Giải bài tập Toán cao cấp A1 - ĐH Nông Lâm
lượt xem 738
download
Tài liệu Giải bài tập Toán cao cấp A1 gồm bài tập và lời giải của các chương: Hàm số - Giới hạn – Liên tục; phép tính vi phân của hàm 1 biến; phép tính tích phân của hàm 1 biến; chuỗi số.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Giải bài tập Toán cao cấp A1 - ĐH Nông Lâm
- ĐẠI HỌC NÔNG LÂM KHOA KHOA HỌC --------------- --------------- GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP A1 death happiness Life time birth time BIÊN SOẠN: BBT ĐỀ THI NÔNG LÂM - LƯU HÀNH NỘI BỘ 2015 - --------------------------
- Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Câu 6. Tính các giới hạn sau n n 4. 3 4. 3 4 n 1 3 n 4.4 n 3 n 4.4 n 3 n 4 n 4 4 6 a). lim lim lim 4 x 2 2 n 3 n 1 lim x 3n lim x 3n x 4n 3n x 3n 4 n 4 n 1 n 1 n 3 3 3.4 3.4 2n 1 3 n 4 n 2 1 2n 1 3 n4 n2 1 6 b). lim lim lim x n 2 n 1 x n 2 n 1 x 1 1 1 n 2 n 3 n 2 3 lim n lim n n 1 1 2 lim 3 n 2 3 2 0 2 x 2 1 n n n1 x n1 x n n 6 c). lim x n3 n 3 1 n3 1 1 g : A B Ta có: A B , A B Áp dụng vào ta có: lim n3 n 3 1 n 3 1 lim n 3 2 lim x n 1 n 1 2 1 3 3 x x 1 1 1 3 1 3 n n n 1 2 n 1 2 n 1 n 1 2 n 6 d ). lim 2 lim 2 n lim 0 x 2n n 1 x n 2 1 1 x 2 n n 2 Có thể giải bằng tiêu chuẩn 2 (Định lý Weierstrass) 6 e). n 1sin n 2 0 lim x n2 2 g : Giới hạn đã cho có dạng: , Áp dụng Quy tắc L’Hospital ta có: n 1sin n 2 L n 1sin n 2 sin n 2 2n. cos n 2 n 1 lim lim lim x n2 2 x n 2 2 x 2n L lim 2n. cos n 2 2 cos n 2 n 1 4n 2 sin n 2 x 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 1 -
- Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 6 f ). lim x n 2 1 0 Do lim 2 1 x n Vì lim a 1 x n 6 g ). lim x n n 1 g : Cách 1: Mượn bàn tay của “LỐC” n 1 lim n 1 n 1 Đặt A lim n 0 x x Lấy Lô-ga Nepe 2 vế ta có: 1 ln n 1 ln( A) ln lim n 1 n lim ln n 1 lim 1 L x x n x n 1 ln n 1 n 1 1 xlim n lim x 1 lim x n 1 0, Vậy ln( A) 0 A 1 Cách 2: Với mọi giá trị: n 1 ta có: n n n n 1 n 2n Mà lim n 1 x n Trang 20 Giáo Trình Toán CC A1 ĐHNL Mặc khác ta có: lim 2 .lim n 1 lim 2 1;Và lim n 1 Mà n 2n lim n n Do n n x x x x x Vậy ta có Mà lim n 1 1 x n 1 1 1 1 1 6 h). lim 1.3 3.5 5.7 ... 2n 1)2n 1 2 x g : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 lim 1.3 3.5 5.7 ... 2n 1)2n 1 lim 2 n 1 2n 1 x x 2 3 3 5 1 1 1 1 lim x 2 2n 1 2 6 i). lim n x 3 1 n3 0 g : A3 B 3 Ta có Công thức liên hợp (hiệp): A B , Ta có: A 2 AB B 2 lim n 3 1 n3 lim n3 1 n3 0 x x 2 n n 3 1 n 3 3 1 n 3 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 2 -
- Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 1 1 1 6 j ). lim ... 1 x n 1 n2 2 n2 n 2 g : 1 1 1 lim 2 ... x n 1 2 2 n 2 n n 1 1 1 Với n 1 , Ta có: ... Cho nên: n2 1 n2 2 n2 n 1 1 n n n2 n n2 1 1 1 1 1 1 Mà lim lim 1 nên lim ... 1 x n2 n x n2 1 x n 1 2 n2 2 n2 n Câu 8. Tính các giới hạn sau 3n 8 a). lim 0 x n! g : Do: n! Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với 3 n khi n n3 8 b). lim 0 x 3n g : Cách 1: Do: 3 n Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với n 3 khi n Cách 2: Giới hạn đã cho có dạng , Dùng quy tắc L’Hospital ta có: n 3 L' 3n 2 L ' 6n L' 6 lim n 3 0 6 lim x 3n lim x 1.3 . ln 3 n lim n x 1.3 . ln 3 . ln 3 lim x 1.3 . ln 3 . ln 3 n 2 x 3 . ln 3 2n 8 c). lim 0 x n! g : Do: n! Là Vô cùng lớn (VCL) Bậc cao hơn so với 2 n khi n Câu 11. Tính các giới hạn sau x2 1 22 1 3 11 a). lim 2 1 x 2 x 2 x 3 2 2.2 3 3 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 3 -
- Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Do thế vào không có dạng vô định x2 2 x2 2 1 1 lim 2 11 b). lim lim x 2 x x 2 x 2 x 1 x 2 4 2 2 2 x 2 x 1 3 g : g cách 1: (Dùng ’Hosp tal) x 2 L' 2 lim x 2 2 lim 3 2x lim 2 1 1 lim x 2 x x 2 x 2 x 4 x 2 2 4 2 x 2 4 x 2 x x 2 2 x 1 3 g cách 2: (Phân tích thừa số khử) Ta thấy x 2 là nghiệm của tử và mẫu, vậy ta có: x2 2 x2 2 1 1 lim 2 lim x 2 4 2 lim x x 2 x 2 x 1 x 2 2 2 x 2 x 1 3 Do có dạng vô đinh nên phải tiến hành biến đổi rồi khi hết dạng ta mới thế giá trị vào 3 x6 2 11 c). limx 2 x3 8 g : g cách 1: 3 x6 2 x2 lim lim x 8 x 2 x 2 x 2 2 x 4 3 x 6 23 x 6 4 3 2 x 2 1 1 lim x 2 x 2 2 x 4 3 x 6 23 x 6 4 2 144 g cách 2: (Dùng ’Hosp tal) 3 x6 2 0 Nhận thấy lim có dạng vô định vậy có thể dùng được ’Hosp tal x 2 x 8 3 0 1 3 x 6 2 L 3 x6 2 3.3 x 6 2 1 / 12 1 lim lim lim x 8 x 3 8 3 2 x 2 x 2 x 2 3x 12 144 Với x 6 x 6 3 1/ 3 .x 6 .x 6 1 3 1 / 31 Công thức tổng quát: u .u .u 1 3 8 3x 2 0 11 d ). lim L x 0 4 16 5 x 2 0 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 4 -
- Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 1 1 / 3. 8 3x 1 / 31 .3 8 3x 2 / 3 3 8 3x 2 lim lim lim x 0 1 / 4 16 5 x x 0 5 / 4 16 5 x 1 / 4 1 3 / 4 .5 x 0 5 / 4. 1 4 16 5 x 3 4 4 16 5 x 3 4 4 16 3 8 lim . lim . x 0 5 3 8 3 x x 0 5 5 2 3 82 Câu 12. Tính các giới hạn sau sin ax sin bx 12 a). lim , a b x 0 tan x g cách 1: (Dùng ’Hosp tal) sin ax sin bx L cos ax .a cos bx .b a b lim x 0 tan x lim x 0 1 cos 2 x g cách 2a: dùng tương đương ax bx ax bx 2. cos . sin sin ax sin bx 2 2 lim lim x 0 tan x x 0 tan x ax bx ax bx Do lim tan x ~ x x 0 và lim sin x 0 2 ~ 2 Trở thành ax bx ax bx ax bx ax bx ax bx 2. cos . sin 2. . cos xa b cos 2 2 2 2 2 lim x 0 tan x lim x 0 x lim x 0 x ax bx ax