Giải bài tập hạng của ma trận - PGS.TS Mỵ Vinh Quang

Chia sẻ: Tran Dung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

321
lượt xem 72
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lời giải một số bài tập trong tài liệu này dùng để tham khảo. Có một số bài tập do một số sinh viên giải. Khi học, sinh viên cần lựa chọn những phương pháp phù hợp và đơn giản hơn. Chúc anh chị em sinh viên học tập tốt

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giải bài tập hạng của ma trận - PGS.TS Mỵ Vinh Quang

Đ I S TUY N TÍNH GI I BÀI T P H NG C A MA TR N Phiên b n đã ch nh s a PGS TS M Vinh Quang Ngày 3 tháng 12 năm 2004 13) Tìm h ng c a ma tr n:   4 3 −5 2 3  8 6 −7 4 2  A=   4 3 −8 2 7  8 6 −1 4 −6 Gi i:     4 3 −5 2 3 4 3 −5 2 3 d2→(−2)d1+d2  0 0 3 0 −4  d3→−d2+d3  0 0 3 0 −4  A− − − − → −−−−   −− − −  − − −→  d3→−d1+d3 0 0 −3 0 4  d4→(−3)d2+d4  0 0 0 0 0  d4→(−2)d1+d4 0 0 9 0 −12 0 0 0 0 0 V y rank A = 3 . 14) Tìm h ng c a ma tr n:   3 −1 3 2 5  5 −3 2 3 4  A=   1 −3 5 0 7  7 −5 1 4 1 Gi i:     1 −3 5 0 7 1 −3 5 0 7 đ i dòng  3 −1 3 2 5  d2→ - 3d1 + d2  0 8 −12 2 −16  A −− −  − −→   −− − − −  − − − −→  5 −3 2 3 4  d3→−5d1+d3  0 12 −23 3 −31  d4→−2d1+d4 7 −5 1 4 1 0 16 −34 4 −48     1 −3 5 0 7 1 −3 5 0 7 d3→ −3 d2 + d3  0 8 −12 2 −16  d4→−2d3+d4  0 8 −12 2 −16  − −2 − − →  −− − − −  −−−−  −−−→  d4→−7d1+d4 0 0 −5 0 −7  0 0 −5 0 −7  0 0 −10 0 −16 0 16 0 0 −2 V y rank A = 4 . 1
15) Tìm h ng c a ma tr n:   2 1 2 1 2 1  1 2 1 2 1 2  A=  3  4 3 4 3 4  5 5 6 7 5 5 Gi i     1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 d1↔d2  2 1 2 1 2 1  d2→−2d1+d2  0 −3 0 −3 0 −3  A −−→  −−  − − − −  −−−→  3 4 3 4 3 4  d3→−3d1+d3  0 −2 0 −2 0 −2  d4→−5d1+d4 5 5 6 7 5 5 0 −5 1 −3 0 −5     1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 d2↔− 1 d2  0 1 0 1 0 1  d3→2d2+d3  0 1 0 1 0 1  − −3 →  −−−  − − − → −−−  0 −2 0 −2 0 −2  d4→5d2+d4  0 0 0 0 0 0  0 −5 1 −3 0 −5 0 0 1 2 0 0   1 2 1 2 1 2 d3↔d4  0 1 0 1 0 1  −−→  −−   0 0 1 2 0 0  0 0 0 0 0 0 V y rank A = 3 . 16) Tìm h ng c a ma tr n:   2 1 1 1   1 3 1 1    1 1 4 1  A=    1 1 1 5    1 2 3 4  1 1 1 1 Gi i:     1 1 1 1 1 1 1 1   2 1 1 1    d2→−2d1+d2  0 −1 −1 −1   đ i dòng  1 3 1 1  d3→−d1+d4  0 2 0 0  A −− −  − −→  − − − −  −−−→   1 1 4 1  d4→−d1+d4   d5→−d1+d5  0 0 3 0   1 1 1 5  d6→−d1+d6  0 0 0 4  1 2 3 4 0 1 2 3     1 1 1 1 1 1 1 1   0 −1 −1 −1     0 −1 −1 −1   d3→2d2+d3  0 0 −2 −2  d3↔d6  0 0 1 2  − − − → −−−  −−→  −−   d6→d2+d6   0 0 3 0   0 0 3 0   0 0 0 4   0 0 0 4  0 0 1 2 0 0 −2 −2 2
