intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Kỹ thuật đồng nhất hóa cho vật liệu đa tinh thể dị hướng sử dụng phần tử biên tỉ lệ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST
Báo xấu
29
lượt xem 2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết trình bày phương pháp đồng nhất hóa cho vật liệu đa tinh thể dị hướng bằng phần tử biên tỉ lệ. Phần tử đại diện (Representative Volume Element- RVE) được rời rạc hóa thành các miền đa giác với số cạnh bất kỳ. Phần tử biên tỉ lệ (Scale Boundary Element Method-SBEM) được sử dụng để xấp xỉ trường chuyển vị của bài toán vi mô.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kỹ thuật đồng nhất hóa cho vật liệu đa tinh thể dị hướng sử dụng phần tử biên tỉ lệ

  1. Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, NUCE 2021 KỸ THUẬT ĐỒNG NHẤT HÓA CHO VẬT LIỆU ĐA TINH THỂ DỊ HƯỚNG SỬ DỤNG PHẦN TỬ BIÊN TỈ LỆ Nguyễn Hoàng Phươnga,∗, Lê Văn Cảnha , Hồ Lê Huy Phúca a Bộ môn kỹ thuật xây dựng, Đại học Quốc Tế - Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh, Khu phố 6, quận Thủ Đức, TP. Hồ Chí Minh, Việt Nam F Nhận ngày 14/10/2020, Sửa xong 03/11/2020, Chấp nhận đăng 12/11/2020 O Tóm tắt O Bài báo trình bày phương pháp đồng nhất hóa cho vật liệu đa tinh thể dị hướng bằng phần tử biên tỉ lệ. Phần tử đại diện (Representative Volume Element- RVE) được rời rạc hóa thành các miền đa giác với số cạnh bất kỳ. PR Phần tử biên tỉ lệ (Scale Boundary Element Method-SBEM) được sử dụng để xấp xỉ trường chuyển vị của bài toán vi mô. Biến dạng tại điểm vật liệu của cấp độ vĩ mô được chuyển thành điều kiện biên trên phần tử đại diện. Các hằng số đàn hồi hữu hiệu của vật liệu đa tinh thể được xác định thông qua kỹ thuật đồng nhất hóa phần tử đại diện RVE. Ví dụ số được thực hiện cho mẫu vật liệu đa tinh thể với hướng góc α thay đổi. Kỹ thuật làm mịn lưới trên biên phần tử được áp dụng nhằm đánh giá độ hội tụ của phương pháp. Kết quả được so sánh D với phương pháp phần tử hữu hạn thông thường FEM và nghiệm cận được cung cấp từ các nghiên cứu giải tích. Từ khoá: phương pháp đa tỉ lệ; kỹ thuật đồng nhất hóa; vật liệu đa tinh thể; phần tử biên tỉ lệ. TE HOMOGENIZATION TECHNIQUE FOR RANDOM ORIENTATED POLYCRYSTAL MATERIALS US- ING SCALED BOUNDARY ELEMENT EC Abstract This paper presents a scaled boundary element (SBEM) for computational homogenization of random polycrys- tal materials. A Representative Volume Element RVE is discretized into the domains of polygons with arbitrary number of edges. The Scaled Boundary Element Method (SBEM) is used to approximate the displacement field R of representative volume element. Strains at a material point of macro problem are transferred as the boundary condition for micro problem. The effective elastic constants for polycrystal materials can be determined by the R homogenization method overall the representative volume element RVE. The refining technique is applied for edge in order to study the convergence of presented method. The numerical examples are implemented for poly- crystal materials with the random angle α. The obtained results are compared with the analytical and numerical O solutions based on FEM. C Keywords: multiscale methods; homogenization techniques; crystal materials; scaled boundary element. © 2021 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) N 1. Giới thiệu U Vật liệu đa tinh thể thường được cấu tạo bởi các mảng đơn tinh thể với góc hướng thay đổi ngẫu nhiên. Điều này có thể dẫn đến việc các thông số đàn hồi hữu hiệu cho vật liệu đa tinh thể có thể dao động trong một khoảng. Qua đó, việc dự đoán các ứng xử đàn hồi của vật liệu bằng phương pháp thí nghiệm có thể chưa bao quát hết khả năng của vật liệu. Một hướng tiếp cận bằng giải tích được xây dựng trên nguyên lý biến phân là phương pháp cận, như nghiên cứu cận trên của Voigt [1], nghiên cứu ∗ Tác giả đại diện. Địa chỉ e-mail: nhphuong@hcmiu.edu.vn (Phương, N. H.) 1
  2. Phương, N. H., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng cận dưới của Reuss [2] dựa trên nguyên lý biến phân bậc nhất; cận trên và cận dưới với nguyên lý biến phân bậc hai của Hashin và Shtrikman [3]. Các nghiên cứu được phát triển cho vật liệu đa tinh thể dị hướng được thực hiện bởi Berryman [4], Chinh và cs. [5–7], Kube và Arguelles [8]. Các nguyên lý biến phân này giúp ước lượng khoảng dao động của các hằng số đàn hồi hữu hiệu dựa theo thể tích và đặc trưng của các pha vật liệu khác nhau trong hỗn hợp . Tuy nhiên, sự phân bố vị trí và hình dạng của các pha vật liệu này chưa được kể đến trong hướng tiếp cận này. Một hướng tiếp cận khác có thể giải quyết được vấn đề này bằng cách xây dựng một phần tử đại diện-RVE và thực hiện kỹ thuật đồng nhất hóa nhằm xác định được các thông số hữu hiệu cần thiết. Hướng tiếp cận này ngày càng được F chú trọng trong các tính toán cơ học vật liệu vi mô vì đặc tính đảm bảo được sự mô tả một cách chính xác hơn về sự phân bố các pha vật liệu. O Phần tử đại diện RVE có thể được rời rạc hóa và đồng nhất hóa bằng phương pháp phần tử hữu hạn [9–14]. Một tính chất của phần tử hữu hạn thông thường là miền thực hiện tích phân được giới hạn O trong một phần tử có hình dạng tam giác FEM-T3 hay tứ giác FEM-Q4. Một phương pháp khác có thể đáp ứng tốt hơn với miền đa giác có số cạnh bất kỳ là phương pháp phần tử biên Boundary Element PR