Hướng dẫn ôn tập Xác suất thống kê

Chia sẻ: Trường Kings | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

148
lượt xem 29
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tính toán xác suất là một vấn đề nhiều khi hết sức tế nhị. Kể cả trong những bài toán tưởng chừng như rất đơn giản, cũng có thể tính ra kết quả sai mà khó phát hiện sai ở đâu. Trong bài giảng này tôi muốn đưa ra một số ví dụ “nghịch lý” để minh họa điều đó, kèm theo lời giải cho các định lý ở cuối bài. Những nghịch lý này cho thấy chúng ta cần hết sức cẩn thận trong lúc lập mô hình tính toán xác suất, đặc biệt là xác suất có điều...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hướng dẫn ôn tập Xác suất thống kê

TS. Tr n Thái Ninh Hư ng d n ôn t p Xác su t và Th ng kê toán Hà n i 2007
2 Chương I Bi n c ng u nhiên và xác su t 1/ ð nh nghĩa c ñi n c a xác xu t Bài t p m u t ñ Bài 1.1a. T (6 , 4 ) → L y ng u nhiên ra 2 qu . Tìm xác su t các bi n c sau ñây: a. A = (L y ñư c 2 qu ñ ) b. B = (L y ñư c hai qu khác m u) c. C = (L y ñư c ít nh t m t qu ñ ) Bài 1.1b. Cho hai cái thùng và theo cách ký hi u như trên ta có th vi t như sau: T1 (6t, 4ñ), T2 (5t, 5ñ). T thùng 1 l y ng u nhiên ra 2 qu và t thùng 2 l y ng u nhiên ra 1 qu . Tìm xác su t các bi n c sau ñây: a. A = (C 3 qu l y ra ñ u là ñ ) b. B = (Trong 3 qu l y ra có ñúng 2 qu ñ ) c. C = (Trong 3 qu l y ra có ít nh t m t qu ñ ) Bài 1.2. Ngư i ta chia m t t m bìa có in dòng ch KINH TE KE HOACH thành 13 ph n tương ng v i 13 ch cái. Tìm xác su t x p ng u nhiên 10 t m bìa trong s 13 t m bìa nói trên thành ch KHOA KINH TE. Bài 1.3.a (Bài toán khách hàng). Có 3 khách hàng không quen bi t nhau cùng ñi mua hàng m t c a hàng có 5 qu y hàng. Gi s các khách hàng ch n qu y hàng ñ mua hàng m t cách ng u nhiên. Tìm xác su t các bi n c sau ñây: a. A = (C 3 khách hàng cùng vào m t qu y) b. B = (3 khách hàng vào 3 qu y khác nhau) c. C = (Có hai ngư i vào qu y s 1) d. D = (Có hai ngư i vào cùng m t qu y) Bài 1.3.b. 5 khách hàng không quen bi t nhau và cùng vào mua hàng m t c a hàng có 3 qu y hàng. N u s l a ch n qu y hàng c a khách hàng là ng u nhiên thì hãy tìm xác su t c a các bi n c sau: a. A = (C 5 khách hàng cùng vào 1 qu y) b. B = (Có 3 ngư i vào cùng 1 qu y) c. C = (5 ngư i khách vào hai qu y t c là 2 qu y có khách) d. D = (Qu y nào cũng có khách hàng) 2/ ð nh lí c ng và nhân xác xu t Bài t p m u Bài 1.4. Trong m t căn phòng có m t m ch ñi n như hình v sau ñây: 2 1 3 K Gi s s ki n các b ng 1,2,3 b cháy khi b t công t c K là ng u nhiên và ñ c l p v i nhau. Xác su t các bóng b cháy cho trư c và b ng 0,1; 0,2; 0,3 tương ng. Tìm xác su t phòng không có ánh sách khi b t công t c.
3 Bài t p c ng c Bài 1.5. M t chi c máy bay l n lư t ném m i l n m t qu bom xu ng m t chi c c u cho ñ n khi bom trúng c u thì thôi. Tìm xác su t máy bay ném bom trúng c u mà t n không quá 2 qu bom bi t r ng xác su t ném bom trúng c u không ñ i và b ng 0,7. Bài 1.6. B n m t viên ñ n vào hai m c tiêu, xác su t ñ n trúng m c tiêu 1 là 0,5, trúng m c tiêu hai là 0,3. Sau khi b n ñài quan sát báo có m c tiêu b trúng ñ n. Tìm xác su t m c tiêu th nh t trúng ñ n (gi thi t ñ n không th cùng m t lúc trúng c hai m c tiêu) Bài 1.7. Hai Công ty A và B cùng kinh doanh m t m t hàng. Xác su t công ty A thua l là 0,2 xác su t công ty B thua l là 0,4. Tuy nhiên trên th c t kh năng c hai công ty cùng thua l ch là 0,1. Tìm xác su t các bi n c sau ñây: a. Ch có m t công ty thua l b. Có ít nh t m t công ty làm ăn không thua l . 3/ công th c xác su t ñ y ñ – công th c bayes Bài t p m u t ñ t ñ Bài 1.8. Cho hai cái thùng v i cơ c u các qu c u như sau: T1(6 , 4 ), T2(5 , 5 ). Ngư i ta l y ng u nhiên 2 qu t thùng m t(T1) r i b vào thùng hai(T2). Sau ñó l y ng u nhiên ra 1 qu t T2. a/ Tìm xác su t l y ra ñư c qu ñ . Gi s l y ñư c qu ñ . Tìm xác su t: b/ Qu ñ ñó là c a thùng 1 c/ Hai qu b t T1 sang T2 ñ u là ñ . Bài 1.9. Cho hai thùng T1 (6t, 4ñ), T2 (5t, 5ñ). T T1 l y ra 2 qu và t T2 l y ra 1 qu (không nhìn). Sau ñó ch n ng u nhiên m t qu t 3 qu ñó. a/ Tìm xác su t bi n c A = (Ch n ñư c qu ñ ). Gi s ch n ñư c qu ñ , tìm xác su t: b/ C 3 qu l y ra t T1 và T2 ñ u là ñ . c/ Qu ch n ñư c là qu c a thùng m t. Bài t p c ng c Bài 1.10 T l ph ph m c a máy 1 là 1% , c a máy 2 là 2%. M t lô s n ph m g m 40% s n ph m c a máy 1 và 60% s n ph m c a máy 2. Ngư i ta l y ng u nhiên ra 2 s n ph m ñ ki m tra. a/ Tìm xác su t trong hai s n ph m l y ra có ít nh t 1 s n ph m t t?. b/ Gi s hai s n ph m ki m tra ñ u là t t thì kh năng l y ti p ñư c hai s n ph m t t n a là bao nhiêu ? Bài 1.11 M t chi c máy có 3 b ph n 1,2,3. Xác su t c a các b ph n trong th i gian làm vi c b h ng tương ng là 0,2; 0,4; 0,3. Cu i ngày làm vi c ñư c thông báo có 2 b ph n b h ng. Tìm xác su t hai b ph n b h ng ñó là 1 và 2.
