Tóm tắt công thức lý thuyết Xác Suất Thống kê

Chia sẻ: Ngocbich Bich | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

220
lượt xem 37
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hệ thống công thức môn Xác suất thống kê giúp các bạn học bài và làm bài tốt và thuận tiện hơn. chúc các bạn học vui

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt công thức lý thuyết Xác Suất Thống kê

LT XSTK -1- Tóm tắt công thức Tóm tắt công thức LT Xác Suất - Thống Kê I. Phần Xác Suất 1. Xác suất cổ điển  Công thức cộng xác suất: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).  A1, A2,…, An xung khắc từng đôi  P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).  Ta có o A, B xung khắc  P(A+B)=P(A)+P(B). o A, B, C xung khắc từng đôi  P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C). o P ( A)  1  P( A) . P( AB) P( AB)  Công thức xác suất có điều kiện: P( A / B)  , P( B / A)  . P( B) P( A)  Công thức nhân xác suất: P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B).  A1, A2,…, An độc lập với nhau  P(A1.A2.….An)=P(A1).P(A2).….P( An).  Ta có o A, B độc lập  P(AB)=P(A).P(B). o A, B, C độc lập với nhau  P(A.B.C)=P(A).P(B).P(C).  Công thức Bernoulli: B(k ; n; p)  Cn p k q nk , với p=P(A): xác suất để biến cố A k xảy ra ở mỗi phép thử và q=1-p.  Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes o Hệ biến cố gồm n phần tử A1, A2,…, An được gọi là một phép phân  A . A  i  j;i, j 1, n  hoạch của    i j  A1  A2  ...  An    o Công thức xác suất đầy đủ: n P ( B )   P ( Ai ).P ( B / Ai ) P ( A1 ).P ( B / A1 )  P ( A2 ).P ( B / A2 )  ...  P( An ).P( B / An ) i 1 o Công thức Bayes: P( Ai ).P( B / Ai ) P( Ai / B)  P( B) với P ( B )  P ( A1 ).P ( B / A1 )  P ( A2 ).P( B / A2 )  ...  P( An ).P( B / An ) 2. Biến ngẫu nhiên a. Biến ngẫu nhiên rời rạc  Luật phân phối xác suất X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn với pi  P ( X  xi ), i  1, n. Ta có: n  pi  1 và P{a  f(X)  b}=  pi i 1 a f(xi b ĐHNH TPHCM -1- Nguyễn Ngọc Phụng
LT XSTK -2- Tóm tắt công thức  Hàm phân phối xác suất FX ( x )  P ( X  x)   pi xi  x  Mode ModX  x0  p0  max{ pi : i  1, n}  Median   pi  0,5  P ( X  xe )  0, 5  x x MedX  xe   i e  P ( X  xe )  0,5   pi  0, 5  xi  xe  Kỳ vọng n EX   ( xi . pi ) x1. p1  x2 . p2  ...  xn . pn i 1 n E ( ( X ))   ( ( xi ). pi )  ( x1 ). p1   ( x2 ). p2  ...   ( xn ). pn i 1  Phương sai VarX  E ( X 2 )  ( EX )2 n với E ( X )   ( xi2 . pi ) x1 . p1  x2 . p2  ...  xn . pn 2 2 2 2 i 1 b. Biến ngẫu nhiên liên tục.   f(x) là hàm mật độ xác suất của X   f ( x)dx  1 ,  b P{a  X  b}   f ( x).dx a  Hàm phân phối xác suất x FX ( x )  P ( X  x )    f (t )dt  Mode ModX  x0  Hàm mật độ xác suất f(x) của X đạt cực đại tại x0.  Median xe 1 1 MedX  xe  FX ( xe )    f ( x )dx  . 2  2  Kỳ vọng  EX   x. f ( x)dx .   E ( ( X ))    ( x). f ( x)dx  ĐHNH TPHCM -2- Nguyễn Ngọc Phụng