bx lim a b . cos a b Vì lim cos 1 x 0 2 x 0 2 g cách 2b: dùng tương đương Ta có : sin u ~ u khi u 0 ; tan x ~ x khi x 0 , Vậy giới hạn đã cho trở thành sin ax sin bx ~ ax bx lim lim lim a b a b x 0 tan x x 0 x x 0 x2 x tan x sin x tan x1 cos x 2 1 12 b). lim 3 lim lim x 0 x x 0 x3 x 0 x 3 2 x2 Do tan x ~ x và 1 cos x ~ 2 x 12 c). lim 1 x tan 2 x 1 g cách 1: Đặt ẩn phụ Đặt t x 1 Khi x 1 thì t 0 Khi đó trở thành ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 5 -
- Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục cos 2 t lim t tan t 1 lim t cot t lim t cot t lim t t 0 2 t 0 2 t 0 2 t 0 sin 2 t Do sin t ~ t Khi t 0 2 2 cos 2 t cos 2 t cos 2 t cos 0 2 lim t lim t lim t 0 t 0 t t 0 sin 2 t t 2 2 2 x lim 1 x tan 2 2 Vậy x 1 g cách 2: (Biến đổ + Dùng ’Hosp tal) lim 1 x tan x 0. VĐ x 1 2 lim 1 x . 0. VĐ 1 x 1 x cot 2 lim 1 x 0 x 1 VĐ L' Hospital x 0 cot 2 L 1 2 lim x 1 1 2 x sin . 2 2 1 cos x. cos 2 x. cos 3x 1 1 cos x cos 3x . cos 3x 12 d ). lim lim 2 x 0 x2 x 0 x2 1 cos 2 x cos 4 x 1 cos 6 x 1 cos 2 x 1 1 cos 4 x 1 1 cos 6 x 1 1 1 1 lim 4 4 4 lim 4 4 4 2 2 x 0 x x 0 x 1 9 2 7 2 7 Câu 13. Tính các giới hạn sau 2 x 3 x 1 13 a). lim x x 2 g : ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 6 -
- Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Cách 1: Mượn bàn tay của “LỐC” 2 x 3 x 1 Đặt A lim 1 x x 2 Lấy Lô-ga Nepe 2 vế ta có: x 1 2 x 3 x 1 ln( A) ln lim lim 2 x 3 ln x x 2 x x 2 1 Đặt t ; Khi x , t 0 x Vậy ta có giới hạn đã cho tương đương với 1 1 t 1 x 1 2 t 2 3t t lim 2 x 3 ln x 2 lim t 3 ln 1 lim ln t 1 2t x t 0 t 0 2 t t 2 3t 1 t 2 3t 1 t 2 3t 1 t lim ln lim ln 1 1 lim 1 t 0 t 1 2t t 0 t 1 2t t 0 t 1 2t 2 3t 3t 6t 9t 2 0 lim lim L' Hospital t 0 t 1 2t t 0 t 2t 2 0 L' 6 18t lim 6 t 0 1 4t Vậy ln( A) 6 A e 6 Cách 2: Giải nhanh từ Công thức suy ra cách 1 như sau: lim x f x 1 lim f x e x x a eA x a Vậy áp dụng CT ta có: 2 x 3 x 1 6 x 9 2 x 3 1 x 1 lim x 2 lim x x 2 lim e x e e6 x x 2 x x2 x 1 13 b). lim x x 2 1 g : Áp dụng công thức như trên ta có: x x 2 x 1 x2 x x 1 2 lim x x 2 1 1 lim 2 x x 1 lim e x e e x x 2 1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 7 -
- Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục lim cos 2 x 1/ x2 13 c). x 0 g : Áp dụng công thức như câu trên ta có: 1 cos 2 x1 12 sin 2 x 1 2 sin2 x lim lim lim 2 2 2 x2 e e e 1/ x x 0 x x 0 x x 0 lim cos x0 2 x sin2 x 2 lim x 2 e x 0 e 2 Do Khi x 0 sin x ~ x ln cos x ln 1 cos x 1 cos x 1 x2 1 1 13 d ). lim 2 lim 2 lim 2 lim 2 lim x 0 x x 0 x x 0 x x 0 2 x x 0 2 2 x2 Do Khi x 0 ln 1 cos x 1 ~ cos x 1;Và cos x 1 ~ 2 e ax e bx 13 e). lim , a, b 0 và a b x 0 x g : e ax ebx e ax 1 1 e bx lim lim x x x 0 x x 0 Ta có: e ax 1 e ax 1 1 e bx 1 e bx lim a a b b x lim lim x lim và x 0 x 0 ax x 0 x 0 bx e ax e bx Vậy lim a b x 0 x 1 sin x cos x 1 lim sin xcos x1 lim f ). lim sin x cos x 1/ x e x 0 x e x 0 x x x0 Mà ta có: 2 2 sin x sin2 x sin2 x cos x 1 2 . x 0 Do 2 . 