Chéo hóa ma trận có giá trị riêng bội
Trần Đức Anh, mail: ducanh@hnue.edu.vn
Ngày 6 tháng 5 năm 2020
A. Dẫn nhập
Bài viết này tóm tắt lại những gì đã giảng trong buổi học đầu tiên sau Covid (6 tháng
Năm 2020). Trong bài này, ta tóm tắt các bước chéo hóa ma trận vuông có giá trị riêng bội.
Trước đây ta đã trình bày cách chéo hóa ma trận trong trường hợp nó có các giá trị riêng
phân biệt đôi một.
B. Điều kiện chéo hóa được
Định nghĩa 1. Cho Alà ma trận vuông cấp n. Khi đó đa thức đặc trưng của A, được ký
hiệu là PA(t),được định nghĩa là PA(t) = det(A−tI).Đây là một đa thức bậc n(cùng cấp
với A). Các nghiệm của PA(t)được gọi là các giá trị riêng của A.
Theo lý thuyết đại số, cụ thể định lý Gauss, mỗi đa thức đều có đủ nghiệm (chỉ có điều là
ta tính cả số phức). Nếu ký hiệu λ1, λ2, . . . , λnlà các nghiệm của PA(t)thì ta luôn có phân
tích nhân tử
PA(t) = (λ1−t)·(λ2−t)·. . . ·(λn−t).
Hoàn toàn có thể xảy ra trường hợp mà các nghiệm λigiống nhau, trong trường hợp đó,
ta gọi nghiệm λilà nghiệm bội của PA(t).
Khi đó, ta có thể viết lại phân tích nhân tử như sau
PA(t) = (λ1−t)s1·(λ2−t)s2·. . . ·(λk−t)sk,
trong đó λ1, λ2, . . . , λkđôi một phân biệt.
Khi đó, ta gọi silà bội (đại số) của λi.
Định nghĩa 2. λiđược gọi là giá trị riêng của A, có bội (đại số) bằng si.
Nhận xét: Với mỗi giá trị riêng λicủa A, các vector riêng của Atương ứng với λilà các
ma trận cột X=
x1
x2
.
.
.
xn
thỏa mãn hệ phương trình tuyến tính
(A−λiI)X= 0.
Khi giải ra nghiệm của hệ này, ta sẽ thấy nghiệm sẽ được biểu diễn bởi một số tham số.
1
