Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

53
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là tổng hợp và trình bày một số đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas. Ngoài ra, chúng tôi đã đưa ra phương pháp ứng dụng các đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas trong toán học phổ thông. Cụ thể là: Khi có một đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas, ta cho biến số nhận giá trị 1, thì ta có một hệ thức đối với dãy Fibonacci, dãy Lucas. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THU HẰNG ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA ĐA THỨC FIBONACCI, ĐA THỨC LUCAS VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THU HẰNG ĐỒNG NHẤT THỨC CỦA ĐA THỨC FIBONACCI, ĐA THỨC LUCAS VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. VŨ HOÀI AN Thái Nguyên - 2015
i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 1 Đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas 4 1.1 Dãy số Fibonacci, dãy số Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Định nghĩa và ví dụ dãy Fibonacci và dãy Lucas . . . 4 1.1.2 Một số tính chất của dãy Fibonacci và dãy Lucas . . 9 1.2 Đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas . . . . 11 2 Ứng dụng đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas đối với số nguyên 37 2.1 Các đồng nhất thức trong toán học phổ thông . . . . . . . . 37 2.2 Ứng dụng đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lu- cas đối với số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53
ii Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với TS. Vũ Hoài An, đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua. Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong Bộ môn Toán - Tin, Phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế , các bạn học viên lớp Cao học Toán K7D trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, 2015 Phạm Thu Hằng Học viên Cao học Toán K7D, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên
1 Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Dãy số Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử 0 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần tử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó. Hơn nữa, sau 4 số đầu tiên trong dãy, tỷ lệ của một số bất kỳ với số liền trước gần bằng 1,618. Đây là tỉ lệ vàng và được ứng dụng trong nhiều ngành khoa học và mỹ thuật. Dãy số Lucas khác dãy số Fibonacci ở hai phần tử thứ nhất và thứ hai, còn công thức truy hồi thì giống nhau. Do vậy, dãy số Lucas có những tính chất khác dãy số Fibonacci. Kí hiệu dãy số Fibonacci, dãy số Lucas lần lượt là Fn và Ln . Đa thức Fibonacci Fn (x) và đa thức Lucas Ln (x) được định nghĩa như sau: F0 (x) = 0, F1 (x) = 1 và Fn+1 (x) = x.Fn (x) + Fn−1 (x) với mọi n ≥ 1. L0 (x) = 2, L1 (x) = x và Ln+1 (x) = x.Ln (x) + Ln−1 (x) với mọi n ≥ 1. Nếu x = 1 thì Fn (1) = Fn và Ln (1) = Ln . Tìm hiểu, nghiên cứu Fn (x), Ln (x) là công việc có ý nghĩa. Chẳng hạn, nếu ta thiết lập được đồng nhất thức của Fn (x), Ln (x) thì ta thiết lập được đồng nhất thức của Fn , Ln . Mặt khác, đa thức Fn (x), Ln (x) sẽ có ứng dụng trong Toán học phổ thông: đây là chủ đề bồi dưỡng học sinh giỏi, nó xuất hiện nhiều trong báo Toán học Tuổi trẻ, trong các tài liệu toán nâng cao, trong các đề thi học sinh giỏi.