    1 1 1 1 1 1 1 1   0 −1 −1 −1     0 −1 −1 −1   2 d4→−3d3+d4  0 0 1 2  d5→ 3 d4+d5  0 0 1 2  −−−−  − − − →  −− − −  − − −→  d6→2d3+d6  0 0 0 −6  d6→ 1 d4+d6   3  0 0 0 −6    0 0 0 4   0 0 0 0  0 0 0 2 0 0 0 0 V y rank A = 4 . 17) Tìm h ng c a ma tr n :   3 1 1 4  a 4 10 1  A=  1  7 17 3  2 2 4 3 Gi i:     1 1 4 3 1 1 4 3 đ i c t  4 10 1 a  d2→−4d1+d2  0 6 0 a − 12  A −−→  −−  − − − −  −−−→  7 17 3 1  d3→−7d1+d3  0 10 −25 −20  d4→−2d1+d4 2 4 3 2 0 2 −5 −4     1 1 4 3 1 1 4 3 đ i dòng  0 2 −5 −4  d3→−3d2+d3  0 2 −5 −4  −− −  − −→  − − − −  −−−→  0 6 0 a − 12  d4→−5d2+d4  0 0 15 a  0 10 −15 −20 0 0 0 0 V y rank A = 3. V i m i a. 18) Tìm h ng c a ma tr n:   −1 2 1 −1 1  a −1 1 −1 −1  A=  1  a 0 1 1  1 2 2 −1 1 Gi i:     1 −1 1 −1 2 1 −1 1 −1 2 d2→d1+d2 đ i c t  −1 −1 1 a −1  d3→−d1+d3  0 −2 2 a − 1 1  A −−→  −−  −− − −  − − −→  1 1 0 1 a  d4→−d1+d4  0 2 −1 2 a−2  1 −1 2 1 2 0 0 1 2 0     1 −1 1 −1 2 1 −1 1 −1 2 d3→d2+d3  0 −2 2 a − 1 1  d4→−d3+d4  0 −2 2 a − 1 1  −− −→  −−−   −− − −  − − −→   0 0 1 a+1 a−1  0 0 1 a+1 a−1  0 0 1 2 0 0 0 0 a−1 1−a V y : n u a = 1 thì rank A = 4 . 3
. n u a = 1 thì rank A = 3 . 19) Tìm h ng c a ma tr n:   1+a a ... a  a 1+a ... a  A=  ...  ... ... ...  a a ... 1 + a Gi i:     1 + na a ... a 1 + na a ... a c1→c1+c2+...+cn  1 + na 1 + a ... a   d2→−d1+d2  0 1 ... 0  A −− − − −→  −−−−−  −− − −  − − −→  ... ... . . . . . .  .....................  . . . dn→−d1+dn ... ... ...  1 + na a ... 1 + a 0 0 ... 1 1 N u a = − . Khi đó 1 + na = 0 và rank A = n . n 1 N u a = − . Khi đó 1 + na = 0 và rank A = n − 1 vì có đ nh th c con c p n − 1 g m n − 1 n dòng cu i, c t cu i . 1 0 ... 0 1 1 ... 0 Dn−1 =1=0 ... ... ... ... 0 0 ... 1 Còn đ nh th c c p n b ng 0 . 20) Tìm h ng c a ma tr n (n ≥ 2 )   0 1 1 ... 1  1 0 x ... x    A= 1 x 0  ... x    ... ... ... ... ...  1 x x ... 0 Gi i: N ux=0:     0 x x ... x (n − 1)x x x ... x  x 0 x ... x   (n − 1)x 0 x ... x  c1→xc1  c1→c1+c2+...+cn   A−−→ −−  x x 0 ... x  −− − − −→   −−−−−  (n − 1)x x 0 ... x  d1→xd1   ... ... ... ... ...   ... ... ... ... ...  x x x ... 0 (n − 1)x x x ... 0   (n − 1)x x x ... x  0 −x 0 . . . 0  d2→−d1+d2   −− − −  − − −→ 0 0 −x . . . 0  d3→−d1+d3  .....................  dn→−d1+dn ... ... ... ... ...  0 0 0 . . . −x V y rank A = n 4
