TR

Ọ Ơ Ở KÌ THI CH N H C SINH GI

Ở Ọ Ỏ Ấ Ỉ Ớ I C P T NH L P 9 THCS

ọ

Ụ S  GIÁO D C ĐÀO T O PHÚ YÊN

Ứ

ể ờ

ề

Ề Đ  THI CHÍNH TH C (Đ  thi có 1 trang)

ố

ọ

ƯỜ NG TRUNG H C C  S  QUANG TRUNG Ọ Ạ Năm h c : 2014 – 2015 Môn thi : Toán ờ Th i gian : 150 phút ề ( Không k  th i gian phát đ ) Ch  kíữ

S  báo danh

H  và tên thí sinh

ứ

ằ

Câu 1: (5,0 đi m)ể > a) Cho  x x

. Ch ng minh r ng:

2

2

2

2

0,  y>

;

3

3

2

+ + - - - - - - y x y x y x y x + = + - - y x y = x y 2 y 2 y 2

(

)

(

ứ

ể

ọ

b)  Rút g n bi u th c:

2

3

ả ệ ươ i h  ph

ng trình

Câu 2: (4,0 đi m) ể Gi

ể

+ - - - y 2 ) a a a 1 1 + 1 1 � � � = P - � � � + 2 1 a 3 (cid:0) - - x y 12 (cid:0) y 2 = (cid:0) = x 12 + 2 x 6 5

ớ

ạ

ắ

i E và tia Mz song

ứ

ớ ớ

ạ ạ

ệ

ABC

y ằ Cho tam giác ABC và đi m M n m trong tam giác. Tia Mx song

EF

EFDS

ắ ắ  (

i D, tia My song song v i BC c t AC t ằ i F. Ch ng minh r ng: ệ : di n tích tam giác ABC,

: di n tích tam giác DEF )

ộ

ườ ườ

i M, ti p xúc v i AB l n l ể

ả ế ớ i các đi m E, F. (O

t t

ộ ử

ờ

ứ

ườ

ườ

ạ

ổ

Câu 3: (3,5 đi m) ể song v i AB c t BC t song v i AC c t AB t S(cid:0) ABCS      Câu 4: (4,0 đi m) ể ộ ng tròn (O; R), m t dây cung AB cách tâm O m t kho ng d ( 0 < d < R).  Cho đ ế ầ ượ ạ ng tròn (O Hai đ i  t t ớ ườ ế 1; O2 và O  C, D và ti p xúc trong v i đ ặ ằ cùng n m trên m t n a m t ph ng b  AB) ỏ ể ọ a) G i N là trung đi m c a cung nh  AB. Ch ng minh: NC.NE = ND.NF. ng tròn (O b) Khi hai đ

ng nào?

ạ 1), (O2) ti p xúc ngoài nhau t ầ ượ ạ ng tròn (O) l n l ẳ ủ ể 1), (O2) thay đ i, đi m M ch y trên đ

ữ ố ủ ố ự

ổ

ố ự

nhiên n. Hãy tìm s  t

S 3 D

ể Câu 5: (3,5 đi m)   ế t S(n) = n nhiên n bi

ọ G i S(n) là t ng các ch  s  c a s  t 2 – 2015n + 8 và 0 < S(n)  n(cid:0)

ử ụ

ả

ế ­­­­­­­ H t ­­­­­­­ ị

Thí sinh không s  d ng tài li u. Giám th  không gi

ố

ọ ữ

ữ

ị

ị

ệ i thích gì thêm.     H  và tên thí sinh: ……………………………… S  báo danh:…………….     Ch  kí giám th  1: …………………….. Ch  kí giám th  2: ……………………..

1

ổ

ễ

GV: Nguy n Đình Huynh                                                         T  : Toán ­ Tin

ƯỜ

Ọ Ơ Ở

TR

NG TRUNG H C C  S  QUANG TRUNG

2

ổ

ễ

GV: Nguy n Đình Huynh                                                         T  : Toán ­ Tin

ƯỜ

Ọ Ơ Ở

TR

NG TRUNG H C C  S  QUANG TRUNG

3

ổ

ễ

GV: Nguy n Đình Huynh                                                         T  : Toán ­ Tin

ƯỜ

Ọ Ơ Ở

TR

NG TRUNG H C C  S  QUANG TRUNG

ĐÁP ÁN THAM KH OẢ

Câu 1: (5,0 đi m)ể

2

2

ứ

ằ

. Ch ng minh r ng:

ươ

Bình ph

ế ng hai v , ta có:

2

2

2

2

+ - - - x y x y > + = + x x 0,  y> a) Cho y x y 2 y 2

2

2

2

2

+ - - - - - - x x y x y x y y + + + = � � y x + 2 y 2 y 2 y 2 y 2

2

2

2

2

2

2

+ - - - - - - x y x y x y x y + + (cid:0) VP + 2 : y 2 y 2 y 2 y 2

- - - -

)

)

(

(

: VT.

2

2

x y x y y y = + y = + y x = + y 2 2 4 4

+ - - - y x y x - - y = x y 2

ứ

ự

Ch ng minh t

ng t

:

2

2

2

2

y 2 ươ

chú ý :

nên

>0.

