Bài tập luyện thi Olympic Toán học lần thứ XVIII: Lượng giác và Hình học phẳng toàn miền Nam

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán

BÀI TẬP LUYỆN THI OLYMPIC TOÁN HỌC TOÀN MIỀN NAM LẦN THỨ XVIII

Chủ đề: LƯỢNG GIÁC- HÌNH HỌC PHẲNG

( VĂN PHÚ QUỐC- GV. TRƯỜNG ĐH QUẢNG NAM)

 lần lượt là hình chiếu của M trên các đường

 , A B C

 ,



. Gọi 1. Giả sử M là điểm nằm trong ABC

 . 3

BC CA AB . Chứng minh rằng:



MA   MB MC

MB    MC MA

MC   MA MB

  

  

  

  

  

  

thẳng





sin

   MAC MAB sin



HD:

 MB MC MB MC   MA MA

  MA



Ta có:

2sin



2sin

         MAB MAC MAB MAC .cos 2 2

A 2





MA   MB MC

1 2sin



Suy ra: .



MB    MC MA

1 2 sin

MC   MA MB

1 2sin

Chứng minh tương tự ta được: ; .









MA   MB MC

MB    MC MA

MC   MA MB

  

  

  

  

  

  

sin

A 2

B 2

C 2

  1 1  4 sin  

    

Khi đó: .





sin

A 2

B 2

C 2

B 2

A 2

C 2

sin

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

A 2

C 2

1  . 8

B 2

Ta có bất đẳng thức: sin







sin

A 2

B 2

C 2

1 8

  

  





Do đó: .



MA   MB MC

MB    MC MA

MC   MA MB

  

  

  

  

  

  

Vậy .

đều và M là trọng tâm tam giác này. Dấu "=" xảy ra  ABC

www.MATHVN.com

1 Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam



 ,

,A B C cắt đường tròn ngoại tiếp ABC



. Các đường phân giác xuất phát từ tại Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán  , A B C , 2. Cho ABC

AA BB CC

 .



1 6

2 R r

tương ứng. Chứng minh: .

HD:



ta có: Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác ABA C

AA BC AB A C AC A B .





 .

hay aAA cA C cA B 





 aAA







b c R



Do AA là tia phân giác BAC nên A là điểm chính giữa của cung BC .



 b c A C



 2 sin

A 2



 R b c



Suy ra: ( theo định lý sin)

  AA

sin

A 2



a  R a c



 R a b



 

sin

 

sin

B 2

C 2

38 R b c a c a b









Chứng minh tương tự ta được: ; .

AA BB CC

 .

 

sin

 abc

B 2

C 2

A 2



R

4 sin

sin

Khi đó:

AA BB CC

 .

 

2 R r

 b c a c a



 8 

A 2

B 2

C 2

Do nên . và 





  a b c





m m m b c

3 2

thỏa . Chứng minh rằng ít nhất một trong ba bất đẳng thức 3. Cho ABC



m a

a m , b

b m , c

3 2

sau xảy ra: .

HD:







m m m b c

3 2

Theo giả thiết: (1)

2 2 m m m b c

2 a

Đã biết:    a  b  c (2) 3 2 3 2 3 2                      







m m m m m m b a

3 2

Từ (1) và (2) suy ra: (3)



a .

b .

m m m b c

3 2

Bình phương hai vế của (3) ta được: (4)

c là 3 nghiệm của một phương trình bậc 3.

3 2

Từ (1), (3) và (4) suy ra:

www.MATHVN.com

2 Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán

   b c



3 2

Giả sử .

Ta có kết quả quen thuộc sau:   . m m m b



3 2

Từ các nhận xét trên dễ dàng suy ra: .

HAB HBC HCA lần lượt là:







S 1

có 3 góc nhọn với trực tâm H . Gọi diện tích các tam giác 4. Cho ABC





2 27

R r

, , đều . S S S . Chứng minh rằng ABC 1

HD:















S 1



 3

  S S 2 1 S S S 27 1 2

1 S S S 1 2 3

  

 3   

S 1

Ta có:



S S 3 .

 S

 S 1

( bất đẳng thức AM-GM).

 lần lượt là các chân đường cao.

 , A B C

 ,

sin

S 1

Gọi





 S

HB HB HA .  HA HB HB

cos A

B cos

cos

sin

 HAB   HAC HBA sin

S 3

S 1

Ta có: .



cos A

C cos

cos

 S

cos B

A cos

cos

 S 1

S 1

Chứng minh tương tự ta được: ; .

