Bài tập toán - Trường ĐH SP Hà Nội

Chia sẻ: Mai Thị Ánh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

876
lượt xem 72
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong không gian afin An một siêu mặt bậc hai (S) gọi là siêu nón bậc hai nếu có thể tìm được một mục tiêu afin {O, i er }n i=1 để phương trình của (S) có dạng:

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập toán - Trường ĐH SP Hà Nội

Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 Bài tập 42: Trong không gian afin An một siêu mặt bậc hai (S) gọi là siêu nón bậc hai nếu có thể tìm r được một mục tiêu afin {O, ei }ni=1 để phương trình của (S) có dạng: n aij xixj = 0 i , j =1 Trong đó hạng của ma trận A=( aij ) là r, 0< r n và A=A’. a) chứng minh rằng siêu nón hạng r là một khái niệm afin. b) chứng minh rằng nếu điểm M (S) thì đường thẳng OM nằm hoàn toàn trên (S) các đường thẳng như vậy gọi là đường sinh của mặt nón. c) chứng minh rằng đối với siêu nón (S) hạng r trong An luôn có (n-r)-phẳng α nằm trên (S), cái phẳng bé nhất đi qua α và M cũng nằm trên (S). phẳng α gọi là đỉnh nón của (S) Bài giải: a) xét biến đổi afin: ur uu u rr O’, f : ei a ei' f Af(A), f: O vì f(M)= M’ uuuu r ur rn u r u uuuuuu r r n n xi ei suy ra f (� i ei ) = � i ei = O ' M ' OM = x x i =1 i =1 i =1 ur un r với ma trận afin {O, ei }i=1 và M(x1, x2, …, xn) đối với mục tiêu afin {O’, ei' }1 và M’(x1,…, n n aij xi x j = 0, f ( S ) a ( S ') . xn) và M ( S ) � i , j =1 ur { } n aij xi x j = 0 và rankA=r=rankA’, 0 < r ' với mục tiêu O ', ei thì (S’) có phương trình: n i , j =1 hay (S’) cũng là một siêu phẳng bậc hai qua biến đổi afin n aij xi x j = 0 b) (S) có phương trình: i , j =1 suy ra O (S) uuuu r ptrình đường thẳng OM đi qua O(0, 0,…, 0) véc tơ chỉ phương OM ( X 1 ,K , X n )
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 xi = xi ti suy ra OM: i = 1, n uuur uuuu r N thuộc đường thẳng OM suy ra ON = tOM suy ra N( t1 x1 ,..., tn xn ) , i= 1, n Thay toạ độ N vào phương trình siêu nón ta có: �n � n � t xt x � = � aij xi x j �t j = 0 a ti ij i i j j �j =1 � i,j=1 i, N (S) hay OM đều thuộc (S) Suy ra OM nằm hoàn toàn trên (S) c) rankA=r nên trong A có r dòng độc lập tuyến tính, không làm mất tính chất tổng quát, n giả sử (n-r)-phẳng α có phương trình aij x j = 0, i = 1, r , r n j =1 X ( X 1 ,K , X n ) � � x t Ax=0 � X � α (S) vậy nằm trong (S) u r α có phương α , gốc O α , M (S) và M α . gọi β là (r+1)-phẳng đi qua α và M. gọi r uuuu r γ =< OM > uuu r uuuu r uuuur r r u N �β � ON = u + tOM = u + OM ' r u r uuu r r vì đường thẳng OM (S) suy ra M’ �( S ).u � , u = OP, P ( p1 ,K , pn ) � , N ( X 1 ,K , X n ) , α α N N trong đó xi = pi + xi , i = 1, n, M ' ( x '1 ,K , x 'n ) N ' xét n n �a ( p + x ' ) ( p + x'j ) �aij xiN x N = j ij i i j i , j =1 i , j =1 n n n = � ij pi p j + � ij xi ' x' j + � ij ( x j pi + xi p j ) a' ' a a i , j =1 i , j =1 i , j =1 n n = � ij x j pi + � ij xi p j = 0 a' a' i , j =1 i , j =1