Method-BEM được xây dựng cho bài toán động học bởi Beskos [15]. Ma trận độ cứng trong bài toán phân tích tĩnh được xây dựng theo hướng tiếp cận động học và hàm bán giải tích trong phương pháp biên tỉ lệ Scaled Boundary Element Method-SBEM được đề xuất bởi Song và Wolf [16]. Sự hiệu quả của phương pháp phần tử biên tỉ lệ này được thể hiện qua các nghiên cứu về việc xây dựng đạo hàm cho phần tử SBEM dựa trên kỹ thuật trọng số dư [17] và trong bài toán phân tích quá trình phát triển D của vết nứt [18]. Trong nghiên cứu này, phương pháp phần tử biên tỉ lệ SBEM được sử dụng với kỹ thuật đồng nhất TE hóa trong bài toán xác định các thông số đàn hồi hữu hiệu cho vật liệu đa tinh thể dị hướng. Trường chuyển vị tổng của bài toán trên phần tử đại diện RVE được sử dụng để rời rạc hóa thành các phần tử biên tỉ lệ SBEM. Kỹ thuật đồng nhất hóa được thực hiện nhằm đưa ra các thông số đàn hồi hữu hiệu EC bằng cách lấy trung bình thể tích phần tử đại diện RVE. 2. Cơ sở lý thuyết R 2.1. Phần tử biên tỉ lệ R Khái niệm về phương pháp phần tử biên tỉ lệ được trình bày một cách tóm lược. Phần tử biên tỉ lệ [1], Scaled Boundary Element Method-SBEM, được thực hiện thông qua rời rạc hóa bài toán thành O miền các đa giác với số cạnh bất kỳ. Dạng hình học của đa giác này phải đảm bảo yêu cầu như sau các đường thẳng từ tâm tỉ lệ của đa giác đến điểm đầu và cuối của từng cạnh đa giác sẽ không cắt qua C bất kì cạnh đa giác còn lại. Các nghiên cứu của Song và cs. [16–18] về các kỹ thuật lấy đạo hàm cho phần tử biên tỉ lệ sử dụng kỹ thuật trọng số dư hay nghiên cứu của Deeks và Wolf [19] về hướng tiếp N cận công ảo. Tâm tỉ lệ O được chọn sao cho có thể thấy được tất cả các cạnh của đa giác và thông thường là U trọng tâm của đa giác như Hình 1. Trong phương pháp này, chỉ có biên của đa giác được rời rạc hóa. Chuyển vị nút trên biên được kí hiệu u và lực trên biên được kí hiệu F. Trong bài toán tấm phẳng hai chiều, biên Γ của miền diện tích Ae được rời rạc hóa thành nhiều phần tử đường thẳng. Trên mỗi cạnh của đa giác, hệ tọa độ địa phương (ξ, η) được thể hiện trong Hình 1(a). ξ là tọa độ bán kính, bằng 0 tại tâm tỉ lệ và bằng 1 tại cạnh đa giác. η là tọa độ địa phương được xác định theo phần tử hữu hạn một chiều được rời rạc hóa dọc theo biên của phần tử SBEM (η thay đổi từ −1 đến 1). Biên của một phần tử SBEM được thể hiện trong Hình 1(b) được chuyển về phần tử mẫu với một vòng tròn được xác định bởi ξ = 1 và η ∈ [−1; 1]. 2
  3. 79 79 giácgiác nàynày phảiphải đảm bảobảo đảm yêuyêucầucầu nhưnhư sausau cáccác đường đườngthẳng từ từ thẳng tâmtâmtỉ lệ tỉ của đa đa lệ của giác đếnđến giác 80 80 điểm đầuđầu điểm và và cuốicuối củacủatừng cạnh từng đa đa cạnh giác sẽ sẽ giác không khôngcắtcắt quaqua bấtbất kì kì cạnh cạnhđa đa giác còncòn giác lại.lại. 81 81 CácCác nghiên cứu của Song và các cộng sự [16-18] về các kỹ thuật lấy đạo nghiên cứu của Song và các cộng sự [16-18] về các kỹ thuật lấy đạo hàm cho phần hàm cho phần 82 82 tử biên tỉ lệtỉ sử tử biên dụng lệ sử dụngkỹ kỹ thuật trọng thuật trọngsố số dư dư hayhay nghiên cứucứu nghiên củacủa Deeks Deeks và và Wolf [19] Wolf về về [19] 83 83 hướng hướngtiếptiếp cậncậncông côngảo.ảo. Phương, N. H., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng F O a) (a) Phần tửtửSBE a) Phần Phần với tửSBE SBE tâm vớivới tỉtỉ lệ tâmtâm lệtỉOlệ O b)(b) Phần tửtửtử b) Phần Phần mẫu mẫu mẫu O 84 84 Hình 1. Rời Hình Hình 1. rạcrạc 1. Rời Rời biên rạc của biên biên miền của của đađađa miền miền giác thành giác giác các thành thành điểm cáccác và điểm điểm tâmtâm và và tâm tỉtỉ lệ lệtỉOO của lệcủa phần O của tửtử.tử. phần phần PR 85 85 Tâm Tâmtỉ lệtỉ Olệ được O đượcchọn saosao chọn chocho có có thểthể thấy được thấy tất tất được cả cả cáccáccạnh củacủa cạnh đa đa giác và và giác thông thông 86Tọa thường 86 độthường là Descartes trọng tâm là trọng của (x, y)tâm đa củacủa giác cácđa như nútgiác Hình nhưphần trong 1. Trong Hìnhtử1.được phương Trongxácphương pháp này, pháp qua định thông chỉ có này,tọa chỉđộbiên cócủa của biêncác của nút trên 87 đa giác (xb , y đa biên 87 được giác ) và tọađược rời độ của rạc hóa. rời tâm Chuyển rạc hóa. tỉ lệ Chuyển vị nút trên O (x0 , yvị) thông biên nút trên được biên qua côngđược kí thứchiệu u và lực trên biên được kí hiệu u và lực trên biên được b 0 88 88 kí hiệu F. Trong bàibài toán tấmtấm phẳng haihai chiều, kí hiệu F. Trong toán phẳng  biên chiều,  củacủa biên miền diện miền tíchtích diện AeAđược rờirời e được = + ξ 89 89 rạc rạc hóahóa thành nhiều phần tử x đường thẳng. x thành nhiều phần tử đường thẳng. 0 D× N(η) {x b y = y + ξ × N(η) {y }   } (1) 90 90 Trên mỗimỗi Trên cạnh củacủa cạnh đa đa giác, hệ hệ giác, tọatọa độ0độ địađịa phương ( ,( b ,) được phương thểthể ) được hiện trong hiện Hình trong 1a.1a. Hình TE 91 91 trong là tọa đó N(η) độ làlàtọa bán mađộtrậnkính, bán bằng kính, hàm bằng dạng. 0 Trong tại tâmtâm 0 tại tỉ lệtỉ và nghiên bằng lệcứu và 1 tại bằng này, cạnh 1 tại hàm đatuyến cạnh dạng giác. đa tínhlàđược giác. tọa độ là tọa địa sửđộ địa trong dụng bài 92 phương 92toán phương phẳng được hai xácxác được chiều. định theo Vìđịnh vậy, phần theo ma tửN(η) phần trận hữu tử hữu cóhạndạng hạnmộtmột chiều được chiều rờirời được rạcrạc hóahóadọcdọctheo biên theo biên 93 93 củacủa phần phầntử SBEM tử SBEM ( (thay đổiđổi thay từ -1 từ "đến -1 đến1). 