Về các hàm hạng xạ ảnh có thể mở rộng trên nửa vành

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 21, NO. 11.1, 2023

77

VỀ CÁC HÀM HẠNG XẠ ẢNH CÓ THỂ MỞ RỘNG TRÊN NỬA VÀNH ON EXTENDABLE PROJECTIVE RANK FUNCTIONS OVER SEMIRINGS

Hà Chí Công* Trường Đại học Tài chính – Kế toán1

*Tác giả liên hệ: hachicong@tckt.edu.vn (Nhận bài: 20/9/2023; Sửa bài: 02/11/2023; Chấp nhận đăng: 03/11/2023)

Tóm tắt - Trong bài báo này, tác giả tiến hành khảo sát các điều kiện để một hàm hạng xạ ảnh trên nửa vành có thể mở rộng được như trên vành theo quy tắc rrank(M) = min{r(E) | M = NEP}, với M là ma trận tùy ý, E là ma trận lũy đẳng và rrank được gọi là hàm mở rộng của r. Từ đó, chứng minh được một số tính chất cơ bản đối với các hàm mở rộng của các hàm hạng xạ ảnh có thể mở rộng được. Tác giả đã cung cấp các nửa vành mà trên đó tồn tại ít nhất hai hàm hạng xạ ảnh có thể mở rộng được. Hơn nữa, nếu một nửa vành mà trên đó có ít nhất một hàm hạng xạ ảnh có thể mở rộng được thì nửa vành đó có số phần tử sinh không bị chặn mạnh và mọi hàm mở rộng tương ứng luôn bị chặn trên bởi hạng nhân tử.

Abstract - In this paper, we investigate conditions under which a projective rank function on a semiring can be extended as in rings according to the rule rrank(M) = min{r(E) | M = NEP}, with M being an arbitrary matrix, E being an idempotent matrix and rrank being called the extension function of r. From there, we prove several fundamental properties of extension functions of projective rank functions that can be extended. We have provided semirings on which there exist at least two extendable projective rank functions. Furthermore, if a semiring exists where at least one extendable projective rank function then that semiring has strongly unbounded generating number, and all corresponding extension functions are always bounded above by factor rank function.

Key words - Semiring; Idempotent matrix; Projective rank

Từ khóa - Nửa vành; Ma trận lũy đẳng; Hàm hạng xạ ảnh; Hạng nhân tử; Hạng Gondran-Minoux

function; Factor rank; Gondran-Minoux rank

1. Đặt vấn đề

Trên một vành S cho trước, mọi hàm hạng xạ ảnh luôn có thể mở rộng được đối với ma trận tùy ý theo quy là ma trận tắc , với

tùy ý và nghĩa là: Với mọi ma trận lũy đẳng là ma trận lũy đẳng (xem [1]). Điều này có ta luôn có . Khi đó, hàm rrank đi từ tập hợp

vành cụ thể khác (xem [4], [5]). Thông qua các đặc trưng của các hàm hạng ma trận để mô tả cấu trúc cũng như phân loại các lớp nửa vành cũng được quan tâm nghiên cứu (xem [6] - [12]). Tuy nhiên, những kết quả nghiên cứu về hàm hạng xạ ảnh trên nửa vành chưa nhiều. Trong các kết quả của bài báo này, tác giả tập trung giải quyết một phần các yêu cầu được đặt ra ở trên như: Xem xét một số điều kiện để một hàm hạng xạ ảnh trên nửa vành có thể mở rộng được, và khảo sát các tính chất cơ bản của các hàm mở rộng tương ứng. Ngoài ra, tác giả cung cấp một lớp nửa vành mà trên đó tồn tại ít nhất hai hàm hạng xạ ảnh có thể mở rộng được và nhận thấy rằng: Các nửa vành mà trên đó tồn tại hàm hạng xạ ảnh có thể mở rộng được là các “nửa vành có số phần tử sinh không bị chặn mạnh” (xem [9, Định nghĩa 3.2]) và mọi hàm mở rộng của các hàm hạng xạ ảnh tương ứng luôn bị chặn trên bởi hạng nhân tử. , gồm các ma trận trên vành S, vào tập hợp các số thực được xem như một hàm mở rộng của hàm không âm hạng xạ ảnh đã cho. Việc nghiên cứu các tính chất đặc trưng của hàm hạng xạ ảnh trên vành và hàm mở rộng của nó đã thu được nhiều kết quả quan trọng trong bài toán phân loại cấu trúc vành (xem [1], [2], [3]). Cụ thể, trong [1, Corollary 20] đã chỉ ra rằng: Trên một vành S khác không, khi và chỉ khi vành S là 2. Định nghĩa và kết quả liên quan

