intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Hệ thống hóa các dạng bài tập về Vectơ

Chia sẻ: Nguyễn Thị Thảo Hiền | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST
Báo xấu
205
lượt xem 22
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Vector là một phần quan trọng của toán THPT, đây cũng là phần có thi trong đề THPT Quốc Gia, do đó chúng ta cần nắm chắc tất cả các dạng bài cơ bản của Vector. Vì vậy, đây là một tài liệu quan trọng giúp các em học sinh ôn lại các dạng bài có dùng đến Vector ở THPT.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hệ thống hóa các dạng bài tập về Vectơ

  1. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh Khoa Toán – Tin học HỆ THỐNG HÓA CÁC BÀI TẬP VỀ VECTƠ
  2. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Mục lục Mục lục.............................................................................................................. 2 I. Hệ thống những dạng toán có thể giải bằng phương pháp vector. ................ 5 1. Sơ lược chung. ...................................................................................... 5 2. ................................................................................................................ 6 2.1 - Các kiến thức cần nhớ. ..................................................................... 6 2.1.1 - Tổng, hiệu của hai vector .......................................................... 6 2.1.1.1 - Khái niệm ........................................................................... 6 2.1.2 - Tích của một vector với một số ................................................. 6 2.1.2.1 - Khái niệm ........................................................................... 6 2.1.2.2 - Tính chất ............................................................................. 7 2.1.3 - Tích vô hướng của hai vector .................................................... 7 2.1.3.1 - Khái niệm ........................................................................... 7 2.1.3.2 - Tính chất ............................................................................. 7 2.1.3.3 - Một số công thức tọa độ thường dùng ................................ 8 2.1.4 - Tích có hướng của hai vector .................................................... 8 2.1.4.1 - Khái niệm ........................................................................... 8 2.1.4.2 - Một số tính chất .................................................................. 8 2.1.4.3 - Ứng dụng của tích có hướng .............................................. 8 2.2 - Các kĩ thuật thường dùng ................................................................. 8 2.3 - Một số dạng bài tập .......................................................................... 9 2.3.1 - Tính độ dài của đoạn thẳng. ...................................................... 9 2.3.1.1 - Phương pháp ....................................................................... 9 2.3.1.2 - Bài tập áp dụng ................................................................... 9 2.3.2 - Tính số đo góc. ........................................................................ 11 2.3.2.1 - Phương pháp ..................................................................... 11 2.3.2.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 11
  3. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 2.3.3 - Tính diện tích, thể tích ............................................................. 13 2.3.2.1 - Phương pháp ..................................................................... 13 2.3.2.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 13 2.3.4 - Tính khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian. ........ 14 2.3.4.1 - Phương pháp ..................................................................... 14 2.3.4.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 15 3. Hệ thống các bài tập về tính chất - chứng minh. .................................... 15 3.1 - Các kiến thức cần nhớ .................................................................... 15 3.1.1 - Các phép toán về vector .......................................................... 15 3.1.2 - Một số tính chất khác cần lưu ý............................................... 15 3.2 - Một số dạng bài tập ....................................................................... 16 3.2.1 - Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức hình học. .............. 16 3.2.1.1 - Phương pháp ..................................................................... 16 3.2.1.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 16 3.2.2 - Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng song song, đồng quy hoặc vuông góc. ........................................................................... 19 3.2.2.1 - Phương pháp. .................................................................... 19 3.2.2.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 20 3.2.3 - Các bài toán hình học khác có thể giải bằng phương pháp vector. ............................................................................................................. 26 3.2.3.1 - Phương pháp ..................................................................... 26 3.2.3.2 - Bài tập áp dụng. ................................................................ 26 4. Hệ thống các bài tập về tìm tập hợp điểm. ............................................. 28 4.1 - Các kiến thức cần nhớ .................................................................... 28 4.1.1 - Các phép toán về vector .......................................................... 28 4.1.2 - Bổ sung .................................................................................... 28 4.1.3 - Phương pháp. ........................................................................... 28 4.2 - Bài tập áp dụng ............................................................................... 28 5. Hệ thống các bài tập đại số - giải tích có thể giải bằng phương pháp vector ..................................................................................................................... 29 5.1 - Các kiến thức cần nhớ .................................................................... 29
  4. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 5.1.1 - Các phép toán trên vector ........................................................ 29 5.1.2 - Một vài kiến thức khác ............................................................ 30 5.2 - Một số dạng bài tập ........................................................................ 30 5.2.1 - Chứng minh đẳng thức lượng giác .......................................... 30 5.2.1.1 - Phương pháp. .................................................................... 30 5.2.1.2 - Bài tập áp dụng. ................................................................ 30 5.2.2 - Chứng minh bất đẳng thức ...................................................... 31 5.2.2.1 - Phương pháp ..................................................................... 31 5.2.2.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 31 5.2.3 - Giải phương trình, hệ phương trình ......................................... 33 5.2.3.1 - Phương pháp ..................................................................... 33 5.2.3.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 33 II - Đối chiếu và nhận xét với hệ thống bài tập sách giáo khoa. .................... 36 1. Hệ thống bài tập sách giáo khoa ............................................................. 36 2. Một vài nhận xét ......................................................................................... III. PHỤ LỤC ......................................................................................................