1). Biên củacủa Biên mộtmột phần tử SBEM # phần tử SBEM đượcđược thểthể hiện hiện EC N1 0 N2 0 94 94 trong trongHình 1b 1b Hình được chuyển được chuyểnvề phần về N(η) = tử mẫu phần tử mẫu vớivớimộtmột vòng tròn vòng được tròn đượcxácxác định bởibởi =1=1 (2) định 0 N1 0 N2 95 95 và và [-1;1]. [-1;1]. trong đó Ni là hàm dạng tuyến tính của phần tử hữu hạn. R Trường chuyển vị u (ξ, η) được tách biến theo3công 3 thức R u (ξ, η) = N (η) uh (ξ) (3) O trong đó uh (ξ) là hàm chuyển vị giải tích thu được từ việc giải điều kiện cân bằng trên 1 phần tử SBEM. Điều kiện cân bằng này có thể được xây dựng trên nguyên lý công ảo [19] hay phương pháp C trọng số dư [16–18]. Kết quả thu được phương trình cân bằng phần tử SBEM với trường chuyển vị N   E0 ξ2 uh (ξ),ξξ + E0 + ET1 − E1 ξuh (ξ),ξ − E2 uh (ξ) = 0 (4) U trong đó uh (ξ),ξξ và uh (ξ),ξ là đạo hàm bậc hai và bậc nhất của hàm uh (ξ). Thông số của vật liệu đơn tinh thể đơn giản nhất (tinh thể đối xứng vuông) được thể hiện với ba thông số độc lập    D11 D12 0  D0 =  D12 D11 0  (5)     0 0 D33 3
  4. Phương, N. H., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Trong quá trình gia công chế tạo, các mảng tinh thể được hình thành và phát triển trong các vật liệu. Khi đó, mỗi đơn tinh thể sẽ được sắp xếp lại một hướng ngẫu nhiên α so với đơn tinh thể ban đầu. Ma trận vật liệu hữu hiệu của mỗi tinh thể với hướng ngẫu nhiên α Dα = TTα D0 Tα (6) trong đó Tα là ma trận xoay trục theo góc α. Các ma trận hữu hiệu E0 , E1 và E2 được xác định như sau F Z1 E0 = BT1 Dα B1 |J| dη (7) O −1 O Z1 E1 = BT2 Dα B1 |J| dη (8) PR −1 Z1 E2 = BT2 Dα B2 |J| dη (9) D −1 trong đó ma trận B1 và B2 là hai ma trận chuyển vị biến dạng của phần tử SBEM; Dα là ma trận hằng TE số vật liệu đơn tinh thể với góc nghiêng α; J là ma trận Jacobian được xác định như sau " # xη yη J= (10) xη,η yη,η EC Nghiệm của phương trình vi phân bậc hai cho phần tử SBEM thu được bằng cách chuyển thành phương trình vi phân bậc nhất với hai hệ số chưa biết R ( ) ( ) uh (ξ) uh (ξ) ξ = −Z (11) qh (ξ) ,ξ qh (ξ) R trong đó qh (ξ) là vectơ hàm giải tích liên hệ với nội lực theo công thức O qh (ξ) = E0 uh (ξ),ξ + ET1 uh (ξ) (12) C Z là ma trận Hamilton E−1 T −E−1 " # 0 E1 N Z= 0 (13) −E2 + E1 E−1 T 0 E1 −E1 E−1 0 U Ma trận Z được chéo hóa bởi ma trận V theo biểu thức ZV = VS (14) Ma trận đường chéo S được sắp xếp theo thứ tự tăng dần " # Sn 0 S= (15) 0 Sp 4
  5. Phương, N. H., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng trong đó Sn và S p là hai ma trận đường chéo với giá trị âm và giá trị dương dọc theo đường chéo của ma trận S. Ma trận chuyển V được phân chia thành ¯u " # u V V2020 V= Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, NUCE ¯q p-ISSN 2615-9058; e-ISSN 2734-9489 (16) Vq V trong127 đó VuVớivà V V¯ uu và liênVuquan liên đến quanchuyển vị trong đến chuyển phần vị trong tử SBEM, phần tử SBEM, trong trongkhi khiđó đóma ma trận ¯ q liên Vqq và V trận V quan đến lực trên phần tử SBEM. Với miền bị chặn bởi đa giác được xem xét trong nghiên cứu này, F 128 và V liên quan đến lực trên phần tử SBEM. Với miền bị chặn bởi đa giác được xem chỉ ma trận chứaq các trị riêng âm Sn và chuyển vị tại nút Vu và lực nút Vq dẫn đến chuyển vị hữu hạn 129tỉ lệxét O. trong nghiên cứu này, chỉ ma trận chứa các trị riêng âm Sn và chuyển vị tại nút Vu O tại tâm 130 Nghiệm vàcủa lựchàmnút Vchuyển q dẫn đến vị chuyển vị u giải tích hữu(ξ) hạn vàtạihàm tâmnội tỉ lệlực O. giải tích q (ξ) h h O 131 Nghiệm của hàm chuyển vị giải tích u h và hàm nội lực giải tích q h uh (ξ) = Vu ξ−Sn c uh Vu Sn c (17) qh (ξ) = Vq ξ−Sn c PR Sn (17) qh Vq c trong đó c là hằng số tích phân tùy thuộc vào điều kiện biên và có thể tính từ chuyển vị nút của mỗi 132nhưVới đa giác sauc là hằng số tích phân tùy thuộc vào điều kiện biên và có thể tính từ chuyển vị nút 133 của mỗi đa giác như sau c = V−1 (18) u ub D 1 c vec trong đó ub là Vu tơub chuyển vị tại các điểm nút trên biên phần tử SBEM. (18) Ma 134trậnVới độ ucứng của một phần tử SBEM Kcell được định nghĩa TE b là vec tơ chuyển vị tại các điểm nút trên biên phần tử SBEM. 135 Ma trận độ cứng của một phần tử SBEM K = V được Kcell V−1 định nghĩa (19) cell q u 1 K cell Vq Vu (19) EC Phương trình tuyến tính hệ thống được tổng hợp theo bậc tự do 136 Phương trình tuyến tính hệ thống được tổng hợp theo bậc tự do Ku = f (20) Ku = f (20) 2.2. 137 2.3thể Phần tíchtửđại tích đại thể diện diện (RVE) R Phần tử (RVE) 138 xét Xem Xemmộtxét vậtmột vậtkhông liệu liệu không đồngđồng nhấtnhất và liên và liên tụctục diện diện tíchAA∈ Ω22được tích đượcthay thaythếthế bằng bằng một vật R một vật 139 đồng liệu được nhấtliệu đượcđương tương đồng nhất diệntương tích Ađương M ∈ Ω 2 diện vàtích tại Amỗi M 2 vùngvà tại vậtmỗi vùng liệu sẽ vật có liệu một sẽ cấu vi mô kết không đồngcónhất 140 mộtđại kếtdiện cấu vi Ammô ∈Ω 2 khôngkèmđồng theonhất nhưđạiHìnhdiện2.AKích m 2 kèm theo thước như vi bài toán Hình mô2.lmKíchnhỏ hơn nhiều O 141kíchthước lần với thướcbàibài toán vi mô toán vĩ lmô m nhỏl Mhơn nên nhiều khi lần tínhvới kích toán thước tại cấp bài độ toán vi mô vĩ mô thì lực lM nên thểkhi tính tích có thể được 142 bỏ qua. toán tại cấp độ vi mô thì lực thể tích có thể được bỏ qua. C N U 143 144 Hình Hình 2. 2. Phần Phần tử tử thể thể tích tích đại đại diện-RVE. diện-RVE 56
