Báo cáo hóa học: "Research Article A General Iterative Method for Solving the Variational Inequality Problem and Fixed Point Problem of an Infinite Family of Nonexpansive Mappings in Hilbert Spaces"

Hindawi Publishing Corporation Fixed Point Theory and Applications Volume 2009, Article ID 369215, 23 pages doi:10.1155/2009/369215

Research Article A General Iterative Method for Solving the Variational Inequality Problem and Fixed Point Problem of an Infinite Family of Nonexpansive Mappings in Hilbert Spaces

Rabian Wangkeeree and Uthai Kamraksa

Department of Mathematics, Faculty of Science, Naresuan University, Phitsanulok 65000, Thailand

Correspondence should be addressed to Rabian Wangkeeree, rabianw@nu.ac.th

Received 3 November 2008; Accepted 16 January 2009

Recommended by Anthony Lau

We introduce an iterative scheme for finding a common element of the set of common fixed points of a family of infinitely nonexpansive mappings, and the set of solutions of the variational inequality for an inverse-strongly monotone mapping in a Hilbert space. Under suitable conditions, some strong convergence theorems for approximating a common element of the above two sets are obtained. As applications, at the end of the paper we utilize our results to study the problem of finding a common element of the set of fixed points of a family of infinitely nonexpansive mappings and the set of fixed points of a finite family of k-strictly pseudocontractive mappings. The results presented in the paper improve some recent results of Qin and Cho (cid:2)2008(cid:3).

Copyright q 2009 R. Wangkeeree and U. Kamraksa. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

1. Introduction

Throughout this paper, we always assume that H is a real Hilbert space with inner product (cid:2)·, ·(cid:3) and norm (cid:4) · (cid:4), respectively, C is a nonempty closed convex subset of H, and PC is the metric projection of H onto C. In the following, we denote by → strong convergence and by (cid:2) weak convergence. Recall that a mapping T : C → C is called nonexpansive if

(cid:4)T u − T v(cid:4) ≤ (cid:4)u − v(cid:4), ∀u, v ∈ C. (cid:2)1.1(cid:3)

We denote by F(cid:2)T (cid:3) the set of fixed points of T . Recall that a mapping B : C → H is said to be

(cid:2)i(cid:3) monotone if (cid:2)Bu − Bv, u − v(cid:3) ≥ 0, for all u, v ∈ C; (cid:2)ii(cid:3) L-Lipschitz if there exists a constant L > 0 such that (cid:4)Bu − Bv(cid:4) ≤ L(cid:4)u − v(cid:4), for all u, v ∈ C;

2 Fixed Point Theory and Applications

(cid:2)iii(cid:3) α-inverse-strongly monotone (cid:4)1, 2(cid:5) if there exists a positive real number α such that

∀u, v ∈ C. (cid:2)1.2(cid:3) (cid:2)Bu − Bv, u − v(cid:3) ≥ α(cid:4)Bu − Bv(cid:4)2,

Remark 1.1. It is obvious that any α-inverse-strongly monotone mapping B is monotone and (cid:2)1/α(cid:3)-Lipschitz continuous.

Let B : C → H be a mapping. The classical variational inequality problem is to find a u ∈ C such that

(cid:2)Bu, v − u(cid:3) ≥ 0, ∀v ∈ C. (cid:2)1.3(cid:3)

The set of solutions of variational inequality (cid:2)1.3(cid:3) is denoted by VI(cid:2)B, C(cid:3). The variational inequality has been extensively studied in the literature; see, for example, (cid:4)3, 4(cid:5) and the references therein. A self-mapping f : C → C is a contraction if there exists a constant α ∈ (cid:2)0, 1(cid:3) such that

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ α(cid:4)u − v(cid:4), ∀u, v ∈ C. f(cid:2)u(cid:3) − f(cid:2)v(cid:3) (cid:2)1.4(cid:3)

Iterative methods for nonexpansive mappings have recently been applied to solve convex minimization problems; see, for example, (cid:4)5–8(cid:5) and the references therein. Convex minimization problems have a great impact and influence in the development of almost all branches of pure and applied sciences. A typical problem is to minimize a quadratic function over the set of the fixed points a nonexpansive mapping on a real Hilbert space:

(cid:2)Ax, x(cid:3) − (cid:2)x, b(cid:3), (cid:2)1.5(cid:3) θ(cid:2)x(cid:3) (cid:6) min x∈C 1 2

where A is a linear bounded operator, C is the fixed point set of a nonexpansive mapping T , and b is a given point in H. Let H be a real Hilbert space. Recall that a linear bounded operator B is strongly positive if there is a constant γ > 0 with property

(cid:2)Ax, x(cid:3) ≥ γ(cid:4)x(cid:4)2, ∀x ∈ H. (cid:2)1.6(cid:3)

Recently, Marino and Xu (cid:4)9(cid:5) introduced the following general iterative scheme based on the viscosity approximation method introduced by Moudafi (cid:4)10(cid:5):

(cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4) (cid:6) , n ≥ 0, (cid:2)1.7(cid:3) xn(cid:7)1 I − αnA T xn (cid:7) αnγf xn

where A is a strongly positive bounded linear operator on H. They proved that if the } } of parameters satisfies appropriate conditions, then the sequence {xn sequence {αn generated by (cid:2)1.7(cid:3) converges strongly to the unique solution of the variational inequality

∗

∗

(cid:6) , x − x (cid:5) (cid:2)A − γf(cid:3)x ≥ 0, x ∈ C, (cid:2)1.8(cid:3)

3 Fixed Point Theory and Applications

which is the optimality condition for the minimization problem

(cid:2)1.9(cid:3) (cid:2)Ax, x(cid:3) − h(cid:2)x(cid:3), min x∈C 1 2

(cid:11)(cid:2)x(cid:3) (cid:6) γf(cid:2)x(cid:3) for x ∈ H(cid:3).

where h is a potential function for γf (cid:2)i.e., h

On the other hand, two classical iteration processes are often used to approximate a fixed point of a nonexpansive mapping. The first one is introduced by Mann (cid:4)11(cid:5) and is defined as follows:

(cid:4) (cid:2)1.10(cid:3) (cid:6) x ∈ C chosen arbitrary, x1 (cid:3) (cid:6) (cid:7) αnT xn, n ≥ 1, 1 − αn xn xn(cid:7)1

} is in the interval (cid:2)0, 1(cid:3). where the sequence {αn The second iteration process is referred to as Ishikawa’s iteration process (cid:4)12(cid:5) which is defined recursively by

x1 (cid:4) (cid:6) x ∈ C chosen arbitrary, (cid:3) (cid:7) (cid:2)1.11(cid:3)

yn (cid:3) (cid:6) (cid:6) βnxn (cid:4) 1 − αn xn 1 − βn T xn, (cid:7) αnT yn, n ≥ 1, xn(cid:7)1

} and {βn

where {αn } are sequences in the interval (cid:2)0, 1(cid:3). However, both (cid:2)1.16(cid:3) and (cid:2)1.11(cid:3) have only weak convergence in general (cid:2)see (cid:4)13(cid:5), e.g.(cid:3). Very recently, Qin and Cho (cid:4)14(cid:5) introduced } defined as follows: a composite iterative algorithm {xn

x1 (cid:4) (cid:7) (cid:6) x ∈ C chosen arbitrary, (cid:3) zn T xn, (cid:4) (cid:2)1.12(cid:3) (cid:7) (cid:3)(cid:3) (cid:4) (cid:3) yn (cid:4) (cid:6) γnxn (cid:6) βnxn (cid:7) (cid:7) δnxn 1 − γn (cid:3) 1 − βn (cid:4) 1 − δn T zn, I − αnA xn(cid:7)1 (cid:6) αnγf xn yn, n ≥ 1,

where f is a contraction, T is a nonexpansive mapping, and A is a strongly positive linear bounded self-adjoint operator, proved that, under certain appropriate assumptions on the } defined by (cid:2)1.12(cid:3) converges strongly to a fixed point of T , which solves parameters, {xn some variational inequality and is also the optimality condition for the minimization problem (cid:2)1.9(cid:3).

On the other hand, for finding an element of F(cid:2)T (cid:3) ∩ VI(cid:2)B, C(cid:3), under the assumption that a set C ⊆ H is nonempty, closed, and convex, a mapping T : C → C is nonexpansive and a mapping B : C → H is α-inverse-strongly monotone, Takahashi and Toyoda (cid:4)15(cid:5) introduced the following iterative scheme:

(cid:4) (cid:2)1.13(cid:3) , n ≥ 1, x1 (cid:6) αnxn (cid:6) x ∈ C chosen arbitrary, (cid:3) (cid:4) (cid:3) − ηnBxn (cid:7) 1 − αn T PC xn xn(cid:7)1

4 Fixed Point Theory and Applications

} is a sequence in (cid:2)0, 1(cid:3), and {ηn

} is a sequence in (cid:2)0, 2α(cid:3). They proved that if F(cid:2)T (cid:3) ∩ where {αn } generated by (cid:2)1.13(cid:3) converges weakly to some z ∈ F(cid:2)T (cid:3)∩ VI(cid:2)B, C(cid:3) /(cid:6) ∅, then the sequence {xn VI(cid:2)B, C(cid:3). Recently, Iiduka and Takahashi (cid:4)16(cid:5) proposed another iterative scheme as follows

(cid:4) (cid:2)1.14(cid:3) , n ≥ 1, x1 (cid:6) αnx (cid:7) (cid:6) x ∈ C chosen arbitrary, (cid:3) (cid:4) (cid:3) − ηnBxn 1 − αn T PC xn xn(cid:7)1

} ⊆ (cid:2)0, 1(cid:3) and {λn

} ⊆ (cid:2)0, 2α(cid:3) satisfy where B is an α-inverse strongly monotone mapping, {αn some parameters controlling conditions. They showed that if F(cid:2)T (cid:3) ∩ VI(cid:2)B, C(cid:3) is nonempty, } generated by (cid:2)1.14(cid:3) converges strongly to some z ∈ F(cid:2)T (cid:3) ∩ VI(cid:2)B, C(cid:3). then the sequence {xn The existence of common fixed points for a finite family of nonexpansive mappings has been considered by many authors (cid:2)see (cid:4)17–20(cid:5) and the references therein(cid:3). The well-known convex feasibility problem reduces to finding a point in the intersection of the fixed point sets of a family of nonexpansive mappings (cid:2)see (cid:4)21, 22(cid:5)(cid:3). The problem of finding an optimal point that minimizes a given cost function over the common set of fixed points of a family of nonexpansive mappings is of wide interdisciplinary interest and practical importance (cid:2)see (cid:4)18, 23(cid:5)(cid:3). A simple algorithmic solution to the problem of minimizing a quadratic function over the common set of fixed points of a family of nonexpansive mappings is of extreme value in many applications including set theoretic signal estimation (cid:2)see (cid:4)23, 24(cid:5)(cid:3). In this paper, we study the mapping Wn defined by

(cid:3) (cid:4)

(cid:7) I, (cid:6) I, Un,n(cid:7)1 (cid:6) μnTnUn,n(cid:7)1 (cid:7) (cid:6) μn−1Tn−1Un,n Un,n Un,n−1 1 − μn I, (cid:3) (cid:4) 1 − μn−1

... (cid:3) (cid:4) (cid:2)1.15(cid:3) (cid:7) I, Un,k Un,k−1 (cid:6) μkTkUn,k(cid:7)1 (cid:7) (cid:6) μk−1Tk−1Un,k 1 − μk I, (cid:3) (cid:4) 1 − μk−1

(cid:3) (cid:4) ... (cid:6) μ2T2Un,3 (cid:4) 1 − μ2 (cid:3) (cid:7) I, (cid:7) (cid:6) μ1T1Un,2 Un,2 (cid:6) Un,1 Wn I, 1 − μ1

} is a nonnegative real sequence with 0 ≤ μi < 1, for all i ≥ 1, T1, T2, . . ., form a family where {μi of infinitely nonexpansive mappings of C into itself. Nonexpansivity of each Ti ensures the nonexpansivity of Wn. Such a Wn is nonexpansive from C to C and it is called a W-mapping generated by T1, T2, . . . , Tn and μ1, μ2, . . . , μn.