  5. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Thực hành 2: 1. Hệ thống hóa những dạng toán có thể giải bằng PPVT.Kiến thức cần thiết để giải quyết?VD minh họa. 2. Đối chiếu với hệ thống bài tập trong SGK. Nhận xét ? Bài làm I. Hệ thống những dạng toán có thể giải bằng phương pháp vector. 1. Sơ lược chung. Những bài toán có thể giải bằng phương pháp vector thường xuất phát từ những đặc trưng về vector ( khái niệm - tính chất - phép toán). Phân tích những đặc trưng này, ta có thể thống kê hệ thống các bài tập như sau 1/ Hệ thống các bài tập tính toán. 1.1 - Tính các đại lượng hình học. (độ dài của đoạn thẳng, góc giữa hai vector, giữa hai đường thẳng, giữa hai mặt phẳng…) 2/ Hệ thống các bài tập về tính chất - chứng minh. 2.1 - Chứng minh đẳng thức vector, đẳng thức hình học. 2.2 - Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng song song nhau. 2.3 - Chứng minh các đường thẳng đồng quy. 2.4 - Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. 2.5 - Các bài toán hình học khác có thể giải bằng phương pháp vector. 3/ Hệ thống bài tập về tìm tập hợp điểm. 3.1 - Tìm tập hợp điểm mà giả thiết có liên quan đến tích vô hướng hoặc độ dài đoạn thẳng. Nhận xét: Nhìn chung, hệ thống bài tập phần này đa dạng, phong phú và cách giải rất phức tạp đòi hỏi tư duy và sự phân tích rất tinh tế. 4/ Hệ thống các bài tập đại số - giải tích có thể giải bằng phương pháp vector 4.1 - Đẳng thức lượng giác. 4.2 - Bất đẳng thức. 4.3 - Phương trình.
  6. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Nhận xét: Việc chuyển từ ngôn ngữ đại số sang hình học và giải bằng vector rất khó khăn, cần có sự đầu tư suy nghĩ, nghiên cứu rất nghiêm túc cùng việc rèn luyện trên một hệ thống bài tập đa dạng mới có thể đạt được những thành tựu cần thiết. 2. Hệ thống các bài tập tính toán. 2.1 - Các kiến thức cần nhớ. 2.1.1 - Tổng, hiệu của hai vector 2.1.1.1 - Khái niệm Tổng của hai vector: Cho hai vector a, b . Lấy 1 điểm A tùy ý và dựng hai điểm B, C thỏa AB  a, BC  b . Khi đó, a  b  A C Hiệu của hai vector: Hiệu của vector a với vector b là tổng của a với vector đối của b hay a b  a b 2.1.1.2 - Tính chất - quy tắc Quy tắc 3 điểm: Cho 3 điểm A, B, C. Khi đó ta có A B  A C  C B . Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, khi đó A B  A C  A D . Tính chất: Với a, b, c bất kì ta có 1. Giao hoán : a  b  b  a    2. Kết hợp: a  b  c  a  b  c  3. Tính chất của vector - không: a  0  0  a  a Lưu ý: 1. Điểm I là trung điểm AB khi và chỉ khi IA  IB  0 2. Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi GA  GB  GC  0 2.1.2 - Tích của một vector với một số 2.1.2.1 - Khái niệm - Tích của vector a với một số thực k được kí hiệu là k .a , được xác định như sau: 1. Nếu k  0 thì vector k .a cùng hướng vector a và ngược lại. 2. Độ dài vector k .a là k . a
  7. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 2.1.2.2 - Tính chất - Với hai vector bất kì a, b và mọi số thực k, l ta có: 1. k (la)  (kl )a 2. (k  l ).a  k.a  l.a 3. k (a  b)  ka  kb 4. k .a  0 khi và chỉ khi k  0  a  0 2.1.3 - Tích vô hướng của hai vector 2.1.3.1 - Khái niệm - Góc giữa hai vector: cho hai vector a, b đều khác vector - không, lấy một điểm O bất kì và dựng OA  a, OB  b . Khi đó, góc 00   OAB  1800 gọi là góc giữa hai vector a, b và kí hiệu là (a, b) . - Tích vô hướng giữa hai vector: cho hai vector a, b , khi đó, tích vô giữa chúng được xác định như sau a.b  a . b . cos(a, b) 2.1.3.2 - Tính chất Với 3 vector a, b, c tùy ý và số thực k. Ta có các tính chất sau  1. a.b  a . b  a, b  00   2. a.b   a . b  a, b  1800   3. a.b  0  a, b  9 00   2 2 3. a  a 4. a.b  b.a     5. k .a .b  a. k .b  k .(a.b) 6. a.(b  c)  a.b  a.c 7. 2 AB. AC  AB 2  AC 2  BC 2 với 3 điểm A, B, C bất kì.
  8. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 2.1.3.3 - Một số công thức tọa độ thường dùng 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vector a( x, y), b( x ', y ')  a.b  x.x ' y. y ' x.x ' y. y '  cos(a, b)  (với a, b  0 ) x 2  x '2 . y 2  y '2 2. Trong không gian Oxyz cho hai vector a  (a1, a2 , a3 ) , b  (b1, b2 , b3 )  a.b  a1.b1  a2 .b2  a3 .b3 a.b a1b1  a2b2  a3b3  cos(a, b)   (với a, b  0 ) a.b a12  a22  a32 . b12  b22  b32 2.1.4 - Tích có hướng của hai vector 2.1.4.1 - Khái niệm - Tích có hướng giữa hai vector a  (a1, a2 , a3 ) , b  (b1, b2 , b3 ) được xác định bởi công thức a a a a a a   a, b  a  b   2 3 ; 3 1 ; 1 2    a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3; a1b2  a2b1   b2 b3 b3 b1 b1 b2  2.1.4.2 - Một số tính chất 1. i , j   k;  j , k   i ; k , i   j 2. [ a, b]  a; [ a, b]  b 3. [ a, b]  a . b .sin  a, b  4. a, b cuøng phöông  [ a, b]  0 2.1.4.3 - Ứng dụng của tích có hướng 1. Ñieàu kieän ñoàng phaúng cuûa ba vectô: a, b vaø c ñoàng phaúng  [ a, b].c  0 2. Dieän tích hình bình haønh ABCD: S ABCD   AB, AD  1 3. Dieän tích tam giaùc ABC: S ABC   AB, AC  2 4. Theå tích khoái hoäp ABCD.ABCD: VABCD .A' B 'C ' D '  [ AB, AD ].AA ' 1 5. Theå tích töù dieän ABCD: VABCD  [ AB, AC].AD 6 2.2 - Các kĩ thuật thường dùng 1. Thu gọn biểu thức vector.