  6. Phương, N. H., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Biến dạng vĩ mô ε M bằng trung bình thể tích của biến dạng vi mô εm Z 1 εM = εm dAm (21) Am Am Ứng suất vĩ mô σ M bằng trung bình thể tích của ứng suất vi mô σm Z 1 σM = σm dAm (22) Am Am F Chuyển tích phân diện tích trong RVE về tích phân trên chu vi RVE O Z Z Np 1 1 1 X σM = ∇ (σm X)dAm = nσm XdΓm = (23) O fi Xi Am Am Am i Am Γm PR trong đó fi là lực trên nút biên i; Xi là vectơ vị trí của nút trên biên và N p là số nút trên biên. 2.3. Điều kiện biên tuần hoàn cho RVE Trong bài toán vi mô, biến dạng ở cấp độ vĩ mô được chuyển thành điều kiện biên chuyển vị cho D bài toán cấp độ vi mô. Nhiều quan điểm để áp đặt điều kiện biên khác nhau dẫn đến các phương pháp số khác nhau như Mieh và cs. [16]; Kouznetsova và cs. [15]. Qua các nghiên cứu trên, khi tỉ lệ TE giữa kích thước các pha vật liệu và kích thước của phần tử đại diện tương đối thì việc sử dụng điều kiện biên tuần hoàn cho kết quả đáp ứng tốt hơn. Khi tỉ lệ này giảm dần thì sự khác biệt khi sử dụng các điều kiện biên cũng giảm dần. Qua đó, điều kiện biên tuần hoàn đã được sử dụng trong nghiên EC cứu này. Trường chuyển vị tổng u của bài toán cấp độ vi mô được chia thành hai thành phần, đó là trường chuyển vị trung bình từ biến dạng vĩ mô u và trường chuyển vị biến thiên tuần hoàn u˜ R u = u¯ + u˜ (24) R Trong trường hợp sử dụng điều kiện biên tuần hoàn u˜ = 0 tại các nút góc O (25) Chuyển vị trung bình của RVE u¯ được xác định C   ε¯ 1  ε¯ 12 N  ( )  11 ¯u = ε M X =  1 2  X1 (26)  X ε¯ 21 ε¯ 22 2  U 2 trong đó X là toạ độ của các điểm trên biên của phần tử đại diện RVE; ε M là biến dạng tại điểm vật liệu của cấp độ vĩ mô. Điều kiện biên tuần hoàn nhằm đảm bảo hiệu chuyển vị tổng trên hai biên đối diện phải là hằng số và xác định theo biến dạng từ bài toán cấp độ vĩ mô. Trong nghiên cứu này, điều kiện biên tuần hoàn khi xấp xỉ trường chuyển vị tổng được thể hiện qua mối liên hệ giữa các cặp nút đối xứng (các 6
  7. 154 Kouznetsova và các cộng sự [15]. Qua các nghiên cứu trên, khi tỉ lệ giữa kích thước các 155 pha vật liệu và kích thước của phần tử đại diện tương đối thì việc sử dụng điều kiện 156 biên tuần hoàn cho kết quả đáp ứng tốt hơn. Khi tỉ lệ này giảm dần thì sự khác biệt khi 157 sử dụng các điều kiện biên cũng giảm dần. Qua đó, điều kiện biên tuần hoàn đã được 158 sử dụng trong nghiênN. Phương, cứu H.,này. và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng 159 F 160 Hình 3. Phân loại các nút trên phần tử thể tích đại diện RVE. Hình 3. Phân loại các nút trên phần tử thể tích đại diện RVE O 161 Trường chuyển vị tổng 𝐮 của bài toán cấp độ vi mô được chia thành hai thành phần, đó 162 là trường chuyển vị trung bình từ biến dạng vĩ mô 𝐮̄ và trường chuyển vị biến thiên tuần O nút trênbiên 163 bên ̃ ΓR và biên bên trái ΓL ; giữa biên trên ΓT và biên dưới Γ B ) thông hoànphải 𝐮 qua mối liên hệ với chuyển vị của nút ở góc tương ứng như Hình 3. PR 7 uR − uL − u2 + u1 = 0 vR − v L − v2 + v1 = 0 (27) uT − uB − u4 + u1 = 0 vT − vB − v4 + v1 = 0 D TE Mối liên hệ biểu thức (27) được sắp xếp lại theo các bậc tự do Cu = 0 (28) EC Ma trận ràng buộc tuần hoàn C được phân loại theo bậc tự do độc lập Ci bao gồm các nút của biên trái, nút biên dưới, các nút bên trong và nút tại góc; bậc tự do phụ thuộc Cd bao gồm các nút bên phải và các nút bên trên. h i ( ui ) Ci Cd =0 (29) R ud R Mối liên hệ giữa bậc tự do phụ thuộc ud và bậc tự do độc lập ui được thể hiện ud = −C−1 d Ci ui = Cdi ui (30) O Phương trình tuyến tính hệ thống được phân loại theo các bậc tự do độc lập ui và bậc tự do phụ C thuộc ud " #( ) ( ) Kii Kid ui fi = N (31) Kdi Kdd ud fd U Phương trình tuyến tính hệ thống được rút gọn theo các bậc tự do độc lập ui K∗ ui = f ∗ K∗ = Kii + Kid Cdi + CTdi Kdi + CTdi Kdd Cdi (32) f ∗ = fi + CTdi fd 7
  8. Phương, N. H., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng 2.4. Kỹ thuật đồng nhất hóa phần tử đại diện (RVE) Ma trận hằng số vật liệu hữu hiệu sẽ thỏa mãn biểu thức sau σ M = Dc f f ε M (33) Chuyển vị cưỡng bức tại mỗi nút ở góc RVE uic được xác định như sau  1  ε¯ 11   1 0  X X2      uc =  2 ε¯ 22 = Tip ε M F i    (34)    0 X 1    ε¯     2 X1 12  O 2 Chuyển vị cưỡng bức tại nút góc của RVE uc được xác định theo biến dạng vĩ mô O h iT uc = T1P T2p T3P T4P εM = T pεM (35) PR Phương trình tuyến tính hệ thống được viết lại theo các bậc tự do sau khi khử các điều kiện biên tuần hoàn " #( ) ( ) Kaa Kac ua 0 = (36) Kca Kcc D uc fc Trong các bậc tự do độc lập ui , ua là chuyển vị tại những nút không nằm ở góc RVE; uc là chuyển TE vị tại những nút nằm tại góc RVE. Sử dụng phương pháp giảm bậc tự do để chuyển về các bậc tự do ở nút góc uc K∗cc = Kcc − Kca K−1 aa Kac EC (37) K∗cc uc = fc Thế công thức (37) và công thức (35) vào ứng suất của cấp độ vĩ mô σ M ta thu được R 1 T 1 T ∗ 1 T ∗ σM = T P fc = T p Kcc uc = T K T pεM (38) Am Am Am P cc R Đồng nhất công thức (38) và công thức (33) ta thu được ma trận hằng số vật liệu hữu hiệu De f f O như sau 1 T ∗ De f f = T K Tp (39) Am p cc C N 3. Ví dụ số U Trong ví dụ này, một phần tử thể tích đại diện RVE hình chữ nhật với 18 đơn tinh thể như Hình 4 của mẫu đa tinh thể kim loại đồng Cu được xem xét. Bảng 1 thể hiện thông số vật liệu của đơn tinh thể đồng Cu theo Chinh và cs. [7]. Phần tử đại diện này được phân chia thành 18 đơn tinh thể hình lục giác đều với góc hướng α thay đổi như Hình 4 có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = 1. Các đơn tinh thể này có tính chất đối xứng nên hướng góc ngẫu nhiên α đã được giả định với sự thay đổi từ 0° đến 90° theo Bảng 2. Các kết quả số được lập trình bằng ngôn ngữ Matlab và thực hiện trên máy tính Core i5-CPU 1,70 GHz với RAM 4G. 8
