Bài giảng Chương 6: Phân tích hệ thống liên tục theo thời gian dùng biến đổi Laplace

CHƢƠNG 6: PHÂN TÍCH HỆ THỐNG LIÊN TỤC THEO THỜI GIAN DÙNG BIẾN ĐỔI LAPLACE

Nội dung

6.1 Biến đổi Laplace 6.2 Đặc tính của biến đổi Laplace 6.3 Tìm nghiệm của phương trình vi phân và phương trình vi-tích phân 6.4 Phân tích mạng điện: sơ đồ toán tử 6.5 Sơ đồ khối 6.6 Thiết lập hệ thống 6.7 Ứng dụng vào phản hồi và điều khiển 6.8 Biến đổi Laplace hai bên 6.9 Phụ chương 6.1: Thực hiện dạng chính tắc thứ hai 6.10 Tóm tắt Tài liệu tham khảo: B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Biến đổi Fourier là công cụ để biểu diễn tín hiệu thành dạng tổng các hàm mủ

, với tần số bị giới hạn trên trục ảo của mặt phẳng phức

dạng . Theo các chương 4 và 5 thì biểu diễn này đã đủ để phân tích và xử lý tín hiệu. Tuy nhiên, điều này chưa đủ khi phân tích hệ thống vì: (1) Biến đổi Fourier chỉ tồn tại trong một số lớp tín hiệu, và không dùng được với các ngõ vào tăng theo dạng hàm mủ. (2) Biến đổi Fourier không phân tích được các hệ thống không ổn định hay ở biên ổn định. 6.1 Biến đổi Laplace

Nguyên nhân cơ bản của các khó khăn vừa nêu là do một số tín hiệu, như

không có biến đổi Fourier do các sóng sin thông thường hay hàm mủ dạng

được tổng quát thành

Điều này thể hiện qua phép biến đổi mở rộng gọi là biến đổi Laplace hai bên, . Điều này cho phép ta dùng các . Trước khi phát triển toán tử của

(chỉ quan tâm đến biên độ không đổi) không có khả năng tổng hợp được hàm mủ tăng (thay theo thời gian. Vấn đề này được giải quyết khi dùng tín hiệu cơ bản (nền) dạng cho hàm ), khi đó tần số phức s không còn phải nằm trên trục ảo (như trường hợp biến đổi Fourier). với biến tần số hàm mủ tăng theo thời gian để tổng hợp tín hiệu phép mở rộng, ta cần tìm hiểu trực giác về quá trình tổng quat hóa này.

6.1- 1 Hiểu biết trực giác về biến đổi Laplace Tín hiệu trong hình 6.1d không có biến đổi Fourier, ta lấy biến đổi Fourier

bằng cách nhân tín hiệu với hàm mủ giảm dạng . Thí dụ, lấy biến đổi Fourier tín hiệu

bằng cách nhân với hàm với . Đặt:

Như vẽ ở hình 6.1a. Tín hiệu có được biến đổi Fourier và các thành phần Fourier có

với tần số  thay đổi từ đến . Thành phần mủ và

thêm vào dạng phổ tạo sóng sin tần số . Phổ chứa vô hạn các sóng sin, mỗi sóng có biên độ bé. Rất dễ lẫn lộn khi vẽ tất cả các dạng sóng này; do đó, hình 6.1b, chỉ vẽ hai thành phần tiêu biễu. , vẽ ở hình 6.1a. Cộng tất cả các thành phần này (số lượng là vô hạn) cho ta lại

, với tần số phức có dạng nằm trên trục ảo

đến , vẽ ở hình 6.1c.

Hình 6.1a vẽ tín hiệu

Thành phần phổ của hàm mủ của từ phần phổ, và hình 6.2c vẽ vị trí tần số của mọi thành phần phổ của . Hình 6.1b vẽ hai trong số vô hạn các thành trên mặt phẳng

phức. Vậy ta tìm lại tín hiệu mong muốn bằng cách nhân với . Điều này

cho phép tổng hợp bằng cách nhân từng thành phần của nhân với rồi cộng

(sóng sin trong hình 6.1b) với

tất cả lại. Nhưng khi nhân thành phần phổ của tạo hàm sin tăng theo dạng mủ như vẽ ở hình 6,1e. Khi cộng tất cả các thành phần sóng sin tăng dạng mủ (số lượng là vô hạn) tạo lại trong hình 6.1d. Thành phần phổ của

có dạng

. Khi nhân các thành phần này với . Vậy, các thành phần tần số

tạo ra thành phần phổ có dạng được chuyển sang trong mặt phẳng trong phổ . Vị trí các tần số trong phổ của

Rõ ràng là tín hiệu

thành phần tần số phức nằm theo đường dọc, vẽ trong hình 6.1f. nằm dọc theo , với có thể được tổng hợp dùng các hàm mũ tăng không dừng đến . Giá trị của  rất mềm dẻo. Thí dụ, nếu

có biển đổi Fourier khi chọn  > 2. Từ đó, có vô số

, thì . Điều này tức là phổ của không độc nhất, với vô số khả năng tổng hợp

cách chọn Tuy nhiên,  có một số giá trị bé nhất . cho trường hợp cho từng . [

gọi là vùng hội tụ (hay vùng

]. Vùng trong mặt phẳng phức cho

Các kết luận rút ra từ phương pháp thử và sai sẽ được phân tích một cách giải tích trong biến đổi Fourier sẽ được tổng quát thành .

tồn tại) cho biến đổi của như sau. Tần số 6.1- 2 Phân tích biến đổi Laplace hai bên Ta đã nhất quán biến đổi Fourier và biến đổi Laplace, nên cần dùng ý niệm thay cho của trường hợp biến đổi Fourier, và được định nghĩa theo:

(6.1)

Và (6.2)

Xét biến đổi Fourier của ( số thực)

(6.3)

(6.4)

Theo phương trình (6.1), thì các tích phân trên là , nên

(6.5)

Biến đổi Fourier nghịch

(6.6)

Nhân hai vế với

(6.7)

Lượng

là tần số phức s. Đổi biến tích phân từ  sang s. Do đến  chuyển từ biến s từ . Giới hạn của tích phân từ

. Tuy nhiên, cần nhắc lại là với hàm cho trước ,  cần có giá trị tối thiểu , đến ,

và ta có thể chọn bất kỳ với . Phương trình (6.7) thành

(6.8a)

Từ phương trình (6.4) và (6.5), ta có

(6.8b)

Cặp phương trình trên gọi là cặp biến đổi Laplace hai bên. Biến đổi Laplace hai

Phương trình (6.8a) biểu diễn . Điều

bên được viết thành công thức F(s) = L[f(t)] và f(t) = L-1[F(s)] Hay đơn giản hơn Đáp ứng của hệ thống LT – TT – BB. thành tổng trọng các hàm mủ dạng này được thể hiện rõ khi viết tích phân trong phương trình (6.8a) theo dạng tổng

(6.9)

Rõ ràng, biến đổi Laplace biểu diễn thành tổng các hàm mủ không dừng có

đi từ đến với

) hay giảm theo dạng mủ (khi dạng (khi TT – BB với ngõ vào . Đây là các sóng sin với dạng mủ tăng ). Ta xác định đáp ứng của hệ thống LT – qua quan sát hàm truyền hệ thống với hàm mủ (không dừng)

là . Từ phương (6.9), có đáp ứng của hệ thống với ngõ vào là:

(6.10)

đến ) trong phương trình (6.10) có thể khác với

, theo phương trình(6.10) là

Hướng lấy tích phân (từ phương trình (6.9). Nếu (6.11)

là tổng các thành phần hàm mủ dạng

Ta đã biểu diễn ngõ vào . Từ đó, tìm được đáp ứng của hệ thống bằng cách cộng tất cả đáp ứng với các thành phần mủ này. Phương pháp thực hiện tương tự như trong chương 2 (với ngõ vào được biểu diễn thành tổng nhiều xung) hay trong chương 4 (với ngõ vào được biểu diễn thành tổng các hàm mủ dạng ).

Vậy khi hệ LT – TT – BB có hàm truyền H(s), có ngõ vào là và ngõ ra

, nếu

, và , thì

(6.12)

Biến đổi Laplace là toán tử tuyến tính, và theo nguyên lý xếp chồng, nếu và , thì

Tính tuyến tính của biến đổi Laplace

(6.13) Phần chứng minh đơn giản và lấy từ định nghĩa của biến đổi Laplace. Kết quả này

còn được mở rộng khi có vô hạn các thừa số ngõ vào. Vùng hội tụ Phần trước đã thảo luận một cách trực giác về vùng hội tụ (hay vùng tồn tại) của biến đổi Laplace F(s). Về mặt toán học, vùng hội tụ của F(s) là tập các giá trị của s (vùng nằm trong mặt phẳng phức), trong đó tích phân từ phương trình (6.8b) định nghĩa trực tiếp biến đổi Laplace hội tụ. Xét tiếp thí dụ sau: ■ Thí dụ 6.1: , tìm biến đổi Laplace F(s) và vùng hội tụ Cho tín hiệu

Từ định nghĩa

Do khi và khi

(6.14)

không nhất thiết phải triệt tiêu, nên Chú ý do s là biến phức và khi ta dùng lại ý niệm về số phức , thừa số .

Do với mọi giá trị của . Do đó. Khi , nếu và chỉ nếu

khi , và , nếu , do đó

(6.15)

Rõ ràng

Dùng kết quả từ phương trình (6.14)

(6.16a)

(6.16a)

Hay (6.16b)

không tồn tại với các giá trị âm của a. Nhắc lại là biến đổi Fourier của

Vùng hội tụ của F(s) là Re s > – a, vẽ ở phần diện tích tô bóng trong hình 6.2a. Điều này tức là tích phân định nghĩa F(s) trong phương trình (6.14) chỉ tồn tại với giá trị của s trong vùng tô bóng hình 6.2a. Tích phân trong (6.14) không hội tụ với các giá trị khác của s. Do đó vùng tô bóng này được goi là vùng hội tụ (hay vùng tồn tại) của F(s). Ngược lại, biến đổi Laplace tồn tại với mọi giá trị của a, và vùng hội tụ là phần bên phải của đường thẳng Re s = -a. ■

Vùng hội tụ rất cần để tìm biến đổi Laplace nghịch

nếu

Vai trò của vùng hội tụ như định nghĩa ở phương trình (6.8a). Khi tìm biến đổi nghịch, cần tính tích phân trong mặt phẳng phức, với  thay đổi từ nên cần thêm một số định nghĩa. Đường lấy tích phân dọc theo –  đến . Hơn nữa. đường lấy tích phân phải nằm trong vùng hội tụ (hay tồn tại) của . Còn một đường F(s). Điều này không thực hiện được với tín hiệu là lấy tích phân khác (đường chấm) trong hình 6.2a. Như thế, để có được từ

phải lấy tích phân theo đường này. Khi lấy tích phân dọc theo đường này,

cho kết quả . Phương pháp lấy tích phân trong mặt phẳng phức đòi hỏi kiến thức về hàm biến phức. Điều này có thể tránh được bằng cách dùng bảng biến đổi Laplace (bảng 6.1), với đầy đủ các cặp biến đổi Laplace của nhiều dạng tín hiệu khác nhau. Thí , thay vì dùng công thức tính tích phân dụ, để tìm biến đổi nghịch của biến đổi

.

Để biết nhu cầu của biến đổi Laplace một bên, hảy tìm biến đổi Laplace của tín

phức (6.8a), ta nhìn vào bảng để có biến đổi nghịch là Biến đổi Laplace một bên hiệu vẽ ở hình 6.2b

Biến đổi Laplace của tín hiệu này là

khi và khi

Do

Phương trình (6.15) cho , nên

(6.17)

Tín hiệu và vùng hội tụ ( ) được vẽ trong hỉnh 6.2b. Chú ý là biến

và

và

. Để tìm , tức là từ

.

giống nhau trừ với các vùng hội tụ đổi Laplace của hai tín hiệu , có thể có nhiều biến đổi nghịch, tùy theo vùng hội tụ. khác nhau. Như thế, với một Nói cách khác không có ánh xạ một – một giữa , trừ khi biết được vùng hội tụ. Điều này càng làm phức tạp ứng dụng của biến đổi Laplace. Yếu tố phức tạp này là do mong muốn xử lý tốt được các tín hiệu nhân quả và không nhân quả. Điều này không thể xảy ra khi ta giới hạn tín hiệu là tín hiệu nhân quả. Như thế, chỉ có một biến đổi nghịch , ta cũng không cần đến vùng của , chỉ có một biến đổi hội tụ. Tóm lại, nếu mọi tín hiệu đều là nhân quả, thì với một nghịch Biến đổi Laplace một bên là trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai bên, khi các tín hiệu đều bị giới hạn là nhân quả, nên cận lấy tích phân có thể thay đổi từ 0 đến . Do đó, biến đổi Laplace một bên được định nghĩa là

(2.18)

Ta chọn 0- (thay vì 0+ như theo một số tài liệu) làm cận dưới tích phân. Qui ước này không chỉ bảo đảm chèn được xung tại , mà còn cho phép ta dùng được điều kiện đầu tại 0– (thay vì tại 0+) vào nghiệm của phương trình vi phân qua biến đổi Laplace. Thực tế, ta thường biết được điều kiện đầu trước khi có tín hiệu vào (tại 0-), không phải sau khi tín hiệu vào (tại 0+). Biến đổi Laplace một bên đơn giản hóa đáng kể việc phân tích hệ thống, nhưng điều phải trả giá là phân tích không được hệ thống không nhân quả hay dùng với các ngõ vào không nhân quả. Tuy nhiên, trong hầu hết các bài toán thực tế, thì hậu quả này là rất ít. Hảy xét biến đổi Laplace một bên và ứng dụng trong phân tích hệ thống (biến đổi Laplace hai bên sẽ được bàn ở phần 6.8) Ta thấy là về cơ bản thì không có khác biệt giữa biến đổi Laplace hai bên và một bên. Biến đổi Laplace là biến đổi hai bên dùng cho lớp con tín hiệu bắt đầu tại (tín hiệu nhân quả). Như thế, biểu thức [phương trình (6.8a)] của biến đổi Laplace nghịch vẫn đúng. Trong thực tế, thường thì biến đổi Laplace được hiểu là biến đổi Laplace một bên.

trong biến đổi Laplace thường là biến phức, và được viết thành Tồn tại của biến đổi Laplace Biến . Từ định nghĩa

Do , tích phân vế phải hội tụ nếu

(6.19)

Như thế biến đổi Laplace tồn tại nếu tích phân (6.19) là hữu hạn với một số giá trị của . Tín hiệu nào tăng chậm hơn tín hiệu mủ với một số giá trị của M và , thì

(6.20)

Ta có thể chọn thỏa (6.19). Ngược lại, tín hiệu có tốc độ tăng nhanh hơn

nên biến đổi Laplace) lại ít ảnh hưởng về mặt lý thuyết hay thực tế. Nếu không có biến đổi Laplace. Điều may mắn là các tín hiệu dạng này (không có là trị bé nhất của

 để tích phân (6.19) hữu hạn, thì được gọi là hoành độ hội tụ và vùng hội tụ của

là . Hoành độ hội tụ của là –a (vùng hội tụ là ).

■ Thí dụ 6.2: Tìm biến đổi Laplace của (a) (b) (c) .

(a) L

với mọi s với mọi s (6.21)

Từ đặc tính lấy mẫu [phương trình (1.24a)], ta có L Tức là (b) Để tìm biến đổi Laplace của , nhắc lại là khi , nên

L (6.22)

Ngoài ra, còn có thể tìm kết quả từ phương trình (6.16b) khi cho a = 0.

(c) Do (6.23)

L = L

Từ phương trình (6.16)

L

(6.24) ■

Trong biến đổi Laplace một bên, chỉ có một biến đổi nghịch của

, và điều thích hợp là nên nhân tín hiệu này với .

; nên không cần xác định rõ ràng vùng hội tụ. Vì vậy, ta thường bỏ qua ý niệm vùng hội tụ trong biến đổi Laplace một bên. Nhắc lại là, trong biến đổi Laplace một bên, hiểu ngầm là các tín hiệu đều là zêrô khi

Bài tập E 6.1 Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, tìm biến đổi Laplace và vùng hội tụ

của của tín hiệu trong hình 6.3

Đáp số: (a) với mọi s (b) với mọi s

Quan hệ với biến đổi Fourier Định nghĩa biến đổi Laplace giống với biến đổi Fourier khi thay

thấy biến đổi Laplace của tín hiệu , giống như biến đổi bằng s. Ta khi của

là . Thay bằng s. Thí dụ, ta thấy biến đổi Fourier của

bao gồm trục ảo (trục

. Biến đổi Laplace tương ứng là

lại hội tụ theo nghĩa thông thường, nhưng chỉ với

thay bằng s trong biến đổi Fourier cho kết quả là , là biến đổi Laplace theo phương trình (6.16b). Điều không may là phương pháp này không đúng với mọi . Chỉ có thể thực hiện điều này khi vùng hội tụ của ). Thí dụ, biến đổi Fourier của hàm bước đơn vị là , và , không bao gồm trục ảo. Trong trường hợp này thì quan hệ giữa vùng hội tụ là biến đổi Fourier và biến đổi Laplace không đơn giản. Lý do của khó khăn này có liên quan đến tính hội tụ của tích phân Fourier, theo đó đường lấy tích phân là trục ảo. Do hạn chế này, tích phân Fourier của hàm bước không hội tụ theo nghĩa thông thường như đã minh họa trong thí dụ 4.7. Phải dùng hàm tổng quát (xung) cho ý niệm hội tụ. Ngược lại, tích phân Laplace cho , lại là vùng cấm trong biến đổi Fourier. Điều thú vị nữa là dù biến đổi Laplace là tổng quát hóa của biến đổi Fourier, vẫn còn có tín hiệu (thí dụ tín hiệu điều hòa) không có biến đổi Laplace, nhưng tồn tại biến đổi Fourier (nhưng không theo nghĩa thông thường). 6.1- 3 Tìm biến đổi Laplace nghịch

Phương pháp dùng định nghĩa (6.8a) để tìm biến đổi Laplace nghịch đòi hỏi lấy tích phân trong mặt phẳng phức, không được bàn trong tài liệu này. Mục tiêu là dùng biến đổi nghịch từ bảng 6.1. Điều ta cần là biểu diễn thành tổng nhiều hàm đơn giản được liệt kê trong bảng. trong thực tế có dạng hàm hữu tỉ; tức là tỉ số các đa Hầu hết các biến đổi thức theo s. Hàm dạng này có thể được phân tích thành các hàm đơn giản hơn dùng phép

được gọi là zêrô của

khai triển đa thức (xem phần B.5). Giá trị s để trị s để được gọi là cực của . Khi

, thì nghiệm của P(s) là zêrô và nghiệm của Q(s) là cực của ; giá là hàm hữu tỉ có dạng .