In this paper, motivated and inspired by Su et al. (cid:4)25(cid:5), Marino and Xu (cid:4)9(cid:5), Takahashi and Toyoda (cid:4)15(cid:5), and Iiduka and Takahashi (cid:4)16(cid:5), we will introduce a new iterative scheme:

x1 (cid:3) (cid:4) (cid:7) zn (cid:2)1.16(cid:3) (cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4) , (cid:6) x ∈ C chosen arbitrary, 1 − γn (cid:6) γnxn Wnxn, (cid:3) (cid:4) 1 − βn (cid:7) (cid:6) βnxn (cid:3)(cid:3) (cid:4) 1 − δn (cid:7) Wnzn, (cid:4) I − αnA yn (cid:7) δnxn xn(cid:7)1 (cid:6) αnγf xn PC yn − λnByn

Fixed Point Theory and Applications 5

}, and {δn }, {βn }, {γn

where Wn is a mapping defined by (cid:2)1.15(cid:3), f is a contraction, A is strongly positive linear bounded self-adjoint operator, B is a α-inverse strongly monotone, and we prove that under }, the sequences certain appropriate assumptions on the sequences {αn } defined by (cid:2)1.16(cid:3) converge strongly to a common element of the set of common fixed {xn } and the set of solutions of the variational inequality for an points of a family of {Tn inverse-strongly monotone mapping, which solves some variational inequality and is also the optimality condition for the minimization problem (cid:2)1.9(cid:3).

2. Preliminaries

Let H be a real Hilbert space. It is well known that for any λ ∈ (cid:4)0, 1(cid:5)

(cid:2) (cid:2) λx (cid:7) (cid:2)1 − λ(cid:3)y (cid:2) (cid:2)2 (cid:6) λ(cid:4)x(cid:4)2 (cid:7) (cid:2)1 − λ(cid:3)(cid:4)y(cid:4)2 − λ(cid:2)1 − λ(cid:3)(cid:4)x − y(cid:4)2. (cid:2)2.1(cid:3)

Let C be a nonempty closed convex subset of H. For every point x ∈ H, there exists a unique nearest point in C, denoted by PCx, such that

(cid:2) (cid:2) ≤ (cid:4)x − y(cid:4), ∀y ∈ C. (cid:2)2.2(cid:3) (cid:2) (cid:2) x − PCx

PC is called the metric projection of H onto C. It is well known that PC is a nonexpansive mapping of H onto C and satisfies

(cid:6) (cid:5) (cid:2) (cid:2)2 ≥ (cid:2)2.3(cid:3) x − y, PCx − PCy (cid:2) (cid:2) PCx − PCy

for every x, y ∈ H. Moreover, PCx is characterized by the following properties: PCx ∈ C and

(cid:6)

(cid:2)2.4(cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:4)x − y(cid:4)2 ≥ (cid:2) (cid:2)2, (cid:5) x − PCx, y − PCx (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) x − PCx ≤ 0, (cid:2) (cid:2) y − PCx

for all x ∈ H, y ∈ C. It is easy to see that the following is true:

(cid:2)u − λBu(cid:3), λ > 0. (cid:2)2.5(cid:3) u ∈ VI(cid:2)B, C(cid:3) ⇐⇒ u (cid:6) PC

} in A Banach space X is said to satisfy the Opial’s condition if for each sequence {xn X which converges weakly to a point x ∈ X, we have

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2.6(cid:3) − x − y xn xn (cid:2) (cid:2) , y /(cid:6) x. lim inf n → ∞ < lim inf n → ∞

It is well known that each Hilbert space satisfies the Opial’s condition.

A set-valued mapping T : H → 2H is called monotone if for all x, y ∈ H, f ∈ T x and g ∈ T y imply (cid:2)x − y, f − g(cid:3) ≥ 0. A monotone mapping T : H → 2H is maximal if the graph of G(cid:2)T (cid:3) of T is not properly contained in the graph of any other monotone mapping. It is known that a monotone mapping T is maximal if and only if for (cid:2)x, f(cid:3) ∈ H × H, (cid:2)x − y, f − g(cid:3) ≥ 0 for

6 Fixed Point Theory and Applications

every (cid:2)y, g(cid:3) ∈ G(cid:2)T (cid:3) implies f ∈ T x. Let B be a monotone map of C into H and let NCv be the normal cone to C at v ∈ C, that is, NCv (cid:6) {w ∈ H : (cid:2)u − v, w(cid:3) ≥ 0, for all u ∈ C} and define

(cid:7)

(cid:2)2.7(cid:3) T v (cid:6) Bv (cid:7) NCv, v ∈ C; v /∈ C. ∅,

Then T is the maximal monotone and 0 ∈ T v if and only if v ∈ VI(cid:2)B, C(cid:3); see (cid:4)26(cid:5). Now we collect some useful lemmas for proving the convergence result of this paper.

Lemma 2.1. In a Hilbert space H. Then the following inequality holds

(cid:6) (cid:5) (cid:4)x (cid:7) y(cid:4)2 ≤ (cid:4)x(cid:4)2 (cid:7) 2 y, (cid:2)x (cid:7) y(cid:3) , ∀x, y ∈ H. (cid:2)2.8(cid:3)

} be bounded sequences in a Banach space E and let {βn

} be (cid:7)βnxn (cid:4) (cid:6) 0. ≤ lim supn → ∞ βn < 1. Suppose xn(cid:7)1 − xn − zn (cid:6) (cid:2)1−βn (cid:4)(cid:3) ≤ 0. Then, limn → ∞(cid:4)zn (cid:4) − (cid:4)xn(cid:7)1 (cid:3)zn − xn

} is a sequence of nonnegative real numbers such that } and {zn Lemma 2.2 (cid:2)see (cid:4)27(cid:5)(cid:3). Let {xn a sequence in (cid:4)0, 1(cid:5) with 0 < lim infn → ∞ βn for all integers n ≥ 1 and lim supn → ∞(cid:2)(cid:4)zn(cid:7)1 Lemma 2.3 (cid:2)see (cid:4)28(cid:5)(cid:3). Assume {αn

(cid:3) (cid:4) ≤ (cid:2)2.9(cid:3) αn(cid:7)1 1 − γn αn (cid:7) δn, n ≥ 1,

n(cid:6)1 γn

} is a sequence in R such that } is a sequence in (cid:2)0, 1(cid:3) and {δn (cid:8)∞ (cid:6) ∞

(cid:3) ≤ 0 or | < ∞. |δn (cid:8)∞ n(cid:6)1

where {αn (cid:2)1(cid:3) (cid:2)2(cid:3) lim supn → ∞(cid:2)δn/γn (cid:6) 0. Then limn → ∞ αn

Lemma 2.4 (cid:2)see (cid:4)9(cid:5)(cid:3). Assume that A is a strongly positive linear bounded self-adjoint operator on a Hilbert space H with coefficient γ > 0 and 0 < ρ ≤ (cid:4)A(cid:4)−1. Then (cid:4)I − ρA(cid:4) ≤ 1 − ργ.

Throughout this paper, we will assume that 0 < μn

≤ μ < 1, for all n ≥ 1. Concerning Wn defined by (cid:2)1.15(cid:3), we have the following lemmas which are important to prove our main result.

i(cid:6)1F(cid:2)Ti

i(cid:6)1F(cid:2)Ti

(cid:9)∞ (cid:3) /(cid:6) ∅, and let {μi Lemma 2.5 (cid:2)see (cid:4)29(cid:5)(cid:3). Let C be a nonempty closed convex subset of a Hilbert space H, let Ti : C → } be a real sequence C be a family of infinitely nonexpansive mapping with such that 0 < μi (cid:9) n (cid:3) (cid:6) (cid:3) for each n ≥ 1;

≤ μ < 1, for all i ≥ 1. Then (cid:2)1(cid:3) Wn is nonexpansive and F(cid:2)Wn (cid:2)2(cid:3) for each x ∈ C and for each positive integer k, the limit limn → ∞ Un,kx exists; (cid:2)3(cid:3) the mapping W : C → C define by

n → ∞ Wnx (cid:6) lim

n → ∞ Un,1x,

Wx :(cid:6) lim x ∈ C, (cid:2)2.10(cid:3)

i(cid:6)1F(cid:2)Ti

(cid:9)∞ (cid:3) and it is called the W-mapping generated is a nonexpansive mapping satisfying F(cid:2)W(cid:3) (cid:6) by T1, T2, . . . , and μ1, μ2, . . . .