  9. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 2. Phân tích một vector theo các vector cơ sở. 3. Xác định góc giữa hai vector và tính tích vô hướng giữa chúng. 4. Đặt hệ tọa độ thích hợp để sử dụng công thức tích có hướng và các công thức tọa độ có liên quan đến vector khác. 2.3 - Một số dạng bài tập. 2.3.1 - Tính độ dài của đoạn thẳng. 2.3.1.1 - Phương pháp Chọn 1 hệ vector cơ sở (biết độ dài và góc giữa các vector), phân tích vector cần tính độ dài theo các vector cơ sở đó rồi bình phương hai vế và thu gọn. 2.3.1.2 - Bài tập áp dụng Nói chung, dạng bài tập này không khó. Đòi hỏi sự biến đổi khéo léo và tính toán cho thật cẩn thận. Để tránh đi việc sử dụng ngôn ngữ vector cũng như tăng tính phức tạp cho bài toán, tôi sẽ chuyễn tất cả các đề bài theo ngôn ngữ thuần túy hình học và khi giải quyết cần đưa về ngôn ngữ vector. Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3 và góc A là 300.Lấy 2 điểm X, Y trên tia AB, AC sao cho AX = 3AB và AY = 4AC, dựng hình bình hành AXDY. Lấy điểm M là trung điểm AD. Tính độ dài đoạn AM, và GM với G là trọng tâm tam giác ABC. Điểm M cho như trên sẽ thỏa đẳng thức 2 MA  3MB  4 MC  0 . Bài toán này thuần túy áp dụng phương pháp đã nêu trên: biểu diễn 2 vector AM , GM theo hai vector AB, AC rồi bình phương hai vế. Với lưu ý là đã biết độ dài AB, AC và góc A. Ta sẽ giấu bớt đi tính cơ bản bằng cách thay đổi giả thiết một chút Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7. Lấy điểm M sao cho khi lấy D trên tia MB thỏa MD = 3MB và dựng hình bình hành MAKD thì C là trung điểm MK. Tính độ dài AM và IM với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.  Với yêu cầu như vậy thì điểm M sẽ thỏa đẳng thức M A  3M B  2 M C . Ở đây, có hai vấn đề: 1. Chọn 2 vector cơ sở nào khi chưa biết góc nào cả? Ta có thể giải quyết bằng cách sử dụng công thức: 2 AB. AC  AB 2  AC 2  BC 2 và cần nhớ là yếu tố góc cũng chỉ để tính tích vô hướng và ta hoàn toàn có thể tính A B. A C khi chưa biết góc giữa chúng bằng công thức trên. 2. I là tâm đường tròn nội tiếp thì biểu diễn IM như thế nào? Việc này cần nhắc lại kiến thức cũ: Nếu I là tâm đường tròn nội tiếp thì ta có aIA  bIB  cIC  0 và kĩ thuật tách khá khéo léo IM  IA  AM .
  10. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Nhận xét 1: Các đẳng thức vector đã cho hoàn toàn có thể đổi các hệ số và ta có thể mở rộng ra trên đa giác, miễn là tìm được một cơ sở thích hợp. Có thể thấy rằng, chỉ cần biến đổi khéo léo và vận dụng các kiến thức cơ bản ta hoàn toàn có thể giải quyết các bài toán tương tự như vậy. Nhưng từ đây, cũng nảy ra ý tưởng về các bài toán ngược Bài 3: Cho tam giác ABC với AB = 2, AC = 4. Lấy điểm M thỏa yêu cầu như bài 2 . Biết AM = 5, tính BC?  Đầu tiên, cần đưa điều kiện của điểm M về thỏa một đẳng thức vetor: M A  3M B  2 M C Thực chất, đây là một bài toán giải phương trình. Ta chỉ cần là tương tự như bài toán 1, 2 đến khi thu được đẳng thức cuối chỉ gồm AM, AB, AC và A B. A C thì thay số vào và dùng công thức 2 AB. AC  AB 2  AC 2  BC 2 để có được đáp số. Tuy nhiên, sự thay đổi này cũng gây khá nhiều khó khăn cho học sinh nếu các em chỉ học theo kiểu “học 1 biết 1”. Có thể nâng tầm bài toán lên thêm một chút nữa Bài 4: Cho tam giác ABC với AB = 2, góc A là 450. Lấy điểm M thỏa yêu cầu như bài 2. Biết AM = 5, tính số đo góc A?  Cách làm vẫn tương tự như bài 3, chỉ khác là phải giải một phương trình bậc 2. Đối với bài sau, việc giải sẽ không còn đơn giản nữa dù cách làm vẫn là bắt chước hai bài trên nhưng ta đưa về việc giải hệ phương trình đẳng cấp. Đây không phải là vấn đề mà em nào cũng nghĩ ra được. Bài 5: Cho tam giác ABC có góc A là 600. Lấy điểm M sao cho C đối xứng với trung điểm AB qua M. Lấy điểm N thỏa N A  3 N B  5 N C  0 . Biết rằng AM = 2 và AN = 3. Tính độ dài AB, AC.  Điểm M thỏa hệ thức MA  MB  2 MC  0 Nhận xét 2: Với công cụ vector, ta có thể đưa ra những lời giải nhẹ nhàng và tinh tế hơn so với việc dùng các phương pháp khác. Bài toán có thể chuyển đổi linh hoạt từ tính toán đơn thuần trở về giải các phương trình, hệ phương trình đại số. Ta đưa thêm một bài toán của dạng này, đây là bước ngoặt khá hay cho sự liên kết hình học - đại số mà tiêu biểu là chuyển từ một bài hình về một bài bất phương trình. Có thể nói rằng, việc giải bài toán này bằng phương pháp hình học thuần túy là bất khả thi. Bài 6: Cho tam giác ABC có góc A là 600. Trên các đường thẳng AB, AC lấy hai điểm M, N sao cho AM + AN = 5. Dựng hình bình hành AMDN. Tìm điều kiện của đoạn AM để D luôn nằm trong đường tròn tâm A, bán kính 3. Nhận xét 3: Không lí do gì ngăn cản việc mở rộng phương pháp này cho các bài toán trong không gian với cách làm hoàn toàn tương tự.
