Chéo hóa ma trận có giá trị riêng bội
Trần Đức Anh, mail: ducanh@hnue.edu.vn
Ngày 6 tháng 5 năm 2020
A. Dẫn nhập
Bài viết này tóm tắt lại những gì đã giảng trong buổi học đầu tiên sau Covid (6 tháng
Năm 2020). Trong bài này, ta tóm tắt các bước chéo hóa ma trận vuông có giá trị riêng bội.
Trước đây ta đã trình bày cách chéo hóa ma trận trong trường hợp nó có các giá trị riêng
phân biệt đôi một.
B. Điều kiện chéo hóa được
Định nghĩa 1. Cho Alà ma trận vuông cấp n. Khi đó đa thức đặc trưng của A, được ký
hiệu là PA(t),được định nghĩa là PA(t) = det(A−tI).Đây là một đa thức bậc n(cùng cấp
với A). Các nghiệm của PA(t)được gọi là các giá trị riêng của A.
Theo lý thuyết đại số, cụ thể định lý Gauss, mỗi đa thức đều có đủ nghiệm (chỉ có điều là
ta tính cả số phức). Nếu ký hiệu λ1, λ2, . . . , λnlà các nghiệm của PA(t)thì ta luôn có phân
tích nhân tử
PA(t) = (λ1−t)·(λ2−t)·. . . ·(λn−t).
Hoàn toàn có thể xảy ra trường hợp mà các nghiệm λigiống nhau, trong trường hợp đó,
ta gọi nghiệm λilà nghiệm bội của PA(t).
Khi đó, ta có thể viết lại phân tích nhân tử như sau
PA(t) = (λ1−t)s1·(λ2−t)s2·. . . ·(λk−t)sk,
trong đó λ1, λ2, . . . , λkđôi một phân biệt.
Khi đó, ta gọi silà bội (đại số) của λi.
Định nghĩa 2. λiđược gọi là giá trị riêng của A, có bội (đại số) bằng si.
Nhận xét: Với mỗi giá trị riêng λicủa A, các vector riêng của Atương ứng với λilà các
ma trận cột X=
x1
x2
.
.
.
xn
thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính
(A−λiI)X= 0.
Khi giải ra nghiệm của hệ này, ta sẽ thấy nghiệm sẽ được biểu diễn bởi một số tham số.
1
Định nghĩa 3. Nếu số tham số nhỏ nhất có thể trong biểu diễn nghiệm của hệ phương trình
tuyến tính (A−λiI)X= 0 là ri,thì ta nói tập các vector riêng ứng với giá trị riêng λicó bội
(hình học) là ri.
Mệnh đề 4. Với mỗi giá trị riêng λi,bội hình học không vượt quá bội đại số, và bội hình học
luôn là số dương, tức là
1≤ri≤si.
Ta có tiêu chuẩn chéo hóa như sau:
Mệnh đề 5. Ma trận Alà chéo hóa được khi và chỉ khi bội hình học của mỗi giá trị riêng
bằng bội đại số của chính giá trị riêng đó.
Từ mệnh đề này, ta thấy tại sao ma trận vuông có tất cả các giá trị riêng phân biệt lại
chéo hóa được. Lý do: khi các giá trị riêng của Alà phân biệt, thì bội đại số bằng 1, và do
bất đẳng thức liên hệ giữa bội đại số và hình học ở trên, thì ta suy ra bội hình học cũng bằng
1. Do vậy, ma trận có các giá trị riêng phân biệt luôn chéo hóa được.
C. Quy trình chéo hóa đối với ma trận có giá trị riêng
lặp
Giả sử Achéo hóa được và Acó các giá trị riêng lặp (tức bội đại số >1). Quy trình chéo
hóa là như sau:
•Bước 1: Xác định các giá trị riêng của A.
•Bước 2: Với mỗi giá trị riêng λ, giải hệ phương trình tuyến tính ứng với các vector riêng
(A−λI)X= 0.
•Bước 3: Với mỗi nghiệm ở bước 2, ta tách thành các cột riêng biệt, mỗi cột chứa đúng
1 tham số trong biểu diễn nghiệm ở bước 2.
•Bước 4: Các cột thu được, ta cấu tạo thành ma trận C. Khi đó C−1AC có dạng chéo
mong muốn.
D. Bài tập vận dụng
1. Biết ma trận
29 −21 −15
27 −19 −15
9−7−3
chéo hóa được, và có giá trị riêng lặp. Hãy thực hiện quá
trình chéo hóa ma trận đó.
2