Fixed Point Theory and Applications 7

i(cid:6)1F(cid:2)Ti

(cid:9)∞ : } be a real (cid:3) /(cid:6) ∅, and let {μi ≤ μ < 1, for all i ≥ 1. If K is any bounded subset of C, then Lemma 2.6 (cid:2)see (cid:4)30(cid:5)(cid:3). Let C be a nonempty closed convex subset of a Hilbert space H, let {Ti C → C} be a family of infinitely nonexpansive mappings with sequence such that 0 < μi

(cid:2)2.11(cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:6) 0. (cid:2) (cid:2) Wx − Wnx lim n → ∞ sup x∈K

3. Main Results

Now we are in a position to state and prove the main result in this paper.

n(cid:6)1F(cid:2)Ti

(cid:9)∞

}, and {δn }, {βn }, {γn Theorem 3.1. Let C be a closed convex subset of a real Hilbert space H, let f be a contraction of C into itself, let B be an α-inverse strongly monotone mapping of C into H, and let {Ti : C → C} be a (cid:3) ∩ VI(cid:2)B, C(cid:3) /(cid:6) ∅. Let A be a strongly family of infinitely nonexpansive mappings with F :(cid:6) positive linear bounded self-adjoint operator with the coefficient γ > 0 such that (cid:4)A(cid:4) ≤ 1. Assume that 0 < γ ≤ γ/α. Let {αn } be sequences in (cid:4)0, 1(cid:5) satisfying the following conditions:

(cid:8)∞ (cid:6) ∞, (cid:6) 0,

(cid:3)γn

n(cid:6)1 αn ≤ lim supn → ∞ δn < 1, − 2βn > d for some d ∈ (cid:2)0, 1(cid:3), − γn | (cid:6) limn → ∞|γn(cid:7)1

| (cid:6) 0,

(cid:2)C1(cid:3) limn → ∞αn (cid:2)C2(cid:3) 0 < lim infn → ∞ δn (cid:2)C3(cid:3) (cid:2)1 (cid:7) βn (cid:2)C4(cid:3) limn → ∞|βn(cid:7)1 (cid:2)C5(cid:3) } ⊂ (cid:4)a, b(cid:5) for some a, b ∈ (cid:2)0, 2α(cid:3). − λn−1 |λn − βn | < ∞ and {λn (cid:8)∞ n(cid:6)1

(cid:2)γf (cid:7) (cid:2)I − A(cid:3)(cid:3)q } defined by (cid:2)1.16(cid:3) converges strongly to q ∈ F, where q (cid:6) PF Then the sequence {xn which solves the following variational inequality:

(cid:6) (cid:5) γf(cid:2)q(cid:3) − Ap, p − q ≤ 0, ∀p ∈ F. (cid:2)3.1(cid:3)

→ 0 as n → ∞ by the condition (cid:2)C1(cid:3), we may assume, without loss of (cid:3)(cid:4)A(cid:4)−1 for all n ≥ 0. First, we will show that I −λnB is nonexpansive. ∈ (cid:4)0, 2α(cid:5), Proof. Since αn generality that αn < (cid:2)1−δn Indeed, for all x, y ∈ C and λn

(cid:4) (cid:3) (cid:4) (cid:2) (cid:2)2 (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:6) x − y I − λnB I − λnB

(cid:4)Ax − Ay(cid:4)2 (cid:2)Ax − Ay(cid:3) (cid:2)x − y, Ax − Ay(cid:3) (cid:7) λ2 n (cid:2)3.2(cid:3) (cid:4) − 2α (cid:4)Ax − Ay(cid:4)2 λn

(cid:2) (cid:2)(cid:2)x − y(cid:3) − λn (cid:6) (cid:4)x − y(cid:4)2 − 2λn (cid:3) ≤ (cid:4)x − y(cid:4)2 (cid:7) λn ≤ (cid:4)x − y(cid:4)2,

which implies that I − λnB is nonexpansive. Noticing that A is a linear bounded self-adjoint operator, one has

(cid:12) : x ∈ H, (cid:4)x(cid:4) (cid:6) 1 . (cid:2)3.3(cid:3) (cid:11) (cid:10)(cid:11) (cid:11) (cid:11)(cid:2)Ax, x(cid:3) (cid:4)A(cid:4) (cid:6) sup

8 Fixed Point Theory and Applications

Observing that

(cid:5)(cid:3)(cid:3) (cid:4) (cid:6) (cid:4) x, x 1 − δn I − αnA (cid:2)Ax, x(cid:3) (cid:4)A(cid:4) − αn − αn (cid:6) 1 − δn ≤ 1 − δn ≤ 0,

we obtain (cid:2)1 − δn (cid:3)I − αnA is positive. It follows that

(cid:10)(cid:5)(cid:3)(cid:3) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:6) (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:12) : x ∈ H, (cid:4)x(cid:4) (cid:6) 1 x, x 1 − δn I − αnA I − αnA (cid:12) (cid:2)Ax, x(cid:3) : x ∈ H, (cid:4)x(cid:4) (cid:6) 1 1 − δn − αn

(cid:2) (cid:2) (cid:6) sup (cid:6) sup ≤ 1 − δn (cid:10) 1 − δn − αnγ.

(cid:9)∞ } is bounded. Indeed, pick p ∈ (cid:3) ∩ VI(cid:2)B, C(cid:3) and notice that Next, we observe that {xn

i(cid:6)1F(cid:2)Ti (cid:2) (cid:2) ≤

(cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) , − p zn − p (cid:2) (cid:2) xn (cid:3) (cid:2)3.4(cid:3) xn (cid:2) (cid:2) − p (cid:2) (cid:2) − p Wnxn (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2) 1 − γn (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:7) (cid:2) (cid:2) (cid:7) Wnzn − p 1 − βn 1 − βn zn − p − p (cid:2) (cid:2) . xn − p (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ γn (cid:2) (cid:7) (cid:2) − p xn (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ βn (cid:2) − p yn (cid:2) (cid:2) ≤ βn (cid:2) (cid:2) ≤ xn

It follows that

(cid:3)(cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4) (cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:6) − p xn(cid:7)1 αnγf (cid:3) xn (cid:3) 1 − δn (cid:3) − p (cid:3) (cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:6) I − αnA (cid:3)(cid:3) (cid:4) (cid:7) − p xn − λByn (cid:3) γf (cid:3) xn (cid:4) yn (cid:2) (cid:2) − p (cid:2) (cid:2) (cid:7) − p PC − p − Ap xn (cid:3) (cid:4) − λByn yn (cid:4) (cid:4) I − αnA (cid:4)(cid:2) (cid:2) yn (cid:4)(cid:2) (cid:2) γf (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)3.5(cid:3) − p xn PC 1 − δn 1 − δn − αnγ (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:7) 1 − αnγ (cid:2) (cid:2) − f(cid:2)p(cid:3) (cid:4)(cid:14)(cid:2) (cid:2) xn (cid:3) γ − γα xn (cid:2) (cid:2) (cid:3) (cid:3) (cid:4)(cid:14)(cid:2) (cid:2) (cid:6) − p γ − γα γf(cid:2)p(cid:3) − Ap (cid:4) γ − γα . (cid:7) (cid:7) δnxn (cid:4) (cid:4) (cid:7) δn − Ap (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) δn xn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) αn γf(cid:2)p(cid:3) − Ap (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) αn (cid:2) − p (cid:2) (cid:2) (cid:7) αn xn αn (cid:2) (cid:2) ≤ αn ≤ αnγ f (cid:13) 1 − αn (cid:6) (cid:13) 1 − αn (cid:2) (cid:2) γf(cid:2)p(cid:3) − Ap γ − γα

By simple induction, we have

(cid:7) (cid:15) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ max (cid:2) (cid:2) , , (cid:2)3.6(cid:3) − p − p xn x0 (cid:2) (cid:2) Ap − γf(cid:2)p(cid:3) γ − γα

}. } is bounded, and so are {yn } and {zn which gives that the sequence {xn Next, we claim that

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:6) 0. (cid:2)3.7(cid:3) xn(cid:7)1 − xn lim n → ∞

Fixed Point Theory and Applications 9

Since Ti and Un,i are nonexpansive, we have

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:6) Wnxn − Wn−1xn Un,1xn (cid:3) (cid:3) (cid:4) (cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:6) − − Un−1,1xn − − μ1T1Un−1,2xn 1 − μ1 xn xn

n(cid:17)

i(cid:6)1 (cid:16)

Un,2xn (cid:3) (cid:3) (cid:4) (cid:4) (cid:2) (cid:2) μ1T1Un,2xn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) − 1 − μ1 (cid:2) (cid:2) − Un−1,2xn − xn − μ2T2Un−1,3xn 1 − μ2 xn μ2T2Un,3xn (cid:2) (cid:2) Un,3xn 1 − μ2 (cid:2) (cid:2) − Un−1,3xn ≤ μ1 (cid:6) μ1 ≤ μ1μ2 (cid:2)3.8(cid:3) ... (cid:18) (cid:16) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ μi Un,nxn − Un−1,nxn

n(cid:17)

(cid:18)

i(cid:6)1

, μi ≤ M1

≥ 0 ≥ 0 is a constant such that (cid:4)Un,nxn − Un−1,nxn (cid:4) ≤ M1. Similarly, there exists M2 where M1 such that (cid:4)Un,nyn − Un−1,nyn (cid:4) ≤ M2. Observing that

(cid:3) (cid:4) (cid:7) (cid:3) Wnxn, (cid:4) (cid:2)3.9(cid:3) (cid:7) (cid:6) γnxn zn (cid:6) γn−1xn−1 zn−1 1 − γn 1 − γn−1 Wn−1xn−1,

we obtain that

(cid:4) (cid:3) (cid:4)(cid:3) (cid:4) (cid:4)(cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:3) (cid:7) (cid:6) (cid:2)3.10(cid:3) . zn − zn−1 1 − γn Wnxn − Wn−1xn−1 (cid:7) γn xn − xn−1 γn−1 − γn Wn−1xn−1 − xn−1

It follows that

(cid:3) (cid:11) (cid:11) (cid:2) (cid:2) (cid:11) (cid:11) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ (cid:2) (cid:2) (cid:7) zn − zn−1 γn−1 − xn−1 Wnxn (cid:2) (cid:2) Wnxn−1 (cid:2) (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2) − xn−1 (cid:4)(cid:2) (cid:2) ≤ − γn − Wn−1xn−1 xn 1 − γn

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) γn − Wn−1xn−1 (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:7) − Wn−1xn Wnxn (cid:11) (cid:11) (cid:2) (cid:11) (cid:11) (cid:2) (cid:7) − xn−1 (cid:4)(cid:2) (cid:2) ≤ Wn−1xn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) − xn−1 Wnxn−1 (cid:4)(cid:2) (cid:3) (cid:2) 1 − γn − γn (cid:2) (cid:2) (cid:7) (cid:11) (cid:11) − xn−1 (cid:2) (cid:2)

i(cid:6)1

(cid:2) (cid:2) Wnxn−1 (cid:2) (cid:2) (cid:11) (cid:11) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) γn−1 − Wn−1xn Wnxn (cid:11) (cid:2) (cid:11) (cid:2) (cid:7) − xn−1 (cid:4)(cid:2) (cid:2) − γn (cid:2) (cid:2) (cid:7) xn − xn−1 (cid:11) (cid:2) (cid:11) (cid:2) (cid:7) (cid:6) − γn − xn−1 Wnxn n(cid:17) 1 − γn (cid:3) 1 − γn (cid:2) (cid:2) (cid:7) γn xn (cid:3) 1 − γn (cid:2) (cid:2) (cid:7) γn xn (cid:3) 1 − γn (cid:3) (cid:4) − xn−1 (cid:11) (cid:11) γn−1 − Wn−1xn (cid:2) (cid:2) γn−1 (cid:2) (cid:2) (cid:11) (cid:11) xn (cid:2) (cid:2) (cid:7) ≤ (cid:7) Wnxn−1 (cid:2) (cid:2) . 1 − γn γn−1 xn μi M1 − xn−1 − γn Wnxn−1 − xn−1

(cid:2)3.11(cid:3)

Fixed Point Theory and Applications 10

Noticing that

(cid:3) (cid:4) (cid:7) (cid:3) Wnzn, (cid:4) (cid:2)3.12(cid:3) (cid:7) (cid:6) βnxn yn (cid:6) βn−1xn−1 yn−1 1 − βn 1 − βn−1 Wn−1zn−1,

we obtain

(cid:4)(cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4)(cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:7) (cid:6) . yn − yn−1 1 − βn Wnzn − Wn−1zn−1 (cid:7) βn xn − xn−1 Wn−1zn−1 − xn−1 βn−1 − βn

(cid:2)3.13(cid:3)

