Giáo trình Toán A3: Phần 1

Chia sẻ: Phuc Nguyen | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

89
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Toán A3 phần 1 cung cấp cho người học các kiến thức: Phép tính vi phân của hàm nhiều biến, tích phân bội, vi phân cấp cao, đạo hàm riêng,... Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán A3: Phần 1

MỤC LỤC MỤC LỤC 1 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN §1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN . . . . . . . . . . 1.1 Các ví dụ mở đầu . . . . . . . . . . . . . 1.2 Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Định nghĩa hàm nhiều biến . . . . . . . 1.4 Đồ thị hàm hai biến . . . . . . . . . . . . §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN . . . . . . . . 2.1 Sự hội tụ trong Rn . . . . . . . . . . . . . 2.2 Giới hạn của hàm nhiều biến . . . . . . 2.3 Một số phương pháp tìm giới hạn hàm §3 HÀM SỐ LIÊN TỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Khái niệm liên tục . . . . . . . . . . . . . 3.2 Liên tục theo từng biến . . . . . . . . . . §4 ĐẠO HÀM RIÊNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Tính khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Đạo hàm hàm hợp . . . . . . . . . . . . §5 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO . . . . . . . . 5.1 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . 5.2 Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . §6 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN . . . . . . . . 6.1 Cực trị địa phương . . . . . . . . . . . . . 6.2 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài Tập Chương 1 3 3 3 4 5 5 7 7 8 8 9 9 10 11 11 12 14 15 15 16 16 17 17 20 23 2 TÍCH PHÂN BỘI §1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍNH CHẤT . . . . . . . . . 1.1 Bài toán mở đầu và định nghĩa tích phân kép . . . . 1.2 Tính chất của tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . §2 TÍCH PHÂN KÉP TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC . . . . . . . . . 2.1 Miền lấy tích phân là hình chữ nhật (D = [a, b] × [c, d]) 2.2 Miền lấy tích phân là miền bị chặn . . . . . . . . . . . §3 ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TÍCH PHÂN KÉP . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . 26 26 26 28 28 29 31 33 §4 §5 3.1 Công thức đổi biến số . . . . . . . . 3.2 Tích phân kép trong hệ tọa độ cực TÍCH PHÂN BA LỚP . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Khái niệm tích phân ba lớp . . . . . 4.2 Cách tính tích phân ba lớp . . . . . ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BA LỚP . . 5.1 Đổi biến trong tọa độ trụ . . . . . . . 5.2 Đổi biến trong tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài Tập Chương 2 33 37 41 42 43 45 45 47 49 3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG §1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Phương trình của một đường cong phẳng (nếu được giới hạn gọi là cung phẳng) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Định nghĩa tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . 1.3 Công thức tính tích phân đường loại I . . . . . . . . . . §2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Định nghĩa và công thức tính tích phân đường loại II . 2.2 Định lý Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Điều kiện để tích phân đường loại II không phụ thuộc vào đường lấy tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài Tập Chương 3 51 51 51 52 53 57 57 59 60 61 4 TÍCH PHÂN MẶT §1 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Định nghĩa tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Đưa tích phân mặt loại I về tích phân hai lớp thông thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Mặt định hướng và mặt tham số . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Đưa tích phân mặt loại II về tích phân hai lớp . . . . . 