Bài gi i Đ THI TOÁN CAO C P C1 08-09ả Ề Ấ
Bài 1.
a)
2
0 0 0 0
2
1
1
lim ln lim ln lim lim
1 1 1
ln ln
acrtgx
x x x x
arctgx x
I x arctgx x L
x x x
+
= = = −
C1.
2
2
0 0 0 0
2
1
2ln
1 ln 2ln
lim lim lim lim
1 1 1
1
x x x x
x
x x
x
I L
x
x x x
= − − =
+−
( )
0 0
2
1
2
lim lim 2 0
1
x x
x
I L x
x
= − =
−
C2.
2
2
0 0 0 0 0
2 2
1 1
2ln 2
ln 2ln 2
lim lim lim lim lim 0
1 1 1 1 1
1 1
x x x x x
x
x x x
x x
I L L x
x x
x x x x
−
= − − = = =
+
+ − + − − −
b)
0 0 0 0
1 1 sin 1 cos sin
lim lim lim lim 0
sin sin sin cos cos cos sin
x x x x
x x x x
I L L
x x x x x x x x x x x
− −
� �
= − = =
� � + + −
� �
Bài 2.
V hình.ẽ
Di n tích hình ph ng:ệ ẳ
( ) ( )
4
0
4
cos sin sin cos 2 1
0
S x x dx x x
π
π
= − = + = −
.
Bài 3.
Kh o sát s h i t c a tích phân suy r ng:ả ự ộ ụ ủ ộ
2
2 2 2
0 0 0
1 cos 2sin 2
1 1 1
x x dx
dx dx
xxx
−= <
+++
� � �
Mà:
2
0
0
1 2
dx arctgx
x
π
= =
+
(h i t )ộ ụ
Theo tiêu chu n so sánh 1, suy ra tích phân đã cho h i t .ẩ ộ ụ
Bài 4. Kh o sát s h i t c a chu i s .ả ự ộ ụ ủ ỗ ố
a)
. Ta có
1
lim 1
1
n
tg n
n
=
và
1
1
n
n
=
phân kì.
Theo tiêu chu n so sánh 2, ẩ
phân kì.
b)
2
2
ln
n
n
n n
−
=
Xét
( ) ( ) ( )
1
1
2 ln 1 ln
1 ln 1 2 2 1 ln 1
n
n
n
n
un n n n
u n n n n
− −
+−
= =
+ + + +
Suy ra
( ) ( )
1
1 ln 1 ln 1
lim lim lim lim
2 1 ln 1 2 1 ln 1 2
n
n n n n
n
un n n n
u n n n n
+
= = =
+ + + +
.
Theo tiêu chu n D’Alembert, chu i s đã cho h i t .ẩ ỗ ố ộ ụ
Bài 5. Kh o sát s h i t c a chu i lũy th a.ả ự ộ ụ ủ ỗ ừ
a)
( )
2
1
2
2
n
n
x
n
=
−
Đt ặ
( )
2
2X x= −
, chu i đã cho tr thànhỗ ở
1
2
n
n
X
n
=
Bán kính h i t ộ ụ
( )
11
2
lim 2 1
n
Rn
n
= =
+
Suy ra, mi n h i t là ề ộ ụ
( )
2
1 2 1 2 1 1 3X x x x< − < − < < <� � �
Khi x = 1, chu i đã cho tr thành chu i sỗ ở ỗ ố
( )
2
1 1
11
2 2
n
n n
n n
= =
−=
� �
: chu i phân kì.ỗ
Khi x = 3, chu i tr thành chu i s :ỗ ở ỗ ố
( )
2
1 1
11
2 2
n
n n
n n
= =
=
� �
: chu i phân kì.ỗ
Mi n h i t c a chu i lũy th a ề ộ ụ ủ ỗ ừ
1 3x< <
b)
( )
2
2
1
1
n n
n
n
x n
n
=
+
Bán kính h i t ộ ụ
( ) ( )
2
2
1 1
lim lim lim
1 1
11
n n
nn n
n
n n n
n n
Re
n
n
n
= = = =
+� �
++
� �
� �
Mi n h i t ề ộ ụ
1 1
x
e e
− < <
.
Khi
1
xe
=
, chu i tr thành chu i sỗ ở ỗ ố
( )
2
2
1
1
n n
n
n
e n
n
−
=
+
. Áp d ng tiêu chu n Cauchy, ụ ẩ
( )
1
2
1
lim 1
1
n
n
n
e n
e
n
−
= <
+
, h i t .ộ ụ
Khi
1
xe
= −
chu i tr thành chu i sỗ ở ỗ ố
( )
( )
2
2
1
1
nn
n
n
e n
n
−
=
−
+
. Xét chu i tr tuy t đi ỗ ị ệ ố
( )
( ) ( )
22
2 2
1 1
1 1
nnn n
n n
n n
e n e n
n n
−−
= =
−=
+ +
� �
h i t .ộ ụ
V y mi n h i t c a chu i lũy th a trên là ậ ề ộ ụ ủ ỗ ừ
1 1
x
e e
−