Đề thi cuối học kì 2 môn Đại số tuyến tính và cấu trúc đại số năm 2019-2020

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:7

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Đề thi cuối học kì 2 môn Đại số tuyến tính và cấu trúc đại số năm 2019-2020 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật, TP.HCM" là tài liệu được tổng hợp nhằm giúp sinh viên tự tin hơn trong kỳ thi, rèn luyện kỹ năng làm bài và làm quen với các dạng câu hỏi thường gặp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi cuối học kì 2 môn Đại số tuyến tính và cấu trúc đại số năm 2019-2020

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2019-2020 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Môn: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ CTĐS KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Mã môn học: MATH143001 Đề thi có 02 trang BỘ MÔN TOÁN Ngày thi: 21/7/2020 Thời gian: 90 phút ------------------------- Sinh viên được phép sử dụng tài liệu.  1 3 3 −4    Câu 1 (3.0 điểm). Cho ma trận A =  0 1 2 −5  .  2 5 4 −3    −3 −7 −5 2     a. Tìm phân tích LU của ma trận A. b. Sử dụng phép phân tích trên để giải hệ phương trình Ax = b, trong đó b = (1 2 0 1) T c. Tìm một cơ sở và số chiều của ColA, NulA. Câu 2 (1.0 điểm). Trong không gian 3   cho tập W = ( x1 , x2 , x3 ) x1 − 3x3 = 0 . Chứng minh rằng W là 3 không gian con của . Tìm một cơ sở và số chiều của W. 3 1  −1       Câu 3 (1.0 điểm). Trong không gian R3, cho các véctơ u1 =  −1 ; u2 =  −1  ; y =  2  2  −2  6       Chứng minh tập u1 , u2  là tập trực giao . Tìm hình chiếu trực giao của y lên Span u1 , u2  . Câu 4 (1.0 điểm). Cho B = u1 , u2 , u3  và E = v1 , v2 , v3  là các cơ sở của không gian véctơ V. Giả sử u1 = 6v1 − 2v2 + v3 , u2 = 9v1 − 4v2 − v3 , u2 = 2v1 − v2 + 3v3 . Tìm véctơ tọa độ  x E với x = −3u1 + 2u2 − 2u3 Câu 5 (3.0 điểm). Cho dạng toàn phương f ( x ) = xT Ax = 4x1 + 4x2 + 5x3 + 2x1x2 , x =  x1 T 2 2 2  x2 x3    3 . a. Đưa dạng toàn phương f ( x ) về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao, chỉ rõ phép biến đổi. b. Tìm det (4 AT A)2020  ; A2020 .   Câu 6: (1.0 điểm). 2 3 Trong với hệ thống mật mã Hill cho khóa K =  26  . Hãy mã hóa từ HATE, biết rằng mỗi ký 1 2 tự trong bảng chữ cái tương ứng một số trong 26 được cho bởi bảng sau: A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung kiểm tra [CĐR G2.3]: Thực hiện được các phép toán ma trận, tính Câu 1 được định thức, các phép biến đổi sơ cấp, tìm hạng ma trận, tìm được ma trận nghịch đảo, giải được hệ phương trình tuyến tính (giải bằng tay hay bằng cách sử dụng máy tính có cài đặt phần mềm ứng dụng phù hợp như matlab, maple, …) và biết ứng dụng vào các mô hình tuyến tính. [CĐR G2.4]: Thực hiện được hầu hết các bài toán về Câu 2, Câu 3, Câu 4 không gian véctơ, không gian Euclide như: chứng minh không gian con; xác định một vectơ có là tổ hợp tuyến tính của một hệ vectơ; xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ; tìm cơ sở, số chiều của một không gian vectơ; tìm tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở, tìm ma trận đổi cơ sở; phương pháp Gram- Schmidt để xây dựng hệ vectơ trực giao từ một hệ vectơ độc lập tuyến tính,… [CĐR G2.5]: Thực hiện được hầu hết các bài toán về ánh Câu 5 xạ tuyến tính, chéo hóa ma trận, dạng toàn phương: tìm nhân, ảnh, ma trận, hạng của ánh xạ tuyến tính; tìm trị riêng, véctơ riêng, chéo hóa ma trận; xét dấu dạng toàn phương; đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc. [CĐR G2.6]: Xây dựng phép toán