intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE

Luận án Thạc sỹ Khoa học: Về các radical của các PI-đại số

Chia sẻ: Phan Phan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

52
lượt xem
7
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án "Về các radical của các PI-đại số" trình bày về các nội dung: các kiến thức căn bản, ngoài các khái niệm về các loại đại số, ideal và modun, các đồng nhất thức (identity) trên các đại số, về đa thức chuẩn tắc, một số định lý quan trọng như định lý về trù mật; xem xét các radical của các PI-đại số. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Luận án Thạc sỹ Khoa học: Về các radical của các PI-đại số

BỘ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHÔ HỒ CHÍ MINH<br /> TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM<br /> KHOA TOÁN<br /> <br /> <br /> NINH QUANG THẮNG<br /> <br /> VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ<br /> <br /> LUẬN ÁN THẠC SỸ KHOA HỌC<br /> CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ<br /> MÀ SỐ 1.01.03<br /> <br /> THÁNG 02 NĂM 1998<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH<br /> TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM<br /> KHOA TOÁN<br /> <br /> <br /> NINH QUANG THẮNG<br /> <br /> VỀ CÁC RADICAL CỦA CÁC PI-ĐẠI SỐ<br /> <br /> LUẬN ÁN THẠC SỸ KHOA HỌC<br /> CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ<br /> MÃ SỐ 1.01.03<br /> <br /> NGƢỜI HƢỚNG DẪN:<br /> PGS.PTS BÙI TƢỜNG TRÍ<br /> <br /> THÁNG 02 NĂM 1998<br /> <br /> LỜI MỞ ĐẦU<br /> <br /> Ngƣời ta thƣờng xét các đại số trên một vành kèm thêm các điều kiện nào đó.<br /> Các điều kiện này thƣờng đƣợc thể hiện bởi các "hệ thức" và đòi hỏi chúng luôn<br /> luôn đúng. Chẳng hạn:<br /> Đại số A thỏa mãn hệ thức [a,b] = ab - ba = 0 ∀a,b ∈ A đƣợc gọi là đại số<br /> giao hoán.<br /> Đại số A thỏa mãn các hệ thức a 2 = a<br /> <br /> ∀a∈ A đƣợc gọi là đại số Boolean.<br /> <br /> Đại số A thỏa mãn các hệ thức ab + ba = 0, a(bc) + b(ca) + c(ab) = 0 ∀a,b, c<br /> ∈ A đƣợc gọi là đại số Lie…..<br /> Trong luận án này, ta trình bày khái niệm các đồng nhất thức (Identity) trên<br /> các đại số và xét đến các PI- đại số xem nhƣ các đại số thỏa mãn đồng nhất thức nào<br /> đó.<br /> Khi xét đến các PI đại số, vấn đề đƣợc quan tâm chủ yếu trong luận án nàv là<br /> các radical. Chúng ta không chỉ xét đến các radical Tacobson mà còn định nghĩa và<br /> xem xét các lower nil radical, Levitzki nil radical, upper nil radical của các Pl-đại<br /> số.<br /> Với định nghĩa về các PI đại số thì các đại số giao hoán chẳng qua là Pl-đại số<br /> với một đồng nhất thức cụ thể. Các kết quả trên các đại số giao hoán là phong phú và<br /> dễ nhận biết, cho nên cách tiếp cận nhằm đạt đƣợc những kết quả cho một PI đại số<br /> tổng quát là bắt đầu với đại số giao hoán để rồi từ đó tiến hành tổng quát hóa.<br /> <br /> Vì PI đại số đƣợc xem nhƣ đại số thỏa mãn một đồng nhất thức, cho nên các kết quả<br /> về các radical của nó không chỉ từ lý thuyết về các đại số mà còn phải từ việc nghiên cứu các<br /> tính chất của các đồng nhất thức. Việc xét kỹ các tính chất cùa các đồng nhất thức trên các PI<br /> đại số cho thấy rằng có thể tiến hành "đa tuyến tính hóa" chúng, đƣa về việc xét các đồng<br /> nhất thức chuẩn tắc.<br /> Sự kết hợp giữa lý thuyết về các đại số với các kết quả về các đồng nhất thức trên các<br /> Pl-đại số cũng nhƣ việc xét chi tiết một số PI- đại số cụ thể nhƣ : đại số các ma trận vuông<br /> trêu một vành, đại số các đa thức một biến trên vành giao hoán . . . .v.v đã dẫn đến các kết<br /> quả trình bày trong bản luận án này.<br /> Luận án đƣợc chia thành hai phần:<br /> Phần I: Trình bày các kiến thức căn bản. Ngoài các khái niệm về các loại đại số, ideal<br /> và modun đƣợc dùng đến ƣong phần II, chúng tôi còn trình bày về các đồng nhất thức<br /> (identity) trên các đại số, về đa thức chuẩn tắc. Một số định lý quan trọng nhƣ định lý về trù<br /> mật đƣợc trình bày mà không chứng minh. Các phép chứng minh đó có thể tìm thấy trong<br /> [1].<br /> Phần II: Trong phần này, để xem xét các radical của các Pl-đại số, chúng tôi trình<br /> bày theo tuần tự nhƣ sau:<br /> A. Các radical của một đại số.<br /> B. Các PI-dại số.<br /> C. Các radical của đại số giao hoán. Với khái niệm các PI-đại số thì đại số<br /> giao hoán chỉ là một trƣờng hợp riêng. Vì vậy việc xem xét các radical của các PI đại số đƣợc<br /> bắt đầu với việc xét trƣờng hợp riêng này. Kết quả đƣợc chúng tối lƣu tâm tới để tiến hành<br /> tổng quát hóa là việc lower nil radical, Levitzki lùi radical và upper nil radicaỉ của các đại số<br /> giao hoán là trùng nhau<br /> <br /> D. Định lý Kaplansky-Amittsur-Levitzki. Việc sử dụng định lý KaplanskyAmitsur-Levitzki sẽ cho phép "đa tuyến tính hóa " các đồng nhất thức của các PI đại số. Đây<br /> là một trong những phƣơng pháp đƣợc chúng tôi dùng tới trong việc tổng quát hóa các kết<br /> quá vẻ các radical của đại số giao hoán cho các PI đại số bất kỳ.<br /> <br /> E. Các Pl-đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính qui mạnh. Việc xét các radical<br /> của các PI đại số thỏa mãn đồng nhất thức chính qui mạnh không chỉ là sự tổng quát hóa một<br /> bƣớc những kết quả đã đạt đƣợc về các radical của các đại số giao hoán mà còn là công cụ để<br /> <br /> tiếp tục tổng quát hóa.<br /> <br /> F. Các radical của các PI-đại số. Dựa trên tất cả các kết quả có đƣợc trong các phần<br /> trên, cuối cùng chúng ta chứng minh đƣợc rằng trong một PI-đại số bầt kỳ thì lower nil<br /> <br /> radical, Levitzki nil radical và upper nil radical là trùng nhau. Tuy nhiên chúng không luôn<br /> trùng với radical Jacobson. Ta có những phản ví dụ cho thấy điều trên. Bản luận văn còn cố<br /> gắng trình bày một số trƣờng hợp về các PI-đại số trong đó tất cả các radical của chúng là<br /> <br /> trùng nhau.<br /> <br />
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2