Hệ thống hóa các dạng bài tập về Vectơ

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền

Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh

Khoa Toán – Tin học

HỆ THỐNG HÓA

CÁC BÀI TẬP VỀ

VECTƠ

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền

Mục lục Mục lục.............................................................................................................. 2

I. Hệ thống những dạng toán có thể giải bằng phương pháp vector. ................ 5 1. Sơ lược chung. ...................................................................................... 5

2. ................................................................................................................ 6

2.1 - Các kiến thức cần nhớ. ..................................................................... 6

2.1.1 - Tổng, hiệu của hai vector .......................................................... 6

2.1.1.1 - Khái niệm ........................................................................... 6

2.1.2 - Tích của một vector với một số ................................................. 6 2.1.2.1 - Khái niệm ........................................................................... 6

2.1.2.2 - Tính chất ............................................................................. 7

2.1.3 - Tích vô hướng của hai vector .................................................... 7

2.1.3.1 - Khái niệm ........................................................................... 7

2.1.3.2 - Tính chất ............................................................................. 7

2.1.3.3 - Một số công thức tọa độ thường dùng ................................ 8 2.1.4 - Tích có hướng của hai vector .................................................... 8

2.1.4.1 - Khái niệm ........................................................................... 8

2.1.4.2 - Một số tính chất .................................................................. 8

2.1.4.3 - Ứng dụng của tích có hướng .............................................. 8

2.2 - Các kĩ thuật thường dùng ................................................................. 8 2.3 - Một số dạng bài tập .......................................................................... 9

2.3.1 - Tính độ dài của đoạn thẳng. ...................................................... 9

2.3.1.1 - Phương pháp ....................................................................... 9

2.3.1.2 - Bài tập áp dụng ................................................................... 9

2.3.2 - Tính số đo góc. ........................................................................ 11

2.3.2.1 - Phương pháp ..................................................................... 11 2.3.2.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 11

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền

2.3.3 - Tính diện tích, thể tích ............................................................. 13

2.3.2.1 - Phương pháp ..................................................................... 13

2.3.2.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 13

2.3.4 - Tính khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian. ........ 14 2.3.4.1 - Phương pháp ..................................................................... 14

2.3.4.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 15

3. Hệ thống các bài tập về tính chất - chứng minh. .................................... 15

3.1 - Các kiến thức cần nhớ .................................................................... 15

3.1.1 - Các phép toán về vector .......................................................... 15

3.1.2 - Một số tính chất khác cần lưu ý ............................................... 15 3.2 - Một số dạng bài tập ....................................................................... 16

3.2.1 - Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức hình học. .............. 16

3.2.1.1 - Phương pháp ..................................................................... 16

3.2.1.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 16

3.2.2 - Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng song song, đồng quy hoặc vuông góc. ........................................................................... 19

3.2.2.1 - Phương pháp. .................................................................... 19

3.2.2.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 20

3.2.3 - Các bài toán hình học khác có thể giải bằng phương pháp vector. ............................................................................................................. 26

3.2.3.1 - Phương pháp ..................................................................... 26

3.2.3.2 - Bài tập áp dụng. ................................................................ 26

4. Hệ thống các bài tập về tìm tập hợp điểm. ............................................. 28

4.1 - Các kiến thức cần nhớ .................................................................... 28

4.1.1 - Các phép toán về vector .......................................................... 28 4.1.2 - Bổ sung .................................................................................... 28

4.1.3 - Phương pháp. ........................................................................... 28

4.2 - Bài tập áp dụng ............................................................................... 28

5. Hệ thống các bài tập đại số - giải tích có thể giải bằng phương pháp vector ..................................................................................................................... 29

5.1 - Các kiến thức cần nhớ .................................................................... 29

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền

5.1.1 - Các phép toán trên vector ........................................................ 29

5.1.2 - Một vài kiến thức khác ............................................................ 30

5.2 - Một số dạng bài tập ........................................................................ 30

5.2.1 - Chứng minh đẳng thức lượng giác .......................................... 30 5.2.1.1 - Phương pháp. .................................................................... 30

5.2.1.2 - Bài tập áp dụng. ................................................................ 30

5.2.2 - Chứng minh bất đẳng thức ...................................................... 31

5.2.2.1 - Phương pháp ..................................................................... 31

5.2.2.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 31

5.2.3 - Giải phương trình, hệ phương trình ......................................... 33 5.2.3.1 - Phương pháp ..................................................................... 33

5.2.3.2 - Bài tập áp dụng ................................................................. 33

II - Đối chiếu và nhận xét với hệ thống bài tập sách giáo khoa. .................... 36

1. Hệ thống bài tập sách giáo khoa ............................................................. 36

2. Một vài nhận xét .........................................................................................

III. PHỤ LỤC ......................................................................................................

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền

Thực hành 2:

1. Hệ thống hóa những dạng toán có thể giải bằng PPVT.Kiến thức cần thiết để giải quyết?VD minh họa.

2. Đối chiếu với hệ thống bài tập trong SGK. Nhận xét ?

Bài làm

I. Hệ thống những dạng toán có thể giải bằng phương pháp vector.

1. Sơ lược chung.

Những bài toán có thể giải bằng phương pháp vector thường xuất phát từ những đặc trưng

về vector ( khái niệm - tính chất - phép toán). Phân tích những đặc trưng này, ta có thể thống kê hệ thống các bài tập như sau

1/ Hệ thống các bài tập tính toán.

1.1 - Tính các đại lượng hình học. (độ dài của đoạn thẳng, góc giữa hai vector, giữa hai đường thẳng, giữa hai mặt phẳng…)

2/ Hệ thống các bài tập về tính chất - chứng minh.

2.1 - Chứng minh đẳng thức vector, đẳng thức hình học.

2.2 - Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng song song nhau.

2.3 - Chứng minh các đường thẳng đồng quy.

2.4 - Chứng minh hai đường thẳng vuông góc.

2.5 - Các bài toán hình học khác có thể giải bằng phương pháp vector.

3/ Hệ thống bài tập về tìm tập hợp điểm.

3.1 - Tìm tập hợp điểm mà giả thiết có liên quan đến tích vô hướng hoặc độ dài đoạn thẳng.

Nhận xét: Nhìn chung, hệ thống bài tập phần này đa dạng, phong phú và cách giải rất phức tạp đòi hỏi tư duy và sự phân tích rất tinh tế.

4/ Hệ thống các bài tập đại số - giải tích có thể giải bằng phương pháp vector

4.1 - Đẳng thức lượng giác.

4.2 - Bất đẳng thức.

4.3 - Phương trình.

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Nhận xét: Việc chuyển từ ngôn ngữ đại số sang hình học và giải bằng vector rất khó khăn, cần có sự đầu tư suy nghĩ, nghiên cứu rất nghiêm túc cùng việc rèn luyện trên một hệ thống bài tập đa dạng mới có thể đạt được những thành tựu cần thiết.

2. Hệ thống các bài tập tính toán.

2.1 - Các kiến thức cần nhớ.

2.1.1 - Tổng, hiệu của hai vector

2.1.1.1 - Khái niệm

Tổng của hai vector: Cho hai vector . Lấy 1 điểm A tùy ý và dựng hai điểm B, C thỏa

. Khi đó,

Hiệu của hai vector: Hiệu của vector với vector là tổng của với vector đối của hay

2.1.1.2 - Tính chất - quy tắc

Quy tắc 3 điểm: Cho 3 điểm A, B, C. Khi đó ta có .

Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, khi đó .

Tính chất: Với bất kì ta có

1. Giao hoán :

2. Kết hợp:

3. Tính chất của vector - không:

Lưu ý:

1. Điểm I là trung điểm AB khi và chỉ khi

2. Điểm G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi

2.1.2 - Tích của một vector với một số

2.1.2.1 - Khái niệm

- Tích của vector với một số thực k được kí hiệu là , được xác định như sau:

1. Nếu thì vector cùng hướng vector và ngược lại.

2. Độ dài vector là

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 2.1.2.2 - Tính chất

- Với hai vector bất kì và mọi số thực k, l ta có:

khi và chỉ khi 4.

2.1.3 - Tích vô hướng của hai vector

2.1.3.1 - Khái niệm

- Góc giữa hai vector: cho hai vector đều khác vector - không, lấy một điểm O bất kì và

. Khi đó, góc gọi là góc giữa hai vector và kí hiệu dựng

là .

, khi đó, tích vô giữa chúng được xác định

- Tích vô hướng giữa hai vector: cho hai vector như sau

2.1.3.2 - Tính chất

Với 3 vector tùy ý và số thực k. Ta có các tính chất sau

với 3 điểm A, B, C bất kì. 7.

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 2.1.3.3 - Một số công thức tọa độ thường dùng

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vector

(với



)



(với

)

2. Trong không gian Oxyz cho hai vector

2.1.4 - Tích có hướng của hai vector

, được xác định bởi công

2.1.4.1 - Khái niệm - Tích có hướng giữa hai vector thức

2.1.4.2 - Một số tính chất 1.

3. 4. cuøng phöông

2.1.4.3 - Ứng dụng của tích có hướng 1. Ñieàu kieän ñoàng phaúng cuûa ba vectô:

vaø ñoàng phaúng 

2. Dieän tích hình bình haønh ABCD:

3. Dieän tích tam giaùc ABC:

4. Theå tích khoái hoäp ABCD.ABCD:

5. Theå tích töù dieän ABCD:

2.2 - Các kĩ thuật thường dùng

1. Thu gọn biểu thức vector.

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 2. Phân tích một vector theo các vector cơ sở.

3. Xác định góc giữa hai vector và tính tích vô hướng giữa chúng.

4. Đặt hệ tọa độ thích hợp để sử dụng công thức tích có hướng và các công thức tọa độ có liên quan đến vector khác.

2.3 - Một số dạng bài tập.

2.3.1 - Tính độ dài của đoạn thẳng.

2.3.1.1 - Phương pháp

Chọn 1 hệ vector cơ sở (biết độ dài và góc giữa các vector), phân tích vector cần tính độ dài theo các vector cơ sở đó rồi bình phương hai vế và thu gọn.

2.3.1.2 - Bài tập áp dụng

Nói chung, dạng bài tập này không khó. Đòi hỏi sự biến đổi khéo léo và tính toán cho thật cẩn thận.

Để tránh đi việc sử dụng ngôn ngữ vector cũng như tăng tính phức tạp cho bài toán, tôi sẽ chuyễn tất cả các đề bài theo ngôn ngữ thuần túy hình học và khi giải quyết cần đưa về ngôn ngữ vector. Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3 và góc A là 300.Lấy 2 điểm X, Y trên tia AB, AC sao cho AX = 3AB và AY = 4AC, dựng hình bình hành AXDY. Lấy điểm M là trung điểm AD. Tính độ dài đoạn AM, và GM với G là trọng tâm tam giác ABC.

Điểm M cho như trên sẽ thỏa đẳng thức .

Bài toán này thuần túy áp dụng phương pháp đã nêu trên: biểu diễn 2 vector theo hai

vector rồi bình phương hai vế. Với lưu ý là đã biết độ dài AB, AC và góc A.

Ta sẽ giấu bớt đi tính cơ bản bằng cách thay đổi giả thiết một chút

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7. Lấy điểm M sao cho khi lấy D trên tia MB thỏa MD = 3MB và dựng hình bình hành MAKD thì C là trung điểm MK. Tính độ dài AM và IM với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

 Với yêu cầu như vậy thì điểm M sẽ thỏa đẳng thức .

Ở đây, có hai vấn đề:

1. Chọn 2 vector cơ sở nào khi chưa biết góc nào cả?

Ta có thể giải quyết bằng cách sử dụng công thức: và cần

khi chưa nhớ là yếu tố góc cũng chỉ để tính tích vô hướng và ta hoàn toàn có thể tính biết góc giữa chúng bằng công thức trên.

như thế nào? Việc này cần nhắc lại kiến thức cũ:

2. I là tâm đường tròn nội tiếp thì biểu diễn Nếu I là tâm đường tròn nội tiếp thì ta có và kĩ thuật tách khá khéo léo

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Nhận xét 1: Các đẳng thức vector đã cho hoàn toàn có thể đổi các hệ số và ta có thể mở rộng ra trên đa giác, miễn là tìm được một cơ sở thích hợp.

Có thể thấy rằng, chỉ cần biến đổi khéo léo và vận dụng các kiến thức cơ bản ta hoàn toàn có thể giải quyết các bài toán tương tự như vậy. Nhưng từ đây, cũng nảy ra ý tưởng về các bài toán ngược

Bài 3: Cho tam giác ABC với AB = 2, AC = 4. Lấy điểm M thỏa yêu cầu như bài 2 . Biết AM = 5, tính BC?

 Đầu tiên, cần đưa điều kiện của điểm M về thỏa một đẳng thức vetor:

thì thay số vào và dùng công thức

Thực chất, đây là một bài toán giải phương trình. Ta chỉ cần là tương tự như bài toán 1, 2 đến khi thu được đẳng thức cuối chỉ gồm AM, AB, AC và để có được đáp số.

Tuy nhiên, sự thay đổi này cũng gây khá nhiều khó khăn cho học sinh nếu các em chỉ học theo kiểu “học 1 biết 1”. Có thể nâng tầm bài toán lên thêm một chút nữa Bài 4: Cho tam giác ABC với AB = 2, góc A là 450. Lấy điểm M thỏa yêu cầu như bài 2. Biết AM = 5, tính số đo góc A?

 Cách làm vẫn tương tự như bài 3, chỉ khác là phải giải một phương trình bậc 2.

Đối với bài sau, việc giải sẽ không còn đơn giản nữa dù cách làm vẫn là bắt chước hai bài trên nhưng ta đưa về việc giải hệ phương trình đẳng cấp. Đây không phải là vấn đề mà em nào cũng nghĩ ra được. Bài 5: Cho tam giác ABC có góc A là 600. Lấy điểm M sao cho C đối xứng với trung điểm AB qua M. Lấy điểm N thỏa . Biết rằng AM = 2 và AN = 3. Tính độ dài AB, AC.

 Điểm M thỏa hệ thức

Nhận xét 2: Với công cụ vector, ta có thể đưa ra những lời giải nhẹ nhàng và tinh tế hơn so với việc dùng các phương pháp khác. Bài toán có thể chuyển đổi linh hoạt từ tính toán đơn thuần trở về giải các phương trình, hệ phương trình đại số.

Ta đưa thêm một bài toán của dạng này, đây là bước ngoặt khá hay cho sự liên kết hình học - đại số mà tiêu biểu là chuyển từ một bài hình về một bài bất phương trình. Có thể nói rằng, việc giải bài toán này bằng phương pháp hình học thuần túy là bất khả thi.