4 Chương II Bi n ng u nhiên và quy lu t phân b xác su t Bài t p m u Bài 2.1. Trong m t phân xư ng có ba c máy ho t ñ ng ñ c l p v i nhau. Xác su t ñ các máy b h ng trong m t ca s n xu t tương ng là: 0,1; 0,2; 0,3. a. Xác ñ nh quy lu t phân b xác su t c a s máy h ng trong m t ca s n xu t. b. Tìm xác su t trong 3 ca s n xu t liên t c có ít nh t m t ca không có máy h ng. c. Trung bình trong m t ca s n xu t có bao nhiêu máy t t. Bài 2.2. Theo tài li u th ng kê v tai n n giao thông m t khu v c thì ngư i ta th y t l xe máy b tai n n là 0,0055 (v /t ng s xe/năm). M t công ty b o hi m ñ ngh t t c các ch xe ph i mua b o hi m xe máy v i s ti n là 30.000ñ/xe và s ti n b o hi m trung bình cho m t v tai n n là 3.000.000ñ. H i l i nhu n công ty kỳ v ng thu ñư c ñ i v i m i h p ñ ng b o hi m là bao nhiêu bi t r ng chi phí cho qu n lý và các chi phí khác chi m 30% s ti n bán b o hi m. Bài t p c ng c Bài 2.3. Gieo 2 con xúc x c, g i X là t ng s ch m xu t hi n. Tính EX và V(X). Bài 2.4. Theo s li u th ng kê m t c a hàng kinh doanh rau tươi thì ngư i ta th y lư ng rau bán ra là bi n ng u nhiên có b ng phân b xác su t như sau : x(kg) 10 15 20 25 30 p 0,1 0,15 0,45 0,2 0,1 N u giá nh p là 10000ñ/kg thì c a hàng s lãi 5000ñ cho m i kg bán ra, tuy nhiên n u ñ n cu i ngày không bán ñư c s b l 8000ñ/kg. V y m i ngày c a hàng nên nh p bao nhiêu kg rau ñ hy v ng s thu ñư c lãi nhi u nh t? Bài 2.5. M t ngư i ñi mau hàng v i xác su t ch n ñư c hàng t t là 0,9. N u l n trư c ngư i ñó ch n ñư c hàng x u thì xác su t ch n ñư c hàng t t l n sau là 0,95 còn n u l n trư c ngư i ñó ch n ñư c hàng t t thì không có kinh nghi m gì khi mua l n sau. Ngư i ñó ñã mua hàng 2 l n, m i l n mua 1 s n ph m. a. Tìm xác su t ñ có 1 l n mua ph i hàng x u b. Tìm s hàng t t trung bình mua ñư c sau 2 l n mua và xác su t ñ mua ñư c s hàng t t trung bình ñó. Bài 2.6. M t công ty d ñ nh t ch c bu i ca nh c vào ñêm Noel t i sân v n ñ ng . S ngư i s ñ n xem d ki n là : - N u tr i không mưa và m thì s có 10.000 ngưòi ñ n .
5 - N u tr i không mưa và rét thì s có 5.000 ngưòi ñ n . - N u tr i mưa và m thì s có 2.000 ngưòi ñ n . - N u tr i mưa và rét thì s có 1.000 ngưòi ñ n . Các kho n chi phí bao g m : Thuê sân 5 tri u , thuê ban nh c 20 tri u , chi cho qu n lý và các d ch v khác 10 tri u , thu doanh thu 10% . N u giá vé ñư c quy ñ nh là 10.000 ñ thì ti n lãi thu ñư c trung bình là bao nhiêu ? Bi t r ng ngư i ta d ñoán ñư c 60% ñêm Noel không mưa và 80% ñêm Noel tr i s rét . Gi thi t tr i mưa hay không mưa ñ c l p v i tr i rét hay m . N u mu n ti n lãi thu ñư c b ng 30% doanh thu thì ph i quy ñ nh giá vé là bao nhiêu ? Chương III M t s quy lu t phân b xác su t quan tr ng 1/ Quy lu t nh th c : Bi(n,p) - A có P(A) = p không ñ i Th c hi n n phép th ñ c l p ñ i v i A => X ~ B(n,p) ; EX=np , V(X) = - np(1-p) X =( S l n x y ra A trong n phép th nói trên ) - k2 ∑ C p (1 − p) n −i ii + Công th c tính xác su t : P( k1 < X < k2 ) = i = 1,2,..., n. n i = k1 np + p -1 ≤ k ≤ np + p + Xác ñ nh s có kh năng x y ra l n nh t : 2/ Quy lu t phân b chu n : N(µ , σ2) b−µ a−µ - P( a < X < b ) = Φ 0 ( ) − Φ0 ( ) σ σ ε  P( | X - EX |