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 n aij xi' p j = 0 i , j =1 Vì: n a ji xi' p j = 0 i , j =1 Và A=A’ suy ra β (S). Bài tập 43: Trong không gian afin An , siêu mặt bậc hai ( S ) gọi là siêu mặt trụ bậc hai uu ur ru ur u nếu có thể tìm được một mục tiêu afin { O, e1 ,e2 ,..., en } để phương trình của ( S ) có dạng: m m �aij xi x j + 2 �ai xi = 0 , 1 m < n (1) i , j =1 i , j =1 uuur uuuu r ur u u r u r Gọi β là không gian vectơ con của A sinh bởi các vectơ em+1 , em+ 2 ,..., en . u r a) Chứng minh rằng nếu điểm M (S ) thì phẳng đi qua M có phương β cũng nằm trên ( S ) . Phẳng đó gọi là phẳng sinh của mặt trụ. u ur ru uu r u r b) Gọi α là cái phẳng qua O và có phương α sinh bởi các vectơ e1 , e2 ,..., em . Chứng minh rằng giao của ( S ) với α là một siêu mặt bậc hai của α mà uu r uu r phương trình của nó đối với mục tiêu { O, e1 ,..., em } của α chính là (1). Siêu mặt đó gọi là đáy của siêu trụ ( S ) , ta kí hiệu nó là ( S ') . α là phép chiếu song song lên α theo c) Chứng minh rằng nếu P : An u r phương β thì f ( S ) = S ' . Bài giải: u ur ru uu uuur ur r u a) Với mục tiêu (O; e1 , e2 ,..., em , em+1 ,...en ), (S) có phương trình m m �aij xi x j + 2 �ai xi = 0 i , j =1 i , j =1 u r uuur uuuu r ur u Ta có β = em+1 , em + 2 ,..., en ,
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 u r (S) và β là (n – m) – phẳng đi qua M 0 có phương β . Giả sử M 0 ( xi0 , x2 ,..., xn0 ) 0 β nên M ( x1 ,..., xn ) uuuuur n −m uuuu u r M 0 M = t j em+ j , j =1 Suy ra x1 = x10 .......... xm = xm 0 xm +1 = xm +1 + t1 0 ............ xn = xn + tn −m 0 m m m m � � ij xi x j + 2� i xi + a0 = �aij xi0 x0j + 2� i xi0 + a0 = 0 a a a i , j =1 i =1 i , j =1 i =1 Vậy β (S). b) α = { M ( x1 , x2 ,..., xm , 0,..., 0)} ( S ) Iα là tập hợp các điểm thuộc α thỏa mãn m m �aij xi x j + 2 �ai xi + a0 = 0, i , j =1 i , j =1 Đó là siêu mặt bậc hai trong (α ) gọi là ( S '). u ur ru uu uuur ur r u c) Với mục tiêu (O; e1 , e2 ,..., em , em+1 ,...en ), điểm M ( x1 ,..., xn ) uuuu m u r r ur uuuur u u ur u n n OM = � i ei + �x e �x e , = OM ' + x jj j j i =1 j = m +1 j = m +1 u r M ' α , nếu M � S ) � hình chiếu của M theo β lên α là M ' rõ ràng ( M ' ( S '). Bài tập 44 : Tìm tâm và điểm kì dị của các siêu mật bậc 2 có pt sau đây ( trong không gian A3 ).