It follows that

(cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:11) (cid:11) (cid:2) (cid:11) (cid:11) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ (cid:2) (cid:2) (cid:7) yn − yn−1 βn−1 − βn Wnzn − xn−1 (cid:2) (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) βn (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:7) ≤

− Wnzn−1 − Wn−1zn Wnzn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) − xn−1 (cid:4)(cid:2) (cid:2) ≤ zn − xn−1 (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:11) (cid:2) (cid:11) βn−1 (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:11) (cid:11) (cid:2) xn 1 − βn − xn−1 Wn−1zn−1 (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:7) 1 − βn − xn−1 − Wn−1zn Wnzn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) − xn−1 n(cid:17) 1 − βn (cid:3) 1 − βn (cid:2) (cid:2) (cid:7) βn xn (cid:3) 1 − βn (cid:2) (cid:2) (cid:7) βn (cid:3) Wn−1zn−1 (cid:4)(cid:2) (cid:3) (cid:2) Wnzn−1 − Wn−1zn−1 Wn−1zn (cid:11) (cid:11) − βn (cid:2) (cid:2) − zn−1 (cid:11) (cid:11) − βn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ (cid:7) xn (cid:4) M2 βn−1 (cid:2) (cid:2) (cid:7) βn − xn−1 xn − zn−1 zn μi

i(cid:6)1 − xn−1

1 − βn (cid:2) (cid:2) (cid:11) (cid:11) (cid:2) (cid:2) (cid:7) . Wn−1zn−1 1 − βn (cid:11) (cid:11) βn−1 − βn (cid:2)3.14(cid:3)

n(cid:17)

n(cid:17)

Substituting (cid:2)3.11(cid:3) into (cid:2)3.14(cid:3), we get

i(cid:6)1 (cid:11) (cid:11) − γn

i(cid:6)1 xn − xn−1 n(cid:17)

i(cid:6)1

i(cid:6)1 1 − βn

(cid:3) (cid:3) (cid:4) (cid:4)(cid:3) (cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ (cid:7) yn − yn−1 μi M1 1 − βn (cid:3) μi (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) M2 (cid:4)(cid:2) (cid:2) 1 − γn (cid:4)(cid:11) (cid:11) 1 − βn (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:7) (cid:7) γn−1 Wn−1xn−1 − xn−1 1 − βn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) − xn−1 (cid:11) (cid:2) (cid:11) (cid:2) (cid:7) (cid:2)3.15(cid:3) − xn−1 n(cid:17) (cid:7) βn (cid:3) βn−1 (cid:3) xn (cid:4) 1 − βn (cid:2) (cid:11) (cid:2) (cid:11) − βn (cid:4)(cid:3) Wn−1zn−1 (cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:6) (cid:7) (cid:7) M2 μi 1 − γn μi xn − xn−1 1 − βn (cid:3)(cid:3) (cid:11) (cid:11) M1 (cid:11) (cid:4) (cid:11) (cid:4)(cid:11) (cid:11) 1 − βn (cid:11) (cid:11) (cid:7) , (cid:7) M3 γn−1 − γn βn−1 − βn

where M3 is an appropriate constant such that

(cid:20) (cid:19) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)3.16(cid:3) . ≥ max M3 Wn−1xn−1 − xn−1 Wn−1zn−1 − xn−1 sup n≥1 , sup n≥1

Putting ln (cid:6) (cid:2)xn(cid:7)1 − δnxn (cid:3)/(cid:2)1 − δn (cid:3), we get, xn(cid:7)1 (cid:6) (cid:2)1 − δn (cid:3)ln (cid:7) δnxn.

Fixed Point Theory and Applications 11

Now, we compute ln(cid:7)1 (cid:4) − ln. Observing that (cid:3) (cid:4) (cid:3)(cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4) (cid:7) 1 − δn(cid:7)1 xn(cid:7)1 PC yn(cid:7)1 − λn(cid:7)1Byn(cid:7)1 (cid:6) αn(cid:7)1γf ln(cid:7)1 − ln (cid:4) (cid:3)(cid:3) (cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:7) 1 − δn xn I − αn(cid:7)1A 1 − δn(cid:7)1 (cid:4) PC yn − λnByn − αnγf

(cid:3) (cid:3) (cid:4) (cid:3)I − αnA 1 − δn (cid:3) (cid:4)(cid:4) (cid:2)3.17(cid:3) (cid:6) αn(cid:7)1 γf xn(cid:7)1 − APC yn(cid:7)1

(cid:3) (cid:3) (cid:4) − λn(cid:7)1Byn(cid:7)1 (cid:4)(cid:4) (cid:3) APC yn xn 1 − δn(cid:7)1 (cid:7) αn 1 − δn (cid:3) − λnByn (cid:4) − γf (cid:3) (cid:4) . (cid:7) PC yn(cid:7)1 − λn(cid:7)1Byn(cid:7)1 − PC yn − λnByn

It follows from (cid:2)3.15(cid:3) that

(cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ αn(cid:7)1 γf ln(cid:7)1 − ln xn(cid:7)1 − APC yn(cid:7)1

(cid:3) (cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) − λn(cid:7)1Byn(cid:7)1 (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:7) 1 − δn(cid:7)1 (cid:7) αn − γf xn − yn APC yn 1 − δn (cid:3) − λnByn (cid:3) (cid:4) (cid:2) (cid:2) yn(cid:7)1 (cid:4)(cid:2) (cid:2) ≤ αn(cid:7)1 γf xn(cid:7)1 − APC yn(cid:7)1 (cid:2)3.18(cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:3) (cid:2) (cid:2) − λn(cid:7)1Byn(cid:7)1 (cid:4)(cid:2) (cid:2) 1 − δn(cid:7)1 (cid:7) αn − γf APC − λnByn xn

n(cid:17)

i(cid:6)1 (cid:11) (cid:11) βn−1

yn n(cid:17) 1 − δn (cid:3) (cid:3) (cid:4) (cid:4)(cid:3) (cid:4) (cid:7) (cid:7) μi 1 − γn μi (cid:4) (cid:3)(cid:3) 1 − βn (cid:2) (cid:2) (cid:11) (cid:11) M1 (cid:11) (cid:11) (cid:7) (cid:7) . xn − xn−1 M2 i(cid:6)1 (cid:2) (cid:2) (cid:7) M3 1 − βn (cid:4)(cid:11) (cid:11) γn−1 1 − βn − γn − βn

It follows that

(cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) − (cid:2) (cid:2) ≤ αn(cid:7)1 γf ln(cid:7)1 − ln xn − xn−1 xn(cid:7)1 − APC yn(cid:7)1

n(cid:17)

i(cid:6)1

i(cid:6)1 (cid:4)(cid:11) (cid:11)

(cid:4) (cid:3) (cid:3) − λn(cid:7)1Byn(cid:7)1 (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 1 − δn(cid:7)1 (cid:7) αn − γf APC − λnByn xn (cid:2)3.19(cid:3) yn n(cid:17) (cid:3) (cid:4) (cid:4) (cid:7) (cid:7) (cid:3) μi M2 (cid:3) 1 − γn μi 1 − δn (cid:3) 1 − βn (cid:3)(cid:3) M1 (cid:11) (cid:4) (cid:11) 1 − βn (cid:11) (cid:11) (cid:11) (cid:11) (cid:7) . (cid:7) M3 1 − βn γn−1 − γn βn−1 − βn

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:4) (cid:2) (cid:3)(cid:2) (cid:2) Observing the conditions (cid:2)C1(cid:3) and (cid:2)C4(cid:3) and taking the superior limit as n → ∞, we get (cid:2) (cid:2) − ≤ 0. (cid:2)3.20(cid:3) ln(cid:7)1 − ln xn − xn−1 lim sup n → ∞

We can obtain limn → ∞(cid:4)ln − xn

(cid:3) (cid:4) (cid:6) 0 easily by Lemma 2.2 since (cid:4) (cid:4)(cid:3) (cid:6) , (cid:2)3.21(cid:3) xn(cid:7)1 − xn 1 − δn ln − xn

12 Fixed Point Theory and Applications

(cid:3), we have one obtains that (cid:2)3.7(cid:3) holds. Setting tn (cid:2)yn

− λnyn (cid:3)(cid:3) (cid:3) (cid:4) (cid:6) PC (cid:4) (cid:4) (cid:7) (cid:2)3.22(cid:3) xn(cid:7)1 (cid:6) αnγf xn (cid:7) δnxn 1 − δn I − αnA tn.

Observing that

xn − tn − tn (cid:3) (cid:3)(cid:3) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:2)3.23(cid:3) tn − tn xn (cid:3) (cid:7) (cid:4) 1 − δn (cid:3) I − αnA (cid:4) γf , (cid:6) xn (cid:6) xn (cid:6) xn − xn(cid:7)1 − xn(cid:7)1 − xn(cid:7)1 (cid:7) xn(cid:7)1 (cid:7) αnγf (cid:3) (cid:7) αn xn (cid:7) δnxn (cid:4) − Atn (cid:7) δn xn − tn

we arrive at

(cid:4)(cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:3) (cid:4) (cid:4) (cid:3) γf . (cid:2)3.24(cid:3) 1 − δn xn − tn (cid:6) xn − xn(cid:7)1 (cid:7) αn xn − Atn

This implies

(cid:3) (cid:3) (cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ γf (cid:2) (cid:2) . (cid:2)3.25(cid:3) 1 − δn xn − tn xn − xn(cid:7)1 (cid:2) (cid:2) (cid:7) αn xn − Atn

From (cid:2)3.7(cid:3) and (cid:2)C1(cid:3) we obtain that

(cid:2) (cid:2) (cid:2)3.26(cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:6) 0. xn − tn lim n → ∞

− Bp(cid:4) → 0 as n → ∞ for any p ∈ F. Observe that Next, we will show that (cid:4)Byn