6 ch a k p th i t t c các máy h ng trong ca chúng ta nên b trí bao nhiêu k sư máy tr c cho m t ca s n xu t là h p lý nh t. 1. Quy lu t phân b chu n Bài 3.2. Tu i th c a m t lo i s n ph m s n xu t hàng lo t là bi n ng u nhiên phân ph i chu n v i µ = 1000 gi và σ 2 = 100 gi . a. N u th i gian b o hành là t = 980 gi hãy tính t l s n ph m ph i b o hành p. b. N u bán ñư c m t s n ph m lãi 50.000 ñ ng, nhưng n u trong th i gian b o hành s n ph m b h ng thì chi phí b o hành trung bình là 500.000 ñ ng. H i ti n lãi trung bình ñ i v i m i s n ph m bán ra là bao nhiêu. N u mu n ti n lãi trung bình ñ i v i m i s n ph m bán ra là m0 =4500 thì ph i h t l b o hành xu ng m c p0=? c. N u mu n t l b o hành là p0 =0,01 thì ph i quy ñ nh th i gian b o hành là bao nhiêu. e. N u th i gian b o hành t không ñ i nhưng chúng ta l i mu n gi m t l b o hành xu ng m c p0 thì ph i tăng ch t lư ng s n ph m b ng cách nâng tu i th trung bình c a s n ph m lên bao nhiêu gi ? Bài t p c ng c Bài 3.3. Tìm xác su t chon ng u nhiên m t gia ñình 4 ñ a con thì gia ñình ñó : a. Có ít nh t m t con trai b. Có ít nh t m t ñ a con trai và m t ñ a con gái. Gi thi t r ng xác su t sinh con trai và con gái là như nhau. Bài 3.4. Chi u dài c a chi ti t ñư c gia công trên máy t ñ ng là bi n ng u nhiên tuân theo quy lu t phân ph i chu n v i ñ l ch tiêu chu n là 0,01 mm. Chi ti t ñư c coi là ñ t tiêu chu n n u các kích thư c th c t c a nó sai l ch so v i kích thư c trung bình không vư t quá 0,02 mm. a) Tìm t l chi ti t không ñ t tiêu chu n. b) Xác ñ nh ñ ñ ng ñ u c n thi t c a s n ph m ñ t l chi ti t không ñ t tiêu chu n ch còn 1% . Bài 3.5. Có hai th trư ng A và B, lãi su t c a c phi u trên hai th trư ng này là các bi n ng u nhiên phân ph i chu n, ñ c l p v i nhau, có kỳ v ng và phương sai ñư c cho trong b ng dư i ñây. Trung bình Phương sai Th trư ng A 19% 36 Th trư ng B 22 % 100 a. N u m c ñích là ñ t ñư c lãi su t t i thi u b ng 10% thì nên ñ u tư vào lo i c phi u nào? b. ð tránh r i ro thì nên ñ u tư vào c phi u trên c hai th trư ng theo t l như th nào? Chương IV Bi n ng u nhiên hai chi u 1/ Phân b xác su t : P( X = xi , Y = yj ) = pij = P( X = xi ) P( Y = yj / X = xi ) = P( Y = yj ) P( X = xi / Y = yj ) - P( X = x i , Y = y þ ) P( X = x i / Y = y þ ) = - P (Y = y þ ) 2/ Kỳ v ng có ñi u ki n :
7 E(X/ Y= yj ) = ∑ xiP( X= xi / Y= yj ) - 3/ Hi p phương sai - H s tương quan : cov( X , Y ) - cov(X,Y) = ∑(xi - EX)(yj - EY)pij = ∑ xi yjpij - EX.EY → ρXY= V ( X ) V (Y ) 2 2 V(aX + bY) = a V(X) + b V(Y) + 2abcov(X,Y) - Bài t p m u Bài 4.1. t ñ t ñ Cho 2 cái thùng: T1 (6 , 4 ), T2 (5 , 5 ) L y ng u nhiên 2 qu t thùng 1 b sang thùng 2, sau ñó t thùng 2 l y ng u nhiên m t qu . a. Tìm quy lu t phân b xác su t ñ ng th i c a s qu c u ñ l y ra ñư c t thùng 1 (ñ b vào thùng 2) và s qu ñ l y ra ñư c t thùng 2. b. N u 2 qu l y ra t thùng 1 ñ u là qu ñ thì trung bình m i l n ta l y ñư c bao nhiêu qu ñ t thùng 2? Bài 4.2. Cho bi t b ng phân b xác su t c a bi n ng u nhiên 2 chi u (X,Y), trong ñó X = (Doanh thu- tri u ñ ng), Y = (Chi phí qu ng cáo-tri u ñ ng) như sau: X 100 150 200 PY Y 0 0,1 0,05 0,05 0,2 1 0,05 0,2 0,15 0,4 2 0 0,1 0,3 0,4 PX 0,15 0,35 0,5 1 Hãy cho bi t t t c nh ng thông tin (có th tính toán ñư c) v hai bi n ng u nhiên X, Y và m i quan h gi a chúng. Bài 4.3. Cho b ng phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên hai chi u (X,Y) như sau: Y 1 2 3 X 0 0.2 0.25 a 1 b 0.15 0.1 a. L p b ng phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X, bi t E(X)=0.5 b. Tìm quy lu t phân b xác su t c a Z = XY ? Bài 4.4. Có hai lo i c phi u A, B ñư c bán trên th trư ng ch ng khoán và lãi su t c a chúng là 2 bi n ng u nhiên X, Y tương ng. Gi s (X, Y) có b ng phân b xác su t như sau: Y -2 0 5 10 X 0 0 0,05 0,05 0,1 4 0,05 0,1 0,25 0,15 6 0,1 0,05 0,1 0
8 a. N u ñ u tư toàn b vào c phi u A thì lãi su t kỳ v ng và m c ñ r i ro là bao nhiêu? b. N u m c tiêu là nh m ñ t ñư c lãi su t kỳ v ng là l n nh t thì nên ñ u tư vào c hai lo i c phi u trên theo t l nào? c. Mu n h n ch r i ro v lãi su t ñ n m c th p nh t thì nên ñ u tư vào hai lo i c phi u trên theo t l nào?