Nửa vành (xem [4]) là một tập hợp R có chứa các phần và , trên R có trang bị hai phép toán cộng và tử

nhân sao cho:

i) R cùng với phép toán cộng tạo thành vị nhóm giao hoán có phần tử đơn vị là ;

ii) R cùng với phép toán nhân tạo thành vị nhóm với phần tử đơn vị là ; xạ ảnh tự do. Trong đó, là hàm hạng nhân tử của ma trận. Tuy nhiên, khi mở rộng hàm hạng xạ ảnh theo quy tắc như trên cho các ma trận tùy ý trên nửa vành, một số kết quả không xảy ra như trên vành, do trên nửa vành S tổng quát, tập hợp S cùng với phép toán cộng không phải là một nhóm. Một số yêu cầu đặt ra là: Với điều kiện nào thì hàm hạng xạ ảnh trên nửa vành có thể mở rộng được theo quy tắc như trên? Chỉ ra các lớp nửa vành như vậy? Hàm mở rộng của một hàm hạng xạ ảnh cho trước có những tính chất cơ bản nào?... iii)

iv) .

1 University of Finance and Accountancy (Ha Chi Cong)

Ta có thể viết nửa vành thay vì viết là R nói với mọi zerosumfree . Ta nếu Trong thời gian gần đây, hàm hạng ma trận là chủ đề được nhắc đến nhiều trong các nghiên cứu về phân loại cấu trúc nửa vành, khá nhiều kết quả đạt được về các tính chất đặc trưng của hàm hạng ma trận trên nửa vành, chẳng hạn như: Nửa vành Tropical, nửa vành Max-plus và các nửa

78

Hà Chí Công

sinh hữu hạn luôn đẳng cấu với nửa môđun nào ; nửa vành R được gọi là không có ước của không (hay còn gọi là nguyên) nếu đó, với là nửa môđun con của có hệ sinh gồm ; được gọi là lũy đẳng nếu các vectơ cột của ma trận lũy đẳng . Hơn nữa,

được gọi là giao hoán nếu ; . theo [11, Mệnh đề 2.9], nếu các nửa môđun xạ ảnh P, Q được sinh bởi các vectơ cột của các ma trận lũy đẳng tương ứng G, H thì .

Theo [6], hạng nhân tử của một ma trận Nhắc lại trong [7] rằng, nếu nửa vành R giao hoán và : lũy đẳng thỏa điều kiện: ,

vành R, ký hiệu trên nửa , là số tự nhiên k bé nhất sao cho thì R được gọi là nửa vành tựa lựa chọn.

với . ,

Nhắc lại trong [4] rằng, một nửa môđun phải M, trên giao hoán, nửa vành R cho trước, là một vị nhóm Theo [3], hạng nhân tử ổn định của ma trận , cùng với ánh xạ từ (nếu có) được ký hiệu là và xác định bởi công thức

.

có phần tử đơn vị ký hiệu là vào M được xác định bởi được gọi là phép toán nhân ngoài với các phần tử của R, thỏa mãn các điều kiện sau: ta có: và Theo [9], nếu mọi ma trận i) ;

ii) ;

trên nửa vành R thỏa mãn điều kiện thì R được gọi là có số phần tử sinh không bị chặn mạnh hay được gọi là nửa vành có SUGN. Chú ý rằng, theo [9, Định lý 3.6], nửa vành R có SUGN khi và chỉ khi . iii) ;

iv) ; Nhắc lại trong [5] rằng, một họ , gồm

v) .

các vectơ cột lấy hệ số trên nửa vành R, được gọi là phụ thuộc tuyến tính GM nếu có các phần tử không đồng thời bằng 0 và các tập hợp I, J sao cho . và , Định nghĩa nửa môđun trái trên R được phát biểu tương tự, các kết quả trong bài viết này đều xét đối với nửa môđun phải, do đó, khi không sợ nhầm lẫn, ta chỉ cần nói nửa môđun thay vì nửa môđun phải. Trường hợp họ không phụ thuộc tuyến tính GM

