Lời giải một số bài tập Toán cao cấp 2

Chia sẻ: Phương Hưng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

1.468
lượt xem 120
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lời giải một số bài tập "Toán cao cấp 2" này dùng để tham khảo trong quá trình học và ôn thi. Có một số bài tập do một số sinh viên giải. Khi học, sinh viên cần lựa chọn những phương pháp phù hợp và đơn giản hơn. Chúc anh chị em sinh viên học tập tốt

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Lời giải một số bài tập Toán cao cấp 2

LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2 Lời giải một số bài tập trong tài liệu này dùng để tham khảo. Có một số bài tập do một số sinh viên giải. Khi học, sinh viên cần lựa chọn những phương pháp phù hợp và đơn giản hơn. Chúc anh chị em sinh viên học tập tốt BÀI TẬP VỀ HẠNG CỦA MA TRẬN Bài 1: Tính hạng của ma trận:  2 −4 3 1 0   1 −2 1 −4 2       1 −2 1 −4 2  η1↔ η2  2 −4 3 1 0  1) A =  →  0 1 −1 3 1   0 1 −1 3 1   1 −7 4 −4 5   1 −7 4 −4 5   1 −2 1 −4 2   1 −2 1 −4 2   h1(−2)+η2    η1(−1)+η4 0 0 1 9 −4  η 2↔ η3 0 1 −1 3 1  →  →  0 1 −1 3 1   0 0 1 9 −4   0 −5 3 0  3   0 −5 3 0 3   1 −2 1 −4 2   1 −2 1 −4 2      η2(5)+η4 0 1 −1 3 1  η3( 2)+ η4  0 1 −1 3 1   →  →  0 0 1 9 −4   0 0 1 9 −4    0 0 −2 15 8   0 0 0 33 0  ⇒ ρ( Α) = 4 2)  0 2 −4   −1 −4 5   −1 −4 5         −1 −4 5   0 2 −4  η1(3)+ η3  0 2 −4  η1( 2 )+ η4 A= 3 1 7  η 1↔ η2 → 3 1 7   → 0 −11 22   0 5 −10   0 5 −10   0 5 −10         2 3 0   2 3 0   0 −5 10   −1 −4 5   −1 −4 5    η2(11)+ η3    1 η2   0 1 −2  ηη22((5−5)+)+η5η4  0 1 −2   2  → 0 −11 22   → 0 0 0  ⇒ ρ( Α) = 2  0 5 −10   0 0 0       0 −5 10   0 0 0  1
 2 −1 3 −2 4  η1(−2)+η2  2 −1 3 −2 4  2) A =  4 −2 5 1 7  η1(−1)+η3     →  0 0 −1 5 −1   2 −1 1 8 2   0 0 −2 10 −2   2 −1 3 −2 4  h2(2)+η3   →  0 0 −1 5 −1  ⇒ ρ( Α) = 2  0 0 0 0 0  3)  1 3 5 −1  η1( −2)+η2  1 3 5 −1   1 3 5 −1    η1 ( −5)+η3   η2( −2 )+η3   2 −1 −5 4 η1( −7 )+η4 0 −7 −15 6  η2( −2)+η4  0 −7 −15 6 A=   →  →   5 1 1 7   0 −14 −24 12   0 0 6 0   7 7 9 −1   0 −14 −26 6   0 0 4 −6   1 1 3 5 −1   1 3 5 −1  η3    η4 −4 +η4    6 0 −7 −15 6 0 −7 −15 6 →    ( ) →  ⇒ ρ( Α) = 4  0 0 1 0   0 0 1 0   0 0 4 −6   0 0 0 −6  4)  3 −1 3 2 5   1 −3 −5 0 7  η1( −5)+η2  1 −3 −5 0 7      η1( −3)+η3   5 −3 2 3 4  η1↔ η3 5 −3 2 3 4  η1 ( −7 )+η4 0 12 27 3 −31 A=  → →   1 −3 −5 0 7   3 −1 3 2 5   0 8 18 2 −16   7 −5 1 4 1   7 −5 1 4 1   0 16 36 4 −48    1 1 −3 −5 0 7   1 −3 −5 0 7   η3  ↔ η2  η2( −3)+η3    2 0 4 9 1 −8  η2 ( −4 )+η4 0 4 9 1 −8 →  →   0 12 27 3 −31   0 0 0 0 −7    0 16 36 4 −48   0 0 0 0 −16   16   1 −3 −5 0 7  η3 −  7   + η4  0 4 9 1 −8  ⇒ ρ Α = 3  → ( )  0 0 0 0 −7   0 0 0 0 0  5) 2
