Nội dung của bài giảng trình bày về bất đẳng thức Chebyshev, luật số lớn, định lý Chebyshev, định lý bernoulli, hệ quả và ý nghĩa của các định lý, định lý giới hạn trung tâm, một số nhận xét, một số bài tập tham khảo và lời giải.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Xác suất thống kê - Chương 5: Các định lý giới hạn ứng dụng
- Chương 5
CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN
ỨNG DỤNG
- §1. BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV
Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên có E(X),
ε>0
Var(X) hữu hạn. Khi đó ta có
Var(X)
P ( X − E(X) < ε ) 1−
ε 2
Bất đẳng thức tương đương
Var(X)
P ( X − E(X) ε)
ε 2
- §2. LUẬT SỐ LỚN
1. ĐỊNH LÝ CHEBYSHEV
2. HỆ QUẢ
3. ĐỊNH LÝ BERNOULLI
- 1. ĐỊNH LÝ CHEBYSHEV
Dãy các đại lượng ngẫu nhiên X1, X2, …
2
E(X i ) =μ
thỏa mãn Var(Xi ) =σ i
, ,
i
i j
cov(Xi, Xj) = 0 ( * )
Khi đó: 1 n
lim 2 σi = 0
2
Nếu thì
n n i =1
X1 + X 2 + ... + Xn 1 n
=
Xn hội tụ đến μi
n n i=1
theo xác suất.
- 2. HỆ QUẢ
Giả sử dãy các đại lượng ngẫu
nhiên X1, X2, … độc lập, có cùng
E(Xi ) =μ
phân phối, có kỳ vọng ,
2
Var(Xi ) =σ
1 n
phương sai hPữu hạn.
Xn = Xi µ
Khi đó n i=1
(
lim P Xn − µ
Nói cách khác
n
- Ý NGHĨA
Mặc dù từng biến ngẫu nhiên độc lập cùng
phân phối có thể nhận giá trị khác nhiều so
với kỳ vọng của chúng (μ) ưng trung bình
nh
1 n
n =
số học X v
Xi ới n khá lớn lại nhận giá
n i=1
μ ε>0
trị gần (khi khá nhỏ) với
xác suất khá lớn (gần 1)
Điều này có ý nghĩa quan trọng trong lý
thuyết mẫu (phần thống kê)
- 3. ĐỊNH LÝ BERNOULLI
n
Giả sử là t
A ần suất xuất hiện
n
biến cố A trong n phép thử độc
lập và p là xác suất xuất hiện
biến cố A trong mỗi phép thử.
ε>0
Khi đó với mọi ta có:
�n A �
lim P � − p < ε �= 1
n
�n �
- Ý NGHĨA
Khi số phép thử tăng lên vô
hạn ta có tần suất của một
biến cố ổn định xung quanh
giá trị xác suất của biến cố
đó.
- §3. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
Giả sử dãy các đại lượng ngẫu
nhiên X1, X2, … độc lập có cùng
phân phối với kỳ vọng ,
E(Xi ) =μ
phương sai
2
Var(Xi ) =σ ữu hạn khác 0)
(h
Đặ t X + X + ... + X nμ
Zn = 1 2 n
σ n
- §3. ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
x R
Khi đó với mọi ta có:
lim P(Z n < x) = P(Z < x)
n
Trong đó đại lượng ngẫu nhiên Z có
phân phối chuẩn chuẩn hóa Ζ : Ν(0,1)
x t2
1 −
P(Z < x) = e 2 dt
2π −
Nói cách khác Zn hội tụ theo phân phối
đến Z.
- NHẬN XÉT (1/2)
Định lý này cho thấy dù các Xi có thể
là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc hay
liên tục, độc lập có cùng phân phối
nào đó, nhưng tổng chuẩn hóa Zn của
chúng, khi n đủ lớn, có phân phối
xấp xỉ phân phối N(0, 1)
Điều này cũng giải thích vì sao phân
phối chuẩn phổ biến và quan trọng
trong thực tế.
- NHẬN XÉT (2/2)
Từ định lý Giới hạn trung tâm ta
cũng suy ra được một kết quả quan
trọng trong thống kê : trường hợp Xi
không có phân phối chuẩn (nhưng
thỏa mãn các giả thiết),
khi n đủ lớn thì có phân
1 n
X= Xi
n i=1
phối xấp xỉ phân phối chuẩn.
- MỘT ÁP DỤNG KHÁC
X : B(n, p) ới n khá lớn ,
Cho v
p không quá gần 0 và không quá
gần 1
(np ≥ 10 và n(1 – p) ≥ 10)
Ta có thể xấp xỉ
( )
2
X : N np, ( np(1 p) )
- VÍ DỤ
Một nhà hàng khách sạn phải phục vụ
buổi ăn trưa cho một đoàn có 900
khách. Nhà hàng phục vụ làm hai
đợt liên tiếp. Giả sử mỗi khách hàng
được chọn ngẫu nhiên theo đợt 1
hoặc đợt 2. Hỏi nhà hàng phải có ít
nhất bao nhiêu chỗ ngồi để xác suất
không có đủ chỗ ngồi cho khách
đến ăn bé hơn 2%?
- GIẢI
Gọi X là số người chọn ăn đợt 1, khi đó
số người chọn ăn đợt 2 là 900 – X
� 1�
Ta có thể xem , và
X : B 900; xấp xỉ
� 2 �
X : N ( 450; 15 )
2
( n = 900 khá lớn
1
p=
không quá g ần 0 và không quá gần 1;
2
np(1 p) = 15
np=450 ; )
- VÍ DỤ
Gọi k là số chỗ ngồi dành cho buổi
ăn trưa phục vụ cho đoàn khách.
Ta cần tìm k nhỏ nhất sao cho:
P ( (X �k) �(900 − X �k) ) > 98%
� P(900 − k �X �k) > 98%
k < 900 k
(Chú ý: không th ỏa mãn)
- VÍ DỤ
� k − 450 � � 450 − k �
� φ � �− φ� � > 98%
� 15 � � 15 �
�k − 450 �
� 2φ � > 0, 98
�
� 15 �
�k − 450 �
� φ � � > 0, 49
� 15 �
Tra bảng tích phân Laplace, ta chọn k
sao cho: k − 450
> 2, 33 ( φ(2,33) 0,4901 )
Từ đó 15
k 485
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