  9. Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, NUCE 2020 p-ISSN 2615-9058; e-ISSN 2734-9489 Phương, N. H., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng F O Hình 4. Phần tử đại Hình diện 4. Phần vớidiệnphân tử đại với phân hướng α ngẫungẫu bốbốhướng nhiên nhiên cho cho 18 tinh 18 tinh thể đồng. thể đồng O Bảng 1. Mô đun đàn hồi hữu hiệu của đơn tinh thể kim loại đồng (GPa) [7] PR Vật liệu D11 D12 D33 Cu 169,0 122,0 75,3 Bảng 2. Phân bố góc hướng α (°) ngẫu nhiên cho mỗi đơn tinh thể D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 TE góc 73 82 11 82 57 9 25 49 86 87 14 87 86 44 72 13 38 82 a) 18 phần tử, sdof*=76 b) đàn 18 hồi phần khốitử, sdof*=406 đun đàn hồi trượtc)18 phần tử,đồng sdof*=1726 EC Cận Voigt và Reuss của mô đun và mô của đa tinh thể được xáctựđịnh * Tổng số bậc nhưmôsau do của hình D11 + D12 Kv = KR = = 14,5 (GPa) Hình 5. Hệ lưới phần tử biên2 tỉ lệ SBEM cho mẫu 18 tinh thể. R D11 − D12 + 2D33 Gv = = 49,900 (GPa) (40) 4 R 2 (D11 − D12 ) D33 GR = = 35,821 (GPa) (D11 − D12 ) + 2D33 O Hệ lưới phần tử biên tỉ lệ SBEM với kỹ thuật làm mịn nút trên biên phần tử được thể hiện trong Hình 5. Kỹ thuật làm mịn biên thông qua việc chia đôi cạnh ở mỗi hệ lưới phần tử. Hệ lưới phần tử hữu C hạn thông thường FEM-T3 với kỹ thuật làm mịn phần tử bên trong được thể hiện trong Hình 6. Qua mỗi bước làm mịn lưới FEM-T3, một phần tử tam giác sẽ được chia thành 4 hình tam giác đồng dạng N với tam giác ban đầu. Kết quả ma trận vật liệu hữu hiệu của mẫu vật liệu đa tinh thể dị hướng đồng được thể hiện ở Bảng 3. Các mẫu đều có mô đun đàn hồi khối hữu hiệu Ke f f = KV = KR = 145,5 GPa tương U đồng với kết quả nghiệm giải tích Voigt và Reuss. Mô đun đàn hồi kháng trượt hữu hiệu Ge f f = D33 và mô đun đàn hồi kéo dọc trục D11 giảm dần khi chia nhỏ các điểm trên biên phần tử như Hình 7. a) 92 Saiphần tử,nhất số nhỏ sdof*=112 b) 368 khi xem xét mô đun phần đàn hồi khángtử, sdof*=406 trượt c)5888 hữu hiệu là 0,08% phần và 0,01% tử, xét khi xem sdof*=6034 mô đun đàn hồi kéo dọc trục. Riêng thông số D12 có xu hướng tăng dần và hội tụ khi chia nhỏ điểm trên * Tổng số bậc tự do của mô hình biên phần tử và có sai số nhỏ nhất là 0,02%. Qua đó, sự hội tụ số của kết quả khi sử dụng phần tử SBEMHình 7. Hệ với kỹ thuật làmlưới phần mịn trên biêntử hữu phần hạnthể tử được FEM-T3 hiện trong cho Hình 7mẫu 18khitinh tốt hơn thể.phần tử sử dụng hữu hạn thông thường FEM-T3 với kỹ thuật làm làm mịn phần tử bên trong. Hệ lưới phần tử biên tỉ lệ SBEM với kỹ thuật làm mịn nút trên biên phần tử được thể hiện trong Hình 5. Kỹ thuật làm mịn biên 9thông qua việc chia đôi cạnh ở mỗi hệ lưới phần tử. Hệ lưới phần tử hữu hạn thông thường FEM-T3 với kỹ thuật làm mịn phần tử bên trong được thể hiện trong Hình 6. Qua mỗi bước làm mịn lưới FEM-T3, một phần
  10. 208 208 208 208 208 208 209 209 209 Hình 4.Hình 209 Hình209 2094. Phần4.tửHình Phần đại Phần4.Hình Hình tửPhần 4.tửPhương, đại4.diện đại Phần với tửPhần diện diện tửphân với đại đại phân diện với tửN.đại H., vàphân diện bố diện với bố cs. với hướng bốphân / Tạp với hướng phân hướng chí bốphân Khoa ngẫu hướng ngẫu bố nhiên ngẫu học bố hướngCôngnhiên hướng ngẫucho nhiên ngẫu nghệ chongẫu nhiên cho 1818Xây 18 đồng. nhiên tinh thể dựng nhiên tinh cho tinh thểcho 18 thểtinh cho 18 18 đồng. thểtinh đồng. tinh thể đồng. thể đồng. đồng. Tạp Tạpchí chíKhoa Khoahọc họcCông Côngnghệ nghệXây Xâydựng, dựng,NUCE NUCE2020 2020 p-ISSN p-ISSN2615-9058; 2615-9058;e-ISSN e-ISSN2734-9489 2734-9489 Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng, NUCE 2020 p-ISSN 2615-9058; e-ISSN 2734-9489 223 phần phần tử như Hình 7. Sai số nhỏ nhất khi xem xét mô đun đàn hồi kháng trượt hữu hiệu 223 phần 223 tửtử như như HìnhHình 7. 7.SaiSai sốsố nhỏnhỏ nhất nhất khikhi xemxem xétxétmômô đunđun đànđàn hồihồi kháng kháng trượt trượt hữuhữu hiệuhiệu 224 làlàlà 224 224 0,08% 0,08% 0,08% và vàvà 0,01% 0,01% 0,01% khi khi khi xem xem xem xét mô xétxét mô mô đun đun đun đàn đànđàn hồi hồihồi kéo dọc kéokéo dọc dọc trục. trục.trục. Riêng Riêng Riêng thông thông thông số sốtử, số12 D DD1212có có xucóxuxu 225 a) hướng 18 a) phần tăng18 phần tử, a) 18tử, sdof*=76 dần và sdof*=76 phần hội tử, tụ b)sdof*=76 khi 18 b) phần chia 18tử, nhỏ phần b) tử, 18 sdof*=406 điểm sdof*=406 phần trên tử, sdof*=406 c)18 biên phần phần c)18tử, tử phần c)18 tử, sdof*=1726 và có saisdof*=1726 phầnsố nhỏsdof*=1726 nhất là 225 hướng hướng a)tăng dần và hội tử,tụ b)khi chia nhỏ điểm trên = biên phần tử tử và có sai phầnsố tử,nhỏ nhất là là F 225 a)(a)1818phần phần tăng 18tử,phần tử,a) dần 18 sdof* và tử, sdof*=76 = 76sdof*=76 phần hội tụ khi 18 sdof*=76 chia b)(b) phần 18 nhỏ tử, 18 phần b) phần điểm tử, sdof*=406 18tử, sdof*=406 phần sdof* trên tử, biên c)18 406 phần c)18 phần sdof*=406 và phần tử, c)18 có(c)tử, sdof*=1726 sai sdof*=1726 phần 18 số tử, nhỏ sdof*=1726 sdof* nhất = 1726 210 210 210 * Tổng số *bậcTổng tự dosốcủa bậc tự hình dosốcủa môtựhình 226 0,02%. 