 2 2 1 5 −1   1 0 4 −2 1       1 0 4 −2 1   2 2 1 5 −1  2 1 5 −2 1  η1↔ η2  2 1 5 −2 1  A= →  −1 −2 2 −6 1   −1 −2 2 −6 1       −3 −1 −8 1 −1   −3 −1 −8 1 −1   1 2 −3 7 −2   1 2 −3 7 −2   1 0 4 −2 1   1 0 4 −2 1      η1( −2)+ η2  0 2 −7 9 −3   0 1 −3 2 −1  η1( −2)+ η3 0 1 −3 2 −1  η 0 2 −7 9 −3  η1+ η4 η → 2↔ η3 → 1(3)+ η5 η1( −1)+ η6  0 −2 6 −8 2   0 −2 6 −8 2       0 −1 4 −5 2   0 −1 4 −5 2   0 2 −7 9 −3   0 2 −7 9 −3   1 0 4 −2 1   1 0 4 −2 1       0 1 −3 2 −1   0 1 −3 2 −1  η2( −2)+ η3 0 0 −1 3 −1 0 0 −1 3 −1  ⇒ ρ Α = 4 η2( 2)+ η4 η →   η3+ η5 → ( ) 2+ η5 η2(−2)+ η6  0 0 0 −4 0  η3( −1)+ η6  0 0 0 −4 0       0 0 1 −3 1   0 0 0 0 0   0 0 −1 3 −1   0 0 0 0 0  6)  1 −1 2 3 4   1 −1 2 3 4       2 1 −1 2 0  η1(−2)+ η2  0 3 −5 −4 −8  A= −1 2 1 1 3  ηη 1+ η3 1(−1)+ η4 → 0 1 1 3 7   1 5 −8 −5 −12  η1(−3)+ η5  0 6 −10 −8 −16       3 −7 8 9 13   0 −4 2 0 1   1 −1 2 3 4   1 −1 2 3 4       0 1 1 3 7  η2(−3)+ η3  0 1 1 3 7  η 2↔ η3 → 0 3 −5 −4 −8  η 2(−6)+ η4 η2( 4)+ η5 → 0 0 −8 −13 −29   0 6 −10 −8 −16   0 0 −16 −26 −58       0 −4 2 0 1   0 0 6 12 29   1 −1 2 3 4   1 −1 2 3 4      h3( −1)+ η4  0 1 1 3 7   0 1 1 3 7  η 3+ η5 → 0 0 −8 −13 −29  η 5( −4)+ η3 → 0 0 0 −9 −29   0 0 0 0 0   0 0 0 0 0       0 0 −2 −1 0   0 0 −2 −1 0  3
 1 −1 2 3 4     0 1 1 3 7  η4↔ η3 h5↔  → 0 0 −2 −1 0  ⇒ ρ( Α) = 4  0 0 0 −9 −29     0 0 0 0 0  7)  −3 2 −7 8   −1 0 5 −8   −1 0 5 −8      η1(−3)+ η2   −1 0 5 −8  η1↔ η2  −3 2 −7 8  η1(4)+ η3  0 2 −22 32  A= →  η1+ η4 →  4 −2 2 0   4 −2 2 0   0 −2 22 −32   1 0 3 7   1 0 3 7   0 0 8 −1   −1 0 5 −8   −1 0 5 −8      0 2 −22 32  η 0 2 −22 32  ⇒ ρ( Α) = 3 η 2(−1)+ η3 → 3↔ η4 →  0 0 0 0   0 0 8 −1   0 0 8 −1   0 0 0 0  8)  1  −1 3 3 −4   −1 3 3 −4  η2   5  −1 3 3 −4    η1( 4)+ η2   η3 1    4 −7 −2 1  η 1( −3)+ η3 0 5 10 −15   0 1 2 −3  A= η1( −2)+ η4 →  4  1 →  −3 5 1 0   0 −4 −8 12  η4 3  0 −1 −2 3   −2 3 0 1   0 −3 −6 9   0 −1 −2 3   −1 3 3 −4    0 1 2 −3  ⇒ ρ( Α) = 2 ηη 2+ η3 2+ η4 →   0 0 0 0   0 0 0 0  9)  1 3 −1 6   1 3 −1 6   1 3 −1 6    η1(−7)+ η2    1   7 1 −3 10  η1(−17 )+ η3  0 −20 4 −32  η2 4   0 −5 1 −8  A=  η1(−3)+ η4 →  1 →  17 1 −7 22   0 −50 10 −80  η3 10   0 −5 1 −8   3 4 −2 10   0 −5 1 −8   0 −5 1 −8   1 3 −1 6    0 −5 1 −8  ⇒ ρ( Α) = 2 η 2(−1)+ η3 η2(−1) η4 →   0 0 0 0   0 0 0 0  10) 4