2 (cid:7) α2 n 1 − δn

2

n

2

(cid:3)(cid:3) (cid:4) (cid:4)(cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2)2 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:6) − p − p − p xn(cid:7)1 1 − δn I − αnA tn (cid:7) δn xn xn (cid:3) (cid:3)(cid:3) (cid:4)(cid:3) (cid:4) − Ap (cid:4) (cid:3) (cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:6) − Ap (cid:4)(cid:3) (cid:2) (cid:2)2 (cid:4) (cid:3) (cid:3) (cid:4) (cid:6) 1 − δn (cid:5) − p tn (cid:4) (cid:7) δn (cid:6) − p (cid:5)(cid:3)(cid:3) , γf − Ap tn xn xn xn (cid:7) 2αn xn (cid:7) 2δnαn (cid:3)(cid:3) γf xn n I − αnA (cid:3) (cid:4) I − αnA − p, γf (cid:4)(cid:2) (cid:2) − p (cid:2) (cid:2)2 ≤ − Ap (cid:4)(cid:3) (cid:4) (cid:3) − p (cid:3) (cid:6) (cid:4) (cid:2) (cid:4) (cid:2) (cid:5)(cid:3)(cid:3) − p , γf − Ap (cid:7) αn γf (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) α2 (cid:2) (cid:4) 1 − δn (cid:2) (cid:2) γf xn (cid:4) I − αnA tn xn xn xn − αnγ 1 − δn (cid:5) (cid:7) 2δnαn (cid:3) (cid:6) − αnγ xn tn − p, γf (cid:2) (cid:4) (cid:2) tn (cid:4) − p (cid:2) (cid:2) 1 − δn (cid:2) (cid:2)2 − p (cid:2) (cid:2) (cid:7) cn (cid:2) (cid:2)2 − αnγ (cid:2) (cid:4) (cid:2) 2 ≤ − p − p tn − αnγ (cid:22) (cid:4) 1 − δn (cid:3) (cid:7) 2 (cid:3) 1 − δn (cid:3) (cid:2) (cid:2)2 − Ap (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) δn (cid:2) − p xn (cid:6) (cid:4) − Ap (cid:7) 2αn (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) δ2 (cid:2) n (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) − p xn tn δn (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) δ2 (cid:2) − p n (cid:21)(cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) (cid:2) − p 1 − δn δn tn − p (cid:4) − αnγ (cid:4) (cid:7) (cid:23)(cid:3) (cid:2) (cid:2)2 xn (cid:2) (cid:2) xn (cid:24)(cid:2) (cid:2) (cid:6) − p − p δn xn 1 − αnγ (cid:3)(cid:3) (cid:3) 2 − 2 (cid:4) tn (cid:2) (cid:2) (cid:7) cn (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) δ2 (cid:2) (cid:22) (cid:2) (cid:2)2 1 − αnγ (cid:4)(cid:21)(cid:2) (cid:2) − p δn tn xn (cid:7) (cid:3) (cid:3) (cid:7) δ2 n (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) (cid:4) (cid:7) cn (cid:3) (cid:4) 1 − αnγ (cid:2) (cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) − δ2 n (cid:2) (cid:2)2 − (cid:6) − p (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) − p − p − p 1 − αnγ tn 1 − αnγ δn tn 1 − αnγ δn xn (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) cn

Fixed Point Theory and Applications 13 (cid:3) (cid:4) (cid:4)(cid:3) (cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) (cid:6) − p δn xn 1 − δn − αnγ (cid:4)(cid:3) 1 − αnγ (cid:3) 1 − αnγ (cid:3) (cid:4) (cid:4)(cid:2) (cid:2) tn (cid:4)(cid:23)(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) cn − p (cid:24) (cid:4)(cid:2) (cid:2)2 ≤ − − λnByn p − λnBp 1 − αnγ (cid:3) 1 − δn (cid:2) (cid:4) (cid:2) (cid:24) 1 − αnγ (cid:4)(cid:3) (cid:7) (cid:3) (cid:3) (cid:4)(cid:2) (cid:2) − αnγ yn (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) cn (cid:4)(cid:23)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 ≤ − p − 2α − Bp (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) λn λn Byn 1 − αnγ (cid:3) xn δn 1 − δn (cid:2) (cid:4) (cid:2) δn xn (cid:7) (cid:2) (cid:2) − p − αnγ yn (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) cn (cid:2) (cid:2) ≤ − p 1 − αnγ (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) b(cid:2)b − 2α(cid:3) − p − Bp xn Byn (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) cn, (cid:2)3.27(cid:3)

where

(cid:3) (cid:3) (cid:4) (cid:5) (cid:4) (cid:6) (cid:2) (cid:2) cn − Ap (cid:4) xn (cid:4) − Ap (cid:6) (cid:2)3.28(cid:3) xn − p − p, γf (cid:3) (cid:4) , γf − Ap . (cid:6) α2 γf n (cid:7) 2αn xn (cid:5)(cid:3)(cid:3) 1 − δn (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) 2δnαn (cid:4)(cid:3) I − αnA tn xn

This impies that

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 ≤ − Bp −b(cid:2)b − 2α(cid:3) Byn xn (cid:2)3.29(cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:2) xn(cid:7)1 (cid:3)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 − (cid:2) (cid:2) ≤ − p xn − p − xn(cid:7)1 xn (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) cn − p (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) − p xn(cid:7)1 (cid:7) cn.

(cid:6) 0 and from (cid:2)3.7(cid:3), we obtain Since limn → ∞cn

(cid:2) (cid:2) (cid:2)3.30(cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:6) 0. − Bp Byn lim n → ∞

From (cid:2)2.3(cid:3), we have

(cid:4) (cid:3) (cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:6) − p tn PC (cid:4)(cid:2) (cid:2)2 (cid:6) (cid:2) (cid:2) (cid:5)(cid:3) (cid:4) ≤ − λnByn − − PC (cid:3) p − λnBp p − λnBp (cid:4) , tn (cid:4) (cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 yn − λnByn yn (cid:25)(cid:2) (cid:3) (cid:2) − p (cid:4)(cid:2) (cid:2)2 (cid:7) − − p − λnByn tn (cid:6) 1 2 (cid:26) (cid:4) (cid:3) p − λnBp (cid:3) (cid:4) yn (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2)2 − − yn tn (cid:26) (cid:4) − p (cid:3) p − λnBp (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2)2 − (cid:25)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 − − λnByn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) − p − p − Bp yn yn tn − λn Byn

(cid:6) (cid:5) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:2) (cid:2) (cid:25)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) (cid:2) (cid:2)2 − − p − p − Bp − Bp yn yn tn − tn (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) 2λn − tn yn − tn, Byn Byn − λ2 n ≤ 1 2 (cid:6) 1 2 (cid:26) , (cid:2)3.31(cid:3)

so, we obtain

(cid:6) (cid:5) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 ≤ (cid:2) (cid:2)2 − − p − p − Bp − Bp (cid:2)3.32(cid:3) (cid:2) (cid:2)2. tn yn yn − tn (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) 2λn yn − tn, Byn Byn − λ2 n

14 Fixed Point Theory and Applications

(cid:3) (cid:4)(cid:3) (cid:3) (cid:4) (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) It follows that (cid:2) (cid:2)2 ≤ (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) − p − p − p xn(cid:7)1 tn 1 − αnγ δn xn (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) cn (cid:3) (cid:4)(cid:3) (cid:4) ≤ (cid:24) (cid:6) (cid:5) (cid:2) (cid:2)2 (cid:2) (cid:2) 1 − αnγ 1 − αnγ (cid:23)(cid:2) (cid:2) × − Bp − Bp yn yn (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) 2λn yn − tn, Byn Byn − λ2 n (cid:3) 1 − δn 1 − δn (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 − (cid:2) − p (cid:2) (cid:4) (cid:2) δn (cid:7) (cid:3) (cid:4)(cid:3) (cid:2) (cid:2)2 1 − αnγ (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2) ≤ − p xn (cid:2) (cid:2)2 − − p (cid:4)(cid:3) − tn (cid:2) (cid:2) yn − Bp yn

xn 1 − αnγ (cid:4)(cid:3) 1 − αnγ − αnγ − αnγ − tn (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) cn (cid:3) 1 − αnγ (cid:4)(cid:2) (cid:2) − αnγ (cid:4)(cid:2) (cid:2) − αnγ 1 − δn 1 − δn − αnγ 1 − δn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) − tn Byn (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) cn, − Bp Byn 1 − αnγ (cid:3) (cid:7) 2λn (cid:3) − λ2 n (cid:2)3.33(cid:3)

which implies that

(cid:3) (cid:4)(cid:3) (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 yn (cid:4)(cid:3) (cid:3) (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 1 − αnγ (cid:2) (cid:2) ≤ − p − Bp xn − αnγ yn − tn Byn 1 − δn (cid:2) (cid:2)2 − − p (cid:3) 1 − δn (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) cn (cid:2)3.34(cid:3) − λ2 n (cid:2) (cid:2) 1 − αnγ − Bp (cid:2) (cid:4) (cid:2) ≤ (cid:3)(cid:2) (cid:2) xn (cid:4)(cid:3) 1 − αnγ (cid:2) (cid:2) − xn(cid:7)1 (cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) − Bp yn Byn − p xn(cid:7)1 (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2) − tn − Bp − tn − αnγ (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) 2λn (cid:2) xn(cid:7)1 (cid:4)(cid:2) (cid:4)(cid:3) (cid:2) − αnγ 1 − δn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) − p 1 − δn 1 − δn − αnγ − αnγ Byn 1 − αnγ (cid:4)(cid:3) 1 − αnγ (cid:2) (cid:2) Byn (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) cn. xn (cid:7) 2λn (cid:3) − λ2 n

(cid:6) 0 to the last inequality, we obtain that Applying (cid:2)3.7(cid:3), (cid:2)3.30(cid:3), and limn → ∞cn

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:6) 0. (cid:2)3.35(cid:3) yn − tn lim n → ∞

It follows from (cid:2)3.26(cid:3) and (cid:2)3.35(cid:3) that

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ (cid:2) (cid:2) (cid:7) (cid:2) (cid:2) −→ 0 as n −→ ∞. (cid:2)3.36(cid:3) xn − yn xn − tn tn − yn

On the other hand, one has

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ Wnxn − xn xn yn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ xn − Wnxn − Wnzn ≤ xn xn − Wnxn (cid:2) (cid:2) − xn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ (cid:2)3.37(cid:3) xn xn zn − xn ≤ xn xn (cid:3) Wnxn (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:4)(cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) Wnzn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) zn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) βn (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:7) (cid:2) (cid:2) (cid:7) ≤ xn Wnxn − xn − Wnzn − Wnxn − Wnxn − Wnxn (cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) 1 (cid:7) βn 1 (cid:7) βn (cid:14)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) yn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) βn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) βn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) βn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) βn (cid:2) (cid:2) (cid:13)(cid:3) (cid:2) − (cid:6) (cid:2) (cid:2) (cid:7) − Wnzn (cid:2) (cid:2) − xn (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) , − 1 xn − yn − yn − yn − yn − yn − yn − yn xn 1 (cid:7) βn zn 1 − γn − xn γn − 2βn Wnxn

Fixed Point Theory and Applications 15

which implies

(cid:13)(cid:3) (cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:14)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ . (cid:2)3.38(cid:3) 1 (cid:7) βn γn − 2βn Wnxn − xn xn − yn

From the conditions (cid:2)C3(cid:3), it follows that

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:6) 0. (cid:2)3.39(cid:3) Wnxn − xn lim n → ∞

Applying Lemma 2.6 and (cid:2)3.39(cid:3), we obtain that

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ Wxn − xn − xn Wnxn (cid:2) (cid:2) (cid:2)3.40(cid:3) (cid:2) (cid:2) −→ 0 as n −→ ∞. (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) − Wnxn Wxn (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) (cid:2) Wx − Wnx Wnxn − xn ≤ sup x∈{xn}

It follows from (cid:2)3.26(cid:3) and (cid:2)3.40(cid:3) that

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ (cid:2) (cid:2) (cid:7) Wtn − tn − tn (cid:2)3.41(cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:7) (cid:2) (cid:2) − xn xn (cid:2) (cid:2) −→ 0 as n −→ ∞. (cid:2) (cid:2) Wtn (cid:2) (cid:2) ≤ 2 tn − Wxn (cid:2) (cid:2) (cid:7) − xn Wxn Wxn − xn

(cid:2)γf (cid:7) (cid:2)I − A(cid:3)(cid:3) is a contraction. Indeed, for all x, y ∈ H, we have We observe that PF

(cid:3) (cid:4) (cid:4) (cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) PF (cid:2)y(cid:3) (cid:4) γf (cid:7) (cid:2)I − A(cid:3) (cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:3) (cid:2) γf (cid:7) (cid:2)I − A(cid:3) ≤ (cid:2)y(cid:3)

(cid:2)3.42(cid:3) (cid:4) (cid:2)x(cid:3) − PF (cid:4) (cid:2)x(cid:3) − γf (cid:7) (cid:2)I − A(cid:3) γf (cid:7) (cid:2)I − A(cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) (cid:4)I − A(cid:4)(cid:4)x − y(cid:4) (cid:2) f(cid:2)x(cid:3) − f(cid:2)y(cid:3) (cid:3) 1 − γ (cid:4)x − y(cid:4)

≤ γ ≤ γα(cid:4)x − y(cid:4) (cid:7) < γ(cid:4)x − y(cid:4).