9 Chương VI M u ng u nhiên và các ñ c trưng m u Phân b xác su t c a các ñ c trưng m u 1/ M u l y ra t t ng th phân b chu n 1. N u X ~ N (µ , σ2 )  σ2  b−µ a−µ ε    + X ~ N  µ,  → + P( a < X < b ) = Φ 0  n  + P( | X - µ | < ε) = 2 Φ 0   n  − Φ0 n n σ σ σ        2. N u X1 ~ N(µ1 , σ12); X2 ~ N(µ2 , σ22)   σ2 σ2 n n 1 1 ∑X ⇒ X 1 − X 2 ~ N  µ1 − µ 2 , 1 + 1  ∑X + X1 = = X   2 2i 1i n1 n1 n2 n2   1 1 ( ) ( ) 1n 1n ∑ X 1i − X 1 2 2 ∑X + S12 = S2 = 2 −X 2 2i n1 − 1 1 n2 − 1 1 (n − 1) S 12  ~ χ 2 (n1 − 1)  1 σ 12 S 12 σ 22   ⇒ 2 . 2 ~ F (n1 − 1, n 2 − 1) (n 2 − 1) S 22 ~ χ 2 (n − 1) S2 σ1  σ 22 2  ∑(X − X )(Yi − Y ) XY − XY = i + R XY = ∑(X ∑ (Y 2 MS X MS Y − X) − Y )2 i i 2/ M u l y ra t phân b không-m t 2.1. X ~ A(p) và v i n ñ l n (n≥100)      p(1 − p )  b− p a− p m  ⇒ P( a < f < b ) = Φ 0  n  − Φ0 n + f= ~ N  p,       p (1 − p ) p (1 − p ) n n       ε + P( f − p < ε ) = 2 Φ 0  n   p (1 − p)   2.2. X1 ~ A (p1) , X2 ~ A (p2) và n1 , n2 ñ l n.   p (1 − p1 ) p 2 (1 − p 2 )   m1 m ⇒ f1 − f 2 ~ N  p1 − p 2 ,  1  + f1 = ; f2 = 2 +    n1 n2 n1 n2    Bài t p m u Bài 6.1. Chi u cao thanh niên c a vùng M là bi n ng u nhiên phân b chu n v i µ = 165cm, σ 2 = 10 2 2 (cm) . Ngư i ta ño ng u nhiên chi u cao c a 100 thanh niên vùng ñó. a. Xác su t ñ chi u cao trung bình c a 100 thanh niên ñó s sai l ch so v i chi u cao trung bình c a thanh niên vùng M không vư t quá 2cm là bao nhiêu? b. Kh năng chi u cao trung bình c a s thanh niên trên vư t quá 168cm là bao nhiêu? c. N u mu n chi u cao trung bình ño ñư c sai l ch so v i chi u cao trung bình c a t ng th (c a t t c
10 thanh niên vùng M)không vư t quá 1cm v i xác su t (ñ tin c y) là 0,99 thì chúng ta ph i ti n hành ño chi u cao c a bao nhiêu thanh niên. d.V i kích thư c m u là 100 thì ñ l ch chu n m u s l n hơn giá tr th t c a nó ít nh t bao nhiêu l n v i xác su t là 0,05. Bài 6.2. Chi u dài c a m t lo i s n ph m ñư c s n xu t hàng lo t là bi n ng u nhiên phân ph i chu n v i µ = 100mm và σ 2 = 42 . Ki m tra ng u nhiên 25 s n ph m. Kh năng chi u dài trung bình c a s s n ph m ki m tra n m trong kho ng t 98mm ñ n 101mm là bao nhiêu? Bài 6.4. Lô hàng ñ t tiêu chu n xu t kh u n u t l ph ph m không quá 5%. Gi s m t lô hàng ñ t tiêu chu n xu t kh u thi khi ki m tra 100 s n ph m kh năng có không quá 8 s n ph m ph ph m là bao nhiêu? Bài 6.5. T l ngư i hút thu c lá m t khu dân cư là 10%. V i xác su t 0,95 hãy cho bi t n u ki m tra ng u nhiên 100 ngư i thì s có t i ña bao nhiêu ngư i hút thu c lá? Bài t pc ng c Bài 6.6. M t phư ng s ñư c coi là làm t t công tác k ho ch hóa gia ñình n u t l gia ñình sinh con th 3 là không quá 1%.V y t i m t phư ng n u ki m tra ng u nhiên 900 gia ñình thì ph i có t i thi u bao nhiêu gia ñình không sinh con th 3 thì chúng ta có th k t lu n phư ng trên làm t t công tác k ho ch hóa gia ñình mà kh năng không m c sai l m là 99%. Bài 6.7. N u cho r ng t l c tri ng h cho ng c viên A và B là như nhau thì khi ph ng v n 2500 ngư i thì kh năng t l ng h A và B khác bi t nhau không quá 4% là bao nhiêu? Bài 6.8. Theo nh n ñ nh c a cơ quan qu n lý ch t lư ng thì ch có 80% s s n ph m c a cơ s kinh doanh A là ñ t yêu c u v ch t lư ng an toàn th c ph m. Nhân tháng. Ki m tra ng u nhiên 100 s n ph m c a cơ s kinh doanh tnói trên. a/ Tính xác su t ñ trong s các s n ph m ñư c ki m tra có không ít hơn 85 s n ph m ñ t yêu c u. b/ N u 90% s s n ph m c a cơ s kinh doanh A là ñ t yêu c u v ch t lư ng thì v i xác su t 99% có th kh ng ñ nh trong 100 s n ph m ñư c ki m tra s có ít nh t bao nhiêu s n ph m ñ t yêu? Bài 6.9. Gi s t l ngư i dân thành ph A mua b o hi m nhân th là 25%. a/ Tính xác su t ñ có nhi u hơn 28% s ngư i trong m t m u ng u nhiên g m 120 ngư i c a thành ph này có mua b o hi m nhân th . b/ V n s d ng m u 120 ngư i trên, v i xác su t là 0,1 thì t n su t m u l n hơn t l c a c t ng th m t lư ng ít nh t là bao nhiêu? Bài 6.10. Tr ng lư ng c a m t bao ñư ng là bi n ng u nhiên phân b chu n v i tr ng lư ng tiêu chu n là 50 kg và ñ l ch chu n là 0,5 kg. Ki m tra ng u nhiên 100 bao. a/ Kh năng tr ng lư ng trung bình c a 100 bao ñư ng nói trên ít hơn tr ng lư ng quy ñ nh ñ i v i m t bao trên 1 kg b ng bao nhiêu? b/ Cho bi t n u ch n ng u nhiên 2 bao thì xác su t t ng tr ng lư ng c a chúng không ít hơn 99 kg là bao nhiêu?