N ux=0     0 1 1 ... 1 0 1 1 ... 1   1 0 0 ... 0   d3→−d2+d3   1 0 0 ... 0   A= 1 0 0 ... 0 −− − −  − − −→ 0 0 0 ... 0    ...................    ... ... ... ... ...  dn→−d2+dn  ... ... ... ... ...  1 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 rankA = 2. Vy rankA = n n u x = 0 rankA = 2 n u x = 0 21) Tìm h ng c a ma tr n vuông c p n:   a b b ... b  b a b ... b    A= b  b a ... b    ... ... ... ... ...  b b b ... a Gi i:     a + (n − 1)b b b ... b a + (n − 1)b b b ... b d2→−d1+d2 c1→c1+c2+...+cn  a + (n − 1)b a b . . . b  d3→−d1+d3  0 a−b 0 ... 0  A −− − − −→  −−−−−  −− − −  − − −→  ... ... ... . . . . . .  .....................  dn→−d1+dn ... ... ... ... ...  a + (n − 1)b b b ... a 0 0 0 ... 0 1. N u a = (1 − n)b, a = b thì rankA = n 2. a = b = 0 thì rankA = 1 a = b = 0 thì rankA = 0 3. a = (n − 1)b = 0 thì rankA = n − 1 Vì có đ nh th c con c p n − 1 (b dòng đ u, c t đ u) a−b 0 ... 0 0 a−b ... 0 = (a − b)n−1 = 0 ... ... ... ... 0 0 ... a − b Còn đ nh th c c p n b ng 0. 5
Đ I S TUY N TÍNH MA TR N KH NGH CH Phiên b n đã ch nh s a PGS TS M Vinh Quang Ngày 6 tháng 12 năm 2004 1 Ma tr n kh ngh ch 1.1 Các khái ni m cơ b n Cho A là ma tr n vuông c p n, ma tr n A g i là ma tr n kh ngh ch n u t n t i ma tr n B vuông c p n sao cho AB = BA = En (1) (En là ma tr n đơn v c p n) N u A là ma tr n kh ngh ch thì ma tr n B th a đi u ki n (1) là duy nh t, và B g i là ma tr n ngh ch đ o (ma tr n ngư c) c a ma tr n A, ký hi u là A−1 . V y ta luôn có: A.A−1 = A−1 .A = En 1.2 Các tính ch t 1. A kh ngh ch ⇐⇒ A không suy bi n (det A = 0) 2. N u A, B kh ngh ch thì AB cũng kh ngh ch và (AB)−1 = B −1 A−1 3. (At )−1 = (A−1 )t 1.3 Các phương pháp tìm ma tr n ngh ch đ o 1.3.1 Phương pháp tìm ma tr n ngh ch đ o nh đ nh th c Trư c h t, ta nh l i ph n bù đ i s c a m t ph n t . Cho A là ma tr n vuông c p n, n u ta b đi dòng i, c t j c a A, ta đư c ma tr n con c p n − 1 c a A, ký hi u Mij . Khi đó Aij = (−1)i+j det Mij g i là ph n bù đ i s c a ph n t n m dòng i, c t j c a ma tr n A. Ma tr n    t A11 A21 · · · An1 A11 A12 · · · A1n  A12 A22 · · · An2   A21 A22 · · · A2n  PA =  . . = .     . . . .. .   . . . .. .  .   . . . . . . . . A1n A2n · · · Ann An1 An2 · · · Ann g i là ma tr n ph h p c a ma tr n A. 1
Ta có công th c sau đây đ tìm ma tr n ngh ch đ o c a A. Cho A là ma tr n vuông c p n. N u det A = 0 thì A không kh ngh ch (t c là A không có ma tr n ngh ch đ o). N u det A = 0 thì A kh ngh ch và 1 A−1 = PA det A Ví d . Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n   1 2 1 A= 0 1 1  1 2 3 Gi i Ta có 1 2 1 det A = 0 1 1 =2=0 1 2 3 V y A kh ngh ch. Tìm ma tr n ph h p PA c a A. Ta có: 1 1 A11 = (−1)1+1 =1 2 3 0 1 A12 = (−1)1+2 =1 1 3 0 1 A13 = (−1)1+3 = −1 1 2 2 1 A21 = (−1)2+1 = −4 2 3 1 1 A22 = (−1)2+2 =2 1 3 1 2 A23 = (−1)2+3 =0 1 2 2 1 A31 = (−1)3+1 =1 1 1 1 1 A32 = (−1)3+2 = −1 0 1 1 2 A33 = (−1)3+3 =1 0 1 Vy   1 −4 1 PA =  1 2 −1  −1 0 1 2
và do đó   1 1   1 −4 1 −2 1 2 2 A−1 =  1 1 2 −1  =  2 1 −1  2 2 −1 0 1 −1 2 0 1 2 Nh n xét. N u s d ng đ nh th c đ tìm ma tr n ngh ch đ o c a m t ma tr n vuông c p n, ta ph i tính m t đ nh th c c p n và n2 đ nh th c c p n − 1. Vi c tính toán như v y khá ph c t p khi n > 3. B i v y, ta thư ng áp d ng phương pháp này khi n ≤ 3. Khi n ≥ 3, ta thư ng s d ng các phương pháp dư i đây. 1.3.2 Phương pháp tìm ma tr n ngh ch đ o b ng cách d a vào các phép bi n đ i sơ c p (phương pháp Gauss) Đ tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n A vuông c p n, ta l p ma tr n c p n × 2n [A | En ] (En là ma tr n đơn v c p n)   a11 a12 · · · a1n 1 0 ··· 0  a21 a22 · · · a2n 0 1 ··· 0  [A | En ] =    . . . . .. . . . . . .. .  . .   . . . . . . . . an1 an2 · · · ann 0 0 ··· 1 Sau đó, dùng các phép bi n đ i sơ c p trên dòng đưa ma tr n [A | En ] v d ng [En | B]. Khi đó, B chính là ma tr n ngh ch đ o c a A, B = A−1 . Chú ý. N u trong quá trình bi n đ i, n u kh i bên trái xu t hi n dòng g m toàn s 0 thì ma tr n A không kh ngh ch. Ví d . Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n   0 1 1 1  1 0 1 1  A=  1 1  0 1  1 1 1 0 Gi i     0 1 1 1 1 0 0 0 3 3 3 3 1 1 1 1  1 0 1 1 0 1 0 0   1 0 1 1 0 1 0 0  [A | E4 ] =   1  −→   1 0 1 0 0 1 0  d1 →d1 +d2 +d3 +d4  1 1 0 1 0 0 1 0  1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1     1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 3 1 2  1 0 1 1 0 1 0 0  d2 →−d1 +d2  0 −1 0 0 −3 −1 1 −3  −→   −→  1 3 1 3 2  1 d1 → 3 d1  1 1 0 1 0 0 1 0  d3 →−d1 +d3  0 0 −1 0 −3 −3 3 −1 3  1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 d4 →−d1 +d4 0 0 0 −1 −3 −3 −1 3 2 3 3
0 −2 1 1 1   1 0 0 3 3 3 3 1 2  0 −1 0 0 −3 −1 −3  1 −→  1 3 1 3 2 1  d1 →d1 +d2 +d3 +d4  0 0 −1 0 −3 −3 3 −3  0 0 0 −1 − 3 − 3 − 1 1 1 3 2 3 1 0 0 0 −2 1 1 1   3 3 3 3 1 2 1 1  d2 →−d2  0 1 0 0 −3 −→  3 1 1 3 2 3  1  d4 →−d4  0 0 1 0 3 3 −3 3 d3 →−d3 1 1 1 2 0 0 0 1 3 3 3 −3 Vy −2 1 1 1   3 3 3 3 1 2 1 1 −1  3 −3 3 3  A = 1 1 2 1   3 3 −3 3  1 1 1 3 3 3 −2 3 1.3.3 Phương pháp tìm ma tr n ngh ch đ o b ng cách gi i h phương trình Cho ma tr n vuông c p n   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n  A=   . . . . ... . .   . . .  an1 an2 · · · ann Đ tìm ma tr n ngh ch đ o A−1 , ta l p h   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = y1   a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = y2  . . (2)    .  