2 Trong [2], Nguyễn Thu Trang đã nghiên cứu số Fibonacci, dãy số Lucas. Sự liên hệ giữa phương trình Diophantine với dãy số Fibonacci, dãy số Lucas đã được đề cập trong [1]. Trong [5], Wang Ting Ting và Zhang Wenpeng đã thiết lập các đồng nhất thức chứa đa thức Fibonacci, đa thức Lucas và đưa ra các ứng dụng của nó. Các đồng nhất thức liên quan đến đạo hàm được trình bày trong [4]. Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi xem xét vấn đề: Đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas và ứng dụng. 2. Mục đích, nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu Mục đích của luận văn là tổng hợp và trình bày một số đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas trong , [3], [4] và [5]. Ngoài ra, chúng tôi đã đưa ra phương pháp ứng dụng các đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas trong toán học phổ thông. Cụ thể là: Khi có một đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas, ta cho biến số nhận giá trị 1, thì ta có một hệ thức đối với dãy Fibonacci, dãy Lucas. Hơn nữa, ta có thể thiết lập các đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas bằng cách kết hợp giữa các đẳng thức hoặc bất đẳng thức trong toán học phổ thông với các đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas đã có. Khi đó ta lại cho các biến nhận giá trị 1 và nhận được các hệ thức với dãy Fibonacci, dãy Lucas. 3. Nội dung nghiên cứu Luận văn trình bày các kết quả trong [4], [5] và ứng dụng của nó trong toán phổ thông. Cụ thể là: - Trình bày 24 định lý từ Định lý 1.2.1 đến Định lý 1.2.24; - Trình bày 10 ví dụ về đẳng thức và bất đẳng thức trong toán học phổ thông từ Ví dụ 2.1.1 đến Ví dụ 2.1.10; - Trình bày 10 ví dụ minh họa việc thiết lập các đồng nhất thức mới bằng cách kết hợp giữa các hệ thức của toán học phổ thông và các đồng nhất thức
3 của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas: từ Ví dụ 2.2.1 đến Ví dụ 2.2.10. - Trình bày Ví dụ 2.2.11, 2.2.12 minh họa cho phương pháp ứng dụng: khi có một đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas, ta cho biến nhận giá trị 1 thì nhận được đồng nhất thức đối với dãy Fibonacci, dãy Lucas. 4. Cấu trúc luận văn Luận văn được chia thành hai chương với nội dung chính như sau: Chương 1 trình bày đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas. Chương 2 trình bày ứng dụng đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas đối với số nguyên trong toán học phổ thông. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Phạm Thu Hằng Email: bongtombeo@gmail.com
4 Chương 1 Đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lucas Nội dung chủ yếu của Chương 1 trình bày các kết quả trong [4], [5] thông qua 24 định lý, từ Định lý 1.2.1 đến Định lý 1.2.24. Trước tiên chúng tôi nhắc lại dãy số Fibonacci, dãy số Lucas đã được đề cập trong [1], [2]. 1.1 Dãy số Fibonacci, dãy số Lucas 1.1.1 Định nghĩa và ví dụ dãy Fibonacci và dãy Lucas Định nghĩa 1.1.1. Dãy {Fn } các số Fibonacci được định nghĩa bởi hệ thức truy hồi sau Fn = Fn−1 + Fn−2 , n ≥ 2, (1.1) với các giá trị ban đầu F0 = 0, F1 = 1. Ví dụ 1.1.1. Theo định nghĩa, ta có dãy Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . . Ví dụ 1.1.2. Dãy số Fibonacci và quy luật tự nhiên: a) Sự sắp xếp các cánh hoa trên một bông hoa b) Số lượng các đường xoắn ốc (hoặc đường chéo)
5 Hình 1.1: Hoa một cánh. Hình 1.2: Hoa hai cánh. Hình 1.3: Hoa ba cánh. Hình 1.4: Hoa năm cánh. Hình 1.5: Hoa tám cánh. Hình 1.6: Hoa 13 cánh. Không chỉ ở số cánh hoa, dãy số Fibonacci còn hiện hữu một cách đáng ngạc nhiên hơn bạn nghĩ. Khi bạn quan sát nhị của bông hoa hướng dương, nhìn từ tâm ra, theo hai hướng cùng chiều và ngược chiều kim đồng hồ, bạn sẽ thấy các đường xoắn ốc. Và có một điều lạ là, số đường xoắn ốc đó luôn là một số thuộc dãy Fibonacci theo từng cặp: 21 và 34, hoặc 34, 55, hoặc 55, 89, hoặc 89 và 144.