(cid:2)γf (cid:7) (cid:2)I − A(cid:3)(cid:3) has a unique fixed (cid:2)γf (cid:7) (cid:2)I − A(cid:3)(cid:3)(cid:2)q(cid:3). Banach’s Contraction Mapping Principle guarantees that PF point, say q ∈ H. That is, q (cid:6) PF Next, we claim that

(cid:6) (cid:5) − q ≤ 0. (cid:2)3.43(cid:3) γf(cid:2)q(cid:3) − Aq, tn lim sup n → ∞

} such that } of {tn Indeed, we choose a subsequence {tni

(cid:6) (cid:5) − q − q (cid:6) . (cid:2)3.44(cid:3) (cid:5) γf(cid:2)q(cid:3) − Aq, Wtn γf(cid:2)q(cid:3) − Aq, Wtni (cid:6) lim i → ∞ lim sup n → ∞

16 Fixed Point Theory and Applications

} of {tni } is bounded, there exists a subsequence {tnij } which converges weakly to (cid:4) → 0, we − tni Since {tni z ∈ C. Without loss of generality, we can assume that tni (cid:2) z. From (cid:4)Wtni obtain Wtni (cid:2) z. Therefore, we have

(cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:5) − q − q γf(cid:2)q(cid:3) − Aq, Wtn γf(cid:2)q(cid:3) − Aq, Wtni lim sup n → ∞ (cid:2)3.45(cid:3) (cid:6) (cid:6) (cid:6) lim i → ∞ (cid:5) γf(cid:2)q(cid:3) − Aq, z − q .

i(cid:6)1F(cid:2)Ti

(cid:9)∞ Next we prove that z ∈ F :(cid:6) (cid:9)∞

(cid:3) ∩ VI(cid:2)B, C(cid:3). (cid:3). i(cid:6)1F(cid:2)Ti First, we prove that z ∈ F(cid:2)W(cid:3) (cid:6) Suppose the contrary, z /∈ F(cid:2)W(cid:3), that is, Wz /(cid:6) z. Since tni (cid:2) z, by the Opial’s condition and (cid:2)3.41(cid:3), we have

(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) − z (cid:2) (cid:2) − Wz tni lim inf i → ∞ (cid:12) tni (cid:2)3.46(cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) tni (cid:10)(cid:2) (cid:2) (cid:10)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:7) (cid:2) (cid:2) (cid:7) (cid:2) (cid:2) − Wz Wtni (cid:2) (cid:12) (cid:2) − z tni tni (cid:2) (cid:2) . − Wtni − Wtni (cid:2) (cid:2) − z tni < lim inf i → ∞ ≤ lim inf i → ∞ ≤ lim inf i → ∞ (cid:6) lim inf i → ∞

i(cid:6)1F(cid:2)Ti

(cid:9)∞ This is a contradiction, which shows that z ∈ F(cid:2)W(cid:3) (cid:6) (cid:3). Next, we prove z ∈ VI(cid:2)B, C(cid:3). For this purpose, let T be the maximal monotone mapping defined by (cid:2)2.7(cid:3):

(cid:7)

(cid:2)3.47(cid:3) T v (cid:6) Bv (cid:7) NCv, v ∈ C; v /∈ C. ∅,

∈ C, we have For any given (cid:2)v, w(cid:3) ∈ G(cid:2)T (cid:3), hence w − Bv ∈ NC (cid:2)v(cid:3). Since tn

(cid:6) (cid:5) ≥ 0. (cid:2)3.48(cid:3) v − tn, w − Bv

(cid:3), we have On the other hand, from tn (cid:6) PC (cid:2)yn − λnByn

(cid:6) (cid:5) (cid:3) ≥ 0, (cid:2)3.49(cid:3) v − tn, tn − (cid:2)yn − λnByn

that is,

(cid:27) (cid:28) tn ≥ 0. (cid:2)3.50(cid:3) v − tn, (cid:7) Byn − yn λn

Fixed Point Theory and Applications 17

Therefore, we obtian

(cid:6) (cid:6) ≥ (cid:5) v − tni , w (cid:27) (cid:28) (cid:6) tni ≥ − v − tni , (cid:7) Byni (cid:5) v − tni, Bv (cid:5) v − tni, Bv (cid:27) (cid:28) (cid:6) − tni − yni λni − yni λni (cid:28) (cid:27) (cid:5) v − tni, Bv − Byni (cid:6) (cid:6) (cid:2)3.51(cid:3) tni (cid:6) (cid:7) − v − tni, Btni v − tni, − yni λni (cid:5) v − tni, Bv − Btni (cid:27) − Byni (cid:28) (cid:6) tni ≥ − (cid:28) v − tni, (cid:27) (cid:6) tni (cid:6) − . (cid:5) v − tni, Btni (cid:5) v − tni, Btni − Byni − yni λni v − tni, (cid:7) Byni − yni λni

(cid:4) → 0 as n → ∞ and B is Lipschitz continuous, hence from (cid:2)3.18(cid:3), we − yni Noting that (cid:4)tni obtain

(cid:2)v − z, w(cid:3) ≥ 0. (cid:2)3.52(cid:3)

i(cid:6)1F(cid:2)Ti The conclusion z ∈ Hence by (cid:2)3.45(cid:3), we obtain

Since T is maximal monotone, we have z ∈ T −10, and hence z ∈ VI(cid:2)B, C(cid:3). (cid:9)∞ (cid:3) ∩ VI(cid:2)B, C(cid:3) is proved.

(cid:6) (cid:5) (cid:6) (cid:5) (cid:6) − q γf(cid:2)q(cid:3) − Aq, z − q ≤ 0. (cid:2)3.53(cid:3) γf(cid:2)q(cid:3) − Aq, Wtn lim sup n → ∞

Since q (cid:6) PFf(cid:2)q(cid:3), it follows from (cid:2)3.39(cid:3), (cid:2)3.41(cid:3), and (cid:2)3.53(cid:3) that

(cid:4)(cid:6) (cid:6) (cid:5) (cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:5) (cid:7) − q − q γf(cid:2)q(cid:3) − Aq, γf(cid:2)q(cid:3) − Aq, tn tn Wtn lim sup n → ∞ − Wtn (cid:6) (cid:5) (cid:2)3.54(cid:3) − q γf(cid:2)q(cid:3) − Aq, Wtn (cid:6) lim sup n → ∞ ≤ lim sup n → ∞ ≤ 0.

Hence (cid:2)3.43(cid:3) holds. Using (cid:2)3.26(cid:3) and (cid:2)3.54(cid:3), we have

(cid:6) (cid:4)(cid:6) (cid:3) (cid:4) (cid:5) (cid:7) − q − q γf(cid:2)q(cid:3) − Aq, (cid:5) γf(cid:2)q(cid:3) − Aq, xn xn (cid:3) tn lim sup n → ∞ − tn (cid:6) (cid:5) (cid:2)3.55(cid:3) − q γf(cid:2)q(cid:3) − Aq, tn (cid:6) lim sup n → ∞ ≤ lim sup n → ∞ ≤ 0.

18 Fixed Point Theory and Applications

Now, from Lemma 2.1, it follows that

n

2 (cid:7) α2 n (cid:5)

(cid:3) (cid:3)(cid:3) (cid:4) (cid:4) (cid:4) (cid:2) (cid:2)2 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:6) (cid:7) − q − q xn(cid:7)1 (cid:7) δnxn 1 − δn (cid:4) tn (cid:4) (cid:4)(cid:3) αnγf (cid:3)(cid:3) xn (cid:4) I − αnA (cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2)2 (cid:6) − q − q 1 − δn I − αnA tn (cid:7) δn xn (cid:3)(cid:3) xn (cid:3) − Aq (cid:4) (cid:4) (cid:3) (cid:4)(cid:3) (cid:4) (cid:2) (cid:2)2 (cid:2) (cid:2) (cid:6) γf − Aq (cid:7) αn γf (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) α2 − q xn xn I − αnA (cid:3) − q tn (cid:4) (cid:7) δn (cid:6) 1 − δn (cid:5) xn xn (cid:4) (cid:3) − Aq (cid:4)(cid:3) (cid:4) (cid:6) (cid:7) 2δnαn (cid:5)(cid:3)(cid:3) − q, γf (cid:4) , γf 1 − δn (cid:3) (cid:4) (cid:7) 2αn (cid:3)(cid:3) (cid:2) (cid:2)2 xn (cid:2) (cid:4) (cid:2) − Aq (cid:2) (cid:2) − q (cid:2) (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2) ≤ γf − Aq − q xn tn 1 − δn (cid:6) − q (cid:3) − αnγ (cid:5) xn (cid:6) xn (cid:6) (cid:7) 2δnαn (cid:6) − q, γf(cid:2)q(cid:3) − A(cid:2)q(cid:3) (cid:5) (cid:4) I − αnA tn (cid:2) (cid:2) (cid:7) δn (cid:4) − f(cid:2)q(cid:3) (cid:3) (cid:4) xn (cid:4) − q, f (cid:5) (cid:7) 2δnαnγ (cid:3) (cid:7) 2 − q, γf(cid:2)q(cid:3) − Aq − q, f xn (cid:3) (cid:7) 2 1 − δn αn tn xn γαn − f(cid:2)q(cid:3) (cid:6) tn (cid:4) 1 − δn (cid:3) (cid:5) − q A tn (cid:3) − 2α2 n (cid:3)(cid:3) (cid:4) (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) ≤ γf − q − Aq xn xn 1 − δn (cid:4) 2 (cid:7) α2 n