2.3 Công thức Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài Tập Chương 4 65 65 65 65 67 67 68 70 72 75 2 CHƯƠNG 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Chúng ta đã nghiên cứu về hàm một biến y = f (x), với y là đại lượng phụ thuộc vào biến độc lập x. Trong thực tế, ta thường gặp những đại lượng không chỉ phụ thuộc vào một mà phụ thuộc vào nhiều biến độc lập. Đây chính là dạng của hàm nhiều biến được trình bày trong chương này. §1 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Các ví dụ mở đầu Trong quá trình tính toán, để xác định một dữ kiện nào đó, ta thường phải xác định nhiều thông số. Ví dụ 1.1.1. Thể tích của hình trụ có bán kính r và chiều cao h là V = πr2 h. Như vậy, để tính được thể tích của hình trụ, ta cần xác định hai thông số đó là r và h. Ta có thể biểu diễn thể tích V như sau V : (r, h) 7→ V = f (r, h) = πr2 h. Ứng với mỗi cặp số (r, h), biểu thức V = f (r, h) = πr2 h xác định một giá trị thực (thuộc R), người ta có thể xem V là một hàm hai biến r, h. Ví dụ 1.1.2. Tốc độ phân hủy của một chất bán rã tỉ lệ thuận với khối lượng của nó tại mỗi thời điểm. Khối lượng của chất bán rã còn lại sau thời gian t được xác định bởi m = m0 e−kt , trong đó m0 là khối lượng ban đầu, k là hệ số phân rã và t là thời gian. Vậy để tính được khối lượng của chất bán rã còn lại sau thời gian t, ta phải xác định được 3 thông số. Ta có thể biểu diễn điều đó như sau m : (m0 , k, t) 7→ m = g(m0 , k, t) = m0 e−kt . 3 Tương tự trên, ta có thể xem m = g(m0 , k, t) = m0 e−kt là một hàm ba biến m0 , k, t. Từ đó, rất tự nhiên đưa đến không gian Rn và khái niệm hàm nhiều biến. 1.2 Không gian Rn Không gian Rn là một ví dụ rất đặc biệt của không gian n−chiều. Nếu nắm bắt được các phương pháp làm việc trên Rn thì người đọc sẽ không gặp khó khăn trong việc mở rộng nó trong trường hợp tổng quát hơn. Trong giáo trình này, chủ yếu trình bày đối với không gian R2 và R3 . Với mỗi số tự nhiên n ≥ 1, đặt Rn = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : xi ∈ R, i = 1, ..., n} . Ta gọi xi (i = 1, ..., n) là tọa độ thứ i của x. Trên Rn ta xác định phép cộng và phép nhân vô hướng bởi các công thức: • Với x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn , x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ). • Với x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , λ ∈ R, λx = (λx1 , λx2 , ..., λxn ). Khoảng cách trong Rn Cho hai điểm x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn . Khoảng cách giữa hai điểm x và y được cho bởi công thức d(x, y) = q (y1 − x1 )2 + (y2 − x2 )2 + ... + (yn − xn )2 . (1.1) Hình cầu, lân cận trong Rn Cho a là một điểm của Rn và r là một số dương. Định nghĩa 1.2.1. Ta định nghĩa hình cầu mở tâm a bán kính r là tập B(a, r) = {x ∈ Rn | d(x, a) < r}. Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập B(a, r) = {x ∈ Rn | d(x, a) ≤ r}. Định nghĩa 1.2.2. Tập U được gọi là lân cận của điểm a nếu tồn tại r > 0 sao cho B(a, r) ⊂ U. Lân cận của điểm a thường được ký hiệu là U (a). Định nghĩa 1.2.3. Tập G được gọi là tập mở trong Rn nếu với mọi x ∈ G, tồn tại r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ G. Tập F được gọi là tập đóng nếu Rn \ F là tập mở. 4 1.3 Định nghĩa hàm nhiều biến Định nghĩa 1.3.1. Cho A ⊆ Rn . Một hàm n biến f xác định trên A là một biểu thức (qui tắc toán học), ứng với mỗi phần tử (x1 , x2 , ..., xn ) của A xác định một giá trị thực w = f (x1 , x2 , ..., xn ). Kí hiệu f: A −→ R (x1 , x2 , ..., xn ) 7−→ f (x1 , x2 , ..., xn ). Lưu ý rằng biến số ở đây là các phần tử của Rn nên nó có n thành phần (tọa độ) và mỗi thành phần có thể xem như một biến độc lập. Do đó người ta gọi hàm xác định trên A ⊆ Rn là hàm nhiều biến. Tập tất cả các điểm x = (x1 , x2 , ..., xn ) làm cho biểu thức f có nghĩa được gọi là miền xác định của hàm số f , kí hiệu là Df . Ví dụ 1.3.1. Trong R3 , ta có thể xác định một hàm số ba biến bằng phép ứng mỗi x2 + 2y 2 + 3z 2 3 điểm (x, y, z) ∈ R với một số bằng . Một cách ngắn gọn hơn, ta nói x2 + y 2 x2 + 2y 2 + 3z 2 hàm được cho bằng công thức f (x, y, z) = . Tập xác định của f là x2 + y 2 n o Df = (x, y, z) ∈ R3 : x 6= 0 và y 6= 0 . Ví dụ 1.3.2. Ánh xạ f : R2 −→ R cho bởi  xy   nếu (x, y) 6= (0, 0) 2 2 f (x, y) = x + y  0 nếu (x, y) = (0, 0) là hàm hai biến xác định trên R2 . Nếu tương ứng cặp giá trị (x, y) với một điểm M (x, y) trong mặt phẳng Oxy thì miền xác định của hàm số chính là tập hợp các điểm trong mặt phẳng sao cho tại những điểm đó hàm số được xác định. Vì vậy, miền xác định của hàm số hai biến thường được biểu diễn hình học. p Ví dụ 1.3.3. Tìm miền xác định của hàm số f (x, y) = 4 − x2 − y 2 . Ta có miền xác định n o Df = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 4 . Đó là những điểm nằm trong hình tròn tâm O, bán kính 2. Việc tìm miền xác định của một hàm nhiều biến thường được qui về việc giải hệ bất phương trình (nhiều ẩn). 1.4 Đồ thị hàm hai biến Khi đưa một khung dây vào nước xà phòng, ta thấy một điều thú vị là có một màng bong bóng được căng ra từ khung dây đó. Màng bong bóng đó được gọi là một phần 5