 0 1 10 3   2 0 4 −1   2 0 4 −1      η1 −8 + η3   2 0 4 −1  η 1↔ η2 0 1 10 3 0 1 10 3  A= →  η ( ) 1( −4 )+ η4 →  16 4 52 9   16 4 52 9   0 4 20 17   8 −1 6 −7   8 −1 6 −7   0 −1 −10 −3   2 0 4 −1    η2( −4 )+ η3  0 1 10 3  ⇒ ρ( Α) = 3  η2+ η4 →  0 0 −20 5   0 0 0 0  Bài 2: Biện luận theo tham số λ hạng của các ma trận:  3 1 1 4   3 1 1 4   4 1 1 3   λ 4 10 1  η2 ↔ η4  2 2 4 1   χ1↔ χ4  1 2 4 2  1) A =  →  →   1 7 17 3   1 7 17 3   3 7 17 1   2 2 4 1   λ 4 10 1   1 4 10 λ   1 2 4 2  η1( −4)+η2  1 2 4 2    η1 ( −3)+η3   η2 4 1 1 3 η1( −1)+η4 0 −7 −15 −5 h1↔  →   →   3 7 17 1   0 1 5 −5   1 4 10 λ   0 2 6 λ−2   1 2 4 2   1 2 4 2    η2 ( 7 )+η3   0 1 5 −5 0 1 5 −5 η2 ↔ η3 →  η2 ( −2 )+η4 →   0 −7 −15 −5   0 0 20 −40   0 2 6 λ−2   0 0 −4 λ + 8   1 1 2 4 2   η3  + η4   5 0 1 5 −5   →  0 0 20 −40   0 0 0 λ  Vậy : Nếu = 0 thì r(A) = 3 Nếu 0 thì r(A) = 4  3 1 1 4   3 1 1 4   4 1 1 3        λ 4 10 1  η2 ↔ η4  2 2 4 3  χ1↔ χ4 3 2 4 2 2) A =  →  →   1 7 17 3   1 7 17 3   3 7 17 1   2 2 4 3   λ 4 10 1   1 4 10 λ  5
 1 4 1 3  η1( −2)+η2  1 4 1 3    η1 ( −7 )+η3   χ2 2 3 4 2 η1( −4)+η4 0 −5 2 −4 c1↔  →   →   7 3 17 1   0 −25 10 −20   4 1 10 λ   0 −15 6 λ − 12   1 4 1 3   1 4 1 3   η2( −5)+η3    0 −5 2 −4 η2( −3)+η4  η3↔ η4 0 −5 2 −4   →  →  0 0 0 0   0 0 0 λ   0 0 0 λ   0 0 0 0  Vậy: Nếu = 0 thì r(A) = 2 Nếu 0 thì r(A) = 3  4 1 3 3   4 3 3 1   1 2 7 4        0 6 10 2  Χ2 ↔ Χ4  0 2 10 6  η1↔ η3 0 2 10 6 3) A =  →  →   1 4 7 2   1 2 7 4   4 3 3 1    6 λ −8 2   6 2 −8 λ   6 2 −8 λ   1 2 7 4   1  1 2 7 4   h1( −4 )+η3  η2 2    η1( −6 )+η4 0 2 10 6 0 1 5 3 →    →   0 −5 −25 −15   0 −5 −25 −15   0 −10 −50 λ − 24   0 −10 −50 λ − 24   1 2 7 4   1 2 7 4   η2(5)+ η3    0 1 5 η2(10 )+ η4 3  η3↔ η4  0 −1 −5 −3  → →   0 0 0 0   0 0 0 λ +6   0 0 0 λ + 6   0 0 0 0  Vậy: Khi λ + 6 = 0 ⇔ λ = −6 thì r(A) = 2 Khi λ + 6 ≠ 0 ⇔ λ ≠ −6 thì r(A) = 3  −3 9 14 1   −3 1 14 9   1 2 7 4        0 6 10 2  Χ2 ↔ Χ4  0 2 10 6  η1↔ η3  0 2 10 6  4) A =  →  →  1 4 7 2   1 2 7 4   −3 1 14 9   3 λ 1 2   3 2 1 λ   3 2 1 λ   1 2 7 4   1  1 2 7 4   h1(3)+η3  η2 2    η1( −3)+η4 0 2 10 6 0 1 5 3 →    →   0 7 35 21   0 7 35 21   0 −4 −20 λ − 12   0 −4 −20 λ − 12  6
 1 2 7 4   1 2 7 4   h2( −7 )+η3    η2( 4 )+η4 0 1 5 3  η3↔ η4  0 1 5 3  →  →  0 0 0 0   0 0 0 λ   0 0  0 λ   0 0 0 0  Vậy : Nếu = 0 thì r(A) = 2 Nếu 0 thì r(A) = 3 7
BÀI TẬP VỀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO VÀ PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN Bài 1: Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trân sau:  3 4  1) A =    5 7  Ta có:  1  5   η1     3 4 1 0  η1 − 3 + η2  3 4 1 0  η2(33)  1 4 1 0  (A I)=   →  0 1 − 5 1   →  3 3   5 7 0 1     0 3 3  1 −5 3   4  1 0 7 −4  η2 −  + η1  3  7 −4   ⇒ Α = −1 →    0 1 −5 3   −5 3   1 −2  2) A =    4 −9  Ta có: −1   1  δ −β  1  −9 2   9 −2  A =  1 −2  = −1 = =  4 −9  αδ − βχ  − χ α  1.