Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015
1
KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI
TRONG GIẢI BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
I. Đặt vấn đề
- Có nhiều cách tiếp cận để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
một biểu thức.
- Chuyên đề này chỉ đề cập đến cách khai thác tính chất đơn điệu của hàm số bậc
nhất, hàm số bậc hai một ẩn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một số
loại biểu thức cơ bản.
II. Các tính chất của hàm số bậc nhất, bậc hai một ẩn được khai thác và sử
dụng
1. Hàm số bậc nhất một ẩn
Xét hàm số y = ax + b = f(x) với x là ẩn; a, b là các tham số, a≠0. Ta có:
- Nếu a > 0 thì, với α≤ x≤β có: f(α)≤f(x)≤f(β); min f(x) = f(α); max f(x) = f(β);
- Nếu a<0 thì với α≤ x≤β có: f(β)≤f(x)≤f(α); min f(x) = f(β); max f(x) = f(α);
2. Hàm số bậc hai một ẩn
Xét hàm số y = a+bx+c với x là ẩn số; a, b, c là các tham số, a≠0. Ta có:
a) Nếu a > 0 thì:
- với ∀ℝ => f(x)≥f(
)= ∆
 ; min f(x) = f(
);
- với ∀/ 
 ≤ α≤ x≤β => f(α)≤f(x)≤f(β); min f(x) = f(α); max f(x) = f(β);
- với ∀/α≤ x≤β≤
 => f(β)≤f(x)≤f(α); min f(x) = f(β); max f(x) = f(α);
- với α≤
≤β, ∀/α≤ x≤β => f(
)≤f(x)≤ max {f(α); f(β)}; min f(x) = f(
);
max f(x) = max {f(α); f(β)};
- Một cách tổng quát:
với ∀/ α≤ x≤β => min f(α); f(β); f(
) ≤ f(x) ≤ max {f(α); f(β)};
Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015
2
min f(x) = minf(α); f(β); f(
) ; max f(x) = max {f(α); f(β)}.
* Chứng minh:
- Ta có các biến đổi sau:
i) f(x) = a+bx+c = a+
- ∆
 với ∀ℝ;
ii) f(x) = (x- α)(ax+aα+b) + f(α); f(x) = (x- β)(ax+aβ +b) + f(β) với ∀,ℝ;
Một cách tổng quát: f(x) = (x- m)(ax+am+b) + f(m) với ∀ ℝ;
- Từ i) suy ra f(x)≥f(
)= ∆
 với ∀ℝ (đpcm!)
- Với a > 0, ∀/ 
 ≤ α≤ x≤β thì: (x- α)>0, (ax+aα+b)>(2aα+b)>0; (x- β)<0,
(ax+aβ +b)>(2aα+b)>0 nên từ ii) suy ra f(α)≤f(x)≤f(β) (đpcm!);
- Với a > 0, ∀/ α≤x≤β≤
 thì: (x- α)>0, (ax+aα+b)<(2aβ+b)<0; (x- β)<0,
(ax+aβ +b)<(2aβ+b)<0 nên từ ii) suy ra f(β)≤f(x)≤f(α) (đpcm!);
- Với a > 0, α≤
≤β, ∀/α≤ x≤β thì: f(
)≤f(x)≤ f(α) và f(
)≤f(x)≤ f(β) suy ra
f(
)≤f(x)≤ max {f(α); f(β)} (đpcm!).
b) Nếu a < 0 thì:
- với ∀ℝ => f(x) ≤f(
)= ∆
 ; max f(x) = (
)= ∆
;
- Một cách tổng quát:
với ∀/ α≤ x≤β => min {f(α); f(β)}≤f(x)≤ max f(α); f(β); f(
);
min f(x) = min {f(α); f(β)} ; max f(x) = max f(α); f(β); f(
).
* Chứng minh: Như với trường hợp a>0.
* Minh họa bằng đồ thị:
Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015
3
III. Các thí dụ
Thí dụ 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của E(x) = x + |−1|+|−2|+|−3|+|−4| với ℝ
* Tóm tắt lời giải:
- Biến đổi E(x) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
10 − 3 ớ ≤1
8− ớ 1<<2
+4 ớ 2≤≤3
3−2 ớ 3<<4
5− 10 ớ≥4
- Sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất 1 ẩn, tìm được min E(x) = 6 = E(2).
* Nhận xét: Chọn x thích hợp, thay vào, được biểu thức E phức tạp hơn => khó
hình dung lời giải hơn. Chẳng hạn: chọn x = t2+t+1,
có E(t) = t2+t+1+|t+t|+|t+t−1|+|t+t−2|+ |t+t−3|. Tìm min E!
Thí dụ 2.
Biết ,, ℝ thỏa mãn hệ ràng buộc sau: 2x+y+3z=6; 3x+4y-3z=4; x, y, z ≥ 0
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của F(x, y, z ) = 2x+3y-4z
* Tóm tắt lời giải:
- Từ hệ điều kiện, tính được: x=4-3z; y=3z-2;
≤≤
.
- Suy ra: F(x, y, z ) = 2 – z với
≤≤
.
