Hướng dẫn học sinh trung học phổ thông khá giỏi sử dụng phương pháp song ánh giải một số bài toán đếm

Nguyễn Thị Ngọc Ánh<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 128(14): 127 - 131<br /> <br /> HƯỚNG DẪN HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHÁ GIỎI SỬ DỤNG<br /> PHƯƠNG PHÁP SONG ÁNH GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐẾM<br /> Nguyễn Thị Ngọc Ánh*<br /> Trường THPT Chuyên Thái Nguyên<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Phương pháp song ánh ( PPSA) là một phương pháp hay để giải một số bài toán đếm. Tuy nhiên, ở<br /> nước ta hiện nay có ít bài viết về phương pháp này và chưa tác giả nào đề cập đến việc dạy phương<br /> pháp này như thế nào cho đối tượng học sinh (HS) khá giỏi trung học phổ thông (THPT). Chúng<br /> tôi xin chia sẻ kinh nghiệm dạy các khái niệm ánh xạ (AX), đơn ánh (ĐA), toàn ánh (TA), song<br /> ánh (SA). Đồng thời, phân tích một số ví dụ về vận dụng PPSA vào giải một số bài toán đếm để<br /> giúp HS hiểu rõ hơn về phương pháp này.<br /> Từ khóa: Phương pháp song ánh, bài toán đếm.<br /> <br /> MỞ ĐẦU*<br /> <br /> NỘI DUNG NGHIÊN CỨU<br /> <br /> Năm 1992, các tác giả Chen Chuan-Chong và<br /> Koh Khee-Meng đã viết về Nguyên lí Đơn<br /> ánh và Nguyên lí Song ánh trong cuốn<br /> “Những nguyên lí và kĩ thuật trong Tổ hợp”.<br /> Với kí hiệu X là số phần tử của tập hợp X,<br /> nội dung của hai nguyên lí này được tác giả<br /> nêu ra như sau:<br /> <br /> Dạy khái niệm AX, ĐA, TA, SA cho HS<br /> khá giỏi THPT:<br /> <br /> Nguyên lí Đơn ánh (The Injection Principle):<br /> Cho A và B là hai tập hợp hữu hạn. Nếu có<br /> một đơn ánh từ A đến B, thì A  B .<br /> Nguyên lí Song ánh (The Bijection<br /> Principle): Cho A và B là hai tập hợp hữu<br /> hạn. Nếu có một song ánh từ A đến B, thì<br /> A B .<br /> Phương pháp vận dụng hai nguyên lí trên vào<br /> giải toán gọi là PPSA [1, tr - 230]. Phương<br /> pháp này đã được đề cập đến trong các tài<br /> liệu: [1], [3], [4], [5], [7]. Tuy nhiên, chưa tác<br /> giả nào đề cập đến việc phải dạy PPSA như<br /> thế nào cho HS khá giỏi THPT. Qua bài viết<br /> này, chúng tôi xin chia sẻ kinh nghiệm vận<br /> dụng PPSA ở trường THPT với đối tượng là<br /> HS khá giỏi. Để vận dụng phương pháp này<br /> hiệu quả trước tiên chúng ta phải giúp HS<br /> phân biệt được các khái niệm AX, ĐA, TA,<br /> SA, sau đó hướng dẫn các em vận dụng tính<br /> chất của các AX vừa học vào các ví dụ nhằm<br /> từng bước hình thành PPSA.<br /> *<br /> <br /> Email: anhtoan416@gmail.com<br /> <br /> Khái niệm AX, ĐA, TA, SA<br /> a. Ánh xạ f từ tập hợp X vào tập hợp Y (ký<br /> hiệu f: X  Y) là một quy tắc cho tương ứng<br /> mỗi phần tử x  X với một phần tử xác định<br /> y  Y, phần tử y gọi là ảnh của phần tử x, ký<br /> hiệu y = f(x).<br /> Với mỗi tập A  X: f(A) =<br /> gọi là ảnh của tập A.<br /> <br />  f ( x)<br /> <br /> x A<br /> <br /> <br /> <br /> b. TA là AX từ X vào Y trong đó f(X) = Y.