Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức và đồng nhất thức về tổng các hàm phần nguyên

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST

Báo xấu

39
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn nhằm trình bày một số kết quả nghiên cứu gần đây (xem Mircea Merca, Inequalities and Identities Involving Sums of Integer Functions, Journal of Integer Sequences, Vol. 14 (2011)) về một bài toán cổ điển liên quan đến công thức biểu diễn tổng các hàm phần nguyên. Trong bài báo đó, tác giả giới thiệu phương pháp tạo ra bất đẳng thức, một vài đồng nhất thức với tổng nâng lên lũy thừa hàm sàn, hàm trần và hàm tròn, đồng thời áp dụng phương pháp này vào dãy các số nguyên không âm, biến chúng được trở thành dãy có chu kỳ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức và đồng nhất thức về tổng các hàm phần nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ VĂN TRƯỜNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ĐỒNG NHẤT THỨC VỀ TỔNG CÁC HÀM PHẦN NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ VĂN TRƯỜNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀ ĐỒNG NHẤT THỨC VỀ TỔNG CÁC HÀM PHẦN NGUYÊN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. HÀ HUY KHOÁI Thái Nguyên, năm 2015
Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 HÀM PHẦN NGUYÊN VÀ MỘT SỐ HÀM LIÊN QUAN 5 1.1 Khái niệm về phần nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Tính chất của phần nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Hàm trần, Hàm sàn, Hàm tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 BIỂU DIỄN MỘT SỐ HÀM QUA HÀM PHẦN NGUYÊN 10 2.1 Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Các hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 ỨNG DỤNG HÀM PHẦN NGUYÊN VÀO VIỆC NGHIÊN CỨU CÁC DÃY SỐ NGUYÊN DƯƠNG 17 3.1 Tổng lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Lũy thừa các số nguyên dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4 Quan sát và giả thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1
Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Hà Huy Khoái. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, GS. TSKH. Hà Huy Khoái, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình và các bạn trong lớp Cao học Toán Lớp Q khóa 2013-2015, đã động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2015 Tác giả Lê Văn Trường Học viên Cao học Toán Lớp Q khóa 6/2013-6/2015, Trường ĐH Khoa học-ĐH Thái Nguyên 2