1a

ọ

ứ

3

2

2

2

+ + - - - - - - y x y x y x y x > - y 2 y 2 y 2 y 2 - (cid:0) (cid:0)

)

)

(

+ - - - + - - -

(

a a a + 1 1 1 1

) (

)

1 � � � =

2

2

ể b) Rút g n bi u th c: ĐKXĐ :    ( � 3 � � + 2

2

2

a a a 1 1 + - a 1 1 + + a 1 + - a 1 1 = P + - - a 2 1 a 1

+ + - - -

(

) (

)

2

a a a 1 1 + - a 1 1 2 1 = + - -

(

)

2

2

2

2

2

2

= a a 1 1 + - a 1 1 + - a 1

= + - - - - - -

)

)

(

(

) (

Suy ra :

2

P a a a a a 2 1 2 1 1 1 1

= - - 1 (

) ( + + - a 1 1 )2 ) =

a a 2 = + 1 ( 2 1 2 1

V y ậ

3

3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) a 2 ;  0 a 1 = (cid:0) P - (cid:0) (cid:0) (cid:0) a 2 ;  ­1 a<0

ả ệ ươ i h  ph

ng trình

Câu 2: (4,0 đi m) ể Gi

2

2

3

3

(cid:0) - - x y 12 (cid:0) y 2 = (cid:0) = x 12 + 2 x y 5 6

(

) (

(cid:0) (cid:0) + 2 = + 2 - - - - - (cid:0) - -

)

) (

)

( x �

2

2

2

2

(cid:0) (cid:0) y x y x y x y x + xy 12( ) 0 = 12 0 y 12 (cid:0) (cid:0) (cid:0) x � y 2 = + xy + = y = + (cid:0) (cid:0) (cid:0) = x 12 + 2 x y 5 6 (cid:0) (cid:0) x y x y 5 6 6 5

4

ổ

ễ

GV: Nguy n Đình Huynh                                                         T  : Toán ­ Tin

ƯỜ

Ọ Ơ Ở

TR

NG TRUNG H C C  S  QUANG TRUNG

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(cid:0) = (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) x - = y x 0 y 2 x + = (cid:0) x y 5 6 + + - = = (cid:0) y + x + 1 = 1 = 2 - � � � � (cid:0) = 12 0 12 0 (cid:0) + + - x y y 2 y 2 �� x � � � � � xy + = = = (cid:0) y + xy + y = xy + 2 = (cid:0) (cid:0) x y x 9 2 y 10 12 5 6 x y 5 6 � x � 2 � � x � � (cid:0) � � � � � � � � � � xy + 2 = 12 0 = (cid:0) x 5 (cid:0)

2

2

2

(cid:0) (cid:0) = = (cid:0) y 1 y 6 = = (cid:0) y 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0) + 2 = 2 - (cid:0) � � x = = y y y 0 hptvonghiem ( ) x � x + xy 2 � � 0 = 8 = +

A

ậ

ầ ượ ẽ

ừ

ẳ ng th ng

t v  các đ

(cid:0) x � � � + 2 x y 6 (cid:0) (cid:0) 6 (cid:0)

R

F

ườ ắ

ớ i P, Q và R.

t t

ABC

2

D D 5 x y 5 ệ ệ ươ V y h  ph ng trình có 2 nghi m ( ­1; ­1) và (1; 1). Câu 3: (3,5 đi m)ể T  D, E và F l n l song song v i MF, MD và ME c t AB, BC và AC ầ ượ ạ l n l Ta có : FR // BC nên  AFR

E

P

R

AF

2

= = �

M

2 AF � � � � AB � �

ABC

2

BDP

S S AF AB

ươ

ự

T

ng t

:

2

2 BP � � � � AB � �

ABC

2

= = S S BP AB

B

D

Q

C

CQE

2

2 QE � � � � AB � �

ABC

S = = � S

2

2

2

2

2

PF AB Vì MDQE; MDPF là các hình bình hành.

CQE

R

BDP

AF

Suy ra :

2

2

2

2

2

2 BP PF AF ��� 3 2 AB AB AB

ABC

ABC

ABC

S + + = + + 3 S S S S S AF AB BP AB

ả

ấ

ủ

ọ

D u “ = ” x y ra khi AF = FP = PB =

.

R

BDP

CQE

R

BDP

CQE

ABC

AF

Nên  AF

ABC

D ABC AB  khi đó M là tr ng tâm c a PF AB 1 3 + + S S S + + S S S S S 1 � � 3 1 � 3

Suy ra :

DQERFP

ABC

(cid:0) S S 2 3

MD

MD

M

REF

EF

E

F

ặ M t khác : MERF; MDQE; MDPF là các hình bình hành Nên

= = = S S S S S S ; ;

ABC

DEF

nên

M

MD

MD

DQERFP

ABC

DEF

EF

E

F

QDE 1 2

PDF 1 2 g 2 3

ạ

ể

Câu 4: (4,0 đi m) ể ế a) Vì (O) và (O1) ti p xúc ngoài t

ẳ 1 và E th ng hàng

0

= + + = (cid:0) S S(cid:0) 3 S S S S S S

i E nên ba đi m O, O 180

ạ

Ta có :  ONE

cân t

i O nên

0

ươ

T

ng t

ự ﾷ  :

ớ

Vì CO1 // ON ( Cùng vuông góc v i AB ) nên

1

- ﾷ NOE D = ﾷ NEO 2 - 180 = CEO ﾷ EO C 1 2 ﾷ ﾷ = NOE CO E

5

ổ

ễ

GV: Nguy n Đình Huynh                                                         T  : Toán ­ Tin

Ọ Ơ Ở

N

NG TRUNG H C C  S  QUANG TRUNG ẳ

ể

ƯỜ  hay ba đi m N, C và E th ng hàng.

ươ

ẳ

ﾷ

D D

TR Suy ra :  ﾷ = NEO CEO ự  : N, D và F th ng hàng. ng t T Xét  NCD  có:  và  NFE ﾷ + sd NB sd AE 2

B

A

D

C

ﾷ ﾷ ﾷ = = = ﾷ NCD ﾷ NFE

ươ

T

ng t

ự ﾷ :

(g­g)

NFE

O

O1

E

= ﾷ NDC N= EF + sd NA sd AE 2 ﾷ sd NBF 2 D D

M

O2

ế

ế

Nên  NCD NC ND = NF NE b)  ứ Ta ch ng minh MN là ti p tuy n chung c a (Oủ

1) và (O2).

F

ả ử

�� � = NC NE ND NF

1

ế ủ ả ế  s  NM không ph i ti p tuy n c a (O 1) ể ứ ạ 1) t 1. i đi m th  2 là M (g­g)   N M E

1

D D N CM

1

Gi Suy ra : NM c t (Oắ Ta có :   N C N M

N

= � � � � = N C N E N M N M

Mà

� N M N E =� NC NE ND NF

Nên

1

� � � = NM NM ND NF 1 NM NF = ND NM

B

A

D

C

D D

1 ﾷ

M

N M F  hay  ﾷ

ứ

giác MDFM

O

O1

E

M

O2

ẫ

ể

ế

t)

thi

M1

F

ạ i ả 1 ( Mâu thu n gi ế ủ 1) ẳ ế ủ ế

2) ủ

ậ

1) và (O2)

ﾷ

N EA

(g­g)

D D

(2) ố ị

ể

ầ

ằ

ợ

ộ

ườ

ng

ﾷM N F  chung N D M Nên  (c­g­c) ﾷ = = � 1M M D M FD 1N M D M FD ộ ế 1 n i ti p Nên t ắ Suy ra: (O1) và (O2) c t nhau t 2 đi m M và M ế ậ V y MN là ti p tuy n c a (O Vì O1; M và O2 th ng hàng  ế Nên  MN là ti p tuy n c a (O ế  V y MN là ti p tuy n chung c a (O Suy ra : NM2 = NC.NE                (1) ặ M t khác:  2 � N A ừ T  (1) và (2), suy ra: NM = NA c  đ nh ậ Nên t p h p đi m M thu c cung tròn tâm A, bán kính NA ph n n m trong đ tròn (O)

= N A C . N C N E

6

ổ

ễ

GV: Nguy n Đình Huynh                                                         T  : Toán ­ Tin

ƯỜ

Ọ Ơ Ở

TR

NG TRUNG H C C  S  QUANG TRUNG

Câu 5: ( 3,5 đi m) ể

ế

2 – 2015.2015 + 8 = 8

* N u n = 2015 thì  S(n) = 2015 ỏ

( th a mãn.

ế

(cid:0)

hay S(n) > n

f

- � 2015

( n n ỏ

2 – 2015n + 8 = n(n­2015) + 8  ) + > 8  1  ị

không có giá tr  n th a mãn yêu c u bài toán.

n" ế

ỏ

ỏ

n ầ

n -

1 0;  n­2014<0

(cid:0)

( S n

ị

ầ

ỏ

nên 0 < S(n) = 8  2015      * N u n > 2015 thì S(n) = n     Vì n > 2015 nên n – 2015  (cid:0)   Nên  2015 (cid:0) N u n < 2015:  S(n) = n2 – 2015n + 8 = n2 – 1 – 2015n + 2015 – 2006         = (n­1)(n+1) – 2015( n­1) – 2006 = (n­1)(n­2014) – 2006 + n = 0 : S(n) = 8 > 0  ( = n)                ( không th a mãn) + n = 2014: S(n) = ­ 2006 <  0    ( không th a mãn) + 0 < n < 2014 :  nên S(n) = (n­1)(n­2014) – 2006 < ­ 2006 ) V y ậ ị

< (cid:0) 2015 : 0 < : nên không có giá tr  n th a mãn yêu c u bài toán.

2 – 2015n + 8 và 0 < S(n)  n(cid:0)

là n = 2015.

n ỏ 0 Giá tr  n th a mãn : S(n) = n

7

ổ

ễ

GV: Nguy n Đình Huynh                                                         T  : Toán ­ Tin