Bài 6: Cho tam giác ABC có góc A là 600. Trên các đường thẳng AB, AC lấy hai điểm M, N sao cho AM + AN = 5. Dựng hình bình hành AMDN. Tìm điều kiện của đoạn AM để D luôn nằm trong đường tròn tâm A, bán kính 3.

Nhận xét 3: Không lí do gì ngăn cản việc mở rộng phương pháp này cho các bài toán trong không gian với cách làm hoàn toàn tương tự.

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có các góc ở đỉnh đều là 600 và SA = 2, SB = SC = 3. Lấy G là trọng tâm tam giác, M thỏa điều kiện như bài 5. Tính độ dài đoạn SG, SM và MG.

Nhận xét 4: Hệ thống bài tập về việc tính độ dài đoạn thẳng ở chương trình SGK rất ít, tập trung chủ yếu ở phần “hệ thức lượng trong tam giác” và phương pháp giải là dùng các hệ thức lượng giác. Tuy nhiên, các bài tập vừa nêu rất khó khăn khi giải bằng những hệ thức lượng quen thuộc.

2.3.2 - Tính số đo góc.

2.3.2.1 - Phương pháp

Cách 1: Chủ yếu sử dụng công thức:

1. (một hệ quả thường dùng: )

2. ( với là các vector chỉ phương của 2 đường thẳng d và d’)

Cách 2: Lập một hệ tọa độ phù hợp và sử dụng các công thức tọa độ được thiết lập từ tích vô hướng của hai vector.

(mặc dù đây không hẳn là dùng phương pháp vector, nhưng về cơ bản: Những công thức được dùng vốn được thiết lệp từ các phép toán trên vector. Hơn nữa lại rất thuận lợi cho việc tính góc trong không gian)

2.3.2.2 - Bài tập áp dụng

Nối tiếp các dạng bài tập về tính độ dài đoạn thẳng, ta thấy để là được dạng này thì việc cơ bản là tính độ dài và tích vô hướng. Các dạng bài về góc thường mang tính khái quát cao, không phụ thuộc nhiều vào số liệu ( tức là cho như thế nào vẫn được).

a/ Các bài tập về góc trong tam giác.

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và góc A là 300. Lấy điểm M thỏa….. ( một điều kiện hình học có thể chuyển về một đẳng thức vector nào đó phù hợp, ví dụ

). Tính góc MAB.

 Chỉ đơn thuần dùng công thức , việc tính tích vô hướng

hay tính độ dài MA, MB đã được luyện tập thuần thục ở dạng trước.

Tất nhiên, với cách làm tương tự ta có thể giải quyết bài toán sau Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 và góc A là 300. Lấy điểm M, N thỏa… ( một điều kiện hình học thuần túy nào đó cò thể chuyển về một đẳng thức vector nào đó phù hợp, ví dụ

, , vấn đề chuyển đổi qua lại này không khó, nên sẽ không trình bày quá chi tiết ở đây). Tính góc MAN.

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Các bài toán trên vẫn chưa hay vì các điểm được cho dưới dạng đẳng thức vector, điều này khiến việc biểu diễn theo cơ sở khá dễ dàng. Tốt nhất, ta giấu nó đi bằng những điểm thật quen thuộc:

Bài 3: Cho tam giác ABC với AB = 4, AC = 5, BC = 6. Tính số đo góc IAO, với I là tâm đường tròn nội tiếp và O là tâm đường tròn ngoại tiếp.

 Bài toán chỉ gây khó khăn với việc chuyển sang đẳng thức vector phù hợp là

và .

Tương tự dạng 1, ta có thể phát biểu các bài toán ngược như sau:

Bài 4: Cho tam giác ABC với AB = 4, AC = 5. Lấy M thỏa…. ( một đẳng thức vector nào đó) và AM = 4. Tính số đo góc A.

 Để giải quyết, chỉ cần đi theo các bước để tính độ dài AM. Đẳng thức cuối cùng chỉ chứa AM, AB, AC và cosA. Thay số ta sẽ có điều cần tìm.

Lại một bài bất phương trình, cách giải cũng không khác gì các dạng trên

Bài 5: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5. Lấy điểm M thỏa …. . Tìm điều kiện của góc A để M nằm trong đường tròn tâm A bán kính 4.

b/ Các bài tập về góc giữa hai đường thẳng, giữa hai mặt phẳng.

Việc tính góc giữa hai đường thẳng khá dễ dàng khi sử dụng công thức .

Vấn đề quan trọng chỉ còn biểu diễn và tính toán cho cẩn thận. Hơn nữa, bài toán mang tính công thức quá nhiều nên khó kích thích tư duy, dễ gây việc đi vào lối mòn. Ở đây, hai dạng toán thường thấy là: tính góc hoặc tìm điều kiện để góc như thế nào đó.

Bài 1: Cho tam giác ABC có (ta có thể cho điều kiện là 2 cạnh và góc xen giữa hoặc 3 cạnh). Lấy hai điểm M, N thỏa (một đẳng thức vector, một điều kiện thuần túy hình học…). Tính góc giữa hai đường thẳng AM và BN.

 Các bước làm đã quá cụ thể: chọn cơ sở, biểu diễn theo cơ sở và áp dụng

công thức.

Việc cho giả thiết là tam giác có thể thay bằng đa giác khác, miễn là có một cơ sở phù hợp ( biết độ dài vector, biết góc giữa chúng) hoặc có thể chuyển sang không gian 3 chiều một cách rất tự nhiên. Hai bài toán sau giải bằng phương pháp tương tự.

Bài 2: Cho hình vuông ABCD, lấy M trên đoạn AB, lấy N trên đoạn BC. Đặt AM = x, BN = y. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng DM, AN theo x, y. Và tìm mối quan hệ giữa x, y để DM vuông góc AN.

Bài 3: Cho hình chóp S. ABC có các góc ở đỉnh đều là góc vuông, SA = SB = 2a, SC = 5a. Lấy G là trọng tâm tam giác ABC và I là tâm đường tròn nội tiếp. Tính góc giữa hai đường thẳng SA, IG.

Nhận xét 1: Phương pháp vector mang lại lời giải tổng quát và khá tự nhiên mà việc giải bằng hình học thuần túy không làm được.

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Phần còn lại, tính góc giữa hai mặt phẳng. Việc này đòi hỏi phải phối hợp với phương pháp tọa độ và các công thức đã nói ở phần kiến thức cơ bản. Nói chung, đây cũng là một phương pháp mang tính tổng quát cao.

Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Lấy điểm M, N thỏa…( đẳng thức vector nào đó). Tính góc giữa hai mặt phẳng (AMB) và (CAN).

 Tất nhiên, cần trải qua 3 bước sau

1. Chọn hệ trục Oxyz phù hợp ( gốc tại A, tia Ox là tia AB, Oy là AC, Oz là AA’).

2. Tìm tọa độ các điểm cần thiết và viết phương trình mặt phẳng (AMB), (CAN).

3. Tìm 2 vector pháp tuyến của hai mặt rồi dùng công thức.

Nhận xét 2: Các bài tập về tính góc ở SGK được giải chủ yếu bằng hệ thức lượng giác (SGK hình 10, chương 2), dùng hình học thuần túy ( SGK hình 11 chương 3), dùng tọa độ ( SGK hình 12 chương 3). Có lẽ, việc dùng vector chỉ là một phương pháp để giải quyết nhưng qua các ví dụ, có thể thấy nó khá hữu ích.