11 Chương VII Ư c lư ng tham s c a quy lu t phân b xác su t 1/ X ~ N(µ,σ2) : + Ư c lư ng tham s µ : 2 2 Trư ng h p σ ñã bi t Trư ng h p σ chưa bi t  σ  S σ S  X − t α(n/−21) < µ < X + t αn/−21) (  X − uα / 2 )  < µ < X + uα / 2  n  n     n n σ S µ ≤ X + t α(n −1) µ ≤ X + uα Kho ng tin c y t i ña : Kho ng tin c y t i ña : n n σ S Kho ng tin c y t i thi u : µ ≥ X − t αn −1) ( Kho ng tin c y t i thi u : µ ≥ X − u α n n Xác ñ nh kích thư c m u n ñ cho IN ≤ Io : Xác ñ nh kích thư c m u l y thêm m ñ cho In+m ≤ Io : 4u 2 2 σ 2 N ≥ α /2 4(t αn/−21) ) 2 s 2 ( I0 n+m≥ I 02 +Ư c lư ng tham s σ2 : Trư ng h p µ ñã bi t Trư ng h p µ chưa bi t  nS *2   (n − 1) S 2 (n − 1) S 2  nS *2 2  2 
12 Bài t p m u Bài 7.1. a/ Hãy ư c lư ng năng su t trung bình c a m t lo i cây tr ng b ng kho ng tin c y 95% trên cơ s b ng s li u sau ñây: Năng su t (t /ha) 42,5- 47,5- 52,5- 57,5- 62,5- 47,5 52,5 57,5 62,5 67,5 S ñi m thu 2 5 14 10 5 ho ch b/ N u mu n ñ chính xác c a lư ng không vư t quá 1 thì ph i ti n hành thu ho ch thêm bao nhiêu ñi m n a? Gi thi t r ng năng su t cây tr ng là bi n ng u nhiên tuân theo quy lu t phân b chu n. X = (...............................................................................................................) → X ~ N(µ , Gi i : a/ + 2 σ) µ là ............................................................................................................... σ2 là ................................................................................................................ + Theo yêu c u c a bài toán ta ph i tìm kho ng tin c y.................................... v i ñ tin c y (1- α)=......... cho tham s ....... trong phân b chu n trư ng h p ......................................................................................... Kho ng tin c y ñó là : + Tính toán . L p b ng tính sau ñây: 2 Năng su t ni xi ni xi nixi 42.5 - 47,5 2 45 47,5 - 52,5 5 50 52,5 - 57,5 14 55 57,5 - 62,5 10 60 62,5 - 67,5 5 65 ∑ 36 ∑ ni x i2 ∑ ni x i x2 = x= = = n n n ms = x 2 − ( x )2 = s= ms = n −1
13 b/ Theo yêu c u c a bài toán ta ph i xác ñ nh kích thư c m u c n l y thêm m sao cho : Bài 7.2. ði u tra m c doanh thu c a 100 h kinh doanh v m t hàng A, thu ñư c b ng s li u sau: M c doanh thu (Tri u 20 22 24 26 28 ñ ng) Sh ni 10 21 32 25 12 a/ Tìm ư c lư ng không ch ch t t nh t c a doanh thu trung bình? Gi thi t m c doanh thu c a các h tuân theo quy lu t chu n v i ñ l ch chu n là 0,1 tri u thì kh năng giá tr c a ư c lư ng trên s sai l ch so v i giá tr th c không vư t quá 20000 ñ là bao nhiêu? b/ D a vào s li u thu ñư c, hãy ư c lư ng m c doanh thu trung bình c a các h kinh doanh m t hàng A b ng kho ng tin c y 95%. Bài 7.3. Sai s c a ñ ng h là bi n ng u nhiên tuân theo quy lu t chu n. Sau 1 tháng (31 ngày) theo dõi ngư i ta tính ñư c s = 15 giây/ngày. Hãy ư c lư ng ñ chính xác c a ñ ng h b ng kho ng tin c y 95%. Bài 7.4. a/ Ư c lư ng t l gia ñình ñang s d ng lo i máy bơm B (trong s gia ñình ñã có máy bơm) bi t r ng ñi u tra ng u nhiên 1000 gia ñình ngư i ta th y 400 gia ñình có máy bơm. Trong s ñó có 15 gia ñình ñang s d ng lo i máy bơm B. Cho α = 0,05. Mu n có kho ng tin c y v i ñ dài gi m ñi m t n a thì ph i l y m t m u kích thư c là bao nhiêu? b/ Cho bi t công ty M t tr i là ñơn v s n xu t ra lo i máy bơm B . Công ty ñã bán ñư c 550 chi c bơm trên ñ a bàn kinh doanh c a mình . ð xây d ng k ho ch s n xu t cho tương lai b n hãy giúp công ty ư c lư ng s h ñã có máy bơm t i ñ a bàn kinh doanh nói trên b ng kho ng tin c y 95%. Gi thi t m i h ch dùng 1 máy bơm . Bài t pc ng c Bài 7.5. S n xu t th 100 s n ph m trên m t dây chuy n t ñ ng ngư i ta th y có 60 s n ph m ñ t tiêu chu n. Ư c lư ng t l s n ph m không ñ t tiêu chu n t i ña v i ñ tin c y 95%. Bài 7.6. Hãy ư c lư ng b ng kho ng tin c y ñ i x ng v i h s tin c y 95% s vi khu n có trong 1 ñơn v dung d ch thí nghi m . Bi t r ng ngư i ta ñã l y ra 100 con vi khu n và ñánh d u (nhu m m u sinh h c) r i sau ñó th chúng tr l i dung d ch ñó . Sau m t th i gian ng n l y ng u nhiên ra ki m tra 200 con vi khu n thì th y có 15 con có d u. ðS: ( 897 ≤ N ≤ 2597 ) Bài 7.7. Hãy ư c lư ng v i h s tin c y 90% t ng s t b c gi c a 1 lo i gi y b c hi n có trong lưu thông bi t r ng ngư ita ñã ñánh d u 200 t gi y b c lo i này r i tung vào lưu thông, sau m t th i gian ng n ki m tra 600 t gi y b c gi lo i này thu v , th y có 16 t có d u. ðS : ( 5136 ≤ N ≤ 12420 ). Bài 7.8. ði u tra thu nh p hàng năm c a 100 công nhân t i xí nghi p Mùa ñông thu ñư c các s li u sau:
14 Thu nh p (tri u 5.5 5.8 6 6.2 ñ/năm ) 6.5 S công nhân 15 20 35 25 5 a. V i ñ tin c y 0,95 hãy xác ñ nh t i thi u có bao nhiêu công nhân có thu nh p hàng năm ≤ 5.5 tri u, bi t r ng xí nghi p ñó có 500 công nhân. b. V i ñ tin c y 0,95 hãy ư c lư ng thu nh p trung bình hàng năm c a công nhân xí nghi p ñó. Gi thi t r ng thu nh p c a công nhân là bi n ng u nhiên có phân b chu n. M ≥ 0,09126 ⇒ ( M ≥ 46 ) (5,90924 < µ < 6,01076) ðS: a. p = b. 500 Bài 7.9. T l ph ph m c a hàng A là p. Mu n ư c lư ng p b ng kho ng tin c y 95% v i ñ dài ≤ I0 = 0,01 thì ph i l y m t m u kích thư c t i thi u bao nhiêu là h p lý nh t? Bài 7.10. M c tiêu hao nhiên li u c a m t lo i xe ô tô là bi n ng u nhiên tuân theo quy lu t chu n. Do tình hình ñư ng sá ñư c c i thi n ñ thay ñ i ñ nh m c tiêu hao nhiên li u ngư i ta ñã theo dõi 100 chuy n xe và thu ñư c các s li u sau : Lư ng tiêu hao(l/100 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 km) S chuy n xe 14 20 36 22 8 a/ Hãy ư c lư ng m c tiêu hao nhiên li u trung bình v i ñ tin c y 95%. b/ Xe c n ñưa vào ki m tra k thu t là xe có m c tiêu hao nhiên li u trên m c 55 lít/100 km . Hãy ư c lư ng t l xe c n ñưa vào ki m tra k thu t t i ña v i ñ tin c y 95% trên cơ s s li u ñi u tra trên ? p ≤ 0,124628 ðS : a. (45,88133 < µ < 48,11867) b.
15 Chương VIII Ki m ñ nh gi thi t th ng kê Ki m ñ nh gi thi t v tham s 2 1/ Ki m ñ nh gi thi t v tham s µ : X ~ N(µ , σ ) Mi n bác b khi σ2 ñã bi t Mi n bác b khi σ2 chưa bi t Gi thi t Gi thi t H0 : (µ =µo )     x − µ0 x − µ0     H 0 : ( µ= µo ) Wα =  u = n ; t < - tαn −1)  Wα =  u = n ; u < −u α  ( H1 : (µ µ o ) H1 : (µ >µo ( n −1) Wα = { u = . . . ;u> ; t > tα Wα = { t = . . . ) uα } } H1 : (µ ≠µo ) H1 : (µ ≠µo ( n −1) Wα = { u =... ; |u| > ; |t| > tα / 2 W α = { t =. . . ) uα/2 } } 2 2 µ1 , µ2 : X1 ~ N(µ1 , σ1 ) – X2 ~ N(µ2 , σ2 ) 2/ So sánh hai tham s Mi n bác b khi σ2 ñã bi t Mi n bác b khi σ2 chưa bi t Gi thi t Gi thi t H0 :( H0 : (   x1 − x 2     x1 − x 2   µ1=µ2 ) µ1=µ2 ) Wα =  u = ; u < - uα  Wα =  u = ; u < - uα  s12 / n1 + s 22 / n2   H1 : (µ1 uα } Wα = { u = . . . ; u > uα } :(µ1>µ2) ) H1: (µ1≠µ2 H1: (µ1 ≠µ2 Wα = { u = . . . ; |u| > uα/2 Wα = { u = . . . ; |u| > uα/2 } ) } ) 2 σ: 3/ Ki m ñ nh gi thi t và so sánh v tham s Mi n bác b khi µ chưa bi t Mi n bác b khi µ1, µ2 chưa bi t Gi thi t Gi thi t H0 : H0:  2 ( n − 1) s 2    s2 Wα =  χ = ; χ 2 < χ 12−α (n - 1)  Wα =  F = 12 ; F < f 1-α (n 1 - 1, n 2 - 1)  2 2 2 2 (σ =σo ) (σ1 =σ2 ) σ0 2 s2     H1 : H1 : 2 2 2 2 (σ fα(n1 -1,n2 -1) (σ2>σo2) (σ12>σ22) } (n − 1) s 2 χ < χ 1−α / 2 (n - 1)   2 2 s 2 F < f 1− α (n 1 - 1, n 2 - 1)    Wα =  χ 2 =   ;2 H1 H1: Wα = F = 12 ; σ 02 χ > χ α2 / 2 (n - 1)    2 :(σ2≠σo2) (σ12≠σ22)  s 2 F > f α / 2 (n 1 - 1, n 2 - 1)    4/ Ki m ñ nh gi thi t và so sánh tham s p trong phân b A(p) Gi thi t Mi n bác b Gi thi t Mi n bác b H0 H0 : (p1=p2     f − p0   f1 − f 2   Wα =  u = n ; u < −u α  :(p=po) ) Wα =  u = ; u < - uα  p 0 (1 − p 0 )   H1 H1 : (p1 uα Wα = { u = . . . ; u > uα } (p>pp) ) } H1 H1 : Wα = { u = . . . ; |u| > uα/2 Wα = { u = . . . ; |u| >uα/2 } :(p≠po) (p1≠p2) }
