i i trong đó u và v là các véc tơ đơn vị trực giao, góc i đưa vào để phân biệt hai loại spin trong một ô cơ sở nên có thể chọn 0 nếu i thuộc phân mạng A còn i nếu i thuộc phân mạng B. Thay (5) vào (1) ta có ngay năng lượng trạng thái cơ bản cổ điển: cos Q
i
i
3.1. Các kết quả giải tích (6)
F
F F
MF
0
i) Năng lượng tự do của hệ:
và
ln2cosh m / 2
F MF
2 o
o
m o
m / 2 o
H
J
S S i
j
NS 2 và góc i ta thu được: Cực tiểu hóa Ecl theo Q (7) Q , 2. Chuyển sang hệ tọa độ định xứ mà ở đó trục lượng tử z trùng với hướng của mô men từ tự phát cổ điển. Lúc đó Hamiltonian có dạng: Q, ij
1 2
3J
ij
zz
F
Q,
(11) (10) trong đó FMF là năng lượng tự do và mo là mô men từ tự phát trên mỗi nút cho trường hợp S = ½ như sau: 1/ 2 m 1/ (12) (8)
và
là các hàm của Q, ijJ
trong đó
ln sh
ln sh
F
p BZ
với năng lượng tự do: 2
. các véc tơ lân cận i
zz
F
1 / 2 Tanh và F là bổ chính do thăng giáng cho , trong đó: F F (13) p m o 2 2
ln A p o
1 p BZ với phổ magnon:
2 S 1
2
(14) 3. Biểu diễn các toán tử spin qua các toán tử fermion [5]:
S
i
a a i i
p
p
m 1 o
1
,
1/ 2
(9) (15)
p
1 / 3
i p e i i
và ia
i
2
2
2
(16)
3J
p
A p o
zz 2
1 K
ia là các toán tử fermion còn trong đó là ma trận (2S + 1) x (2S + 1) ứng với spin S (thí dụ nếu S = ½ thì là ma trận Pauli.)
nếu
(17)
K
zz 2
2 1 4m o
1 4
i 2
479
(18a) Có thể thấy với S = ½ thì có hai trạng thái phi vật lý trong không gian Fock là trạng thái
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2017. ISBN: 978-604-82-2274-1
K
zz 2
2 1 4m o
1 8
0,5
om T 0K
zz
(18b) nếu 0
m
m m o
zz
0,2418 )
m
m o
0 K
zz
m
m
ii) Mô men từ tự phát: m
m
1 3J m o
(19) trong đó, mo là mô men từ tự phát trên mỗi nút cho trường hợp S = ½ cho bởi (12) và m là bổ chính do thăng giáng cho mô men từ tự phát: , trong đó:
m 1 4m o
0K
p
3J m o
(20)
1 2N
p
1 p
2
ii) Mô men từ tự phát mo ở gần đúng trường trung bình với S = ½ (ứng với đồ thị hình 2, hai đường phía trên, ta có: ) và mô men từ tự phát m khi tính tới bổ chính do thăng giáng với S = ½ (ứng với đồ thị hình 2, hai đường phía dưới, ta có: m lim m T 0K T Kết quả chỉ ra phương pháp Popov-Fedotov áp dụng trong bài báo cáo cho thấy ảnh hưởng do thăng giáng ở vùng nhiệt độ T khác biệt đáng kể so với các phương pháp khác [2, 3].
(21)
4. KẾT LUẬN
;
p
p
1
2
m 0
zz K 2 1 3J K
zz 2
zz
C p ,
m
1 N
p
1 A o
2
2
C p
zz 2 K 3J 2
(22)
2m m ,
D p
= 0
p D p = i /2 o o m m , o o
(23)
Kết luận chính của báo cáo này là: i) Đã thu được biểu thức tường minh của năng lượng tự do và độ từ hoá trên mỗi nút khi chú ý tới ảnh hưởng của thăng giáng spin trong lý thuyết sóng spin tuyến tính bằng phương pháp tích phân phiếm hàm Popov-Fedotov. 3.2. Khảo sát số
3J / 4
i) Nhiệt độ chuyển pha ở gần đúng trường trung bình: Nếu ta lấy giới hạn ii) Phân tích kết quả cho độ từ hóa tự phát ở gần đúng trường trung bình cho thấy khi tính chính xác điều kiện ràng buộc sẽ cho nhiệt độ chuyển pha tăng 2 lần so với các lý thuyết khác. Điều này phù hợp với các lý giải vật lý [3, 4].
3J / 8
0 ta sẽ thu được om nhiệt độ chuyển pha thuận từ - phản sắt từ: (ràng buộc chính xác – đường nét liền CT trong hình 2) trong khi với 0 (ràng buộc lấy gần đúng - đường nét đứt trong hình 2) thì CT
2 T / T C
iii) Khảo sát số cho mô men từ tự phát cho thấy ở vùng nhiệt độ T 0K khi tính đến điều kiện ràng buộc chính xác, kết quả số có sự khác biệt đáng kể so với khi ta tính điều kiện ràng buộc gần đúng. [3]. . Tức là với S = ½ thì C
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
m(cid:31)mo(cid:31)
0.5
0.4
0.3
[1] Popov V. N. and Fedotov S. A. 1988. “Functional integration method and diagram technique for spin systems”. Sov. Phys. JETP 67, 535.
0.2
0.1
T
J
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
[2] Dillenschneider R. And Richert J. 2006. “Site occupation constraint in mean-field approaches of quantum spin systems at finite temperature”. Phys. Rev. B 73, 024409.
[3] Nga P. T. T. and Thang N. T. 2012. “Néel state in the fermionized spin ½ Heisenberg antiferromagnet on the hypercubic and in Phys. triangular lattices”. Comm. 22 and Erratum, Communications in Physics 22, No 4.
zz
[4] Nga P. T. T. and Thang N. T. 2017. “Magnetic order of spin S = 1 antiferromagnetic”. Journal of Physics: Conf. Series 865 012015./.
F
0,5488
Hình 2. Đồ thị độ từ hóa tự phát phụ thuộc nhiệt độ trong gần đúng trường trung bình (mo – hai đường phía trên) và khi tính thăng giáng (m - hai đường phía dưới) tương ứng khi tính điều kiện ràng buộc chính xác (đường nét liền) và khi tính điều kiện ràng buộc gần đúng (đường nét đứt). ii) Năng lượng trạng thái cơ bản có kể đến
F
lim T
gr
MF
0 K
thăng giáng với S = ½: F
480