2.3.3 - Tính diện tích, thể tích

2.3.2.1 - Phương pháp

1. Các bài toán dạng tính diện tích dựa trên nền tảng tính các độ dài cạnh và góc của tam giác rồi dùng các hệ thức lượng quen thuộc. Tuy nhiên, ta có thể dùng thêm 1 công thức có liên quan đến vector như sau:

(*)

Việc sử dụng công thức đòi hỏi các kĩ thuật về tính độ dài đoạn thẳng và tính tích vô hướng.

2. Các dạng toán về thể tích cần đưa về hệ tọa độ thích hợp và áp dụng các công thức đã trình bày ở mục “kiến thức cần nhớ”. Nói chung, đây là dạng bài liên quan nhiều đến công thức tọa độ hơn nên sẽ không nhắc đến nhiều.

2.3.2.2 - Bài tập áp dụng

Các bài tập về tính diện tích được giải quyết khá hiệu quả nhờ vector mà các công thức liên quan đến hệ thức lượng không làm được hoặc giải quyết rất khó khăn. Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và góc A là 1200. Tính diện tích tam giác ABC.

 Ví dụ này không có gì đáng nói, có quá nhiều cách để giải quyết vì nó thực sự không quá khó. Nhưng để ứng dụng công thức nói trên một cách đơn giản thì có vẻ hữu ích.

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5, BC = 6. Lấy M, N thỏa…( 1 đẳng thức vector nào đấy). Tính diện tích tam giác AMN.

 Nếu dùng các công thức tính diện tích đã nói trong chương trình SGK hình 10, ta cần

phải biết 3 yếu tố của tam giác AMN ( 3 cạnh, 2 cạnh và góc xen giữa, 1 cạnh 1 đường cao…) tất theo nhiên là việc tính toán rất phức tạp. Nếu dùng công thức (*) thì chỉ cần biểu diễn

các vector cơ sở và tính độ dài AM, AN, . Đây là bài tập đã rèn luyện ở phần trước.

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Bài 3: Cho tam giác ABC, AB = 2, AC = 4, BC = 5. Tính diện tích tam giác OIG với O là tâm đường tròn ngoại tiếp, I là tâm đường tròn nội tiếp và G là trọng tâm của tam giác ABC.

 Về cơ bản, cách làm cũng như bài trước. Cần lưu ý những đẳng thức vector liên quan đến các điểm I, O, G.

Tiếp tục, có thể mở rộng hơn nữa sang không gian dù cách làm cũng tương tự.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có các góc ở đỉnh đều vuông, SA = SB = 3, SC = 4. Lấy các điểm M, N, P…( thỏa đẳng thức nào đó). Tính diện tích tam giác MNP.

2.3.4 - Tính khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian.

2.3.4.1 - Phương pháp

1. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(P).

Ý tưởng: tìm hình chiếu và tính độ dài đoạn nối A với hình chiếu.

Bước 1: Chọn hệ vector cơ sở thích hợp.

( mục đích là cơ sở trong mặt

Bước 2: Trong mp(P), chọn 2 vector không cùng phương phẳng) và một điểm O. Biểu diễn 2 vector đã chọn theo hệ vector cơ sở ban đầu.

Bước 3: Lấy H nằm trên (P). Khi đó, phân tích và giả sử . Tiếp

tục biểu diễn theo hệ vector cơ sở ban đầu.

. Từ đó tìm ra x, y. Khi

theo hệ vector cơ sở một cách chính xác với x, y đã biết và bình Bước 4: Vì H là hình chiếu của A lên (P) nên ta có: đó, ta có thể biểu diễn phương vô hướng sẽ có ngay điều cần tìm.

2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (AB) và (CD).

Ý tưởng: tạo ra đoạn vuông góc chung và tính độ dài của nó.

Bước 1:Chọn 1 hệ cơ sở thích hợp.

Bước 2: Lấy M trên (AB), N trên (AC). Khi đó ta có .

Bước 3: Biểu diễn MN theo các vector cơ sở ( trong biểu diễn vẫn có ẩn x, y)

. Từ đó Bước 4: Để MN là đường vuông góc chung của AB và CD thì giải ra x, y và tính được độ dài MN.

Nhận xét:

1. Phương pháp vector cho cách làm tổng quát, có thể giải quyết hoàn toàn lớp bài toán dạng này.

2. Trải qua nhiều bước, biến đổi và tính toán khá nhiều dẫn đến nhiều sai sót. Hơn nữa, có một số bài có thể giải bằng hình học thuần túy mà không cần dùng phương pháp này.

3. Thực chất, các bước đang làm là chứng minh lại các công thức tính khoảng cách trong hệ tọa độ Oxyz.

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 2.3.4.2 - Bài tập áp dụng

Vì mang tính công thức nên dạng bài tập này rất dễ cho số liệu nhưng không có ý nghĩa nhiều trong tư duy phân tích. Cái cần thiết là sự cẩn thận và kiên trì.

Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = 2. Lấy M, N, P là trung điểm AA’, BC, DD’ và gọi G là trọng tâm tứ diện A.B’C’D’. Tính khoảng cách từ G đến mp(MNP)

 Ta vẫn đi qua các bước như trên.

1. Chọn cơ sở là 3 vector . Biểu diễn theo .

2. Giả sử H là một điểm thuộc (MNP). Khi đó, và từ đó biểu diễn theo

. Sau đó, biểu diễn theo 3 vector .

3. Để H là hình chiếu của A lên (MNP) thì và giải ra x, y.

theo mà trong đó không chứa ẩn x, y. Bình phương 2 vế

4. Ta đã có biểu diễn và thu được đáp số.

Có thể thấy rằng, việc lấy M, N, P và điểm G không quan trọng. Có thể lấy như thế nào cũng được dù đáp số hoặc cách biến đổi có thể hơi dài dòng.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có các góc ở đỉnh đều là góc vuông, SA = SB = 2a, SC = 5a. Lấy M, N là trung điểm SA, SB và G là trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa MG và CN.

 Tiếp tục giải quyết theo thuật toán đã đưa ra, nếu dùng phương pháp hình học thuần túy thì phải vẽ thêm khá nhiều đường phụ.

Để kết thúc phần này, ta có vài nhận xét sau

Nhận xét

1. Vector là công cụ khá hiệu quả cho việc tính toán.

2. Các phương pháp dùng vector để tính toán ít được trình bày trong sách giáo khoa, các dạng bài tập phần này cũng hiếm thấy. ( hầu hết được giải theo phương pháp khác).

3. Việc tính toán các đại lượng hình học theo phương pháp vector dù mang tính công thức lối mòn nhưng vẫn còn những điểm thú vị, có thể kích thích sự tìm tòi của sinh nếu các em không bằng lòng với kết quả mình đã có.

3. Hệ thống các bài tập về tính chất - chứng minh.

3.1 - Các kiến thức cần nhớ

3.1.1 - Các phép toán về vector

Xem lại phần 2.1.1

3.1.2 - Một số tính chất khác cần lưu ý

1. Công thức tâm tỉ cự

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Cho tam giác ABC, lấy M là một điểm bất kì. Khi đó ta có đẳng thức

Từ công thức này, có thể suy ra những đẳng thức khi M là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp…

2. Công thức tích vô hướng mở rộng:

3. Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi , với k là số thực cho trước.

4. Hai đường thẳng AB, CD song song nhau nếu hai đoạn AB, CD không đồng thẳng và

3.2 - Một số dạng bài tập.

3.2.1 - Chứng minh các đẳng thức, bất đẳng thức hình học.

3.2.1.1 - Phương pháp.

- Việc chứng minh đẳng thức hình học thường bắt đầu từ một đẳng thức vector quen thuộc và tiến hành bình phương vô hướng hai vế.

- Chứng minh các bất đẳng thức hình học thường có 2 hướng đi

1. Xuất phát từ đẳng thức hình học đã tìm được bằng phương pháp vector, phối hợp với các bất đẳng thức quen thuộc khác.

2. Sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc có liên quan đến vector.

2.1

2.2

3.2.1.2 - Bài tập áp dụng

Các bài tập về dạng này khá phong phú và đa dạng, đòi hỏi kinh nghiệm, sự phân tích lẫn tư duy rất sâu sắc nên khó lòng mà đưa ra một cách giải tổng quát được nên ta chỉ dẫn một vài ví dụ kinh điển mà thôi.

a/ Chứng minh các đẳng thức hình học.

Bài 1: Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM và đường phân giác trong AD của góc A (M, D thuộc BC). Chứng minh các đẳng thức sau

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền

 Những công thức trên chứng minh rất khó khăn nếu dùng phương pháp hình học thuần túy. Nhưng vector mang lại một lời giải khá gọn gàng

1. Với lưu ý M là trung điểm BC ta có đẳng thức , bình phương vô hướng

đồng thời sử dụng công thức ta có đáp số cần tìm.

2. Vì D là chân đường phân giác trong nên có đẳng thức , tiếp tục bình

phương hai vế đồng thời sử dụng công thức

Ta thấy rằng, việc chứng minh một đẳng thức dùng khá nhiều kiến thức và biến đổi rất nhiều để đem đến kết quả. Nhưng từ phương pháp này, học sinh sẽ khám phá ra khá nhiều công thức tính các đại lượng hình học trong tam giác, tứ giác hoặc một hình nào đó.

Đẳng thức tiếp theo sẽ hơi khó khăn vì nó buộc phải nhớ một đẳng thức vector có liên quan đến trọng tâm.

Bài 2: Cho tam giác ABC, trọng tâm G và một điểm M bất kì. Chứng minh rằng

 Vì bài toán cho trọng tâm nên cần nhớ đến đẳng thức quen thuộc

. Tiếp tục bình phương vô hướng và dùng và một biến tấu khác của nó công thức tích vô hướng mở rộng ta sẽ thu được đáp số cần tìm.

Ý tưởng trên cũng khá hay cho việc tính độ dài đoạn nối hai điểm nào đó trong một tam giác.

Bài 3: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, tâm đường tròn ngoại tiếp O, tâm đường tròn nội tiếp I. Chứng minh:

( công thức Euler) 1.

 Từ các đẳng thức , biến đổi thành

. Bình phương 2 vế đồng thời sử dụng

thêm đẳng thức .

Một cách tổng quát, ta có thể đưa ra bài toán sau

. Chứng minh đẳng

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Bài 4: Cho tam giác ABC, điểm I thỏa thức

Ngoài việc biến đổi bằng cách bình phương vô hướng như trên, ta còn thể chuyển từ độ dài đoạn thẳng sang tích vô hướng hai vector hoặc bình phương độ dài trở thành bình phương của một vector rồi phối hợp các phép biến đổi thích hợp.

. Chứng minh đẳng

Bài 5: Cho tam giác ABC, điểm I thỏa thức với một điểm M bất kì:

 Vấn đề khá khó khăn ở đây là kĩ thuật tách này

Từ cách biến đổi trên, ta có định lí tổng quát sau

, chứng Bài 6: Cho n điểm phân biệt Ai và n số thực ai. Giả sử điểm có I thỏa mãn

minh

Bài toán cuối của phần này cho ta khá nhiều cách giải. Với phương pháp vector thì cách tách không mẫu mực mà mang tính kinh nghiệm nhiều hơn.

Bài 7: Cho tứ giác ABCD, lấy I, J là trung điểm AC, BD. Chứng minh rằng

Nhận xét:

1. Phương pháp vector cho ta lời giải khá hay và ngắn gọn, mang tính tư duy, phân tích cao. Đồng thời có nhiều mở rộng khá thú vị.

2. Các phép biến đổi không bị ảnh hưởng bởi số chiều của không gian nên có thể mở rộng để chứng minh các đẳng thức trong không gian 3 chiều.

3. Hệ thống các bài tập sách giáo khoa có rất ít những bài tập chứng minh đẳng thức, chủ yếu dùng các công thức lượng giác quen thuộc.

b/ Chứng minh bất đẳng thức hình học

Đây là một vấn đề khó khăn và nhiều vấn đề để nói, ta chỉ để cập được một số bài toán tiêu biểu mà thôi

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Từ những đẳng thức tìm ra được nhờ phương pháp vector, ta có thể biển đổi thêm một chút để được

Bài 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, tâm I đường tròn nội tiếp, tâm O đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh:

, với M là một điểm bất kì. 1.

( đây chỉ là biến đổi đơn giản từ đẳng thức )

( sử dụng ) 2.

(sử dụng và bất đẳng thức Cauchy) 3.

4. ( với M là một điểm bất kì)

Hoặc dùng các bất đẳng thức vector khác

Bài 2: Cho tam giác ABC, trọng tâm G và một điểm M bất kì. Chứng minh

 Ở đây, ta sử dụng bất đẳng thức , làm tương tự với

các tích còn lại và cộng theo vế. Đây là kĩ thuật biến đổi khá hay nhưng ít được học sinh quan tâm vì rất khó dùng.

Phần cuối, từ việc dùng bất đẳng thức , ta thu được kết quả sau

Bài 3: Cho tam giác ABC, các số thực x, y, z có tổng khác 0 và một điểm I bất kì. Chứng minh

Nhận xét:

1. Việc chứng minh bất đẳng thức hình học nhờ vector có ý nghĩa sâu sắc về mặt tư duy và ý nghĩa thực tế khi muốn mở rộng hay phát hiện nhiều bất đẳng thức mới.

2. SGK hình học không đề cập đến các loại bài tập dạng này vì không phù hợp trình độ các em.

3. Khi dạy học, cần chú ý gợi mở vấn đề để học sinh có thể tìm ra phương pháp này và thu được những lời giải tốt.

3.2.2 - Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng song song, đồng quy hoặc vuông góc.

3.2.2.1 - Phương pháp.

1. Chứng minh 3 điểm ABC thẳng hàng

Bước 1: Chọn hệ vector cơ sở và biểu diễn theo cơ sở đó

Bước 2: Chứng minh rằng

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 2. Chứng minh 2 đường thẳng song song

Giả sử cần chứng minh 2 đường thẳng AB, CD song song nhau

Bước 1: Chọn hệ vector cơ sở và biểu diễn theo cơ sở đó.

Bước 2: Chứng minh và nhận xét A, B, C, D không đồng thẳng.

3. Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Cách 1: Chứng minh đường thẳng thứ 3 đi qua giao điểm của 2 đường thẳng còn lại ( quy về bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

Cách 2: Chứng minh cả 3 đường cùng đi qua một điểm.

4. Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc

Giả sử cần chứng minh 2 đường thẳng AB, CD vuông góc nhau

Bước 1: Chọn hệ vector cơ sở và biểu diễn theo cơ sở đó

Bước 2: Chứng minh

3.2.2.2 - Bài tập áp dụng

Khác với các dạng bài tập trước, loại bài tập này không hẳn lúc nào cũng có thể giải bằng phương pháp vector và đôi khi phương pháp vector cho một lời giải khá dài dòng và không đẹp. Ta sẽ trình bày một số ví dụ minh họa cho các bước làm, còn những kĩ thuật phức tạp khác đòi hỏi có sự nghiên cứu sâu hơn. a/ Các bài toán về thẳng hàng.

Bài 1: (bài toán 3 trang 21 SGK HH10 NC)

Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh 3

điểm O, G, H thẳng hàng.

 Để giải bài toán này, SGK đã dùng hình học thuần túy chứng minh và

suy ra .

Nên O, G, H thẳng hàng.

Bài 2: (trích BT 15 SBT HH10 nâng cao) Cho 3 điểm A, B, C phân biệt. Chứng tỏ rằng

là điều kiện cần và đủ để 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

 Theo giả thiết: . Với mọi I’ ta có:

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền

Chọn Ta có: Hay A, B, C thẳng hàng

Bài 3: Cho tứ giác ABCD; M, N thay đổi trên AB, CD sao cho . Gọi I, P, Q là

trung điểm MN, AC, BD. Chứng minh I, P, Q thẳng hàng. Giải:

Ta có :

( P là trung điểm AC).

Và

, vậy I, K, Q thẳng hàng.



 Nếu ta lấy K, H trên AD, BC sao cho: thì ta cũng có I, K, H thẳng hàng hay

MN, QP, KH đồng quy. Qua bài toán trên, ta thấy những kĩ thuật phân tích khá là khó nghĩ ra và nếu không có kinh nghiệm biến đổi thì rất khó đi đến nơi. Có lẽ, những bài toán về thẳng hàng nên sử dụng thêm các định lí để việc chứng minh thêm dễ dàng. Tiêu biểu có thể nói đến Bài 4: ( định lí Menelaus) Cho ABC, lấy M, N, P lần lượt trên AB, AC, BC. Chứng minh rằng: M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền

. Đặt:

Ta phải chứng minh: M, N, P thẳng hàng  xyz = 1. Thực hiện phân tích vector:

= ( vì )

. =

Theo định nghĩa, M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi:

Hay



 xyz = 1 (đpcm).

Nhận xét:

1. Các bài toán về chứng minh 3 điểm thẳng hàng có xuất hiện trong SGK nhưng rất ít, khá đơn giản và đa phần trình bày ở phần ví dụ. Như chỉ giới thiệu cho học sinh biết một ứng dụng của vector chứ không chú trọng rèn luyện việc áp dụng.

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 2. Sách bài tập thì có khá nhiều bài tập loại này, chủ yếu đáp ứng nhu cầu tự rèn luyện của các em.

3. Nhìn chung, đây là một dạng toán khó và cách giải không mang tính mẫu mực nên đòi

hỏi tư duy rất nhiều. Hơn nữa, phương pháp vector ở đây không hẳn là tối ưu vì có nhiều trường hợp ta không phân tích được theo các vector cơ sở.

b/ Các bài toán về chứng minh song song

Ở dạng này, chủ yếu dùng cách phân tích vector theo hệ vector cơ sở và chứng minh vector này bằng vector kia nhân với một số thực nào đó. Ta trình bày một số bài ở mức độ đơn giản

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy E là trung điểm AO, F là trung điểm BC và M là trung điểm BO. Chứng minh AM // EF.

 Cách làm đã quá rõ:

. Với lưu ý là 4 điểm A, M,

E, F không thẳng hàng nên AM // EF.

Bài 2: Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy M, N, P, Q là trọng tâm các tam giác AOB, BOC, COD, DOA. Chứng minh MNPQ là hình bình hành.

 Mặc dù là chứng minh hình bình hành nhưng thực chất ta đi chứng minh

và phần biểu diễn theo vector cở sở là bình thường nên không bàn tiếp ở đây.

Bài 3: (Sách bài tập hình học 10 nâng cao) Cho ngũ giác ABCDE. Lấy M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE. Lấy I, J là trung điểm các đoạn MP, NQ. Chứng minh IJ // AE.

 Ta có một lời giải khá ngắn gọn như sau

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Ta còn tìm được hai bài tập khá hay về phần này ở SGK hình 11 nâng cao, trang 91.

Nhận xét:

1. Những bài trên có thể giải hoàn toàn bằng phương pháp hình học thông thường. Nhưng phương pháp tiếp cận bằng vector cho ta một cái nhìn mới hơn và một ý tưởng khác có vẻ hay hơn vì còn chứng minh được là đoạn này bằng mấy lần đoạn kia.

2. Hệ thống các bài tập dạng này chỉ xuất hiện trong sách bài tập và SGK hình học 11 nâng cao. Đó là những bài khá hay, có khả năng kích thích tư duy tìm tòi phát triển.

c/ Các bài tập về chứng minh đồng quy

Ý tưởng chủ yếu của vector là chứng minh các đường đi qua một điểm đặc biệt nào đó.

Bài 1: Cho tứ giác ABCD, lấy M, N, P, Q là trọng tâm các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB. Chứng minh AN, BP, CQ, DM đồng quy.

 Vấn đề đặt ra là chọn điểm chúng đồng quy là điểm nào? Để chứng minh cả 4 đường thẳng đều đi qua. Với giả thiết trọng tâm gợi cho suy nghĩ sử dụng trọng tâm tứ giác ( gọi là G), khi ấy

Hay AN đi qua G và tương tự ta sẽ có điều phải chứng minh.

Vấn đề quan trọng là tìm ra điểm đồng quy thích hợp này. Ta xét tiếp một ví dụ tương tự với cách làm không đổi

Bài 2: Cho tứ diện ABCD, chứng minh các đường nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện thì đồng quy.

Một cách chứng minh khác, dựa vào tính chất của các đường. Đây là bài tập khá hay của SGK hình học 10 nâng cao Bài 3: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ. Chứng minh:

Từ đó, chứng minh 3 đường cao của 1 tam giác đồng quy tại 1 điểm.

 Ta có:

(ĐPCM)

Gọi H là giao điểm 2 đường cao kẻ từ A và B. Theo CM trên ta có:

Mà:

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Nên: . Hay 3 đường cao đồng quy.

Nhận xét:

1. SGK vẫn trình bày quá ít dạng này, không đáp ứng như cầu tự học của các em. Các bài tập khó chủ yếu trong sách bài tập và đã có lời giải, nhưng dạng không phong phú.

2. Các bài tập về đồng quy rất khó và hay, thông thường cần áp dụng thêm các định lí khác để có lời giải đẹp. d/ Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc.

Đây là một bài toán trong SGK hình 10 nâng cao, dù khá đơn giản nhưng có hiệu quả tốt trong

những bước đầu rèn luyện chứng minh 2 đường vuông góc.

Bài 1: Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là

 Ta vẫn đi đúng các bước, biểu diễn và biến đổi là có được kết quả

mong đợi.

Nhưng thực tế, những bài toán về chứng minh vuông góc không đơn giản quá như vậy. Lấy một

ví dụ như sau

Bài 2: Cho ABC, dựng bên ngoài các cạnh AB, AC các tam giác vuông cân NAB, PAC (vuông tại A). Gọi M là trung điểm BC, chứng minh AM  PN.

 Lời giải sau đây đi đúng trình tự đặt ra, chỉ có điều kĩ thuật biến đổi hơi rắc rối.