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 a) x12 + x22 + 2 x1x3 + 4 x1 − 2 x2 + 1 = 0 Điểm kì dị là điểm vừa ∈ (S) vừa là tâm của (S) Ta có � 0 1� 1 2 �� − a0 = 1 A= � 1 0 � 0 a= � 1� � 0 0� �� 1 0 � � �� Tọa độ tâm I ( x1, x2 , x3 ) là nghiệm của phương trình Ax+a=0 x1 + x3 + 2 = 0 � 0 1 � x1 � � � 1 2 � � �� 1 0 � x2 � � 1� 0 � x2 − 1 = 0 � +− = 0 � 0 0 �x � � � � x1 = 0 1 0 � � 3�� I ( 0,1, −2 ) Thay tọa độ I vào phương trình(S) ta được:0=0 (thỏa mãn) điểm kì dị I(0,1,-2) b) 2 x12 − x22 − x32 + x1 x2 + 2 x2 x3 − x1 x3 + x1 − 2 x2 + 2 x3 = 0 Ta có : 1 1� � −� �2 1 �� 2 2 �� 2 �� 1 A= � −1 1 � − a= � 1� �2 � �� 1 �1 �� 1 −1 � − � � �� 2 � Tọa độ tâm I( x1 , x2 , x3 )là nghiệm của phương trình :Ax+a=0 1 1� � −� �2 1 �� 2 2 � �� x1 � � 2 4 x1 + x2 − x3 = −1 � x � � 1� 0 �1 � −1 1 �2 � � � +− = �2 � x1 − 2 x2 + 2 x3 = 2 � �� x3 � 1 � �1 �� 1 −1 � − � � �� 2 � x = t −1 (t ) 2 Chọn x1 = 0 �� ﾢ x3 = t
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 tập hợp tâm I(0,t-1,t) (t ﾢ ) Thay tọa độ tâm I vào (S) ta được :1≠0 ( không thỏa mãn) siêu mặt bậc 2 không có điểm kì dị c) 2 x12 + x32 + 2 x1 x2 − 2 x1 x3 − 2 x1 − 4 x2 −1 = 0 Ta có � 1 −1 � − 2 �1 � � � �� − A= � 0 0 � 1 a= � 2 � �1 0 1 � �� − 0 � � �� Tọa độ tâm I( x1 , x2 , x3 ) là nghiệm của phương trình Ax+a=0 2 x1 + x2 − x3 − 1 = 0 � 1 −1� x1 � � 1 � − 2 � � �� 0 0 � x2 � � 2 � 0 � x1 − 2 = 0 � +− = 1 � 1 0 1 �x � � � � − − x1 + x3 = 0 0 � � 3�� 1 I( 2, , 2 ) 2 Thay tọa độ của I vào phương trình siêu mặt bậc hai ta được : -1≠0 I (S) Vậy siêu mặt bậc 2 không có điểm kì dị. Bài tập 46: Tìm phương tiệm cận và đường tiệm cận của các siêu phẳng bậc 2 trong A3: a) x1 + 2 x2 − x3 + 2 x1 x2 + 2 x3 − 2 = 0 . (S) 2 2 2 vt Av = 0 r Gọi v = (v1 , v2 , v3 ) là phương tiệm cận của (S) nếu r hay v #0 v12 + 2v2 − v3 + 2v1v2 = 0 2 2 v12 + v2 + v3 > 0 2 2 Gọi I(x1,x2,x3) là tâm của (S) nếu thỏa mãn Ax + a = 0
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 � 1 0 � x1 � �� ﾢ � ﾢﾢ0ﾢ � 1 0� �� ﾢ1 ﾢ0ﾢﾢ1 ﾢﾢﾢﾢﾢﾢﾢﾢﾢ1 2 0 ﾢﾢ x2 ﾢ + ﾢ0ﾢ =0 ﾢﾢﾢ Ta có A= ﾢ1 2 0 ﾢ và a= ﾢ0ﾢﾢﾢﾢﾢﾢﾢﾢ Ax + a = 0 hay ﾢﾢﾢﾢﾢﾢﾢﾢﾢﾢﾢﾢﾢ0 0 - 1ﾢﾢﾢﾢ1 ﾢﾢﾢﾢ0 0 - 1ﾢﾢ1 ﾢﾢﾢﾢﾢﾢﾢﾢﾢ �ﾢﾢﾢﾢ �ﾢﾢﾢ� ﾢ � x3 � ﾢ � � � � � � = 0� ﾢ x1 ﾢﾢ x1 + x2 = 0 ﾢﾢﾢ x = 0ﾢﾢ I (0, 0,1) ﾢﾢﾢﾢ2 ﾢ x + 2x = 0 ﾢﾢﾢﾢﾢ1 ﾢﾢ 2 ﾢﾢﾢ x3 = 1 � � ﾢ - x3 + 1 = 0 � ﾢ r Ta có phương trình đường