n

n

n

− q, γf(cid:2)q(cid:3) − Aq(cid:3) xn (cid:4) − αnγ (cid:2) (cid:2) (cid:7) 2δnαnγα (cid:4) − q (cid:2) (cid:2) (cid:3) (cid:7) 2 − q, γf(cid:2)q(cid:3) − Aq(cid:3) − q 1 − δn αn (cid:2)tn xn (cid:2)3.56(cid:3) , γf(cid:2)q(cid:3) − Aq (cid:2) (cid:2) (cid:7) δn − q xn (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) 2δnαn (cid:2)xn (cid:2) (cid:3) (cid:2)2 (cid:7) 2 (cid:6) γαnα (cid:4) 1 − δn (cid:3) (cid:5) − q A (cid:3) tn (cid:4) (cid:4) (cid:4) − 2α2 n (cid:23)(cid:3) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:24)(cid:2) (cid:2) (cid:6) γf (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) α2 − q − Aq , γf(cid:2)q(cid:3) − Aq (cid:3) 2 (cid:7) 2δnαnγα (cid:7) 2 xn (cid:6) γαnα (cid:4) − q, γf(cid:2)q(cid:3) − Aq − q, γf(cid:2)q(cid:3) − Aq 1 − δn xn (cid:5) tn αn 1 − δn (cid:3) (cid:6) (cid:7) 2 (cid:6) (cid:4) 1 − αnγ (cid:5) xn (cid:3) (cid:7) 2δnαn (cid:5) tn (cid:3) − q (cid:4) (cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 ≤ γf − 2α2 A n (cid:23) (cid:3) 1 − 2 − q xn xn αn − Aq (cid:6) , γf(cid:2)q(cid:3) − Aq (cid:24)(cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) γ 2α2 (cid:2) (cid:6) − q, γf(cid:2)q(cid:3) − Aq (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) α2 − q xn (cid:5) (cid:4) tn αn 1 − δn γ − αnγ (cid:5) xn (cid:3) (cid:3) (cid:7) 2 (cid:2) (cid:2) (cid:7) 2δnαn (cid:2) (cid:2) A tn − q (cid:4) (cid:2) (cid:2)2 − q, γf(cid:2)q(cid:3) − Aq (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) γf(cid:2)q(cid:3) − Aq (cid:24)(cid:2) (cid:2) (cid:6) αn (cid:7) 2α2 n (cid:23) (cid:3) 1 − 2 (cid:25) (cid:3) (cid:4) − q (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 γ − αnγ (cid:2) (cid:3) (cid:2) γf − q (cid:7) αn xn αn xn (cid:3) (cid:6) (cid:5) − Aq (cid:2) (cid:4) (cid:2) xn (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:2) γf(cid:2)q(cid:3) − Aq A − q, γf(cid:2)q(cid:3) − Aq tn xn − q (cid:4)(cid:5) (cid:7) 2δn (cid:6)(cid:26) . γ 2 (cid:2) (cid:2) (cid:7) 2 (cid:3) (cid:7) 2 − q, γf(cid:2)q(cid:3) − Aq 1 − δn tn

Since {xn }, {f(cid:2)xn (cid:3)}, and tn are bounded, we can take a constant M5 > 0 such that

(cid:3) (cid:3) (cid:4) (cid:2) (cid:2) (cid:4)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) γf A (cid:2) (cid:2) γf(cid:2)q(cid:3) − Aq γ 2 − q (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) 2 − q (cid:2)3.57(cid:3) − Aq xn xn tn (cid:2) (cid:2) ≤ M5,

Fixed Point Theory and Applications 19

(cid:4) (cid:14)(cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) for all n ≥ 0. It then follows that (cid:2) (cid:2)2 ≤ − q (cid:3) (cid:13) 1 − 2 − q (cid:2)3.58(cid:3) xn(cid:7)1 γ − αnγ αn xn (cid:2) (cid:2)2 (cid:7) αnσn,

where

(cid:6) (cid:6) (cid:4)(cid:5) (cid:5) − q, γf(cid:2)q(cid:3) − Aq − q, γf(cid:2)q(cid:3) − Aq (cid:2)3.59(cid:3) (cid:3) (cid:7) 2 σn (cid:6) 2δn xn 1 − δn tn (cid:7) αnM4.

≤ 0. Now applying Lemma 2.3 to (cid:2)3.58(cid:3), Using (cid:2)C1(cid:3), (cid:2)3.54(cid:3), and (cid:2)3.55(cid:3), we get lim supn → ∞δn → q. This completes the proof. we conclude that xn

Remark 3.2. Theorem 3.1 mainly improve the results of Qin and Cho (cid:4)14(cid:5) from a single nonexpansive mapping to an infinite family of nonexpansive mappings.

4. Applications

In this section, we obtain two results by using a special case of the proposed method.

i(cid:6)1F(cid:2)Ti

(cid:9)∞

}, {yn } be generated by Theorem 4.1. Let H be a real Hilbert space, let B be an α-inverse strongly monotone mapping on H, (cid:3)∩B−1(cid:2)0(cid:3) /(cid:6) ∅. let {Ti : H → H} be a family of infinitely nonexpansive mappings with F :(cid:6) Let f : H → H a contraction with coefficient α ∈ (cid:2)0, 1(cid:3), and let A be a strongly positive bounded }, and linear operator on H with coefficient γ > 0 and 0 < γ < γ/α. Suppose the sequences {xn {zn

(cid:3) (cid:4) (cid:7) x1 zn (cid:2)4.1(cid:3) (cid:7) (cid:3)(cid:3) (cid:4)(cid:3) (cid:3) (cid:4) , (cid:6) x ∈ H chosen arbitrary, 1 − γn (cid:6) γnxn Wnxn, (cid:3) (cid:4) 1 − βn (cid:6) βnxn (cid:4) 1 − δn (cid:7) Wnzn, I − αnA yn (cid:4) (cid:7) δnxn yn − λnByn xn(cid:7)1 (cid:6) αnγf xn

} are sequences in (cid:4)0, 1(cid:5) satisfying the following conditions: where {αn }, {βn }, {γn }, and {λn (cid:8)∞ (cid:6) ∞, (cid:6) 0,

(cid:3)γn

n(cid:6)1 αn ≤ lim supn → ∞δn < 1, − 2βn > a for some a ∈ (cid:2)0, 1(cid:3), − γn | (cid:6) limn → ∞|γn(cid:7)1

| (cid:6) 0,

} ⊂ (cid:4)a, b(cid:5) for some a, b ∈ (cid:2)0, 2α(cid:3). (cid:2)C1(cid:3) limn → ∞αn (cid:2)C2(cid:3) 0 < lim infn → ∞δn (cid:2)C3(cid:3) (cid:2)1 (cid:7) βn (cid:2)C4(cid:3) limn → ∞|βn(cid:7)1 (cid:2)C5(cid:3) − λn−1 |λn − βn | < ∞ and {λn

(cid:2)γf (cid:7) (cid:2)I − A(cid:3)(cid:3)(cid:2)q(cid:3) which solves the variational }, and {zn } converge strongly to q (cid:6) PF (cid:8)∞ n(cid:6)1 }, {yn Then {xn inequality:

(cid:5) (cid:6) (cid:2)A − γf(cid:3)q, q − z ≤ 0, z ∈ F. (cid:2)4.2(cid:3)

−1(cid:2)0(cid:3) (cid:6) VI(cid:2)B, H(cid:3) and PH

(cid:6) I. Applying Theorem 3.1, we obtain the desired Proof. We have B result.

20 Fixed Point Theory and Applications

Next, we will apply the main results to the problem for finding a common element of the set of fixed points of a family of infinitely nonexpansive mappings and the set of fixed points of a finite family of k-strictly pseudocontractive mappings.

Definition 4.2. A mappings S : C → H is said to be a k-strictly pseudocontractive mapping if there exists k ∈ (cid:4)0, 1(cid:3) such that

(cid:2) (cid:2)(cid:2)I − S(cid:3)x − (cid:2)I − S(cid:3)y (cid:2) (cid:2)2, ∀x, y ∈ C. (cid:2)4.3(cid:3) (cid:4)Sx − Sy(cid:4)2 ≤ (cid:4)x − y(cid:4)2 (cid:7) k

The following lemmas can be obtained from (cid:4)31, Proposition 2.6(cid:5) by Acedo and Xu, easily.

N i(cid:6)1 ϕi

(cid:8) (cid:8) (cid:6) 1. Then }N i(cid:6)1 is a positive sequence such that Lemma 4.3. Let H be a Hilbert space, let C be a closed convex subset of H. For any integer N ≥ 1 , assume that, for each 1 ≤ i ≤ N, Si : C → H is a ki-strictly pseudocontractive mapping for some 0 ≤ ki < 1. Assume that {ϕi N i(cid:6)1 ϕiSi is a k-strictly pseudocontractive mapping with k (cid:6) max{ki : 1 ≤ i ≤ N}.

i(cid:6)1 and {ϕi }N (cid:3) (cid:6) N i(cid:6)1 ϕiSi

}N i(cid:6)1 has a common fixed (cid:3). Lemma 4.4. Let {Si (cid:8) point in C. Then F(cid:2) }N i(cid:6)1 be as in Lemma 4.3. Suppose that {Si (cid:9) i(cid:6)1F(cid:2)Si N

N

i(cid:6)1 ϕiSi : C → H, where {ϕi

N i(cid:6)1 ϕi

(cid:8) define a mapping A (cid:6) I − (cid:8) Let Si : C → H be a ki-strictly pseudocontractive mapping for some 0 ≤ ki < 1. We }N i(cid:6)1 is a positive sequence such that (cid:6) 1, then A is a (cid:2)(cid:2)1 − k(cid:3)/2(cid:3)-inverse-strongly monotone mapping with k (cid:6) max{ki : 1 ≤ i ≤ N}. In fact, from Lemma 4.3, we have

2

N(cid:29)

N(cid:29)

N(cid:29)

N(cid:29)

(cid:16) (cid:18) (cid:16) (cid:18)

i(cid:6)1

i(cid:6)1

i(cid:6)1

i(cid:6)1

I − x − I − y , ≤ (cid:4)x − y(cid:4)2 (cid:7) k ∀x, y ∈ C. ϕiSix − ϕiSiy ϕiSi ϕiSi (cid:2) (cid:2) 2 (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2) (cid:2)

(cid:2)4.4(cid:3)

That is,

(cid:2) (cid:2)(cid:2)I − A(cid:3)x − (cid:2)I − A(cid:3)y (cid:2) (cid:2)2 ≤ (cid:4)x − y(cid:4)2 (cid:7) k(cid:4)Ax − Ay(cid:4)2. (cid:2)4.5(cid:3)

On the other hand

(cid:2) (cid:2)(cid:2)I − A(cid:3)x − (cid:2)I − A(cid:3)y (cid:2) (cid:2)2 (cid:6) (cid:4)x − y(cid:4)2 − 2(cid:2)x − y, Ax − Ay(cid:3) (cid:7) (cid:4)Ax − Ay(cid:4)2. (cid:2)4.6(cid:3)

Hence, we have

(cid:4)Ax − Ay(cid:4)2. (cid:2)4.7(cid:3) (cid:2)x − y, Ax − Ay(cid:3) ≥ 1 − k 2

This shows that A is (cid:2)(cid:2)1 − k(cid:3)/2(cid:3)-inverse-strongly monotone.