<br /> c. ĐA là AX từ X vào Y thỏa mãn:<br /> x1 , x2  X : x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) .<br /> d. SA là AX vừa là ĐA, vừa là TA.<br /> Dạy các khái niệm AX, ĐA, TA, SA cho HS<br /> khá giỏi THPT<br /> Trong thực tế giảng dạy chúng tôi nhận thấy<br /> HS thường khó phân biệt các khái niệm: AX,<br /> ĐA, TA, SA . Do đó, chúng tôi xin đề xuất<br /> một phương án dạy bốn khái niệm trên thông<br /> qua các hoạt động (HĐ) như sau [2] :<br /> HĐ1: Giáo viên (GV) vẽ hai vòng tròn rời<br /> nhau. GV gọi 3 HS đứng vào vòng 1 và qui<br /> ước đây là tập hợp các con. Gọi 4 HS nữ<br /> đứng vào vòng 2 và qui ước đây là tập hợp<br /> các mẹ đẻ của các con ở vòng kia. Tiếp đó,<br /> GV dùng 3 sợi dây để nối tương ứng giữa con<br /> và mẹ để tạo ra mô hình (MH) 1.<br /> 127<br /> <br /> Nguyễn Thị Ngọc Ánh<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 128(14): 127 - 131<br /> <br /> M1<br /> <br /> C1<br /> C2<br /> <br /> M2<br /> <br /> M4<br /> <br /> M3<br /> <br /> C3<br /> <br /> Mô hình 1<br /> <br /> HĐ 2: GV đưa ra khái niệm AX, minh họa thông qua MH1 và phân tích:<br /> Tập X : tập các con. Tập Y: tập các mẹ đẻ.<br /> Vậy tương ứng mỗi x  X với một phần tử xác định y  Y được thể hiện ở đây là tương ứng mỗi<br /> con thuộc tập các con có duy nhất một mẹ đẻ ( biểu thị bằng sợi dây nối), chú ý là không con nào<br /> ‘đứng bơ vơ’ vì không có mẹ tương ứng. Đây là điểm cần nhớ của khái niệm AX.<br /> Hđ 3: GV cùng HS lần lượt xây dựng các MH 2, MH 3 và yêu cầu xác định xem MH nào thỏa<br /> mãn khái niệm AX.<br /> <br /> C3<br /> <br /> C1<br /> <br /> M1<br /> <br /> C2<br /> <br /> M2<br /> <br /> Mô hình 2<br /> <br /> C1<br /> <br /> M1<br /> C2<br /> <br /> M2<br /> <br /> C3<br /> <br /> M3<br /> Mô hình 3<br /> <br /> HS trả lời MH2 không phải là AX vì có con<br /> C3 ‘đứng bơ vơ’, MH3 thỏa mãn vì tuy có C2<br /> và C3 chung một mẹ nhưng mỗi con vẫn có<br /> duy nhất một mẹ.<br /> HĐ 4: GV vẽ MH1, MH3 lên bảng và thông<br /> báo cho HS biết MH1 thỏa mãn điều kiện cứ<br /> hai con khác nhau thì có hai mẹ khác nhau<br /> nên là MH của một ĐA. Nhưng MH3 không<br /> thỏa mãn khái niệm ĐA vì con C2 và C3<br /> chung mẹ M2. GV yêu cầu HS thử nêu khái<br /> niệm ĐA và chỉnh sửa lại khi phát biểu của<br /> HS chưa chính xác.<br /> <br /> 128<br /> <br /> HĐ 5: GV thông báo TA là AX thỏa mãn<br /> không có mẹ nào trong tập các mẹ đẻ ‘đứng<br /> bơ vơ’ và yêu cầu HS xây dựng một số MH<br /> minh họa. Từ đó, GV hướng dẫn HS nhớ khái<br /> niệm TA.<br /> HĐ6: Cuối cùng GV đưa ra khái niệm SA và<br /> yêu cầu HS xây dựng MH minh họa.<br /> Sau khi HS đã nắm được bốn khái niệm AX,<br /> ĐA, TA, SA. GV và HS cùng tìm thêm các ví<br /> dụ và phản ví dụ trong toán học và trong thực<br /> tế minh họa cho các khái niệm này. Đồng<br /> thời, giúp các em nêu ra được các tính chất<br /> của các khái niệm đó.