ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Hoàng Ngọc Quang
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC
Chuyên Nghành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
MÃ SỐ: 60.46.40
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Ngọc
Thái Nguyên - 2011
Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Ngọc
Phản biện 1:.......................................................
....................................................................
Phản biện 2:.......................................................
....................................................................
Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên
Ngày .... tháng .... năm 2011
Có thể tìm hiểu tại
Thư viện Đại học Thái Nguyên
1
Mục lục
Mục lục ............................. 1
Mở đầu .............................. 3
Chương 1. Các bất đẳng thức trong tam giác và tứ giác 6
1.1. Các bất đẳng thức đại số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2. Các đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản trong tam giác . 8
1.2.1. Các đẳng thức cơ bản trong tam giác . . . . . . . 8
1.2.2. Các bất đẳng thức cơ bản trong tam giác . . . . . 10
1.3. Bất đẳng thức trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. Bất đẳng thức về độ dài các cạnh . . . . . . . . . 11
1.3.2. Bất đẳng thức về các đại lượng đặc biệt . . . . . 14
1.4. Các bất đẳng thức sinh ra từ các công thức hình học . . 17
1.5. Bất đẳng thức trong các tam giác đặc biệt . . . . . . . . 23
1.5.1. Các bất đẳng thức trong tam giác đều . . . . . . 23
1.5.2. Các bất đẳng thức trong tam giác vuông và tam
giáccân ....................... 27
1.6. Các bất đẳng thức khác trong tam giác . . . . . . . . . . 29
1.7. Các bất đẳng thức trong tứ giác . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7.1. Các bất đẳng thức cơ bản trong tứ giác . . . . . . 41
1.7.2. Các bất đẳng thức khác trong tứ giác . . . . . . . 45
Chương 2. Bất đẳng thức Ptolemy và các mở rộng 48
2.1. ĐịnhlíPtolemy....................... 48
2.2. Bất đẳng thức Ptolemy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3. Định lí Bretschneider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.4. ĐịnhlíCasey ........................ 63
2.5. Mở rộng bất đẳng thức Ptolemy trong không gian . . . . 68
2
Chương 3. Bất đẳng thức Erdos-Mordell và các mở rộng 70
3.1. Bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tam giác . . . . . . . 70
3.2. Bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tam giác mở rộng . . 79
3.3. Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tứ giác . . . 85
3.4. Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong đa giác . . . 87
3.5. Mở rộng bất đẳng thức Erdos-Mordell trong tứ diện . . . 90
Chương 4. Các bất đẳng thức có trọng 92
4.1. Bất đẳng thức dạng Hayashi và các hệ quả . . . . . . . . 92
4.1.1. Bất đẳng thức Hayashi . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.1.2. Các hệ quả của bất đẳng thức hyashi . . . . . . . 94
4.1.3. Bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2. Bất đẳng thức Weizenbock suy rộng và các hệ quả . . . 96
4.2.1. Bất đẳng thức Weizenbock suy rộng . . . . . . . 96
4.2.2. Các hệ quả của bất đẳng thức Weizenbock suy rộng101
4.3. Bất đẳng thức Klamkin và các hệ quả . . . . . . . . . . 105
4.3.1. Bất đẳng thức Klamkin . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3.2. Các hệ quả của bất đẳng thức Klamkin . . . . . . 106
4.4. Bất đẳng thức Jian Liu và các hệ quả . . . . . . . . . . 108
4.4.1. Bất đẳng thức Jian Liu . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.4.2. Các hệ quả của bất đẳng thức Jian Liu . . . . . . 110
Kết luận ............................. 116
Tài liệu tham khảo ....................... 117
3
Mở đầu
Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học thuộc loại những
bài toán khó, làm cho học sinh phổ thông, nhất là phổ thông cơ sở kể cả
học sinh giỏi lúng túng khi gặp các bài toán loại này. Thực sự nó là một
phần rất quan trọng của hình học và những kiến thức về bất đẳng thức
trong hình học cũng làm phong phú hơn phạm vi ứng dụng của toán
học. So với các bất đẳng thức đại số, các bất đẳng thức hình học chưa
được quan tâm nhiều. Một trong những nguyên nhân gây khó giải quyết
vấn đề này là vì phương pháp tiếp cận không phải là các phương pháp
thông thường hay được áp dụng trong hình học và càng không phải là
phương pháp đại số thuần túy. Để giải một bài toán về bất đẳng thức
hình học cần thiết phải biết vận dụng các kiến thức hình học và đại số
một cách thích hợp và nhạy bén.
Luận văn này giới thiệu một số bất đẳng thức hình học từ cơ bản
đến nâng cao và mở rộng. Các bài toán về bất đẳng thức hình học được
trình bày trong luận văn này có thể tạm phân thành các nhóm sau:
I. Nhóm các bài toán mà trong lời giải đòi hỏi nhất thiết phải có
hình vẽ. Phương pháp giải các bài toán nhóm này chủ yếu là "phương
pháp hình học", như vẽ thêm đường phụ, sử dụng tính chất giữa đường
vuông góc và đường xiên, giữa đường thẳng và đường gấp khúc, quan
hệ giữa các cạnh, giữa cạnh và góc trong một tam giác, hay tứ giác v.v..
Bất đẳng thức và cực trị trong hình học phẳng thuộc nhóm này là nội
dung thường gặp trong các kì thi chọn học sinh giỏi toán hay thi vào các
trường chuyên.
II. Nhóm thứ hai gồm các bài toán mà khi giải chúng cần phải sử
dụng các hệ thức lượng đã biết, như các hệ thức lượng giác, hệ thức
đường trung tuyến, đường phân giác, công thức các bán kính, công thức