Luận án Thạc sỹ Khoa học: Về một số hướng mở rộng của định lý Wedderburn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH<br /> TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM<br /> KHOA TOÁN<br /> <br /> HUỲNH HUY VIỆT<br /> <br /> VỀ MỘT SỐ HƢỚNG MỞ RỘNG<br /> CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN<br /> LUẬN ÁN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ<br /> MÃ SỐ 1.01.03<br /> <br /> THÁNG 12 NĂM 1997<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH<br /> TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM<br /> KHOA TOÁN<br /> <br /> HUỲNH HUY VIỆT<br /> <br /> VỀ MỘT SỐ HƢỚNG MỞ RỘNG<br /> CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN<br /> LUẬN ÁN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ<br /> MÃ SỐ 1.01.03<br /> <br /> THÁNG 12 NĂM 1997<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH<br /> TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM<br /> KHOA TOÁN<br /> <br /> HUỲNH HUY VIỆT<br /> <br /> VỀ MỘT SỐ HƢỚNG MỞ RỘNG<br /> CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN<br /> LUẬN ÁN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> GIÁO SƢ HƢỚNG DẪN : PGS. PTS BÙI TƢỜNG<br /> TRÍ CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ<br /> MÃ SỐ 1.01.02<br /> <br /> THÁNG 12 NĂM 1997<br /> <br /> LỜI NÓI ĐẦU<br /> Vào năm 1905, Wedderburn J.H.M. đã chứng minh một định lý nổi tiếng: “Mọi thể hữu<br /> hạn là một trường” (A theorem on finite algebbras, Trans, Amer. Math. Soc. 6 (1905) 349 –<br /> 352). Sau kết quả quan trọng này, nhiều nhà toán học lớn trên thế giới đã phát triển và mở rộng<br /> định lý ấy theo nhiều hƣớng. Một trong những ngƣời có công lớn có thể kể đến là Z.N.<br /> Herstein, C.Taith, Rowen…, trong đó đặc biệt phải kể đến khái niệm: SIÊU TÂM<br /> (HYPERCENTER) của Z.N Herstein đƣợc trình bày vào năm 1975.<br /> Mục đích của luận văn này là trình bày một cách có hệ thống các hƣớng mở rộng đó và<br /> chứng minh lại một số vấn đề mà tác giả bỏ qua không chứng minh, đồng thời đƣa ra một số thí<br /> dụ và phản thí dụ để làm sáng tỏ hƣớng mở rộng đó. Luận văn một mặt sẽ trình bày lại toàn bộ<br /> kết quả của Herstein với phép chứng minh đầy đủ, tiến hành chứng minh chi tiết một số vấn đề<br /> mà Herstein đã bỏ qua (đƣợc in nghiêng trong luận văn), đồng thời nêu ra một số thí dụ và phản<br /> thí dụ, để thấy rõ ý nghĩa của sự mở rộng siêu tâm so với khái niệm tâm của một vành.<br /> Luận văn đƣợc chia làm ba phần:<br /> Phần I: Trình bày cơ sở lý luận của các vành không giao hoán.<br /> Các khái niệm cơ bản và lý thuyết cơ bản để chuẩn bị cho phần II và phần III nhƣ:<br /> Radiacal Jacobson của một vành, vành nửa đơn, vành nguyên thủy, vành nguyên tố,… các mối<br /> liên hệ giữa chúng.<br /> Phần II: Trình bày định lý Wedderburn và một số hƣớng mở rộng cổ điển từ định l ý<br /> ấy, các điều kiện đƣợc xét nhƣ là một tiêu chuẩn để một vành là vành giao hóa. Trong phần này<br /> ta đặc biệt chú ý đến các kỹ thuật chứng minh – cách đặt vấn đề - cách phân tích vấn đề và từng<br /> bƣớc giải quyết vấn đề: đi từ hẹp đến mở rộng dần.<br /> <br /> Phần III. Trình bày khái niệm siêu tâm của một vành Herstein và các kết quả cơ bản<br /> về siêu tâm. Đó là một mở rộng của khái niệm tâm của một vành. Ở đây Herstein đã định nghĩa<br /> siêu tâm và đã chứng minh đƣợc một số kết quả: ―Trong điều kiện nào thì siêu tâm sẽ trùng với<br /> tâm của một vành?‖ Ông đã đi đết kết quả cuối cùng : ―Trong một vành không có nil-ideal ta sẽ<br /> có siêu tâm trung với tâm‖<br /> Trong vấn dề này, tôi có xây dựng một ví dụ để chứng tỏ rằng : ―Trong một vành nil thì<br /> khái niệm siêu tâm thực sự khác với khái niệm tâm‖ Thí dụ cũng đã làm sáng tỏ vấn đề: ―Khái<br /> niệm siêu tâm là mở rộng thực sự khái niệm tâm‖ mà tôi chƣa tìm thấy đƣợc chứng minh của<br /> Herstein.<br /> Luận văn đƣợc hoàn thành phần lớn là nhờ sự hƣớng dẫn, giúp đỡ tận tình của thầy<br /> hƣớng dẫn của quý thầy Bùi Xuân Hải, Mỵ Vinh Quang và sự tạo điều kiện hết lòng của quý<br /> thầy cô Phòng nghiên cứu khoa học, cũng nhƣ Ban chủ nhiệm khoa Toán Trƣờng Đại học sƣ<br /> phạm Tp. Hồ Chí Minh. Nhân đây tôi xin kính bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy Bùi<br /> Tƣờng Trí và quý thầy cô đã giúp đỡ và tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành luận án này, xin cảm<br /> ơn quý bạn bè gần xa đã có những giây phút động viên quý báu và thiết thực.<br /> Do trình độ còn hạn chế, do lần đầu viết một luận án khá lớn, chắc chắn bài viết sẽ<br /> không tránh khỏi thiếu sót. Kính mong đƣợc sự hƣớng dẫn giúp đỡ của quý thầy cô và của các<br /> bạn.<br /> <br />