<br /> Áp dụng PPSA vào giải một số bài toán đếm<br /> <br /> Nguyễn Thị Ngọc Ánh<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 128(14): 127 - 131<br /> <br /> PPSA được coi là một kỹ thuật đếm nâng cao<br /> được vận dụng trong giải toán tổ hợp. Ý nghĩa<br /> của phương pháp là thay thế cho việc đếm số<br /> phần tử của một tập hợp A nhất định, ta đi<br /> đếm số phần tử của một tập hợp B có cùng số<br /> phần tử với tập hợp A. Số phần tử của tập hợp<br /> B là dễ đếm. Để có được kết quả này ta cần<br /> chứng minh có một SA giữa hai tập hợp A và<br /> B. Muốn có một bất đẳng thức liên quan đến<br /> số phần tử của hai tập hợp, ta xây dựng một<br /> đơn ánh giữa hai tập hợp đó. Khi hướng dẫn<br /> HS vận dụng PPSA vào giải một bài toán<br /> đếm, chúng tôi thường hướng dẫn các em<br /> theo bốn bước sau:<br /> <br /> bằng 1. Tập hợp Y là tập các dãy nhị phân<br /> nói trên.<br /> <br /> Bước 1: Dựa vào giả thiết, xác định xem cần<br /> xây dựng một đơn ánh hay một song ánh.<br /> <br /> Một đường đi như thế gồm (m + n) đoạn (mỗi<br /> đoạn là một cạnh ô vuông). Tại mỗi đoạn chỉ<br /> được chọn một trong hai giá trị đi lên (ta mã<br /> hóa là 1) hay sang phải (ta mã hóa là 0). Số<br /> đoạn đi lên đúng bằng n và số đoạn sang phải<br /> đúng bằng m. Như vậy, có một song ánh giữ<br /> tập hợp A các đường đi thỏa mãn yêu cầu bài<br /> toán với tập hợp B các dãy nhị phân có cùng<br /> độ dài (m + n). Trong mỗi dãy nhị phân đó có<br /> đúng n thành phần bằng 1, m thành thành<br /> bằng 0.<br /> <br /> Bước 2: Tìm hai tập hợp X, Y tương ứng<br /> trong ánh xạ cần xây dựng.<br /> Bước 3: Chỉ ra cách xây dựng ánh xạ từ X<br /> tới Y.<br /> Bước 4: Trình bày lời giải.<br /> Ví dụ 1:<br /> Cho một lưới gồm các ô vuông. Các nút được<br /> đánh số từ 0 đến m theo chiều từ trái sang<br /> phải và từ 0 đến n theo chiều từ dưới lên trên.<br /> Hỏi có bao nhiêu đường đi khác nhau từ nút<br /> (0 ; 0) đến nút (m, n) nếu chỉ cho phép đi trên<br /> cạnh các ô vuông theo chiều từ trái sang phải<br /> hoặc từ dưới lên trên.<br /> <br /> Giải:<br /> n<br /> <br /> 0<br /> <br /> (m,n)<br /> m,n<br /> <br /> 1<br /> 0<br /> <br /> 1<br /> 0<br /> <br /> 1<br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 1<br /> <br /> m<br /> <br /> (0,0)<br /> <br /> Phân tích: Đây là một bài toán đếm nên có<br /> thể vận dụng Nguyên lí Song ánh. Ta cần xây<br /> dựng một song ánh giữa tập hợp X các đường<br /> đi thỏa mãn với một tập hợp Y nào đó.<br /> <br /> Dễ thấy B  C m n  A  C m n . Vậy số<br /> n<br /> đường đi cần tìm là Cm  n<br /> Ví dụ 2: [ Balkan 1997]<br /> Lấy m và n là số tự nhiên lớn hơn 1. Gọi S tập<br /> hợp có n phần tử. Lấy A1, A2, A3,…,Am là<br /> những tập con của S. Giả sử rằng, cứ 2 phần<br /> tử bất kỳ x, y thuộc S đều có 1 tập hợp A i<br /> ( i  1, m ) thỏa mãn điều kiện: nếu x  Ai thì<br /> y  Ai còn nếu x <br /> A thì y  Ai. Chứng<br /> m i<br /> n<br /> <br /> 2<br /> minh rằng:<br /> .