Giải bài tập hạng của ma trận - PGS.TS Mỵ Vinh Quang
lượt xem 72
download
Lời giải một số bài tập trong tài liệu này dùng để tham khảo. Có một số bài tập do một số sinh viên giải. Khi học, sinh viên cần lựa chọn những phương pháp phù hợp và đơn giản hơn. Chúc anh chị em sinh viên học tập tốt
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Giải bài tập hạng của ma trận - PGS.TS Mỵ Vinh Quang
- Đ I S TUY N TÍNH GI I BÀI T P H NG C A MA TR N Phiên b n đã ch nh s a PGS TS M Vinh Quang Ngày 3 tháng 12 năm 2004 13) Tìm h ng c a ma tr n: 4 3 −5 2 3 8 6 −7 4 2 A= 4 3 −8 2 7 8 6 −1 4 −6 Gi i: 4 3 −5 2 3 4 3 −5 2 3 d2→(−2)d1+d2 0 0 3 0 −4 d3→−d2+d3 0 0 3 0 −4 A− − − − → −−−− −− − − − − −→ d3→−d1+d3 0 0 −3 0 4 d4→(−3)d2+d4 0 0 0 0 0 d4→(−2)d1+d4 0 0 9 0 −12 0 0 0 0 0 V y rank A = 3 . 14) Tìm h ng c a ma tr n: 3 −1 3 2 5 5 −3 2 3 4 A= 1 −3 5 0 7 7 −5 1 4 1 Gi i: 1 −3 5 0 7 1 −3 5 0 7 đ i dòng 3 −1 3 2 5 d2→ - 3d1 + d2 0 8 −12 2 −16 A −− − − −→ −− − − − − − − −→ 5 −3 2 3 4 d3→−5d1+d3 0 12 −23 3 −31 d4→−2d1+d4 7 −5 1 4 1 0 16 −34 4 −48 1 −3 5 0 7 1 −3 5 0 7 d3→ −3 d2 + d3 0 8 −12 2 −16 d4→−2d3+d4 0 8 −12 2 −16 − −2 − − → −− − − − −−−− −−−→ d4→−7d1+d4 0 0 −5 0 −7 0 0 −5 0 −7 0 0 −10 0 −16 0 16 0 0 −2 V y rank A = 4 . 1
- 15) Tìm h ng c a ma tr n: 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 A= 3 4 3 4 3 4 5 5 6 7 5 5 Gi i 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 d1↔d2 2 1 2 1 2 1 d2→−2d1+d2 0 −3 0 −3 0 −3 A −−→ −− − − − − −−−→ 3 4 3 4 3 4 d3→−3d1+d3 0 −2 0 −2 0 −2 d4→−5d1+d4 5 5 6 7 5 5 0 −5 1 −3 0 −5 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 d2↔− 1 d2 0 1 0 1 0 1 d3→2d2+d3 0 1 0 1 0 1 − −3 → −−− − − − → −−− 0 −2 0 −2 0 −2 d4→5d2+d4 0 0 0 0 0 0 0 −5 1 −3 0 −5 0 0 1 2 0 0 1 2 1 2 1 2 d3↔d4 0 1 0 1 0 1 −−→ −− 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 V y rank A = 3 . 16) Tìm h ng c a ma tr n: 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 A= 1 1 1 5 1 2 3 4 1 1 1 1 Gi i: 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 d2→−2d1+d2 0 −1 −1 −1 đ i dòng 1 3 1 1 d3→−d1+d4 0 2 0 0 A −− − − −→ − − − − −−−→ 1 1 4 1 d4→−d1+d4 d5→−d1+d5 0 0 3 0 1 1 1 5 d6→−d1+d6 0 0 0 4 1 2 3 4 0 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 0 −1 −1 −1 0 −1 −1 −1 d3→2d2+d3 0 0 −2 −2 d3↔d6 0 0 1 2 − − − → −−− −−→ −− d6→d2+d6 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 1 2 0 0 −2 −2 2
- 1 1 1 1 1 1 1 1 0 −1 −1 −1 0 −1 −1 −1 2 d4→−3d3+d4 0 0 1 2 d5→ 3 d4+d5 0 0 1 2 −−−− − − − → −− − − − − −→ d6→2d3+d6 0 0 0 −6 d6→ 1 d4+d6 3 0 0 0 −6 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 V y rank A = 4 . 17) Tìm h ng c a ma tr n : 3 1 1 4 a 4 10 1 A= 1 7 17 3 2 2 4 3 Gi i: 1 1 4 3 1 1 4 3 đ i c t 4 10 1 a d2→−4d1+d2 0 6 0 a − 12 A −−→ −− − − − − −−−→ 7 17 3 1 d3→−7d1+d3 0 10 −25 −20 d4→−2d1+d4 2 4 3 2 0 2 −5 −4 1 1 4 3 1 1 4 3 đ i dòng 0 2 −5 −4 d3→−3d2+d3 0 2 −5 −4 −− − − −→ − − − − −−−→ 0 6 0 a − 12 d4→−5d2+d4 0 0 15 a 0 10 −15 −20 0 0 0 0 V y rank A = 3. V i m i a. 18) Tìm h ng c a ma tr n: −1 2 1 −1 1 a −1 1 −1 −1 A= 1 a 0 1 1 1 2 2 −1 1 Gi i: 1 −1 1 −1 2 1 −1 1 −1 2 d2→d1+d2 đ i c t −1 −1 1 a −1 d3→−d1+d3 0 −2 2 a − 1 1 A −−→ −− −− − − − − −→ 1 1 0 1 a d4→−d1+d4 0 2 −1 2 a−2 1 −1 2 1 2 0 0 1 2 0 1 −1 1 −1 2 1 −1 1 −1 2 d3→d2+d3 0 −2 2 a − 1 1 d4→−d3+d4 0 −2 2 a − 1 1 −− −→ −−− −− − − − − −→ 0 0 1 a+1 a−1 0 0 1 a+1 a−1 0 0 1 2 0 0 0 0 a−1 1−a V y : n u a = 1 thì rank A = 4 . 3
- . n u a = 1 thì rank A = 3 . 19) Tìm h ng c a ma tr n: 1+a a ... a a 1+a ... a A= ... ... ... ... a a ... 1 + a Gi i: 1 + na a ... a 1 + na a ... a c1→c1+c2+...+cn 1 + na 1 + a ... a d2→−d1+d2 0 1 ... 0 A −− − − −→ −−−−− −− − − − − −→ ... ... . . . . . . ..................... . . . dn→−d1+dn ... ... ... 1 + na a ... 1 + a 0 0 ... 1 1 N u a = − . Khi đó 1 + na = 0 và rank A = n . n 1 N u a = − . Khi đó 1 + na = 0 và rank A = n − 1 vì có đ nh th c con c p n − 1 g m n − 1 n dòng cu i, c t cu i . 1 0 ... 0 1 1 ... 0 Dn−1 =1=0 ... ... ... ... 0 0 ... 1 Còn đ nh th c c p n b ng 0 . 20) Tìm h ng c a ma tr n (n ≥ 2 ) 0 1 1 ... 1 1 0 x ... x A= 1 x 0 ... x ... ... ... ... ... 1 x x ... 0 Gi i: N ux=0: 0 x x ... x (n − 1)x x x ... x x 0 x ... x (n − 1)x 0 x ... x c1→xc1 c1→c1+c2+...+cn A−−→ −− x x 0 ... x −− − − −→ −−−−− (n − 1)x x 0 ... x d1→xd1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... x x x ... 0 (n − 1)x x x ... 0 (n − 1)x x x ... x 0 −x 0 . . . 0 d2→−d1+d2 −− − − − − −→ 0 0 −x . . . 0 d3→−d1+d3 ..................... dn→−d1+dn ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . −x V y rank A = n 4
- N ux=0 0 1 1 ... 1 0 1 1 ... 1 1 0 0 ... 0 d3→−d2+d3 1 0 0 ... 0 A= 1 0 0 ... 0 −− − − − − −→ 0 0 0 ... 0 ................... ... ... ... ... ... dn→−d2+dn ... ... ... ... ... 1 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 rankA = 2. Vy rankA = n n u x = 0 rankA = 2 n u x = 0 21) Tìm h ng c a ma tr n vuông c p n: a b b ... b b a b ... b A= b b a ... b ... ... ... ... ... b b b ... a Gi i: a + (n − 1)b b b ... b a + (n − 1)b b b ... b d2→−d1+d2 c1→c1+c2+...+cn a + (n − 1)b a b . . . b d3→−d1+d3 0 a−b 0 ... 0 A −− − − −→ −−−−− −− − − − − −→ ... ... ... . . . . . . ..................... dn→−d1+dn ... ... ... ... ... a + (n − 1)b b b ... a 0 0 0 ... 0 1. N u a = (1 − n)b, a = b thì rankA = n 2. a = b = 0 thì rankA = 1 a = b = 0 thì rankA = 0 3. a = (n − 1)b = 0 thì rankA = n − 1 Vì có đ nh th c con c p n − 1 (b dòng đ u, c t đ u) a−b 0 ... 0 0 a−b ... 0 = (a − b)n−1 = 0 ... ... ... ... 0 0 ... a − b Còn đ nh th c c p n b ng 0. 5
- Đ I S TUY N TÍNH MA TR N KH NGH CH Phiên b n đã ch nh s a PGS TS M Vinh Quang Ngày 6 tháng 12 năm 2004 1 Ma tr n kh ngh ch 1.1 Các khái ni m cơ b n Cho A là ma tr n vuông c p n, ma tr n A g i là ma tr n kh ngh ch n u t n t i ma tr n B vuông c p n sao cho AB = BA = En (1) (En là ma tr n đơn v c p n) N u A là ma tr n kh ngh ch thì ma tr n B th a đi u ki n (1) là duy nh t, và B g i là ma tr n ngh ch đ o (ma tr n ngư c) c a ma tr n A, ký hi u là A−1 . V y ta luôn có: A.A−1 = A−1 .A = En 1.2 Các tính ch t 1. A kh ngh ch ⇐⇒ A không suy bi n (det A = 0) 2. N u A, B kh ngh ch thì AB cũng kh ngh ch và (AB)−1 = B −1 A−1 3. (At )−1 = (A−1 )t 1.3 Các phương pháp tìm ma tr n ngh ch đ o 1.3.1 Phương pháp tìm ma tr n ngh ch đ o nh đ nh th c Trư c h t, ta nh l i ph n bù đ i s c a m t ph n t . Cho A là ma tr n vuông c p n, n u ta b đi dòng i, c t j c a A, ta đư c ma tr n con c p n − 1 c a A, ký hi u Mij . Khi đó Aij = (−1)i+j det Mij g i là ph n bù đ i s c a ph n t n m dòng i, c t j c a ma tr n A. Ma tr n t A11 A21 · · · An1 A11 A12 · · · A1n A12 A22 · · · An2 A21 A22 · · · A2n PA = . . = . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . A1n A2n · · · Ann An1 An2 · · · Ann g i là ma tr n ph h p c a ma tr n A. 1
- Ta có công th c sau đây đ tìm ma tr n ngh ch đ o c a A. Cho A là ma tr n vuông c p n. N u det A = 0 thì A không kh ngh ch (t c là A không có ma tr n ngh ch đ o). N u det A = 0 thì A kh ngh ch và 1 A−1 = PA det A Ví d . Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n 1 2 1 A= 0 1 1 1 2 3 Gi i Ta có 1 2 1 det A = 0 1 1 =2=0 1 2 3 V y A kh ngh ch. Tìm ma tr n ph h p PA c a A. Ta có: 1 1 A11 = (−1)1+1 =1 2 3 0 1 A12 = (−1)1+2 =1 1 3 0 1 A13 = (−1)1+3 = −1 1 2 2 1 A21 = (−1)2+1 = −4 2 3 1 1 A22 = (−1)2+2 =2 1 3 1 2 A23 = (−1)2+3 =0 1 2 2 1 A31 = (−1)3+1 =1 1 1 1 1 A32 = (−1)3+2 = −1 0 1 1 2 A33 = (−1)3+3 =1 0 1 Vy 1 −4 1 PA = 1 2 −1 −1 0 1 2
- và do đó 1 1 1 −4 1 −2 1 2 2 A−1 = 1 1 2 −1 = 2 1 −1 2 2 −1 0 1 −1 2 0 1 2 Nh n xét. N u s d ng đ nh th c đ tìm ma tr n ngh ch đ o c a m t ma tr n vuông c p n, ta ph i tính m t đ nh th c c p n và n2 đ nh th c c p n − 1. Vi c tính toán như v y khá ph c t p khi n > 3. B i v y, ta thư ng áp d ng phương pháp này khi n ≤ 3. Khi n ≥ 3, ta thư ng s d ng các phương pháp dư i đây. 1.3.2 Phương pháp tìm ma tr n ngh ch đ o b ng cách d a vào các phép bi n đ i sơ c p (phương pháp Gauss) Đ tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n A vuông c p n, ta l p ma tr n c p n × 2n [A | En ] (En là ma tr n đơn v c p n) a11 a12 · · · a1n 1 0 ··· 0 a21 a22 · · · a2n 0 1 ··· 0 [A | En ] = . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . an1 an2 · · · ann 0 0 ··· 1 Sau đó, dùng các phép bi n đ i sơ c p trên dòng đưa ma tr n [A | En ] v d ng [En | B]. Khi đó, B chính là ma tr n ngh ch đ o c a A, B = A−1 . Chú ý. N u trong quá trình bi n đ i, n u kh i bên trái xu t hi n dòng g m toàn s 0 thì ma tr n A không kh ngh ch. Ví d . Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n 0 1 1 1 1 0 1 1 A= 1 1 0 1 1 1 1 0 Gi i 0 1 1 1 1 0 0 0 3 3 3 3 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 [A | E4 ] = 1 −→ 1 0 1 0 0 1 0 d1 →d1 +d2 +d3 +d4 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 3 3 3 3 1 2 1 0 1 1 0 1 0 0 d2 →−d1 +d2 0 −1 0 0 −3 −1 1 −3 −→ −→ 1 3 1 3 2 1 d1 → 3 d1 1 1 0 1 0 0 1 0 d3 →−d1 +d3 0 0 −1 0 −3 −3 3 −1 3 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 d4 →−d1 +d4 0 0 0 −1 −3 −3 −1 3 2 3 3
- 0 −2 1 1 1 1 0 0 3 3 3 3 1 2 0 −1 0 0 −3 −1 −3 1 −→ 1 3 1 3 2 1 d1 →d1 +d2 +d3 +d4 0 0 −1 0 −3 −3 3 −3 0 0 0 −1 − 3 − 3 − 1 1 1 3 2 3 1 0 0 0 −2 1 1 1 3 3 3 3 1 2 1 1 d2 →−d2 0 1 0 0 −3 −→ 3 1 1 3 2 3 1 d4 →−d4 0 0 1 0 3 3 −3 3 d3 →−d3 1 1 1 2 0 0 0 1 3 3 3 −3 Vy −2 1 1 1 3 3 3 3 1 2 1 1 −1 3 −3 3 3 A = 1 1 2 1 3 3 −3 3 1 1 1 3 3 3 −2 3 1.3.3 Phương pháp tìm ma tr n ngh ch đ o b ng cách gi i h phương trình Cho ma tr n vuông c p n a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n A= . . . . ... . . . . . an1 an2 · · · ann Đ tìm ma tr n ngh ch đ o A−1 , ta l p h a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = y1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = y2 . . (2) . a x + a x + ··· + a x = y n1 1 n2 2 nn n n trong đó x1 , x2 , . . . , xn là n, y1 , y2 , . . . , yn là các tham s . * N u v i m i tham s y1 , y2 , . . . , yn , h phương trình tuy n tính (2) luôn có nghi m duy nh t: x1 = b11 y1 + b12 y2 + · · · + b1n yn x2 = b21 y1 + b22 y2 + · · · + b2n yn . . . x = b y + b y + ··· + b y n n1 1 n2 2 nn n thì b11 b12 · · · b1n b21 b22 · · · b2n A−1 = . . . .. . . . . . . . bn1 bn2 · · · bnn * N u t n t i y1 , y2 , . . . , yn đ h phương trình tuy n tính (2) vô nghi m ho c vô s nghi m thì ma tr n A không kh ngh ch. 4
- Ví d . Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n a 1 1 1 1 a 1 1 A= 1 1 a 1 1 1 1 a Gi i L ph ax1 + x2 + x3 + x4 = y1 (1) x1 + ax2 + x3 + x4 = y2 (2) x1 + x2 + ax3 + x4 = y3 (3) x1 + x2 + x3 + ax4 = y4 (4) Ta gi i h trên, c ng 2 v ta có (a + 3)(x1 + x2 + x3 + x4 ) = y1 + y2 + y3 + y4 (∗) 1. N u a = −3, ch n các tham s y1 , y2 , y3 , y4 sao cho y1 + y2 + y3 + y4 = 0. Khi đó (*) vô nghi m, do đó h vô nghi m, b i v y A không kh ngh ch. 2. a = −3, t (*) ta có 1 x1 + x2 + x3 + x4 = (y1 + y2 + y3 + y4 ) (∗∗) a+3 L y (1), (2), (3), (4) tr cho (**), ta có 1 (a − 1)x1 = ((a + 2)y1 − y2 − y3 − y4 ) a+3 1 (a − 1)x2 = (−y1 + (a + 2)y2 − y3 − y4 ) a+3 1 (a − 1)x3 = (−y1 − y2 + (a + 2)y3 − y4 ) a+3 1 (a − 1)x4 = (−y1 − y2 − y3 + (a + 2)y4 ) a+3 (a) N u a = 1, ta có th ch n tham s y1 , y2 , y3 , y4 đ (a + 2)y1 − y2 − y3 − y4 khác 0. Khi đó h và nghi m và do đó A không kh ngh ch. (b) N u a = 1, ta có 1 x1 = ((a + 2)y1 − y2 − y3 − y4 ) (a − 1)(a + 3) 1 x2 = (−y1 + (a + 2)y2 − y3 − y4 ) (a − 1)(a + 3) 1 x3 = (−y1 − y2 + (a + 2)y3 − y4 ) (a − 1)(a + 3) 5
- 1 x4 = (−y1 − y2 − y3 + (a + 2)y4 ) (a − 1)(a + 3) Do đó a + 2 −1 −1 −1 1 −1 a + 2 −1 −1 A−1 = (a − 1)(a + 3) −1 −1 a + 2 −1 −1 −1 −1 a + 2 Tóm l i: N u a = −3, a = 1 thì ma tr n A không kh ngh ch. N u a = −3, a = 1, ma tr n ngh ch đ o A−1 đư c xác đ nh b i công th c trên. 6
- BÀI T P Tìm ma tr n ngh ch đ o c a các ma tr n sau 1 0 3 22. 2 1 1 3 2 2 1 3 2 23. 2 1 3 3 2 1 −1 1 1 1 1 −1 1 1 24. 1 1 −1 1 1 1 1 −1 0 1 1 1 −1 0 1 1 25. −1 −1 0 1 −1 −1 −1 0 Tìm ma tr n ngh ch đ o c a các ma tr n vuông c p n 1 1 1 ··· 1 0 1 1 ··· 1 26. 0 0 1 ··· 1 . . . .. . . . . . . . . . . 0 0 0 ··· 1 1+a 1 1 ··· 1 1 1+a 1 ··· 1 27. 1 1 1 + a ··· 1 . . . . . . .. . . . . . . . 1 1 1 ··· 1 + a 7
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Toán cao cấp 2- Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận
12 p | 2283 | 233
-
Phần 1 Đại số tuyến tính - Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế
83 p | 1267 | 150
-
Giáo trình Bài tập toán cao cấp (Tập 1): Phần 1 - Nguyễn Thủy Thanh
133 p | 216 | 37
-
Đề cương ôn tập Toán cao cấp - Học kì I năm học 2016 - 2017
9 p | 308 | 25
-
Slide - Hạng ma trận
27 p | 160 | 21
-
Giáo trình Đại số tuyến tính - Trường Đại học Công Nghệ thông tin
184 p | 89 | 17
-
Đề thi kết thúc học phần Toán cao cấp 1
15 p | 272 | 15
-
Lý thuyết và bài tập môn Toán cao cấp (Tập 1): Phần 1
132 p | 61 | 7
-
Bài giảng Toán C2: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha
19 p | 87 | 6
-
Dạy và học các bài toán về ma trận với sự hỗ trợ của phần mềm maple
10 p | 52 | 6
-
BÀI TẬP VỀ NHÀ Môn học PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY
7 p | 69 | 6
-
Bài giảng Đại số tuyến tính: Bài 5 - PGS. TS Mỵ Vinh Quang
5 p | 72 | 5
-
Bài giảng Đại số tuyến tính: Phần 1 - Trường ĐH Hàng Hải Việt Nam
42 p | 21 | 4
-
Bài tập hoá học trung học cơ sở – góc nhìn từ cuộc sống
11 p | 77 | 3
-
Đề cương chi tiết bài giảng môn Đại số tuyến tính và hình học giải tích
57 p | 57 | 3
-
Đề thi kết thúc học phần Đại số tuyến tính năm 2018 - Đề số 5 (19/12/2018)
1 p | 10 | 2
-
Sàng lọc và nhân dòng gen mã hóa pectate lyase từ bacillus subtilis có nguồn gốc Việt Nam
8 p | 64 | 1
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn