ươ
Ch
ng
5
Ớ Ạ
CÁC Đ NH LÝ GI
I H N
Ị Ứ
Ụ NG D NG
Ứ
Ấ
Ẳ
§1. B T Đ NG TH C CHEBYSHEV
Gi
ả ử ạ ượ ẫ s X là đ i l
< e
ữ ạ Var(X) h u h n. Khi đó
)
( P X E(X)
1
- (cid:0) -
ng ng u nhiên có E(X), ε > 0 ta có Var(X) 2 e
ứ ươ ươ ấ ẳ ng đ ng
B t đ ng th c t
- (cid:0) e (cid:0)
)
( P X E(X)
Var(X) 2
e
Ậ Ố Ớ
§2. LU T S L N
Ả
Ị 1. Đ NH LÝ CHEBYSHEV 2. H QUỆ Ị 3. Đ NH LÝ BERNOULLI
Ị
1. Đ NH LÝ CHEBYSHEV
Dãy các đ i l
1, X2, …
i
ỏ ẫ ng ng u nhiên X 2 Var(X ) =σ , , i ạ ượ E(X ) =μ i
i j
n
(cid:0)
th a mãn i cov(Xi, Xj) = 0 ( * ) Khi đó:
0
s = 2 i
n
lim n +
n
1
(cid:0) N uế thì (cid:0) (cid:0)
μ
(cid:0)
ộ ụ ế
đ n
X
i
n
1 n
i=1
1 2 n = i 1 + + X X ... X = 2 h i t n
theo xác su tấ .
ả
ế ộ ậ ừ
ỉ ầ (*) ch c n gi
thi
t đ c l p t ng đôi
Ả
2. H QUỆ ả ử
ạ ượ
Gi
ng ng u
s dãy các đ i l ộ ậ
phân ph i, có k v ng
ẫ nhiên X1, X2, … đ c l p, có cùng iE(X ) =μ
ỳ ọ , 2
ươ
ạ
ph
ữ P
(cid:0) (cid:0) (cid:0) m (cid:0)
ố ng sai X
1 n
Var(X ) =σ i n h u h n. = X n i
Khi đó
i=1 m < e =
-
)
1
n Nói cách khác
(cid:0) (cid:0)
( lim P X n
Ý NGHĨA
ặ ộ ậ
n
ị ế ể
X
i
i=1
ư ớ ạ đ c l p cùng ề so (μ) nh ng trung bình ậ i nh n giá
> 0
e
ớ ầ
ọ ề
ế ẫ ẫ ừ bi n ng u nhiên M c dù t ng ậ ố phân ph i có th nh n giá tr khác nhi u ủ ớ ỳ ọ v i k v ng c a chúng 1 = (cid:0) ớ ố ọ s h c v i n khá l n l X n n μ (khi khá nh ) ỏ v iớ ị ầ tr g n ấ xác su t khá l n (g n 1) Đi u này có ý nghĩa quan tr ng trong lý ố ần th ng kê) thuy t m u (ph
ệ
ầ
ấ
ấ
3. Đ NH LÝ BERNOULLI ả ử là t n su t xu t hi n
s
Gi
Ị An n ố
ế
ấ
ử ộ ệ ử
ế
e
bi n c A trong n phép th đ c ậ l p và p là xác su t xu t hi n ố bi n c A trong m i phép th . ớ Khi đó v i m i
< e = p
1
-
lim P n
(cid:0) (cid:0)
ấ ỗ > 0 ọ ta có: � � n A � � n � �
Ý NGHĨA
ố
ử
ầ
ấ ủ
ộ
ạ ế
ố ổ
ị ấ ủ
ế
ị
Khi s phép th tăng lên vô h n ta có t n su t c a m t bi n c n đ nh xung quanh ố giá tr xác su t c a bi n c đó.