CÁC KÝ HIỆU Trong cuốn luận văn này chúng tôi sử dụng các ký hiệu sau: R: Tập các số thực. Q: Tập các số hữu tỷ. Z: Tập các số nguyên. N: Tập các số tự nhiên. [x]: Số làm tròn của x. ⌈x⌉: Trần của x. ⌊x⌋: Sàn của của x. 3
Mở đầu Luận văn nhằm trình bày một số kết quả nghiên cứu gần đây (xem Mircea Merca, Inequalities and Identities Involving Sums of Integer Functions, Journal of Integer Sequences, Vol. 14 (2011)) về một bài toán cổ điển liên quan đến công thức biểu diễn tổng các hàm phần nguyên. Trong bài báo đó, tác giả giới thiệu phương pháp tạo ra bất đẳng thức, một vài đồng nhất thức với tổng nâng lên lũy thừa hàm sàn, hàm trần và hàm tròn, đồng thời áp dụng phương pháp này vào dãy các số nguyên không âm, biến chúng được trở thành dãy có chu kỳ. Dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện luận văn này, nhưng với trình độ hạn chế cùng nhiều lý do khác, luận văn chắc chắn không tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định. Kính mong sự góp ý của các Thầy Cô để luận văn này được hoàn chỉnh và có nhiều ý nghĩa hơn. Bố cục của luận văn như sau: Chương 1: Hàm phần nguyên và một số hàm liên quan Chương 2: Biểu diễn hàm qua một số hàm phần nguyên Chương 3: Ứng dụng nghiên cứu các dãy số nguyên dương 4
Chương 1 HÀM PHẦN NGUYÊN VÀ MỘT SỐ HÀM LIÊN QUAN 1.1. Khái niệm về phần nguyên Định nghĩa 1.1 : Cho số thực x ∈ R. Số nguyên lớn nhất không vượt quá x được gọi là phần nguyên của x. Nhiều tài liệu còn gọi phần nguyên của x là sàn và kí hiệu phần nguyên của x là ⌊x⌋. Định nghĩa 1.2 : Cho một số thực x ∈ R. Số nguyên bé nhất không nhỏ hơn x được gọi là trần của x và kí hiệu là ⌈x⌉. Từ định nghĩa 1.1 và định nghĩa 1.2 ta suy ra: ⎧ ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ y ≤x
Ta biết rằng, với mỗi x ∈ R thì tồn tại số nguyên z ∈ Z sao cho z ≤ x < z + 1. Định nghĩa 1.4 : Số nguyên gần nhất với số thực x được kí hiệu là x] và [x] được gọi là số làm tròn của x. Khái niệm làm tròn số được sử dụng rộng rãi trong máy tính ngày nay. Để xác định, nếu có hai số nguyên cùng gần x nhất (nghĩa là khi x = z+0, 5 = (z+1)−0, 5 thì z và z+1 cùng có khoảng cách tới x bằng 0,5 (x−z = z+1−x = 0, 5) thì ta quy ước chọn số lớn, tức là nếu z ≤ x < z + 0, 5 thì (x) = z, còn nếu z + 0, 5 ≤ x ≤ z + 1 thì [x] = z + 1. 