0,02%. Qua Qua đó, * mô Tổng tựđó, sự bậc sự hội tửtụtụsố do của mô hình hội sốtỉcủa của kết kết quả khi sử dụng phần tử sốSBEM với kỹ môthuật làm 226 *210 210 226 0,02%. số210 Qua * Hình số5. đó, Hệ sự lưới hội phần tụ sốhình biên của lệkết SBEM quảquả chokhikhi mẫu sử18 sử dụngdụng tinh phần thể phần (*: tử tử Tổng SBEMSBEM bậc tựvớidovới kỹ của kỹ thuậtthuật làmlàm hình) O Tổng bậcTổng tự do *bậc của mô Tổng do hình số của bậc mô hình tự do của mô 211 211 mịn 211 trên Hình biên 5. Hình phần Hệ 5. lưới Hệ Hình phầnlưới 5.tử phần Hệbiên tử lướitỉ biên phần lệ SBEMtỉ tử lệ biênSBEM cho tỉ lệ mẫu cho SBEM 18 mẫu tinh cho18 thể. tinh mẫu thể. 18 tinh thể. 227 227 211 211 227 mịn mịn trên trên 211 biên Hình biên 5. phần phầnHệtửtử Hình tử 5. lướiđược đượcđược Hệ Hình phần thể 5. thể lưới thểHệ hiện hiện phần tửhiện biên lưới trong trongtrong tửtỉphần biên lệ SBEMtỉHình Hình tử Hình lệ SBEM biên 8tỉ8tốt 8cho tốt mẫu tốtlệ hơn hơn hơn cho SBEM 18 khi mẫu khi khi sử sử18 tinh cho sử dụng dụng tinh thể. dụng mẫu thể. phần 18 phần phần tinh tửtửhữu hữuhữu tửthể. hạn hạnhạn 228 thông 228 thông thông thường thường FEM-T3 FEM-T3 với kỹkỹ với kỹ thuật thuật làm làm làm làm mịn mịn phần phần tửtửtử bên bên trong. trong. O 228 thường FEM-T3 với thuật làm làm mịn phần bên trong. 229 229 229 Bảng Bảng 3.3.3. Bảng Ma Ma Ma trận trận trận vật vậtvật liệu liệu liệu hữu hữu hữu hiệu hiệuhiệucho cho cho vật vậtvậtliệu đađa liệu liệu đa tinh thểthể tinh tinh dịdị thể dịhướng hướng hướng đồng. đồng. đồng. PR Phương Phương Phương pháp pháp Tổng pháp Tổng Tổng sốsốsố DD D11 Sai Saisố 11 11 Sai số số DD D12 Sai Saisố 12 12 Sai số số D33DD3333 SaiSai sốsố Sai số bậc bậc tựtựtự bậc dodo do (GPa)(GPa) (GPa) (%) (%) (GPa) (%) (GPa)(GPa) (%) (%) (GPa) (%) (GPa) (GPa) (%) (%) (%) 7676 76 181,456 181,456 - - - 109,544 181,456 D 109,544 109,544 - - - 48,481 48,481 48,481 - -- a)(a)9292phần a) 92tử, phần tử,phần sdof*=112 a) 92 sdof* tử, sdof*=112 phần = 112 tử, b)sdof*=112 368 phầnb)(b)368 tử,phần 368 180,904 sdof*=406 b) 368 phần tử,0,31 tử, sdof*=406 phần sdof* c)5888 =tử, 406 sdof*=406 110,096 phần c)5888 tử,c)5888 sdof*=6034 phần (c) 5888 tử,phần sdof*=6034 phần tử,sdof* tử, sdof*=6034 = 6034 a) 92 a) 92tử, phần phần a) tử, sdof*=112 92 phần 186186 186 sdof*=112 tử, b) 368 sdof*=112 b) phần 180,904 180,904 368 phần tử, b) 0,31 tử, sdof*=406 368 0,31 sdof*=406 phần tử, 110,096 110,096 c)5888 sdof*=406 c)5888 phần 0,50 0,50 0,50 tử,phần tử,47,534 47,534 sdof*=6034 c)5888 47,534 sdof*=6034 phần tử, 1,991,99 1,99 sdof*=6034 TE 212 212 212 * Tổng số *bậc tự dosố Hình Tổng 6.của bậc mô *Hệ tự hình Tổnglưới dosố của phần dotử môtựhình bậc củahữu hạn FEM-T3 cho mẫu 18 tinh thể (*: Tổng số bậc tự do của mô hình) mô hình 212 *212 *SBEM Tổng số212 SBEM Tổng số bậc tự hình do số của bậcmô hình406 406 180,714 180,714 0,11 0,11 110,286 110,286 0,17 0,17 47,261 47,261 47,261 0,58 0,58 0,58 213 213 SBEM bậc tự do của 213 Hình 7.Hình mô * Tổng Hệ lưới tự do406 7.Ma phần của Hệ 7.tử mô hình lưới hữu phần 180,714 hạn tử FEM-T3 hữu 0,11 cho 110,286 mẫu 18 tinh 0,17 thể. Bảng 3. Hình trận Hệ vật lưới liệu hữu phầnhiệuhạn tửcho FEM-T3 hữu vậthạn đacho liệuFEM-T3 tinhmẫuthểcho 18hướng dị tinh 18 mẫu thể. đồngtinh thể. 213 213 213 Hình 7. Hệ lưới Hình 7. Hệ Hình phầnlưới 7. Hệ phần tử hữulưới tửhạn hữu phần hạn FEM-T3 tử hữu FEM-T3cho hạn mẫu cho FEM-T3 mẫu 18 tinh cho 18 thể. tinh mẫu thể. 1847,156 tinh thể. 0,22 846 180,646 0,04 110,354 0,06 214 214Hệ lướiHệ phần 214 lướitử Hệ biên phần lưới tỉphần tử lệ 846 biên 846 SBEMtỉ lệ tử vớitỉkỹ SBEM biên lệ 180,646 180,646thuật với kỹlàm SBEM thuật với mịn 0,04 0,04 kỹlàm nút thuật trên mịn 110,354 110,354làm biên nút phần trên mịn 0,06 nút 0,06 biên tử trênđược 47,156 phần 47,156 biên thể tử được phần 0,22 0,22 tửthể được thể EC 214 215 215214 Hệ hiệnlưới PhươngHệ trong 214phầnlưới pháp Hình Hệtử phần biên Tổng lưới 5. Kỹ tửtỉ số phầnbiên lệ bậc thuật tỉ SBEM tự do lệ tử thuật làm biên SBEM với D mịntỉlàm 11 kỹ (GPa) lệ biên với SBEMthuật kỹ thôngSai thuật làmsố với qua mịn (%) kỹ làm việc nút D thuật mịn chia 12 trên (GPa)nút làmqua đôi biên mịntrên Sai cạnh biên phần số nútở (%) trên mỗi phần tử được hệ D biên tử được thể (GPa) lưới 33 phần tửthể Sai số (%) được thể hiện 215 trong hiện Hìnhtrong 5.Hình Kỹ 1726 1726 5. Kỹ thuật mịnlàm 180,623 180,623 180,623 biên mịn biên thông 0,01 0,01 quathông việc 110,377 110,377 110,377 chiaviệc đôi chia 0,02 0,02cạnh đôi ở 47,118 cạnh mỗi 47,118 47,118 hệở mỗi lưới 0,08hệ lưới 0,08 215 hiện hiện trong Hình 1726 5.Hình Kỹlàm thuật làm mịn biên -0,01 thông qua việc chia 0,02 đôi cạnh ởhệ mỗi hệ 0,08 lưới hệ 215 216 216phầntrongtử. SBEM 215 Hệ Hình lưới 216 tử.phần phần hiện 5. phần Hệ lưới Kỹ trong tử tử.186 thuật 76 Hệ hữu phần lưới hạn 5. tửphần mịn thông Kỹ biên thuật 181,456 tử hữu hữu180,904 hạn thường thông làm thông hạnthườngqua FEM-T3 mịn biênviệc thông thường với thông FEM-T3 chiakỹ 109,544 đôi thuật qua FEM-T3 cạnh làm việc với kỹ0,50 ởmịn - chia mỗi với kỹlàm thuật phần đôi lưới cạnhtử 48,481 thuật mịnlàm ở phầnmỗi mịntử1,99 - lưới phần tử 216 phần tử. Hệ lưới phần tử hữu hạn thông 0,31 thường FEM-T3110,096với kỹlàm thuật làm 47,534 mịnlàm phần tử-phần 216 phần 217 217bên trongtử. 