Nửa môđun M trên nửa vành R được gọi là hữu hạn sinh của nếu tồn tại tập con hữu hạn phần tử thì được gọi là độc lập tuyến tính GM. Đối với ma trận trên , nửa vành R, hạng cột GM của một ma trận M sao cho với mọi , tồn tại mà , là số vectơ cột lớn nhất của ma trận A ký hiệu mà chúng độc lập tuyến tính GM. . Dưới đây là một số kết quả đã được chứng minh liên quan đến bài báo: kiện: Với bất kỳ các đồng cấu nửa môđun Mệnh đề 2.1 ([6]). Cho R là nửa vành, với mọi ma trận Nửa môđun P trên nửa vành R là xạ ảnh nếu thỏa điều và là toàn cấu, tồn tại một đồng cấu nửa , ta luôn có môđun thỏa mãn . Mệnh đề 2.2 ([9, Mệnh đề 2.8]). Trên nửa vành R tùy Trên nửa vành R cho trước, một ma trận ý, nếu và thì . được ký hiệu là có cấp , một ma trận Mệnh đề 2.3 ([9, Định lý 3.13]). Nếu R là nửa vành có

SUGN thì . Ngược lại, nếu tồn tại khối có dạng được ký hiệu là

sao cho tồn tại thì R có SUGN. hay nếu không sợ nhầm lẫn về cấp của chúng. là tập các là tập các ma trận cấp ,

Mệnh đề 2.4. ([7, Corollary 2.11]). Trên nửa vành R được biểu và nguyên, tựa lựa chọn, nếu các ma trận diễn dưới dạng , ma trận tùy ý. Một ma trận vuông nếu . Ta ký hiệu được gọi là lũy đẳng là tập hợp các ma trận . Khi đó, lũy đẳng có hệ số thuộc R. Theo [3], hai ma trận lũy đẳng i) ; , nếu có các ma trận ii) ; được gọi là tương sao đương, ký hiệu là cho . Chú ý rằng, theo [10, Lemma 4.3], trên nửa vành R cho trước, moi nửa môđun xạ ảnh Q có tập

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 21, NO. 11.1, 2023

79

và , suy ra sao cho iii) . . Vậy Trong đó, là ma trận khối được tạo ra từ các hay . ma trận . Hiển nhiên.

Giả sử là các ma trận lũy đẳng và có 3. Kết quả nghiên cứu sao cho , đặt ma các ma trận trận ta có

suy ra là ma lũy Trong phần này, tác giả khảo sát một số điều kiện để một hàm hạng xạ ảnh trên nửa vành có thể mở rộng được, chứng minh một số tính chất của các hàm mở rộng của các hàm hạng xạ ảnh có thể mở rộng, mô tả cấu trúc nửa vành mà trên đó có ít nhất một hàm hạng xạ ảnh có thể mở rộng được. trận nên đẳng. Do ra suy

, mặt khác, do là ma trận lũy đẳng nên Định nghĩa 3.1 ([1, p. 269]). Cho R là nửa vành, một được gọi là hàm hạng xạ ảnh trên ánh xạ

suy ra nửa vành R nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau với mọi ma trận lũy đẳng :

(theo giả thiết). Vậy . □ i) ;

ii) ;

Kết quả sau cung cấp cho ta một vài ví dụ về sự tồn tại của hàm hạng xạ ảnh mở rộng được trên lớp nửa vành đã được đề cập trong [7]. iii) . Mệnh đề 3.4. Cho Định nghĩa 3.2 ([1, p. 269]). Giả sử hạng xạ ảnh là nửa vành tựa lựa chọn và R nguyên. Khi đó, hạng nhân tử và hạng cột GM của ma trận trên nửa vành là các hàm hạng xạ ảnh mở rộng được. là một hàm trên nửa vành R, một ánh xạ tắc được xác định bởi quy