1.2. Tính chất của phần nguyên Từ các Định nghĩa 1.1 - Định nghĩa 1.4 ta đi đến các tính chất tuy đơn giản nhưng rất cơ bản và hay sử dụng sau đây của phần nguyên. Do khuôn khổ của luận văn này nên chúng tôi chỉ liệt kê các tính chất của phần nguyên mà không chứng minh. Tính chất 1.1 : Với mọi x ∈ R ta có: a) ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1 hay x − 1 < ⌊x⌋ ≤ x; b) ⌈x⌉ − 1 < x ≤ ⌈x⌉ hay x ≤ ⌈x⌉ < x + 1. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x là số nguyên. Tính chất 1.2 : x = ⌊x⌋ + {x} ; 0 ≤ {x} < 1; x = {x} ⇔ 0 ≤ x < 1. Hệ quả 1.1 : ⌊x + z⌋ = z thì z ∈ Z và 0 ≤ x < 1. Tính chất 1.3 : ⌊x + z⌋ = ⌊x⌋ + z; {x + z} = {x} với mọi z ∈ Z Đảo lại {x} = {y} thì y = x + z với z ∈ Z nào đó. Tính chất 1.4 : Nếu x ∈ Z thì ⌊x⌋ = x và {x} = 0. Ngược lại nếu ⌊x⌋ = x hoặc {x} = 0 thì x ∈ Z. Nếu x ∈ Q là số hữu tỉ nhưng không phải là số nguyên thì {x} cũng là một số hữu tỉ thuộc khoảng (0,1). Nếu x ∈ R là số vô tỉ thì {x} cũng là một số vô tỉ thuộc khoảng (0;1). Tính chất 1.5 : Phần dư, sàn và trần có tính chất lũy đẳng, tức là khi hai lần áp dụng phép toán thì kết quả không đổi: 6
{{x}} = {x} ; ⌊⌊x⌊⌋ = ⌊x⌋ và ⌈⌈x⌉⌉ = ⌈x⌉ với mọi x ∈ R. Tính chất 1.6 : Các phép toán giao hoán, kết hợp của phép toán cộng và phép toán nhân; phân phối giữa phép toán nhân và phép toán cộng vẫn đúng cho phần nguyên và phần dư. Tính chất 1.7 : Phép làm tròn số [x] thông thường như đã nêu trong định nghĩa 4 chính là phép lấy phần nguyên của x + 0, 5, tức là [x] = ⌊x + 0, 5⌋. Tính chất 1.8 : Nếu ⌊x⌋ = ⌊y⌋ thì ∣x − y∣ < 1 hay −1 < x − y < 1. Tính chất 1.9 : Nếu x ⩾ y thì ⌊x⌋ ⩾ ⌊x⌋ Đảo lại, nếu ⌊x⌋ > ⌊x⌋ thì x > y. Tính chất 1.10 : a) Cả hai số x và y là hai số nguyên khi và chỉ khi {x} + {y} = 0. b) Trong hai số x và y có một số nguyên và một số không phải nguyên thì: 0 < {x} + {y} < 1. c) Hai số x và y không nguyên có tổng x + y là một số nguyên khi và chỉ khi {x} + {y} = 1. Tính chất 1.11 : Với mọi x, y ∈ R ta có: {x + y} ≤ {x} + {y} ≤ {x + y} + 1; ⌊x⌋ + ⌊y⌋ ≤ ⌊x + y⌋ ≤ ⌊x⌋ + ⌊y⌋ + 1. Nhận xét: Tính chất 1.11 có thể phát biểu dưới dạng sau đây: ⎧ ⎪ ⎪ ⌊x⌋ + ⌊y⌋ khi 0 ≤ {x} + {y} < 1; a) ⌊x + y⌋ = ⎨ ⎪ ⎪ ⎩⌊x⌋ + ⌊y⌋ + 1 khi 1 ≤ {x} + {y} < 2. hoặc là: ⎧ ⎪ ⎪ ⌊x + y⌋ khi 0 ≤ {x} + {y} < 1; b) ⌊x⌋ + ⌊y⌋ = ⎨ . ⎪ ⎪ ⌊x + y⌋ − 1 khi 1 ≤ {x} + {y} < 2. ⎩ Hệ quả 1.2 : ⌊2x⌋ ≥ 2⌊x⌋ với mọi x ∈ R. Hệ quả 1.3 :⌊−x⌋ = −⌊x⌋ và {−x} = {x} = 0 nếu x ∈ Z; ⌊x⌋ + ⌊−x⌋ = −1 và {−x} = 1 − {x} nếu x ∉ Z. Hệ quả 1.4 :⌈x⌉ = −⌊−x⌋ với mọi x ∈ R. Tính chất 1.12 : Với mọi x và y là các số thực ta có: 7