LT XSTK -3- Tóm tắt công thức  Phương sai  VarX  E ( X 2 )  ( EX )2 với EX 2   x 2 . f ( x)dx .  c. Tính chất  E (C )  C ,Var (C )  0 , C là một hằng số.  E (kX )  kEX ,Var (kX )  k 2VarX  E (aX  bY )  aEX  bEY  Nếu X, Y độc lập thì E ( XY )  EX .EY ,Var (aX  bY )  a 2VarX  b 2VarY   ( X )  VarX : Độ lệch chuẩn của X, có cùng thứ nguyên với X và EX. 3. Luật phân phối xác suất a. Phân phối Chuẩn ( X ~ N (;  2 ))  X ()   , EX=ModX=MedX=  , VarX   2 ( x  )2 1   Hàm mđxs f ( x,  ,  )  e 2 2  Với   0,  1:  2 x2 1 2 f ( x)  e (Hàm Gauss) 2 x t2 b  a  1 2  P (a  X  b)  ( )  ( ) với ( x)   e dt (Hàm Laplace)   0 2 Cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị hàm Laplace, hàm phân phối xác suất của phân phối chuẩn chuẩn tắc Tác vụ Máy 570MS Máy 570ES Máy 570 ES Plus Khởi động gói Thống kê Mode Mode Mode STAT 1-Var Mode STAT 1-Var SD AC AC Tính z x2 1 2 Shift 1 5 2 z ) = ( z )   e dx Shift 3 2 z ) = Shift 1 7 2 z ) = 0 2 z x2 1 2 Shift 3 1 z ) = Shift 1 7 1 z ) = Shift 1 5 1 z ) = F ( z)   e dx  2 Thoát khỏi gói Thống Mode 1 Mode 1 Mode 1 kê Lưu ý: F ( z )  0,5  ( z ) b. Phân phối Poisson ( X ~ P())  X ()   , EX  VarX   .ModX=k   -1  k   ĐHNH TPHCM -3- Nguyễn Ngọc Phụng
LT XSTK -4- Tóm tắt công thức k  P(X=k)=e  ,k   k! c. Phân phối Nhị thức ( X ~ B(n; p ))  X ()  {0..n} , EX=np, VarX=npq, ModX=k  (n  1) p  1  k  (n  1) p  P(X=k)=Ck . p k .q nk ,q   p0  k  n,k   n  Nếu (n  30;0,1  p  0,9; np  5, nq  5) thì X ~ B (n; p)  N (;  2 ) với   n. p,  npq 1 k   P (X=k)  f ( ),0  k  n,k     b  a   P (a  X
LT XSTK -5- Tóm tắt công thức Sơ đồ tóm tắt các dạng phân phối xác suất thông dụng: Siêu bội: X~H(N;NA;n) C N A .C N kN A k n  P( X  k )  n CN N>20n N p= A , q=1-p N n30, p0,1 Nhị thức: X~B(n;p) np
LT XSTK -6- Tóm tắt công thức II. Phần Thống Kê. 1. Lý thuyết mẫu. a. Các công thức cơ bản. Các giá trị đặc trưng Mẫu ngẫu nhiên Mẫu cụ thể Giá trị trung bình X 1  ...  X n x  ...  xn X x 1 n n Phương sai không hiệu chỉnh 2 2 ( x  x )  ...  ( xn  x )2 2 ˆ 2  ( X 1  X )  ...  ( X n  X ) SX 2 ˆx  1 s n n Phương sai hiệu chỉnh 2 2 ( X  X )  ...  ( X n  X ) 2 2 ( x  x )  ...  ( xn  x )2 2 SX  1 sx  1 n 1 n 1 b. Để dễ xử lý ta viết số liệu của mẫu cụ thể dưới dạng tần số như sau: xi x1 x2 … xk ni n1 n2 … nk Khi đó Các giá trị đặc trưng Mẫu cụ thể x n  ...  xk nk Giá trị trung bình x 1 1 n Phương sai không hiệu chỉnh ( x  x ) n1  ...  ( xk  x ) 2 nk 2 ˆ2 sx  1 n 2 ( x1  x ) n1  ...  ( xk  x ) 2 nk 2 Phương sai hiệu chỉnh sx  n 1 c. Phân tổ thống kê - Việc phân tổ thống kê chủ yếu dựa vào phân tích và kinh nghiệm. Tuy nhiên thông nếu kích thước mẫu khảo sát là n thì ta có thể phân làm k tổ với k   3 2n   1 , với  x  là phần nguyên của x.     x  xmin - Trường hợp phân tổ đều ta được khoảng cách mỗi tổ là h  max . k d. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị đặc trưng mẫu - Nếu số liệu thống kê thu thập theo miền [a; b) hay (a; b] thì ta sử dụng giá ab trị đại diện cho miền đó là để tính toán. 2 ĐHNH TPHCM -6- Nguyễn Ngọc Phụng