<br /> <br /> Tìm tập Y: Ta thấy các đường đi thỏa mãn<br /> đều có độ dài (m + n) vì có n đoạn đi lên và<br /> m đoạn đi sang ngang. Sự khác nhau giữa các<br /> đường đi chỉ là sự sắp xếp thứ tự giữa các<br /> đoạn đi lên và các đoạn đi ngang. Đây là một<br /> bài toán có 2 khả năng cơ bản. Ta có thể mã<br /> hóa mỗi đoạn đi lên bởi số 1, mỗi đoạn đi<br /> ngang bởi số 0. Khi đó, mỗi đường đi thỏa<br /> mãn tương ứng với một dãy nhị phân có độ<br /> dài (m + n), trong đó, có đúng n thành phần<br /> <br /> Phân tích: Bài toán yêu cầu chứng minh một<br /> bất đẳng thức nên có thể sử dụng Nguyên lí<br /> Đơn ánh. Tập S có n phần tử nên ta sẽ tìm<br /> một đơn ánh từ S tớt tập T nào đó. Tập T có<br /> 2 m phần tử. Bài toán có hai quan hệ “thuộc”<br /> và “không thuộc” nên có thể đưa về bài toán<br /> dãy nhị phân. Ta biết, tập hợp các dãy nhị<br /> m<br /> phân có độ dài m thì có 2 phần tử ( do tại<br /> mỗi vị trí chỉ có thể chọn là 1 hoặc 0). Tập<br /> T phải liên quan đến m tập nêu trong đề<br /> <br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> 129<br /> <br /> Nguyễn Thị Ngọc Ánh<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> 128(14): 127 - 131<br /> <br /> bài. Ta có cách xây dựng đơn ánh như<br /> trong lời giải sau:<br /> Giải:<br /> <br /> Giải :<br /> <br /> Mỗi phần tử x của S ta cho tương ứng với một<br /> dãy nhị phân f x  x1 , x2 ,..., xm , với<br /> xi  1 nếu xi  Ai và xi  0 nếu<br /> xi  Ai . Ta có ánh xạ: f: S  T =<br /> x1 , x2 ,..., xm xi  0;1 .<br /> <br />   <br /> <br /> <br /> <br /> Từ<br /> <br /> <br /> <br /> giả<br /> <br /> thiết<br /> <br /> <br /> <br />  <br /> ta<br /> <br /> có,<br /> <br /> nếu<br /> <br /> x  y  f ( x)  f ( y ) .Vậy f là một đơn<br /> <br /> ánh nên S  T . Mỗi phần tử của T là<br /> một dãy nhị phân có độ dài m nên<br /> T  2 m . Vậy n  2 m .<br /> Ví dụ 3: Để xem một buổi biểu diễn xiếc,<br /> mỗi người phải mua một vé vào giá 1 USD.<br /> Mỗi khán giả chỉ được phép mua một vé. Mọi<br /> người đến mua vé đứng xếp thành một hàng<br /> dọc trước cửa bán vé. Mỗi người chỉ mang<br /> đúng một tờ 1 USD hoặc đúng 1 tờ 2 USD.<br /> Người bán vé quên không mang theo tiền. Giả<br /> sử có n người mang tờ 1 USD và m người<br /> mang tờ 2 USD ( m  n ). Tìm số cách xếp<br /> hàng sao cho người có tờ 1 USD thì được<br /> nhận ngay vé, người có tờ 2 USD thì khi đến<br /> lượt của mình được nhận ngay vé và một tờ 1<br /> USD trả lại ?<br /> Phân tích: Đây là một bài toán hay nhưng<br /> khó đối với đa số HS phổ thông. PPSA được<br /> vận dụng rất rõ nét trong cách giải bài toán.<br /> Định hướng ban đầu là sử dụng Nguyên lí<br /> Song ánh vì đây là một bài toán đếm. Mỗi<br /> cách xếp hàng bất kì của (m + n) khán giả nói<br /> trên ta gọi là một véc tơ. Tập hợp các véc tơ<br /> này ta kí hiệu là X. Một véc tơ gọi là tốt nếu<br /> tương ứng với cách xếp hàng thỏa mãn yêu<br /> cầu bài toán. Các véc tơ còn lại gọi là các véc<br /> tơ xấu. Ta chứng minh có một song ánh từ<br /> tập A các véc tơ xấu đến tập B các véc tơ rất<br /> xấu (đặc điểm cụ thể của B xem trong lời giải)<br /> theo hai chiều: ứng với mỗi véc tơ thuộc A có<br /> duy nhất một véc tơ thuộc B và ngược lại.