Mai Th Ánh_K36C SP Toán Tr ng Đ i H c S Ph m Hàị ườ ạ ọ ư ạ
N i 2ộ
Bài t p 42:ậ
Trong không gian afin An m t siêu m t b c hai (S) g i là siêu nón b c hai n u có th tìmộ ặ ậ ọ ậ ế ể
đ c m t m c tiêu afin {O, ượ ộ ụ
i
e
r
}ni=1 đ ph ng trình c a (S) có d ng: ể ươ ủ ạ
ij
, 1
n
i j
a
=
xixj = 0
Trong đó h ng c a ma tr n A=(ạ ủ ậ
ij
a
) là r, 0< r
n và A=A’.
a) ch ng minh r ng siêu nón h ng r là m t khái ni m afin.ứ ằ ạ ộ ệ
b) ch ng minh r ng n u đi m Mứ ằ ế ể
(S) thì đ ng th ng OM n m hoàn toàn trênườ ẳ ằ
(S) các đ ng th ng nh v y g i là đ ng sinh c a m t nón.ườ ẳ ư ậ ọ ườ ủ ặ
c) ch ng minh r ng đ i v i siêu nón (S) h ng r trong Aứ ằ ố ớ ạ n luôn có (n-r)-ph ng ẳ
α
n m trên (S), cái ph ng bé nh t đi qua ằ ẳ ấ
α
và M cũng n m trên (S). ph ng ằ ẳ
α
g iọ
là đ nh nón c a (S)ỉ ủ
Bài gi i:ả
a) xét bi n đ i afin:ế ổ
f
Af(A), f: O
O’,
:f
uur
i
e
ur a
'
i
e
ur
vì f(M)= M’
suy ra
1 1
f ( ) ' '
n n
i i i i
i i
x e x e O M
= =
= =
� �
r ur ur uuuuuur
v i ma tr n afin {O, ớ ậ
n
i=1
}
i
e
ur
và M(x1, x2, …, xn) đ i v i m c tiêu afin {O’, ố ớ ụ
' n
1
}
i
e
ur
và M’(x1,…,
xn) và M
( )S
ij
, 1
0, ( ) ( ')
n
i j
i j
a x x f S S
=
=�a
.
v i m c tiêu ớ ụ
{ }
'
',
i
O e
ur
thì (S’) có ph ng trình: ươ
ij
, 1
0
n
i j
i j
a x x
=
=
và rankA=r=rankA’,
0r n
<
hay (S’) cũng là m t siêu ph ng b c hai qua bi n đ i afinộ ẳ ậ ế ổ
b) (S) có ph ng trình: ươ
ij
, 1
0
n
i j
i j
a x x
=
=
suy ra O
(S)
ptrình đ ng th ng OM đi qua O(0, 0,…, 0) véc t ch ph ng ườ ẳ ơ ỉ ươ
1
( , , )
n
OM X X
uuuur
K
Mai Th Ánh_K36C SP Toán Tr ng Đ i H c S Ph m Hàị ườ ạ ọ ư ạ
N i 2ộ
suy ra OM:
1,
i i i
x x t
i n
=
=
N thu c đ ng th ng OM suy ra ộ ườ ẳ
ON tOM=
uuur uuuur
suy ra N(
1 1
,..., )
n n
t x t x
, i=
1,n
Thay to đ N vào ph ng trình siêu nón ta có:ạ ộ ươ
ij ij
i,j=1 , 1
0
n n
i i j j i j i j
i j
a t x t x a x x t t
=
� �
= =
� �
� �
� �
N (S) hay OM đ u thu c (S)ề ộ
Suy ra OM n m hoàn toàn trên (S)ằ
c) rankA=r nên trong A có r dòng đ c l p tuy n tính, không làm m t tính ch t t ng quát,ộ ậ ế ấ ấ ổ
gi s (n-r)-ph ng ả ử ẳ
α
có ph ng trình ươ
ij
1
0, 1, ,
n
j
j
a x i r r n
=
= =
( )
1
, , Ax=0 X (S)
t
n
X X X x
α
� � � �K
v y n m trong (S)ậ ằ
α
có ph ng ươ
α
ur
, g c Oố
α
, M
(S) và M
α
. g i ọ
β
là (r+1)-ph ng đi qua ẳ
α
và M. g iọ
OM
γ
=< >
r uuuur
N
'ON u tOM u OM
β
= + = +� � uuur r uuuur r uuuuur
vì đ ng th ng OMườ ẳ
(S) suy ra M’
( )
( )
1 1
( ). , , , , , , ,
N N
n n
S u u OP P p p N X X
α α
=� � �
r ur r uuur
K K
,
trong đó
( )
'
1
, 1, , ' ' , , '
N
i i i n
x p x i n M x x= + = K
xét
( )
( )
ij ij
, 1 , 1
' '
n n
N N
i j i i j j
i j i j
a x x a p x p x
= =
= + +
� �
=
' '
ij ij j ij
, 1 , 1 , 1
' ' ( )
n n n
i j i j i i j
i j i j i j
a p p a x x a x p x p
= = =
+ + +
� � �
=
' '
ij ij
, 1 , 1
0
n n
j i i j
i j i j
a x p a x p
= =
+ =
� �
Mai Th Ánh_K36C SP Toán Tr ng Đ i H c S Ph m Hàị ườ ạ ọ ư ạ
N i 2ộ
Vì:
'
ij
, 1
'
ji
, 1
0
0
n
i j
i j
n
i j
i j
a x p
a x p
=
=
=
=
Và A=A’ suy ra
β
(S).
Bài t p 43:ậ
Trong không gian afin
n
A
, siêu m t b c hai ặ ậ
( )S
g i là siêu m t tr b c haiọ ặ ụ ậ
n u có th tìm đ c m t m c tiêu afin ế ể ượ ộ ụ
{ }
1 2
, , ,...,
n
O e e e
uuruur uur
đ ph ng trình c a ể ươ ủ
( )S
có d ng:ạ
ij
, 1 , 1
2 0
m m
i j i i
i j i j
a x x a x
= =
+ =
� �
,
1m n <
(1)
G i ọ
β
ur
là không gian vect con c a ơ ủ
A
ur
sinh b i các vect ở ơ
1 2
, ,...,
m m n
e e e
+ +
uuur uuuur uur
.
a) Ch ng minh r ng n u đi m ứ ằ ế ể
( )M S
thì ph ng đi qua M có ph ng ẳ ươ
β
ur
cũng
n m trên ằ
( )S
. Ph ng đó g i là ph ng sinh c a m t tr .ẳ ọ ẳ ủ ặ ụ
b) G i ọ
α
là cái ph ng qua O và có ph ng ẳ ươ
α
ur
sinh b i các vect ở ơ
1 2
, ,...,
m
e e e
ur uur uur
.
Ch ng minh r ng giao c a ứ ằ ủ
( )S
v i ớ
α
là m t siêu m t b c hai c a ộ ặ ậ ủ
α
mà
ph ng trình c a nó đ i v i m c tiêu ươ ủ ố ớ ụ
{ }
1
, ,...,
m
O e e
uur uur
c a ủ
α
chính là (1). Siêu m tặ
đó g i là đáy c a siêu tr ọ ủ ụ
( )S
, ta kí hi u nó là ệ
( ')S
.
c) Ch ng minh r ng n u P : ứ ằ ế
n
A
α
là phép chi u song song lên ế
α
theo
ph ng ươ
β
ur
thì
( ) 'f S S=
.
Bài gi i:ả
a) V i m c tiêu (O; ớ ụ
1 2 1
, ,..., , ,...
m m n
e e e e e
+
ur uur uur uuur uur
), (S) có ph ng trìnhươ
ij
, 1 , 1
2 0
m m
i j i i
i j i j
a x x a x
= =
+ =
� �
Ta có
1 2
, ,..., ,
m m n
e e e
β
+ +
=
ur uuur uuuur uur
Mai Th Ánh_K36C SP Toán Tr ng Đ i H c S Ph m Hàị ườ ạ ọ ư ạ
N i 2ộ
Gi s ả ử
0 0 0
0 2
( , ,..., )
i n
M x x x
(S) và
β
là (n – m) – ph ng đi qua ẳ
0
M
có ph ng ươ
β
ur
.