  11. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có các góc ở đỉnh đều là 600 và SA = 2, SB = SC = 3. Lấy G là trọng tâm tam giác, M thỏa điều kiện như bài 5. Tính độ dài đoạn SG, SM và MG. Nhận xét 4: Hệ thống bài tập về việc tính độ dài đoạn thẳng ở chương trình SGK rất ít, tập trung chủ yếu ở phần “hệ thức lượng trong tam giác” và phương pháp giải là dùng các hệ thức lượng giác. Tuy nhiên, các bài tập vừa nêu rất khó khăn khi giải bằng những hệ thức lượng quen thuộc. 2.3.2 - Tính số đo góc. 2.3.2.1 - Phương pháp Cách 1: Chủ yếu sử dụng công thức: a.b AB. AC 1. co s ( a, b)  (một hệ quả thường dùng: cos ABC  ) a . b AB. AC a.b 2. cos(d , d ')  ( với a, b là các vector chỉ phương của 2 đường thẳng d và d’) a . b Cách 2: Lập một hệ tọa độ phù hợp và sử dụng các công thức tọa độ được thiết lập từ tích vô hướng của hai vector. (mặc dù đây không hẳn là dùng phương pháp vector, nhưng về cơ bản: Những công thức được dùng vốn được thiết lệp từ các phép toán trên vector. Hơn nữa lại rất thuận lợi cho việc tính góc trong không gian) 2.3.2.2 - Bài tập áp dụng Nối tiếp các dạng bài tập về tính độ dài đoạn thẳng, ta thấy để là được dạng này thì việc cơ bản là tính độ dài và tích vô hướng. Các dạng bài về góc thường mang tính khái quát cao, không phụ thuộc nhiều vào số liệu ( tức là cho như thế nào vẫn được). a/ Các bài tập về góc trong tam giác. Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và góc A là 300. Lấy điểm M thỏa….. ( một điều kiện hình học có thể chuyển về một đẳng thức vector nào đó phù hợp, ví dụ MA  3MB  2MC  0 ). Tính góc MAB. MA.MB  Chỉ đơn thuần dùng công thức cos AMB  , việc tính tích vô hướng M A.M B MA.MB hay tính độ dài MA, MB đã được luyện tập thuần thục ở dạng trước. Tất nhiên, với cách làm tương tự ta có thể giải quyết bài toán sau Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và góc A là 300. Lấy điểm M, N thỏa… ( một điều kiện hình học thuần túy nào đó cò thể chuyển về một đẳng thức vector nào đó phù hợp, ví dụ MA  3MB  2MC  0 , N A  N B  2 MC  0 , vấn đề chuyển đổi qua lại này không khó, nên sẽ không trình bày quá chi tiết ở đây). Tính góc MAN.