16 Ki m ñ nh phi tham s 1/ H0 : ( Hai ch tiêu A và B ñ c l p v i nhau ) H0 : ( Hai ch tiêu A và B ph thu c nhau )       n2 Wα =  χ 2 = n (∑ Þ ) − 1 ; χ 2 > χ α2 [(k − 1)(l − 1)]      n i . n. j     2/ H0 : ( X tuân theo quy lu t phân b nh th c B(N,p) ) H1 : ( X không tuân theo quy lu t phân b nh th c )   '2 N (n − n )   ∑ Wα =  χ 2 = i i ; χ 2 > χ 2 ( N − m )  (Trong ñó: m=0 n u p ñã bi t và m=1 n u p chưa α '   i =0 n   i bi t ) Bài t p m u 1. Ki m ñ nh gi thi t v tham s Bài 8.1. ð chính xác c a m t chi c ñ ng h theo thi t k là σ = 10 giây/ngày . Sau 1 tháng (31 ngày) theo dõi ngư i ta tính ñư c s = 15 giây/ngày . H i ñ ng h có ho t ñ ng bình thư ng không ? Cho k t lu n v i m c ý nghĩa 5% . Gi thi t r ng sai s c a ñ ng h là bi n ng u nhiên tuân theo quy lu t chu n. → X ~ N(µ , σ2) Gi i : a. + X = (......................................................................................................) µ là ....................................................................................................... σ2 là ......................................................................................................... + Theo yêu c u c a bài toán ta ph i ki m ñ nh c p gi thi t sau ñây : H0 : ( σ 2 = σ 0 = ............... ) 2 H1 : (.................................. ) + Mi n bác b ñ ki m ñ nh c p gi thi t trên là :   Wα =  χ 2 =    + Tính gíá tr quan sát và k t lu n : Bài 8.2. M t công ty d ñ nh m m t c a hàng siêu th t i m t khu dân cư A. ð ñánh giá kh năng mua hàng c a nhân dân trong khu , giám ñ c công ty ñã cho ñi u tra thu nh p bình quân hàng tháng c a 100 h ñư c ch n m t cách ngâũ nhiên trong khu và thu ñư c b ng s li u sau: Thu nh p bình quân 150 200 250 300 350 (ngàn/ngư i/tháng) Sh 10 15 20 30 10 Theo tính toán c a b ph n kinh doanh thì siêu th ch ho t ñ ng có hi u qu t i khu v c này n u thu nh p bình quân hàng tháng c a các h ñ t trên m c 250 nghìn ñ ng/tháng. V y qua k t qu ñi u tra trên,
17 công ty có nên quy t ñ nh m siêu th t i khu dân cư A này hay không? Yêu c u k t lu n v i xác su t tin c y 95%. Bi t r ng thu nh p bình quân hàng tháng c a các h trong khu v c này tuân theo quy lu t chu n. Bài 8.3. B nh A có th ch a b ng hai lo i thu c là H và K. Công ty s n xu t thu c H tuyên b t l b nh nhân kh i b nh do dùng thu c c a h là 85%. Ngư i ta dùng th thu c H cho 250 nhân b b nh A th y có 210 ngư i kh i b nh và dùng th thu c K cho 200 b nh nhân b b nh A th y có 175 ngư i kh i b nh. a. Hi u qu ch a b nh c a thu c H có ñúng như công ty qu ng cáo không? Cho k t lu n v i m c ý nghĩa 5%. b. V i m c ý nghĩa 0,05 có th k t lu n thu c K có kh năng ch a b nh A t t hơn không? Bài 8.4. M t HTX tr ng th hai gi ng lúa , m i gi ng trên 30 th a ru ng và ñư c chăm sóc như nhau . Cu i v thu ho ch ngư i ta ñư c s li u như sau : Năng su t trung bình ( x ) ð l ch tiêu chu n ( s ) Gi ng lúa I 45 2,5 Gi ng lúa II 46,5 4,0 Cho bi t ý ki n c a b n v m t s nh n ñ nh sau ñây : a/ Năng su t trung bình c a hai gi ng lúa có th coi là như nhau . b/ N u ch p nh n ý ki n câu a/ thì ch n gi ng lúa nào ñ ñưa vào s n xu t ñ i trà cũng như nhau. Bi t r ng năng su t c a hai gi ng lúa là hai bi n ng u nhiên phân ph i chu n Ch n m c ý nghĩa α = 5%. Bài t pc ng c Bài 8.5. Trư c ñây ñ nh m c tiêu dùng ñi n cho 1 h gia ñình trong m t tháng là 140 KW. Do ñ i s ng nâng cao , ngư i ta theo dõi 100 h gia ñình và thu ñư c các s li u sau L ng tiêu dùng 100- 120- 140- 160- 180- 120 140 160 180 200 S h gia ñình 14 25 30 20 11 a/ Theo anh (ch ) có c n thay ñ i ñ nh m c không ?Cho α = 5%. 2 2 b/ N u trư c ñây m c ñ bi n ñ ng c a m c tiêu dùng ñi n cho 1 h gia ñình là σ = 20 . V y hi n nay m c ñ bi n ñ ng trên tăng hay gi m? Hãy cho k t lu n v i m c ý nghĩa 5%. Gi thi t r ng lư ng ñi n tiêu dùng c a m t h gia ñình là bi n ng u nhiên tuân theo quy lu t chu n. x − µ0 147,8 − 140 t qs = n= ðS: 100 = 3,23607 s 24,1033 Bài 8.6. Theo dõi giá c phi u c a hai công ty A và B trong vòng 100 ngày ngư i ta tính ñư c các giá tr sau ñây : Giá trung bình ð l ch chu n Công ty A 37500 1500 Công ty B 38800 2200 Gi thi t r ng giá c phi u c a hai công ty A và B là hai bi n ng u nhiên phân ph i chu n . Hãy cho bi t ý ki n c a b n v nh ng ý ki n sau ñây : a. Có s khác bi t th c s v giá c phi u trung bình c a hai công ty ?