S S 3 .





cos



cos



cos

1 cos

8 

 S







 S 1

Khi đó:





R 4 r

sin

B 2

A 2

C 2







ABC

S 1 A B C

2 



  

Dấu "=" xảy ra đều.

,A B C là 3 góc của ABC

3 3



c os



c os



c os



5. Gọi . Chứng minh rằng:

A 2

B 2

C 2

3 4

  

  

     

  

  1  

   

www.MATHVN.com

3 Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán HD:





c os



c os



c os



c os



c os



c os

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

A 2

B 2

C 2

1 27

A 2

B 2

C 2

  

  

  

  

  



c os



c os

c

(1)

A 2

B 2

C 2

9 4



c os



c os



c os









Đã biết: (2)

C 2

1 27

9 4

3 4

B 2

A 2

  

  

  

  

  

  

3 3



  









Từ (1) và (2) suy ra: (3)

3 4

   1  

  

   

   

   

3 3





c os



c os



c os

Áp dụng bất đẳng thức Bernouli ta có: (4)

C 2

3 4

B 2

A 2

  

     

  

  

  1  

   





. Từ (3) và (4) suy ra:

m m m b c

R 9 2

. Chứng minh rằng: . 6. Cho ABC

sin



sin



C 

HD:

9 4

Đã biết: .











m a

m b

m c

2 2  m m a b

2 m c







3 4

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:



sin



sin



sin









2 9 . 4

R 9 2

 



   ,

 , 0



2 MA













B  M A C

 c a           

  

7. Chứng minh rằng: , .



ABC

HD:







Dựng điểm sao cho:  IA     IB  IC  0       IM MA     IM MB     IM MC       0

  MA

  MB

  MC

     



 





z ,



  I M      MA MB MC      I    M                          

     

   



   



Đặt .

www.MATHVN.com

4 Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

   xMA yMB   MC   

 2 z MC

 yzMBMC

 zxMAMC

 xyMAMB

2 y MB

2 2 





Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán Khi đó:   IM  IM x MA

2 x MA



2 y MB



2 z MC



2 xy MA MB







2 yz MB MC







2 zx MC MA

















IM  nên suy ra được điều phải chứng minh.

  .

Dấu "=" xảy ra M I



r .

m m m . b c

r r r . . a b c

. Chứng minh rằng: 8. Cho ABC



HD:



  p a r a

  p b r b

  p c r c

Ta có: .





 p b





  S

 p p a



 p c r r r r . . a

. b c

S r r r r . . a b

r r r r . . . a b c

Suy ra: (1)









 p p



 p p a



2 m a

 4

 b c a b c a 4

2 b  c  a  b c  a     Mặt khác:        a  . m a 4









 p p b



 p p c



Tương tự chứng minh được: ; .





 p c



S p

 p p p a





m m a b

m c

Suy ra: (2)



r .

m m m . b c

r r r . . a b c

Từ (1) và (2) suy ra: .

. Chứng minh rằng: . 9. Cho ABC 1 R 1  r 9 2 3 p

abc



R S 4 .



Rrp



 

b c





  p

HD: Ta có: .





3

27 2

 p a



 p c











 p b 3



 p b

 p c

 p p a





  

 3   







(1) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 

S p

3 3



r 3 3

Mà

Suy ra: (2) .

Từ (1) và (2) ta được: p  Rr   . 81 3 2 1 Rr 4 3 3 p 2

Lại áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:    3  1 R 1   r 1 R 1 r 2 1 r 2 1 Rr 4 9 3 p 2

www.MATHVN.com

5 Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

2012

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán

1R  sao cho:

 0

2012

  OA i

 1

2012

3 BA i



10.Cho 2012 điểm ,..., . Hãy xác A thuộc đường tròn tâm O bán kính A A , 1 2

 1 i 2012

4 BA i



 1

định vị trí điểm B thuộc mặt phẳng chứa đường tròn này sao cho: M  lớn nhất.

i 

HD: Với mọi

1, 2,..., 2012  BA i

2 i



2012

         ta có:    OA OB OA OB OA i i  i BA i      OA OB OA OA OBOA  i i i



2012



 2012 OB .



2012

BA i

 OA i



 1

Suy ra: .

i 

1, 2,..., 2012

B O 

 i  1  OA i

 BA   i

Dấu "=" xảy ra với mọi .

201



  ...

Không giảm tính tổng quát, giả sử:   ... BA . BA  1 BA 2



  ...

BA 1 3 A 1

BA 2 3 BA 2

2012 3 A 2012

  

2012

Áp dụng bất đẳng thức Trebưsep cho hai dãy đơn điệu tăng: ta được:

3 BA i

4 BA i



 1

  ...