  12. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Các bài toán trên vẫn chưa hay vì các điểm được cho dưới dạng đẳng thức vector, điều này khiến việc biểu diễn theo cơ sở khá dễ dàng. Tốt nhất, ta giấu nó đi bằng những điểm thật quen thuộc: Bài 3: Cho tam giác ABC với AB = 4, AC = 5, BC = 6. Tính số đo góc IAO, với I là tâm đường tròn nội tiếp và O là tâm đường tròn ngoại tiếp.  Bài toán chỉ gây khó khăn với việc chuyển sang đẳng thức vector phù hợp là aIA  bIB  cIC  0 và sin(2BOC).OA  sin(2 AOC).IB  sin(2BOA) IC  0 . Tương tự dạng 1, ta có thể phát biểu các bài toán ngược như sau: Bài 4: Cho tam giác ABC với AB = 4, AC = 5. Lấy M thỏa…. ( một đẳng thức vector nào đó) và AM = 4. Tính số đo góc A.  Để giải quyết, chỉ cần đi theo các bước để tính độ dài AM. Đẳng thức cuối cùng chỉ chứa AM, AB, AC và cosA. Thay số ta sẽ có điều cần tìm. Lại một bài bất phương trình, cách giải cũng không khác gì các dạng trên Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5. Lấy điểm M thỏa …. . Tìm điều kiện của góc A để M nằm trong đường tròn tâm A bán kính 4. b/ Các bài tập về góc giữa hai đường thẳng, giữa hai mặt phẳng. a.b Việc tính góc giữa hai đường thẳng khá dễ dàng khi sử dụng công thức cos(d , d ')  . a . b Vấn đề quan trọng chỉ còn biểu diễn và tính toán cho cẩn thận. Hơn nữa, bài toán mang tính công thức quá nhiều nên khó kích thích tư duy, dễ gây việc đi vào lối mòn. Ở đây, hai dạng toán thường thấy là: tính góc hoặc tìm điều kiện để góc như thế nào đó. Bài 1: Cho tam giác ABC có (ta có thể cho điều kiện là 2 cạnh và góc xen giữa hoặc 3 cạnh). Lấy hai điểm M, N thỏa (một đẳng thức vector, một điều kiện thuần túy hình học…). Tính góc giữa hai đường thẳng AM và BN.  Các bước làm đã quá cụ thể: chọn cơ sở, biểu diễn AM , BN theo cơ sở và áp dụng công thức. Việc cho giả thiết là tam giác có thể thay bằng đa giác khác, miễn là có một cơ sở phù hợp ( biết độ dài vector, biết góc giữa chúng) hoặc có thể chuyển sang không gian 3 chiều một cách rất tự nhiên. Hai bài toán sau giải bằng phương pháp tương tự. Bài 2: Cho hình vuông ABCD, lấy M trên đoạn AB, lấy N trên đoạn BC. Đặt AM = x, BN = y. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng DM, AN theo x, y. Và tìm mối quan hệ giữa x, y để DM vuông góc AN. Bài 3: Cho hình chóp S. ABC có các góc ở đỉnh đều là góc vuông, SA = SB = 2a, SC = 5a. Lấy G là trọng tâm tam giác ABC và I là tâm đường tròn nội tiếp. Tính góc giữa hai đường thẳng SA, IG. Nhận xét 1: Phương pháp vector mang lại lời giải tổng quát và khá tự nhiên mà việc giải bằng hình học thuần túy không làm được.
  13. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Phần còn lại, tính góc giữa hai mặt phẳng. Việc này đòi hỏi phải phối hợp với phương pháp tọa độ và các công thức đã nói ở phần kiến thức cơ bản. Nói chung, đây cũng là một phương pháp mang tính tổng quát cao. Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Lấy điểm M, N thỏa…( đẳng thức vector nào đó). Tính góc giữa hai mặt phẳng (AMB) và (CAN).  Tất nhiên, cần trải qua 3 bước sau 1. Chọn hệ trục Oxyz phù hợp ( gốc tại A, tia Ox là tia AB, Oy là AC, Oz là AA’). 2. Tìm tọa độ các điểm cần thiết và viết phương trình mặt phẳng (AMB), (CAN). 3. Tìm 2 vector pháp tuyến của hai mặt rồi dùng công thức. Nhận xét 2: Các bài tập về tính góc ở SGK được giải chủ yếu bằng hệ thức lượng giác (SGK hình 10, chương 2), dùng hình học thuần túy ( SGK hình 11 chương 3), dùng tọa độ ( SGK hình 12 chương 3). Có lẽ, việc dùng vector chỉ là một phương pháp để giải quyết nhưng qua các ví dụ, có thể thấy nó khá hữu ích. 2.3.3 - Tính diện tích, thể tích 2.3.2.1 - Phương pháp 1. Các bài toán dạng tính diện tích dựa trên nền tảng tính các độ dài cạnh và góc của tam giác rồi dùng các hệ thức lượng quen thuộc. Tuy nhiên, ta có thể dùng thêm 1 công thức có liên quan đến vector như sau: 1 S ABC  AB. AC  AB. AC (*) 2 Việc sử dụng công thức đòi hỏi các kĩ thuật về tính độ dài đoạn thẳng và tính tích vô hướng. 2. Các dạng toán về thể tích cần đưa về hệ tọa độ thích hợp và áp dụng các công thức đã trình bày ở mục “kiến thức cần nhớ”. Nói chung, đây là dạng bài liên quan nhiều đến công thức tọa độ hơn nên sẽ không nhắc đến nhiều. 2.3.2.2 - Bài tập áp dụng Các bài tập về tính diện tích được giải quyết khá hiệu quả nhờ vector mà các công thức liên quan đến hệ thức lượng không làm được hoặc giải quyết rất khó khăn. Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và góc A là 1200. Tính diện tích tam giác ABC.  Ví dụ này không có gì đáng nói, có quá nhiều cách để giải quyết vì nó thực sự không quá khó. Nhưng để ứng dụng công thức nói trên một cách đơn giản thì có vẻ hữu ích. Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5, BC = 6. Lấy M, N thỏa…( 1 đẳng thức vector nào đấy). Tính diện tích tam giác AMN.  Nếu dùng các công thức tính diện tích đã nói trong chương trình SGK hình 10, ta cần phải biết 3 yếu tố của tam giác AMN ( 3 cạnh, 2 cạnh và góc xen giữa, 1 cạnh 1 đường cao…) tất nhiên là việc tính toán rất phức tạp. Nếu dùng công thức (*) thì chỉ cần biểu diễn AM , AN theo các vector cơ sở và tính độ dài AM, AN, A M . A N . Đây là bài tập đã rèn luyện ở phần trước.