hai ngôi; xét xem tập Câu 6 hợp với phép toán hai ngôi cho trước có là nhóm, vành, trường hay không; mã hóa, phát hiện lỗi, sửa sai, … Ngày 15 tháng 7 năm 2020 Bộ môn phê duyệt (ký và ghi rõ họ tên) Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2019-2020 THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Môn: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ CTĐS KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Mã môn học: MATH143001 Đề thi có 02 trang. BỘ MÔN TOÁN Ngày thi: 21/7/2020 Thời gian: 90 phút. ------------------------- Sinh viên được phép sử dụng tài liệu. ĐÁP ÁN  1 3 3 −4    Câu 1 (3.0 điểm). Cho ma trận A =  0 1 2 −5  .  2 5 4 −3    −3 −7 −5 2     a. Tìm phân tích LU của ma trận A. b. Sử dụng phép phân tích trên để giải hệ phương trình Ax = b, trong đó b = (1 2 0 1) T c. Tìm một cơ sở và số chiều của ColA, NulA. Giải: a)  1 3 3 −4   1 3 3 −4  1 3 3 −4    d2 :=d2 −2d1   d3 :=d3 +d2   0 1 2 −5  d3 :=d3 + 3d1  0 1 2 −5  d4 :=d4 −2d2  0 1 2 −5  A= ⎯⎯⎯⎯ → ⎯⎯⎯⎯ → (0.5)  2 5 4 −3   0 −1 −2 5  0 0 0 0    −3 −7 −5 2     0 2 4 −10   0       0 0 0   1 3 3 −4   1 0 0 0 1 3 3 −4       A=  0 1 2 −5  =  0 1 0 0 0 . 1 2 −5  = LU (0.5đ)  2 5 4 −3   2 −1 1 0 0 0 0 0   −3 −7 −5 2   −3 2 0        1 0  0 0 0   Ly = b (1) b) Ta có Ax = b  LUx = b   Ux = y (2) 1 0 0 0   y1   1   y1   1           0 1 0 0   y2   2   y2   2  (1) Ly = b   =  = (0.5đ) 2 −1 1 0   y3   0   y3   0    −3          2 0 1   y4   1   y4   0          1 3 3 −4   x1   1   x1 = −5 + 3b − 11a   x     x = 2 − 2b + 5a 0 1 2 −5   2   2   x1 + 3x2 + 3x3 − 4 x4 = 1  (2) Ux = y   =   2 ( a, b  R ) 0 0 0 0   x3   0   x2 + 2 x3 − 5 x4 = 2  x3 = b       x4 = a 0 0 0 0   x4   0   (0.5đ) c) Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2
 1   3         0 1  + Cơ sở của ColA là   ;    ; dim ColA = 2 (0.5)      2   5    −3   −7         x1 = −11a + 3b   x + 3x2 + 3x3 − 4 x4 = 0  x = 5a − 2b + Ax = 0   1  2  x2 + 2x3 − 5x4 = 0  x3 = b  x4 = a   −11   3    x1   −11   3              5   −2    x2   5  + b  −2   . Cơ sở của NulA là  ;  ; dim NulA = 2 (0.5) NulA =  =a 0   1     0   1       x3     1   0    x4   1   0               Câu 2 (1.0 điểm). Trong không gian 3   cho tập W = ( x1 , x2 , x3 ) x1 − 3x3 = 0 . Chứng minh rằng W là 3 không gian con của . Tìm một cơ sở và số chiều của W. Giải:     W = ( x1 , x2 , x3 ) x1 − 3x3 = 0 = ( x1 , x2 , x3 ) = ( 3a; b; a ) = a(3; 0; 1) + b(0; 1; 0) = Spanu1 ; u2  . Nên W là không gian con của R3. (0.5) Một cơ sở của W là (3; 0; 1);(0; 1; 0) , dimW =2 (0.5) 3 1  −1       Câu 3 (1.0 điểm). Trong không gian R , cho các véctơ u1 =  −1 ; u2 =  −1  ; y =  2  3 2  −2  6       Chứng minh tập u1 , u2  là tập trực giao. Tìm hình chiếu trực giao của y lên Span u1 , u2  . Giải: u1.u2 = 0 nên tập u1 , u2  là tập trực giao (0.25đ) 3  1   −1 y.u1 y.u2 7   −15     y= ˆ .u1 + .u2 =  −1 + −1 = 2 (0.75đ) u1.u1 u2 .u2 14   6      −2   6  2     Câu 4 (1.0 điểm). Cho B = u1 , u2 , u3  và E = v1 , v2 , v3  là các cơ sở của không gian véctơ V. Giả sử u1 = 6v1 − 2v2 + v3 , u2 = 9v1 − 4v2 − v3 , u3 = 2v1 − v2 + 3v3 .Tìm véctơ tọa độ  x E với x = −3u1 + 2u2 − 2u3 Giải: Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2
6 9     u1 = 6v1 − 2v2 + v3 → u1 E =  −2  ; u2 = 9v1 − 4v2 − v3 → u2 E =  −4  1  −1      2  6 9 2     u3 = 2v1 − v2 + 3v3 → u3 E =  −1 → PE  B =  −2 −4 −1 (0.5) 3  1 −1 3       −3    x = −3u1 + 2u2 − 2u3 →  x B =  2   −2     6 9 2  −3   −4   x E = PE B . x B =  −2 −4 −1 2  =  0       (0.5)  1 −1 3  −2   −11      Câu 5 (3.0 điểm). Cho dạng toàn phương f ( x ) = xT Ax = 4x1 + 4x2 + 5x3 + 2x1x2 , x =  x1 x2 T 2 2 2  x3    3 . a. Đưa dạng toàn phương f ( x ) về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao, chỉ rõ phép biến đổi. b. Tìm det (4 AT A)2020    Giải:  4 1 0   a. Ma trận của dạng toàn phương A =  1 4 0  (0.25đ)  0 0 5   4− 1 0 det ( A −  I ) = 0  1 4− 0   = 5  = 3 (0.25đ) 0 0 5− +  = 5 : ( A − 5I ) X = 0  −1 1 0   −1 1 0       1 −1 0  →  0 0 0   0 0 0  0 0 0      x1 = b  − x1 + x2 = 0   x2 = b x = a  3  0  1    Cơ sở của không gian con riêng E ( = 5) : u1 =  0  ; u2 =  1   , Cơ sở trực giao của không      1  0        1/ 2    0       gian con riêng v1 =  0  ; v2 = 1/ 2   (0.5)    1    0      Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2
+  = 3 : ( A − 3I ) X = 0 1 1 0 1 1 0     1 1 0 → 0 0 2 0 0 2 0 0 0      x1 = −a  x1 + x2 = 0     x2 = a  x3 = 0 x = 0  3   −1    Cơ sở của không gian con riêng E ( = 3) : u3 =  1   , cơ sở trực chuẩn của không gian con     0       −1/ 2       riêng E ( = 3) : v3 =  1/ 2   (0.5đ)     0      Đặt P = e1 e2 e3  , D = diag ( 5, 5, 3 ) , x = Py (0.25đ)   ta có f ( x ) = x Ax = yT Dy = 5y1 + 5y2 + 3y3 , y =  y1 y2 y3   T 2 2 2 T 3   . (0.25đ) = ( 43 )2020 ( det A ) 2020 2020 4040 b. det (4 AT A)2020  = det(4 AT A)      = 43 det AT .det A    = 46060.754040 (0.5đ)  0 1 −1  5 0  0 0 1 2020 0 −1     A = PDP =  0 1 1   0 2020 5 2020 0   1/ 2 1/ 2 0  (0.5đ) 1 0 0  0 32020   −1/ 2 1/ 2 0    0   2 3 Câu 6: (1.0 điểm). Trong với hệ thống mật mã Hill cho khóa K =  26  . Hãy mã hóa từ HATE, 1 2 biết rằng mỗi ký tự trong bảng chữ cái được tương ứng một số trong 26 được cho bởi bảng sau: A B C D E F G H I J K L M 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 N O P Q R S T U V W X Y Z 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Giải:  H   7   2 3  7  14   0   → →   =   →   (0.5)  A   0   1 2  0   7   H   T  19   2 3 19   24   Y   → →   =   →   (0.5)  E   4   1 2  4   1   B  Vậy từ HATE được mã hóa thành từ OHYB Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi. Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung kiểm tra [CĐR G2.3]: Thực hiện được các phép toán ma trận, tính Câu 1 được định thức, các phép biến đổi sơ cấp, tìm hạng ma trận, tìm được ma trận nghịch đảo, giải được hệ phương trình tuyến tính (giải bằng tay hay bằng cách sử dụng máy tính có cài đặt phần mềm ứng dụng phù hợp như matlab, maple, …) và biết ứng dụng vào các mô hình tuyến tính. [CĐR G2.4]: Thực hiện được hầu hết các bài toán về Câu 2, Câu 3, Câu 4 không gian véctơ, không gian Euclide như: chứng minh không gian con; xác định một vectơ có là tổ hợp tuyến tính của một hệ vectơ; xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của một hệ vectơ; tìm cơ sở, số chiều của một không gian vectơ; tìm tọa độ của một vectơ đối với một cơ sở, tìm ma trận đổi cơ sở; phương pháp Gram- Schmidt để xây dựng hệ vectơ trực giao từ một hệ vectơ độc lập tuyến tính,… [CĐR G2.5]: Thực hiện được hầu hết các bài toán về ánh Câu 5 xạ tuyến tính, chéo hóa ma trận, dạng toàn phương: tìm nhân, ảnh, ma trận, hạng của ánh xạ tuyến tính; tìm trị riêng, véctơ riêng, chéo hóa ma trận; xét dấu dạng toàn phương; đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc. [CĐR G2.6]: Xây dựng phép toán hai ngôi; xét xem tập Câu 6 hợp với phép toán hai ngôi cho trước có là nhóm, vành, trường hay không; mã hóa, phát hiện lỗi, sửa sai, … Ngày 15 tháng 7 năm 2020 Bộ môn phê duyệt (ký và ghi rõ họ tên) Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2