■ Thí dụ 6.3: Tìm biến đổi Laplace nghịch của:

(a) (b) (c) (d)

Biến đổi nghịch của các hàm không có trong bảng 6.1, cần khai triển thành dạng

đa thức như thảo luận ở phần B.5. (a)

Theo phần B.5-2, tính k1 theo

Tương tự

Nên (6.25a)

Kiểm tra kết quả Khi khai triển đa thức, ta có thể bị lỗi, nên có thể kiểm tra bằng cách kiểm lại là và các đa thức phải bằng nhau với từng giá trị của s nếu ta khai triển đúng. Thí dụ,

kiểm tra lại (6.25a) với giá trị, s = 1. Thay s = 1 vào phương trình (6.25a)

Ta có thể tạm tin được về đáp số của mình. Dùng cặp thứ 5 (bảng 6.1) cho phương trình (6.25a), ta có:

L-1 (6.25b)

(b)

Ta thấy . Trường hợp này, ta có thể biểu diễn có

là tổng của hệ số (hệ số của bậc lủy thừa cao nhất của tử số) với các khai triển đa thức tương ứng với

các cực của . Trường hợp này, , nên

Với

Và

(6.26)

Dùng bảng 6.1, cặp 1 và 5, ta có

(c)

Chú ý là các hệ số ( và ) của thừa số liên hợp cũng liên hợp

, do đó

Dùng cặp 10b (bảng 6.1), với và viết theo dạng cực

Nhận xét . Điều này được minh chứng trong hình 6.4.

Hình 6.4, cho ta

, nên

, vậy

(6.27)

Bảng 6.1 (cặp 2 và 10b) cho ta

Bảng biến đổi Laplace (một bên) 1

1 2

3

4

5

6

7

8a

8b

9a

9b

10a

10b

10c

10d

Một phƣơng pháp tính thừa số bậc hai Phương pháp vừa nêu đòi hỏi tính số phức quá nhiều. Theo cặp 10c (bảng 6.1), biến đổi nghịch thừa số bậc hai (có cực liên hợp) được tìm trực tiếp, không dùng các đa thức bậc một. biểu diễn thành

Đã xác định được từ phương pháp Heaviside, nên

Nhân hai vế của phương trình với

Cân bằng hệ số của s2 và s, ta có , và

Dùng cặp 2 và 10c để tìm biến đổi Laplace nghịch. Tham số dùng cho cặp 10c là ,

, và ,

, do đó

là phù hợp với hết quả trước đây

Đƣờng tắt Còn có phương pháp gọn hơn để tính thừa số bậc hai, ta có:

Ta xác định A bằng cách loại B bên vế phải. Bước này được thực hiện bằng cách nhân hai vế phương trình với s rồi cho , ta có , do đó

Tìm B, cho s một giá trị thích hợp, thí dụ cho s = 1 vào phương trình, ta có

, phù hợp với kết quả đã tính

, với (d)

, do đó

, và

(6.28)

Phƣơng pháp khác: kết hợp giữa Heaviside và phƣơng pháp clearing fraction Trong phương pháp này, các hệ số đơn giản như và

được xác định dùng phương pháp Heaviside. Để xác định các hệ số còn lại, ta dùng phương pháp clearing fraction (xem B.5-3). Dùng các giá trị , ta có và

Nhân hai vế của phương trình với , ta có

Cân bằng các giá trị của s3 và s2 ở hai vế, ta có Cân bằng các giá trị của s1 và s0 ở hai vế, ta có Tìm lại, có

Phƣơng pháp khác: kết hợp giữa Heaviside và short-cut Trong phương pháp này, các hệ số đơn giản như và

được xác định từ phương pháp Heaviside. Để xác định các hệ số còn lại, ta dùng phương pháp short-cut. Dùng các giá trị , ta có và

, ta loại a1. Có hai ẩn, a1 và a2. Nếu nhân hai vế với s rồi cho , do đó:

. Giá trị này có thể được xác định bằng cách s một giá trị thích hợp, thí

Chỉ còn một ẩn dụ

■

 Bài tập dùng máy tính C6.1 Tìm biến đổi Laplace nghịch của các hàm sau dùng phương pháp khai triển đa thức:

(a) (b) (c)

(a) num=[2 0 5]; den=[1 3 2]; [r,p,k]=residue(num,den) r = -13, 7 p = -2, -1 k = -2, -1 Do đó

và

(b) num=[2 7 4]; den=[con(con([1 1],[1 2]),[1 2])]; [r, p, k] = residue(num.den); r = 3, 2, -1 p = -2, -2, -1 k= [ ] Do đó

và

(c) num=[8 21 19]; den=[con([0 1 2],[1 1 7])]; [r, p, k]=residue(num, den) [angle, mag]=cart2pol(real(r), imag(r))

r = 3.5 – 0.4811i, 3.5 + 0.4811i, 1.00 p= - 0.5 + 2.5981i, - 0.5 - 2.5981i, - 2.00 k = [ ] angle = -0.1366, 0.1366. 1.00 mag = 3.5329, 3.5329, 1.00 Do đó

và



 Bài tập dùng máy tính C6.2 Tìm (a) biến đổi Laplace trực tiếp của (b) biến đổi Laplace nghịch

của Ta dùng Symbolic Math Toolbox, là tập các hàm Matlab dùng để xử lý và giải các biểu thức symbolic. (a) f=sym(„sin(a*t)+cos(b*t)‟);

F=laplace(f) F=(a*s^2+b^2*a+s^3+s*a^2)/(s^2+a^2)/(s^2+b^2) Vậy:

(b) F= sym(„a*s^2)/(s^2+b^2); f=invlaplace(F) F=a*dirac(t)-a*b*sin(b*t) Vậy: 

Bài tập E 6.2

(i) Chứng tõ là biến đổi Laplace là dùng cặp

10a trong bảng 6.1. (ii) Tìm biến đổi Laplace nghịch của (a)

(c) (b)

Đáp số:

(b) (c) . (a)

6.2 Một số đặc tính của biến đổi Laplace

Khi xem biến đổi Laplace là dạng tổng quát của biến đổi Fourier, ta hy vọng biến đổi Laplace có các đặc tính tương tự như biến đổi Fourier. Tuy nhiên, phần này chỉ bàn chủ yếu một số đặc tính của biến đổi Laplace một bên, có khác so với biến đổi Fourier (là dạng biến đổi hai bên).

sang

Đặc tính của biến đổi Laplace không chỉ quan trọng để tìm biến đổi Laplace của các hàm mà còn giúp tìm nghiệm của phương trình vi tích phân. Các phương trình (6.8a) và (6.8b) cho thấy là giống trường hợp biến Fourier, có một số đặc tính đối xứng khi chuyển từ và ngược lại. Tính đối xứng hay đối ngẫu còn tồn tại trong nhiều đặc tính của biến đổi.

1. Tính dời theo thời gian Nếu

Thì với (6.29)

Ta thấy bằt đầu tại , do đó bắt đầu tại ,

Nếu Thì

(6.29b)

Chứng minh:

L

Cho , ta có:

L

khi và khi , cận lấy tích phần là từ 0 đến . Do đó:

Do

L

Chú ý là là tín hiệu được dời đi giây. Theo đặc tính dời theo

thời gian cho rằng khi dời tín hiệu một lượng tương đượng với việc nhân biến đổi với

.

Đặc tính này của biến đổi Laplace một bên chỉ đúng khi dương, do khi âm,

thì tín hiệu này. Nếu tính hiệu trong hình 6.3a là không phải là nhân quả. Bài tập E 6.1chứng minh đặc tính thì tín hiệu trong hình 6.3b là

. Biến đổi Laplace của xung trong hình 6.3a là . Như thế, biến

đổi Laplace của xung hình 6.3b là .

Đặc tính dời theo thời gian rất thích hợp để tìm biến đổi Laplace của hàm với

nhiều mô tả trong các khoản thời gian khác nhau, như được xét trong thí dụ sau.

vẽ ở hình 6.5a

■ Thí dụ 6.4: Tìm biến đổi Laplace của hàm Phần 1.4 đã cho mô tả toán học của phần, vẽ ở hình 6.5b. Phương trình của thành phần thứ nhất là , và được viết thành tổng hai thành trong khoảng là . Thành phần thứ hai , nên có dạng

, vậy:

(6.30a)

làm trễ 2 giây và tín hiệu được làm trễ 2 giây.

Thừa số thứ nhất bên vế phải là tín hiệu làm trễ 1 giây. Các thừa số thứ ba và thứ tư, không thể biểu diễn thành các thành phần dời theo thời gian của các tín hiệu trong bảng 6.1, viết lại: Viết thừa số thứ hai theo dạng Phương trình (6.30a) viết lại thành (6.30b)

Dùng đặc tính dời theo thờigian của , ta có

và

Đồng thời và (6.31)

Do đó:

(6.32) ■

■ Thí dụ 6.5:

Tìm biến đổi Laplace nghịch của

trong tử số của

Nhận thấy thừa số mủ Trường hợp này ta nên chia cho thấy có yếu tố dời theo thời gian. thành các thừa số có và không có thừa số trễ, tức là

=

Với

Nên

, và do

■

Bài tập E 6.3 Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu vẽ trong hình 6.6.

Đáp số: .

Bài tập E 6.4 Tìm biến đổi Laplace nghịch của

.

.

Đáp số: 2. Đặc tính dời theo tần số. Nếu

Thì

(6.33)

Nhận xét về tính đối xứng (hay đối ngẫu) giữa đặc tính này và đặc tính dờ itheo

thời gian (6.29a) Chứng minh:

L

■ Thí dụ 6.6: Dùng cặp 8a và đặc tính dời theo tần số để tìm cặp 9a trong bảng 6.1 Cặp 8a là

Dùng đặc tính dời theo tần số [phương trình (6.33)], thay

■

Bài tập E 6.5

Chứng tõ là có thể tìm cặp 6 trong bảng 6.1 từ cặp 3 và đặc tính dời theo tần số.

Ta tiếp tục xem xét hai đặc tính quan trọng nhất của biế đổi Laplace: đặc tính vi phân theo thời gian và đặc tính tích phân theo thời gian. 3. Đặc tính vi phân theo tần số. Nếu

Thì

(6.34a)

Và

(6.34b)

(6.34c)

là tại .

Trong đó Chứng minh:

L

Lấy tích phân từng phần

L

tồn tại), cần có khi với

Để tích phân Laplace hội tụ (tức là để giá trị của s trong vùng hội tụ của . Tức là

L

Tìm biến đổi Laplace của tín hiệu trong hình 6.7a dùng bảng 6.1 và các đặc

Hình 6.7b và 6.7c cho thấy hai đạo hàm của . Nhắc lại là đạo hàm tại các

■ Thí dụ 6.7: tính vi phân theo thời gian và dời theo thời gian của biến đổi Laplace. điểm không liên túc là xung có cường độ bằng với lượng bước nhảy.

Biến đổi Laplace của phương trình này là

L L

Dùng đặc tính vi phân theo thời gian (6.34b), đặc tính dời theo thời gian (6.29a) và điều kiện , ta có , và

, do đó

như đã khẳng định ở bài tập E 6.3 ■

4. Đặc tính tích phân theo tần số. Nếu

Thì

(6.35)

Và

(6.36)

Chứng minh: Định nghĩa cho

Để và

Nếu thì hay

Để chứng minh (6.36), nhận thấy

Chú ý là thừa số thứ nhất của vế phải là hằng số. Lấy biến đổi Laplace của phương trình trên và dùng phương trình (6.35), ta có

Tính tỉ lệ Nếu

Thì

(6.37)

Chứng minh tương tự như trường hợp đặc tính tỉ lệ của biến đổi Fourier trong chương 4 là [phương trình (4.34)]. Chú ý là a bị giới hạn là một giá trị dương nếu không, khi nhân quả, thì là phản nhân quả (chỉ tồn tại với t < 0) khi a có giá trị âm, và tín hiệu phản nhân quả không dùng được trong biến đổi Laplace (một bên). được nén theo thời gian với thừa số a và Nhắc lại nếu là tín hiệu

là được giãn theo dọc theo s với tỉ lệ a (xem phần 1.3-2). Đặc tính tỉ lệ cho

với cùng tỉ lệ.

rằng khi nén tín hiệu theo thời gian với tỉ lệ a, thì làm giãn tín hiệu trong s với cùng tỉ lệ. Tương tự, kho giãn theo thời gian, sẽ tạo sự nén trong 5. Tích phân chập theo thời gian và tích phân chập theo tần số. Nếu và

Thì (đặc tính tích phân chập theo thời gian) (6.38)

Và (đặc tính tích phân chập theo tần số

(6.39)

Bảng 6.2 Các đặc tính của biến đổi Laplace Phép tính F(s)

f(t)

Phép cộng Nhân vô hướng Vi phân theo thời gian

Tích phân theo thởi gian

Dời theothởi gian

Dời theo tần số

Vi phân theo tần số

Tích phân theo tần số

Tỉ lệ

Tích chập theo thời gian Tích chập theo tần số

Giá trị đầu

Giá trị cuối

Quan sát tính đối xứng (hay đối ngẫu) giữa hai đặc tính. Chứng minh tương tự

Phương trình (2.48) cho thấy H(s) là hàm truyền của hệ LT – TT – BB, và là biến , tức là

như trong chương 4 của biến đổi Fourier. đổi Laplace của đáp ứng xung (6.40)

Ta có thể dùng đặc tính về tích chập theo thời gian chp quan hệ vào ra của hệ LT – TT – BB để có:

(6.41)

Kết quả này giống với trường hợp phương trình (6.11)

Dùng tích chập theo thời gian của biến đổi Laplace, tìm .

■ Thí dụ 6.8: Phương trình (6.38) cho:

Lấy biến đổi nghịch

■

Đặc tính vi phân theo thời gian của biến đổi Laplace cho phép giải các phương , nên . Tiếp đến dùng phép

. Xem thì dụ sau

6.3 Tìm nghiệm của phƣơng trình vi phân và phƣơng trình vi tích phân. trình vi phân (hay vi – tích phân) tuyến tính có hệ số hằng. Do có thể chuyển phương trình vi phân sang dạng đại số để có biến đổi nghịch để tìm ■ Thí dụ 6.9: Giải phương trình vi phân tuyến tính bậc hai (6.42a)

và ngõ vào

Nếu điều kiện đầu Phương trình là

(6.42b)

Đặt , thì theo phương trình (6. 34)

Do

, và

Lấy biến đổi Laplace phương trình (6.42b)

(6.43a)

(6.43b)

Phân tích , hay

(6.44) ■

Thí dụ trên trình bày phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính, hệ số hằng dùng phương pháp biến đổi Laplace. Phương pháp này còn có thể dùng giải các phương trình vi phân hệ số hằng có bậc cao hơn. Đáp ứng ngõ vào –zêrô và trạng thái – zêro.

và

Phương pháp dùng biến đổi Laplace cho đáp ứng chung, bao gồm đáp ứng ngõ vào – zêrô và đáp ứng trạng thái – zêrô. Nếu muốn, ta có thể tách ra hai thành phần. Thừa số điều kiện đầu trong đáp ứng cho thấy đáp ứng ngõ vào – zêrô. Thí dụ, trong thí dụ 6.9, trong phương trình (6.43a) tạo đáp ứng thừa số do điều kiện đầu ngõ vào –zêrô. Các điều kiện đầu này là thừa số trong phương trình (6.43b). Thừa số bên phải hoàn toàn do ngõ vào tạo ra. Phương trình (6.43b) được viết lại thành:

= thành phần ngõ vào – zêrô + thảnh phần trạng thái – zêrô

Lấy biến đổi Laplace nghịch

và . Khi ta thế

= đáp ứng ngõ vào –zêrô + đáp ứng trạng thái - zêrô Nhận xét về điều kiện đầu tại 0- và 0+. Các điều kiện đầu trong thí dụ 6.9 là vào đáp ứng chung trong phương trình (6.44), ta có và , là kỳ lạ với

điều kiện đầu. Tại sao? Lý do là điều kiện đầu cho tại ứng trạng thái –zêrô là kết quả của ngõ vào tại (trước khi có ngõ vào). Đáp . Như thế, thành phần này chưa

. Vậy, điều kiện đầu tại tồn tại ở chỉ dùng cho đáp ứng ngõ vào –zêrô , chứ không dùng cho đáp ứng chung. Thông thường thì đáp ứng chung có điều kiện đầu tại

, khác với điều kiện đầu tại .