6 Tương tự, khi bạn quan sát một hạt thông (nón thông): số đường xoắn ốc theo các hướng khác nhau luôn là các cặp số thuộc dãy số bí ẩn: 8 và 13; 5 và 8. . . Và cũng như vậy đối với quả dứa: số đường chéo tạo bởi các mắt dứa theo các hướng chéo nhau cũng lần lượt là 8 và 13 hoặc 13 và 21. . . .tùy kích thước. c) Sự mọc chồi của cây
7 Nhiều loài cây biểu hiện dãy số Fibonacci trong số lượng các “điểm phát triển” (nút) mà nó có. Khi một cây mọc cành non, thì cành đó phải lớn lên một thời gian, trước khi đủ khỏe để bản thân nó có thể sinh cành non mới. Nếu mỗi tháng cây mọc cành mới tại các nút ấy, thì chúng ta có hình vẽ minh họa như trên. Số lượng các nút mỗi thời điểm luôn là một con số Fibonacci. Một ví dụ: Cây Romanesque Brocolli / Súp lơ trắng (hoặc Romanesco) trông và có vị giống như lại giữa brocolli và súp lơ. Mỗi Hoa con đều giống hệt nhau nhưng nhỏ hơn. Điều này làm cho các xoắn ốc dễ nhìn thấy. d) Số Fibonacci và sự mọc của lá xanh từ thân cây Nhiều loài cây cũng có cách mọc lá tuân theo các số Fibonacci. Nếu chúng ta quan sát kỹ sẽ thấy lá cây mọc trên cao thường xếp sao cho không che khuất lá mọc dưới. Điều đó có nghĩa là mỗi lá đều được hưởng ánh sáng và nước mưa, cũng như nước mưa sẽ được hứng và chảy xuống rễ đầy đủ nhất dọc theo lá, cành và thân cây. Nếu từ một lá ngọn làm khởi đầu, xoay quanh thân cây từ trên xuống dưới, lá sang lá, đếm số vòng xoay đồng thời đếm số chiếc lá, cho đến khi gặp chiếc lá mọc đúng phía dưới lá khởi đầu, thì các số Fibonacci xuất hiện. Nếu chúng ta đếm xoay theo hướng ngược lại, thì sẽ được một con số vòng
8 xoay khác (ứng với cùng chừng ấy lá). Kỳ lạ là: Con số vòng xoay theo 2 hướng, cùng với số lá cây mà chúng ta gặp khi xoay, tất cả sẽ tạo thành 3 con số Fibonacci liên tiếp nhau! Ví dụ: Trong ảnh cây dưới, lấy lá (x) làm khởi điểm, ta có 3 vòng quay thuận chiều kim đồng hồ trước khi gặp lá (8) nằm đúng phía dưới lá (x), hoặc là 5 vòng nếu quay theo ngược chiều kim đồng hồ. Vượt qua tổng cộng 8 lá. 3, 5, 8 là 3 số liên tiếp trong dãy Fibonacci. Các chiếc lá được đánh số khi quay vòng quanh thân từ trên xuống dưới, bắt đầu từ (x) rồi đến 1,2,3,. . . Kinh ngạc thay, mỗi chiếc lá liền kề cách nhau khoảng 222.5, tức là chính xác 0,618 vòng tròn. 0,618 chính là 1/Φ ( khác với hoa hướng dương là 1 − 1/Φ). Chiếc lá (3) và (5) là những chiếc lá phía dưới gần lá khởi điểm (x) nhất, rồi xuống tiếp nữa là lá (8) rồi (13)