LT XSTK -7- Tóm tắt công thức Tác vụ 570MS 570ES Bật chế độ nhập tần số Không cần Shift Mode  4 1 Khởi động gói Thống kê Mode Mode SD Mode STAT 1-Var x1 Shift , n1 M+  X FREQ xk Shift , nk M+ x1 = n1 = Nhập số liệu   Nếu ni  1 thì chỉ cần xk = nk = nhấn xi M+ Xóa màn hình hiển thị AC AC Xác định:  Kích thước mẫu (n) Shift 1 3 = Shift 1 5 1 =  Giá trị trung bình (x ) Shift 2 1 = Shift 1 5 2 =  Độ lệch chuẩn không ˆ hiệu chỉnh ( s x ) Shift 2 2 = Shift 1 5 3 =  Độ lệch chuẩn hiệu Shift 2 3 = Shift 1 5 4 = chỉnh ( s x ) Thoát khỏi gói Thống kê Mode 1 Mode 1 2. Khoảng tin cậy. a) Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình của tổng thể. Trường hợp 1. (  đã biết)  Khoảng tin cậy đối xứng. 1    ( z )   z    z  .   x  ; x  ) 2 n 2 2 2  Khoảng tin cậy bên trái.   ( z )  0,5    z    z .  ; x  ) n  Khoảng tin cậy bên phải.   ( z )  0,5    z    z .   x   ) n Trường hợp 2. (  chưa biết, n  30 )  Khoảng tin cậy đối xứng. 1  s  ( z )   z    z  .   x  ; x  ) 2 n 2 2 2 ĐHNH TPHCM -7- Nguyễn Ngọc Phụng
LT XSTK -8- Tóm tắt công thức  Khoảng tin cậy bên trái. s  ( z )  0,5    z    z .  ; x  ) n  Khoảng tin cậy bên phải. s  ( z )  0,5    z    z .   x   ) n Trường hợp 3. (  chưa biết, n
LT XSTK -9- Tóm tắt công thức Khoảng tin cậy bên phải. 2 2 (n  1) s 2    2   ( n1; )  ( ; ) 22 Trường hợp 2. (  đã biết) k - Tính (n  1) s 2   ni .( xi  ) 2 i 1  Khoảng tin cậy 2 phía.    2   2  , 1   2 2 2  ( n; ) ( n;1 ) 2 2 (n  1) s 2 (n  1)s 2 ( ; ) 22 12  Khoảng tin cậy bên trái. (n  1) s 2   1   2( n;1)  (0; 2 2 ) 1  Khoảng tin cậy bên phải. (n  1)s 2    2   2( n; )  ( 2 ; ) 22 3. Kiểm định giả thuyết thống kê. a) Kiểm định giả thuyết thống kê về giá trị trung bình của tổng thể. Trường hợp 1. (  đã biết)  H o :   o , H1 :   o 1  x  o  ( z )   z  , z  . n 2  2 2 - Nếu z  z  : Bác bỏ Ho. 2 - Nếu z  z  : Chấp nhận Ho. 2  H o :   o , H1 :   o x  o  ( z )  0, 5    z , z  . n  - Nếu z   z : Bác bỏ Ho. - Nếu z   z : Chấp nhận Ho.  H o :   o , H1 :   o x  o  ( z )  0, 5    z , z  . n  - Nếu z  z : Bác bỏ Ho. - Nếu z  z : Chấp nhận Ho. ĐHNH TPHCM -9- Nguyễn Ngọc Phụng
LT XSTK - 10 - Tóm tắt công thức Trường hợp 2. (  chưa biết, n  30 )  H o :   o , H1 :   o 1  x  o  ( z )   z  , z  . n 2 s 2 2 - Nếu z  z  : Bác bỏ Ho. 2 - Nếu z  z  : Chấp nhận Ho. 2  H o :   o , H1 :   o x  o  ( z )  0, 5    z , z  . n s - Nếu z   z : Bác bỏ Ho. - Nếu z   z : Chấp nhận Ho.  H o :   o , H1 :   o x  o  ( z )  0, 5    z , z  . n s - Nếu z  z : Bác bỏ Ho. - Nếu z  z : Chấp nhận Ho. Trường hợp 3. (  chưa biết, n