Ngoài ra còm có phiên bản L+ của biến đổi Laplace, dùng điều kiện đầu tại

là zêrô do tại

(như đang thảo luận L- tại đây). Dạng L+, thịnh hành trong nhửng năm sáu thay vì mươi của thế kỹ trước, giống phiên bản L- trừ cận lấy tích phân là từ 0+ đến . Do đó, từ định nghĩa thì, gốc bị loại khỏi vùng làm việc. Phiên bản này, tuy còn dùng trong một số tài liệu toán học, nhưng gặp rất nhiều khó khăn. Thí dụ, trường hợp này sẽ cho biến đổi Laplace của . Hơn nữa, xu hướng này cũng không dùng được cho nghiên cứu lý thuyết về hệ thống tuyến tính do phương pháp không cho phép chia đáp ứng chung thành hai thành phần đáp ứng ngõ vào – zêro và đáp ứng trạng thái – zêrô. Như đã biết, thì thành phần đáp ứng trạng thái – zêrô biểu diễn đáp ứng của hệ thống theo ngõ vào, tuy chưa biết dạng của ngõ vào, nhưng có thể biết về ảnh

hưởng của ngõ vào lên đáp ứng hệ thống. Phương pháp L+ tuy có thể chia đáp ứng theo đáp ứng tự nhiên và đáp ứng ép, không phải là thành phần đáng được quan tâm là thành phần ngõ vào – zêrô và thành phần trạng thái –zêrô. Chú ý là ta thường tìm được thành phần đáp ứng tự nhiên và thành phần đáp ứng ép từ thành phần ngõ vào – zêrô và thành phần trạng thái – zêrô (xem phương trình (2.51b)), nhiên nhiên, điều ngược lại không thực hiện được. Do đó, các kỹ sư điện đã bắt đầu loại phương pháp này từ sau những năm sáu mươi.

, cặp thứ hai dùng điều kiện tại

Cần chú ý về tính đối ngẫu trong miền thời gian giữa hai phiên bản của biến đổi Laplace. Phương pháp cổ điển là đối ngẫu với phương pháp L+, phương pháp tích phân chập (ngõ vào –zêrô/ trạng thái – zêrô) thì đối ngẫu với phương pháp L-. Cặp đối ngẫu đầu dùng điều kiện đầu tại . Cặp đối ngẫu đầu (phương pháp cổ điển và phương pháp L+) không dùng được cho nghiên cứu lý thuyết về phân tích hệ thống tuyến tính. Còn trường hợp L- được cộng đồng kỹ sư điện áp dụng ngay khi ý niệm về phân tích không gian – trạng thái được đưa ra (dùng riêng biệt thành phần ngõ vào – zêrô/trạng thái – zêrô). Bài tập E 6.6

khi ngõ vào và điều kiện đầu Giải

Đáp số: .

■ Thí dụ 6.10: Trong mạch điện hình 6.8a, chuyền mạch ở vị trí đóng trong thời gian dài trước , rồi được mở tức thời. Tìm dòng điện qua cuộn dây khi .

Khi chuyển mạch đang ở vị trí đóng (trong thời gian dài), dòng điện qua cuộn dây là 2 ampe và điện áp qua tụ là 10 vôn. Khi chuyển mạch hở, mạch tương đương được vẽ

ở hình 6.8b, với giá trị dòng điện qua cuộn dây ban đầu là và điện áp qua tụ

. Điện áp vào là 10 vôn, bắt đầu từ , được viết thành

ban đầu là Phương trình mạch vòng trong hình 6.8b là

(6.45)

(6.46a)

(6.46b)

(6.46c)

là dòng điện qua tụ, tích phân là , điện tích tụ tại

(6.47)

(6.46c) cho

(6.48)

Lấy biến đổi Laplace

Tìm biến đổi nghịch dùng cặp 10c (bảng 6.1) với A = 2. B = 0, a = 1 và c = 5.

và

vẽ ở hình 6.8c ■

6.3-1 Đáp ứng trạng thái – zêrô: Hàm truyền của hệ LT – TT – BB Xét hệ LT – TT – BB bậc n đặc trưng bằng phương trình vi phân hay

(6.49)

là là đáp ứng của hệ thống đối với tín hiệu vào khi thỏa phương trình hệ thống (6.49) với

Đáp ứng trạng thái-zêrô hệ thống đang ở trạng thái – zêrô. Như thế , điều kiện đầu là zêrô. Ngoài ra, do tín hiệu vào là nhân quả, tức là:

và

Đặt Do các điều kiện đầu

Phương trình (6.49) có biến đổi Laplace là:

, hay

(6.50a)

(6.50b)

Nhưng ta đã thấy là trong phương trình (6.41) là , nên

(6.51)

(6.52)

Phương trình này đã tìm được trong miền thời gian [phương trình (2.50)], nên Ta đã tìm lại được kết quả này dùng các phương pháp khác, ở đây, ta có thêm

Hàm truyền là tỉ số giữa Y(s) và F(s) khi các điều kiện đầu là zêrô (khi hệ thống ở định nghĩa nữa về hàm truyền H(s). trạng thái zêrô). Nên:

Ta đã chứng minh là biến đổi Laplace Y(s) của đáp ứng trạng thái-zêrô y(t), là tích của F(s) và H(s), trong đó là biến Laplace của ngõ vào f(t), và H(s) là hàm truyền của hệ thống. Ta thấy mẫu số của H(s) là Q(s), đa thức đặc tính của hệ thống. Do đó, các cực của H(s) là nghiệm đặc tính của hệ thống. Nên, có thể dùng tiêu chuẩn xét ổn định hệ thống theo các cực của hàm truyền, như sau:

1. Hệ thống LT – TT – BB là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu tất cả các cực của hàm truyền H(s) đều nằm bên trái mặt phẳng phức, các cực có thể là cực đơn hay cực lặp lại.

2. Hệ thống LT – TT – BB là không ổn định nếu tồn tại các điều kiện sau: (i) có ít nhất một cực của H(s) nằm bên phải mặt phẳng phức; (ii) có cực lặp nằm trên trục ảo. 3. Hệ thống LT – TT – BB ở biên ổn định nếu và chỉ nếu không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức, và có một số cực đơn nằm trên trục ảo.

Ta giới thiệu lại một dạng mới của hệ thống, vẽ ở hình 6.9. Ngõ vào F(s) là biến đổi Laplace của f(t) và ngõ ra Y(s) là biến đổi Laplace của đáp ứng (ngõ vào – zêrô) y(t). Hệ thống được mô tả dùng hàm truyền H(s). Ngõ ra là tích F(s)H(s). Kết quả Y(s)=H(s)F(s) giúp tìm rất nhanh đáp ứng hệ thống với ngõ vào nào đó. Xem tiếp thí dụ sau.

Tìm đáp ứng y(t) của hệ LT – TT – BB được mô tả bởi phương trình ■ Thí dụ 6.11:

Nếu ngõ vào là, các điều kiện đầu đều là zêrô; tức là hệ thống ở

trạng thái zêrô. Phương trình hệ thống là , do đó

, và

F(s) = L , nên

■

Biến đổi nghịch ■ Thí dụ 6.12:

Chứng tỏ hàm truyền của (a) khâu trễ T giây lý tưởng là (b) khâu vi phân lý tưởng là s. (c) khâu tích phân lý tưởng là 1/s.

(a) Khâu trễ lý tƣởng Khâu trễ lý tưởng T giây, ngõ vào f(t) và ngõ ra y(t) quan hệ theo

hay [xem phương trình (6.29a)], nên

(6.54)

(b) Khâu vi phân lý tƣởng Khâu vi phân lý tưởng, ngõ vào f(t) và ngõ ra y(t) quan hệ theo

, [ do tín hiệu nhân quả], và

(6.55)

(c) Khâu tích phân lý tƣởng

Khâu tích phân lý tưởng, với

, vậy:

(6.56) ■

Bài tập E 6.7 Hệ LT – TT – BB có hàm truyền

(a) Tìm phương trình vi phân mô tả quan hệ vào – ra giữa f(t) và ngõ ra y(t) (b) Tìm đáp ứng hệ thống y(t) với ngõ vào nếu hệ thống ban đầu ở

trạng thái – zêrô

Đáp số: (a) (b) .

6.4 Phân tích mạng điện: Mạng biến đổi.

Thí dụ 6.10 cho thấy phương pháp phân tích mạng điện bằng cách viết phương trình vi – tích phân của hệ thống rồi giải các phương trình này dùng phép biến đổi Laplace. Trong phần này, ta giới thiệu cách phân tích mạng điện mà không cần viết phương trình vi – tích phân. Phương thức này đơn giản hơn do cho phép xử lý mạng điện như mạch thuần trở. Đề thực hiện phương pháp này, ta cần biểu diễn mạng trong “miền tần số” khi mọi điện áp và dòng điện đều được biểu diễn dủng biến đổi Laplace. Để đơn giản, đầu tiên ta xét trường hợp có các điều kiện đầu là zêrô. Gọi và

là điện áp và dòng điện qua cuộn dây L henry, thì:

với các điều kiện đầu là zêrô.

Tương tự, với tụ C farad, quan hệ dòng – áp là:

Trường hợp điện trở R ohm, quan hệ dòng – áp là:

Như thế, trong miền “tần số”, quan hệ dòng – áp của cuộn dây và tụ điện có dạng đại số; các phần tử này hoạt động giống như trường hợp “điện trở” có giá trị lần lượt là Ls và 1/Cs. Khái niệm này gọi là trở kháng và được định nghĩa là V(s)/I(s) (với điều kiện đầu là zêrô). Như vậy trở kháng của điện trở, tụ điện và cuộn dây lần lượt là R, Ls và 1/Cs. điện áp trong miền tần số. Đề minh chứng, gọi Ngoài ra, các luật liên kết mạng (luật Kirchoff) vẫn còn giá trị với dòng điện và là điện áp qua k

phần tử của vòng, gọi là dòng điện đi vào nút. Thì

và (6.57)

Vậy, nếu và , thì

và (6.58)

Kết quả này cho thấy: nếu biểu diễn mọi điện áp và dòng điện trong mạch thành các biến đổi Laplace, thì giải được mạch như chỉ có thành phần “trở” R, Ls hay 1/Cs, tương ứng với điện trở, cuộn dây và tụ điện. Phương trình hệ thống (phương trình vòng hay nút) trở thành phương trình đại số. Ngoài ra, kỹ thuật đơn giản này còn cho phép dùng tất cả các phương pháp giải mạch điện trở như mạch trở kháng tương đương nối tiếp, song song, các luật chia dòng và chia áp, định lý Thevenin và Norton. Xem thí dụ sau:

Tìm dòng điện

và dòng điện (ẩn) thành

■ Thí dụ 6.13: khi tất cả các điều kiện đầu là zêrô. Trong bước đầu, ta viết mạch trong miền tần số, như vẽ ở hình 6.13b. Các điện áp được biểu diễn dùng biến đổi Laplace. Điện áp . Các phần tử mạch được viết thành dạng trở kháng tương ứng. Cuộn dây 1 H thành và điện trở 3  thành 3. Xét biểu diễn dòng điện và thành s, điện dung ½ F thành điện áp trong miền tần số với trở kháng tổng trong mạch vòng:

Điện áp ngõ vào , và dòng điện mạch vòng là:

■

Biến đổi nghịch cho: Máy phát điều kiện đầu Trong phần trước, ta đã giả sử các điều kiện đầu là zêrô, bây giờ ta mở rộng cho trường hợp các điều kiện đầu khác zêrô do có thể biểu diễn các điều kiện đầu của tụ điện (hình và cuộn dây thành dạng nguồn tương đương. Tụ điện C với điều kiện đầu nối tiếp với nguồn áp có 6.11a) được viết trong miền tần số thành tụ có trở kháng

(hình 6.11c). Tương tự, cuộn dây L với dòng điện ban đầu

(hình 6.11b) hay mạch tương đương là tụ mắc song song với nguồn dòng ((hình 6.11d) nối tiếp với nguồn áp (hình (hình 6.11e) hay cuộn dây mắc song song với nguồn dòng

giá trị điện được biểu diễn trong miền tần số thành cuộn dây có trở kháng giá trị 6.11f). Đề chứng minh, xét quan hệ dòng áp giữa hai đầu tụ

Phương trình được viết lại thành: (hình 6.11a)

(6.59a)

Hay (hình 6.11b)

(6.59b)

Trường hợp cuộn dây

(hình 6.11e) (6.60a)

(hình 6.11f) (6.60b)

và

Làm lại thí dụ 6.10 dùng các ý tưởng trên. Hình 6.12a vẽ mạch 6.8b với điều kiện đầu . Hình 6.12b vẽ biểu diễn trong miền tần số (mạch biến đổi) của mạch hình 6.12a. Điện trở chuyển thành điện kháng 2; cuộn dây với dòng điện ban . Tụ với điện áp đầu 10V đầu 2A chuyển thành dạng hình 6.11e dùng nguồn áp . Chú ý là trở kháng chuyển thành dạng hình 6.11b dùng nguồn áp nối tiếp qua cuộn dây là s và qua tụ là 5/s. Ngõ vào chuyển thành

Điện áp mạch vòng là , và trở kháng là , vậy:

phù hợp với kết quả trong thí dụ 6.10.

. Tìm dòng điện khi .

■ Thí dụ 6.14: Chuyển mạch trong hình 6.13a ở vị trí đóng trong thời gian dài trước khi mở mạch tại và Chế độ xác lập khi chuyển mạch đóng, cho điện áp qua tụ và dòng điện

qua cuộn dây . Nên khi chuyển mạch mở, có điều kiện đầu và

và dòng điện ban đầu qua cuộn dây là

. Hình 6.13b vẽ dạng biến đổi của mạch hình 6.13a, với các điều kiện đầu được chuyển thành dạng máy phát điều kiện đầu. Điện áp ban đầu qua tụ thành nguồn điện áp nối tiếp Hình 6.13b cho phép viết các phương trình mạch vòng trong miền tần số:

Dùng luật Cramer:

, và:

Tương tự:

, và:

Ngoài ra ta còn có thể tính và

dùng định lý Thevenin bằng cách thay mạch bên phải tụ (bên phải hai cực ab) dùng mạch tương đương Thevenin, như vẽ ở hình và nguồn Thevenin tương đương 6.13c. Hình 6.13c cho trở kháng tương đương

là:

Dùng phương trình 6.13c, dòng là:

, có thể tính theo cách trên.

Kết quả là phù hợp ■

Chuyển mạch trong hình 6.14a ở vị trí a trong thời gian dài trước tại , được . và điện áp ra

■ Thí dụ 6.15: chuyển tức thời sang vị trí b. Xác định dòng điện Trước khi chuyển mạch, giá trị dòng điện mạch vòng lần lượt là 2 và 1; tức là

và

và ,

Mạch tương đương của hai dạng ghép hỗ cảm vẽ ở hình 6.14b và 6.14c. Trường hợp này, ta dùng mạch hình 6.14c. Mạch hình 6.13d vẽ mạch biến đổi sau khi mạch hình 6.14a được chuyển mạch. Chú ý các điện cảm lần lượt là 3, 4, và – 1 Henry được chuyển thành trở kháng 3s, 4s, và –s. Điều kiện đầu trong ba nhánh là . Phương trình mạch và ,

vòng:

(6.61)

và

Tương tự

Điện áp ra ■

Bài tập E 6.8 Mạch RCL vẽ trong hình 6.15, ngõ vào được đóng mạch tại . Điều kiện đầu

là và . Tìm dòng điện vòng và điện áp tụ khi

. .

Đáp số: 6.4-1 Phân tích mạch tích cực

Phương pháp biến đổi Laplace áp dụng không chỉ cho mạch thụ động, mà còn dùng được cho mạch tích cực, bằng cách thay các phần tử tích cực bằng mô hình toán học (hay mạch tương đương) rồi thực hiện tiếp các bước sau:

Mạch khuếch đại thuật toán (op – amp) vẽ trong hình 6.16a, gồm có ngõ vào đảo giống cực tính ngõ vào không đảo

Xét mạch op amp với hai điện trở và

và ngõ vào không đảo. Tức là cực tính của ngõ ra và trường hợp ngược lại cho ngõ vào đảo. Hình 6.16b vẽ mô hình (mạch tương đương) của mạch khuếch đại thuật toán (op – , với A amp) hình 6.16a. Thông thường, op amp có độ lợi rất lớn. Điện áp ra thường là 105 đến 106. Trở kháng vào rất lớn (thường từ 106 cho BJT và 1012 cho Bi- FET) , và trở kháng ra rât bé (từ 50 đến 100). Trong hầu hết các ứng dụng, ta thường giả sử độ lợi và trở kháng vào là vô cùng, còn trở kháng ra là zêrô. Từ đó, ta có nguồn áp lý tưởng tại ngõ ra. vẽ ở hình 6.16c. Dạng mạch này gọi là mạch khuếch đại không đảo dấu. Cực tính ngõ vào trong dạng mạch này là nghịch so với trường hợp hình 6.16a. Điện áp ra là

Đầu tiên ta thấy là do trở kháng vào là vô cùng, nên dòng điện vào và điện áp

vào phải tiến về zêrô. Nguồn phụ thuộc trong trường hợp này là thay vì là

do cực tính ngõ vào là đảo. Nguồn phụ thuộc (xem hình 6.16b) tại ngõ ra tạo dòng

điện , như vẽ ở hình 6.16c.

Và do nên

,

Mạch tương đương của mạch khuếch đại không đảo vẽ ở hình 6.16d ■ Thí dụ 6.16: Mạch hình 6.17a gọi là mạch Sallen-Key, thường được dùng trong thiết kế mạch lọc. Tìm hàm truyền giữa điện áp ra và điện áp ngõ vào

Ta cần tìm với giả sử mọi điều kiện đầu là zêrô.

Hình 6.17b vẽ dạng mạch biến đổi của mạch hình 6.17a. Mạch khuếch đạo không đảo được hay bằng mạch tương đương. Các giá trị điện áp được thay bằng biến đổi Laplace và các phần tử mạch thay bằng giá trị trở kháng. Cần có giả sử là các điều kiện đầu là zêrô để tỉm H(s). Dùng phương pháp phân tích nút, có hai điện áp nút ẩn là và trong

phương trình nút.