thẳng D qua I=(0,0,1) có phương v = (v1 , v2 , v3 ) có ﾢ x1 = l v1 ﾢﾢ phương trình: ﾢ x2 = l v2 ﾢﾢﾢ x = 1+ l v �3 ﾢ 3 Thay ( x1, x2 , x3 ) vào (S) ta có : � l 2 (v12 + 2v22 - v32 + 2v1v2 ) - 1 = - 1# 0 Vậy V không cắt (S) suy ra V là đường tiệm cận của (S). b, x12 + 2 x22 + 2 x1 x2 - 4 x1 x2 + 2 x1 +1 = 0 (S) ﾢ c t + Ac = 0 r ﾢr r Gọi c = (c1, c2 , c3 ) là phương tiệm cận của (S).Thỏa mãn ﾢﾢc #0 ﾢﾢ c12 + c2 + 2c1c2 - 4c2 c3 = 0 2 ﾢ Hay ﾢ 2 2 2 ﾢ c1 + c2 + c3 > 0 ﾢ Tâm I là tâm của (S) sao cho.Thỏa mãn Ax+a=0 �1 0� �� ﾢ1 ﾢ1 ﾢﾢﾢﾢﾢﾢ1 2 - 2ﾢ và a = ﾢ 0ﾢﾢﾢ Xác định : A = ﾢﾢﾢﾢﾢﾢﾢﾢﾢ0 - 2 0 ﾢﾢ 0ﾢﾢﾢﾢﾢﾢ � � ��
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 ﾢ x1 =- 1 �1 0 �x1 � �� ﾢ x1 + x2 +1 = 0 1 1 � � �� ﾢ � � ﾢ � � �� 2 - 2�x2 � �� 0 � ﾢ x1 + 2 x2 - 2 x3 = 0 � ﾢ x = 0 ﾢﾢ � +0= � � �� 1 Ta có: � � ﾢ2 ﾢ � � �� - 2 0 �x � �� ﾢﾢ � � � 0� ﾢ - 2x ﾢ x =- 1/ 2 � � 0 � � 3 � �� 3 ﾢﾢﾢ 2 � I = (- 1, 0, - 1/ 2) �( S ) ﾢ I là điểm kỳ dị. r Ta có V là đường thẳng đi qua I (-1,0,-1/2) có phương tiệm cận c = (c1 , c2 , c3 ) có ﾢ x1 = - 1 + l c1 ﾢﾢ phương trình : ﾢ x2 = l c2 ﾢﾢﾢ x = - 1/ 2 + l c �3 ﾢ 3 Do I là điểm kỳ dị và I (S) ﾢ V cắt (S). Vậy V không phải là đường tiệm cận của (S). Bài tập 47: Chọn trên mỗi siêu mặt bậc bậc 2 của bài 46 1 điểm và viết phương trình siêu phẳng tiếp xúc với siêu mặt bậc 2 tại điểm đó. a) x12 + 2x 2 − x32 + 2x1 x2 + 2x 3 − 2 = 0 2 Chọn A(1,0,1) là điểm thuộc (S) không là điểm kì dị của (S) � 1 0� 1 0 �� Ta có: A = � 2 0 � a = �� 1 0 , � 0 −1� �� 0 1 � � �� Phương trình siêu phẳng tiếp xúc với (S) tại A là: ( x − b)t ( Ab + a ) = 0 với b=(1,0,1) � (bt A + a t )( x − b) = 0
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 � x1 − 1 � � � 1 0� 1 � � � ( 1,0,1) � 2 0 � (0,0,1) � x2 − 0 � 0 � � � + = �� 1 � � � 0 −1� � −1 � � � x3 � 0 � � � � � �1 − 1 � x � � � ( 1,1,0 ) � x2 � 0= � − 1� x �3 � � x1 + x2 − 1 = 0 Đây là phương trình siêu phẳng cần tìm. b) x12 + 2x 2 + 2x1 x2 − 4 x2 x3 + 2x1 + 1 = 0 2 Chọn A(-1,0,0) là điểm thuộc (S) không là điểm kì dị của (S) � 1 0� 1 1 �� Ta có: A = � 2 −2 � a = �� 1 0 , � −2 −0 � �� 0 0 � � �� Phương trình siêu phẳng tiếp xúc với (S) tại A là: ( x − b)t ( Ab + a ) = 0 với b=(-1,0,0) � (bt A + a t )( x − b) = 0 � x1 + 1� � � 1 0� 1 � � � � � � � � � 1,0,0 ) � 2 −2 � (1,0,0) � x2 � 0 (− + = 1 � � −2 0 � �x � � � 3� 0 � � � � � �1 + 1� x � � � ( 0, −1,0 ) � x2 � 0 = �x � �3 � � x2 = 0 Đây là phương trình siêu phẳng cần tìm. c) x12 + x 2 − 2 x32 − 2x1 x2 − 2 x1x 3 + 2 = 0 2 Chọn A(0,0,1) là điểm thuộc (S) không là điểm kì dị của (S)
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 � −1 −1 � 1 0 �� Ta có: A = � 1 1 0 � a = �� − 0 , � 1 0 −2 � �� − 0 � � �� Phương trình siêu phẳng tiếp xúc với (S) tại A là: ( x − b)t ( Ab + a ) = 0 với b=(0,0,1) � (bt A + a t )( x − b) = 0 � −1 −1 � � � x1 � 1 � � � ( 0,0,1) � 1 1 0 � (0,0,0) � x2 � 0 � � � − + = �� 1 0 −2 � � − 1� � � x3 � − � � � � � � x1 � � ( −1,0, 2 ) � x2 � 0 = � � � − 1� x �3 � � x1 + x3 − 2 = 0 Đây là phương trình siêu phẳng cần tìm. Bài tập 48: Trong A cho siêu mặt bậc 2 (S) có phương trình: x12 + 3 x2 + 2 x3 − 2 x1 x3 + 2 x1 + 4 x2 = 0 2 2 chứng minh rằng các tiếp tuyến của (S) đi qua điểm I(0;0;1) làm thành a) một siêu mặt bậc 2. Viết phương trình của siêu mặt đó chứng minh rằng các tiếp tuyến của (S) có phương (1;1;0)làm thành b) một siêu mặt bậc 2. Viết phương trình của siêu mặt đó. Bài giải: a) B( b1 , b2 , b3 ) ( S ) ,đường thẳngđi qua I(0,0,1) có phương trình x1 = tb1 x2 = tb2 x3 = 1 + (b3 − 1)t
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 Giao của đường thẳng với (S) nên ta có phương trình với nghiệm t như sau: (b1t ) 2 + 3(b2t ) 2 + 2 [ 1 + (b3 − 1) ] − 2b1t [ 1 + (b3 − 1)t ] + 2b1t + 4b2t = 0 2 � �2 + 3b2 + 2(b3 − 1) 2 − 2b1 (b3 − 1)t 2 � 4 [ (b3 − 1) + b2 ] t + 2 = 0 + 2 b1 � � Đường thẳng đó là tiếp tuyến thì có duy nhất nghiệm t=1: (−4b3 − 4b2 + 2)t 2 + 4(b3 + b2 − 1)t + 2 = 0 ∆ ' = 4(b3 + b2 − 1) 2 + 2 [ 4b2 + 4b3 − 2] = 0 � 4b22 − 4b32 + 8b2b3 − 8b2 − 83 + 4 + 8b2 + 8b3 − 4 = 0 � b2 + b3 = 0 Tập các tiếp tuyến tạo thành mặt nón đỉnh I, đường chuẩn (L) có phương trình: x12 + 3x2 + 2 x2 − 2 x1 x3 + 2 x1 + 4 x2 = 0 2 2 x2 + x3 = 0 r b) P( p1 , p2 , p3 ) ( S ), đường thẳng ∆ qua P và có phương c (1,1, 0) có phương trình: x1 = p1 + t x2 = P2 + t x3 = p3 Xét ( p1 + t ) 2 + 3( p2 + t ) 2 + 2( p3 + t ) 2 − 2( p1 + t ) p3 + 2( p1 + t ) + 4( p2 + t ) = 0 (1) r Vì c (1,1, 0) ì thỏa mãn điều kiện x12 + 3 x2 + 3 x3 − 2 x1 x2 2 2 0 Và ∆ là tiếp tuyến cua (S) nên (1) � p12 + 3 p2 + 2 p3 − p1 p3 + 2 p1 + 4 p2 + (2 p1 + 6 p2 + 4 p3 − 2 p3 + 2 + 4)t + 6t 2 = 0 2 2
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 Có nghiệm duy nhất t=0, tức là ta có : x12 + 3x2 + 2 x3 − 2 x1 x3 + 2 x1 + 4 x2 = 0 2 2 x1 + 3 x2 + x3 + 3 = 0 r Vậy tập hợp các tiếp tuyến của (S) co phương c (1,1, 0) là mặt trụ có đường chuẩn : x12 + 3x2 + 2 x3 − 2 x1 x3 + 2 x1 + 4 x2 = 0 2 2 x1 + 3 x2 + x3 + 3 = 0 r (đường sinh của mặt trụ có phương c (1,1, 0) . Bài tập 49: Trong A3 cho siêu mặt bậc hai(S) có phương trình: x12 − 2 x2 + x32 + 4 x1 x2 − 8 x1 x3 − 14 x1 − 14 x2 + 14 x3 − 11 = 0 2 Tìm tâm của (S) a) r r v = ( 1, 2,3) . Chứng tỏ rằng v không phải là phương tiệm Cho phương b) r v cận của (S). Viết phương trình siêu phẳng kính liên hợp với phương của (S) Cho điểm M0(1,-1,2) (S). Chứng tỏ rằng M0 không là điểm kì dị của (S) c) . Viết phương trình siêu tiếp diện của (S) tại điểm M0. Bài giải: Tìm tâm của (S) d) (S) có: 2 −4 � � 7 � − 1 � � � �� A = � −2 0 � a= � 7 � a0=-11 −, 2 , �4 0 1 � � � − 7 � ��
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 Gọi tâm I ( x1 , x2 , x3 ) là tâm của (S) thì tọa độ tâm I là nghiệm của hệ: 14 x1 = x1 + 2 x2 − 4 x3 − 7 = 0 13 −63 2 x1 − 2 x2 − 7 = 0 � x2 = 26 −4 x1 + x3 + 7 = 0 −35 x3 = 13 � − 63 − 35 � 14 Vậy tâm I có tọa độ là I � , , � � 26 13 � 13 r r v = ( 1, 2,3) . Chứng tỏ rằng v không phải là phương tiệm Cho phương e) r v cận của (S). Viết phương trình siêu phẳng kính liên hợp với phương của (S) r v 0 r v không phải là phương tiệm cận của (S) Ta có : nên t v Av 0 r v là: Phương trình siêu phẳng kính liên hợp với r v (Ax+a)=0
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 −4 �x1 �� −7 � �1 2 � � � � � � �� ( 1 3 ) �2 −2 x + −7 �= 2 0 � 2 �� 0 � � � 1 � 3 �� 4 7� − 0 x � � �� + 2 x2 − 4 x3 − 7 � x1 � � �( 1 2 3 ) � 2 x1 − 2 x2 −7 � 0 = � −4 x + x + 7 � � � 1 3 � 7 x1 + 2 x2 + x3 = 0 Vậy phương trinh cần tìm là: 7x1+2x2+x3=0 Cho điểm M0(1,-1,2) (S). Chứng tỏ rằng M0 không là điểm kì dị của (S) . Viết phương trình siêu tiếp diện của (S) tại điểm M0. Ta thấy M 0 ( 1, −1, 2 ) I M0 không là điểm kì dị của (S) . Phương trình siêu tiếp diện của (S) tại điểm M0 có dạng:
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 ( x − xM 0 )t ( AxM 0 + a) = 0 −4 � 1 � �7 � −� �1 2 � � � � � � �� ( x1 −1 x3 − 2 ) � 2 x2 +1 −2 0 �−1� �7 �= 0 +− � � � � �2 �� 4 7� − 0 1 � �� − �16 � �� ( x1 −1 x3 − 2 ) � 3 � 0 x2 +1 − = �5 � �� −16( x1 −1) − 3( x2 +1) + 5( x3 − 2) = 0 � −16 x1 − 3x2 + 5 x3 + 3 = 0 � 16 x1 + 3 x2 − 5 x3 − 3 = 0 Vậy phương trình siêu tiếp diện của (S) tại M0 là: 16x1+3x2-5x3-3=0 Bài tập 50: Trong A2 cho đường bậc hai ( S ) có phương trình: αβ ( α x1 + β x2 + γ ) + 2 ( Ax1 + Bx2 + C ) = 0 , 2 0. AB đối với mục tiêu đã cho. Chứng minh rằng: x12 + 2 x22 − x32 + 2 x1 x2 + 2 x3 − 2 = 0 a) ( S ) là đường cong parabol. b)Đường thẳng d có phương trình α x1 + β x2 + γ = 0 là một đường kính của ( S ) , xác định phương liên hợp với nó. c) Đường thẳng có phương trình Ax1 + Bx2 + C = 0 là tiếp tuyến của ( S ) tại giao điểm của d với ( S ) . Bài giải:
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 rr a) Với mục tiêu (O, e1,e2 ),(S) có phương trình : ( α x1 + β x2 + γ ) + 2 ( Ax1 + Bx2 + C ) = 0 2 (1) y2 = α x1 + β x2 + γ Đặt (*) y2 = − ( Ax1 + Bx2 + C ) y1 = 2y2 (2) là parabol. 2 (1) αβ rr 0 nên có phép biến đổi (*) từ (O, e1,e2 ) sang ( O , e1,e2 ) rr Do AB b) Với ( O , e1,e2 ) thì (S) có phương trình (2).Suy ra rr � 0� � � 1 0 A=� �a = � �a0 = 0 ; ; − � 0 � � 1� 0 r c(c1, c2 ) là phương tiệm cận � c1 = 0 c1 = α x1 + β x2 r rr c ( c1, c2 ) với ( O, e1, e2 ) c2 = Ac1 + Bc2 Với ( O , e1,e2 ) thì y1 = 0 là đường kính liên hợp với phương c ( c1, c2 ) rr r �1 0 � y1 � � � 0� � � Vì ( c1, c2 ) � �y � � � = 0 � y1 = 0 �+ � � −� �0 0 � 2 � � 1� � � � c2 = 0, c1 �0 rr r e1,e2 ), đường thẳng α x1 + β x2 + γ = 0 liên hợp với phương c(c1, c2 ) thỏa Với (O, mãn: α x1 + β x2 0 � Ac1 + Bc2 = 0 Ac1 + Bc2 = 0 Đường thẳng (d): Ax1 + Bx2 + C = 0 giao với (S) tại O ( y1, y2 ) mà y1 = 0, y2 = 0 r u ( c1, c2 ) là phương tiếp tuyến tại O � 0 �c1 � c 1 � �1 � � ( 0,0) � �c � ( 0, −1) � � 0 � c2 = 0 �+ = c � 0� 2 � 0 � �2 �
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 Phương trình tiếp tuyến tại O là y1 y2 = � y2 = 0 � A x1 + Bx2 + C = 0 . c1 c2 Bài tập 51: Xác định loại của siêu mặt bậc 2 trong Α3 a, x12 − x2 + x3 + 4 x1 x2 − 8 x1 x3 − 14 x1 − 14 x2 + 14 x3 + 18 = 0 2 2 � x12 + 2 x1 (2 x2 − 4 x3 − 7) + (2 x2 − 4 x3 − 7) 2 − (2 x2 − 4 x3 − 7) 2 − x2 + x3 − 14 x2 + 14 x3 + 18 = 0 2 2 � ( x1 + 2 x2 − 4 x3 − 7) 2 − 5 x2 − 15 x3 + 16 x2 x3 + 14 x2 − 42 x3 − 31 = 0 2 2 y1 = x1 + 2 x2 − 4 x3 + 7 Đổi tọa độ y2 = x2 y3 = x3 � y12 − 5 y2 − 15 y3 + 16 y2 y3 + 14 y2 − 42 y3 − 31 = 0 2 2 �2 7 �� 2 2 8 7�� 8 8 7� � � y − 5 �2 + 2 y2 � y3 + � � y3 + �� 5 � y3 + �− 15 y3 − 42 y3 − 31 = 0 + + 2 2 y 1 5 5�� 5 5 �� 5 5� � � 2 �8 7 � 11 2 98 106 � y12 − 5 � 2 + y3 + �− y3 − y3 − =0 y �5 5� 5 5 5 z1 = y1 8 7 Đổi tọa độ z2 = y2 + y3 + 5 5 z3 = y3 11 2 98 106 � z12 − 5 z2 − z3 − z3 − =0 2 5 5 5 11 �2 � �� 247 2 49 49 � z1 − 5 z2 − �3 − 2. z3 + � �� + =0 2 2 z 5� 11 � �� 11 11 2 11 � 49 � 247 � z − 5 z − �3 − �+ =0 2 2 z 1 2 5 � 11 � 11
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 t1 = z1 Đổi tọa độ t2 = z2 49 t3 = z3 − 11 11 2 247 � t12 − 5t2 − t3 + =0 2 5 11 11 2 55 2 121 2 �− t1 + t2 + t3 = 1 247 247 1235 11 X1 = t1 247 55 Đổi tọa độ X 2 = t2 247 121 X3 = t3 1235 phương trình của (S): − X 12 + X 22 + X 32 = 1 Vậy (S) là hypeboloit 1 tầng b, 2 x12 + 12 x1 x2 + 16 x2 + 5x1 x3 + 12 x2 x3 + 2 x3 + x1 + 4 x2 + 2 x3 = 0 2 2 �2 5 �� 2 2 5 �� 5� � � 2 �1 + 2 x1 �x2 + x3 � �x2 + x3 �� 2 �x2 + x3 �+ 16 x2 + 12 x2 x3 + 2 x3 + 4 x2 + 2 x3 = 0 +3 −3 2 2 x 3 4 �� 4 �� 4� � � 2 5 92 3 � � � 2 �1 + 3x2 + x3 + 1�− 2 x2 − x3 − 3 x2 x3 + x1 + x2 + y3 = 0 2 x 4 8 4 � � 5 y1 = x1 + 3 x2 + x3 4 Đổi tọa độ y2 = x2 y3 = x3
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 92 3 � 2 y12 − 2 y2 − y3 − 3 y2 y3 + y1 + y2 + y3 = 0 2 8 4 2 �3� 3 � 2 y + y1 − 2 � 2 + y3 �+ y2 + y3 = 0 2 y 1 �4� 4 z1 = y1 3 Đổi tọa độ z2 = y2 + y3 4 z3 = y3 � 2 z12 + z1 − 2 z2 + z2 = 0 2 2 2 � 1� � 1� � 2 �1 + �− 2 �2 − �= 0 z z � 4� � 4� 1 X 1 = z1 + 4 1 X 2 = z2 − Đổi tọa độ 4 X 3 = z3 Vậy (S) là cặp mặt phẳng cắt nhau c, x12 + 2 x1 x2 + x2 + x3 − 2 x1 − 2 x2 − 1 = 0 2 2 2 � �1 + ( x2 − 1) �+ ( x3 − 1) − 3 = 0 2 2 x � � y1 = x1 + x2 − 1 Đổi tọa độ y2 = x2 y3 = x3 − 1 1 1 Phương trình mới của (S): y12 + y32 = 3 � y12 + y32 = 1 3 3
Mai Thị Ánh_K36C SP Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 1 X1 = y1 3 1 Đổi tọa độ X 2 = y3 3 X 3 = y2 Phương trình của (S): X 12 + X 22 = 1 Vậy (S) là mặt trụ eliptric. Bài tập 52: Trong A3 cho siªu phẳng mặt bậc hai (S) x¸c định bởi phương tr×nh: -x12 – x22 –... – xk2 + x2k+1 +...+xn2 =1 Chøng minh r»ng nÕu k < n/2 th× (S) cã chøa nh÷ng m-ph¼ng víi m k a) nÕu k n/2 th× (S) cã chøa nh÷ng m-ph¼ng víi m n – k – 1 b) Bài giải: n a) Víi k < .XÐt 2 A= n−k x1 − xk +1 = 0 x2 − xk + 2 = 0 .................... xk − x2 k = 0 x2 k +1 = 1 x2 k + 2 = 0 ..................... xn = 0 (I)