⌊x⌋ + ⌊2y⌋ ≥ ⌊x⌋ + ⌊y⌋ + ⌊x + y⌋ ≥ 2(⌊x⌋ + ⌊y⌋) Tính chất 1.13 : Với mọi x ∈ R ta luôn có: 1 ⌊x + 21 ⌋ = ⌊2x⌋ và ⌊x + ⌋ = ⌊2x⌋ − ⌊x⌋. 2 Tính chất 1.14 : Với mọi số nguyên k ta luôn có:⌊ k2 ⌋ + ⌈ k2 ⌉ = k. Tính chất 1.15 : Nếu x, y là số thực và n là số nguyên sao cho y − x < 1 và x ≤ n ≤ y thì: ⌈x⌉ = ⌊y⌋ = n (1) Tính chất 1.16 : Mọi số nguyên m và mọi số nguyên dương n đồng nhất thức sau được dùng để chuyển sàn thành trần và ngược lại: m+n−1 ⌈m n ⌉ = ⌊ n ⌋ (2) Tính chất 1.17 : Khi m là số nguyên và n là số nguyên dương, thương của m chia cho n là ⌊ m n ⌋ và giá trị: m mod n=m − n ⌊ m n⌋ là số dư (hay thặng dư) của phép chia. 1.3. Hàm trần, Hàm sàn, Hàm tròn 1.3.1 Hàm trần Định nghĩa: Hàm số f ∶ R → Z, f (x) = ⌈x⌉ cho tương ứng mỗi số x ∈ R với trần ⌈x⌉ ∈ Z của nó được gọi là hàm trần. 1.3.2 Hàm sàn Định nghĩa: Hàm số f ∶ R → Z, f (x) = ⌊x⌋ cho tương ứng mỗi số x ∈ R với sàn ⌊x⌋ ∈ Z của nó được gọi là hàm sàn. 1.3.3 Hàm tròn 8
Định nghĩa: Hàm số f ∶ R → Z, f (x) = [x] từ tập số thực R vào tập số nguyên Z của tập số thực R tương ứng mỗi số nguyên gần nó nhất được gọi là hàm tròn. Nhận xét: a) Với mọi x ∈ R, ta có ⌊x⌋ = ⌊x + 21 ⌋ (3) b) Nếu x là số thực và n là số nguyên sao cho ∣x − n∣ < 1 2 thì: ⌊x⌋ = n (4) 9
Chương 2 BIỂU DIỄN MỘT SỐ HÀM QUA HÀM PHẦN NGUYÊN Cho a và b là hai số nguyên, n là một số tự nhiên. Nếu a và b có cùng số khi chia cho n ( nghĩa là nếu a − b) thì ta nói rằng a đồng dư môđun n và viết a ≡ b (mod n). Đây là một quan hệ tương đương trên tập số nguyên Z, gọi là quan hệ đồng dư modulo n, đồng thời a mod b là phép toán hai ngôi n trên Z. Trong chương 2 chúng tôi nghiên cứu tổng của ∑ f ( xmi ) trong đó m i=1 là số nguyên dương, (xn ) là dãy các số nguyên không âm sao cho tồn tại số nguyên dương p với xn+p ≡ xn (mod m) và f là hàm sàn hoặc là hàm trần hay là hàm tròn. Kết quả chính được đưa ra các biên trên và dưới đối với hiệu số n n giữa ∑ f ( xmi ) và một dạng thích hợp của ∑ xi m. Những kết quả này cho phép i=1 i =1 n thu được một vài bất đẳng thức và đồng nhất thức sâu hơn đối với ∑ f ( xmi ). i=1 Một trong những ứng dụng của các kết quả trong chương này là giải quyết được bài toán sau Bài toán Cho n là số nguyên không âm. Tìm dạng tường minh của tổng n 2 n 2 S1 (n) = ∑ ⌊ k12 ⌋ và S2 (n) = ∑ [ k12 ] k =0 k =0 trong đó ⌊x⌋ có nghĩa là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x và [x] có nghĩa là số nguyên gần nhất đến x, có nghĩa là [x] = ⌊x + 12 ⌋ 10