a x + a x + ··· + a x = y n1 1 n2 2 nn n n trong đó x1 , x2 , . . . , xn là n, y1 , y2 , . . . , yn là các tham s . * N u v i m i tham s y1 , y2 , . . . , yn , h phương trình tuy n tính (2) luôn có nghi m duy nh t:   x1 = b11 y1 + b12 y2 + · · · + b1n yn   x2 = b21 y1 + b22 y2 + · · · + b2n yn  . .    .  x = b y + b y + ··· + b y n n1 1 n2 2 nn n thì   b11 b12 · · · b1n  b21 b22 · · · b2n  A−1 =    . . . .. . . .   . . . .  bn1 bn2 · · · bnn * N u t n t i y1 , y2 , . . . , yn đ h phương trình tuy n tính (2) vô nghi m ho c vô s nghi m thì ma tr n A không kh ngh ch. 4
Ví d . Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n   a 1 1 1  1 a 1 1  A=  1 1  a 1  1 1 1 a Gi i L ph   ax1 + x2 + x3 + x4  = y1 (1) x1 + ax2 + x3 + x4 = y2 (2)   x1 + x2 + ax3 + x4  = y3 (3) x1 + x2 + x3 + ax4 = y4 (4)  Ta gi i h trên, c ng 2 v ta có (a + 3)(x1 + x2 + x3 + x4 ) = y1 + y2 + y3 + y4 (∗) 1. N u a = −3, ch n các tham s y1 , y2 , y3 , y4 sao cho y1 + y2 + y3 + y4 = 0. Khi đó (*) vô nghi m, do đó h vô nghi m, b i v y A không kh ngh ch. 2. a = −3, t (*) ta có 1 x1 + x2 + x3 + x4 = (y1 + y2 + y3 + y4 ) (∗∗) a+3 L y (1), (2), (3), (4) tr cho (**), ta có 1 (a − 1)x1 = ((a + 2)y1 − y2 − y3 − y4 ) a+3 1 (a − 1)x2 = (−y1 + (a + 2)y2 − y3 − y4 ) a+3 1 (a − 1)x3 = (−y1 − y2 + (a + 2)y3 − y4 ) a+3 1 (a − 1)x4 = (−y1 − y2 − y3 + (a + 2)y4 ) a+3 (a) N u a = 1, ta có th ch n tham s y1 , y2 , y3 , y4 đ (a + 2)y1 − y2 − y3 − y4 khác 0. Khi đó h và nghi m và do đó A không kh ngh ch. (b) N u a = 1, ta có 1 x1 = ((a + 2)y1 − y2 − y3 − y4 ) (a − 1)(a + 3) 1 x2 = (−y1 + (a + 2)y2 − y3 − y4 ) (a − 1)(a + 3) 1 x3 = (−y1 − y2 + (a + 2)y3 − y4 ) (a − 1)(a + 3) 5
1 x4 = (−y1 − y2 − y3 + (a + 2)y4 ) (a − 1)(a + 3) Do đó   a + 2 −1 −1 −1 1  −1 a + 2 −1 −1  A−1 =   (a − 1)(a + 3)  −1 −1 a + 2 −1  −1 −1 −1 a + 2 Tóm l i: N u a = −3, a = 1 thì ma tr n A không kh ngh ch. N u a = −3, a = 1, ma tr n ngh ch đ o A−1 đư c xác đ nh b i công th c trên. 6
BÀI T P Tìm ma tr n ngh ch đ o c a các ma tr n sau   1 0 3 22.  2 1 1  3 2 2   1 3 2 23.  2 1 3  3 2 1   −1 1 1 1  1 −1 1 1  24.    1 1 −1 1  1 1 1 −1   0 1 1 1  −1 0 1 1  25.   −1 −1  0 1  −1 −1 −1 0 Tìm ma tr n ngh ch đ o c a các ma tr n vuông c p n   1 1 1 ··· 1  0 1 1  ··· 1  26.  0 0 1  ··· 1   . . . .. .   . . . . . . .  . . 0 0 0 ··· 1   1+a 1 1 ··· 1   1 1+a 1 ··· 1  27.   1 1 1 + a ··· 1   . . . . . . .. .  .   . . . . . 1 1 1 ··· 1 + a 7