1 Và lim 1 Và lim lim x2 lim x2 lim x 0 x 0 x x 0 x x 0 x 0 x 0 2 2 Vậy lim sin x cos x 1/ x e x0 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 8 -
- Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục sin x sin x x sin x 13 g ). lim x 0 x g : sin x 1 x Xét lim lim , Do 1 0 x 0 x sin x x sin x x 0 1 sin x Giới hạn đã cho có dạng vô định: 1 , Ta có: sin x sin x x sin x x x 1 sin x xsin x lim xsin x lim x xsin x 1 e x 0 e x 0 e 1 x lim x0 x e Câu 14. Tính các giới hạn sau x 2 2x 3 14 a). limx 1 x2 1 g cách 1: Xét dấu Ta thực hiện xét dấu để “Phá dấu trị tuyệt đối” X -3 1 x2 +2x - 3 + 0 - 0 + Nhận xét: 1- giá trị của hàm số “âm” nên ta có: x 2 2x 3 lim x 2 2x 3 lim x 1x 3 lim x 3 2 lim x 1 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1x 1 x1 x 1 g cách 2: Biến đổi x 2x 3 2 x 1x 3 x 1. x 3 lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1x 1 2 x 1 x 1 Do x 1 nên x 1 âm x 1. x 3 x 3 4 lim lim 2 x 1 x 1x 1 x 1 x 1x 1 2 14 b). lim arctan x 2 x Dựa vào đồ thị của hàm arctanx ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 9 -
- Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục tan x 4 14 c). lim 4x x 4 g cách 1: Dùng định lý kẹp Chú ý: x Có nghĩa là x và x . Cho nên khi x thì x 0 4 4 4 4 4 Vậy ta có: tan x tan x . Khi đó giới hạn đã cho trở thành: 4 4 tan x tan x tan x 4 lim 1 4 1 ; Do 4 1 lim 4x 4 4 x x x x 4 4 4 4 g cách 2: (Dùng ’Hosp tal) tan x 4 0 lim VĐ L' Hospital 4x 0 x 4 g cách 3: (Đặt ẩn phụ + tương đương) t x khi x t 0 ( ngầm hiểu: x là x ) 4 4 4 4 tan x 4 tan t 0 lim lim VĐ 4x 4t 0 x x 4 4 ~ ~ lim t 4t lim t 4t Do t 0 x x 4 4 1 4 Câu 15. Tính các giới hạn sau 3 x 1 15 a). lim x 0 x g cách 1: 3 x 1 0 lim ,VĐ x 0 x 0 3 x . ln 3. 1 L 3 x . ln 3. . ln 3. . ln 3 . 2 x 1 1 1 1 lim lim x 0 1 x 0 2 2 x 2 0 2 g cách 2: ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 10 -
- Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 1 1 e x ln 3 1 ln 3 x ln 3 1 ln 3 x x 3 e3 e . lim lim lim Do 1, x 0 x x 0 x x ln 3 x 0 x x ln 3 x e 1 Công thức: lim 1 , ở bài này x ln 3 0 2 x cos x o 15 b). lim ,VĐ L' Hospital x 0 x 0 g : Bài này có 2 cách gi như sau: g cách 1: Sử dụng ’Hosp tal L 2 x . ln 2 sin x ln 2 1 g cách 2: Dùng tương đương 2 x cos x 2 x cos x 1 1 2 x 1 1 cos x lim x 0 x lim x 0 x lim x 0 x 2 x ~ x ln 2 2 x lim lim ln 2 ln 2 x 0 x x 0 2 Chú ý công thức: ax -1 ~ x.lna ; 1 – cosax ~ ax 2 2 x arcsin 1 x 0 2 15 c). lim ,VĐ x 0 ln 1 x 0 g : Bài này có 2 cách gi như sau: g cách 2: Dùng tương đương x x arcsin 1 x ~ 2 1 x2 1 lim lim lim 1 x 0 ln 1 x x 0 x x 0 1 x2 g cách 3: Sử dụng ’Hosp tal 1. 1 x 2 2 x 1 x2 x 1 x2 x 2 1 x 2 1 x2 L lim 1 x2 lim 1 x2 2 1 x . 1 x 2 x 0 1 x 0 1 lim x 0 1 1 x 1 x 1 x lim 1 x 1 x 2 x 1 . Cách này rất lâu và dễ sai xót. Vậy nên tùy bài toán mà ta nên lựa 1 x . 1 x x 0 2 2 chọn phương pháp phù hợp. ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 11 -
- Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục arctan x 2 0 15 d ). lim ,VĐ x 0 x 0 arcsin . sin 2 x 2 g cách 1: Dùng ’Hosp tal “Dà ” nên hạn chế gi i g cách 2: Dùng tương đương arctan x 2 ~ x2 x2 x2 lim lim lim lim 1 x 0 x x 0 x x 0 2 x 2 x 0 x 2 arcsin . sin 2 x .2 x 2 2 2 1 cos 2 x 0 15 e). lim 2 sin ,VĐ x 0 2 x 2 x. tan 3x 0 g cách 1: Dùng tương đương 2 x 2 ~ 2x 2 2x 2 1 lim 2 lim 2 x 0 2 x 2 2 x.3x lim x 0 2 x 6 x 2 2 x 0 8 x 4 g cách 2: Sử dụng ’Hosp tal (Cách này lâu ) 1 x 0 15 f ). lim ,VĐ L' Hospital x 1 lg x 0 L 1 lim ln 10 x 1 1 x. ln 10 Chú ý công thức: log a x 1 x. ln a arcsin 2 x 1 0 15 g ). lim ,VĐ x 1 4x 2 1 0 2 g : Đặt ẩn phụ + Dùng tương đương Đặt t 2 x 1 Khi x 1 / 2, t 0 ; 4 x 2 1 2 x 1 2 x 12 x 1 2 x 1 12 x 1 t 1.t 2 Vậy ta có: arcsin 2 x 1 arcsin t ~ t 1 lim1 4 x 2 1 lim lim lim 1 x t 0 t 1.t t 0 t 1.t t 0 t 1 2 15 h). lim x . ln x 0 1 1 x 1 x x 0 x 1 x 0 1 1 x 2 1 2 lim ln 1 x ln 1 x lim ln 1 x ln 1 x ln 1 x ln 1 x x x 2x xlim 0 2x lim x 0 2x lim x 0 2x 1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 12 -
- Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục lim sin x cos x 2 x 1 1 15 j ). VĐ x 0 g : Đặt A lim sin x cos x 2 x 1 1 VĐ x 0 Lấy Lô-ga Nepe 2 vế ta có: 1 ln sin x cos x 2 0 ln( A) ln lim sin x cos x 2 x lim ln sin x cos x 2 lim 1 L x0 x x x0 x 0 Đến đây có 2 cách g i: Cách 1: Dùng Quy tắc L’Hospital (Sẽ ra nhưng lâu) cos x sin x ln sin x cos x 2 lim sin x cos x 2 lim L' cos x sin x cos x 1 1 sin x xlim lim 0 x x 0 1 x0 sin x cos x 2 x0 sin x 1 cos x 1 2 x 1 x xlim 0 2 x2 1 x 1 2 Vậy ln( A) 1 A e Cách 2: Dùng tương đương x2 x ln sin x cos x 2 sin x cos x 1 2 x lim lim lim lim 1 1 x 0 x x 0 x x 0 x x 0 2 Vậy ln( A) 1 A e lim x e 1 x x 0 15 k ). VĐ x g a. Các kiến thức cần nhớ 1 1 Nhớ e 0 Dạng đặc trưng : limux lũy thừa cơ số hàm : v x b. Trình tự cách gi i: * B1: Đặt A limux , Tìm A v x * B2: Lấy Loga Nepe 2 vế (Nhớ câu “thần chú”: “lốc của lim = lim của lốc” ) ln A ln limux v x lim lnux v x lim vx . lnux ...... b ( Chú ý trong dấu “….” Tức là biến đổi 1 thời gian để đưa về “=b” ) Vậy ln A b A e b ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 13 -
- Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục c. Áp dụng gi i bài tập k). : * Đặt A lim x e x x , Tìm A 1 x * Lấy lô-ga Nepe 2 vế: 1 ln A ln lim x e x x x lim 1 ln x e x 0. VĐ x x lim ln x e x VĐ 0 L' Hospital x x 0 .x e x 1 L lim x e x lim 1 ex VĐ L' Hospital x 1 x x ex L ex lim VĐ L' Hospital x 1 e x L e x lim x 1 x e * Vậy ln A 1 A e1 e 1 15 z *). lim cot x x VĐ x 0 g Mẹo gặp dạng vô định “ ” thường “QUY ĐỒNG” sau đó dung “ ’Hosp tal” 1 cos x 1 x. cos x sin x 0 lim cot x x lim sin x x lim x 0 x 0 x 0 x. sin x VĐ 0 L' Hospital L lim x. cos x sin x lim 1. cos x x sin x cos x x sin x 0 lim sin x x. cos x VĐ x 0 x. sin x x 0 1. sin x x. cos x x 0 0 Tới đây có 2 cách để giải: Dùng L’hospital, Hoặc tương đương (VCB tương đương), Để đa dạng phương pháp tôi dung cách tương đương. ~ x.x x 0 lim lim 0 x 0 x x. cos x x 0 1 . cos x 11 Câu 16. Xét sự liên tục của các hàm số sau tại điểm x0=0 sin x Khi x 0 16a). f x x 1 Khi x 0 g 1: Hàm số lien tục tại điểm x0=0 nếu lim f x f 0 , Mà lim f x không tồn tại, thật vậy: x 0 x 0 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 14 -
- Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục sin x 1 lim lim f x f x x 0 x 0 x lim f x lim sin x 1 x 0 x 0 x Do đó f(x) không tồn tại tại x0 = 0 g 2: ưu ý: Nếu đề cho (x ≠ 0, x = 0 :Thì dùng định nghĩa ), ( Nếu cho x ≥ … , x ≤ … :Thì dùng trái phải ) g chi tiết: Kiểm tra: i). Hàm số f(x) xác định tại x0 vì f(0) = 1, Xác định 0 ii xét lim f x lim sin x VĐ, x 0 x 0 x 0 Ta _ thay lim f x f (0) x 0 x 0 Ta _ thay f (0) lim f x x 0 x0 Nhận thấy: Hàm số chỉ liên tục phải tại x = 0 mà không liên tục trái. Kết luận: Hàm số không liên tục tại x0 = 0. 1 cos x Khi x ; \ 0 16b). f x sin x 2 2 2 1 Khi x 0 4 g : Hàm số liên tục tại điểm x0=0 nếu lim f x f 0 , Mà ta có: x 0 cos x 1 1 cos x x2 1/ 2 1 lim lim 2 2 x 0 sin x x 0 sin x 2 4 2 . 1 cos x x f x 1 4 1 cos x lim f x lim f 0 1 2 x 0 x 0 sin x 4 Vậy hàm số f(x) liên tục tại x0=0 g 2: g chi tiết: Kiểm tra: i). Hàm số f(x) xác định tại x0 = 0 vì f(0)= 1/4 , Xác định ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 15 -
- Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 0 1 cos x ii) xét x 0 x 0 lim f x lim VĐ , Giới hạn này có 2 cách giải: L’Hospital hoặc liên 0 sin 2 x hợp, Cách giải sau sử dụng lien hợp sau đó tương đương 1 cos x Liên _ hop 1 cos x lim f x lim x 0 x 0 sin 2 x lim sin x.1 x 0 2 cos x x2 ~ 1 1 1 lim 2 lim x 0 x . 1 cos x 2 x 0 2. 1 cos x 2.1 1 4 ta _ thay f 0 Thỏa i) và ii) nên hàm số lien tục tại x0 = 0 Câu 17. Tìm giá trị của a (và b, nếu có) để hàm số sau liên tục lien tục tại x0 tan x Khi x. 2 17a). f x x 2 , tai x0 2 1 Khi x 2 Hàm số f(x) liên tục tại x0=0, Nếu lim f x f 0 1 x 0 Ta có f x a + lim f x lim a x a x 0 x 0 lim f x lim arctan x x 1 + x 0 x 0 a lim f x lim f x x 0 x 0 2 Vậy a thì hàm số liên tục tại x0=0 2 1 arctan Khi x 0 17b). f x x , tai x0 0 ax Khi x 0 g : Kiểm tra: i). Hàm f(x) xác định tại x0=0 vì f(0) = a.0 = 0, Xác định ii). Điều kiện để hàm số lien tục tại x0=0 liên tục phải, liên tục trái tại x0=0 lim f x lim f x f 0 x 0 x 0 Ta có: lim f x lim a.x a.0 0 x 0 hay x0 x 0 x 0 1 lim f x lim arctan x arctan 2 x 0 hay x0 x 0 x 0 Từ (*) 0 0 (Vô lý) 2 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 16 -
- Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục 0 2 (Vô lý) không có giá trị a nào để hàm số f(x) liên tục tại x0=0 0 0 a Khi x 1 17c). f x arccos x Khi 1 x 1 Tại x 0 0 và x1 1 xb x 1 Khi g : x cos y y arccos x 1 1 1 0 y Trước hết hàm số ph xác định tại x0 = -1 và x1 = 1 f 1 a xác định và f 1 0 xác định * Hàm f liên tục tại x 0 1 vừa phải liên tục phải và lien tục trái tại x 0 1 Ta có : f x 0 f 1 a Giới hạn : lim f x lim x 1 f x f 1 x 1 (I) Mà : lim f x lim x 1 arccos x arccos 1 x 1 Và : lim f x lim x 1 a a Thế vào ( I ) x 1 Vậy để hàm liên tục tại x 0 1 thì a = * Tương tự hám số liên tục tại x 0 1 Ta có : f x1 f 1 0 Và : lim f x lim x b 1 b x 1 x 1 Vậy để hàm liên tục tại x 0 1 thì b = 1 Vậy để hàm số liên tục thì a = và b = 1 Câu 18. Tìm và phân loại các điểm gián đoạn của các hàm số sau: x 1 18 a). y x x2 1 g x 1 x 1 1 y x x 1 xx 1x 1 xx 1 2 * Tại x0 = 0: lim f x lim xx 1 1 Kh đó x 0 x 0 x0 0 gọi là điểm gián đoạn vô cực: * Tại x0 = -1: lim f x lim xx 1 1 Kh đó x 1 x 1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 17 -
- Toán Cao Cấp A1 Chương 1: Hàm số - Giới hạn – Liên tục Vậy đây là đ ểm g án đoạn loại 2 sin x Khi x 0 18 b). f x x 1 Khi x 0 g * Tại x0 = 0: lim f x lim sin x Kh đó 1 x 0 x 0 x x0 0 gọi là điểm gián đoạn bỏ được: *Tại x 0 0 : sin x Kh đó các hàm sinx, x đều liên tục tại x0, do đó cũng lien tục tại x0 x x 1 18 c). y x2 1 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 18 -
- Toán Cao Cấp A1 Chương 2: Phép Tính Vi Phân Của Hàm Một Biến Chương 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM 1 BIẾN Câu 2.1 Tính f’(1), f’(2), f’(3) của hàm số f(x) = (x – 1)3(x – 2)2(x – 3) f x f x0 f x lim x x0 x x0 Gọi x x x0 x x0 x f x0 x f x0 x0 x 1 x 2 x 3 x0 3 2 lim x x0 x x0 x x0 f 1 lim x 13 x 22 x 3 lim x 1 x 2 x 3 0 2 2 x 1 x 1 x 1 f 2 lim x 1 x 2 x 3 3 2 lim x 1 x 2x 3 0 3 x 2 x2 x 2 f 3 lim x 1 x 2 x 3 3 2 lim x 1 x 2 8 3 2 x 3 x2 x 3 Câu 2.2 Tính đạo hàm a). y 2 x 2 x 2 2 x 3 g : Mượn bàn tay của Lô-ga ta có: ln y ln 2 x 2 x 2 2 x 3 ln 2 x ln 2 x 2 ln 2 x 3 = ln 2 x ln 2 x 2 ln 2 x 3 1 1 2 2 Lấy đạo hàm 2 vế theo biến x ta có: y 1 1 2x 1 3x 2 1 x 3 x2 y 2 x 2 2 x 2 2 2 x 3 2 x 2 x 2 2 2 x 3 1 3 x2 1 3 x2 y x 3 y x 3 2 x 2 x 2 2 x 3 2 x 2 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 2 1 1 1 1 1 1 b). y 3 x 1 x 2 x 3 y 2 x x x x 2 x 3 33 x 4 c). y sin x cos 2 . tan 3 x sin x cos 2 . tan 3 x cos x. cos 2 x. tan 3 x 2 cos x. sin x tan 3 x cos 2 x.3 tan 2 x. 1 2 cos x cos x. cos 2 x. tan 3 x sin 2 x tan x 3 tan x cos x.cos 3 2 2 x. tan 3 x d). y x x x 2 x g : * Ta có: y1 x y1 x 1 , y 2 2 x y 2 2 x 2 x. ln a * y3 x x , Ta lấy Loga-Nepe 2 vế ta có ln y3 ln x x x. ln x Lấy đạo hàm 2 vế ta có: y3 x. ln x x ln x ln x x x ln x 1 y3 ĐỀ THI NÔNG LÂM | TRUY CẬP : DETHINLU.TK - Trang | 19 -
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Bài tập Toán cao cấp Tập 2: Phép tính giải tích một biến số - Nguyễn Đình Trí
272 p | 2082 | 455
-
Bài tập thường kỳ toán cao cấp A3 - GVHD. ThS. Đoàn Vương Nguyên
17 p | 1473 | 413
-
Bài tập Toán cao cấp Tập 1: Đại số và hình học giải tích - Nguyễn Đình Trí
388 p | 1532 | 347
-
Bài tập Toán cao cấp - Tập 1: Đại số tuyến tính và hình học giải tích - Nguyễn Thủy Thanh
277 p | 758 | 292
-
Bài tập về toán cao cấp tập 1 part 2
39 p | 612 | 259
-
Phần 2 Đại số tuyến tính - Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế
60 p | 1728 | 217
-
Bài tập về toán cao cấp tập 1 part 10
37 p | 377 | 161
-
Phần 1 Đại số tuyến tính - Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế
83 p | 1261 | 150
-
Lời giải một số bài tập Toán cao cấp 2
49 p | 1464 | 120
-
Bài tập môn toán cao cấp tập 3 part 3
50 p | 268 | 116
-
Bài tập môn toán cao cấp tập 3 part 2
50 p | 297 | 116
-
Bài tập toán cao cấp - Tập 3
329 p | 255 | 59
-
Dạy học giải bài tập toán cao cấp theo định hướng giáo dục quan điểm toàn diện cho sinh viên
11 p | 167 | 10
-
Bài tập Toán cao cấp (dùng cho các ngành Kinh tế - Quản trị): Phần 1
167 p | 68 | 5
-
Bài tập Toán cao cấp (dùng cho các ngành Kinh tế - Quản trị): Phần 2
110 p | 42 | 5
-
Hướng dẫn giải bài tập Đại số tuyến tính: Phần 2
92 p | 14 | 5
-
Hướng dẫn giải bài tập Đại số tuyến tính: Phần 1
106 p | 14 | 3
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn