TỔNG HỢP KIẾN THỨC
NHẬP MÔN LÝ THUYẾT
MA TRẬN
NĂM 2021
A=
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1an2. . . ann
Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội
Câu lạc bộ T&T - Khoa Toán-Tin
I CÁC PHÉP TOÁN TRONG MA TRẬN
1 Cộng hai ma trận:
a) Định nghĩa:
Tổng A+Bcủa hai ma trận cùng kích thước m×n(Avà B) là một ma trận cùng kích
thước, với phần tử trong vị trí tương ứng bằng tổng của hai phần tử tương ứng của mỗi ma
trận:
(A+B)ij =Aij +Bij với 1≤i≤nvà 1≤j≤m.
b) Ví dụ:
2−6
5 1 +6 5
4−9=2 + 6 (−6) + 5
5 + 4 1 + (−9)=8−1
9−8.
c) Tính chất: Cho các ma trận cùng cỡ ta có các tính chất sau:
A+B=B+A.
A+O=O+A=A.
(A+B) + C=A+ (B+C).
Nếu đặt −A= (−aij )m×nthì A+ (−A) = (−A) + A=O.
2 Nhân một số thực với một ma trận:
a) Định nghĩa:
Tích kA của số k∈Rvới ma trận Ađược thực hiện bằng cách nhân mỗi phần tử của Avới
k:
(kA)ij =k·Aij .
b) Ví dụ:
2·2−6
5 1 =2·2 2 ·(−6)
2·5 2 ·1=4−12
10 2 .
c) Tính chất:Các tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa phép cộng và phép nhân một
số thực với một ma trận:
k(A+B) = kA +kB.
(k+h)A=kA +hA.
k·(h·A) = (k·h)·A.
1·A=A.
0·A=O, trong đó 0ở vế trái là phần tử không của Rcòn Oở vế phải là ma trận không
cỡ m×n(nếu Acỡ m×n).
3 Tích hai ma trận:
a) Định nghĩa:
Phép nhân hai ma trận được xác định khi và chỉ khi số cột của ma trận bên trái bằng số
hàng của ma trận bên phải. Nếu Alà một ma trận m×nvà Blà một ma trận n×p, thì
ma trận tích AB là ma trận m×pvới các phần tử được xác định theo tích vô hướng của
hàng tương ứng trong Avới cột tương ứng trong B:
[AB]ij =Ai1B1j+Ai2B2j+. . . +AinBnj =
n
X
k=1
AikBkj với 1≤i≤mvà 1≤j≤p.
Khoa Toán-Tin Trang 1 Câu lạc bộ T&T
b) Ví dụ:
2−6 5
519
6 5
4−9
12 2
=2·6 + (−6) ·4 + 5 ·12 2 ·5 + (−6) ·(−9) + 5 ·2
5·6 + 1 ·4 + 9 ·12 5 ·5 + 1 ·(−9) + 9 ·2=48 74
142 34.
c) Tính chất:
Tích AB có thể xác định trong khi BA không nhất thiết phải xác định, tức là nếu Avà B
lần lượt có số chiều m×nvà n×k, và m6=k. Thậm chí khi cả hai tích này đều tồn tại thì
chúng không nhất thiết phải bằng nhau, tức là:
AB 6=BA.
Phép nhân ma trận có các tính chất kết hợp và phân phối khi kích thước của các ma trận
tham gia vào phép nhân thỏa mãn yêu cầu của tích hai ma trận:
A·(B+C) = A·B+A·C.
(B+C)·A=B·A+C·A.
k·(B·C) = (k·B)·C=B·(k·C).
4 Chuyển vị:
a) Định nghĩa:
Chuyển vị của ma trận m×n A là ma trận n×m Attạo ra bằng cách chuyển hàng thành
cột và cột thành hàng:
(At)ij =Aji.
b) Ví dụ:
2−6 7
5 1 10t
=
2 5
−6 1
7 10
.
c) Tính chất: Phép chuyển vị có thể kết hợp với phép nhân vô hướng, cộng ma trận và nhân
ma trận:
(kA)t=k(At).
(A+B)t=At+Bt.
(At)t=A.
(AB)t=BtAt.
II ĐỊNH THỨC
Chỉ ma trận vuông mới có định thức.
Kí hiệu định thức của ma trận A:Dhoặc |A|hoặc det Ahoặc det(A).
Khoa Toán-Tin Trang 2 Câu lạc bộ T&T
1 Phần bù đại số:
Cho A=aij n×nvà giả sử định thức của các ma trận (n−1) ×(n−1) đã được định nghĩa. Kí
hiệu Aij là ma trận nhận được từ Abằng cách bỏ đi dòng ivà cột j. Ta định nghĩa phần bù đại
số cij (A)của Abởi công thức
cij (A) = (−1)i+jdet Aij .
2 Định thức:
Cho ma trận A=aij n×n
i. Với n= 1, A = (a11)và det(A) = a11.
ii. Với n >= 2, giả sử định thức của các ma trận (n−1) ×(n−1) đã được định nghĩa. Khi đó
định thức của ma trận Ađược cho bới công thức (khai triển Laplace).
Khai triển theo hàng i:
D=
n
X
j=1
aij cij (A).
Khai triển theo cột j:
D=
n
X
i=1
aij cij (A).
3 Công thức tính định thức cụ thể của một số ma trận:
a) Ma trận bậc 2
D=
a b
c d
=ad −bc.
b) Ma trận bậc 3
D=
a1b1c1
a2b2c2
a3b3c3
=a1
b2c2
b3c3
−b1
a2c2
a3c3
+c1
a2b2
a3b3
=a1b2c3−a1b3c2−b1a2c3+b1a3c2+c1a2b3−c1a3b2.
c) Ma trận đơn vị
|In|= 1 ∀n∈N, n ≥2.
d) Ma trận tam giác có định thức bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo chính.
4 Tính chất của định thức: Cho Alà ma trận vuông cấp n
a) Atlà ma trận chuyển vị của Athì |A|=|At|.
b) Nếu Acó một dòng(cột) gồm toàn các phần tử bằng 0 thì det(A) = 0.
c) Nếu nhân các phân tử trong cùng một dòng(cột) của Avới k6= 0 thì det(A)tăng lên klần.
d) Nếu đổi chỗ hai dòng(cột) của Athì det(A)đổi dấu.
e) Nếu cộng trừ vào một dòng(cột) của Amột dòng(cột) khác thì det(A)không thay đổi.
Khoa Toán-Tin Trang 3 Câu lạc bộ T&T
f) Nếu Avà Blà hai ma trận vuông cùng cỡ thì det(AB) = det(A) det(B).
g) Nếu Akhả nghịch thì det(A−1) = 1
det(A).
Dựa vào các tính chất trên của định thức, với một ma trận vuông Acho trước, để tính det(A),
ta có thể thực hiện các biến đổi sau:
•Đổi chỗ hai dòng(cột) của định thức và đổi dấu của định thức.
•Cộng vào một dòng(cột) của định thức một tổ hợp tuyến tính của các dòng(cột) còn lại.
•Nhân một dòng(cột) của định thức với một số khác không và chia định thức cho số đó.
•Đưa định thức về định thức của ma trận dạng tam giác trên hoặc dưới và tính định thức
của ma trận đó.
5 Ma trận khả nghịch:
•Cho Alà một ma trận vuông cấp n. Ma trận Alà khả nghịch nếu và chỉ nếu det(A)6= 0.
Khi đó Asẽ có ma trận nghịch đảo, kí hiệu là A−1và A.A−1=In.
•Ta có A−1=1
detA ×Ct
C=cij (n×n)
với cij = (−1)i+jdetAij .
Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau
A=
1 2 3
0 1 4
5 6 0
•det(A) = 1(0 −24) −2(0 −20) + 3(0 −5) = 1 6= 0.
•Ta có:
c11 = (−1)1+1
1 4
6 0
=−24;c12 = (−1)1+2
0 4
5 0
= 20;c13 = (−1)1+3
0 1
5 6
=−5;
c21 = (−1)2+1
2 3
6 0
= 18;c22 = (−1)2+2
1 3
5 0
=−15;c23 = (−1)2+1
1 2
5 6
= 4;
c31 = (−1)3+1
2 3
1 4
= 5;c32 = (−1)3+2
1 3
0 4
=−4;c21 = (−1)3+3
1 2
0 1
= 1.
⇒C=
−24 20 −5
18 −15 4
5−4 1
⇒Ct=
−24 18 5
20 −15 −4
−5 4 1
⇒A−1=
−24 18 5
20 −15 −4
−5 4 1
.
Vậy ma trận nghịch đảo cần tìm là A−1=
−24 18 5
20 −15 −4
−5 4 1
.
Khoa Toán-Tin Trang 4 Câu lạc bộ T&T