  14. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Bài 3: Cho tam giác ABC, AB = 2, AC = 4, BC = 5. Tính diện tích tam giác OIG với O là tâm đường tròn ngoại tiếp, I là tâm đường tròn nội tiếp và G là trọng tâm của tam giác ABC.  Về cơ bản, cách làm cũng như bài trước. Cần lưu ý những đẳng thức vector liên quan đến các điểm I, O, G. Tiếp tục, có thể mở rộng hơn nữa sang không gian dù cách làm cũng tương tự. Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có các góc ở đỉnh đều vuông, SA = SB = 3, SC = 4. Lấy các điểm M, N, P…( thỏa đẳng thức nào đó). Tính diện tích tam giác MNP. 2.3.4 - Tính khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian. 2.3.4.1 - Phương pháp 1. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(P). Ý tưởng: tìm hình chiếu và tính độ dài đoạn nối A với hình chiếu. Bước 1: Chọn hệ vector cơ sở thích hợp. Bước 2: Trong mp(P), chọn 2 vector không cùng phương a, b ( mục đích là cơ sở trong mặt phẳng) và một điểm O. Biểu diễn 2 vector đã chọn theo hệ vector cơ sở ban đầu. Bước 3: Lấy H nằm trên (P). Khi đó, phân tích A H  A O  OH và giả sử OH  xa  yb . Tiếp tục biểu diễn AH theo hệ vector cơ sở ban đầu. Bước 4: Vì H là hình chiếu của A lên (P) nên ta có: AH .a  0  AH .b  0 . Từ đó tìm ra x, y. Khi đó, ta có thể biểu diễn AH theo hệ vector cơ sở một cách chính xác với x, y đã biết và bình phương vô hướng sẽ có ngay điều cần tìm. 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (AB) và (CD). Ý tưởng: tạo ra đoạn vuông góc chung và tính độ dài của nó. Bước 1:Chọn 1 hệ cơ sở thích hợp. Bước 2: Lấy M trên (AB), N trên (AC). Khi đó ta có MA  xAB, NC  yCD . Bước 3: Biểu diễn MN theo các vector cơ sở ( trong biểu diễn vẫn có ẩn x, y) Bước 4: Để MN là đường vuông góc chung của AB và CD thì MN . AB  0  MN .C D  0 . Từ đó giải ra x, y và tính được độ dài MN. Nhận xét: 1. Phương pháp vector cho cách làm tổng quát, có thể giải quyết hoàn toàn lớp bài toán dạng này. 2. Trải qua nhiều bước, biến đổi và tính toán khá nhiều dẫn đến nhiều sai sót. Hơn nữa, có một số bài có thể giải bằng hình học thuần túy mà không cần dùng phương pháp này. 3. Thực chất, các bước đang làm là chứng minh lại các công thức tính khoảng cách trong hệ tọa độ Oxyz.
  15. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 2.3.4.2 - Bài tập áp dụng Vì mang tính công thức nên dạng bài tập này rất dễ cho số liệu nhưng không có ý nghĩa nhiều trong tư duy phân tích. Cái cần thiết là sự cẩn thận và kiên trì. Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = 2. Lấy M, N, P là trung điểm AA’, BC, DD’ và gọi G là trọng tâm tứ diện A.B’C’D’. Tính khoảng cách từ G đến mp(MNP)  Ta vẫn đi qua các bước như trên. 1. Chọn cơ sở là 3 vector AA ', AB, AC . Biểu diễn MN , MP theo AA ', AB, AC . 2. Giả sử H là một điểm thuộc (MNP). Khi đó, MH  xMN  yMP và từ đó biểu diễn MH theo AA ', AB, AC . Sau đó, biểu diễn G H theo 3 vector AA ', AB, AC . 3. Để H là hình chiếu của A lên (MNP) thì GH .MN  0  GH .MP  0 và giải ra x, y. 4. Ta đã có biểu diễn G H theo AA ', AB, AC mà trong đó không chứa ẩn x, y. Bình phương 2 vế và thu được đáp số. Có thể thấy rằng, việc lấy M, N, P và điểm G không quan trọng. Có thể lấy như thế nào cũng được dù đáp số hoặc cách biến đổi có thể hơi dài dòng. Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có các góc ở đỉnh đều là góc vuông, SA = SB = 2a, SC = 5a. Lấy M, N là trung điểm SA, SB và G là trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa MG và CN.  Tiếp tục giải quyết theo thuật toán đã đưa ra, nếu dùng phương pháp hình học thuần túy thì phải vẽ thêm khá nhiều đường phụ. Để kết thúc phần này, ta có vài nhận xét sau Nhận xét 1. Vector là công cụ khá hiệu quả cho việc tính toán. 2. Các phương pháp dùng vector để tính toán ít được trình bày trong sách giáo khoa, các dạng bài tập phần này cũng hiếm thấy. ( hầu hết được giải theo phương pháp khác). 3. Việc tính toán các đại lượng hình học theo phương pháp vector dù mang tính công thức lối mòn nhưng vẫn còn những điểm thú vị, có thể kích thích sự tìm tòi của sinh nếu các em không bằng lòng với kết quả mình đã có. 3. Hệ thống các bài tập về tính chất - chứng minh. 3.1 - Các kiến thức cần nhớ 3.1.1 - Các phép toán về vector Xem lại phần 2.1.1 3.1.2 - Một số tính chất khác cần lưu ý 1. Công thức tâm tỉ cự