2.1. Kết quả chính Cho m và p là số nguyên dương và cho x = (x1 , x2 , x3 , ...) = (xn )n>0 là dãy số nguyên không âm. Kí hiệu M (m, n, x) là trung bình cộng sau: n M (m, n, x) = 1 n ∑ (xi mod m). i=1 Khi đó chúng tôi đưa ra các ký hiệu sau: n F (m, p, n, x) = 1 m ( ∑ xi − n.M (m, p, x)), i=1 G(m, p, n, x) = m (M (m, n, x) − M (m, p, x)), n L(m,p,x)=min{G(m, p, i, x)∣i = 1, ..., p}, R(m,p,x)=max{G(m, p, i, x)∣i = 1, ..., p}. Định lý 2.1 : Cho m và p là số nguyên dương và cho x = (x1 , x2 , x3 , ...) = (xn )n>0 là dãy số nguyên không âm, sao cho xn+p ≡ xn (mod m). Khi đó n L(m, p, x) ≤ F (m, p, n, x) − ∑ ⌊ xmi ⌋ ≤ R(m, p, x). (5) i =1 Chứng minh: Lấy ⌊ xmi ⌋ = xi m − xi modm m , i = 1, ..., n n n n ta có ∑ ⌊ xmi ⌋ = 1 m ( ∑ xi − ∑ (xi modm)). (6) i=1 i=1 i=1 Có thể viết n p nmodp ∑ (xi mod m)=⌊ np ⌋ ∑ (xi mod m) + ∑ (xi mod m) i=1 i=1 i=1 p nmodp =( np − nmodp p ) ∑ (xi mod m)+ ∑ (xi mod m) i=1 i=1 nmodp = (n − n mod p) M (m, p, x) + ∑ (xi mod m). (7) i=1 n Từ (6) và (7) ta được: ∑ ⌊ xmi ⌋ = F (m, p, n, x) − G1 (m, p, n, x), i=1 trong đó G1 (m, p, n, x) = m (M (m, nmodp, x) − M (m, p, x)). nmodp Lưu ý : G1 (m, p, n + p, x) = G1 (m, p, n, x) và G1 (m, p, i, x) = G(m, p, i, x), i = 1, ..., p 11
suy ra bất đẳng thức (5) được chứng minh. Định lý 2.2: Cho m và p là số nguyên dương và cho x = (x1 , x2 , x3 , ...) = (xn )n>0 và dãy y = (yn )n>0 là hai dãy số nguyên không âm, sao cho xn+p ≡ xn (mod m) và yn = xn + m − 1. Khi đó n L(m, p, y) ≤ F (m, p, n, y) − ∑ ⌈ xmi ⌉ ≤ R(m, p, y). (8) i=1 Chứng minh: Từ (2) ta suy ra: ⌈ xmi ⌉ = ⌊ m yi ⌋ , i = 1, ..., n. vì yn+p − yn = xn+p − xn và xn+p ≡ xn (mod m). Do đó, bất đẳng thức (8) là hệ quả của bất đẳng thức (5). Định lý 2.3 : Cho m và p là số nguyên dương và x = (xn )n>0 , z = (zn )n>0 là hai dãy các số nguyên không âm sao cho xn+p ≡ xn (mod m) và zn = 2xn + m. Khi đó n L(2m, p, z) ≤ F (2m, p, n, z) − ∑ [ xmi ] ≤ R(2m, p, z). (9) i=1 Chứng minh: Từ (3) ta suy ra [ xmi ] = ⌊ 2m zi ⌋ , i = 1, ..., n. Do zn+p − zn = 2(xn+p − xn ) và xn+p ≡ xn (mod m) nên 2m chia hết zn+p − zn . Từ đó zn+p ≡ zn (mod 2m). Suy ra, bất đẳng thức (9) là hệ quả của bất đẳng thức (5). Định lý được chứng minh. Lưu ý là để tính L(m, p, x) và R(m, p, x), chúng ta chỉ cần các số dư của phép chia cho m của p số hạng đầu dãy x = (xn )n>0 . Hơn nữa, để xác định F (m, p, n, x), chúng ta cũng cần đến tổng của n số hạng đầu dãy x = (xn )n>0 . n Nếu biết công thức tính tổng ∑ xi hoặc nếu biết phương pháp xác định i=1 nó, thì bất đẳng thức đã chứng minh cho phép chúng ta xấp xỉ các hàm n n n ∑ ⌊ xmi ⌋ , ∑ ⌈ xmi ⌉ hoặc là ∑ [ xmi ] , thậm chí đôi khi giúp chúng ta tìm ra công i=1 i =1 i=1 thức cho những tổng này. 12