(−9) − (−2).4  −4 1   4 −1     3 −4 5  3) A =  2 −3 1     3 −5 −1  Ta có:  3 −4 5 1 0 0   1 −1 4 1 −1 0    η2(−1) + η1   (A I) =  2 −3 1 0 1 0   →  2 −3 1 0 1 0   3 −5 −1 0 0 1   3 −5 −1 0 0 1   1 −1 4 1 −1 0   1 −1 4 1 −1 0   η1( −2)+η2  η2(−2) + η3    →  0 −1 −7 −2 3 0   η1( −3)+η3 →  0 −1 −7 −2 3 0   0 −2 −13 −3 3 1   0 0 1 1 −3 1   1 −1 4 1 −1 0   1 −1 0 −3 11 −4   η2(−1)  η3(−7)+η2    →  0 1 7 2 −3 0  η3  ( −4)+η1 →  0 1 0 −5 18 −7   0 0 1 1 −3 1   0 0 1 1 −3 1   1 0 0 −8 29 −11    η2+η1  →  0 1 0 −5 18 −7   0 0 1 1 −3 1  8
8 29 11 Vậy ma trận A là ma trận khả nghịch và A = 1 5 18 7 1 3 1  2 7 3  4) A =  3  9 4    1 5 3  Ta có:  2 7 3 1 0 0   1 5 3 0 0 1    η3↔η1   (A I)=  3 9 4 0 1 0   → 3 9 4 0 1 0   1 5 3 0 0 1   2 7 3 1 0 0   1 5 3 0 0 1  η1( −3)+η2  1 5 3 0 0 1   η1( −2 )+η3  η3↔η2    →  0 −6 −5 0 1 −3   →  0 −3 −3 1 0 −2   0 −3 −3 1 0 −2   0 −6 −5 0 1 −3     1 5 3 0 0 1  η2 − 1   1 5 3 0 0 1     3 1 2 →  0 −3 −3 1 0 −2  →  0 1 1 − h2(2)+η3  0   3 3   0 0 1 −2 1 1   0 0 1 −2 1  1  7 1   1   1 0 0 − 2 −  5 0 6 −3 −2  3 3  h3( −1)+η2  5 1 5)+η1  5 1  → 0  η2(− η3( −3)+η1  1 0 −1 −  → 0 1 0 −1 −   3 3  3 3  0    0 1 −2 1 1  0 0 1 −2 1 1   7 1   − 2 −   3 3   5 1  ⇒ Α−1 =  −1 −  3 3    −2 1 1   1 2 2  5) A =  2 1 −2     2 −2 1  Ta có: 9
�1 2 2 1 0 0� �1 2 2 1 0 0� h1( −2 ) + h 2 � � � h1( −2 ) + h 3 � A = �2 1 −2 0 1 0 � �0 −3 −6 −2 1 0 � �2 −2 1 0 0 1 � �0 −6 −3 −2 0 1 � � � � � � � �1� h 2�− � � 1 2 2 1 0 0� 1 2 2 � 1 0 0� � �3� 1� � � � 2 1 −2 1 0 � h 3� � h 2( −2 ) + h 3 0 −3 −6 �9 � � 0 1 2 − 0� � � � 3 3 � � 0 0 9 2 −2 1 � � � � 2 2 1� � 0 0 1 − � � 9 9 9� � 5 4 2� � 1 2 2 � 1 2 0 � − � �1 0 0 9 9 9 9 9 9 � h 3( −2 ) + h 2 � � � � � 2 1 2 2 1 2� − � ( ) � h 3( −2 ) + h1 h 2 −2 + h1 0 1 0 0 1 0 − � 9 9 9 � � 9 9 9� � � � � � 2 2 1 � � 2 2 1 � 0 0 1 � − � �0 0 1 − � � 9 9 9 � � 9 9 9 � �1 2 2 � �9 9 9 � � � −1 �2 1 2� �A = − �9 9 9� � � �2 2 1 � � − � �9 9 9 � Bài 2 Giải các phương trình ma trận sau 1 2� � � 3 5� 1) � �X = � � 3 4� � � 5 9� �1 2� � 3 5� Đặt A = � � ;B =� � �3 4� � 5 9� Ta có: AX = B � X = A−1 B −1 �−2 1 � �1 2� 1 �d −b � 1 �4 −2 � � −1 � −1 A =� � = � �= � �= 3 �3 4 � ad − bc �−c a � 1.4 − 2.3 �−3 1 � � � �2 2 � �−2 1 � �3 5 � �−1 −1� � X = �3 −1 � � �= � � � � �5 9 � �2 3 � �2 2 � 3 −2 � �−1 2 � � 2) X � �= � � 5 −4 � � � −5 6 � 10