- Từ đó tìm được: min F(x, y, z ) =
= F(0; 2;
) và max F =
= F(2; 0;
)
* Nhận xét: Chọn x, y, z thích hợp, chẳng hạn x=m2, y=(n-1)2, z=(p+1)2, khai
triển rồi thay vào, được biểu thức F phức tạp hơn => khó tìm ra lời giải hơn.
Thí dụ 3.
Cho biểu thức f(x) = x2 + 4x – 6 với ℝ/ x≥1. Tìn minf(x).
* Tóm tắt lời giải:
- Viết f(x) = (x-1)(x+5) – 1 ; suy ra f(x) ≥ -1 với ∀x≥1 ; f(x) = -1 <=> x = 1
- Vậy với ∀x≥1 minf(x) = -1.
Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015
4
Thí dụ 4.
Cho biểu thức g(x) = (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) với ℝ. Tìn min g(x).
* Tóm tắt lời giải:
- Có g(x) =(x+1)(x+4)(x+2)(x+3) = (x2+5x+4)( x2+5x+6);
- Đặt x2+5x+4 = t => t =(x+
)2 -
≥ -
với ∀ℝ ; khi đó g = t(t+2) với t ≥ -
- g = (t+1)2 -1=> g ≥ -1 ; g = -1 <=> t = -1 <=> x2+5x+4 = -1 <=> x= ±√
.
Thí dụ 5.
Cho h(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 với ℝ . Tìm min h(x)
* Tóm tắt lời giải:
- Viết h(x) = (x2+x+1) = t2.
- với ℝ thì t= x2+x+1 = (x+
)2 +
≥
=> h(x) = t2 ≥

- Từ đó có min h(x) =
, đạt khi x =
Thí dụ 6.
Cho k(x) = 2|x−5x+4| - x2 + 5x với ℝ. Tìm min k(x)
* Tóm tắt lời giải:
- Với ℝ có: k(x) = −5+8 ớ ≤1
−3+ 15− 8 ớ 1<<4
− 5+ 8 ớ ≥4
- Với ≤1, có k(x)=−5+8=(x-1)(x-4)+4 ≥4 ;
- Với 1<<4, k(x)= −3+ 15−8 =(x-1)(12-3x)+4 ≥4;
- Với ≥4, k(x)=−5+8=(x-1)(x-4)+4 ≥4.
- Từ đó suy ra min k(x) = 4, đạt khi x = 1 hoặc x = 4.
* Nhận xét:
- Nếu xét chẳng hạn 0≤x≤5, sẽ có cả maxk(x) => có bài toán hay và phức tạp hơn;
- Có thể chuyển sang bài toán với nội dung phương trình:
Biện luận theo a số nghiệm của phương trình: 2|x−5x+4| - x2 + 5x = a
Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 8- 2015
5
Thí dụ 7.
Cho p(x) = 4x2 – 4ax + a2 – 2a với ế ℝ/-2≤x≤0, a là tham số. Tìm giá trị
của a để min p(x) = 2.
* Tóm tắt lời giải:
- Nếu
>0 hay a>0, có p(x) = 4x(x-a) + a2 – 2a nên p(x) ≥ a2 – 2a với -2≤x≤0;
suy ra min p(x) = a2 – 2a; min p(x) = 2 <=> a2 – 2a = 2; a>0 <=> a = 1+√3;
- Nếu -2≤
≤0 hay -4≤a≤0 , có p(x) = (2x-a)2 -2a nên p(x) ≥ -2a với -2≤x≤0;
suy ra min p(x) = – 2a; min p(x) = 2 <=> -2a = 2 <=> a = -1;
- Nếu
<-2 hay a<-4, có p(x) = (x+2)(4x-4a-8) + a2+6a+16 nên p(x) ≥a2+6a+16
với -2≤x≤0; min p(x) = 2 <=> a2+6a+16 = 2 <=> không tồn tại a.
Thí dụ 8.
Tìm giá trị nhỏ nhất của G(x) = x2 + (x+1)2 + (x-1)2 + (x+2)2 + (x-3)2 với ℝ.
* Tóm tắt lời giải:
- Biến đổi G(x) = x2 - 2x + 15; G = (x-1)2 + 14;
- Từ đó tìm được min G = 14 = G(1).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H(x) = √−+2+3 + √−+3+10
* Tóm tắt lời giải:
- Điều kiện của x để biểu thức H(x) có nghĩa là: -1≤x≤3.
- Đặt: - x2+2x+3= t(x); có t(x) = (x+1)(3-x) = -(x-1)2+4 nên với -1≤x≤3 thì 0≤t≤4;
- Khi đó có: H = H(t) = √ + √++7 ≥ √0 + √0−1+7 = √6 với 0≤t;
H = √6 khi t = 0; -1≤x≤3 <=> x= -1.
- Từ đó tìm được: min H(x) = √6 = H(-1).
* Nhận xét: Sẽ là sai lầm nếu làm tương tự để tìm max H(x) !
Thí dụ 9.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức I(x, y) = (x – 2y +1)2 + (2x + ay + 5)2
với , ℝ; a là tham số.