LT XSTK - 11 - Tóm tắt công thức  H o : p  po ,H1 : p  po 1  k f  po  ( z )   z  , f  , z  . n 2 n po (1  po ) 2 2 - Nếu z  z  : Bác bỏ Ho. 2 - Nếu z  z  : Chấp nhận Ho. 2  H o : p  po ,H1 : p  po k f  po  ( z )  0,5    z , f  ,z  . n n po (1  po ) - Nếu z   z : Bác bỏ Ho. - Nếu z   z : Chấp nhận Ho.  H o : p  po ,H1 : p  po k f  po  ( z )  0,5    z , f  ,z  . n n po (1  po ) - Nếu z  z : Bác bỏ Ho. - Nếu z  z : Chấp nhận Ho. c) Kiểm định giả thuyết thống kê về phương sai của tổng thể. Trường hợp 1. (  chưa biết) - Nếu đề chưa cho s mà cho mẫu cụ thể thì phải sử dụng máy tính để xác định s.  H o : 2  o , H1 :2  o 2 2 (n  1) s 2   1   2 2 , 2   2 2  , 2  2 ( n 1;1 ) ( n 1; ) o 2 2 2    2 2 - Nếu  : Bác bỏ H0.  2  1  2 - Nếu 1   2  2 : Chấp nhận Ho. 2 2  H o :   o ,H1 :2  2 2 2 o (n  1) s 2   1   2( n1;1 ) ,  2  2 2 o - Nếu 2  1 : Bác bỏ H0. 2 - Nếu 2  1 : Chấp nhận Ho. 2  H o : 2  o ,H1 :2  o 2 2 (n  1) s 2    2   2( n1; ) ,  2  2 2 o ĐHNH TPHCM - 11 - Nguyễn Ngọc Phụng
LT XSTK - 12 - Tóm tắt công thức - Nếu 2   2 : Bác bỏ H0. 2 - Nếu 2  2 : Chấp nhận Ho. 2 4. Kiểm định giả thuyết thống kê: So sánh tham số của 2 tổng thể. a) Kiểm định giả thuyết thống kê: So sánh giá trị trung bình của 2 tổng thể. Trường hợp 1. ( 1, 2 đã biết)  H o : 1   2 ,H1 : 1   2 1  x x  ( z )   z  , z  1 2 2 2 1 22 2 2  n1 n2 - Nếu z  z  : Bác bỏ Ho. 2 - Nếu z  z  : Chấp nhận Ho. 2  H o : 1   2 ,H1 : 1   2 x1  x2  ( z )  0, 5    z , z  2 2 1 2  n1 n2 - Nếu z   z : Bác bỏ Ho. - Nếu z   z : Chấp nhận Ho.  H o : 1   2 ,H1 : 1   2 x x  ( z )  0, 5    z , z  1 2 2 2 1 2  n1 n2 - Nếu z  z : Bác bỏ Ho. - Nếu z  z : Chấp nhận Ho. Trường hợp 2. ( 1, 2 chưa biết, n1n2  30 )  H o : 1   2 ,H1 : 1   2 1  x x  ( z )   z  , z  1 2 2 2 s1 s2 2 2 2  n1 n2 - Nếu z  z  : Bác bỏ Ho. 2 - Nếu z  z  : Chấp nhận Ho. 2 ĐHNH TPHCM - 12 - Nguyễn Ngọc Phụng
LT XSTK - 13 - Tóm tắt công thức  H o : 1   2 ,H1 : 1   2 x1  x2  ( z )  0,5    z , z  2 2 s1 s2  n1 n2 - Nếu z   z : Bác bỏ Ho. - Nếu z   z : Chấp nhận Ho.  H o : 1   2 ,H1 : 1   2 x x  ( z )  0,5    z , z  1 2 2 2 s1 s2  n1 n2 - Nếu z  z : Bác bỏ Ho. - Nếu z  z : Chấp nhận Ho. Trường hợp 3. ( 1  2 chưa biết, n1 ,n2  30 )  H o : 1   2 ,H1 : 1   2 2 2  x1  x2 (n  1).s1  (n2  1).s2  t  ,t  , với s 2  1 2 ( n1  n2  2; ) 1 1 n1  n2  2 2 s2 (  ) n1 n2 - Nếu t  t  : Bác bỏ Ho. ( n1  n2  2; ) 2 - Nếu t  t  : Chấp nhận Ho. ( n1  n2  2; ) 2  H o : 1   2 ,H1 : 1   2 2 2 x1  x2 (n  1).s1  (n2  1).s2   t( n1 n2 2;) ,t  , với s 2  1 1 1 n1  n2  2 s2 (  ) n1 n2 - Nếu t  t  : Bác bỏ Ho. ( n1  n2  2; ) 2 - Nếu t  t  : Chấp nhận Ho. ( n1  n2  2; ) 2  H o : 1   2 ,H1 : 1   2 2 2 x1  x2 (n  1).s1  (n2  1).s2   t( n1 n2 2;) ,t  , với s 2  1 1 1 n1  n2  2 s2 (  ) n1 n2 - Nếu t  t  : Bác bỏ Ho. ( n1  n2  2; ) 2 - Nếu t  t  : Chấp nhận Ho. ( n1  n2  2; ) 2 ĐHNH TPHCM - 13 - Nguyễn Ngọc Phụng