18 b. N u như ñ u tư vào c phi u c a công ty B thì m c ñ r i ro s l n hơn. Ch n : α = 5%. Bài 8.7. T l ph ph m do máy A s n xu t là 5%. Ki m tra 150 s n ph m do máy B s n xu t th y có 9 ph ph m. a. Ư c lư ng t l ph ph m t i ña c a máy B v i ñ tin c y 95%. b. V i m c ý nghĩa 5% có th cho r ng t l ph ph m c a hai máy trên là khác nhau không? c. V i xác su t 0,95 hãy cho bi t n u ki m tra 200 s n ph m c a dây chuy n A thì s có t i ña bao nhiêu ph ph m? Bài 8.8. M t dây chuy n s n xu t t ñ ng n u ho t ñ ng bình thư ng thì t l s n ph m không ñ t tiêu chu n là 2%. Ki m tra ng u nhiên m t lô g m 250 s n ph m th y có 7 s n ph m không ñ t tiêu chu n. V y theo anh(ch ) dây chuy n s n xu t trên có ho t ñ ng bình thư ng không. Cho k t lu n v i α = 5%, Bài 8.9. Theo dõi giá c phi u c a công ty A trong hai ñ t, m i ñ t 36 phiên giao d ch ngư i ta tính ñư c : Giá c phi u trung bình (ngàn ñ ng) ð l ch chu n ð tI 37,58 2,50 ð t II 38,24 1,60 Gi thi t r ng giá c phi u là bi n ng u nhiên phân ph i chu n. V i m c ý nghĩa 5% hãy cho bi t ý ki n c a b n v các nh n ñ nh sau ñây : a. Giá c phi u ñã th c s tăng lên. b. ð r i ro khi ñ u tư vào c phi u trên gi m ñi. Bài 8.10. M c tiêu hao nguyên li u cho m t ñơn v s n ph m là bi n ng u nhiên tuân theo quy lu t chu n. Do có thay ñ i v công ngh nên ch t lư ng s n xu t ñư c c i thi n rõ r t, ñ có cơ s thay ñ i ñ nh m c tiêu hao nguyên li u ngư i ta ñã theo dõi 100 s n ph m và thu ñư c các s li u sau : Lư ng tiêu hao(gam/sp) 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 S s n ph m 14 20 36 22 8 a. N u ñ nh m c tiêu hao nguyên li u trư c ñây là 50 gam/sp thì vi c thay ñ i công ngh có ñem l i hi u qu th c s không? Cho k t lu n v i m c ý nghĩa 5%. b. S n ph m có m c tiêu hao nguyên li u trên m c 55 g/sp ñư c g i là "s n ph m không kinh t ". Hãy ư c lư ng s "s n ph m không kinh t " t i ña v i ñ tin c y 95% bi t r ng m u trên ñư c l y ra t lô hàng g m 1000 s n ph m. 2. Ki m ñ nh s ñ c l p c a hai d u hi u ñ nh tính Bài 8.11. Quan sát 400 ngư i v màu m t và màu tóc ngư i ta ñư c b ng s li u sau ñây: Màu tóc Vàng Nâu ðen M um t ðen 12 65 121 Nâu 38 59 105 Có th cho r ng màu m t và màu tóc không có gì liên quan ñ n nhau không? Cho k t lu n v i m c ý nghĩa 5%. Gi i: + ð t A = (................................................................) B = (..................................................................) + Ta có c p gi thi t c n ki m ñ nh là : H0 : (................................................ ) H1 : (.................................................. )
19 + Mi n bác b ñ ki m ñ nh c p gi thi t trên là:      n ij 2 2  ∑   − 1 ; χ 2 > χ α2 [(k − 1)(l − 1)]  χ = n  Wα = n n      i. . j     + Tính gíá tr quan sát và k t lu n. L p b ng tínhsau ñây:: Màu tóc ∑ Vàng Nâu ðen M um t 12 65 121 ðen 38 59 105 Nâu ∑   n2   χ qs = n ∑  ij  − 1 = 2  ni. n. j      K t lu n: Bài t pc ng c Bài 8.12. T i m t trung tâm cai nghi n ma tuý ngư i ta ti n hành ñi u tr b ng hai phương pháp : ðông y và ðông - Tây y k t h p. Ki m tra 1000 b nh nhân ñư c ñi u tr b ng phương pháp ðông y th y k t qu phân b như sau : Kh i - 56% , ñ - 34% , không kh i - 10% . ð so sánh ngư i ta ñi u tra thêm 600 b nh nhân ñư c ñư c ñi u tr b ng phương pháp ðông-Tây y k t h p và ñư c s li u như sau : Kh i - 360 ngư i , ñ - 190 ngư i , không kh i - 50 ngư i Có th cho r ng hi u qu ch a b nh c a hai phương pháp là khác nhau th c s không . Cho k t lu n vơí m c ý nghĩa α = 5% . 2 ðS : = 2,7709 χ qs = 2,7709 ∉ W α → Chưa có cơ s bác b gi thi t H0 . K t lu n: Có th cho r ng hi u qu ch a b nh c a hai phương pháp là như nhau. Bài 8.13. ði u tra s tr em b ch t trư c 1 tu i xã A b r i ch t di t c và xã B không b r i ch t di t c ngư i ta thu ñư c s li u như sau : Xã A Xã B S tr s ng 1260 876 S tr ch t 52 19 Ch t di t c có nh hư ng ñ n t l tr b ch t trư c m t tu i không? Cho k t lu n v i m c ý nghĩa 5% .
20 3/ Ki m ñ nh v quy lu t nh th c Bài 8.14. Th ng kê 4000 gia ñình có 3 con theo s con trai ngư i ta ñư c s li u như sau: S con trai 0 1 2 3 S lgia ñình 450 1460 1530 560 V i m c ý nghĩa = 5% có th xem s con trai trong gia ñình 3 con tuân theo quy lu t nh th c ñư c không? Gi i: + G i X là s con trai trong gia ñình 3 con thì theo yêu c u c a bài toán ta ph i ki m ñ nh c p gi thi t sau ñây: H0 : ( X tuân theo quy lu t nh th c B(N = 3; p = 0,5) ) H1 : ( X không tuân theo quy lu t nh th c ) + Mi n bác b ñ ki m ñ nh c p gi thi t trên là: + Tính gíá tr quan sát và k t lu n. L p b ng tính như sau: (ni-ni')2/n' xi ni pi = ni' = npi 0 450 1 1460 2 1530 3 560 ∑ 4000 ( ni − n' ) 2 i 2 χ qs = ∑ ; Tra b ng χ α2 ( N − m) = χ 02, 05 (3 − 0) = = ' ni χ 02,05 (3) 2 2 → χ qs → χ qs Bài t pc ng c Bài 8.15. S n ph m s n xu t ra trên m t dây chuy n t ñ ng ñư c ñóng gói ng u nhiên theo quy cách : 3 s n ph m /1 h p.Có th xem s chính ph m c a m t h p là bi n ng u nhiên tuân theo quy lu t nh th c ñư c không , bi t r ng ki m tra 100 h p ngư i ta th y 75 h p không có ph ph m , 20 h p có 1 ph ph m , 5 h p có 2 ph ph m , không có h p nào có 3 ph ph m ? Cho k t lu n v i m c ý nghĩa 1% .