  16. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Cho tam giác ABC, lấy M là một điểm bất kì. Khi đó ta có đẳng thức S[ MBC ] MA  S[ MCA] MB  S[ MAB ] MC  0 Từ công thức này, có thể suy ra những đẳng thức khi M là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp… 2. Công thức tích vô hướng mở rộng: 1 AB. AC  ( AB 2  AC 2  BC 2 ) 2 3. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB  k AC , với k là số thực cho trước. 4. Hai đường thẳng AB, CD song song nhau nếu hai đoạn AB, CD không đồng thẳng và A B  kC D . 5. A B  C D  A B.C D  0 3.2 - Một số dạng bài tập. 3.2.1 - Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức hình học. 3.2.1.1 - Phương pháp. - Việc chứng minh đẳng thức hình học thường bắt đầu từ một đẳng thức vector quen thuộc và tiến hành bình phương vô hướng hai vế. - Chứng minh các bất đẳng thức hình học thường có 2 hướng đi 1. Xuất phát từ đẳng thức hình học đã tìm được bằng phương pháp vector, phối hợp với các bất đẳng thức quen thuộc khác. 2. Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc có liên quan đến vector. 2.1 a.b  a . b 2  n  2.2    i 1 ui   0  3.2.1.2 - Bài tập áp dụng Các bài tập về dạng này khá phong phú và đa dạng, đòi hỏi kinh nghiệm, sự phân tích lẫn tư duy rất sâu sắc nên khó lòng mà đưa ra một cách giải tổng quát được nên ta chỉ dẫn một vài ví dụ kinh điển mà thôi. a/ Chứng minh các đẳng thức hình học. Bài 1: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM và đường phân giác trong AD của góc A (M, D thuộc BC). Chứng minh các đẳng thức sau 1 1. MA2   2(b 2  c 2 )  a 2  4
  17. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 2bc A 2. AD 2  . cos bc 2  Những công thức trên chứng minh rất khó khăn nếu dùng phương pháp hình học thuần túy. Nhưng vector mang lại một lời giải khá gọn gàng 1. Với lưu ý M là trung điểm BC ta có đẳng thức AM  1 2   AB  AC , bình phương vô hướng 1 đồng thời sử dụng công thức AB. AC  ( AB 2  AC 2  BC 2 ) ta có đáp số cần tìm. 2 b c 2. Vì D là chân đường phân giác trong nên có đẳng thức AD  AB  AC , tiếp tục bình bc bc phương hai vế đồng thời sử dụng công thức A 1  cos A b 2  c 2  a 2  2bc cos   2 2 4bc Ta thấy rằng, việc chứng minh một đẳng thức dùng khá nhiều kiến thức và biến đổi rất nhiều để đem đến kết quả. Nhưng từ phương pháp này, học sinh sẽ khám phá ra khá nhiều công thức tính các đại lượng hình học trong tam giác, tứ giác hoặc một hình nào đó. Đẳng thức tiếp theo sẽ hơi khó khăn vì nó buộc phải nhớ một đẳng thức vector có liên quan đến trọng tâm. Bài 2: Cho tam giác ABC, trọng tâm G và một điểm M bất kì. Chứng minh rằng 1. 3(GA2  GB 2  GC 2 )  a 2  b2  c 2 2. 3  MA2  MB 2  MC 2   a 2  b 2  c 2  9MG 2  Vì bài toán cho trọng tâm nên cần nhớ đến đẳng thức quen thuộc GA  GB  GC  0 và một biến tấu khác của nó MA  MB  MC  3MG . Tiếp tục bình phương vô hướng và dùng công thức tích vô hướng mở rộng ta sẽ thu được đáp số cần tìm. Ý tưởng trên cũng khá hay cho việc tính độ dài đoạn nối hai điểm nào đó trong một tam giác. Bài 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, tâm đường tròn ngoại tiếp O, tâm đường tròn nội tiếp I. Chứng minh: 1. OI 2  R 2  2Rr ( công thức Euler) 2. 9( R 2  OG 2 )  a 2  b 2  c 2  Từ các đẳng thức aIA  bIB  cIC  0, GA  GB  GC  0 , biến đổi thành aOA  bOB  cOC  (a  b  c)OI , OA  OB  OC  3OG . Bình phương 2 vế đồng thời sử dụng abc thêm đẳng thức 2r R  . abc Một cách tổng quát, ta có thể đưa ra bài toán sau
  18. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Bài 4: Cho tam giác ABC, điểm I thỏa xIA  yIB  zIC  0 ( x  y  z  0) . Chứng minh đẳng thức xIA2  yIB 2  z IC 2  1 x yz  . xyc 2  yz a 2  xz b 2  Ngoài việc biến đổi bằng cách bình phương vô hướng như trên, ta còn thể chuyển từ độ dài đoạn thẳng sang tích vô hướng hai vector hoặc bình phương độ dài trở thành bình phương của một vector rồi phối hợp các phép biến đổi thích hợp. Bài 5: Cho tam giác ABC, điểm I thỏa xIA  yIB  zIC  0 ( x  y  z  0) . Chứng minh đẳng thức với một điểm M bất kì: xMA2  yMB 2  zMC 2  xIA2  yIB 2  zIC 2  ( x  y  z )MI 2  Vấn đề khá khó khăn ở đây là kĩ thuật tách này       2 2 2 VT  x MI  IA  y MI  IB  z MI  IC  ( x  y  z ) IM 2  2( xIA  yIB  zIC ).MI  xIA2  yIB 2  zIC 2 Từ cách biến đổi trên, ta có định lí tổng quát sau n Bài 6: Cho n điểm phân biệt Ai và n số thực ai. Giả sử điểm có I thỏa mãn  a IA  0 , chứng i 1 i i minh n n n  ai MAi2   ai IAi2   ai .MI 2 i 1 i 1 i 1 Bài toán cuối của phần này cho ta khá nhiều cách giải. Với phương pháp vector thì cách tách không mẫu mực mà mang tính kinh nghiệm nhiều hơn. Bài 7: Cho tứ giác ABCD, lấy I, J là trung điểm AC, BD. Chứng minh rằng AB2  BC 2  CD2  DA2  AC 2  BD2  4IJ 2 Nhận xét: 1. Phương pháp vector cho ta lời giải khá hay và ngắn gọn, mang tính tư duy, phân tích cao. Đồng thời có nhiều mở rộng khá thú vị. 2. Các phép biến đổi không bị ảnh hưởng bởi số chiều của không gian nên có thể mở rộng để chứng minh các đẳng thức trong không gian 3 chiều. 