Viết phương trình tại nút a

hay

(6.63a)

Tương tự, phương trình tại nút b

hay

(6.63b)

Dạng ma trận

với và

Dùng luật Cramer

Với và (6.65a)

(6.65b)

(6.66) ■

6.4-2 Giá trị đầu và giá trị cuối Trong một số ứng dụng, ta cần các giá trị của khi và [các giá

trị đầu và giá trị cuối của ] từ biến đổi Laplace .

Định lý giá trị đầu: nếu và đạo hàm có biến đổi Laplace thì:

(6.67)

Tức là, tồn tại vế phải của (6.67)

Chứng minh: dùng phương trình (6.34a)

Nên , và

Nhận xét: Định lý giá trị đầu chỉ áp dụng khi bị giới hạn (m < n), do khi (m > n),

không tồn tại.

Định lý giá trị cuối: nếu và đạo hàm có biến đổi Laplace thì:

(6.68)

Tức là, các cực của không nằm bên phải mặt phằng phức (RHP) hay trên

trục ảo. Chứng minh: cho vào phương trình (6.34a), ta có:

Ta chứng minh được công thức (6.68)

Nhận xét: Định lý giá trị cuối chỉ áp dụng nếu cực của phức (LHP). Nếu có cực trên trục ảo, thì nằm bên trái mặt phẳng không tồn tại. Nếu có cực nằm bên

phải mặt phẳng phức (RHP), thì không tồn tại.

■ Thí dụ 6.17: Tìm giá trị đầu và giá trị cuối của có biến đổi Laplace là:

Dùng phương trình (6.67) và (6.68), ta có:

■

6.5 Sơ đồ khối.

và các biểu diễn tần số của ngõ vào và ngõ ra .

Các hệ con có thể được kết nối dùng ba dạng kết nối cơ bản (hình 6.18b, 6.18c, Hệ thống bao gồm số lượng rất lớn các phần tử hay linh kiện. Không thể cùng một lúc phân tích hệ thống này, nên tốt nhất là biểu diễn hệ thống từ kết nối các hệ con, rồi phân tích các hệ con này theo quan hệ vào –ra. Mỗi hệ thống (hệ con) được đặc trưng dùng hàm truyền 6.18d) là nối tiếp, song song và phản hồi.

Khi hai hàm truyền kết nối nối tiếp, như hình 6.18b, thì hàm truyền chung là tích của hai hàm truyền.

và Tương tự, khi hai hàm truyền

kết nối song song, như hình 6.18c, . Kết quả là rõ ràng, và

và Khi ngõ vào nối phản hồi đến ngõ vào, như hình 6.18d, hàm truyền chung được . Như thế, E(s) ngõ ra . Ngõ vào đến bộ cộng là

Kết quả có thể mở rộng khi có nhiều hàm truyền nối tiếp hơn thì hàm truyền chung là tổng của hai hàm truyền có thể mở rộng cho nhiều hàm truyền mắc song song. tính là của bộ cộng là: Nhưng Vậy Nên

(6.69)

trong hình 6.18b được tính với giả sử là hệ con thứ hai

không gây tải lên

không thay đổi cho dù

kết nối vào).

Nên có thể biểu diễn vòng phản hồi dùng một khối có hàm truyền như phương trình (6.69) (xem hình 6.18d) Khi tìm các phương trình trên, ta đã giả sử là khi nối ngõ ra của một hệ con với ngõ vào của hệ con khác, thì không ảnh hưởng lên ngõ vào của hệ con này. Thí dụ, hàm truyền chưa kết nối vào. Điều này cũng như giả sử là . Nói cách khác, quan hệ có kết nối vào hay không. Trong thực vào – ra của tế, thì các mạch điện tử hiện đại như op amp (trở kháng vào lớn) thỏa được các giả thiết này. Nếu điều kiện không thỏa, thì phải được tính đúng với điều kiện vận hành (tức lả khi có Bài thí dụ dùng MATLAB C6.3 cho phép ta xác định hàm truyền của hệ phản hồi trong hình 6.18d [phương trình (6.69)], với hàm truyền G(s) và H(s) cho trước:  Bài tập dùng máy tính C6.3

Tìm hàm truyền của hệ phản hồi hình 6.18d khi ,

và K lần lượt là 7, 16, và 80.

Để đơn giản, ta chia G(s) thành hai thành phần và .

Điều này cho phép viết chương trình cho hai hệ con nối tiếp.

% (c62.m) G1num = [0 0 K]; G1den = [0 0 1]; G2num = [0 0 1]; G2den = [1 8 0]; Hnum= [0 0 1]; Hden = [0 0 1]; [Gnum,Gden]=series(G1num, G1den,G2num,G2den); [ClGnum,ClGden] = feedback(Gnum, Gden, Hnum, Hden); printsys(ClGnum,ClGden) Hàm truyền hệ phàn hồi, khi K = 7, 16, và 80 được tính khi dùng lệnh MATLAB sau: K = 7; c62 num/den =

K = 16; c62 num/den =

K = 80; c62 num/den =

6.6 Thực hiện hệ thống.

Phần này phát triển một phương pháp để thực hiện (hay mô phỏng) hệ thống có hàm truyền bậc n bất kỳ. Bài toán thực hiện về cơ bản là bài toán tổng hợp, nên có rất nhiều phương pháp thực hiện. Phần này giới thiệu ba phương pháp: dạng chính tắc, nối tiếp và song song. Dạng chính tắc thứ hai được trình bày trong phụ lục 6.1 ở cuối chương. Hàm truyền H(s) có thể được thực hiện dùng bộ tích phân hay vi phân, cùng các bộ cộng và nhân vô hướng. Thực tế cho thấy nên tránh dùng bộ vi phân, do bộ vi phân là suy giảm tín hiệu tần số cao, nên, từ bản chất, bộ vi phân có tốc độ thay đổi lớn. Tín hiệu thực tế, thường bị nhiễm nhiễu, là tín hiệu có phổ rất rộng, nên bộ vi phân có thể làm gia tăng thành phần nhiễu, làm ảnh hưởng đến tín hiệu mong muốn. Ngoài ra. Khi dùng op amp làm bộ vi phân, thường có xu hướng tạo dao động. Xét hệ LT – TT – BB có hàm truyền

Khi s lớn ( )

Như thế, khi m > n, hệ thống hoạt động như bộ vi phân bậc (m – n). Do đó, ta giới cho hệ thống thực tế. Từ đó, trường hợp thông thường nhất là hàm truyền với hạn với hàm truyền

(6.70)

6.6-1 Dạng chính tắc hay dạng trực tiếp

Trước khi thực hiện hệ bậc n [theo phương trình (6.70)] ta bắt đầu với hệ bậc ba. Rồi mở rộng lên hệ bậc n.

(6.71)

Biểu diễn hàm truyền thành hệ nối tiếp hai hàm truyền và , như vẽ ở

hình 6.19.

(6.72)

Ngõ ra của là , vẽ ở hình 6.19b, nên

(6.73)

(6.74) Và

Đầu tiên, ta tạo

của quan hệ giữa và . Phương trình (6.74) cho phép ta viết phương trình vi phân :

(6.75a)

hay (6.75b)

(6.75c)

và ngõ ra Nhiệm vụ là thiết kế hệ thống có ngõ vào

từ

, và (hình 6.20a). Tạo . Khi lấy tích phân liên tiếp của , và từ ,

trong phương trình (6.72). Các tín hiệu và ,

và ,

và thỏa phương trình , ta lần lượt (6.75c). Giả sử là ta đã có có theo phương trình (6.75c) dùng kết nối phản hồi theo hình 6.20b (độc giả có thể chứng minh là hình 6.20b thỏa phương trình (6.75c). Rõ ràng, hàm truyền của hệ thống này (hình 6.20b) là có tại các điểm N1, N2, là khác zêrô, thì chúng sẽ được cộng thêm và N3. Nếu điều kiện đầu vào tại các điểm N1, N2, và N3. Hình 6.20c vẽ hệ thống của hình 6,20b rtong miền tần số. [xem phương trình (6.56)]. Các tín hiệu Mỗi khâu tích phân biểu diễn hàm truyền thành các biến đổi Laplace và , , , , , ,

.

Hình 6.20c thực hiện hàm truyển và

, ta cần tăng sao cho ngõ ra trong phương trình (6.72). Để thực hiện theo phương trình được tạo ra từ

(6.73):

Các tín hiệu , và ,

đã có tại nhiều điểm trong hình được tạo ra từ kết nối thuận đến ngõ ra bộ cộng, vẽ ở hình 6.21. Như thế,

6.20c nên hình 6.21 đã thể hiện được hàm truyền mong muốn của phương trình (6.71).

Tổng quát thực hiện cho hàm truyền bậc n trong phương trình (6.70) được vẽ ở hình 6.22. Đây là một trong hai dạng thực hiện chính tắc (còn được gọi là bộ điều khiển chính tắc hay dạng thực hiện trực tiếp). Dạng thực hiện chính tắc thứ hai (thực hiện bộ quan sát chính tắc) được thảo luận phụ lục 6.1 tại phần cuối của chương. Ta thấy để thực hiện hàm truyền bâc n, ta cần n khâu tích phân. Phương pháp thực hiện chính tắc (trực tiếp) được minh họa trong hình 6.22. Từ đó, ta có thể tóm tắt thành các bước sau:

1. Vẽ bộ cộng các tín hiệu vào và n khâu tích phân nối tiếp 2. Vẽ n kết nối phản hồi từ ngõ ra của n khâu tích phân về bộ cộng tại ngõ , và các đường phản

vào. Các hệ số phản hồi lần lượt là hồi có dấu âm (phép trừ) tại bộ cộng tại ngõ vào.

3. Vẽ ( đường nối thuận đến bộ cộng từ ngõ ra của n khâu tích phân. , và có giá ) đường nối thuận có cac hệ số lần lượt là

trị dương (phép cộng) tại bộ cộng ngõ ra. Nhận thấy các kết nối và

đều xuất phát từ một điểm. Nên các kết nối và cũng xuất phát từ một

điểm, tương tự cho và , v.v., …

Chú ý là được giả sử là đơn vị và không xuất hiện trong thực hiện hàm truyền.

Trường hợp , phải thực hiện chuẩn hóa hàm truyền bằng cách chia tử và mẫu

.

số cho ■ Thí dụ 6.18: Thực hiện chính tắc cho các hàm truyền sau:

(a) (b) (c) (d)

Bốn hàm truyền này đều là dạng đặc biệt của trong phương trình (6.70)

(a) Trường hợp này, hàm truyền là bậc một (n = 1); nên ta chỉ dùng một bộ tích phân. Các hệ số phản hồi là

Mạch thực hiện được vẽ trong hình 6.23. Do hồi từ ngõ ra của khâu tích phân đấn ngõ vào bộ cộng với hệ số , nên chỉ có một đường phản , ta . Khi

đường truyền thuận, Tuy nhiên, do

, nên chỉ có một đường từ ngõ ra khâu tích phân đến ngõ ra bộ cộng. Do chỉ cần

thường có truyền thuận với hệ số cộng một tín hiệu tại bộ cộng, nên không cần bộ cộng, như trong hình 6.23

(b)

Mạch thực hiện trong hình 6.24. Do là hàm truyền bậc một có và

. Có một đường phản hồi (với hệ số 7) từ ngõ ra bộ tích phân đền ngõ vào bộ cộng. Có hai đường truyền thẳng từ ngõ ra bộ tích phân và ngõ vào bộ cộng đến ngõ ra bộ cộng.

(c)

Hàm truyền bậc một tương tự trường hợp (b) trừ trường hợp

. Thực hiện tương tự như hình 6.24, bỏ đường truyền thẳng nối từ ngõ ra bộ tích phân, vẽ ở hình 6.25a. Không có bộ cộng tại ngõ ra do chỉ có một tín hiệu. Thực hiện hình 6.25a được vẽ lại ở hình 6.25b

(d)

. Hình 6.26 thực hiện dùng hai đường

Đây là hệ bậc hai với phản hồi và hai đường truyền thẳng. ■ Bài tập E 6.9

Thực hiện mạch .

6.6-2 Dạng nối tiếp và song song. Hệ bậc n có hàm truyền có thể được biểu diễn thành tích hay tổng n hệ có

thành dạng nối đuôi (nối tiếp) hay

hàm truyền bậc một. Theo đó, ta cũng thực hiện song song của n hàm truyền bậc một này. Thí dụ, xét hàm truyền trong phần (d) của thí dụ trên

, ta có thể viết lại như sau:

(6.76a)

Ngoài ra còn viết được theo dạng tổng đa thức

(6.76b)

và , như hình 6.27a hay dạng song song của Phương trình (6.76) cho phép ta lựa chọn thực hiện và

Trong các thí dụ trên về thức hiện nối đuôi và song song, ta đã chia

ở nậc cao, ta có thể nhóm

thanh thành thừa số, là bậc ba, ta có thể dùng tổ hợp khâu bậc

có thể thực hiện dùng thừa số bậc hai (quân phương) Các cực phức trong

theo dạng nối đuôi như hình 6.27b. Các hàm truyền bậc một trong hình 6.27a và 6.27b thực hiện dùng một khâu tích phân, như trong thí dụ 6.18. Ta đã trình bày ba dạng thực hiện (chính tắc, nối đuôi, và song song). Dạng chính tắc thứ hai sẽ được trình bày trong phần phụ lục 6.1. Tuy nhiên, thí dụ trong dạng nối , đuôi, có nhiều phương thức khác nhau để nhóm có thừa số ở tử số và mẫu số của từ đó, có thể thực hiện nhiều dạng mạch nối đuôi. Theo quan điểm thực tế, dạng nối đuôi và song song là phù hợp do hệ song song va một số dạng nối đuôi ít nhạy cảm với sự thay đổi nhỏ của tham số so với trường hợp hệ chính tắc. Vể mặt định tính, sai biệt này có thể được giải thích là trong thực hiện chính tắc các tham số tương tác với nhau, nên một thay đổi nhỏ của tham số này sẽ được khuếch đại với nhiều ảnh hưởng của kết nối phản hồi và truyền thẳng. Còn trong thực hiện nối tiếp hay song song, thay đổi tham số có ảnh hưởng cục bộ. chứ không toàn cục. nhiều thừa số bậc một. Thí dụ, khi không nhất thiết là bậc một. Thí dụ, khi hai và khâu bậc một. Thực hiện với cặp cực phức liên hợp do ta không thể thiết lập pháp nhân với số phức. Thí dụ, xét

Ta không thể thự hiện hàm truyền bậc nhất riêng biệt với cực

, do phải nhân với số phức trên đường phản hồi và đường truyền thẳng. Do đó, ta cần kết hợp các cực phức thành khâu có hàm truyền bậc hai. Trường hợp này, ta biểu diễn thành:

(6.77a)

(6.77b)

dạng nối đuôi dùng phương trình (6.77a) hay dùng dạng song song

Ta thực hiện dùng phương trình (6.77b) Thực hiện với các cực lặp Khi có cực lặp, các bước thực hiện dạng chính tắc và nối đuôi đều giống trường hợp trước. Tuy nhiên trong thực hiện song song, khi thực hiện cần một số chú ý đặc biệt, như trong thí dụ 6.19 dưới đây ■ Thí dụ 6.19: Tìm thực hiện song song của

và

Hàm truyền bậc ba có thể cần nhiều hơn ba khâu tich phân. Nhưng nếu ta thực hiện thành ba thừa số riêng biệt, ta cần đến bốn khâu tích phân vì có một thừa số bậc hai. Vấn đề này có thể được giải quyết khi thấy thừa số có thể thực hiện nối đuôi hai hệ thống con, mỗi hệ con với hàm truyền , như vẽ ở hình 6.28. Các khâu bậc một có trong hình 6.28 có thể thực hiện như hình 6.23. ■

Bài tập E 6.10 Thực hiện dạng chính tắc, nối đuôi và sóng song hàm

.

6.6-3 Thực hiện hệ thống dùng op amp.

Phần này bàn về thiết lập thực tế cách dạng thực hiện đã được mô tả. Như đã biết, các phần tử cơ bản dùng tổng hợp hệ thống LT – TT – BB (hay hàm truyền) là khâu nhân vô hướng, khâu tích phân, và khâu cộng, các khâu này đầu có thể thực hiện dùng op amp, như mô tả dưới đây Mạch khuếch đại dùng op amp Hình 2.29 vẽ mạch op amp trong miền tần số (mạch biến đổi). Do trở kháng ngõ vào của op amp là vô cùng (rất lớn), nên tất cả các dòng điện I(s) đều đi theo đường phản , là zêrô (rất bé) do op amp có độ lợi là hồi, như hình 6.29. Tuy nhiên, điện áp vào vô cùng (rất lớn). Như thế, với các mạch thực tế, , và do

, thế vào phương trình đầu

Vậy, mạch op amp có hàm truyền

(6.78)

và , ta có nhiều dạng hàm truyền khác nhau, như trình

Khi chọn thích hợp bày ở phần dưới đây: Khâu nhân vô hƣớng Khi dùng điện trở làm phản hồi và điện trở tại ngõ vào (hình (6,30a), thì

, , thì

(6.79a)

). Mạch hoạt động như mạch nhân vô hướng (mạch khuếch đại) có độ lợi âm ( Độ lợi dương được thực hiện dùng hai mạch khuếch đại này nối đuôi nhau, hay chỉ dùng một mạch khuếch đại như hình 6.16c. Hình 6.30a còn vẽ ký hiệu khâu nhân vô hướng.

Khâu tích phân Khi dùng tụ C trong đường phản hồi là điện trở R tại ngõ vào (hình 6.30b) thì , , thì:

(6.79b)

Hệ thống hoạt động như khâu tích phân lý tưởng với độ lợi là . Hình 6.30b còn vẽ ký hiệu của khâu tích phân dùng trong sơ đồ khối.