�3 −2 � �−1 2 � Đặt A = � ;B = � � � �5 −4 � � −5 6 � Ta có: XA = B � X = BA−1 −1 �2 −1 � �3 −2 � 1 �d −b � 1 �−4 2 � � 3� −1 A =� �= � �= � �= 5 �5 −4 � ad − bc �−c a � 3.(−4) − 5.(−2) �−5 3 � � − � �2 2� �2 −1 � �−1 2 � � 3 −2 � � X = �5 3 � � �=� � � − � �−5 6 � � 5 −4 � �2 2� �1 2 −3 � �1 −3 0 � � � � � 3) �3 2 −4 �X = � 10 2 7 � �2 −1 0� � 10 7 8 � � � � � Giải: �1 2 −3 � �1 −3 0 � � � � � Đặt A = �3 2 −4 �;B = �10 2 7 � �2 −1 0 � � 10 7 8 � � � � � −1 Ta có: AX = B � X = A B �−4 3 −2 � −1� � Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có: A = �−8 6 −5 � �−7 5 −4 � � � �−4 3 −2 � �1 −3 0 � � 6 4 5� � � � �� Suy ra: X = �−8 6 −5 � �10 2 7 �= �2 1 2 � �−7 5 −4 � �10 7 8 � � � � � � � �3 3 3 � �5 3 1 � �−8 3 0 � � �� 4) X �1 −3 −2 �= �−5 9 0 � �−5 2 1 � � � � � �−2 15 0 � �5 3 1 � �−8 3 0 � � � � � Đặt A = �1 −3 −2 � ; B = �−5 9 0 � �−5 2 1 � � −2 15 0 � � � � � Ta có: XA = B � X = BA−1 Bằng phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ta có: 11
�1 1 3� �19 − 19 − 19 � � � −1 � 9 10 11 � A = �19 19 19 � � � � 13 25 18 � �− − − � � 19 19 19 � Suy ra: �1 1 3� �19 − − � �−8 3 0 � 19 19 1 2 3� � �� −1 � X = BA = A = �−5 9 0 ��9 � 10 11 � � � = �4 5 6 � �19 19 19 � �−2 15 0 � � �� 7 8 9� � � 13 25 18 � � � � �− − − � � 19 19 19 � 3 −1 � � � 5 6� � 14 16 � 5) � �X � �= � � 5 −2 � � � 7 8 � �9 10 � �3 −1 � � 5 6� �14 16 � Đặt A = � ;B = � � �;C = � � �5 −2 � � 7 8� �9 10 � Ta có: AXB = C � X = A−1CB −1 −1 −1 � 3 −1 � � 2 −1 � A =� � =� � � 5 −2 � � 5 −3 � −1 �−4 3 � −1 � 5 6� � � B =� � = �7 5� � 7 8 � − �2 2� Suy ra: � −4 3 � �−4 3 � �2 −1 �� 14 16 � � � 19 22 � � � 1 2� �= � X =� �� 7 5 =� � 7 5 � �5 −3 ��9 10 � � − �� − �� 43 50 � 3 4� � �2 2� �2 2� 12
BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: 7 x1 + 2 x2 + 3x3 = 15 1) 5 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 15 10 x1 − 11x2 + 5 x3 = 36 Giải: Ta có: �7 2 3 15 � �2 5 1 0� �2 5 1 0� ( A B ) = �5 −3 2 15 � � � h 2( −1) + h1 h 2( −2) + h 3 � � h1( −2)+ h 2 � 5 −3 2 15 � � � � 1 −13 0 15 � �10 −11 5 36 � �0 −5 1 6 � �0 −5 1 6 � � � � � � � �1 −13 0 15 � �1 −13 0 15 � 1 −13 0 15 � � � � h1( −2) + h 2 � � h3(6) + h 2 � � h1 h 2 �2 5 1 0� �0 31 1 −30 � 0 1 7 6� � �0 −5 1 6 � �0 −5 1 6 � � 0 −5 1 6 � � � � � � � 1 −13 0 15 � � h 2(5) + h 3 � � 0 1 � 7 6� � 0 0 36 36 � � � Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: x1 − 13 x2 = 15 x1 = 2 � � �x2 + 7 x3 = 6 � �x2 = −1 �36 x3 = 36 �x = 1 3 2 x1 + x2 − 2 x3 = 10 2) 3x1 + 2 x2 + 2 x3 = 1 5 x1 + 4 x2 + 3x3 = 4 Giải: Ta có: � 2 1 −2 10 � h1( −1)+ h 2 �2 1 −2 10 � 1 1 4 −9 � � � � h1( −2)+ h 3 � � � � ( A B ) = �3 2 2 1 � 1 � 1 4 −9 � h1 h2 �2 1 −2 10 � � 5 4 3 4� � 1 2 7 −16 � � 1 2 7 −16 � � � � � � � h1( −2) + h 2 �1 1 4 −9 � � 1 1 4 −9 � h1( −1) + h 2 � � � � �0 −1 −10 28 � h 2+ h 3 0 −1 −10 28 � �0 1 3 −7 � � 0 0 −7 21 � � � � Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: 13
