Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
HDG ĐỀ KIỂM TRA ĐỊNH KỲ SỐ 1
Bài1 (2điểm): Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết: AB=a và
AC AD BC BD CD 3a
.
Giải:
Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Do
ACD, CDB
đều.
AI CD, CD CDBI ABI
Suy ra CI là đường cao của hình chóp C.ABI.
Ta có:
13
.
33
a
ABCD CABI DABI CD ABI ABIV V V S S
.
Vì :
2 2 2 2
33 IJ àIJ AJ 2 IJ 2
22
AD a
AB BI AB v AI a a
3
3 3 1 6
. . 2
3 3 2 6
a a a
ABCD ABI a aVS
Bài 2 (2 điểm):
Cho hình chop tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 7a, cạnh bên SC vuông
góc với mặt phẳng (ABC) và SC=7a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC?
Giải:
*) Cách dựng đoạn vuông góc chung:
- Gọi M, N là trung điểm của BC và SB
()
AM BC BC AMN
MN BC
- Chiếu SA lên AMN ta được AK (K là hình chiếu của S lên (AMN))
- Kẽ
Đoạn vuông góc chung chính là MH.
*) Ta có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 4 21
(7 ) 3(7 ) MH a
MH MK MA a a
Bài 3 (2 điểm ):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có cạnh AB=a, cạnh
()SA ABCD
, cạnh bên SC hợp với đáy góc α và hợp với mặt bên (SAB) một góc β.
a) CMR:
2
2
22
os sin
a
SC c

b)Tính thể tích hình chóp.
Giải:
a) Ta có:
( ) . à ( )SA ABCD SCA M BC SAB BSC

Đặt: BC=x
(*)
sin sin
BC x
SC

2 2 2 2 2
22
.
à (**)
os os
AC AB BC AC a x
AC a x
M SC cc


Từ (*) và (**)
2 2 2 2 2 2 2 2
22
2 2 2 2 2 2 2
sin sin
sin os os sin sin os sin
x a x a x a
x SC
c c c


b)
3
22
1 1 1 sin sin
sin . . .
3 3 3 os sin
a
SA SC V ABCD SA AB BC SA c
S


Bài 4 (2 điểm):
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AB hợp với mặt phẳng (A’D’CB)
một góc α,
'BAC

.
CMR :
3tan
. ' ' ' ' sin( )sin( )
cos cos
a
ABCD A B C DV

Giải:
Từ A kẽ
' à ( ' ') ( ' ' )AH BA M CB ABB A CB AH AH A D CB
Suy ra : BH chính là hình chiếu vuông góc của AB lên (A’D’CB)
ABH
22
3
' ô AA' tan a tan
( ' ') '. ' ô ' tan
' ô ' ' (tan tan )(tan tan )
sin( )sin( )
cos cos
tan
. ' ' ' ' . . ' sin( )sin( )
cos cos
ABA vu ng AB
AB BCC B AB BC ABC vu ng BC AB
BCC vu ng CB C B CC a
a
CB
a
ABCD A B C D AB BC BBV



Câu 5 ( 2 điểm):
Page 3 of 5
Trên đường thẳng vuông góc tại A với mặt phẳng chứa hình vuông ABCD cạnh a ta
lấy điểm S với SA=2a. Gọi B’,D’ là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. Mặt
phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích hình chóp S.AB’C’D’
Giải:
Ta có:
''
'
AB SB AB SC
AB CB

. Tương tự
'AD SC
( ' ' ') 'SC AB C D SC AC
Do tính đối xứng ta có:
. ' ' ' 2 . ' 'S AB C D S AB CVV
.
Áp dụng tính chất tỷ số thể tích cho 3 tia: SA,SB,SC, ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 3 3 3 3
. ' ' ' ' '. '. 4 4 8
. . . .
5 6 15
.
1 8 8 16
à . . .2 . ' ' . . ' ' '
3 2 3 15 3 45 45
S AB C SB SC SB SB SC SC SA SA a a
SB SC SB SC SB SC a a
S ABC
a a a a a
M S ABC a S AB C S AB C D
V
V
V V V
………………….Hết…………………
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ TỰ ÔN SỐ 2
Câu 1.(3 điểm):
a)Ta có:
() ( ) ( )
()
(2; 1;1) . 0 ( ) ( )
(1;4;2)
P
PQ
Q
nn n P Q
n


b)Ta có:
( ) ( )
()
0
00
58
à ( ; ;0)
99
5 8 24 15 21
( ; ;0) . ( ; ; ) (8;5;7)
9 9 9 9 9
( ):8 5 7
.(
0
6; 3;9) (2;1; 3)
d P Q
Rd
Md
OM OM
R x z
v
y
u n n
nu










c)Vì :
'
12
(2;1; 3) ' 2 ( )
33
dd
xt
u u d y t t
zt


Câu 2.( 3 điểm):
a) Giả sử d và (P) cắt nhau tại A(x0;y0;z0) ta có:
0 0 0
0 0 0
3 5 2 0
(24;18;4)
12 9 1
4 3 1
x y z
A
x y z

Vậy d cắt (P) và tọa độ giao điểm là A( 24;18;4)
b)
() (4;3;1) ( ):4(ì 1) 3( 2) 1 0
( ):4 9
()
30
Pd
V n u Q x y zQd
Hay Q x y z

c)Gọi d’ là hình chiếu vuông góc cần tìm. Ta thấy d’ là giao tuyến của (P) và (R)
được xác định như sau:
() 0
() ( 8;7;11) (8; 7; 11) à (12;9;1)
( ):8( 12) 7( 9) 11( 1) 0 ( ):8 7 11 170 0
.
R d P
nu Md
R x y z Ha R y z
nv
yx




Vậy:
3 5 2 0
8 7 11 17 0
(0
') x y z
xz
dy
Câu 3.( 3 điểm):
a)Ta có:
1
12
2
11
12
2
12
2
à (1;0;0)
à
( 1;1;4)
(2 (1;4;1) . .
;4;1) 25 0
( 1;2;0)
d
dd
d
Md
Md
uv M M M M u u
uv




Vậy : d1 và d2 chéo nhau.
b)
Gọi C là điểm của d1 với (P) ta có:
20
1(1;0;0)
4
yz
xt C
yt
zt


(4; 2;1)CD 
Gọi D là điểm của d2 với (P) ta có:
20
2' (5; 2;1)
4 2 '
1
yz
xtD
yt
z




14
:2
xt
d CD y t
zt

c)Ta có:
Page 5 of 5
ons( )tMAB MA MB AB AB c MABMin MA MB MinCC
Điều này xãy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B với (P) (Với A’ là điểm đối
xứng của A qua (P)).
Dựa vào yếu tố vuông góc và trung điểm ta tính được
6 17
'(1; ; )
55
A
1
11 22
' (0; ; ) (0;1;2) ' : 1
55 12
x
A B A B y t
zt

Từ đây ta tìm được giao điểm:
21
' ( ) (1; ; )
55
M A B P
Câu 4.(1 điểm): Dễ thấy
12(1;0;2)A
Gọi vectơ đơn vị của
12
àv
lần lượt là
12
àe v e

ta có:
11
11
11
;
uu
ee
uu






12
3 2 1 2 3 1
; ; ; ; ;
14 14 14 14 14 14
ee


Hai vectơ chỉ phương của 2 đường phân giác lần lượt là:
1
2
12
12
15
; ;0 1;5;0
14 14
5 1 2
; ; 5; 1; 2
14 14 14
d
d
u e e
u e e






Vậy phương trình 2 đường phân giác cần tìm là:
12
1 1 5 '
: 5 : '
2 2 2 '
x t x t
d y t d y t
z z t