Xét mạch hình 6.31a có r ngõ vào lần lượt là

Khâu cộng vào thường là , do độ lợi của op amp Do điện áp . Đồng thời, do dòng điện vào op amp

cũng rất bé ( ) do trở kháng . Do đó, dòng điện tổng qua điện trở phản hồi là

Ngoài ra, do

(6.80)

Với

Rõ ràng, mạch điện hình 6.31 dùng làm khâu cộng và khuếch đại với độ lợi cần thiết cho từng tín hiệu ngõ vào. Hình 6.31b vẽ ký hiệu dùng trong sơ đồ khối của khâu cộng có r ngõ vào. ■ Thí dụ 6.20:

Dùng op amp. Thực hiện dạng chính tắc cho hàm truyền

Dạng thực hiện chính tắc cơ bản vẽ ở hình 6.32a, trong đó có ghi giá trị tín hiệu tại các điểm. Các phần tử của mạch op amp (khâu nhân, tích phân và cộng) thay đổi cực tính tín hiệu ra. Thay đổi thực hiện chính tắc trong hình 6.32a thành 6.32b. Trong hình . Mạch 6,32a, các ngõ ra của khâu cộng và tích phân lần lượt là và ,

op amp có tính đảo dấu, nên các ngõ ra này trong hình 6.32b là ,

và . Do tính đảo cực, nên cần thay đổi dấu trong đường phản hồi và đường truyền

thẳng. Theo hình 6,32a: , hay

Do ngõ ra khâu cộng luôn luôn âm (xem phương trình (6.31))nên, ta viết lại

và

và điện trở vào lần lượt là và .

phương trình Hình 6.32b vẽ sơ đồ và hình 6.32c vẽ mạch điện thực hiện từ phương trình này. . Các khâu tích phân có độ lợi đơn vị nên cần RC = 1. Chọn Độ lợi 10 của vòng phản hồi bên ngoài cần có điện trở phản hồi của khâu cộng là . Tương tự, độ lợi 4 của vòng phản hồi bên trong dùng điện trở và điện trở vào là phản hồi là Mạch op amp trong hình 6.32 chưa phải là dùng ít op amp nhất. Còn có thể không dùng hai op amp đảo dấu (vớ độ lợi là – 1) trong hình 6.32 bằng cách cộng trực tiếp tín hiệu tại ngõ vào và ngõ ra của khâu cộng, dùng cấu hình mạch khuếch đại không đảo dấu vẽ ở hình 6.16. Ngoài ra còn có rhể dùng dạng mạch (thí dụ Sallen-Key) để thực hiện hàm truyền bậc một và bậc hai chỉ dùng một op amp. ■ Bài tập E 6.11 Chứng tõ là hàm truyền của mạch op amp trong hình 6.33a và 6.33b lần lượt là

.

6.7 Ứng dụng trong phản hồi và điều khiển. Thông thường, hệ thống được thiết kế để tạo ngõ ra mong muốn

khi có tín hiệu . Từ tiêu chuẩn về tính năng cho trước, ta thiết kế được hệ thống vẽ ở hình vào 6.34a. Lý tưởng thì hệ thống vòng hở này có được tính năng cần có. Tuy nhiên, trong thực tế, các đặc tính của hệ thống thay đổi theo thời gian, do lão hóa hay do thay thế một số linh kiện, hay do môi trường chung quanh hệ thống. Do đó, ngõ ra của hệ thống thay đổi theo thời gian khi có tín hiệu vào. Điều này làm mất độ chính xác của hệ thống.

Một giải pháp là áp tín hiệu vào là tín hiệu là hàm không xác định trước theo thời gian, nhưng có thể thay đổi để chống lại ảnh hưởng của yếu tố thay đổi tham số hay môi trường. Nói gọn hơn, tức là tạo bộ hiệu chỉnh tại ngõ vào để bổ chính các yếu tố thay đổi không mong muốn. Tuy nhiên, các thay đổi này thường không dự báo được, nên rất khó để lập chương trình hiệu chỉnh ngõ vào.Tuy nhiên, sai biệt giữa ngõ ra thực và ngõ ra mong muốn cho thấy rõ mức hiệu chỉnh thích hợp cho ngõ vào hệ thống. Do đó, ta có thể vầ ngõ vào tỉ lệ với ngõ ra mong muốn, và phản hồi ngõ ra thực cho ngõ vào để so sánh. Sai biệt này được dùng hiệu chỉnh ngõ vào. Do đó ngõ vào được chỉnh định liên tục để đât được ngõ ra mong muốn. Các hệ thống này (hình 6.34b) được gọi là hệ phản hồi hay hệ vòng kín với nhiều lý do. Hảy quan sát hàng ngàn thí dụ về hệ phản hồi trong cuộc sống chung quanh ta. Hầu hết các hệ thống về xã hội, kinh tế, giáo dục và chính trị, trong thực tế là những hệ phản hồi. Tự thân cơ thể con người cũng là một thí dụ tốt về hệ phản hồi; hầu hết các hành động của chúng ta là sản phẩm của cơ chế phản hồi. Các cảm biến của người như là mắt, tai, mủi, lưởi, và da liên tục giám sát trạng thái hệ thống của chúng ta. Thông tin này được phản hồi về não, hoạt động như bộ điều khiển, tạo ra các ngõ vào được hiệu chỉnh nhằm thực hiện mục tiêu cần thiết.

Khi lái xe, các cảm giác của chúng ta liên tục cung cấp thông tin cho não bộ. Mắt ghi nhận hình ảnh đứa bé trên đường, não lập tức đưa lệnh (ngõ vào) cho tay để lái tránh đứa bé. Khi có đèn đỏ, một lần nữa, não cho lệnh (ngõ vào) đến chân để thắng xe lại, bất thình lình, tai nghe tiếng còi hụ từ xe cấp cứu; não ra lệnh tấp xe tạm thời vào lề. Mủi nghe mùi thối, não laại ra lệnh cho lái xe vượt khỏi nơi này. Trong thí dụ này: đứa bé, đèn đỏ, tiếng còi xe cấp cứu, mùi thối là các thay đổi chưa dự báo trước của môi trường (được phản hồi về do các giác quan của chúng ta). Nhờ phản hồi, các thay đổi từ môi trường đã được hiệu chỉnh để có hành trình đúng, và đây cũng là thí dụ về hệ thống phản hồi nhiều biến. Hệ phản hồi có thể giải quyết được các vấn đề do nhiễu gây nên, thí dụ trường hợp nhiễu trắng trong các hệ thống điện tử, một cơn gió mạnh làm ãnh hưởng lên tính bám theo của anten, thiên thạch va chạm vào tàu vũ trụ. Súng đặt trên tàu hay xe tăng đang di chuyển bị lắc lư. Phản hồi còn có thể dùng giảm thiểu tính phi tuyến của hệ thống hay khống chế thời gian lên (hay băng thông). Phản hồi còn cho phép hệ thống thực hiện được mục tiêu mong muốn trong mọt tầm dung sai cho trước, mặc dù chưa biết hoàn toàn về hệ thống và môi trường. Do đó, một hệ thống phản hồi có khả năng giám sát và tự chỉnh trước các tham đổi của tham số hệ thống và các thay đổi từ môi trường bên ngoài.

Xét hệ thống phản hồi trong hình 6.35. Bộ khuếch đại thuận có độ lợi G = 10.000, một phần trăm của ngõ ra được phản hồi về (H = 0,01). Độ lợi T của bộ khuếch đại có phản hồi lấy từ phương trình (6.69).

Giả sử do lão hóa hay do thay thế một số transistor, độ lợi G của bộ khuếch đại thay đổi từ 10.000 thành 20.000. Độ lợi mới của hệ phản hồi là

Ta thấy khi độ lợi thuận G thay đổi 100% thì độ lợi của bộ khuếch đại có phản hồi T chỉ thay đổi 0,5% mà thôi. Bây giờ, xét xem việc gì xảy ra khi ta thêm (cộng hay trừ) tín hiệu phản hồi về ngõ vào. Điều này làm cho dấu của nối phản hồi là + thay vì – , (tức là cùng chiều với thay đổi dấu của H trong hình 6.35). Do đó

Nếu ta cho G = 10.000 như ban đầu và H = 0,9 x 10– 4 , thì

Giả sử do lão hóa hay do thay thế một số transistor, độ lợi G của bộ khuếch đại thay đổi từ 10.000 thành 11.000. Độ lợi mới của hệ phản hồi là

Ta thấy khi độ lợi thuận G chỉ thay đổi 10% thì độ lợi của bộ khuếch đại có phản hồi T đã thay đổi 1.000% rồi (từ 100,000 lên 1.100.000). Rõ ràng, bộ khuếch đại rất nhạy với thay đổi của tham số. Hành vi này hoàn toàn trái ngược với điều quan sát trước đây, khi tín hiệu phản hồi được trừ đi tại ngõ vào. Vậy điều khác biệt giữa hai trường hợp trên là gì? Nói sơ lượt thì trường hợp đầu được gọi là phản hồi âm và trường hợp sau được gọi là phản hồi dƣơng. Ta sẽ thấy thường hệ phản hồi dương tăng độ lợi, cũng làm tăng tính nhạy cảm của hệ thống với sự thay đổi của tham số hệ thống, và có thể làm hệ thống mất ổn định. Trong trường hợp trên, khi G = 111.111, GH = 1 và T = . Nguyên nhân của sự mất ổn định là tín hiệu phản hồi trong trường hợp này lại bằng chính tín hiệu vào do GH = 1. Do đó, khi đưa tín hiệu vào, dù nhỏ hay lớn, tồn tại trong thời gian dài hay ngắn, sẽ được tăng cường tại ngõ vào, và khuếch đại tại ngõ ra, quá trình phản hồi cứ tiếp tục nhiều lần, như thế tín hiệu được xem là tồn tại mãi mãi, ngay cả khi ngưng cấp tín hiệu vào, và điều này làm hệ thống mất ổn định. 6.7-1 Phân tích hệ thống điều khiển đơn giản

Hình 6.36a vẽ hệ thống điều khiển tự động vị trí, có thể dùng điều khiển góc quay của vật nặng (thí dụ anten bám theo, hệ thống súng phòng không, hay hệ thống định vị là vị trí góc của đối tượng, và có thể đặt trước với giá trị bất kỳ. cho tàu thủy. Ngõ vào

Vị trí góc thực của đối tượng (ngõ ra) được đo bằng một chiết áp có cần gạt đặt tại

trục ra. Sai biệt giữa ngõ ra và ngõ vào được khuếch đại; ngõ ra của bộ khuếch đại

tỉ lệ với giá trị được đưa đến ngõ vào của động cơ. Khi (ngõ ra thực

bằng ngõ ra mong muốn), không có tín hiệu vào động cơ, động cơ dừng. Nếu , có

ngõ vào khác zêrô vào động cơ, nên động cơ quay trục cho đến khi . Rõ ràng là khi đặt chiết áp vào ở vị trí mong muốn, ta có thể điều khiển góc quay của các đối tượng nặng từ xa. Sơ đồ khối của hệ thống được vẽ trong hình 6.36b. Hệ dố khuếch đại là K, chỉnh định được. Hàm truyền của động cơ và tải có liên quan đến góc quay với điện áp ngõ vào lấy từ G(s) [xem phương trình (1.65)]. Cấu trúc này tương tự như hình 6.18 khi . Do đó, hàm truyền của hệ vòng kín mô tả quan hệ giữa và là

Từ phương trình này, ta tiếp tục khảo sát hoạt động của hệ thống điều khiển tự động vị trí trong hình 6.36a với ngõ vào là hàm bước và ngõ vào là hàm dốc.

khi

Ngõ vào là hàm bƣớc. Khi muốn thay đổi tức thời vị trí của góc quay đối tượng, ta cần đưa tín hiệu vào là hàm bước. Ta muốn biết thời gian vị trí góc quay đạt vị trí mong muốn, phương các đạt vị trí mong muốn (mịn hay dao động chung quanh vị trí mong muốn) Khi hệ thống dao động, ta cần biết thời gian tồn tại dao động này. Tất cả các vấn đề này được giải quyết bằng cách tìm ngõ ra . Đáp ứng bước cho thấy thay đổi tức thời của góc quay. Ngõ vào dạng này là một trong những tín hiệu khó đáp ứng; nếu hệ thống đáp ứng tốt với ngõ vào dạng này, thì sẽ hoạt động tốt trong những tình huống mong muốn khác. Do đó, ta cần thử hệ thống với tín hiệu hàm bước.

Khi tín hiệu hàm bước vào nên

Cho hàm truyền (có tải) của động cơ quan hệ giữa góc quay tải với điện áp vào là

[xem phương trình (1.65)], tức là

Khảo sát đáp ứng của hệ thống với ba giá trị khác nhau của K 1. K = 7

và

Đáp ứng vẽ ở hình 6.36c cho đáp ứng chậm. Để tăng tốc, hảy thử tăng độ lợi lên,

K = 80 thí dụ là 80. 2.

Đáp ứng này được vẽ trong hình 6.36c, rõ ràng nhanh hơn trường hợp trước , như lại xuất hiện yếu tố dao động với các điểm vọt lố cao. Trong trường hợp này thì phần trăm vọt lố là 21% (PO: percentage overshoot). Đáp ứng đạt giá trị đỉnh tại giây. Thời gian lên, là thời gian cần để đáp ứng tăng từ 10% thời gian đỉnh

đến 90% giá trị xác lập, cho thấy tốc độ đáp ứng. Trường hợp này giây. Giá trị xác lập của đáp ứng là đơn vị nên sai số xác lập là zêrô. Về mặt lý thuyết thì cần thời gian vô hạn để đáp ứng đạt giá trị đơn vị. Trong thực tế, ta có thể xem đáp ứng được thiết lập giá trị cuối khi tiệm cận với giá trị cuối. Giá trị này được chấp nhận là trong tầm 2% của giá trị cuối. Thời gian cần cho đáp ứng đạt và giữ trong tầm 2% của giá trị cuối được giây. Hệ thống tốt có độ vọt lố gọi là thời gian thiết lập . Hình 6.36c, ta thấy

thấp và có giá trị sai số xác lập bé.

K = 16 thấp, các giá trị Hệ thống có độ vọt lố cao, thí dụ trong trường hợp này, không được chấp nhận trong một số trường hợp. Ta hảy thử xác định K (độ lợi) tạo đáp ứng nhanh nhưng không có dao động. Các nghiệm đặc tính phức dẫn đến dao động, để tránh dao động, các nghiệm phải là thực. Trong trưởng hợp này đa thức đặc tính là . Khi K > 16, ta có nghiệm thực. Đáp ứng nhanh nhất không có dao động có được khi chọn K = 16. 3.

Đáp ứng được vẽ trong hình 6.36c. Hệ thống khi K > 16 được gọi là giảm chấn thiếu (dao động -underdamped), khi K < 16 được gọi là giảm chấn lố (overdamped), còn khi K = 16 được gọi là giảm chấn tới hạn (critically damped). Có sự thỏa hiệp giữa yếu tố vọt lố và thời gian lên. Giảm vọt lố làm tăng thời gian lên (hệ thống tác động chậm). Trong thực tế, có thể chấp nhận vọt lố bé, vẫn đáp ứng nhanh hơn trường hợp giảm chấn tới hạn. Chú ý là phần trăm vọt lố PO và thời gian đỉnh không có nghĩa với trường hợp giảm chấn lố hay giảm chấn tới hạn. Hơn nữa, khi chỉnh định K, ta cần hỗ trợ hệ thống dùng một số khâu bù, khi cần có các tiêu chí nghiêm ngặt về độ vọt lố hay tốc độ đáp ứng. Ngõ vào là hàm dốc. Khi súng phòng không trong hình 6.36a bám theo máy bay địch di chuyển với vận tốc đều, vị trí góc của súng phải tăng tuyến tính theo t. Do đó, ngõ vào trong trường hợp . Hảy tìm đáp ứng của hệ thống với đáp ứng này và này là hàm dốc; tức là

với K = 80. Trường hợp này , và

Dùng bảng 6.1, ta có

Đáp ứng được vẽ ở hình 6.36d, cho thấy hệ thống có sai số xác lập radian. Trong một số trường hợp, cho phép có sai số xác lập bé. Tuy nhiên, cần có sai số xác lập của đáp ứng dốc là zêrô, vậy là đáp ứng của trường hợp này là không đạt. Ta cần có thêm khâu bù cho hệ thống này. Bài tập dùng máy tính C6.4  Tìm đáp ứng bước của hệ phản hồi trong hình 6.36b với khi K = 7,

16 và 80. Tìm đáp ứng với hàm dốc khi K = 80.

Trong thí dụ dùng máy tính C6.3, ta có được hàm truyền của hệ thống phản hồi này.

và .

Ta làm lại và dùng lệnh „conv‟ khi mẫu số gồm hai thừa số với . và cho các hệ số của tích

Lệnh „conv‟ nhân Để tìm đáp ứng hàm bước và đáp ứng hàm dốc , ta tạo m-file c64a.m như sau: %(c64a.m) Gnum=[0 0 K]; Gden=conv([0 1 0],[0 1 8]); Hnum=[0 0 1]; Hden=[0 0 1]; [NumTF, DenTF]=feedback(Gnum, Gden, Hnum, Hden); Step(NumTF, DenTF) Để vẽ đáp ứng bước (như hình 6.36c) dùng tập tin c64b.m như sau: K = 7; c64a;hold on, K=16; c64a; K=80; c64a;

Đáp ứng dốc đơn vị của hệ thống này giống như đáp ứng bước của hệ thống với hàm truyền T(s)/s. Ta dùng c64a để tìm đáp ứng dốc. Để vẽ, khi K =80, tạo c64c.m như sau: K=80; c64a;

NumTFr=NumTF; DenTFr=conv([0 1 0], DenTF); Printsys(NumTFr, DenTFr); step(NumTFr, DenTFr) 

Các đặc tính thiết kế. Phần này cung cấp cho độc giả một số ý tưởng về các dạng đặc tính dùng trong hệ thống điều khiển cần thiết. Thông thường, khi thiết kế hệ thống điều khiển ta cần thỏa một trong số các đặc tính sau:

.

