Bài tập ma trận nghịch đảo
Bài 1. Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau
A=
−1−1 2
3 2 −5
−2−1−1
;B=
1−1 0 0
−1 1 −1 0
0−1 1 −1
0 0 −1 1
;C=
1−1−1−1
−1 1 −1−1
−1−1 1 −1
−1−1−1 1
.
Bài 2. Cho ma trận vuông Athỏa mãn A3= 0. Chứng minh rằng I+Alà
ma trận khả nghịch.
Bài 3. Cho ma trận vuông Athỏa mãn A2+2A+3I= 0. Chứng minh rằng
A+kI là ma trận khả nghịch với mọi k∈R.
Bài 4. Tìm các giá trị của msao cho ma trận sau không khả nghịch
a)A=
1−m1 0
1 2 −m1
0 1 1 −m
;b)B=
1−m2 3
2 4 −m6
3 6 9 −m
.
Bài 5. Cho hai ma trận
A=1 0 3
0 2 1và B=
1 2
0 2
3 0
.
Xét tính khả nghịch của AB và BA.
1
Lời giải.
Bài 1.
A−1=1
4
7 3 −1
−13 −5−1
−1−1−1
;B−1=
1 0 −1−1
0 0 −1−1
−1−1 0 0
−1−1 0 1
;C−1=C
4.
Bài 2. Từ giả thiết A3= 0, ta có
I=I3+A3= (I+A)(I−A+A2) = (I−A+A2)(I+A).
Do đó I+Alà khả nghịch và ma trận nghịch đảo của nó là I−A+A2.
Bài 3. Với mọi số thực k, ta có
(A+kI)(A+ (2 −k)I) = (A+ (2 −k)I)(A+kI) = −(k2−2k+ 3)I.
Do đó, A+kI là khả nghịch và ma trận nghịch đảo của nó là −A+ (2 −k)I
k2−2k+ 3 .
Bài 4. Ta có
det A=−m(m−1)(m−3) và det B=−m2(m−14).
Một ma trận vuông là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác
0. Do đó Akhông khả nghịch khi m∈ {0; 1; 3},Bkhông khả nghịch khi
m∈ {0; 14}.
Bài 5. AB khả nghịch còn BA không khả nghịch.
2