Chứng minh. Do , với mọi

, được gọi là hàm mở rộng của hàm hạng xạ là nửa vành tựa lựa chọn và R nguyên nên theo [8, Định lý 3.2] và [8, Định lý 3.5] ta có, hạng nhân tử và hạng cột GM là các hàm hạng xạ ảnh. Mặt khác, với ta có, mọi ma trận lũy đẳng sao cho ảnh r nếu (theo Mệnh đề 2.1) và . Khi đó, ta còn là hàm hạng xạ ảnh mở rộng được cho ma trận tùy nói ý trên R. (theo Mệnh đề 2.4). Định lý 3.3. Cho r là hàm hạng xạ ảnh trên nửa vành R, các điều kiện sau là tương đương: Vậy hạng nhân tử và hạng cột GM của ma trận trên nửa vành là các hàm hạng xạ ảnh mở rộng được. □ i) r là hàm hạng xạ ảnh mở rộng được. Tiếp theo, tác giả khảo sát một số điều kiện đủ để một hàm hạng xạ ảnh trên nửa vành có thể mở rộng được ii) Với mọi , nếu có các ma trận Định nghĩa 3.5. Cho sao cho thì . nửa vành R, nếu ma trận lũy đẳng là một hàm hạng xạ ảnh trên có iii) Với mọi , nếu thì J được gọi là r-đầy. thì .

Chứng minh. Mệnh đề 3.6. Cho r là một hàm hạng xạ ảnh trên nửa vành R, nếu các điều kiện sau xảy ra thì r là hàm hạng xạ ảnh mở rộng được: Giả sử i) Với mọi ma trận lũy đẳng ta luôn có . trên nửa vành R, với mọi ma trận lũy đẳng là hàm hạng xạ ảnh mở rộng được

, với các ma trận nào đó, ii) Với mọi , tồn tại là ma trận sao cho

r-đầy sao cho . . Ngược lại, nếu suy ra Chứng minh. là ma trận lũy đẳng thì . Giả sử Thật vậy, do và nên là các ma trận lũy đẳng sao cho . Theo giả thiết, tồn tại ma trận lũy đẳng . Mặt khác, giả sử thì tồn r-đầy sao cho , nghĩa là tồn tại tại ma trận lũy đẳng và các ma trận sao cho

Hà Chí Công

80

. Đặt suy ra Do F suy ra đẳng là ma trận lũy nên ta có

suy ra là suy ra cũng là ma trận lũy đẳng. Mặt khác, suy ra suy ra . ma trận lũy đẳng. Theo chứng minh trên ta có . Vậy hàm hạng xạ ảnh khác, Mặt là mở rộng được (theo Định lý 3.3). □ Nhận xét 3.7. Nếu hạng nhân tử

xạ ảnh trên nửa vành R thì trong Mệnh đề 3.6. Thật vậy, với mọi ma trận lũy đẳng là một hàm hạng thỏa các điều kiện được nêu suy ra suy ra

ta luôn có . Mặt khác, với mọi ma trận lũy đẳng . Vậy r là hàm có , theo [11, Bổ đề 3.13] thì tồn tại ma trận hạng xạ ảnh mở rộng được. □ lũy đẳng sao cho và do đó ma trận U là f-đầy

(do ).

Nhắc lại trong [11] rằng, một ma trận lũy đẳng tự do ổn định nếu có các số tự nhiên là thỏa Chú ý 3.9. Về các nửa vành được đề cập trong Định lý 3.8 có thể xem trong [12, Theorem 3.2]. Theo đó, trên nửa vành chia giản ước yếu, mọi nửa môđun xạ ảnh hữu hạn sinh đều tự do, do đó, chúng tự do ổn định. Mặt khác, các nửa vành chia giản ước yếu đều là nửa vành nguyên và zerosumfree nên chúng có SUGN (theo [9, Định lý 3.8]). và được gọi là hạng tự do Dưới đây là một số tính chất đặc trưng của hàm mở rộng của các hàm hạng xạ ảnh trên nửa vành R tùy ý. ổn định của E. Khi đó, các nửa môđun xạ ảnh hữu hạn được gọi là nửa mô đun tự do sinh đẳng cấu với Mệnh đề 3.10. Cho ổn định. rộng được trên Định lý sau cung cấp một lớp nửa vành mà trên đó mọi là các hàm hạng xạ ảnh mở đó, khi R. Khi chỉ và vành khi nửa hàm hạng xạ ảnh đều mở rộng được. .