9 Lá số Số vòng quay Số vòng quay thuận chiều kim đồng hồ ngược chiều kim đồng hồ 3 1 2 5 2 3 8 3 5 13 4 8 Định luật này đúng cho cả các lá tiếp theo (21), (34). . . Trên các cột và các hàng đều là những con số liên tiếp thuộc dãy Fibonacci! Có nhà nghiên cứu ước đoán rằng: 90% các loài cây có sự xếp lá tuân theo dãy số Fibonacci, theo cách này hay cách khác. Định nghĩa 1.1.2. Dãy {Ln } các số Lucas định nghĩa bởi hệ thức truy hồi sau Ln = Ln−1 + Ln−2 , n ≥ 2, (1.2) với các giá trị ban đầu L0 = 2, L1 = 1. Ví dụ 1.1.3. Theo định nghĩa, ta có dãy Lucas: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, . . . 1.1.2 Một số tính chất của dãy Fibonacci và dãy Lucas Định lí 1.1.1. Với n ≥ 0, ta có n X a) Fi = Fn+2 − 1, i=0 Xn b) Li = Ln+2 − 1. i=0
10 Định lí 1.1.2. a) Tổng các số Fibonacci với chỉ số lẻ n−1 X F2i+1 = F2n . i=0 b) Tổng các số Fibonacci với chỉ số chẵn n X F2i = F2n+1 − 1. i=0 Định lí 1.1.3. a) Tổng các số Lucas với chỉ số lẻ n−1 X L2i+1 = L2n − 2. i=0 b) Tổng các số Lucas với chỉ số chẵn n X L2i = L2n+1 + 1. i=0 Định lí 1.1.4. n X a) iFi = nFn+2 − Fn+3 + 2, i=0 Xn b) iLi = nLn+2 − Ln+3 + 4. i=0 Định lí 1.1.5. n X a) Fi2 = Fn Fn+1 , i=0 Xn b) L2i = Ln Ln+1 + 2. i=0 Định lí 1.1.6 (Đẳng thức Cassini). Với n > 1, ta có a) Fn−1 Fn+1 − Fn2 = (−1)n , b) L2n − Ln−1 Ln+1 = 5(−1)n .
11 Định lí 1.1.7. Fn+m = Fn−1 Fm + Fn Fm+1 . Định lí 1.1.8 (Đẳng thức d’Ocagne). Fm Fn+1 − Fm+1 Fn = (−1)n Fm−n . Định lí 1.1.9. F2n = Fn (Fn−1 + Fn+1 ). Định lí 1.1.10. F2n+1 = Fn2 + Fn+1 2 . Định lí 1.1.11. 2 F2n+k = Fk Fn+1 + 2Fk−1 Fn+1 Fn + Fk−2 Fn2 . Định lí 1.1.12 (Đẳng thức Cassini). F3n = 2Fn3 + 3Fn Fn+1 Fn−1 = 5Fn3 + 3(−1)n Fn . Định lí 1.1.13. Với m ≥ 2, ta có Lmn+2n = Lmn L2n − Lmn−2n . Định lí 1.1.14. Với n ≥ 2 và m ≥ 0, ta có L4n+m − Lm = L2n L2n+m . 1.2 Đồng nhất thức của đa thức Fibonacci, đa thức Lu- cas Định nghĩa 1.2.1. Đa thức Fibonacci Fn (x) và đa thức Lucas Ln (x) được định nghĩa như sau: F0 (x) = 0, F1 (x) = 1 và Fn+1 (x) = xFn (x) + Fn−1 (x) (∀n ≥ 1); L0 (x) = 2, L1 (x) = x và Ln+1 (x) = xLn (x) + Ln−1 (x) (∀n ≥ 1);