1. Đáp ứng quá độ (a) Định rõ độ vọt lố với ngõ vào là hàm bước (b) Định rõ thời gian lên và/hay thời gian trễ (c) Định rõ thời gian thiết lập

2. Sai số xác lập Định rõ sai số xác lập đối với một số ngõ vào như hàm bước. hàm dốc. hay hàm parabol. Trong hệ thống điều khiển. đáp ứng quá độ là được đặc trưng với ngõ vào hàm bước, điều này do hàm bước biểu diễn bước nhảy gián đoạn. Do đó, nếu hệ thống có được đáp ứng quá độ chấp nhận được với hàm bước, thì sẽ có đáp ứng chấp nhận được với nhiều dạng tín hiệu vào khác. Tuy nhiên, sai số xác lập lại cần được xác định cho từng dạng ngõ vào. Đối với từng hệ thống, ta cần xem xét dạng tín hiệu vào (bước, dốc, v.v,…) nào có thể xuất hiện, để định các yêu cầu về sai số xác lập của từng ngõ vào.

3. Độ nhạy Hệ thống cần thỏa mãn các đặc tính về độ nhạy đặc trưng khi tham số hệ thống thay

đổi, hay với một số nhiễu loạn. Phân tích độ nhạy không được đề cập ở đây. 6.7–2 Phân tích hệ thống bậc hai

,

Đáp ứng quá độ tùy thuộc vào vị trí các điểm cực và điểm zêrô của hàm truyền T(s). Thông thường, không có con đường ngắn để dự đoán các tham số của đáp ứng quá độ (PO, ) từ hiểu biết về cực và zêrô của T(s). Tuy nhiên với hệ bậc hai không có điểm zêrô, lại có quan hệ trực tiếp giữa vị trí cực và đáp ứng quá độ. Trong trường hợp này, vị trí cực có thể được xác định từ kiến thức về đặc tính của tham số quá độ. Ta sẽ thấy là việc nghiên cứu về hệ bậc hai có thể giúp nghiên cứu tố hơn về các hệ bậc cao hơn. Do đó, phần này ta nghiên cứu chi tiết về hệ bậc hai.

Xét hệ bậc hai có hàm truyền

(6.81)

(trường hợp giảm chấn thiếu). và là thực khi . Trường hợp

là trường hợp giảm chấn lố. Giá trị

, vẽ ở hình 6.37. Các cực là phức khi tỉ số giảm Các cực của T(s) là là chấn trường hợp giảm chấn tới hạn, khi càng bé thì giảm chấn càng thấp, tạo độ vọt lố càng cao, và thời gian đáp ứng càng nhanh. Khi ngõ vào là hàm bước đơn vị và

Tra bảng 6.1 (cặp 1 và 10c), ta có

(6.82)

Hình 6.38 cho thấy bản chất của trường hợp giảm chấn thiếu ( ). Đáp ứng

. Do đó, hằng số thời gian của đáp ứng là

giảm. Đáp ứng giảm theo hàm mủ . Cần bốn hằng số thời gian để hàm mủ giảm còn 2% so với giá trị đầu. Thời gian thiết lập là:

(6.83)

Để xác định phần trăm vọt lố PO, cần tìm thời gian đỉnh là thời gian có độ vọt lố lớn

nhất. Tại , . Nghiệm của phương trình là:

, và

(6.84)

Hình 6.39 vẽ PO là hàm theo . Trong hệ bậc hai, thì PO quan hệ trực tiếp với tỉ số

Dùng phương pháp tương tự, ta tìm và

giảm chấn . . Tuy nhiên, điều này đòi hỏi phải giải phương trình siêu việt, nên cần được giải trên máy tính số. Kết qua cho trong hình 6.39. Khi chưa tính chính xác, có thể dùng phương pháp xấp xỉ để tính và như sau:

(6.85)

và bé.

và

(phương trình 6.37). Do

và

cần có từ hình này.

giây,

Rõ ràng trong hệ bậc hai, vị trí cực xác định đáp ứng quá độ của hệ thống. Ta thấy , giá trị  càng bé, và giá trị vọt lố PO càng lớn. Nói chung thì, các cực càng gần trục cực không nên quá gần trục , là vị trí gần biên ổn định, làm hệ thống càng nhạy với sử thay đổi của tham số. Do đó, nên dùng giá trị  lớn (độ vọt lố PO nhỏ). Đề hệ thống đáp ứng nhanh thì cần có các giá trị Phần này cho thấy hệ bậc hai trong phương trình 6.81, có các tham số quá độ (PO, ) có liên quan đến vị trí cực của T(s). Theo quan điểm thiết kế hệ thống. ta nên vẽ các đường đồng mức biểu diễn các giá trị khác nhau của tham số quá độ trên mặt phẳng – s . Thí dụ, mỗi đường viền đồng tâm trong mặt phẳng – s biểu diễn các đường giá trị hằng của  (xem hình 6.37). Do PQ có liên quan trực tiếp với  (hình 6.39), nên mỗi đường đồng tâm biểu diễn đường các giá trị hằng của PO, vẽ ở hình 6.40. Tương tự, mỗi đường dọc biểu diễn các giá trị hằng , các đưởng biểu diễn các giá trị hằng của thời gian thiết lập là đường dọc vẽ ở hình 6.40. . Các đường đồng mức cho Hình này còn cho thấy các đường đồng mức của hằng số phép ta xem xét để xác định các tham số quá độ quan trọng (PO, ) của hệ bậc hai khi biết vị trí các cực. Hơn nữa, nếu ta muốn tổng hợp hệ bậc hai nhằm đạt được một số đặc tính quá độ cho trước, ta có thể tìm được Thí dụ, xét hệ thống điều khiển vị trí trong hình 6.36a. Cho các đặc tính quá độ của hệ giây (6,86). thống là PO  16%, Ta phát họa sơ các đường đồng mức trong hình 6.40 để có được các đặc trưng nói trên. Vùng tô bóng do giới hạn bởi các đường đồng mức trong hình 6.41 thỏa cả ba yêu cầu trên. Hàm truyền phải được chọn để tất cả các cực đều nằm trong vùng này, Hàm truyên cho hệ thống vòng kín trong hình 6.36a là

(6.87a)

Điều này cho thấy vị trí các cực của

là nghiệm của phương trình đặc tính

(8.87b) (8.87c)

có thể được chỉnh định bằng cách thay đổi độ lợi K. Ta cần chọn K để các cực nằm trong vùng tô bóng trong hình 6.41. Các cực của Nên các cực là đường trong mặt phẳng – s khi K thay đổi từ 0 đến . Khi

, hai cực trùng lặp tại -4 (giảm chấn tới hạn). Khi

Các cực s1 và s2 (nghiệm của phương trình đặc tính) di chuyển dọc theo một , các cực là - 8, 0. Khi , các cực là thực là các cực di chuyển về giá trị - 4 khi K thay đổi từ 0 đến 16 , (giảm chấn lố). Khi (giảm chấn thiếu). Phần thực của các cực trở thành cực phức với giá trị cực là – 4 khi , các cực di chuyển theo đường dọc như vẽ ở hình 6.41. Một cự di chuyển lên và cực còn lại (liên hợp) di chuyển xuống theo đường dọc qua - 4. Ta có thể

dán nhản cho các giá trị K tại nhiều điểm dọc theo các đường này, như trong hình 6,41. Mỗi đường biểu diễn quĩ đạo cực của hay quĩ đạo nghiệm của phương trình đặc tính của khi K thay đổi từ 0 đến . Do đó, tập của đường này được gọi là quĩ đạo nghiệm. Quĩ đạo nghiệm cho ta thông tin về phương thức di chuyển của các cực trong khi độ lợi K thay đổi từ 0 đến . Trong bài toán thiết kế của hàm truyền vòng kín mình, ta phải chọn giá trị của K sao cho các cực của trong vùng được tô bóng như hình 6.41. Hình này cho thấy hệ thống đạt các tiêu chuẩn cho trước [phương trình (6.86)] khi . Thí dụ khi ,

ta có PO  16%, giây, giây (6.88)

. Nếu Ta mới chỉ bàn về hàm truyền hệ bậc hai

Hệ bậc cao có thêm các cực nằm , chúng chỉ ảnh hưởng không đáng kể lên đáp ứng quá độ của hệ xa về bên trái trục thống. Lý do là các hằng số thời gian của các cực này rất nhỏ khi so với hằng số thời gian của các cực phức liên hợp ở gần trục . Nên có hướng tăng dạng mủ do cực nằm gần . Hơn nữa, hệ số của các thừa số trên còn nhỏ hơn đơn vị. Vậy, chúng tăng rất ít trục được gọi là cực chủ yếu (dominant poles). và giảm nhanh. Các cực nằm gần trục Tiêu chuẩn thường dùng là khi cực cách xa trục năm lần so với cực chủ yếu, thì đóng góp không đáng kể lên đáp ứng bước, và đáp ứng quá độ của hệ bậc cao giảm thành hệ bậc hai. Hơn nữa, cặp cực-zêrô gần nhau (dipole) ảnh hưởng không đáng kể lên đáp ứng quá độ. Do đó, nhiều cấu hình cực – zêrô trong thực tế rút gọn thành hai hay ba cực với một hay hai zêrô. Người ta đã chuẩn bị các biểu đồ về đáp ứng quá độ của các hệ thống dạng này với rất nhiều tổ hợp cực – zêrô, và được dùng trong thiết kế hầu hết các hệ thống bậc cao.

Thí dụ trong phần 6.7-2 cho ta ý tưởng tốt về tiện ích của quĩ đạo nghiệm khi thiết

Bắt đầu với hệ phản hồi vẽ trong hình 6.42, tương tự hình 6.18d, trừ độ lợi K. Hệ 6.7–3 Quĩ đạo nghiệm kế hệ thống điều khiển. thống trong hình 6.36a là trường hợp đặc biệt với . Hệ thống trong hình 6.42 có

(6.89a)

(6.89b)

Phương trình đặc tính của hệ thống Xem xét đường đi của nghiệm của

khi K thay đổi từ 0 đến . là hàm truyền vòng . Do đó, ta gọi

đòi hỏi

, tức là ,

Khi vòng hở, hàm truyền là hở. Qui tắc phác họa quĩ đạo nghiệm là: 1. Quĩ đạo nghiệm bắt đầu (K = 0) tại các cực của vòng hỡ và chấm dứt tại các đểm zêrô của vòng hở. Điều này có nghĩa là số cực chính xác bằng n, bậc của hàm truyền vòng , với N(s) và D(s) lần lượt là các đa thức bậc m và hở. Đặt khi K = bậc n. Do đó, . Nên tức là các cực của vòng 0. Trong trường hợp này, nghiệm là các cực của , tức là nghiệm là các hở. Tương tự, khi . zêrô của vòng hở. Đối với hệ trong hình 6.36a, hàm truyền vòng hở là Các cực vòng hở là 0 và – 8 và các zêrô (khi đều là . Có thể kiểm tra lại trên hình 6.41 là quị đạo nghiệm bắt đầu từ 0 và – 8 rồi chấm dứt tại .

2. Đoạn trục thực là phần của quĩ đạo nghiệm nếu tổng của các cực và zêrô trên trục thực là nằm bên phải của đoạn là lẻ. Hơn nữa, quĩ đạo nghiệm đối xứng qua trục thực.

Ta đã kiểm tra trong hình 6.41 là đoạn trục thực nằm bên phải – 8 chỉ có một cực (và không có zêrô). Do đó, đoạn này là phần của quĩ đạo nghiệm. 3. Có n – m quĩ đạo chấm dứt tại  với góc với

Chú ý là theo qui tắc 1, m quĩ đạ chấm dứt tại các zêrô của vòng hở, và (n – m ) quĩ đạo còn lại chấm dứt tại  theo qui tắc này. Trong hình 6.41, ta thấy (n – m ) = 3 quĩ đạo chấm với k = 1 và 3. Ta tiếp tục với một quan sát thú vị. Nếu hàm dứt tại  với góc

truyền có m (hữu hạn) zêrô và n cực, thì . Do đó,

có n – m zêrô tại . Điều này cho thấy là dù

chỉ có m hữu hạn zêrô, thì cũng còn n – m zêrô tại . Theo qui tắc 1, m cực chấm dứt tại m hữu hạn zêrô, và theo qui tắc này thì còn có n – m cực còn lại chấm dứt tại , và đó cũng là các zêrô

. Kết quả này có nghĩa là mọi quĩ đạo bắt đầu tại cực của vòng hở và chấm

của dứt tại các zêrô vòng hở. 4. Trọng tâm của các tiệm cận (điểm hội tụ của các tiệm cận) của (n – m) quĩ đạo chấm dứt tại  là

là các cực và là các zêrô của hàm truyền vòng hở.

Với Hình 6.41 cho thấy là trọng tâm của quĩ đạo là 5. Có thêm một số qui tắc, cho phép ta tính các điểm nới quĩ đạo nghiệm giao và cắt và đi qua trục để va2o bên phải mặt phẳng phức. Các qui tắc này cho phép ta vẽ nhanh và phác họa sơ các quĩ đạo nghiệm. Tuy ngày nay đã có sẳn các chương trình và phần mềm cho phép vẽ nhanh các quĩ đạo nghiệm, nhưng bốn qui tắc đầu tiên này vẫn còn rất hữu ích khi phát họa nhanh quĩ đạo nghiệm.

Hiểu biết về các qui tắc này rất hữu ích khi thiết kế hệ thống điều khiển, do chúng giúp ta xác định đâu là thay đổi cần thực hiện (dạng khâu bù nào phải thêm vào hệ thống) cho hàm truyền vòng hở nhằm giúp thiết kết đạt các tiêu chuẩn yêu cầu. ■ Thí dụ 6.21:

Dùng bốn qui tắc của quĩ đạo nghiệm. vẽ quĩ đạo nghiệm của hệ thống có hàm truyền vòng hở

1. Qui tắc 1: Với , có ba quĩ đạo nghiệm, bắt đầu từ các cực của

; tức là tại 0, - 2 và - 4

2. Qui tắc 2: Có tổng số cực lẻ bên phải đoạn trục thực và

. Do đó, các đoạn này là phần của quĩ đạo nghiệm. Nói cách khác, toàn bộ trục thực bên trái mặt phẳng phức, trừ đoạn giữa – 2 và – 4, là quĩ đạo nghiệm. . Do đó (cả) ba quĩ đạo nghiệm chấm dứt lại  theo tiệm cận 3. Qui tắc 3: với góc với k = 1, 3 và 5. Nên, góc các tiệm cận là 600, 1200 và 1800.

4. Qui tắc 4: Trọng tâm (giao điểm của ba tiệm cận) là (0 – 2 – 4)/3 = - 2. Ta vẽ ba tiệm cận bắt đầu từ - 2 với các góc là 600, 1200 và 1800, như vẽ ở hình 6.43. Thông tin này cho ta đủ ý tưởng về quĩ đạo nghiệm. Quĩ đạo nghiệm thực cũng được vẽ trong hình 6.43. Hai tiệm cận xuyên qua bên phải mặt phẳng phức, đáp ứng này với một số giá trị của K, có thể làm hệ thống không ổn định. ■

 Bài tập dùng máy tính C6.5

Giải thí dụ 6.21 dùng MATLAB Các lệnh dùng tìm quĩ đạo nghiệm của MATLAB trong trường hợp này là: num=[0 0 0 1]; den=conv(conv[1 0],[1 2]),[1 4]); rlocus(num, den), grid  6.7–4 Các sai số xác lập xác lập là sai biệt giữa ngõ ra mong muốn [tham chiếu Các đặc tính xác lập đặt ra thêm ràng cuộc cho hàm truyền vòng kín T(s). Sai số . Vậy ] với ngõ ra thực

, và

(6.90)

Sai số xác lập là giá trị là giá trị của khi . Giá trị nàycó thể có dùng

định lý giá trị cuối [phương trình (6.68)]: (6.91)

là

1. Trường hợp tín hiệu vào là hàm bước đơn vị, sai số xác lập (6.92)

Khi T(0) = 1, sai số xác lập với ngõ vào bước đơn vị là zêrô. 2. Khi tín hiệu vào là hàm dốc, , và sai số xác lập là

(6.93)

. Như thế, điều kiện cần để sai số xác lập ngõ vào hàm dốc

Nếu hữu hạn là , làm sai số xác lập với tín hiệu vào bước là zêrô. Giả sử

, áp dụng qui tắc L‟Hopital vào phương trình (6.93), ta có:

(6.94)

3. Tương tự, ta có thể chứng tõ là khi ngõ vào là hàm parabol với

, và sai số xác lập là

(6.95)

và .

Giả sử

Trong thực tế, nhiều hệ thống dùng phản hồi đơn vị như vẽ ở hình 6.44. Trong các trường hợp này, việc phân tích sai số xác lập rất đơn giản. Định nghĩa hằng số sai số vị trí , và hằng số sai số gia tốc , hằng số sai số vận tốc là

(6.96)

Do phương trình (6.90) chi

Các sai số xác lập được cho bởi:

(6.97a)

(6.97b)

(6.97c)

Trường hợp hình 6.36a

, từ phương trình (6.96) ta có:

(6.98)

Thay các giá trị này vào phương trình (6.97)

Hệ thống với

Các hệ dạng này có khả năng bám theo vị trí của đối tượng với sai số zerô ( có cực tại gốc (như trong trường hợp này) gọi là hệ loại 1. ), và có

hằng số). Nhưng các

sai số hằng khi bám theo đối tượng di chuyển với vận tốc hằng ( hệ thống loại 1 không thích hợp khi bám theo các hệ thống có gia tốc hằng. Nếu không có cực tại gốc, thì là hữu hạn và , từ đó

và . Nên và . Các hệ thống dạng này

hữu hạn, nhưng

có hai cực tại gốc, hệ thống được gọi là hệ thống loại 2. Trường hợp

và và hữu hạn. hữu hạn. Do đó,

Nếu

Hệ thống phản hồi đơn vị trong hình 6.36a là hệ thống loại 1. Ta đã thiết kế được

. Các hệ được gọi là hệ thống loại 0. Các hệ thống này có thống này có thể dùng với các ngõ vào hàm bước (điều khiển vị trí) nhưng không dùng được với các ngõ vào dốc hay parabol (bám theo tốc độ hay gia tốc). Nếu này thì có q cực tại gốc, hệ thống được gọi là hệ thống loại q. Rõ ràng, trong hệ phản hồi đơn vị, khi tăng số cực tại gốc của , ta cải thiện được tính năng xác lập của hệ thống. Tuy nhiên, phương pháp này làm tăng n và giảm biên độ của trọng tâm của các tiệm cận quĩ đạo nghiệm . Điều này làm dịch quĩ đạo nghiệm về hướng trục j nên làm xấu các đặc tính quá độ cùng với tính ổn định của hệ thống. Cần nhớ là các kết quả trong phương trình (6.96) và (6.97) chỉ dùng được cho các hệ phản hồi đơn vị (hình 6.44). Các đặc tính xac lập trong trường hợp này được lấy từ thừa số ràng buộc của hàm truyền vòng hở KG(s). Ngược lại, các kết quả từ phương trình (6,92) đến (6.95) áp dụng được cho hệ phản hồi đơn vị cũng như các hệ thống phản hồi khác, nên mang tính tổng quát hơn. Các đặc tính về sai số xác lập trong trường hợp này được lấy từ hàm truyền vòng kín T(s). hệ thống đạt các tiêu chuẩn quá độ sau: (6.99)

Ta hảy xét thêm các tiêu chuẩn về xác lập:

Trường hợp này, ta đã có và [xem phương trình

(6.98)]. Ta cần có , nên

(6.100)

Trở lại hình 6.41, chú ý là các cực của

đạt các tiêu chuẩn quá độ ( nằm trong vùng chấp nhận được để ). Phương trình (6.100) cho thấy cần có

để thỏa các tiêu chuẩn xác lập. Để thỏa được cả các đặc tính về quá độ và xác . Sai số xác lập bé nhất khi có tín hiệu dốc vào có

lập ta cần đặt độ lợi ở được với . Trong trường hợp này

Nên hệ thống thỏa được đặc tính quá độ trong phương trình (6.99( với sai số bé nhất mà vẫn giữ được tính năng quá độ . Còn có thể làm tốt hơn, khi cho

bằng cách thêm vào một số dạng bù.

6.7–4 Bù Bài toán tổng hợp cho hệ thống điều khiển vị trí trong hình 6.36a là thí dụ rất đơn giản, khi đó các đặc tính quá độ và xác lập có thể đạt được chỉ cần chỉnh định độ lợi K. Trong nhiều trường hợp, không thể nào thỏa được đồng thời các tiêu chuẩn (quá độ hay xác lập) chỉ với cách chỉnh K. Thường ta chỉ có thể đạt một trong hai mà thôi. Xét lại hệ thống trong hình 6.36a, với các tiêu chuẩn sau: Để thỏa các đặc tính xác lập, ta cần có

Nhưng trong hình 6.41 cho thấy khi , các cực của

đi ra khỏi vùng chấp nhận được cho tiêu chuẩn quá độ. Rõ ràng, ta chỉ có thể thỏa được một trong hai tiêu chuẩn quá độ hay xác lập, chứ không phải cả hai. Trường hợp này, cần có thêm một số dạng bù, làm thay đổi quĩ đạo nghiệm để thỏa được tất cả các đặc tính cần thiết. Hiểu biết về kỹ thuật quĩ đạo nghiệm sẽ giúp ta chọn được khâu bù thích hợp nhất cho hàm

truyền. Hình 6.41 cho thấy khi dịch chuyển quĩ đạo nghiệm về phía trái sẽ đạt được yêu như hình cầu về tính năng. Ta có thể đặt khâu bù có hàm truyền nối tiếp với

6.45a và chọn lựa các cưc và zêrô của để dịch chuyển trọng tâm quĩ đạo nghiệm về

chỉ có một cực và một zêrô, ta nên chọn cực xa hơn về bên trái của bên trái. Nếu zêrô để dịch chuyển được trọng tâm quĩ đạo nghiệm về trái theo qui tắc thứ tư của quĩ đạo nghiệm. Do đó, ta dùng

Khâu bù dạng này được gọi là khâu bù sớm, được thực hiện dùng mạch RC đơn giản như trong hình 6.45b. Ta có nhiều lựa chọn cho các giá trị của  và . Để đơn giản, chọn  = 8 và  = 30. Từ đó

Để đơn giản, ta đã chọn thì  = 8 nhằm loại bớt cực của G(s). Trong thực tế thì không nhất thiết phải lạoi cực của G(s). Trường hợp này,  = (-30 + 0)/2 = 15, và quĩ đạo nghiệm mới xuất hiện trong hình 6.46 Quan sát thấy tình hình đã được cải thiện đáng kể khi dịch trọng tâm từ – 4 đến – 15. Nếu chọn K = 600, ta có:

Trường hợp này, . Do đó,

, Đồng thời . Từ phương trình (6.84), ta có và . Hơn nữa, từ hình

, tìm được , nên

6.39 [hay phương trình (6.85)], với , ta còn có:

Hệ thống thỏa mọi đặc tính và còn có tính năng tốt hơn

v.v,..Khâu bù trong trường hợp này là .

Ta bàn tiếp về khâu bù ban đầu được dùng để cải thiện các đặc tính xác lập. Đối với hệ phản hồi đơn vị, các đặc tính xác lập của hệ thống được cải thiện bằng cách đặt khâu tích phân trên đường truyền thẳng của . Phương pháp này làm tăng loại hệ thống, nên làm tăng Trong sơ đồ này thì khâu bù là khâu tích phân lý tưởng. Do đó, dạng này còn được gọi là điều khiển tích phân. Thiết kế khâu tích phân lý tưởng cần nhiều công sức và các thiết bị đắc tiền. Do đó, các khâu này chỉ được dùng trong các hệ thống khi yếu tố chi phí không quan trọng. Thí dụ, bộ hồi chuyển tích phân (integrating gyroscope) được dùng trong các máy bay. Trong nhiều trường hợp khâu bù trễ (mô tả dưới đây) có đặc tính gần giống đáp ứng của bộ tích phân được dùng. Hàm truyền của khâu bù trễ là:

Khâu bù trễ có thể được thực hiện dùng mạch RC đơn giản như hình 6,47. v.v,.. làm mọi hằng số sai số Trường hợp phản hồi đơn vị, khi thêm

. Do đó, khâu bù trễ làm tăng v.v,.. với thừa số (/),

được nhân với nên làm giảm sai số xác lập.

Ta có thể cải thiện đồng thời các đặc tính quá độ và xác lập bằng cách dùng tổ

Khâu bù trễ cải thiện các đặc tính xác lập, nhưng thông thường lại làm giảm các đặc tính quá độ. Do  > , biên độ của trong tâm quĩ đạo nghiệm  bị giảm đi. Yếu tố giảm này làm quĩ đạo nghiệm dịch về trục j, làm xấu các đặc tính quá độ. Tác động phụ này của khâu bù trễ có thể bỏ qua được khi chọn  và  sao cho  –  là rất bé, nhưng tỉ số /  lại cao. Các cặp cực và zêrô này hoạt động như một dipole bằng cách đặt cả cực gần với gốc ( và  0). Thí dụ, nếu ta chọn  = 0,1 và  = 0,01, và zêrô của trọng tâm sẽ dịch đi một lượng rất bé (– )/(n – m), Tuy nhiên, do /  = 10, nên mọi hằng số sai số đều tăng lên với tỉ lệ 10. hợp các khâu sớm và trễ.

Xét trường hợp

6.7- 6 Xét ổn định Trong thực tế, ta ít khi dùng phản hồi dương, do hệ thống có xu hướng mất ổn định và rất nhạy với sự thay đổi của tham số hệ thống hay môi trường. Như thế thì hệ phản hồi âm có làm hệ thống ổn định hơn và ít nhạy với các thay đổi ngoài ý muốn không? Không nhất thiết là thế! Lý do là nếu hệ thống thực sự là phản hồi âm thì hệ thống sẽ ổn định. Nhưng hệ thống thì phản hồi âm tại tần số này có thể lại có phản hồi dương ở một tần số khác do yếu tố dịch pha trên đường truyền. Nói cách khác, hệ phản hồi thì thường không thể nói rành mạch là phản hồi dương hay âm được. như thí dụ sau: . Quĩ đạo nghiệm của hệ thống cho ở phương trình 6.43. Hệ thống này là phản hồi âm tại các tần số thấp. Nhưng do có dịch pha tại tần số cao, phản hồi trở thành dương. Xét độ lợi vòng tại tần số (tại

Tại  = 2,83

Nhắc lại, hàm truyền chung là

Tại tần số ( ), độ lợi là

, độ lợi hệ thống tiến về , Khi K còn dưới mức 48, hệ thống ổn định, nhưng khi (do dịch và hệ thống trở nên không ổn định. Phản hồi là âm khi tần số thấp hơn pha chưa là - 1800), trở thành phản hồi dương. Nếu độ lợi đủ lớn ( ) tại tần số này, thì tín hiệu phản hồi về bằng với tín hiệu vào, và tín hiệu tự duy trì mãi mãi. Nói cách khác, tín hiệu bắt đầu tự kích (dao động) tại tần số này, tức là làm mất ổn định. Chú ý là hệ thống vẫn không ổn định với mọi giá trị . Điều này thấy rõ trong quĩ đạo nghiệm hình 6.43, cho thấy hai nhánh xuyên qua bên phải mặt phẳng phức khi

, giao điểm là s = j2,83. Phần trên cho thấy là với cùng hệ thống, có phản hồi âm tại tần số thấp cũng có khả năng là phản hồi dương ở tần số cao. Do đó, hệ thống phản hồi dễ nghiêng về mất ổn định, nên người thiết kế cần chú ý nhiều đến vấn đề này. Quĩ đạo nghiệm đã cho thấy vùng ổn định

6.8 Biến đổi Laplace hai bên Trường hợp này dùng cho tín hiệu không nhân quả và/hoăc không dùng đươc biến đổi Laplace (một bên). Các trường hợp này có thể được phân tích dùng biến đổi Laplace (hai bên) được định nghĩa theo:

(6.101a)

Và biến đổi nghịch

(6.101b)

và

Ta thấy là biến đổi Laplace một bên là một trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace hai bên, khi đó tín hiệu bị giới hạn thành dạng nhân quả. Về cơ bản thì hai phép biến đổi này giống nhau. Do đó, ta dùng cùng các ký hiệu cho trường hợp biến đổi Laplace hai bên. Ta đã thấy được là biến đổi Laplace của chỉ khác nhau vùng hội tụ. Vùng hội tụ của tín hiệu đầu là

Tiếp đến, ta chứng tõ là biến đổi hai bên có thể được viết thành hai biến đổi một

của hình 6.48a. Ta chia thành hai hàm Xét hàm , biểu và

(hình 6.48b và 6.48c)

(6.102a) (6.102b)

là giống nhau, và tín hiệu sau là , như vẽ trong hình 6.2. Rõ ràng, biến đổi nghịch của F(s) là không độc nhất trừ khi xác định được vùng hội tụ. Khi ta giới hạn tín hiệu dạng nhân quả, thì điều này không cần thiết. bên. Từ đó, ta tìm được biến đổi nghịch bằng cách tra bảng của biến đổi một bên. diễn thành phần thời gian dương (nhân quả) và thành phần thời gian âm (phản nhân quả) của Biến đổi Laplace hai bên của là

(6.103)

là biến đổi Laplace của thành phần nhân quả và là biến đổi

Trong đó Laplace của thành phần phản nhân quả được tính từ , do

, và

(6.104)

Rõ ràng thì là biến đổi Laplace của

, là tín hiệu nhân quả (xem có thể tìm từ bảng tra của biến đổi Laplace một bên. Đổi dấu

cho ta .

Tóm tắt, biến đổi Laplace hai bên trong phương trình (6.103) có thể được

hình 6.48d), nên của s trong tính từ biến đổi một bên theo hai bước: 1) Chia thành hai thành phần nhân quả và thành phần phản nhân quả

và

và cộng với biến đổi Laplace (một bên) của

2) Các tín hiệu bên) của thay thành – s . Phương pháp này cho ta biến đổi Laplace (hai bên ) của đều là tín hiệu nhân quả. Lấy biến đổi Laplace (một , với s được

và đều là tín hiệu hân quả, nên và Do

Laplace một bên. Gọi và là lần lượt là hoành độ hội tụ của đều là biến đổi . và

Điều này tức là tồn tại với mọi s khi , tồn tai với mọi s khi

. Do , nên tồn tại với mọi s sao cho

(6.105)

, và Vùng hội tụ (tồn tại) của

hữu hạn với mọi giá trị của s nằm trong dải hội tụ (

của phải nằm ngoải dải này. Các cực của

(6.106) Thí dụ, xét

được vẽ trong hình 6.49. Do ), nên các cực xuất hiện do thành phần nhân quả nằm bên trái dải (vùng) hội tụ, còn các cực do thành thành phản nhân quả nằm bên phải dải (xem hình 6.49). Điều này là cực kỳ quan trọng để tìm biến đổi nghịch của biến đổi Laplace (hai bên) Ta đã có biến đổi Laplace của thành phần nhân quả

(6.107)

Thành phần phản nhân quả , thì

, nên

, vậy

(6.108)

Và biến đổi Laplace của trong phương trình (6.106) là

và

(6.109)

Hình 6.50 vẽ

và vùng hội tụ của Phương trình (6.109) cho thấy vùng hội tụ của trường hợp của hình 6.50g. Nhận thấy là các cực của với các giá trị khác nhau của a và b. không tồn tại nếu a > b, chính là ở bên ngoài (trên biên) của

với thành phần phản nhân quả của nằm bên phải

thì nằm bên trái.

vùng hội tụ. Các cực của vùng hội tụ, còn các cực do thành phần nhân quả của

■ Thí dụ 6.22:

Tìm biến đổi Laplace của

(b) (c) Nếu vùng hội tụ là (a)

(a)

Khi F(s) có cực tại - 2 và 1. Dải hội tụ là

. Cực tại – 2 nằm bên trái dải hội tụ, tương ứng với tín hiệu nhân quả. Cực tại 1, nằm bên phải dải hội tụ, tương ứng với tín hiệu phản nhân quả. Phương trình (6.107) và (6.108) cho

(b) Hai cực nằm bên trái vùng hội tụ, nên hai cực tương ứng với tín hiệu nhân quả, nên:

với các vùng hội tụ khác nhau. ■

(c) Hai cực nằm bên phải vùng hội tụ, nên cả hai cực tương ứng với tín hiệu phản nhân quả, và: Hình 6.51 vẽ ba biến đổi nghịch tương ứng của

6.8 - 1 Phân tích hệ thống tuyến tính dùng biến đổi Laplace hai bên. Biến đổi Laplace hai bên có thể xử lý các tín hiệu không nhân quả, nên có thể phân tích hệ LT – TT – BB không nhân quả dùng biến đổi Laplace hai bên. Ta biết ngõ ra (trạng thái – zêrô) cho bởi: y(t) = L – 1 [F(s)H(s)] (6.110) Biểu thức này chỉ đúng khi F(s)H(s) tồn tại. Vùng hội tụ của F(s)H(s) là vùng tồn tại của cả F(s) và H(s). Nói cách khác, vùng hội tụ của F(s)H(s) là vùng hội tụ chung của cả F(s) và H(s). ■ Thí dụ 6.23: trong mạch hình 6.52a nếu điện áp Tìm dòng điện là

Hàm truyền của mạch là:

là . Biến đổi Laplace hai bên

Do của là hàm nhân quả, vùng hội tụ của là

Đáp ứng là biến đổi nghịch của

L – 1 = L – 1

là vùng hội tụ chung của cà và

Vùng hội tụ của . Các cực

, tức là nằm bên trái vùng hội tụ và tương ứng với tín hiệu nhân quả; các cực s = 2 nằm bên trái vùng hội tụ nên biểu diễn cho tín hiệu phản nhân quả, do đó:

Hình 6.52c vẽ , Chú ý trong thí dụ này, nếu

thì vùng hội tụ của . Do đó,

, và đáp ứng là tiến về vô cùng. ■

không có vùng hội tụ của ■ Thí dụ 6.24: Tìm đáp ứng của hệ thống không nhân quả với hàm truyền

với ngõ vào

Ta có , và

Vùng hội tụ của là , dùng phép pâhn tích đa thức

và

Chú ý là cực của

nằm bên phải mặt phẳng phức tại 1. Vậy hệ thống không phải là không ổn định. Cực trong mặt phẳng phải có thể chỉ thị tính không ổn định hay . Thí dụ, nếu không nhân quả, tùy theo vị trí cực với vùng hội tụ của

, hệ thống là nhân quả và không ổn định, khi và

. , hệ là không nhân quả và ổn định, khi và Ngược lại, nếu

.■

■ Thí dụ 6.25: Tìm đáp ứng của hệ thống không nhân quả với hàm truyền

với ngõ vào

Ngõ vào không tồn là dạng đã mô tả trong hình 6.50g, và vùng hội tụ của tại. Trong trường hợp này, ta cần xác định riêng biệt đáp ứng của hệ thống với từng thành phần của tín hiệu vào, và

Nếu và lần lượt là đáp ứng với và , thì

nên

và

nên

Vậy . ■

6.9 Phụ lục 6.1: Thực hiện dạng chính tắc thứ hai Hàm truyền bậc n còn có thể thực hiện dùng dạng chính tắc thứ hai (quan sát chính tắc). Tương tự như trường hợp chính tắc số một, ta bắt đầu với thực hiện cho hàm truyền bậc ba (phương trình 6,71).