216 Hệ đượclưới phần phần thể hiện tử. tử Hệ hữu trong112 112 lưới112hạn Hình phần thông 6.tử Qua182,276 thường 182,276 182,276 hữu mỗi hạn FEM-T3 bước thông - - -thường làm với mịn 108,724 108,724 kỹ 108,724 lưới thuật FEM-T3 FEM-T3, -với - -mịn một kỹ 49,576 phần 49,57649,576 phần thuật tử - mịn - tử bên 217 trong bênđược trong thểđược 406 hiệnthể hiện trong trong6.Hình Hình 180,714 Qua 0,11 6. Qua mỗi bước mỗilàm 110,286 bước mịnlàm lưới 0,17mịn lưới47,261 FEM-T3, FEM-T3, một phần một 0,58phần R 217 217 bên bên trong tử tam217 giác trong được được thể hiện thể hiện trong trong Hình 6.Hình Qua 6. mỗi Qua bước mỗi bước làm mịn làm lướimịn lưới FEM-T3, FEM-T3,một phầnmột phần 218 218 tử 218 tamsẽbên được tử giác tam sẽchia trong 846 giác được thành được sẽ thể được chia 406 406 406 4thành hình hiện 180,646 chia tam trongthành 4181,354 hình 181,354 181,354 giác Hìnhtamđồng 4 0,04 6.giác hình 0,51 0,51 dạng Qua tam 0,51 mỗi đồng với 110,354 giác 109,646 tam với bước đồng dạng 109,646 109,646 giác làmdạng 0,84tamban mịn 0,06 0,84 0,84 vớiđầu. lưới giác tam Kết FEM-T3, 47,156 ban giác 48,257 48,25748,257 đầu. ban một Kết 2,73 0,22phần đầu. 2,73 2,73 Kết 218 219 219218 tử tam quả ma tử giác FEM-T3 trậntam FEM-T3 sẽ vật tửgiác được liệu tam sẽhữu được chia 1726 giác hiệu sẽ chia thànhcủa được thành 4 hình mẫu180,623 chia 4 vậttam hình thànhliệu tam giác đa 4 giác đồng 0,01 tinh hình thể tam đồng dạng dị dạng với 110,377 hướng giác tam đồng với đồnggiác dạng tam 0,02 đượcbangiác với đầu. thể tam ban 47,118 hiện đầu. Kết giác banKết 0,08 đầu. Kết FEM-T3 218 219 ma quả quả trậnma vậttrậnliệu vậthữuliệu hiệu hữu củahiệu mẫucủa vậtmẫuliệuvật liệu đa đa tinh thểtinh thể dị đồng dị hướng hướngđược đồngthể được hiệnthể hiện R 219 220 220219 quả ở Bảngma quả trận 3. FEM-T3 ma Các vật trận mẫu liệu vật đềuhữu liệu có 112 1546 1546 hiệu mô 1546 hữu của đun hiệumẫu đàn của 180,904 vật hồi 182,276 180,904 180,904mẫu liệu khối vật đa hữu liệu0,25 -0,25 tinh0,25 hiệu đathể K tinhdị110,096 =K 110,096 110,096thể hướng 108,724 =Kdị hướng 0,41 đồng =145,5 0,41 -0,41đồng được GPa 47,556 thể47,556 được 47,556 tương hiện 49,576 thể 1,47 hiện 1,47 1,47 - 219 Bảngquả ở220 ở ma trận 3.Bảng Các 3. mẫu 406 Cácvật đềumẫuliệu có mô hữu đều có đun 181,354 hiệu đàncủa mô hồimẫu đun khốivật đàn 0,51 hồi hữu liệu eff đa khối hiệuhữu 109,646 V tinh R thể dị hướng đồng được thể hiện Keffhiệu =KV0,84K=K eff=K V=K R=145,5 R=145,5 GPa tương 48,257 GPa 2,73tương 221 ở 220 220 Bảng đồng ở với3.Bảng Các kết quả3. mẫu Các nghiệmđều mẫu có đều mô giải có đun tích môđàn Voigt đunhồi và đàn khối Reuss.hồi hữu khối Mô hiệuhữu đun K hiệu đàn =KhồiK =K =K V=K R=145,5 kháng eff trượt R=145,5 GPa hữu GPa tương tương hiệu O 221 220 đồng 221 với ởđồng Bảng kết quả 3.1546 với Các kết 6034 6034 nghiệm mẫunghiệm 6034 quả đều giải có tích 180,904 180,714 mô 180,714 180,714 giải Voigt đun đàn tíchvà0,25 Voigt 0,11 0,11hồi 0,11 Reuss. vàkhối Mô 110,286 eff 110,286 Reuss. hữuMô 110,286 đun 110,096 V hiệu đàn K 0,17 đun hồi 0,17 0,41 =K 0,17 đàn kháng eff =K 47,256 V47,256 hồi R=145,5 47,256 kháng trượt 47,556 hữu 0,63 trượt 0,63 GPa 0,63 hiệuhữu 1,47tương hiệu 221 221 222 đồng Geff=D đồng với kết và với môquả kết nghiệm đun quả đàn6034nghiệm giải hồi kéotích giải dọcVoigttích trục 180,714 Voigt và D Reuss. và giảm Reuss. 0,11Mô dần đun khi Mô đàn chia đun 110,286 hồi nhỏ đàn kháng cáchồiđiểm 0,17 kháng trượt hữu trên trượt biên hữu hiệu 47,256 hiệu 0,63 222 221 eff=Dđồng với mô33kết và quả nghiệm kéogiải tích Voigt vàDReuss. Mô đun đàn hồi kháng trượt hữu hiệu 33 11 G222 33Gvàeff=D đun mô đànđun hồiđàn hồi dọckéo trụcdọc D11trụcgiảm dần 11 giảmkhi dần chia khinhỏ chiacác nhỏ điểm cáctrên điểm biêntrên biên 230 230 G 230 222 eff=D222 Geffvà=Dmô và 33 đun mô đàn đun hồiđàn kéo hồi dọc kéo trục dọc D trụcgiảmD giảm 11dần khi dầnchia khinhỏchia các nhỏ điểm các điểm trên trên biên biên C 222 33 Geff=D33 và mô đun đàn hồi kéo dọc trục D11 giảm dần khi chia nhỏ các điểm trên biên 11 11 N 11 11 11 11 11 U a)(a)DD a)a)D11 D11 1111 (b) D12 b)b)DD b) D1212 12 c)(c)eff c)c) G GGGeffeff ef f Hình 7. Hằng số vật liệu hữu hiệu cho mẫu 18 tinh thể dị hướng đồng 231 231 231 Hình Hình7.7.7. Hình Hằng Hằng sốsố Hằng vật sốvậtliệu vật liệuhữu liệuhữuhiệu hữuhiệucho hiệuchomẫu chomẫu1818 mẫu tinh 18 thểthể tinh tinh dịdị thể hướng đồng. dịhướng hướngđồng. đồng. 232 Bảng 232 232 Bảng Bảng44thể 4thểhiện thể hiệnthời hiệnthời thờigian giantính gian tính tính toán toánkhi toánkhithực khi thựchiện 10hiện thực hiện phương phương phương pháp pháp phápSBEM SBEM SBEM vàvà phương vàphương phương pháp pháp pháp 233 FEM-T3. 233 FEM-T3. 233 Qua FEM-T3.Qua đó, Quađó, phương đó,phương pháp phươngpháp SBEM phápSBEM với SBEMvới 1726 với1726 1726bậcbậc tự do bậctựtựdođạt dođạtthời đạtthời gian thờigian tính giantính toán tínhtoánthấp toánthấp thấp 234 hơn 234 234 hơn hơnkhoảng khoảng 55lần khoảng 5lầnsososo lần với phương với vớiphương phương pháp phápFEM-T3 pháp FEM-T3 FEM-T3 với với6034 với6034 6034bậc tựtự bậc bậc do. tựdo. Trong do. Trong Trongkhikhi đó,đó, khi saisai đó, sai 235 biệt 235 235 biệtgiữa biệtgiữa hai giữahaiphương hai phương phương pháp pháp pháp làlàlà 0,05%0,05% 0,05% đối với đối đối DD với với ; 110,08 D11 11 ; ;0,08%%% 0,08 đối với đối đối D12 với với DD;1212 0,29% ; ;0,29% 0,29%đốiđối vớivới đối với