Chứng minh. Định lý 3.8. Nếu trên nửa vành R có SUGN, các nửa môđun xạ ảnh hữu hạn sinh là tự do ổn định thì mọi hàm hạng xạ ảnh trên R luôn mở rộng được. Giả sử , với mọi ma trận

, nếu thì tồn tại ma trận lũy

đẳng và các ma trận thỏa và Chứng minh Giả sử r là một hàm hạng xạ ảnh trên nửa vành R và là ma trận lũy đẳng tùy ý. Theo giả thiết, A là tự do sao ổn định suy ra tồn tại các số tự nhiên , suy ra . Do là ma trận cho suy ra lũy đẳng nên , suy ra suy ra . Do R là nửa vành có SUGN . Do là các hàm hạng xạ ảnh nên theo đề 3.11] ta có [11, Mệnh . mở rộng được nên chiều ngược lại của Mệnh đề là hiển nhiên. □ Bây giờ xét là hai ma trận lũy đẳng tùy ý sao Mệnh đề 3.11. Cho là hàm hạng xạ ảnh mở rộng được trên nửa vành R, . Khi đó, cho , do E là ma trận tự do ổn định nên tại suy với tồn ra . là các ma trận trên R Chứng minh. sao cho . Khi đó, Giả sử với sao cho tồn

tại các ma trận thỏa đẳng thức ; .

với là ma trận lũy đẳng sao cho tồn

tại các ma trận thỏa mãn . Khi đó, , do Đặt

suy ra suy ra . Khi đó,

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 21, NO. 11.1, 2023

81

suy ra . □ tại các ma trận . Do sao cho trận suy ra lũy đẳng nên là ma Mệnh đề 3.12. Cho R là nửa vành, . Mặt khác, do là hàm hạng xạ ảnh và là một hàm hạng xạ ảnh mở rộng được. Khi đó, nên suy ra . i) ; Với mọi số nguyên dương ii) . ta (theo Hệ quả 3.13). Do có là

Trong đó, là ma trận khối có được từ . ma trận lũy đẳng và được trên nửa vành R nên là một hàm hạng xạ ảnh mở rộng suy ra Chứng minh. . Điều hay i) Giả sử và với là dãy bị chặn này có nghĩa, dãy số và trận là các ma trận lũy đẳng sao cho tồn tại các ma . Khi đó, ta và thỏa dưới. Mặt khác, với mọi số nguyên dương theo 3.13 quả Hệ có thể phân tích , suy mà ta suy , có ra

hay ra (do . Do đó, dãy số

là hàm hạng xạ là dãy đơn điệu giảm. Vậy giới hạn cũng là ma trận lũy đẳng). Mặt khác, do ảnh nên tồn tại không âm. Hơn nữa, dễ . dàng kiểm tra được dãy số cũng là dãy ii) Giả sử thì tồn tại ma trận lũy đẳng

và các ma trận sao cho và số giảm. Theo chứng minh trên, ta có bất đẳng thức . Do đó, khi . Đặt suy ra cho tiến ra vô cùng ta thu được bất đẳng thức . Áp dụng Mệnh đề hay suy ra 2.3 ta được R là nửa vành có SUGN. □

và . quát, bằng đẳng dấu “=” bất Nhận xét 3.15. Trong trường hợp nửa vành tổng của thức trong Định lý 3.14 không . □ Vậy

Từ Mệnh đề 3.11 và Mệnh đề 3.12, dễ dàng suy ra kết và . Trên S ta trang bị quan hệ hai ngôi quả 3.13. Cho R là nửa quả sau. Hệ vành, là một hàm hạng xạ ảnh mở và

rộng được. Khi đó,

cùng xảy ra. Chẳng hạn, xét nửa vành với hai phép toán với mọi là quan hệ thứ tự thông thường trên tập số thực. Dễ dàng kiểm tra được S là nửa vành nguyên và là nửa vành tựa lựa chọn. Theo Mệnh đề 3.4, ta có hạng cột GM là một hàm hạng xạ ảnh mở rộng được trên S. Xét ma trận khác i) .

không có nên ii) .

iii) . A là ma trận lũy đẳng trên S, suy ra

. Do nên hệ

vectơ phụ thuộc tuyến tính GM, suy ra Kết quả sau sẽ cho ta một mô tả về cấu trúc của lớp nửa vành mà trên đó tồn tại ít nhất một hàm hạng xạ ảnh mở rộng được, đồng thời cho ta một kết quả so sánh giữa hàm mở rộng của các hàm hạng xạ ảnh mở rộng được với hạng nhân tử trên lớp nửa vành này. Định lý 3.14. Cho R là nửa vành, nếu tồn tại . Mặt khác, nếu hàm hạng xạ ảnh mở rộng được là một thì . Hơn nữa, R có SUGN. thì có các ma trận thỏa điều

Chứng minh.