x1 + x2 + 4 x3 = −9 x1 = 1 � � �− x2 − 10 x3 = 28 � �x2 = 2 �−7 x = 21 �x = −3 3 3 x1 + 2 x2 − x3 = 3 3) 2 x1 + 5 x2 − 4 x3 = 5 3x1 + 4 x2 + 2 x3 = 12 Giải: Ta có: �1 2 −1 3 � 1 2 −1 3 � � 1 2 −1 3 � � � � h1( −2)+ h 2 � � � � ( A B) = � 2 5 −4 5 � h1( −3) + h 3 �0 1 −2 −1� h 2(2) + h 3 0 1 −2 −1 � � �3 4 2 12 � � 0 −2 5 3 � � 0 0 1 1� � � � � � � Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: x1 + 2 x2 − x3 = 3 x1 = 2 � � �x2 − 2 x3 = −1 � �x2 = 1 �x = 1 �x = 1 3 3 2 x1 + x2 − 3x3 = 1 4) 5 x1 + 2 x2 − 6 x3 = 5 3x1 − x2 − 4 x3 = 7 Giải: Ta có: � 2 1 −3 1 � �−1 2 1 −6 � �−1 2 1 −6 � ( A B ) = �5 2 −6 5 � � h 3( −1) + h1 � h3( −2)+ h 2 � � � −1 4 2 −9 � h1( −1) + h 2 h1(3) + h 3 � �0 2 1 −3 � � � 3 −1 −4 7 � �3 −1 −4 7 � �0 5 −1 −11� � � � � � � �−1 2 1 −6 � �−1 2 1 −6 � �−1 2 1 −6 � h 2( −2) + h 3 � � h2 � � h 2( −2)+ h3 � � �0 2 1 −3 � �0 1 −3 −5 � �0 1 −3 −5 � h3 �0 1 −3 −5 � � � �0 0 7 7 � � ��0 2 1 −3 � � � Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: − x1 + 2 x2 + x3 = −6 x1 = 3 � � �x2 − 3 x3 = −5 � �x2 = −2 �7 x3 = 7 �x = 1 3 14
2 x1 + x2 − 2 x3 = 8 5) 3x1 + 2 x2 − 4 x3 = 15 5 x1 + 4 x2 − x3 = 1 Giải: Ta có: �2 1 −2 8 � �−1 −1 2 −7 � �−1 −1 2 −7 � � � � � � � ( A B) = �3 2 −4 15 � h 2( −1) + h1 h 2( −2) + h 3 �3 2 −4 15 � h1(3) + h 2 h1( −1) + h3 �0 −1 2 −6 � �5 4 −1 1 � �−1 0 7 −29 � �0 1 5 −22 � � � � � � � �−1 −1 2 −7 � h 2+ h 3 � � �0 −1 2 −6 � �0 0 7 −28 � � � Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: − x1 − x2 + 2 x3 = −7 x1 = 1 � � �− x2 + 2 x3 = −6 � �x2 = −2 �7 x3 = −28 �x = −4 3 x1 + 2 x2 − 3x3 = 1 6) 2 x1 + 5 x2 − 8 x3 = 4 3 x1 + 8 x2 − 13 x3 = 7 Giải: Ta có: 1 2 −3 1 � � �1 2 −3 1 � 1 2 −3 1 � � � � � � � � ( A B) = � h1( −2) + h 2 2 5 −8 4 � �0 1 −2 2 � h 2( −2) + h 3 h1( −3) + h 3 0 1 −2 2 � � �3 8 −13 7 � �0 2 −4 4 � � 0 0 0 0� � � � � � � Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình: x1 = −3 − x3 x1 = −3 − t x1 + 2 x2 − 3 x3 = 1 � � � � �x2 = 2 + 2 x3 � �x2 = 2 + 2t ( t �R ) x2 − 2 x3 = 2 �x tu� �x = t 3 yý 3 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 2 x1 + 2 x2 − x3 + x4 = 4 4 x1 + 3x2 − x3 + 2 x4 = 6 1) 8 x1 + 5 x2 − 3 x3 + 4 x4 = 12 3x1 + 3 x2 − 2 x3 + 2 x4 = 6 15