(6.111)

Do đó Chuyển vị

Chia hai vế cho s3, ta có

Như thế, có thể tạo

(6.112) bằng cách cộng bốn tín hiệu bên vế phải của phương từng bước một, cộng từng thành phần, hình 6.53a chỉ vẽ thành và trình (6.112) . Ta tạo phần thứ nhất; tức là tạo tử hai thành phần, . Hình 6,53b vẽ

.

Quan sát thấy thừa số có được từ . Ta cộng với rồi

qua khâu tích phân để tạo . Hình 6.53c vẽ với ba thành phần

với đủ các thành phần. Đây là dạng sau cùng, biểu diễn một

trong phương trình (6.111).

Thực hiện này có thể tổng quát hóa cho hàm truyền bậc n trong phương trình

đầu. Hình 6.53d vẽ thực hiện khác nữa của (6.70) dùng n khâu tích phân.

sang

6.10 Tóm tắt Biến đổi Fourier không được dùng trực tiếp khi phân tích hệ thống không ổn định, hay ở biên ổn định. Hơn nữa, các ngõ vào còn bị giới hạn là các ngõ vào phải có biến đổi Fourier, nên không dùng được khi tín hiệu tăng theo dạng mủ. Các giới hạn này xuất phát tử các thành phần phổ dùng trong biến đổi Fourier để tạo ra f(t) là các hàm sin hay hàm mủ có dạng , nên tần số bị giới hạn trên trục j của mặt phẳng phức Các thành phẩn phổ này không thể tổng hợp các tín hiệu tăng theo dạng mủ. Biến , để có biến đổi Laplace, đổi Fourier được tổng quát từ biến nhằm có thể phân tích mọi dạng hệ thống LT – TT – BB và giải quyết được các tín hiệu tăng theo dạng mủ.

Đáp ứng hệ thống với hàm mủ không dừng , với cũng là hàm mủ không dừng là hàm truyền hệ thống. Ta có thể thấy biến đổi Laplace là công cụ

biến đổi Laplace của . Do đó, là

theo đó tín hiệu được viết thành tổng của các hàm mủ không dừng của thành phần các thành phần hàm mủ của . Lượng tương đối , biểu diễn phổ của , Hơn nữa, H(s) là đáp ứng của hệ thống (hay độ lợi)

, và phổ tín hiệu ngõ ra là phổ ngõ vào nhân với đáp ứng phổ (độ . , hay

là biến đồi Laplace của tín hiệu vào

và (khi mọi diều kiện đầu là zêrô), thì

, hàm truyền là hàm truyền. Hàm truyền của hệ thống . Tương tự, đáp ứng xung

của thành phần phổ lợi) Biến đổi Laplace chuyển phương trình vi tích phân của hệ thống LT – TT – BB thành phương trình đại số. Biến đổi Laplace thường không dùng được cho các hệ thống thay đổi theo thởi gian hay hệ thống phi tuyến. Hàm truyền của hệ thống còn được định nghĩa là tỉ số của biến đổi Laplace của ngõ ra với biến đổi Laplace của ngõ vào khi mọi điều kiện đầu là zêrô (hệ thống ở trạng là biến đổi thái zêrô). Nếu Laplace của ngõ ra tương ứng , là biến đổi Laplace của đáp ứng với cũng là mô tả nội tại của hệ xung thống. Có thể dùng phương pháp mạch biến đổi để phân tích mạch điện, theo đó, các tín hiệu (điện áp và dòng điện) được biểu diễn thành dạng biến đổi Laplace tương ứng dùng ý niệm trở kháng (hay dẫn nạp), điều kiện đầu dùng mạch nguồn tương đương (máy phát điều kiện đầu). Trong phương pháp này, mạng có thể phân tích theo phương pháp mạch thuần trở. Dùng ý niệm khối (block) để biễu diễn hệ thống lớn với nhiều kết nối thích hợp các hệ con. Các hệ con, được phân tích từ quan hệ vào-ra, như hàm truyền. Phân tích hệ thống lớn được thực hiện dùng kiến thức từ quan hệ vào –ra của các hệ con và từ phương thức kết nối chúng với nhau. Hệ thống LT – TT – BB có thể được thực hiện từ bộ nhân, bộ cộng, và bộ tích phân. Có thể thực hiện hàm truyền với nhiều phưng thức khác nhau, thí dụ kết nối song song, nối tiếp. Trong thực tế, các khối này có thể thực hiện dùng op –amp. Hệ thống phản hồi là hệ thống vòn kín chủ yếu dùng chống lại ảnh hưởng của các thay đổi chưa dự báo được của tham số hệ thống, tải, và môi trường. Các hệ thống này được thiết kế để có được tốc độ mong muốn, và sai số xác lập. Khi điều khiển tốc độ, các

tham số quá độ là thời gian lên, thời gian đỉnh, và thời gian thiết lập. Phần trăm vọt lố cho thấy phương thức ngõ ra tăng đến thời gian cuối. Sai dố xác lập có quan hệ với tham số hệ thống. Trong nhiều trường hợp, việc chỉnh định hệ số khuếch đại K có thể giúp có được tính năng cần thiết, nếu điều chỉnh này không đạt, thì cần dùng thêm mạch bổ chính. Quỉ đạo các nghiệm đặc tính của hệ thống được gọi là quĩ đạo nghiệm, rất thích hợp để thiết kế hệ thống phản hồi. Hầu hết các tín hiệu vào trong thực tế thường có dạng nhân quả. Do đó, ta cần quan tâm đến tín hiệu nhân quả. Khi đã giới hạn tín hiệu là nhân quả, thì phân tích dùng biến đổi Laplace được đơn giản rất nhiều; không cần quan tâm đến vùng hội tụ khi phân tích hệ thống. Trường hợp này biến đỗi Laplace được gọi là biến đổi Laplace một bên (chỉ dùng cho tín hiệu nhân quả. Phần 6.8 bàn về dang tổng quát là biến đổi Laplace hai bên, cho phép khảo sát các tín hiệu nhân quả và không nhân quà. Trong biến đổi Laplace hai bên, biến đổi Laplace nghịch của F(s) không độc nhất mà tùy thuộc vào vùng hội tụ của F(s). Do đó, vùng hội tụ giữ vài trò quan trọng trong biến đổi Laplace hai bên.

Tài liệu tham khảo

1.

2.

3.

4. 5.

6.

7. 8.

9. Doetsch, G., , Introduction to the Theory and Application of the Laplace Transformation with the Table of Laplace Transformation, Springer verlag, New York, 1974. Le Page, W.R., Complex Variables and the Laplace Transforms for Engineers, McGraw-Hill, New York, 1961. Durant, Will, and Ariel, The Age of Napoleon, The Story of Civilization Series, Part XI, Simon and Schuster, New York, 1975. Bell, E.T., Men of Mathematics, Simon and Schuster, New York, 1937. Nahin, P.J., “Oliver Heaviside: Genius and Curmudgean.” IEEE Spectrum, vol. 20, pp. 63-69, July 1983. Berkey, D., Calculus, 2nd ed., Saunder‟s College Publishing, Philadelphia, Pa. 1988. Encyclopaedia Britannica, Micropaedia IV, 15th ed., Chicago, IL, 1982. Churchill, R.V., Operational Mathematics, 2nd ed, McGraw-Hill, New York, 1958. Yang, J.S., and Levine, W.S Chapter 10 in The Control Handbook, CRC Press, 1996.

Bài tập

6.2-1 Dùng phương pháp trực tiếp [phương trình (6.8b)], tìm biến đổi Laplace và vùng hội tụ của các tín hiệu sau:

(a) (b) (e) (f)

(c) (g)

(d) (h)

6.2-1 Dùng phương pháp trực tiếp [phương trình (6.8b)], tìm biến đổi Laplace và vùng hội tụ của các tín hiệu trong hình P6.1-2:

6.2-1 Tìm biến đổi Laplace nghịch của các hàm sau

(a) (f)

(b) (g)

(c) (h)

(d) (i)

(e)

6.2-1 Tìm biến đổi Laplace của các hàm theo thời gian (nếu cần) của biến đổi Laplace

(e)

một bên: (a) (b) (f)

(c) (g)

(d) (h)

6.2-2 Chỉ dùng bảng 6.1 và đặc tính dời theo thời gian, tìm biến đổi Laplace của tín

hiệu trong hình P6.1-2. Hướng dẫn: Xem phẩn 1.4 để phân tích tín hiệu 6.2-3 Tìm biến đổi Laplace của các hàm sau

(a) (c)

(b) (d)

6.2-4 Có thể tìm biến đổi Laplace của tín hiệu tuần hoàn dùng kiến thức của biến đổi

trong hỉnh P6.2-4a là , chứng tõ là ,

Laplace trong chu kỳ đầu (a) Nếu biến đổi Laplace của biến đổi Laplace của [hình P6.2-4b], là

(b) Từ kết quả này, tìm biến đổi Laplace của tín hiệu trong hình P6.2-4c

Hướng dẫn:

6.2-5 Đầu tiên từ

, tạo các cặp từ 2 đến cặp 10 trong bảng 6.1, dùng các đặc là tích ,

tính của biến đổi Laplace. Hướng dẫn: [hay đao hàm lần hai của phân của là tích phân của ], v.v.,..,.

6.2-6 (a)Tìm biến đổi Laplace của xung hình 6.3 chỉ dùng các đặc tính vi phân theo .

thời gian, dời theo thời gian, và (c) Trong thí dụ 6.7, biến đổi Laplace của tìm được từ biến đổi của

. Tìm biến đổi Laplace của trong thi 1dụ này bằng cách dùng

. có thể xem là tổng của nhiều hàm bước (trễ với

biến đổi Laplace của Hướng dẫn: phần (b) nhiều lượng khác nhau)

6.3-1 Dùng biến đổi Laplace, giải các phương trình vi phân:

(a)

(b)

(c)

6.3-2 Giải các phương trình vi phân trong bài tập 6.3-1 dùng biến đổi Laplace. Trong từng trường hợp xác định các thành phần ngõ vào –zêrô và trạng thái – zêrô của nghiệm.

6.3-3 Giải các phương trình vi phân đồng nhất dùng biến đổi Laplace, giả sử các điều

kiện đầu là zerô và ngõ vào (a) (b)

Tìm hàm truyền quan hệ giữa và với ngõ vào

6.3-4 Cho mạch điện hình P6.3-4, chuyển mạch ở vị trí mở thời gian dài trước ,

khóa được đóng lại tức thì (a) Viết phương trình vòng (trong miền thời gian) khi

bằng phương pháp biến đổi Laplace. và

(b) Giải tìm 6.3-5 Tìm hàm truyền của các hệ thống đặc trưng bằng phương trình vi phân

(a)

(b)

(c)

6.3-6 Tìm phương trình vi phân biểu diễn quan hệ giữa ngõ ra với ngõ vào , từ

các hệ thống có hàm truyền sau:

(b) (a)

(c)

6.3-7 Hệ thống có hàm truyền

(a) Tìm đáp ứng (trạng thái – zêrô) khi ngõ vào là:

(i) (iv) (ii)

(iii) (b) Viết phương trình vi phân mô tả quan hệ giữa ngõ ra (v) với ngõ vào

6.3-8 Làm lại bài tập 6.3-7 khi

và ngõ vào là: (a) (b)

6.3-9 Làm lại bài tập 6.3-7 khi

và ngõ vào là

6.3-10 Cho hệ LT – TT – BB có các điều kiện đầu là zêrô (hệ thống ban đầu ở trạng thái- , chứng tõ là:

zêrô), ngõ vào (a) ngõ vào tạo ngõ ra tạo ngõ ra

(b) ngõ vào tạo ngõ ra , từ đó, chứng tõ đáp ứng bước đơn vị

của hệ thống là tích phân của đáp ứng xung đơn vị, tức là

6.4-1 Tìm đáp ứng trạng thái – zêrô của mạng hình P6.4-1 nếu điện áp ngõ vào

và ngõ vào , tiếp

. Tìm hàm truyền quan hệ giữa ngõ ra đến, viết phương trình vi phân vào – ra của hệ thống.

6.4-2 Chuyển mạch trong hình P6.4-2 được đóng trong thời gian dài và được mở tức thời tại . Tìm và vẽ dòng điện

trong mạch cộng hưởng hìnhP6.4-3 khi ngõ vào là: 6.4-3

Tìm dòng điện (a)

(b)

Giả sử mọi điều kiện đầu là zêrô

6.4-4 và khi trong mạch hình P6.4-4a khi ngõ

Tìm dòng điện vòng vào được vẽ trong hình P6.4-4b.

6.4-5 Trong mạch hình P6.4-5, chuyển mạch được đóng trong thời gian dài, và được mở tức thời tại . Tìm khi và

Tìm điện áp ra khi V trong mạch hình P6.4-6 khi ngõ vào là 6.4-6

và hệ thống ban đầu ở trạng thái – zêrô.

6.4-7 Tìm điện áp ra trong mạch hình P6.4-7 nếu điều kiện đầu là và

(Hướng dẫn: Dùng dạng song song của máy phát điều kiện đầu)

6.4-8 Cho mạng hình P6.4-7, chuyển mạch ở vị trí a trong thời gian dài và được . Tìm dòng điện khi

chuyển tức thời sang vị trí b tại Hướng dẫn: dùng mạch tương đương Thevenin

và điện áp ngõ vào của

6.4-9 Chứng tõ là hàm truyền giữa điện áp ngõ ra mạch op –amp trong hình P6.4-9a là

với và

Và hàm truyền của mạch hình P6.4-9b là

6.4-10 Trong hệ bậc hai dùng op-amp trong hình P6.4-10, chứng tõ hàm truyền giữa điện áp ngõ ra và điện áp ngõ vào là

6.4-11 Dùng định lý giá trị đầu và giá trị cuối, tìm giá trị đầu và giá trị cuối của đáp ứng trạng thái – zêrô của hệ thống có hàm truyền

và với ngõ vào là: (a) (b) .

6.5-1 Hình P6.5-1a vẽ hai đoạn vào) là ½. Hình P6.5-1b vẽ hai đoạn này được nối đuôi

nhau (a) Hàm truyền của mạng nối đuôi này có phải là (1/2)(1/2)=1/4? (b) Nếu đúng, chứng minh lại dùng phép tính hàm truyền? (c) Làm lại bài tập khi

và 6.5-2 Trong hình 6.18,

. Điều này có quan hệ gì với câu (b) là các đáp ứng xung của hệ thống có hàm truyền . Xác định đáp ứng xung của kết nối nối tiếp và kết nối song và

và vẽ ờ hình 6.18b và c. là song của

6.6-1 Thực hiện

bằng dạng chính tắc, nối tiếp và song song 6.6-2 Làm lại bài 6.6-1 nếu

(a) (b)

6.6-3 Làm lại bài 6.6-1 nếu

Hướng dẫn: đưa hệ số của bậc lủy thừa cao nhất của

mẫu số về đơn vị. 6.6-4 Làm lại bài 6.6-1 nếu

Hướng dẫn: trường hợp này m = n = 3

6.6-5 Làm lại bài 6.6-1 nếu

6.6-6 Làm lại bài 6.6-1 nếu

6.6-7 Bài tập này được dùng để cho thấy cặp cực phức liên hợp có thể dùng thực hiện

mạch nối đuôi hai hàm truyền bậc nhất. Chứng tõ hàm truyền các sơ đồ khối trog hình P6.6-7a và b là:

(a)

, từ đó, chứng minh là hàm truyền (b)

của sơ đồ khối trong hình P6.6-7c là

(c)

6.6-8 Dùng op –amp thực hiện hàm truyền sau:

(i) (ii) (iii)

6.6-9 Dùng op – amp thực hiện mạch có hàm truyền sau

6.6-10 Dùng op amp thực hiện chính tắc (canonical realization) hàm truyền sau

6.6-11 Dùng op amp thực hiện chính tắc (canonical realization) hàm truyền sau

6.7-1 Tìm thời gian lên tr, thời gian thiết lập ts, phần trăm vọt lố (PO), và sai số xác lập es, er , và ep cho các hệ thống sau, có hàm truyền là:

(a) (b) (c)

6.7-2 Hệ thống điều khiển vị trí, vẽ ở hình P6.7-2, đáp ứng bước đơn vị cho thấy thời gian đỉnh , phần trăm vọt lố (PO = 9%), và giá trị xác lập của ngõ ra với

tín hiệu bước đơn vị là . Tìm và a.

6.7-3 Hệ thống điều khiển vị trí, vẽ ở hình P6.7-3, có các đặc tính sau , ,

), và

phần trăm vọt lố (PO . Cho biết đặc tính nào không phù hợp với hệ thống có giá trị K bất kỳ? Đặc tính nào phù hợp với chỉnh định K đơn giản? 6.7-4 Hàm truyền vòng hở của bốn hệ vòng kín cho dưới đây. Vẽ quỹ đạo nghiệm cho từng trường hợp

(a) (c)

(b) (d)

6.7-5 Trong hệ phản hồi đơn vị ở hình P6.7-5. Ta cần đạt các đặc tính sau

và , ,

. Có khả năng thực hiện các đặc tính này bằng cách chỉnh định K không? Nếu không, đề nghị dạng mạch bù thích hợp và . tìm lại các giá trị và , ,

6.8-1 Tìm vùng hội tụ, nếu tồn tại của biến đổi Laplace (hai bên) của các tín hiệu sau:

(a) (b) (c) (d) (e)

6.8-2 Tìm biến đổi Laplace (hai bên) và vùng hội tụ tương ứng của các tín hiệu sau:

(a) (b) (c)

(e) (f)

(d) 6.8-3 Tìm biến đổi nghịch của biến đổi Laplace (hai bên)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

6.8-4 Tìm biến đổi nghịch của biến đổi Laplace (hai bên)

nếu vùng hội tụ là

(b) (c) (d)

(a) 6.8-5 Hệ LT – TT – BB và nhân quả có hàm truyển

, tìm ngõ ra khi ngõ vào là

(a) (d)

(e) (b)

(f)

(c)