  11. Phương, N. H., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng Bảng 4 thể hiện thời gian tính toán khi thực hiện phương pháp SBEM và phương pháp FEM-T3. Qua đó, phương pháp SBEM với 1726 bậc tự do đạt thời gian tính toán thấp hơn khoảng 5 lần so với phương pháp FEM-T3 với 6034 bậc tự do. Trong khi đó, sai biệt giữa hai phương pháp là 0,05% đối với D11 ; 0,08% đối với D12 ; 0,29% đối với D33 . Bảng 4. Thời gian tính toán khi sử dụng các phương pháp số Phương pháp Tổng số bậc tự do Số phần tử Thời gian (s) F SBEM 76 18 0,4 186 18 0,5 O 406 18 0,6 846 18 1,8 O 1726 18 9,7 FEM-T3 112 92 0,4 PR 406 368 0,4 1546 1472 2,2 6034 5888 48,5 D 4. Kết luận TE Nghiên cứu đã trình bày hướng tiếp cận kỹ thuật đồng nhất hóa cho vật liệu đa tinh thể dị hướng với phần tử biên tỉ lệ SBEM. Phương pháp này hội tụ dần khi chia nhỏ các cạnh trên biên phần tử EC SBEM. Qua đó, các thông số đàn hồi hữu hiệu của mẫu đa tinh thể dị hướng được xác định. Mô đun đàn hồi khối hữu hiệu Ke f f là hằng số trong các mẫu mô hình. Điều này tương đồng với nghiên cứu giải tích của Voigt và Reuss. Mô đun đàn hồi kháng trượt hữu hiệu Ge f f giảm dần và hội tụ khi các kỹ thuật làm mịn lưới được áp dụng. Kết quả khi sử dụng phần tử biên tỉ lệ với kỹ thuật làm mịn trên R biên phần tử hội tụ nhanh hơn khi so sánh với sử dụng phần tử hữu hạn. R Lời cảm ơn O Tác giả xin chân thành cảm ơn sự hỗ trợ tài chính của Trường Đại học Quốc tế ĐHQG-HCM cho đề tài có mã số T2019-02-CE. C Tài liệu tham khảo N [1] Voigt, W. (1889). Ueber die Beziehung zwischen den beiden Elasticit¨atsconstanten isotroper K¨orper. U Annalen der Physik, 274(12):573–587. [2] Reuß, A. (1929). Berechnung der fließgrenze von mischkristallen auf grund der plastizit¨atsbedingung f¨ur einkristalle. ZAMM-Journal of Applied Mathematics and Mechanics/Zeitschrift f¨ur Angewandte Mathe- matik und Mechanik, 9(1):49–58. [3] Hashin, Z., Shtrikman, S. (1962). A variational approach to the theory of the elastic behaviour of poly- crystals. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 10(4):343–352. [4] Berryman, J. G. (2005). Bounds and self-consistent estimates for elastic constants of random polycrystals with hexagonal, trigonal, and tetragonal symmetries. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 53 (10):2141–2173. 11
  12. Phương, N. H., và cs. / Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng [5] Pham, D. C. (2006). Revised bounds on the elastic moduli of two-dimensional random polycrystals. Journal of Elasticity, 85(1):1–20. [6] Chinh, P. D. (2012). Bounds on the elastic moduli of statistically isotropic multicomponent materials and random cell polycrystals. International Journal of Solids and Structures, 49(18):2646–2659. [7] Pham, D. C., Le, C. H., Vuong, T. M. H. (2016). Estimates for the elastic moduli of d-dimensional random cell polycrystals. Acta Mechanica, 227(10):2881–2897. [8] Kube, C. M., Arguelles, A. P. (2016). Bounds and self-consistent estimates of the elastic constants of polycrystals. Computers & Geosciences, 95:118–122. [9] Terada, K., Hori, M., Kyoya, T., Kikuchi, N. (2000). Simulation of the multi-scale convergence in compu- F tational homogenization approaches. International Journal of Solids and Structures, 37(16):2285–2311. [10] Kouznetsova, V., Brekelmans, W. A. M., Baaijens, F. P. T. (2001). An approach to micro-macro modeling O of heterogeneous materials. Computational Mechanics, 27(1):37–48. [11] Coenen, E. W. C., Kouznetsova, V. G., Bosco, E., Geers, M. G. D. (2012). A multi-scale approach to bridge microscale damage and macroscale failure: a nested computational homogenization-localization O framework. International Journal of Fracture, 178(1-2):157–178. [12] Miehe, C., Schotte, J., Lambrecht, M. (2002). Homogenization of inelastic solid materials at finite strains PR based on incremental minimization principles. Application to the texture analysis of polycrystals. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 50(10):2123–2167. [13] Teferra, K., Graham-Brady, L. (2018). A random field-based method to estimate convergence of apparent properties in computational homogenization. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 330:253–270. D [14] Phương, N. H., Cảnh, L. V., Kiên, N. T. (2019). Xác định đặc trưng hữu hiệu của vật liệu đa tinh thể dị hướng bằng phương pháp đồng nhất hóa. Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 13 TE (4V):129–138. [15] Beskos, D. E. (1987). Boundary element methods in dynamic analysis. [16] Song, C., Wolf, J. P. (1997). The scaled boundary finite-element method—alias consistent infinitesimal finite-element cell method—for elastodynamics. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineer- EC ing, 147(3-4):329–355. [17] Wolf, J. P., Song, C. (2000). The scaled boundary finite-element method–a primer: derivations. Comput- ers & Structures, 78(1-3):191–210. [18] Ooi, E. T., Song, C., Tin-Loi, F., Yang, Z. (2012). Polygon scaled boundary finite elements for crack R propagation modelling. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 91(3):319–342. [19] Deeks, A. J., Wolf, J. P. (2002). A virtual work derivation of the scaled boundary finite-element method for elastostatics. Computational Mechanics, 28(6):489–504. R O C N U 12
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.15: Bộ Đồ Án Tốt Nghiệp Chuyên Ngành Cơ Khí
65 tài liệu
2431 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2