Giải: Ta có: 2 2 −11 4 � h1 ( −2 ) + h2 2 2 −1 1 4� � h1( −4 ) + h3 � � � h1�− 3 �+ h4 � � 4 3 −12 6� � 0 −1 1 0 −2 � ( A B) = � � �2� � � 8 5 −34 12 � � 0 −3 1 0 −4 � � � � � �3 3 −22 6� � 0 0 −1/ 2 1/ 2 0 � �2 2 −1 1 4� �2 2 −1 1 4 � � 0 −2 � � h2( −3) + h3 0 � −1 1 � h3( −1/4)+ h4 �0 −1 1 0 −2 � � � 0 0 −2 0 2� �0 0 −2 0 2 � � � � � 0 � 0 −1/ 2 1/ 2 0 � �0 0 0 1/ 2 −1/ 2 � �2 x1 + 2 x2 − x3 + x4 = 4 ( 1) − x2 + x3 = −2 ( 2) Khi đó (1) −2 x3 = −2 ( 3) 1 1 x4 = − ( 4) 2 2 Từ (4) � x4 = −1 Thế x4 = −1 vào (3) � x3 = −1 Thế x3 vào (2) ta được: x2 = 1 Thế x3, x2, x4 vào (1) ta được: x1 = 1 x1 = 1 x2 = 1 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: hay (1, 1, 1, 1) x3 = −1 x4 = −1 2 x1 + 3x2 + 11x3 + 5 x4 = 2 x1 + x2 + 5 x3 + 2 x4 = 1 2) 2 x1 + x2 + 3x3 + 2 x4 = −3 x1 + x2 + 3x3 + 4 x4 = −3 Giải: Ta có: �2 3 11 5 2 � 1 � 1 5 2 1� � � � � 1 1 5 2 1 � h1 2 3 11 5 2 � ( A / B) = � � h2 � 2 1 3 2 −3 � �2 1 3 2 −3 � � � � � 1 � 1 3 4 −3 � 1 � 1 3 4 −3 � 16
h1( − 2 ) + h2 �1 1 5 1� 2 �1 1 5 1� 2 �1 1 5 2 1� h1( − 2 ) + h3 � � � � � � h1( − 1) + h4 �0 1 1 1 0� h2+ h3 �0 1 1 1 0� h3 h4 �0 1 1 1 0� �0 −1 −7 −2 −5� �0 0 −6 −1 −5 � �0 0 −2 2 −4 � � � � � � � �0 0 −2 2 −4 � �0 0 −2 2 −4 � �0 0 −6 −1 −5 � �1 1 5 2 1� h3(3) + h4 0 1 1 1 0 0 0 −2 2 −4 0 0 0 −7 7 x1 + x2 + 5 x3 + 2 x4 = 1 (1) x2 + x3 + x4 =0 (2) Suy ra: (2) − 2 x3 + 2 x4 = −4 (3) − 7 x4 = 7 (4) Từ (4) � x4 = −1 Thế x4 = −1 vào (3) � x3 = 1 Thế x3, x4 vào (2) ta được: x2 = 0 Thế x3, x2, x4 vào (1) ta được: x1 = −2 x1 2 x2 0 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: hay (2, 0, 1, 1) x3 1 x4 1 2 x1 + 7 x2 + 3 x3 + x4 = 6 3) 3x1 + 5 x2 + 2 x3 + 2 x4 = 4 9 x1 + 4 x2 + x3 + 7 x4 = 2 �2 7 3 1 6 � �−1 2 1 −1 2 � ( A / B) = � � � 3 5 2 2 4 � h2(1)+ h1 � �3 5 2 2 4 � � �9 4 1 7 2� �9 4 1 7 2 � � � � � �− 1 2 1 −1 2 � h1(3)+h2 �−1 2 1 −1 2 � � � h2(2)+ h3 � � �0 11 5 −1 10 � �0 11 5 −1 10 � h1(3)+h3 �0 22 10 −2 20 � �0 0 0 0 0 � � � � � Phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi phöông trình: 17
− x1 + 2 x2 + x3 − x4 = 2 (1) 11x2 + 5 x3 − x4 = 10 (2) (2) : x4 = 11x2 + 5 x3 − 10 (1) � − x1 + 2 x2 + x3 − ( 11x2 + 5 x3 − 10 ) = 2 � x1 = −9 x2 − 4 x3 + 8 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: x1 =−9 x2 − 4 x3 +8 x1 = 9t 4s + 8 x2 tu� y y� x2 = t hay x3 = s ( ∀t , s R ) x2 tu� y y� x4 =11x2 +5 x3 −10 x4 =11t + 5s − 10 3x1 − 5 x2 + 2 x3 + 4 x4 = 2 4) 7 x1 − 4 x2 + x3 + 3x4 = 5 5 x1 + 7 x2 − 4 x3 − 6 x4 = 3 Ta có: �3 −5 2 4 2 � 3 −5 2 4 2 � � ( A / B) = � �7 −4 1 3 5 � h1(2) + h2 � � 1 6 −3 −5 1 � � � �5 7 −4 −6 3 � � 5 7 −4 −6 3 � � � � � �1 6 −3 −5 1 � h1( −3) + h 2 �1 6 −3 −5 1 � � � h1 −5 + h 3 � � h1 h 2 �3 −5 2 4 2 � ( ) �0 −23 11 19 −1 � �5 7 −4 −6 3 � �0 −23 11 19 −2 � � � � � �1 6 −3 −5 1 � h 2( −1) + h 3 �0 −23 11 19 −1� � � �0 0 0 0 −1 � � � x1 + 6 x2 − 3 x3 − 5 x4 = 0 Suy ra: (4) − 23 x2 + 11x3 + 19 x4 = −1 hệ vô nghiệm 0 = −1 2 x1 − x2 + x3 − x4 = 1 2 x1 − x2 − 3 x4 = 2 5) 3 x1 − x3 + x4 = −3 3 x1 + 2 x2 − 2 x3 + 5 x4 = −6 18
� 2 −1 1 −1 1 � � 0 0 1 2 −1 � � � hh 2( −1) + h 3 � � 2 −1 0 −3 2 � h 2( −1) + h1 � 2( −1) + h 4 2 −1 0 −3 2 � ( A B) � � 3 0 −1 1 −3 � � 1 1 −1 4 −5 � � � � � � � � � 3 2 −2 5 −6 � 0 � 3 −2 8 −8 � � �1 1 −1 4 −5 � 1 1 −1 4 −5 � � � � � � h1 h 3 �2 −1 0 −3 2 � h1( −2) + h 2 0 −3 2 −11 12 � � �0 0 1 2 −1 � � 0 0 1 2 −1 � � � � � � �0 3 −2 8 −8 � � � 0 3 −2 8 −8 � � � 1 1 −1 4 −5 � � � � h 2+ h 4 0 −3 2 −11 12 � � � 0 0 1 2 −1 � � � � 0 0 0 −3 4 � � � Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: x1 = 0 x1 + x2 − x3 + 4 x4 = −5 x =2 2 � − 3 x2 + 2 x3 − 11x4 = 12 � � 5 4� � � �x3 = 5 hay � 0, 2, , − � � x3 + 2 x 4 = −1 � 3 � 3 3� � − 3 x4 = 4 � 4 x4 = − 3 x1 + 2 x2 + 3x3 + 4 x4 = 11 2 x1 + 3x2 + 4 x3 + x4 = 12 6) 3 x1 + 4 x2 + x3 + 2 x4 = 13 4 x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 14 Giaûi � 1 2 3 4 11 � � 1 2 3 4 11 � � � h1( −2) + h 2 � � 2 3 4 1 12 � h1( −3)+ h3 � 0 −1 −2 −7 −10 � ( A B) = � �3 4 1 2 13 � h1( −4) + h 4 � 0 −2 −8 −10 −20 � � � � � � �4 1 2 3 14 � � � 0 −7 −10 −13 −30 � � � � 1 2 3 4 11 � �1 2 3 4 11 � � � � � h 2( −2) + h 3 0 −1 −2 −7 −10 � h3+ h 4 � � 0 −1 −2 −7 −10 � h 2( −7) + h 4 � 0 0 −4 4 0 � �0 0 −4 4 0 � � � � � � 0 0 4 36 40 � � � � �0 0 0 40 40 � � Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: 19
x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 = 11 x1 = 2 � − x2 − 2 x3 − 7 x4 = −10 �x2 = 1 � � hay ( 2,1,1,1) � − 4x3 + 4 x4 = 0 �x3 = 1 � 40x4 = 40 �x4 = 1 x1 − 2 x2 + 3x3 − 4 x4 = 4 x2 − x3 + x4 = −3 7) x1 + 3x2 − 3x4 = 1 − 7 x2 + 3 x3 + x4 = −3 Giaûi � 1 −2 3 −4 4 � 1 −2 3 −4 4 � � � � � � 0 1 −1 1 −3 � 0 1 −1 1 −3 � ( A B) = �� 1 3 0 −3 1 � h1( −1) + h 3 � � 0 5 −3 1 −3 � � � � � � � 0 −7 3 1 −3 � � � 0 −7 3 1 −3 � � � 1 −2 3 −4 4 � � �1 −2 3 −4 4 � � � � � h 2( −5) + h 3 0 1 −1 1 −3 � h 3(2) + h 4 � � 0 1 −1 1 −3 � h 2(7) + h 4 � 0 0 2 −4 12 � �0 0 2 −4 12 � � � � � � 0 0 −4 8 −24 � � � � �0 0 0 0 0� � Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: �x1 = −8 �x1 = −8 x1 − 2 x2 + 3x3 − 4 x4 = 4 �x = x + 3 � � �2 �x2 = t + 3 ( t R ) 4 � x2 − x3 + x4 = −3 �� 2x − 4 x = 12 �x3 = 2 x4 + 6 �x3 = 2t + 6 3 4 � �x4 tu�y y� � �x4 = t 3 x1 + 4 x2 + x3 + 2 x4 = 3 8) 6 x1 + 8 x2 + 2 x3 + 5 x4 = 7 9 x1 + 12 x2 + 3x3 + 10 x4 = 13 Giaûi �3 4 1 2 3� � 3 4 1 2 3� � 3 4 1 2 3� ( A B ) = �6 8 2 5 7 � h1( −3)+h3 �0 0 0 1 1 � � � h1( −2)+ h 2 � � h 2( −4) + h 3 � � 0 0 0 1 1� � �9 12 3 10 13 � � 0 0 0 4 4� � 0 0 0 0 0� � � � � � � Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông vôùi heä phöông trình: 20