<br /> <br /> 130<br /> <br /> Mã hóa người có tờ 1 USD bởi số 1, người có<br /> tờ 2 USD bởi số 2. Mỗi cách xếp hàng bất kỳ<br /> tương ứng với một véc tơ có (m+n) thành<br /> phần trong đó n thành phần bằng 1, m thành<br /> phần bằng 2. Thành phần thứ i tương ứng với<br /> người xếp hàng ở vị trí thứ i. Số véc tơ như<br /> m<br /> thế là Cn  m .<br /> Một véc tơ gọi là tốt nếu tương ứng với cách<br /> xếp hàng thỏa mãn yêu cầu bài toán. Các véc<br /> tơ còn lại gọi là các véc tơ xấu. Chúng ta đếm<br /> xem có bao nhiêu véc tơ xấu bằng cách xây<br /> dựng một song ánh từ tập A các véc tơ xấu<br /> đến tập B các véc tơ có (m  n  1) thành<br /> phần . Mỗi véc tơ của B có hai tính chất :<br /> i, Có m thành phần 2, (n+1) thành phần 1<br /> ii, Thành phần 2 đứng vị trí đầu tiên.<br /> Ta có:<br /> <br /> B  Cmmn1 .<br /> <br /> Cách xây dựng song ánh như sau:<br /> - Giả sử v là một véc tơ xấu, tức là từ thành<br /> phần đầu tiên đến hết thành phần thứ (i-1) thì<br /> tương ứng với việc mua vé diễn ra suôn sẻ.<br /> Đến thành phần thứ i tương ứng với người thứ<br /> i mua vé nhưng người bán vé không có tiền<br /> trả lại. Vị trí i lúc này ta gọi là vị trí xấu. Như<br /> vậy, từ thành phần 1 tới hết (i-1) có số lượng<br /> thành phần 1 bằng số lượng thành phần 2.<br /> Xây dựng một véc tơ v ' bằng cách thực hiện<br /> hai bước:<br /> - Bước 1: Thêm thành phần 1 vào trước<br /> thành phần đầu tiên của v . Khi đó, vị trí<br /> xấu là ( i +1).<br /> - Bước 2: Từ vị trí đầu tiên của véc tơ ở bước<br /> 1 tới hết vị trí (i+1), thay các giá trị 1 bởi 2 và<br /> giá trị 2 bởi 1. Các thành phần từ vị trí (i+2)<br /> trở đi giữ nguyên giá trị cũ.<br /> Sau hai bước trên ta thu được véc tơ v ' thuộc<br /> tập B.<br /> - Xét véc tơ bất kỳ u ' bất kỳ thuộc B, gọi j là<br /> số tự nhiên bé nhất thỏa mãn từ vị trí 1 đến<br /> hết vị trí j thỏa mãn số thành phần 1 bằng số<br /> <br /> Nguyễn Thị Ngọc Ánh<br /> <br /> Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ<br /> <br /> thành phần 2. Thao tác ngược lại ở trên, từ vị<br /> trí 1 tới hết vị trí j ta thay 2 bởi 1 và 1 bởi 2.<br /> Các vị trí còn lại giữ nguyên như cũ. Bỏ đi số<br /> 1 ở thành phần đầu tiên ta được một véc tơ<br /> xấu thuộc A.<br /> Vậy có một song<br /> ánh từ A đến B nên số véc<br /> m<br /> m 1<br /> tơ tốt bằng: Cn  m - Cm  n .<br /> Đây cũng là kết quả cần tìm của bài toán.