12 Nếu x = 1 thì Fn (1) = Fn và Ln (1) = Ln . Trong [5], Wang Ting Ting và Zhang Wenpeng đã chứng minh hai định lý sau: Định lí 1.2.1. Với các số nguyên dương h và n bất kì, ta có các đồng nhất thức   h 1 (2n)! n F X 2n X 2n 4k(h+1) (x) (a) F2m+1 (x) = (h + 1) + ; m=0 (x2 + 4)n (n!)2 n−k F2k (x) k=1 h n (2n)! F (x) X X 2n n−k 4k(h+1) (b) L2n 2m+1 (x) = (h + 1)(−1)n 2 + (−1) ; m=0 (n!) n − k F 2k (x) k=1 h 1 n 2n + 1 F2(2k+1)(h+1) (x) X X 2n+1 (c) F2m+1 (x) = 2 + ; m=0 (x + 4)n n−k L2k+1 (x) k=0 h n L2(2k+1)(h+1) (x) X 2n+1 X 2n + 1 (d) F2m+1 (x) = (−1)n−k . m=0 n−k L2k+1 (x) k=0 Chứng minh. Đối với số nguyên dương n và số thực x 6= 0 bất kỳ, bằng cách sử dụng khai triển nhị thức !n n 1 X n n−2k x+ = x , x k k=0 ta có !2n n ! 1 (2n)! X 2n 1 x+ = 2 + x2k + 2k , (1.3) x (n!) n−k x k=1 !2n n ! 1 (2n)! X 2n 1 x− = (−1)n 2 + (−1)n−k x2k + 2k , (1.4) x (n!) n−k x k=1 !2n+1 n ! 1 X 2n + 1 1 x+ = x2k+1 + , (1.5) x n−k x2k+1 k=0
13 !2n+1 n ! 1 X 2n + 1 1 x− = (−1)n−k x2k+1 − 2k+1 . (1.6) x n−k x k=0 1 Bây giờ, trong (1.3), (1.4), (1.5), (1.6) ta lấy x = α2m+1 , khi đó = x −β 2m+1 . Từ định nghĩa của Fn (x) và Ln (x), ta có thể suy ra ngay các đồng nhất thức   1 (2n)! n X 2n 2n F2m+1 (x) =  + L2k(2m+1) (x) , (1.7) (x2 + 4)n (n!)2 n−k k=1 n (2n)! X 2n L2n 2m+1 (x) = (−1) n 2 + (−1)n−k F2k(2m+1) (x), (1.8) (n!) n−k k=1 n 1 X 2n + 1 2n+1 F2m+1 (x) = 2 F(2m+1)(2k+1) (x), (1.9) (x + 4)n n−k k=0 và n X 2n + 1 2n+1 L2m+1 (x) = (−1)n−k L(2m+1)(2k+1) (x). (1.10) n−k k=0 Với số nguyên h > 0 bất kỳ, trong (1.7) ta lấy tổng trên m   h 1 (2n)! X n X h X 2n 2n F2m+1 (x) = 2 n (h + 1) 2 + L2k(2m+1) (x) m=0 (x + 4) (n!) n − k m=0 k=1 2n α2k (α4k(h+1) − 1) β 2k (β 4k(h+1) − 1) " n !# h+1 (2n)! X n−k = + + (x2 + 4)n (n!)2 h+1 α4k−1 β 4k−1 k=1   2n n 4kh+2k 4kh+6k 4kh+2k 4kh+6k h+1 (2n)! X n−k α −α +β −β =  + . (x2 + 4)n (n!)2 h+1 2− α4k − β 4k k=1 (1.11)
14 Lưu ý rằng các đồng nhất thức α4kh+2k − α4kh+6k + β 4kh+2k − β 4kh+6k = −(α4kh+4k − β 4kh+4k )(α2k − β 2k ) = −(x2 + 4)F4kh+4k F2k . và 2 − α4k − β 4k = −(α2k − β 2k )2 = −(x2 + 4)F2k 2 , Từ (1.11) ta có thể suy ra ngay đồng nhất thức   h 1 (2n)! X n 2n F4k(h+1) (x) X 2n F2m+1 (x) = 2 n (h + 1) 2 + . m=0 (x + 4) (n!) n − k F 2k (x) k=1 Điều này chứng minh đồng nhất thức (a) của Định lý 1.2.1. Tương tự, từ công thức (1.8), (1.9) và (1.10) ta suy ra ba đồng nhất thức còn lại của Định lý 1.2.1. Định lí 1.2.2. Với các số nguyên dương h và n bất kì, ta có các đồng nhất thức h n (2n)! 