3. Hệ thống các bài tập sách giáo khoa có rất ít những bài tập chứng minh đẳng thức, chủ yếu dùng các công thức lượng giác quen thuộc. b/ Chứng minh bất đẳng thức hình học Đây là một vấn đề khó khăn và nhiều vấn đề để nói, ta chỉ để cập được một số bài toán tiêu biểu mà thôi
  19. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Từ những đẳng thức tìm ra được nhờ phương pháp vector, ta có thể biển đổi thêm một chút để được Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, tâm I đường tròn nội tiếp, tâm O đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh: 1. 3  MA2  MB 2  MC 2   a 2  b 2  c 2 , với M là một điểm bất kì. ( đây chỉ là biến đổi đơn giản từ đẳng thức 3  MA2  MB 2  MC 2   a 2  b 2  c 2  9MG 2 ) 2. R  2r  0 ( sử dụng OI 2  R 2  2Rr ) 3. 9( R 2  OG 2 )  2(ab  bc  ac) (sử dụng 9( R 2  OG 2 )  a 2  b 2  c 2 và bất đẳng thức Cauchy) 4. MA2  MB2  MC 2  GA2  GB 2  GC 2 ( với M là một điểm bất kì) Hoặc dùng các bất đẳng thức vector khác Bài 2: Cho tam giác ABC, trọng tâm G và một điểm M bất kì. Chứng minh MAGA .  MB.GB  MC.GC  GA2  GB 2  GC 2  Ở đây, ta sử dụng bất đẳng thức MA.GA  MA.GA  MG.GA  GA2 , làm tương tự với các tích còn lại và cộng theo vế. Đây là kĩ thuật biến đổi khá hay nhưng ít được học sinh quan tâm vì rất khó dùng.  xIA  yIB  zIC  2 Phần cuối, từ việc dùng bất đẳng thức  0 , ta thu được kết quả sau Bài 3: Cho tam giác ABC, các số thực x, y, z có tổng khác 0 và một điểm I bất kì. Chứng minh xIA2  yIB 2  zIC 2  1 x yz  . xyc 2  yza 2  xzb 2  Nhận xét: 1. Việc chứng minh bất đẳng thức hình học nhờ vector có ý nghĩa sâu sắc về mặt tư duy và ý nghĩa thực tế khi muốn mở rộng hay phát hiện nhiều bất đẳng thức mới. 2. SGK hình học không đề cập đến các loại bài tập dạng này vì không phù hợp trình độ các em. 3. Khi dạy học, cần chú ý gợi mở vấn đề để học sinh có thể tìm ra phương pháp này và thu được những lời giải tốt. 3.2.2 - Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng song song, đồng quy hoặc vuông góc. 3.2.2.1 - Phương pháp. 1. Chứng minh 3 điểm ABC thẳng hàng Bước 1: Chọn hệ vector cơ sở và biểu diễn AB, AC theo cơ sở đó Bước 2: Chứng minh rằng AB  k AC
  20. Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 2. Chứng minh 2 đường thẳng song song Giả sử cần chứng minh 2 đường thẳng AB, CD song song nhau Bước 1: Chọn hệ vector cơ sở và biểu diễn AB, CD theo cơ sở đó. Bước 2: Chứng minh A B  kC D và nhận xét A, B, C, D không đồng thẳng. 3. Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy Cách 1: Chứng minh đường thẳng thứ 3 đi qua giao điểm của 2 đường thẳng còn lại ( quy về bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng) Cách 2: Chứng minh cả 3 đường cùng đi qua một điểm. 4. Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc Giả sử cần chứng minh 2 đường thẳng AB, CD vuông góc nhau Bước 1: Chọn hệ vector cơ sở và biểu diễn AB, CD theo cơ sở đó Bước 2: Chứng minh A B.C D  0 3.2.2.2 - Bài tập áp dụng Khác với các dạng bài tập trước, loại bài tập này không hẳn lúc nào cũng có thể giải bằng phương pháp vector và đôi khi phương pháp vector cho một lời giải khá dài dòng và không đẹp. Ta sẽ trình bày một số ví dụ minh họa cho các bước làm, còn những kĩ thuật phức tạp khác đòi hỏi có sự nghiên cứu sâu hơn. a/ Các bài toán về thẳng hàng. Bài 1: (bài toán 3 trang 21 SGK HH10 NC) Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh 3 điểm O, G, H thẳng hàng.  Để giải bài toán này, SGK đã dùng hình học thuần túy chứng minh AH  2OI và suy ra OA  OB  OC  OH . Mà OA  OB  OC  3OG  OH  3OG Nên O, G, H thẳng hàng. Bài 2: (trích BT 15 SBT HH10 nâng cao) Cho 3 điểm A, B, C phân biệt. Chứng tỏ rằng IA  t.IB  (1  t ) IC là điều kiện cần và đủ để 3 điểm A, B, C thẳng hàng.  Theo giả thiết: IA  t.IB  (1  t ) IC . Với mọi I’ ta có: II '  I ' A  t ( II '  I ' B)  (1  t )( II '  I 'C)
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2