LT XSTK - 14 - Tóm tắt công thức b) Kiểm định giả thuyết thống kê: So sánh tỉ lệ của 2 tổng thể. k k k k f1  1 , f 2  2 , f  1 2 n1 n2 n1  n2  H o : p1  p2 ,H1 : p1  p2 1  f1  f 2  ( z )   z  , z  2 1 1 2 2 f (1  f ).(  ) n 1 n2 - Nếu z  z  : Bác bỏ Ho. 2 - Nếu z  z  : Chấp nhận Ho. 2  H o : p1  p2 ,H1 : p1  p2 f1  f 2  ( z )  0, 5    z , z  1 1 f (1  f ).(  ) n 1 n2 - Nếu z   z : Bác bỏ Ho. - Nếu z   z : Chấp nhận Ho.  H o : p1  p2 ,H1 : p1  p2 f1  f 2  ( z )  0, 5    z , z  1 1 f (1  f ).(  ) n 1 n2 - Nếu z  z : Bác bỏ Ho. - Nếu z  z : Chấp nhận Ho. c. Kiểm định giả thuyết thống kê: So sánh phương sai của 2 tổng thể. - 1, 2 chưa biết nên tính s1 và s2 từ mẫu (sử dụng máy tính) nếu đề bài chưa cho.  H o : 12  2 ,H1 :12  2 2 2 2 s1   - f  2 , f1  f (n1  1; n2  1;1  ), f 2  f (n1  1; n2  1; ) s2 2 2  f  f1 - Nếu  : Bác bỏ Ho.  f  f2 - Nếu f1  f  f 2 : Chấp nhận Ho.  H o : 12  2 ,H1 :12   2 2 2 2 s1 - f  2 , f1  f (n1  1; n2  1;1   ) s2 - Nếu f  f1 : Bác bỏ Ho. - Nếu f1  f : Chấp nhận Ho. ĐHNH TPHCM - 14 - Nguyễn Ngọc Phụng
LT XSTK - 15 - Tóm tắt công thức  H o : 12  2 ,H1 :12  2 2 2 2 s1 - f  2 , f 2  f (n1  1; n2  1; ) s2 - Nếu f  f 2 : Bác bỏ Ho. - Nếu f  f 2 : Chấp nhận Ho. 5. Hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu. n n n n xi yi   xi  yi i 1 i 1 i 1 a. Hệ số tương quan mẫu: r  n n n n n xi2  ( xi )2 n yi2  ( yi )2 i 1 i 1 i 1 i 1 Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu:   A  Bx y n n n n n n xi yi   xi  yi  yi  B. xi i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 với B  n n và A  . 2 2 n n x  ( xi ) i i 1 i 1 b. Trong trường hợp sử dụng bảng tần số: xi x1 x2 … xk yi y1 y2 … yk ni n1 n2 … nk Ta tính theo công thức thu gọn như sau: k k k n ni xi yi   ni xi  ni yi i 1 i 1 i 1 Hệ số tương quan mẫu: r  k k k k n ni xi2  ( ni xi )2 n ni yi2  ( ni yi )2 i 1 i 1 i 1 i 1 Phương trình hồi quy tuyến tính mẫu:   A  Bx với y k k k k k n ni xi yi   ni xi  ni yi n y i i  B. ni xi i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 B k k và A  . 2 2 n n n x  ( ni xi ) i i i 1 i 1 ĐHNH TPHCM - 15 - Nguyễn Ngọc Phụng
LT XSTK - 16 - Tóm tắt công thức c. Sử dụng máy tính bỏ túi để tính hệ số tương quan mẫu và phương trình hồi quy tuyến tính mẫu: Tác vụ CASIO 570MS CASIO 570ES Bật chế độ nhập tần số Không cần Shift Mode  4 1 Khởi động gói Hồi quy Mode Mode Reg Lin Mode STAT A+BX tuyến tính x1 , y1 Shift , n1 M+  X Y FREQ xk , yk Shift , nk M+ x1 = y1 = n1 = Nhập số liệu    ni  1 thì chỉ cần nhấn xk = yk = nk = xi , yi M+ Xóa màn hình hiển thị AC AC Xác định:  Hệ số tương quan Shift 2  3 = Shift 1 7 3 = mẫu (r)  Hệ số hằng: A Shift 2  1 = Shift 1 7 1 =  Hệ số ẩn (x): B Shift 2  2 = Shift 1 7 2 = Thoát khỏi gói Hồi quy Mode 1 Mode 1 Lưu ý: Máy ES nếu đã kích hoạt chế độ nhập tần số ở phần Lý thuyết mẫu rồi thì không cần kích hoạt nữa. ………………………………………. ĐHNH TPHCM - 16 - Nguyễn Ngọc Phụng