2.2. Các hệ quả Hệ quả 2.1 : Cho m và p là các số nguyên dương, và x = (xn )n>0 là dãy các số nguyên không âm, sao cho xn+p ≡ xn (mod m). Khi đó ∣F (m, p, n, x) − R(m,p,x)+2 L(m,p,x) − ∑ ⌊ xmi ⌋ ∣ ≤ R(m,p,x)−L(m,p,x) n 2 , i =1 ∣F (m, p, n, y) − R(m,p,y)+2 L(m,p,y) − ∑ ⌈ xmi ⌉ ∣ ≤ R(m,p,y )−L(m,p,y ) n 2 , i =1 ∣F (2m, p, n, z) − R(2m,p,z)+2 L(2m,p,z) − ∑ [ xmi ] ∣ ≤ R(2m,p,z )−L(2m,p,z ) n 2 , i=1 trong đó y = (yn )n>0 = (xn + m − 1)n>0 , z = (zn )n>0 = (2xn + m)n>0 . Chứng minh: Nếu từ mỗi số hạng của bất đẳng thức (5), ta trừ đi đại lượng 2 (R(m, p, x) + L(m, p, x)), thì ta nhận được bất đẳng thức thứ nhất. Tương 1 tự, ta cũng thu được hai bất đẳng thức sau. Hệ quả 2.2 : Cho m và p là các số nguyên dương, và x = (xn )n>0 dãy các số nguyên không âm, sao cho xn+p ≡ xn (mod m). Khi đó n ⌈F (m, p, n, x) − R(m, p, x)⌉ ≤ ∑ ⌊ xmi ] ≤ ⌊F (m, p, n, x) − L(m, p, x)⌋, i=1 n ⌈F (m, p, n, y) − R(m, p, y)⌉ ≤ ∑ ⌈ xmi ⌉ ∣ ≤ ⌊F (m, p, n, y) − L(m, p, y)⌋, i=1 n ⌈F (2m, p, n, z) − R(2m, p, z)⌉ ≤ ∑ [ xmi ] ≤ ⌊F (2m, p, n, z) − L(2m, p, z)⌋, i=1 trong đó y = (yn )n>0 = (xn + m − 1)n>0 , z = (zn )n>0 = (2xn + m)n>0 . Chứng minh: Để thu được bất đẳng thức thứ nhất, chúng tôi trừ từ mỗi vế của bất đẳng thức (5) cho F (m, p, n, x), sau đó nhân các vế của bất đẳng thức n đó với -1 và cuối cùng chú ý rằng ∑ ⌊ xmi ⌋ là số nguyên không âm. Tương tự ta i=1 cũng thu được hai bất đẳng thức còn lại. Kết hợp (1) và (4) chúng ta có thể biến đổi các bất đẳng thức được thiết lập thành các các đồng nhất thức. Hệ quả 2.3 : Cho m và p là các số nguyên dương, và x = (xn )n>0 dãy các số nguyên không âm, sao cho xn+p ≡ xn (mod m) và R(m, p, x) − L(m, p, x) < 1. Khi đó 13
R(m,p,x)+L(m,p,x) n ∑ ⌊ xmi ⌋ = [F (m, p, n, x) − 2 ], i=1 n ∑ ⌊ xmi ⌋ = ⌊F (m, p, n, x) − L(m, p, x)⌋, i=1 n ∑ ⌊ xmi ⌋ = ⌈F (m, p, n, x) − R(m, p, x)⌉. i =1 Hệ quả 2.4 : Cho m và p là các số nguyên dương, và x = (xn )n>0 , y = (yn )n>0 dãy các số nguyên không âm, sao cho xn+p ≡ xn (mod m),yn = xn + m − 1 và R(m, p, y) − L(m, p, y) < 1. Khi đó R(m,p,y )+L(m,p,y ) n ∑ ⌈ xmi ⌉ = [F (m, p, n, y) − 2 ], i=1 n ∑ ⌈ xmi ⌉ = ⌊F (m, p, n, y) − L(m, p, y)⌋, i=1 n ∑ ⌈ xmi ⌉ = ⌈F (m, p, n, y) − R(m, p, y)⌉. i=1 Hệ quả 2.5 : Cho m và p là các số nguyên dương, và x = (xn )n>0 , z = (zn )n>0 dãy các số nguyên không âm, sao cho