<br /> Chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm tại lớp<br /> chuyên Toán 10 khóa 25, trường trung học<br /> phổ thông Chuyên, tỉnh Thái Nguyên. Nội<br /> dung thực nghiệm gồm 3 tiết. Tiết 1: Hướng<br /> dẫn học sinh phân biệt được 4 khái niệm: AX,<br /> ĐA, TA, SA, lấy được các ví dụ và phản ví<br /> dụ minh họa. Tiết 2: PPSA. Tiết 3: Vận dụng<br /> PPSA vào giải một số bài toán đếm trong các<br /> đề thi học sinh giỏi. Cảm nhận chung của<br /> chúng tôi là các em rất hào hứng tham gia các<br /> hoạt động theo hướng dẫn của giáo viên. 84<br /> % các em được hỏi ý kiến đều cảm thấy thích<br /> thú khi sử dụng PPSA vào giải bài tập. Các<br /> em bắt đầu tự đọc được một số bài viết về<br /> phương pháp này ở mức độ khó hơn.<br /> KẾT LUẬN<br /> Bài báo đề xuất một phương án dạy cho HS<br /> khá giỏi THPT phân biệt được bốn khái niệm:<br /> AX, ĐA, TA, SA, nêu được nội dung của<br /> PPSA và hướng dẫn các em vận dụng PPSA<br /> vào giải toán. Thông qua phương pháp giảng<br /> <br /> 128(14): 127 - 131<br /> <br /> dạy đã nêu, chúng tôi mong muốn tạo hứng<br /> thú cho học sinh khi học chủ đề này. Thực<br /> nghiệm bước đầu cho thấy những đề xuất nêu<br /> trên là có tính khả thi. Chúng tôi sẽ tiếp tục<br /> nghiên cứu để có thể dạy tốt hơn phương<br /> pháp này cho đối tượng học sinh khá giỏi<br /> THPT.<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> 1. Phan Huy Khải (2002), Các phương pháp giải<br /> toán sơ cấp 12, Nxb Hà Nội.<br /> 2. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lý luận vào<br /> thực tiễn dạy học môn toán ở trường phổ thông,<br /> Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.<br /> 3. Phạm Minh Phương (2010), Một số chuyên đề<br /> toán tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ<br /> thông, Nxb Giáo dục Việt Nam.<br /> 4. Nguyễn Văn Thông (2012), Bồi dưỡng học sinh<br /> giỏi toán Tổ hợp – Rời rạc, Nxb Đại học Quốc gia<br /> Hà Nội, Hà Nội.<br /> 5. Chen Chuan-Chong, Koh Khee-Meng (1992),<br /> Principles and techniques in combinatorics,<br /> World Scientific.<br /> 6. V.K. Balakrishnan, Ph.D (1995), Theory and<br /> problems of combinatorics, McGraw-Hill, INC,<br /> Singapore.<br /> 7. Titu Andreescu, Zuming Feng (2004), A Path to<br /> Combinatoricts for Undergraduates ( Counting<br /> Strategies), Birkhauser Boston, United states of<br /> America.<br /> <br /> SUMMARY<br /> INSTRUCTING GOOD AND EXCELLENT STUDENTS<br /> OF HIGH SCHOOLS IN APPLYING THE BIJECTIVE METHOD<br /> TO SOLVE SOME COUNTING PROBLEMS<br /> Nguyen Thi Ngoc Anh*<br /> Thai Nguyen Specialized High School<br /> <br /> The Bijective method (BM) is an interesting method to solve some counting problems. However,<br /> in Vietnam there are few articles mentioned on this method and there is not any author mentioning<br /> how to teach this method for good and excellent students of high schools (HS). So, we would like<br /> to share teaching experience of concepts on mapping, injective, surjective and bijective functions.<br /> Simultaneously, we analyze some examples on applying the bijective method to solve some<br /> counting problems in order to help students understanding more about this method.<br /> Keywords:<br /> <br /> *<br /> <br /> Email: anhtoan416@gmail.com<br /> <br /> 131<br /> <br />