Với mọi , giả sử , khi đó, tồn

Hà Chí Công

82

và Định lý 3.8.

suy ra . kiện

suy ra (vô lý). Do

. Tuy nhiên, Hệ quả sau Vậy + Các kết quả thu được ở các Mệnh đề 3.10, Mệnh đề 3.11, Mệnh đề 3.12 và Hệ quả 3.13 cung cấp một số tính chất cơ bản của hàm mở rộng của các hàm hạng xạ ảnh có thể mở rộng được trên nửa vành tùy ý. Ngoài ra, tác giả đã tiến hành so sánh hàm mở rộng của các hàm hạng xạ ảnh với hạng nhân tử, mô tả cấu trúc của lớp nửa vành mà trên đó tồn tại ít nhất một hàm hạng xạ ảnh mở rộng được, thể hiện qua các Định lý 3.14 và Hệ quả 3.16.

[1] W. Dicks and E. D. Sontag, “Sylvester domains”, J. Pure Appl.

cho ta một trường hợp dấu bằng “=” xảy ra cho bất đẳng thức ở Định lý 3.14 nêu trên. TÀI LIỆU THAM KHẢO

Algebr., vol. 13, no. 3, pp. 243–275, 1978.

Hệ quả 3.16. Cho R là nửa vành và nếu hạng nhân tử mở rộng được và là một hàm hạng xạ ảnh trên R thì

[Online].

1990,

.

[2] P. M. Cohn, “Rank functions on rings”, J. Algebr., vol. 133, no. 3, pp. 373–385, Available: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/002186939090275S. [3] P. M. Cohn, Free ideal rings and localization in general rings.

Chứng minh.

Cambridge university press., 2006.

[4] J. S. Golan, Semirings and their Applications. Kluwer Academic

Với mọi ma trận lũy đẳng sao cho

Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1999.

suy ra (theo Mệnh

đề 2.1) nên là hàm hạng xạ ảnh mở rộng được. Xét ma

[5] M. Akian, S. Gaubert, and A. Guterman, “Linear independence over tropical semirings and beyond”, Trop. idempotent Math. Contemp. Math., vol. 495, pp. 1–38, 2009.

tùy ý, áp dụng Định lý 3.14 ta có trận

. Mặt khác, nếu thì tồn

và các ma trận sao cho tại

[6] L. R. B. Beasley and A. E. Guterman, “Rank inequalities over semirings”, J. Korean Math. Soc., vol. 42, no. 2, pp. 223–241, 2005. [7] Y. Shitov, “Inequalities for Gondran-Minoux rank and idempotent semirings”, Linear Algebra Appl., vol. 435, no. 7, pp. 1769–1777, 2011, doi: 10.1016/j.laa.2010.10.030.

, suy ra và

[8] H. C. Công, “Hàm hạng trên nửa vành tựa lựa chọn không có ước của không”, Tạp chí khoa học Tài chính Kế toán, no. 16, pp. 89–93, 2019.

. Do đó,

. □

[9] H. C. Công, “Về nửa vành có số phần tử sinh không bị chặn mạnh”, Tạp chí khoa học Tài chính Kế toán, no. 21, pp. 89–94, 2021. [10] Y. Katsov, T. G. Nam, and J. Zumbrägel, “On congruence- semisimple semirings and the K0-group characterization of ultramatricial algebras over semifields”, J. Algebr., vol. 508, no. February, pp. 157–195, 2018.

[11] H. C. Công, “Hạng tự do ổn định của ma trận lũy đẳng trên nửa vành”, Tạp chí Khoa học và Công nghệ - Đại học Đà Nẵng, vol. 20(1), pp. 56–60, 2022.

4. Kết luận

[12] S. N. Il’in and Y. Katsov, “On Serre’s Problem on Projective Semimodules over Polynomial Semirings”, Commun. Algebr., vol. 42, no. 9, pp. 4021–4032, 2014.

Một số kết quả đạt được của bài báo: + Định lý 3.3 và Mệnh đề 3.4, tác giả đã cung cấp một vài điều kiện cần và đủ để một hàm hạng xạ ảnh là mở rộng được, đồng thời giới thiệu một lớp nửa vành mà trên đó tồn tại ít nhất hai hàm hạng xạ ảnh có thể mở rộng được.

+ Một số điều kiện đủ để hàm hạng xạ ảnh trên nửa vành có thể mở rộng được cũng thể hiện ở các Mệnh đề 3.6