Ta có :

= = (Do AN NB, AP AC)

= 0 ( do AN = AB, AP = AC, NAC = BAP nên CN = BP). hay AM  PN (đpcm). Vậy

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Bài 3: Cho ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). D là trung điểm AB, E là trọng tâm ADC. Chứng minh OE  CD.

 Bài này cũng tương tự nhưng ta chọn đến 3 vector biểu diễn là

Ta có :

Do đó:

Vậy , hay CD  OE (đpcm).

Nhận xét:

1. Việc chọn 1 hệ cơ sở phù hợp là rất quan trọng trong việc chứng minh, đôi khi ta cần chọn đến 3 vector để biễu diễn nhằm làm cho bài toán dễ nhìn hơn.

2. Hệ thống các bài tập chứng minh vuông góc bằng vector phối hợp nhiều kiến thức và đòi hỏi kĩ năng cao nên có vai trò khá quan trọng trong việc rèn luyện tư duy cho các em học sinh.

3.2.3 - Các bài toán hình học khác có thể giải bằng phương pháp vector.

3.2.3.1 - Phương pháp.

Những bài toán loại này không có phương pháp cụ thể. Quan trọng là việc sử dụng giả thiết cùng định hướng con đường tìm ra lời giải.

3.2.3.2 - Bài tập áp dụng.

Trong các hai SGK hình 10, dạng toán chứng minh hai hình cùng trọng tâm khá phổ biến.

Bài 1: ( Trích SGK hình 10 nâng cao, trang 24) Tìm 1 điều kiện cần và đủ để hai tam giác ABC, A’B’C’ cùng trọng tâm.

 Bài toán này xuất phát từ gợi ý chứng minh đẳng thức

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền

Vốn được trình bày từ đầu của bài tập này.

Bài 2: ( Trích SGK hình 10 nâng cao, trang 24) Cho lục giác ABCDEF. Gọi P, Q, R, S, T, U lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh hai tam giác PRT và QSU có cùng trọng tâm.

 Một hướng đi khá phổ biến: gọi G là trọng tâm tam giác này và chứng minh nó cũng là

trọng tâm tam giác kia ( hay )

Hoặc có thể dùng ngay bài tập 1 và chứng minh đẳng thức .

Bài 3: ( trích SGK hình 10 nâng cao, trang 25) Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng

1. Trọng tâm G là trung điểm của đoạn nối trung điểm các cạnh đối của tứ giác, nó cũng là trung điểm của đoạn nối trung điểm hai đường chéo của tứ giác.

2. Trọng tâm G nằm trên đoạn nối một đỉnh của tứ giác với trọng tâm của tam giác tạo bởi 3 đỉnh còn lại.

 Thực chất, ta cần lưu ý hai điều sau

a. Định nghĩa trọng tâm G của tứ giác ABCD:

b. Bài toán đưa được về việc chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Ngoài ra, còn một dạng bài tập nữa là chứng minh đường thẳng qua điểm cố định Bài 4: (Bài tập 40, trang 11, sách bài tập hình học 10 nâng cao) Cho 6 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Gọi X là một tam giác có 3 đỉnh lấy trong

6 điểm đó và X’ là tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm còn lại. CMR: với các cách chọn X, X’ khác

nhau, các đường thẳng nối trọng tâm 2 tam giác X, X’ luôn đi qua một điểm cố định.

 Bí quyết của sự chứng minh là phân tích giả thuyết để tìm ra điể cố định ấy. Đề bài

cho trọng tâm thì ta dùng ngay hệ thức quen thuộc của nó để có đẳng thức

Với A, B, C là 3 đỉnh của tam giác X và A’, B’, C’ là ba đỉnh của tam giác X’. Dễ thấy, với I là

trọng tâm hệ sáu điểm thì I cố định và cũng là trung điểm GG’.

Nhận xét:

Những bài tập này chủ yếu đòi hỏi tính sáng tạo cao, không quy cách hay suy diễn lối mòn nên rất khó khăn đối với các em nhưng cũng rất thú vị nếu muốn tìm hiểu những bài toán hay về vector.

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 4. Hệ thống các bài tập về tìm tập hợp điểm.

4.1 - Các kiến thức cần nhớ

4.1.1 - Các phép toán về vector

Xem lại phần 2.1.1

4.1.2 - Bổ sung

Tâm tỉ cự của hệ điểm

Cho hệ n điểm và bộ n số sao cho . Khi đó xác định

duy nhất điểm I thỏa mãn

Điểm I như vậy gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm theo bộ số . Khi đó với

mọi điểm M bất kỳ ta có:

4.1.3 - Phương pháp.

Dùng các phép biến đổi tương đương để thu gọn bài toán về hai dạng cơ bản

1. , với A là điểm cố định và k là một số thực không đổi. Khi đó,

1.1 k < 0 thì không tồn tại điểm M.

1.2 k = 0 thì điểm M trùng A.

1.3 k > 0 thì quỹ tích M là đường tròn tâm A bán kính .

. Tập hợp các điểm M là đường vuông góc với AB tại H và điểm H thỏa 2.

4.2 - Bài tập áp dụng

Do phần này cũng mang tính công thức, ta chỉ trình bày một số bài toán tiêu biểu

Bài 1: Cho hai điểm A, B cố định và số thực k, tìm quỹ tích các điểm M thỏa

 Ta cần đưa bài toán về 1 trong 2 dạng đã nói hay đi thu gọn vế phải. Muốn vậy, lấy I là trung điểm AB và biến đổi

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền

Và suy ra:

Nhận xét: Đối với dạng tìm quỹ tích M thỏa thì ta chọn điểm I là tâm tỉ cự của hệ

và tất nhiên I cố định đồng thời thỏa điểm A1, A2,…, An ứng với hệ điểm

Thực hiện biến đổi: và đưa về dạng 1 đã

nói ở phần phương pháp.

Dạng bài toán thứ 2 khó hơn, việc biến đổi cũng mang tính kĩ thuật nhiều hơn

Bài 2: (SGK hình 10 nâng cao, trang 52, bài 12) Cho đoạn thẳng AB cố định, AB = 2a và một số k2. Tìm tập hợp điểm M thỏa .

 Ta biến đổi như sau: với I là trung điểm AB

Và đây chính là dạng 2 từ đó ta có đáp số.

Bài tập sau cũng biến đổi tương tự

Bài 3: Cho tam giác ABC và số thực k. Tìm tập hợp điểm M thỏa điều kiện

 Việc giải bài toán này không khó, chủ yếu là việc thu gọn vế phải nhờ lấy trung điểm I của đoạn AB.

Nhận xét

1. Dạng bài tập ứng dụng vector để tìm quỹ tích chỉ xuất hiện trong SGK hình học 10 nâng cao nhằm đáp ứng nhu cầu học tập của các em.

2. Đây là một dạng bài tập khó, ở trên chỉ trình bày được hai dạng cơ bản. Những bài tập khó hơn đòi hỏi cách phân tích khác tốt hơn.

5. Hệ thống các bài tập đại số - giải tích có thể giải bằng phương pháp vector

5.1 - Các kiến thức cần nhớ.

5.1.1 - Các phép toán trên vector

Xem phần 2.1.1

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền 5.1.2 - Một vài kiến thức khác

Tính chất 1:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

Tính chất 2:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và cùng chiều.

Tính chất 3:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và cùng phương.

5.2 - Một số dạng bài tập

5.2.1 - Chứng minh đẳng thức lượng giác

5.2.1.1 - Phương pháp.

Bắt nguồn từ một đẳng thức lượng giác, tác động bằng cách nhân vô hướng cho một vector khác và thu được kết quả phù hợp.

5.2.1.2 - Bài tập áp dụng.

Để làm được dạng toán này, đòi hỏi cần biết nhiều về các đẳng thức lượng giác. Ở đây, ta biết rằng trong một đa giác đều n đỉnh Ai nội tiếp đường tròn tâm O thì

Nhân vô hướng hai vế đẳng thức cho ta thu được

Bài 1: Cho n là một số tự nhiên, chứng minh rằng

Ví dụ tiếp theo lấy từ SGK đại số 10 nâng cao, trang 209

Bài 2: Với a, b là 2 số thực bất kì, chứng minh

Ta chứng minh như sau:

Lấy M, N trên vòng tròn lượng giác theo thứ tự xác định các góc có số đo là a và b. Khi ấy,

Và đồng thời:

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Mà

Từ đó, ta có điều cần chứng minh.

Nhận xét: Dạng toán này không nhiều, chủ yếu bắt nguồn từ sự sáng tạo của học sinh khi cố gắng đi tìm một phương pháp mới để chứng minh một đẳng thức lượng giác.

5.2.2 - Chứng minh bất đẳng thức

5.2.2.1 - Phương pháp

Có hai hướng đi:

1. Sử dụng trực tiếp các tính chất đã trình bày ở phần kiến thức.

2. Chuyển qua hệ tọa độ rồi dùng các tính chất ấy.

5.2.2.2 - Bài tập áp dụng

Nếu đi theo hướng thứ nhất, ta có thể làm như sau

Bài 1: Cho tam giác , chứng minh rằng:

Tất nhiên, cần để ý đến các đối tượng xuất hiện là các góc 2A, 2B, 2C. Chúng gợi ý đến góc tại tâm của đường tròn ngoại tiếp và ta lại thấy rằng

Với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đó, tiến hành khai triển

Ta thu được điều cần chứng minh.

Rõ ràng, cái khó ở đây là tìm ra những biểu thức khởi nguồn

Bài 2: Cho tam giác ABC, chứng minh

cosA + cosB + cosC  .

Lấy các vector đơn vị sao cho:

cùng phương lần lượt với . Ta có:

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền

 cosA + cosB + cosC  .

Nhận xét: Đây là một phương pháp kích thích sự sáng tạo cao, ta tiếp tục tìm những đẳng thức khác và bình phương lên. Với kí hiệu như hai bài tâp trên, ta xét

và

Từ đó: Bài 3: Cho tam giác ABC, chứng minh

.

Còn việc xuất phát theo hướng 2, đòi hỏi phải chuyển một cách khéo léo về hệ tọa độ đồng thời chọn những vector thích hợp. Ta lấy một ví dụ đơn giản: trong không gian, lấy hai vector có tọa . Khi đó, chỉ việc thay vào bất đẳng thức độ

Ta sẽ có Bài 4: Cho 6 số thực , chứng minh

2. Nếu dấu kĩ hơn về việc chọn hai vector thích hợp, ta xét bất đẳng thức sau

Bài 5: Chứng minh rằng: , với mọi

Giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta đặt:

Áp dụng tính chất 2 ta có:

hay

Dấu bằng xảy ra khi

Suy ra, điều phải chứng minh.

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Bài 6: Chứng minh rằng:

, Với

Giải:

Trong mặt phẳng Oxy ta đặt:

Từ tính chất ta có:

(ĐPCM)

Dấu bằng xảy ra khi hay

Kết luận: BĐT đã được chứng minh xong.

Nhận xét:

1. Nhóm bài tập này hầu như sách giáo kho không đề cập đến.

2. Phương pháp vector là một công cụ để chứng minh bất đẳng thức nhưng không đồng

nghĩa là mọi bất đẳng thức đều có thể chứng minh bằng vector và thật sự rất khó để tìm

ra hướng giải quyết theo vector ( chẳng hạn như cách chọn những vector phù hợp).

5.2.3 - Giải phương trình, hệ phương trình

5.2.3.1 - Phương pháp Có hai hướng đi chủ yếu:

1. Đưa bài toán về việc chứng minh một bất đẳng thức và tìm dấu bằng xảy ra khi nào.

2. Đặt vector có tọa độ là những biểu thức thích hợp rồi vận dụng các tính chất cùng

phương, vuông góc để tìm ra hệ thức mới.

5.2.3.2 - Bài tập áp dụng Xuất phát theo hướng thứ nhất thường là những bài toán phát biểu rất cồng kềnh và biến đổi rất

nhiều để che đi bản chất thật của nó. Ta chỉ đưa hai ví dụ vì dạng này thực sự không hay cho lắm

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền

Bài 1: Giải phương trình:

Giải:

Điều kiện: .

Đặt

Theo bất đẳng thức vectơ:

Đẳng thức xảy ra

Dễ thấy không thỏa mãn hệ

Với rút từ phương trình đầu , thay vào phương trình thứ hai của ta

được:

không là nghiệm (vì ), khi đó 2 vế của (**) không âm, bình phương 2 vế

ta được phương trình tương đương:

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt:

Bài 2: Giải hệ phương trình sau:

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền Giải:

Đặt

Theo bất đẳng thức vectơ

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

, thế vào phương trình đầu của hệ ta được

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất: .

Đi theo hướng thứ 2, lời giải khá hay mặc dù rất không tự nhiên.

Bài 3: Giải hệ phương trình

Ta đưa ra một hướng giải như sau: lấy các vector và từ hệ

ban đầu chuyển thành

Rõ ràng, những điều kiên trên khiến chúng ta phải xét , từ đó tìm thêm 1 hệ thức mới

là và từ đó giải ra nghiệm

Thực chất, đây là một vấn đề rất khó và cần một tư duy cùng kinh nghiệm sâu sắc mới giải quyết

tốt được.

Đại học sư phạm TP HCM Nguyễn Thị Thảo Hiền II - Đối chiếu và nhận xét với hệ thống bài tập sách giáo khoa.

1. Hệ thống bài tập sách giáo khoa.

Nhìn chung, các SGK hình học cả 3 năm phổ thông chủ yếu chú trọng các dạng bài tập về việc rèn luyện tính chất của vector và các bài tập về việc sử dụng vector để giải các bài toán khác là rất ít. Ta có thể liệt kê các bài tập liên quan đến vector mà SGK cả ba năm đã đề cập là

1. Nhóm bài tập về tính toán

1.1 Tính độ dài vector, góc giữa hai vector.

1.2 Tính tích vô hướng của hai vector.

1.3 Sử dụng các công thức tọa độ của vector để tìm tọa độ điểm, khoảng cách và góc giữa các đối tượng hình học, tính diện tích của hình và thể tích của khối.

2. Nhóm bài tập về nghiên cứu các tính chất

2.1 Nhóm bài tập nghiên cứu tính chất.

2.1.1 Tính vector theo các vectơ cho trước.

2.1.2 Xác định điểm thỏa hệ thức vector.

2.1.3 Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vector không cùng phương

2.2 Nhóm bài tập chứng minh

2.2.1 Chứng minh đẳng thức vector.

2.2.2 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

2.2.3 Chứng minh 2 đường thẳng song song.

2.2.4 Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy.

2.2.5 Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc.

2.2.6 Chứng minh các tam giác có cùng trọng tâm.