Ị Ớ Ạ §3. Đ NH LÝ GI I H N TRUNG TÂM
ẫ
ả ử
Gi
s dãy các đ i l
ươ
ạ ượ ng ng u ộ ậ nhiên X1, X2, … đ c l p có cùng ố ớ ỳ ọ , phân ph i v i k v ng iE(X ) =μ ng sai ph 2 Var(X ) =σ ữ ạ (h u h n khác 0) i Đ tặ
1
n
2
X + X + ... + X nμ nσ
Z = n
Ị Ớ Ạ I H N TRUNG TÂM
§3. Đ NH LÝ GI
x R(cid:0) ọ ta có: = <
<
x) P(Z x)
n
(cid:0) (cid:0)
ớ Khi đó v i m i lim P(Z n
ẫ
ng ng u nhiên Z có
N(0,1)
Z
ẩ
:
x
1
=
-
ạ ượ Trong đó đ i l ẩ ố phân ph i chu n chu n hóa 2 t 2 e dt
< P(Z x)
(cid:0)
p - (cid:0)
ố
2 ộ ụ
theo phân ph i
Nói cách khác Zn h i t
ế
đ n Z.
Ậ
NH N XÉT (1/2)
ị
ấ
Đ nh lý này cho th y dù
ạ ượ
ờ ạ
ỉ
các Xi có th ể ẫ là đ i l ng ng u nhiên r i r c hay liên t cụ , đ c l p ộ ậ có cùng phân ph i ố n c a ủ ổ ẩ ư nào đó, nh ng t ng chu n hóa Z ố ủ ớ chúng, khi n đ l n, có phân ph i ố x p x phân ph i N(0, 1)
Đi u này cũng gi
ọ
ấ ề ố
ả i thích vì sao phân ổ ế ph i chu n ph bi n và quan tr ng trong th c t
ẩ ự ế .
Ậ
NH N XÉT (2/2)
ừ ị
ạ ộ ế
ả
ọ
ỏ
ả
ố thi
ế t),
n
ớ
ớ T đ nh lý Gi i h n trung tâm ta ượ cũng suy ra đ c m t k t qu quan ợ ườ ố i ng h p X tr ng trong th ng kê : tr ẩ (nh ngư không có phân ph i chu n th a mãn các gi khi n đủ l n thì
(cid:0)
có phân X
X =
i
i=1
ẩ
1 n ỉ phân ph i chu n. ố
ố ấ ph i x p x
Ộ
Ụ M T ÁP D NG KHÁC
X B(n, p)
:
ớ
ớ
Cho v i n khá l n ,
ầ p không quá g n 0 và không quá
ầ g n 1
(np ≥ 10 và n(1 – p) ≥ 10)
ể ấ
:
ỉ Ta có th x p x ( X N np, np(1 p)
)
(
)2
VÍ DỤ
ả
ụ
ổ
ư
ạ ộ ụ s m i k
ợ
ỏ
ợ
ả
ấ
ấ
ồ ể ồ
ủ ơ
ế
ụ ộ M t nhà hàng khách s n ph i ph c v bu i ăn tr a cho m t đoàn có 900 ụ khách. Nhà hàng ph c v làm hai ả ử ỗ hách hàng ợ ế Gi đ t liên ti p. ẫ cượ chọn ng u nhiên theo đ t 1 đ ho cặ đ t 2. H i nhà hàng ph i có ít ỗ nh t bao nhiêu ch ng i đ xác su t ỗ không có đ ch ng i cho khách đ n ăn bé h n 2%?
GI
IẢ
ườ ợ i ch n ăn đ t 1, khi đó
ườ ọ G i X là s ng ọ ố s ng ọ ố ợ i ch n ăn đ t 2 là 900 – X
Ta có th xem , và
:
� � 1 X B 900; � � 2
:
( X N 450; 15
)2
ể x pấ xỉ
p =
( n = 900 khá l nớ
1 2
ầ không quá g nầ 0 và không quá g n 1;
np(1 p) = 15 np=450 ; )
VÍ DỤ
ọ
ổ
ồ
G i k là s ch ng i dành cho bu i
.
ấ
ỗ ố ụ ụ ăn tr a ph c v cho đoàn khách ỏ Ta c n tìm k nh nh t sao cho:
) >
-
� �
�
ư ầ ( P (X k)
(900 X k)
98%
-
�
� �
P(900 k X k) > 98%
ỏ
(Chú ý: không th a mãn
)
k < 900 k
VÍ DỤ
- -
> 98%
450 k 15
f - f
� � � � � �
� � �
� � � �
f
�
> 0, 98
2
� � �
f
�
> 0, 49
k 450 15 -� k 450 � 15 � -� k 450 � 15 �
� � �
ọ
(
)
> 2, 33
(2,33) 0,4901
- ả Tra b ng tích phân Laplace, ta ch n k sao cho: f (cid:0)
k 450 15
ừ
k
485
T đó