BA 2

2012

 2012   M 1 BA i               

1M 



 

B O

BA  1   B O

Dấu "=" xảy ra . Vậy max





11. Trong tất cả các tứ giác lồi ABCD có chu vi bằng 1, tìm tứ giác sao cho biểu thức:

AB  AB BC

sin

BC  BC CD

sin

CD  CD DA

sin

DA  DA AB

sin

















đạt giá trị nhỏ nhất.

HD:





AB a BC b CD c DA d ,

 và



a  a b

b  b c

c  c d

d  d a

Đặt: .







 a b  a b

 b c  b c

 c d  c d

 d a  d a

 a b  a b

 b c  b c

 c d  c d

 d a  d a



 a b



 c d



Do nên .

 . 1















1 2



  .. .

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

     .Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:

1 4

P 

Dấu "=" xảy ra .



ABCD

1 16

1 4

Suy ra: . Dấu "=" xảy ra là hình vuông có cạnh bằng .

www.MATHVN.com

6 Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán

AB BD DC



 . Tìm AC ?

1 2

12. Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích bằng thỏa

HD:

 AB x BD y CD z

 . Khi đó:



   z 2



xy S ,



yz S ,





 y x

   z







ABD

BCD

ABCD

1 2

1   2

1 2



   





Giả sử







Nhưng .



  

z  và tất cả các



 y   



2 1

Suy ra: ;

D B

bất đẳng thức trở thành đẳng thức.

AB BD CD BD ,



Như vậy

Hạ AK vuông góc với đường thẳng CD .







2 1



2 1



Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AKC :









045









. Chứng minh rằng: . 13. Tam giác ABC có  C 

HD:







0 cos 45









2 2 a b



2 2







 ab b







 ab a





2 2 a b



2 2

 a b a

   b  

 

 

Áp dụng định lý hàm số cosin ta có:













   a











     

R  5 . Hai đường chéo của tứ giác vuông góc 14. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính

OK  . Gọi S là diện tích của tam giác KCD .Chứng minh: 1

S  .

với nhau tại K và

HD:



BD CE / / 2   KD

CBDE  2  AD BC



  KA



(1) Vẽ đường kính AE . Khi đó 2 2  KA KB KC Mặt khác, là hình thang cân, dẫn đến BC DE 2 AE

KA KC KB KD OK







2 AD DE  4 KC

 4 KD

Lại có: (2)









16 2 KC KD

  1 

  

Thay (2) vào (1) ta có:

www.MATHVN.com

7 Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam











KC KD .



16 2 S 4

16 S

16 2 KC KD

  

  

    

4 0



Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán

   4     S

     

KC KD KC KD

1 4

 

. 2 2 2

S S

15. Trong tứ giác lồi, tổng các bình phương các cạnh và đường chéo bằng m . Chứng minh rằng diện tích

m 8

của tứ giác không vượt quá .

HD: Theo điều kiện bài toán ta có:



ab S ,



 m a  b  c  d  e  f  2 ab  cd 2  f e 2



ABC

ACD

1 2



 ab cd

Và





1 2



sin



  S 2

Suy ra: .

1 2

Mặt khác .



 ab cd

  S 4



  

. Lại có: 2

m 8

Như vậy .

 p p a



  bc 4 16. Tính các góc của tam giác ABC biết rằng: .

sin sin   3

 3 2







 p p a



  1

    8sin  A 2 B 2 C 2 HD:



sin



  2

A 2

C 2

Điều kiện bài toán:

B 2 



  1 cos



  1

   sin    a b c b c a bc





cos

sin



( vì 0

     b c a bc 2 A     1   1  1 bc

A 2

3   4

2 2 3 8 2  bc 3 2



sin



sin

cos



cos

  2

1   4 A 2

B 2

C 2

1 2

A 2 A 2

 B C 2

  

A   2 2  B C   2 

). (3)

www.MATHVN.com

8 Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

 1 sin

 

sin







A 2

1 2

  

  

  

  

A 2 2

 

sin



sin



1 2

A 2

1 2

1 4

1 1   2 8

A 2

1 2

  

  

  

  

   

   

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 1 2

cos



 B C 2

 2 3



 sin sin sin   . Từ  3 ta suy ra: A 2 B 2 C 2 1   8 1 2 3 2 1 2 2 3 3 8        

" xảy ra khi và chỉ khi



 3

      B C  

     sin  

A 2

3 2

tan

A 

Dấu " .





 b c



2

8 15

17. Cho tam giác ABC thoả mãn điều kiện: . Chứng minh rằng: .





b c

sin

 A b





bc 2

cos

 A b



bc 2



HD:



2  

1 2



sin



bc 2



sin

cos



bc 4

sin

  1 cos



1 2

A 2



cos



4 sin



tan



A 2

1 4

A 2

Ta có:

2 tan 1 2 Từ đó ta có: tan A    . 8 15  1 tan 1  A 2 A 2 1 16 có 3 góc nhọn đến các cạnh BC, 18. Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ABC

a  c CA, AB. Chứng minh rằng: x  y  z  .  b 2 R







1 a

1 b

1 c

HD: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:





 ax by









1 a

1   b

1 c

1 a

1   b

abc R 2

1 a

1 c

  

  

ca    a c ==   ab bc R b R 2 2

1 c 19. Các đường phân giác

   bất kỳ cắt nhau tại điểm K . Chứng minh rằng:

AA BB CC

 ,

    ,





1     b   của ABC  KA AK

 KB BK

 KC CK

HD:

 KA  AK b c

a 



  

ac cx

  



Ta sẽ chứng minh: ?

 Đặt A B x

 

A C a x

  . Ta có:

x  a x

AB c AC b

ac  b c

www.MATHVN.com

9 Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam



Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán



 KB BK

 KC ; a c CK

b 

c  a b

 KA AK

 A B AB

x c

ac  b c c

a  b c

. Chứng minh tương tự ta được:





a  b c

b a c 

c a b 



 a

Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:



 b c a

p   a

 b c a

Áp dụng AM-GM ta có:

  a  b c a p



c 

p c

Chứng minh tương tự ta được:  ; . b  c b p

AA BB CC

 ,

 của ABC

a Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức này ta được điều phải chứng minh. 20. Các đường phân giác bất kỳ cắt nhau tại điểm K . Chứng minh rằng:





AK BK CK  AA BB CC

 3









HD:





AK BK CK  AA BB CC

   c a a b b c 3   a b c



ABC . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Dễ dàng chứng minh được: ;







MA MB MC b a

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta suy ra được đpcm. 21. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý trong mp 

HD:





















2 m a

m a









 b 2

 3

Ta có: .

. Gọi G là trọng tâm ABC









  MG GA GA



    MG GA GA

= Khi đó:



2

MA MA GA a

. aGA

3 3 2   b

2 3

  MA GA . 2 2   c b 2 3

Làm tương tự với



GA GB GC







MB MC ; b 3 3 2   b

GA GB GC







Suy ra:





1 3

Để ý rằng:

P  3 .

Suy ra:

www.MATHVN.com

10 Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán





2 r R

h b l b

h c l c

 p c



 p b

h a l 



 p p a







. Chứng minh rằng: . 22. Cho ABC

 bc p p a



h a

 p b

 b c

 a  p c

 p b



2 b c    p c

2 S a 





; Ta có:





 a

h a l

( bất đẳng thức AM-GM) Suy ra:

 a bc h c l

h b l b

 p b

 p c

 p a

 p c













Làm tương tự cho ? ;







 c

h a l

 a

 b

h b l b

h c l c

   

   

 p c

 p a

 p b

 p c

 p a

 p b

 p c



. Suy ra:













abc

 a

 b

 p c

 p a

 p b

 c 





Lại áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 







2 r R

h a l

abc

h c l c

h b l b

. Suy ra:

S p RS 4  AB BC CD DE EF FA

pr pR 4 







. 23. Cho lục giác lồi ABCDEF thỏa mãn:

BC DE FA  BE DA FC

3 2

Chứng minh rằng: .

 AC EF CE AF 

AE CF .







cCF



 AF a b



FA  FC a b

c 

HD: Áp dụng bất đẳng thức Ptôlêmê cho tứ giác ACEF, ta có:









Chứng minh tương tự cho ; ?

BC DE   BE DA FC b c

BC BE b  c a

c  a b

3 2

DE DA a  ( bất đẳng thức Nesbit)







Khi đó:

2 r a

2 r b

2 r c

2 m a

2 2  m m c b

. Chứng minh rằng: (1). Dấu "=" xảy ra khi nào?



 p c

 p p b



24. Cho ABC HD:





 p b

 p c



 p p a







  p a r a

  r a

  p a





Ta có:

2 2 m m m b c

2 a



 p c

 p a

 p b













Và .













3  4   p b  p a

  p c

3 4

  p b

  

  

(2) Khi đó:   1

www.MATHVN.com

11 Văn Phú Quốc, GV. Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán z    p y x . Đặt x   p a y ,   p b z , a   y z b ;   z x c ;   x y      p c 











(3) y  z  z  x  x  y z x     y  (2) thành:       yz z zx y xy z 3 4   

  3