xn+p ≡ xn (mod m), zn = 2xn + m, R(2m, p, z) − L(2m, p, z) < 1. Khi đó R(2m,p,z )+L(2m,p,z ) n ∑ [ xmi ] = [F (2m, p, n, z) − 2 ], i=1 n ∑ [ xmi ] = ⌊F (2m, p, n, z) − L(2m, p, z)⌋, i=1 n ∑ [ xmi ] = ⌈F (2m, p, n, z) − R(2m, p, z)⌉. i=1 Hệ quả 2.6 : Cho m và p là các số nguyên dương, và x = (xn )n>0 dãy các số nguyên không âm, sao cho xn+p ≡ xn (mod m) và R(m, p, x), L(m, p, x) ∈ ( −21 ; 12 ). Khi đó n ∑ ⌊ xmi ⌋ = [F (m, p, n, x)]. i=1 14
Hệ quả 2.7 : Cho m và p là số nguyên dương và x = (xn )n>0 , y = (yn )n>0 dãy các số nguyên không âm, sao cho xn+p ≡ xn (mod m),yn = xn + m − 1 và R(m, p, y), L(m, p, y) ∈ ( −21 ; 21 ). Khi đó n ∑ ⌈ xmi ⌉ = [F (m, p, n, y)]. i=1 Hệ quả 2.8 : Cho m và p là các số nguyên dương, và x = (xn )n>0 , z = (zn )n>0 dãy các số nguyên không âm, sao cho xn+p ≡ xn (mod m),zn = 2xn + m và R(2m, p, y), L(2m, p, y) ∈ ( −21 ; 12 ). Khi đó n ∑ [ xmi ] = [F (2m, p, n, z)]. i =1 Bây giờ chúng tôi phân tích tính chất khác của tổng với hàm số nguyên Hệ quả 2.9 : Cho m và p là các số nguyên dương, và x = (xn )n>0 dãy các số nguyên không âm, sao cho xn+p ≡ xn (mod m) với mọi số nguyên dương n. Giả sử f là một trong những hàm sàn, hàm trần hay là hàm tròn. Khi đó n n−p p n n−p p ∑ f ( xmi ) − ∑ f ( xmi ) − ∑ f ( xmi ) = 1 m ( ∑ xi − ∑ xi − ∑ xi ). i =1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 Chứng minh: Dùng các ký hiệu từ phần chứng minh của Định lý 2.1 và quan hệ G1 (m, p, n, x) = G1 (m, p, n − p, x) ta viết n n−p n n−p ∑ ⌊ xmi ⌋− ∑ ⌊ xmi ⌋ = F (m, p, n, x)−F (m, p, n−p, x) = 1 m ( ∑ x − i ∑ xi −p.M (m, p, x)). i=1 i =1 i=1 i=1 p p m .M (m, p, x) = ∑ xi − ∑ ⌊ xmi ⌋ p 1 Do m i=1 i=1 n n−p p n n−p p suy ra ∑ ⌊ xmi ⌋ − ∑ ⌊ xmi ⌋ − ∑ ⌊ xmi ⌋ = 1 m ( ∑ xi − ∑ xi − ∑ xi ). i=1 i=1 i =1 i=1 i=1 i=1 Tương tự chúng ta chỉ ra rằng n n−p p n n−p p ∑ ⌈ xmi ⌉ − ∑ ⌈ xmi ⌉ − ∑ ⌈ xmi ⌉ = m ∑ (xi 1 ( + m − 1) − ∑ (xi + m − 1) − ∑ (xi + m − 1)). i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 và n n−p p n n−p p ∑ [ xmi ] − ∑ [ xmi ] − ∑ [ xmi ] = 1 2m ( ∑ (2xi + m) − ∑ (2xi + m) − ∑ (2xi + m)). i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i =1 n Hệ quả 2.9 cho khả năng mô tả tổng ∑ f ( xki ) qua các quan hệ truy i =1 hồi tuyến tính. Việc xác định hữu hiệu của quan hệ phép truy hồi này phụ n p thuộc tổng ∑ xi . Với các giá trị chính xác của m và p, tổng ∑ f ( xmi ) là hằng i=1 i=1 15
số, và có thể được xác định qua tính toán bằng số, nếu chúng ta không có công thức. Chẳng hạn nếu lần lượt kí hiệu an , bn , cn là tổng riêng của dãy (⌊ xmi ⌋)n>0 , (⌈ xmi ⌉)n>0 , ([ xmi ])n>0 . nghĩa là n n n an = ∑ ⌊ xmi ⌋, bn = ∑ ⌈ xmi ⌉, cn = ∑ [ xmi ] i=1 i=1 i=1 thì theo Hệ quả 2.9 chúng ta thu được quan hệ truy hồi sau: n n−p an = an−p + m1 ( ∑ xi − ∑ xi ) − mp M (m, p, x), i=1 i=1 n n−p bn = bn−p + m1 ( ∑ yi − ∑ yi ) − mp M (m, p, y), i=1 i=1 n n−p cn = cn−p + 2m 1 ( ∑ zi − ∑ zi ) − 2m p M (2m, p, z), i=1 i=1 trong đó y = (yn )n>0 = (xn + m − 1)n>0 , z = (zn )n>0 = (2xn + m)n>0 . Ta có thể xác định các hằng số M (m, p, x), L(m, p, x) và R(m, p, x) bằng cách dùng đại số máy tính. 16
Chương 3 ỨNG DỤNG HÀM PHẦN NGUYÊN VÀO VIỆC NGHIÊN CỨU CÁC DÃY SỐ NGUYÊN DƯƠNG Trong chương 3 này chúng tôi nói về các ứng dụng của các kết quả này đối với 3 dãy: xn = nk , xn = an và các số Fibonaci Fn (k và a là các số nguyên dương). Ví dụ trình bày trong phần này minh họa cách máy tính có thể dùng để khám phá ra bất đẳng thức hay đồng nhất thức toán học. Chẳng hạn: n 2k+1 n ∑[i 3 ] = [ 13 ∑ i2k+1 ] với mọi k ∈ N i=1 i=1 hay là n 2k+1 n ∑[i 4 ] = [ 14 ∑ i2k+1 ] với mọi k ∈ N i=1 i=1 đều được chứng minh bằng cách này. Chúng ta có thể áp dụng Định lý 2.1 cho dãy tuần hoàn bất kỳ môđun m. Có nhiều dãy có tính chất này. Ở đây chúng ta giới thiệu vài dãy. 3.1. Tổng lũy thừa Cho k là số nguyên dương. Công thức của Faulhaber, được đặt tên theo Joham Faulhaber [5], biểu thị tổng 17
n ∑ ik = 1k + 2k + 3k + ..... + nk i=1 như một hàm đa thức bậc (k + 1) của n, các hệ số chứa đựng các số Bernoulli, được viết là Bi . Công thức như sau n k +1 ∑ ik = ∑ bk,i ni . (10) i=1 i=1 trong đó (−1)k+1−i Bk+1−i ⎛k + 1 ⎞ bk,i = k +1 . ⎝ i ⎠ Cho số nguyên m tùy ý, m > 1, dãy x = (xn )n>0 , xn = nk (k ∈ N) có tính chất xn+m ≡ xn (mod m). Nếu f là một trong những hàm sàn, hàm trần hay hàm tròn thì theo Hệ quả 2.9 và công thức (10) ta thu được quan hệ truy hồi sau: n k n−m k m k k +1 ∑ f ( im ) − ∑ f ( im ) − ∑ f ( im ) − m1 ∑ bk,i (ni − (n − m)i − mi ) = 0. (11) i=1 i=1 i=1 i=2 Ví dụ 3.1: Từ k = 2 ta có: (−1)2+1−2 B2+1−2 ⎛2 + 1 ⎞ b2,2 = 2+1 = −B1 = 12 , ⎝ 2 ⎠ (−1)2+1−3 B2+1−3 ⎛2 + 1⎞ b2,3 = 2+1 = B0 = 13 . ⎝ 3 ⎠ 3 Ta có: 3 ∑ b2,i (ni − (n − m)i − mi ) i=1 = 21 (n2 − (n − m)2 − m2 ) + 31 (n3 − (n − m)3 − m3 ) =n.m − m2 − n2 .m − n.m2 = m(n − m) + m.n(n − m) = m(n + 1)(n − m). từ (11) ta thu được quan hệ sau an − an−m − am − (n + 1)(n − m) = 0. (12) Quan hệ này có thể trở thành truy hồi thuần nhất tuyến tính: 18