2n F2k(2h+1) (x) − F2k (x) X X (A) L2n 2m (x) =h 2 + ; m=1 (n!) n − k F 2k (x) k=1 (−1)n h " X (2n)! 2n (B) F2m (x) = 2 h m=1 (x + 4)n (n!)2 n # X 2n F 2k(2h+1) (x) − F 2k (x) + (−1)n−k ; n−k F2k (x) k=1 h n L(2k+1)(2h+1) (x) − L2k+1 (x) X 2n+1 X 2n + 1 (C) F2m (x) = (−1)n−k ; m=1 n−k L2k+1 (x) k=0 Xh (D) L2n+1 2m (x) = m=1 1n F (x) − F2k+1 (x) X 2n + 1 n−k (2k+1)(2h+1) = 2 (−1) . (x + 4)n n−k L2k+1 (x) k=0
15 Chứng minh. Trong (1.3), (1.4), (1.5), (1.6) ta lấy x = α2m , ta suy ra các đồng nhất thức n (2n)! X 2n L2n 2m (x) = + L4km (x), (1.12) (n!)2 n−k k=1   1 n (2n)! 2n (−1)n X 2n F2m (x) = 2 n 2 + (−1)n−k L4km (x) , (x + 4) (n!) n−k k=1 (1.13) n X 2n + 1 L2n+1 2m (x) = L2m(2k+1) (x), (1.14) n−k k=0 và 1 n X 2n + 1 2n+1 L2m (x) = (−1)n−k F2m(2k+1) (x). (1.15) (x2 + 4)n n−k k=0 Từ công thức (1.12), ta có h n (2n)! X h X X 2n L2n 2m (x) =h 2 + (α4km + β 4km ) m=1 (n!) n − k m=1 k=1   n 4k(h+1) 4k 4k(h+1) 4k (2n)! X 2n α −α β −β =h +  +  (n!)2 n−k α4k − 1 β 4k − 1 k=1 n 4kh 4k(h+1) − 2 + α4k + β 4kh − β 4k(h+1) + β 4k (2n)!X 2n α − α =h + (n!)2 n−k 2 − α4k − β 4k k=1 (2n)!n 4kh+2k − β 4kh+2k )(α2k − β 2k ) − (α2k − β 2k )2 X 2n (α =h + (n!)2 n−k (α2k − β 2k )2 k=1 n (2n)! 2n F2k(2h+1) (x) − F2k (x) X =h + . (n!)2 n−k F2k (x) k=1 Điều này chứng minh đồng nhất thức (A) của Định lý 1.2.2.
16 Tương tự, từ công thức (1.13), (1.14) và (1.15) ta suy ra ba đồng nhất thức còn lại của Định lý 1.2.2. Bây giờ, chúng ta trình bày đa thức Fibonacci - Lucas tổng quát - dạng thứ nhất đã được đề cập trong [4]. Định nghĩa 1.2.2. Đa thức Fibonacci - Lucas tổng quát - dạng thứ nhất được định nghĩa bởi hệ thức bn (x) = xbn−1 (x) + bn−2 (x), n ≥ 2, với điều kiện b0 (x) = 2b và b1 (x) = s, ở đó b và s là các số nguyên. Ví dụ 1.2.1. b0 (x) = 2b, b1 (x) = s, b2 (x) = sx + 2b, b3 (x) = sx2 + 2bx + s. Chú ý: Cho b = 0, s = 1, ta có b0 (x) = 0, b1 (x) = 1. Khi đó bn (x) là đa thức Fibonacci. Cho b = 1, s = x, ta có b0 (x) = 2, b1 (x) = x. Khi đó bn (x) là đa thức Lucas. Nếu x = 1 thì bn (1) là dãy Fibonacci - Lucas tổng quát. Hàm tổng quát của đa thức Fibonacci là ∞ X Fn (x)tn = t(1 − xt − t2 )−1 . (1.16) n=0 Hàm tổng quát của đa thức Lucas là ∞ X Ln (x)tn = (2 − xt)(1 − xt − t2 )−1 . (1.17) n=0 Công thức tổng đối với đa thức Fibonacci là [X2 ] n−1 n−k−1 Fn (x) = xn−1−2k , (1.18) k k=0