Theorem 4.5. Let C be a closed convex subset of a real Hilbert space H. For any integer N > 1, assume that, for each 1 ≤ i ≤ N, Si : C → H is a ki-strictly pseudocontractive mapping for

Fixed Point Theory and Applications 21

N

i(cid:6)1F(cid:2)Ti

i(cid:6)1F(cid:2)Si

some 0 ≤ ki < 1. Let {Ti (cid:9) (cid:9)∞ (cid:3) ∩

} be generated by : C → C} be a family of infinitely nonexpansive mappings with F :(cid:6) (cid:3) /(cid:6) ∅. Let f : C → C a contraction with coefficient α ∈ (cid:2)0, 1(cid:3) and let A be a strongly positive bounded linear operator with coefficient γ > 0 and 0 < γ < γ/α. Let the sequences {xn }, and {zn }, {yn

(cid:3) (cid:4) (cid:7)

N(cid:29)

i(cid:6)1

(cid:7) (cid:2)4.8(cid:3) (cid:18) (cid:4) (cid:4) x1 zn yn (cid:3)(cid:3) (cid:6) x ∈ H chosen arbitrary, 1 − γn (cid:6) γnxn Wnxn, (cid:3) (cid:4) 1 − βn (cid:6) βnxn Wnzn, (cid:16) (cid:4) (cid:3) (cid:4) (cid:3) (cid:7) , xn(cid:7)1 (cid:6) αnγf xn (cid:7) δnxn 1 − δn I − αnA PC 1 − λn yn − λn ϕiSiyn

} are the sequences in (cid:4)0, 1(cid:5) satisfying the following conditions: where {αn }, {βn }, {γn }, and {λn (cid:8)∞ (cid:6) ∞, (cid:6) 0,

(cid:3)γn

n(cid:6)1 αn ≤ lim supn → ∞δn < 1, − 2βn > a for some a ∈ (cid:2)0, 1(cid:3), − γn | (cid:6) limn → ∞|γn(cid:7)1

| (cid:6) 0,

} ⊂ (cid:4)a, b(cid:5) for some a, b ∈ (cid:2)0, 2α(cid:3). (cid:2)C1(cid:3) limn → ∞αn (cid:2)C2(cid:3) 0 < lim infn → ∞δn (cid:2)C3(cid:3) (cid:2)1 (cid:7) βn (cid:2)C4(cid:3) limn → ∞|βn(cid:7)1 (cid:2)C5(cid:3) − λn−1 |λn − βn | < ∞ and {λn

(cid:2)γf (cid:7) (cid:2)I − A(cid:3)(cid:3)(cid:2)q(cid:3) which solves the variational (cid:8)∞ n(cid:6)1 }, {yn }, and {zn } converge strongly to q (cid:6) PF Then {xn inequality:

(cid:5) (cid:6) (cid:2)A − γf(cid:3)q, q − z ≤ 0, z ∈ F. (cid:2)4.9(cid:3)

N

(cid:8)

N i(cid:6)1 ϕiSi

i(cid:6)1 ϕiSi : C → H, we know that B : C → H is α-inverse strongly Proof. Taking B (cid:6) I − monotone with α (cid:6) (cid:2)1 − k(cid:3)/2. Hence, B is a monotone L-Lipschitz continuous mapping with L (cid:6) 2/(cid:2)1 − k(cid:3). From Lemma 4.4, we know that N i(cid:6)1 ϕiSi is a k-strictly pseudocontractive (cid:3) (cid:6) VI(cid:2)B, C(cid:3) by Chang (cid:4)30, mapping with k (cid:6) max{ki Proposition 1.3.5(cid:5). Observe that

(cid:8) (cid:8) : 1 ≤ i ≤ N} and then F(cid:2)

N(cid:29)

i(cid:6)1

(cid:16) (cid:18) (cid:4) (cid:4) (cid:3) (cid:3) . (cid:2)4.10(cid:3) PC yn − λnByn (cid:6) PC 1 − λn yn − λn ϕiSiyn

The conclusion of Theorem 4.5 can be obtained from Theorem 3.1.

Remark 4.6. Theorem 4.5 is a generalization and improvement of the theorems by Qin and Cho (cid:4)14(cid:5), Iiduka and Takahashi (cid:4)16, Thorem 3.1(cid:5), and Takahashi and Toyoda (cid:4)15(cid:5).

Acknowledgments

The authors would like to thank the referee for the comments which improve the manuscript. R. Wangkeeree was supported for CHE-PhD-THA-SUP/2551 from the Commission on Higher Education and the Thailand Research Fund under Grant TRG5280011.

22 Fixed Point Theory and Applications

References

(cid:4)1(cid:5) F. E. Browder and W. V. Petryshyn, “Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert

space,” Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 20, pp. 197–228, 1967. (cid:4)2(cid:5) F. Liu and M. Z. Nashed, “Regularization of nonlinear ill-posed variational

inequalities and

convergence rates,” Set-Valued Analysis, vol. 6, no. 4, pp. 313–344, 1998.

(cid:4)3(cid:5) J.-C. Yao and O. Chadli, “Pseudomonotone complementarity problems and variational inequalities,” in Handbook of Generalized Convexity and Generalized Monotonicity, vol. 76 of Nonconvex Optimization and Its Applications, pp. 501–558, Springer, New York, NY, USA, 2005.

(cid:4)4(cid:5) L. C. Zeng, S. Schaible, and J. C. Yao, “Iterative algorithm for generalized set-valued strongly nonlinear mixed variational-like inequalities,” Journal of Optimization Theory and Applications, vol. 124, no. 3, pp. 725–738, 2005.

(cid:4)5(cid:5) F. Deutsch and I. Yamada, “Minimizing certain convex functions over the intersection of the fixed point sets of nonexpansive mappings,” Numerical Functional Analysis and Optimization, vol. 19, no. 1-2, pp. 33–56, 1998.

(cid:4)6(cid:5) H.-K. Xu, “Iterative algorithms for nonlinear operators,” Journal of the London Mathematical Society.

Second Series, vol. 66, no. 1, pp. 240–256, 2002.

(cid:4)7(cid:5) H. K. Xu, “An iterative approach to quadratic optimization,” Journal of Optimization Theory and

Applications, vol. 116, no. 3, pp. 659–678, 2003.

(cid:4)8(cid:5) I. Yamada, “The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings,” in Inherently Parallel Algorithm for Feasibility and Optimization and Their Applications, D. Butnariu, Y. Censor, and S. Reich, Eds., vol. 8 of Studies in Computational Mathematics, pp. 473–504, North-Holland, Amsterdam, The Netherlands, 2001.

(cid:4)9(cid:5) G. Marino and H.-K. Xu, “A general iterative method for nonexpansive mappings in Hilbert spaces,”

Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 318, no. 1, pp. 43–52, 2006.

(cid:4)10(cid:5) A. Moudafi, “Viscosity approximation methods for fixed-points problems,” Journal of Mathematical

Analysis and Applications, vol. 241, no. 1, pp. 46–55, 2000.

(cid:4)11(cid:5) W. R. Mann, “Mean value methods in iteration,” Proceedings of the American Mathematical Society, vol.

4, pp. 506–510, 1953.

(cid:4)12(cid:5) S. Ishikawa, “Fixed points by a new iteration method,” Proceedings of the American Mathematical Society,

vol. 44, pp. 147–150, 1974.

(cid:4)13(cid:5) A. Genel and J. Lindenstrauss, “An example concerning fixed points,” Israel Journal of Mathematics,

vol. 22, no. 1, pp. 81–86, 1975.

(cid:4)14(cid:5) X. Qin and Y. Cho, “Convergence of a general iterative method for nonexpansive mappings in Hilbert

spaces,” Journal of Computational and Applied Mathematics. In press.

(cid:4)15(cid:5) W. Takahashi and M. Toyoda, “Weak convergence theorems for nonexpansive mappings and monotone mappings,” Journal of Optimization Theory and Applications, vol. 118, no. 2, pp. 417–428, 2003.

(cid:4)16(cid:5) H. Iiduka and W. Takahashi, “Strong convergence theorems for nonexpansive mappings and inverse- strongly monotone mappings,” Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, vol. 61, no. 3, pp. 341–350, 2005.

(cid:4)17(cid:5) K. Aoyama, Y. Kimura, W. Takahashi, and M. Toyoda, “Approximation of common fixed points of a countable family of nonexpansive mappings in a Banach space,” Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, vol. 67, no. 8, pp. 2350–2360, 2007.

(cid:4)18(cid:5) H. H. Bauschke, “The approximation of fixed points of compositions of nonexpansive mappings in Hilbert space,” Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 202, no. 1, pp. 150–159, 1996. (cid:4)19(cid:5) M. Shang, Y. Su, and X. Qin, “Strong convergence theorems for a finite family of nonexpansive

mappings,” Fixed Point Theory and Applications, vol. 2007, Article ID 76971, 9 pages, 2007.

(cid:4)20(cid:5) K. Shimoji and W. Takahashi, “Strong convergence to common fixed points of infinite nonexpansive mappings and applications,” Taiwanese Journal of Mathematics, vol. 5, no. 2, pp. 387–404, 2001. (cid:4)21(cid:5) H. H. Bauschke and J. M. Borwein, “On projection algorithms for solving convex feasibility

problems,” SIAM Review, vol. 38, no. 3, pp. 367–426, 1996.

(cid:4)22(cid:5) P. L. Combettes, “The foundations of set theoretic estimation,” Proceedings of the IEEE, vol. 81, no. 2,

pp. 182–208, 1993.

(cid:4)23(cid:5) D.C. Youla, “Mathematical theory of image restoration by the method of convex projections,” in Image Recovery: Theory and Application, H. Star, Ed., pp. 29–77, Academic Press, Orlando, Fla, USA, 1987.

(cid:4)24(cid:5) A. N. Iusem and A. R. De Pierro, “On the convergence of Han’s method for convex programming with quadratic objective,” Mathematical Programming Series B, vol. 52, no. 1–3, pp. 265–284, 1991. (cid:4)25(cid:5) Y. Su, M. Shang, and X. Qin, “A general iterative scheme for nonexpansive mappings and inverse- strongly monotone mappings,” Journal of Applied Mathematics and Computing, vol. 28, no. 1-2, pp. 283– 294, 2008.

(cid:4)26(cid:5) R. T. Rockafellar, “On the maximality of sums of nonlinear monotone operators,” Transactions of the

American Mathematical Society, vol. 149, no. 1, pp. 75–88, 1970.

(cid:4)27(cid:5) T. Suzuki, “Strong convergence of Krasnoselskii and Mann’s type sequences for one-parameter non- expansive semigroups without Bochner integrals,” Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 305, no. 1, pp. 227–239, 2005.

(cid:4)28(cid:5) H.-K. Xu, “Viscosity approximation methods for nonexpansive mappings,” Journal of Mathematical

Analysis and Applications, vol. 298, no. 1, pp. 279–291, 2004.

(cid:4)29(cid:5) S. Takahashi and W. Takahashi, “Viscosity approximation methods for equilibrium problems and fixed point problems in Hilbert spaces,” Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 331, no. 1, pp. 506–515, 2007.

(cid:4)30(cid:5) S. S. Chang, Variational Inequalities and Related Problems, Chongqing Publishing House, Chongqing,

China, 2007.

(cid:4)31(cid:5) G. L. Acedo and H.-K. Xu, “Iterative methods for strict pseudo-contractions in Hilbert spaces,”

Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, vol. 67, no. 7, pp. 2258–2271, 2007.

Fixed Point Theory and Applications 23