1
( ,..., )
n
M x x
β
nên
0
1
n m
j m j
j
M M t e
−
+
=
=
uuuuuur uuuur
,
Suy ra
0
1 1
0
0
1 1 1
0
..........
............
m m
m m
n n n m
x x
x x
x x t
x x t
+ +
−
=
=
= +
= +
0 0 0
ij 0 ij 0
, 1 1 , 1 1
2 2 0
m m m m
i j i i i j i i
i j i i j i
a x x a x a a x x a x a
= = = =
+ + = + + =�� � � �
V y ậ
β
(S).
b)
{ }
1 2
( , ,..., ,0,...,0) ( )
m
M x x x S
α α
= I
là t p h p các đi m thu c ậ ợ ể ộ
α
th a mãnỏ
ij 0
, 1 , 1
2 0,
m m
i j i i
i j i j
a x x a x a
= =
+ + =
� �
Đó là siêu m t b c hai trong ặ ậ
( )
α
g i là ọ
( ').S
c) V i m c tiêu (O; ớ ụ
1 2 1
, ,..., , ,...
m m n
e e e e e
+
ur uur uur uuur uur
), đi m ể
1
( ,..., )
n
M x x
1 1 1
' ,
m n n
i i j j j j
i j m j m
OM x e x e OM x e
= = + = +
= + = +
� � �
uuuur ur uur uuuuur uur
' ,M
α
n u ế
( )M S� �
hình chi u c a M theo ế ủ
β
ur
lên
α
là
'M
rõ ràng
' ( ').M S
Bài t p 44ậ :
Tìm tâm và đi m kì d c a các siêu m t b c 2 có pt sau đây ( trong không gianể ị ủ ậ ậ
A3 ).
Mai Th Ánh_K36C SP Toán Tr ng Đ i H c S Ph m Hàị ườ ạ ọ ư ạ
N i 2ộ
a)
2 2
1 2 1 3 1 2
2 4 2 1 0x x x x x x
+ + + − + =
Đi m kì d là đi m v a ể ị ể ừ ∈ (S) v a là tâm c a (S)ừ ủ
Ta có
A=
1 0 1
0 1 0
1 0 0
� �
� �
� �
� �
� �
a=
2
1
0
� �
� �
−
� �
� �
� �
01a=
T a đ tâm Iọ ộ
( )
1 2 3
, ,x x x
là nghi m c a ph ng trình Ax+a=0ệ ủ ươ
1 3
1
2 2
3 1
2 0
1 0 1 2
0 1 0 1 0 1 0
1 0 0 0 0
x x
x
x x
x x
+ + =
� �
� � � �
� �
� � � �
+ − = − =�
� �
� � � �
� � � �
� � =
� � � �
� �
I
( )
0,1, 2
−
Thay t a đ I vào ph ng trình(S) ta đ c:0=0 (th a mãn) ọ ộ ươ ượ ỏ
đi m kì d I(0,1,-2)ể ị
b)
222
1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3
2 2 2 2 0x x x x x x x x x x x x
− − + + − + − + =
Ta có :
A=
1 1
22 2
11 1
2
11 1
2
� �
−
� �
� �
� �
−
� �
� �
� �
− −
� �
� �
a=
1
2
1
1
� �
� �
� �
−
� �
� �
� �
� �
T a đ tâm I(ọ ộ
1 2 3
, ,x x x
)là nghi m c a ph ng trình :Ax+a=0ệ ủ ươ
1
1 2 3
2
1 2 3
3
1 1
2 1
2 2 24 1
11 1 1 0 2 2 2
21
11 1
2
xx x x
xx x x
x
� �
−� �
� � � �
� �
� � + − = −
� �
� �
� �
− + − =
� �
� �
� � − + =
� � � �
� �
� � � �
� �
− − � �� �
� �
Ch n ọ
( )
2
1
3
1
0x t
x t
x t
= −
=��
=
ﾢ