intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng: Đại số tuyến tính - Phạm Thanh Tùng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:175

Thêm vào BST
Báo xấu
48
lượt xem 16
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Đại số tuyến tính" do Phạm Thanh Tùng biên soạn nhằm cung cấp cho bạn đọc kiến thức về Đại số tuyến tính. Cung cấp cho các bạn những nội dung quan trọng cũng như các bài tập để củng cố kiến thức và có phương pháp làm bài hiệu quả. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo chi tiết tại đây nhé.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng: Đại số tuyến tính - Phạm Thanh Tùng

  1. lOMoARcPSD|16911414 BÁCH KHOA ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI Tài liệu môn học ____________________________________________________ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ____________________________________________________ Người biên soạn: Phạm Thanh Tùng Hà Nội, tháng 11 năm 2020 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  2. lOMoARcPSD|16911414 MỤC LỤC §1.1: LOGIC ........................................................................................................... 1 I. Các phép toán logic: .......................................................................................... 1 II. Các tính chất của phép toán logic: .................................................................. 2 III. Phương pháp làm bài: .................................................................................... 2 IV. Các bài tập: .................................................................................................... 3 §1.2: Tập hợp .......................................................................................................... 8 I. Các phép toán trên tập hợp: ............................................................................... 8 II. Tính chất của tập hợp: .................................................................................... 8 III. Phương pháp làm bài: .................................................................................... 8 IV. Các bài tập: .................................................................................................... 9 §𝟏. 𝟑: ÁNH XẠ ..................................................................................................... 13 I. Định nghĩa: ..................................................................................................... 13 II. Tập ảnh và tập nghịch ảnh:........................................................................... 15 III. Đơn ánh, song ánh, toàn ánh: ....................................................................... 16 IV. Các dạng bài tập chính: ................................................................................ 17 §1.4: SỐ PHỨC..................................................................................................... 36 I. Dạng chính tắc của số phức: ............................................................................ 36 II. Dạng lượng giác của số phức: ...................................................................... 36 III. Số phức liên hợp: ......................................................................................... 37 IV. Các dạng bài tập: .......................................................................................... 38 §1.5: CẤU TRÚC ĐẠI SỐ .................................................................................... 50 I. Cấu trúc nhóm: ................................................................................................ 51 II. Cấu trúc vành: .............................................................................................. 51 III. Cấu trúc trường: ........................................................................................... 51 IV. Bài tập:......................................................................................................... 51 CHƯƠNG II: ........................................................................................................ 56 MA TRẬN – ĐỊNH THỨC – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ........................................... 56 §2.1: MA TRẬN ................................................................................................... 56 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  3. lOMoARcPSD|16911414 I. Khái niệm: ...................................................................................................... 56 II. Các phép toán trên ma trận: .......................................................................... 57 III. Các tính chất: ............................................................................................... 58 IV. Các phép biến đổi sơ cấp với ma trận: .......................................................... 58 V. Cách biến đổi một ma trận về ma trận bậc thang: ......................................... 59 §2.2: ĐỊNH THỨC ................................................................................................ 62 I. Định nghĩa: ..................................................................................................... 62 III. Các phương pháp tính định thức: ................................................................. 63 IV. Ma trận nghịch đảo: ..................................................................................... 68 §2.3: HẠNG CỦA MA TRẬN .............................................................................. 71 I. Định nghĩa: ..................................................................................................... 71 II. Phương pháp tính hạng của ma trận: ............................................................ 71 III. Các ví dụ minh họa: ..................................................................................... 71 §2.4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ......................................................... 77 I. Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính: .............................................. 77 II. Giải hệ phương trình tổng quát bằng phương pháp Gauss: ........................... 77 CHƯƠNG III: ....................................................................................................... 89 KHÔNG GIAN VECTO ....................................................................................... 89 __________________________________________________ ............................. 89 §3.1: KHÔNG GIAN VECTO VÀ KHÔNG GIAN VECTO CON ....................... 89 I. Không gian vecto: ........................................................................................... 89 II. Không gian vecto con: ................................................................................. 91 III. Hệ sinh của một không gian vecto:............................................................... 93 §3.2: CƠ SỞ VÀ TỌA ĐỘ .................................................................................... 95 I. Độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính: .................................................... 95 II. Cơ sở và số chiều của không gian vecto: ...................................................... 98 III. Tọa độ: ....................................................................................................... 101 IV. Bài toán tìm số chiều và cơ sở của không gian vecto con sinh ra bởi một hệ vecto: ............................................................................................................................ 102 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  4. lOMoARcPSD|16911414 V. Bài toán đổi cơ sở: ..................................................................................... 108 CHƯƠNG IV: ..................................................................................................... 110 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH..................................................................................... 110 §4.1: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH ............................................................................ 110 I. Khái niệm: ....................................................................................................... 110 II. Ma trận của ánh xạ tuyến tính: ........................................................................ 112 III. Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính: ...................................................... 123 §4.2: TRỊ RIÊNG VÀ VECTO RIÊNG, BÀI TOÁN CHÉO HÓA ..................... 130 I. Trị riêng và vecto riêng của ma trận: ............................................................. 130 II. Trị riêng và vecto riêng của toán tử tuyến tính: .......................................... 131 III. Chéo hóa ma trận: ...................................................................................... 132 IV. Tìm một cơ sở để ma trận của một toán tử tuyến tính là ma trận chéo: ....... 134 CHƯƠNG V: ...................................................................................................... 138 DẠNG TOÀN PHƯƠNG, KHÔNG GIAN EUCLIDE ....................................... 138 §5.1: DẠNG TOÀN PHƯƠNG, DẠNG SONG TUYẾN TÍNH.......................... 138 I. Định nghĩa: ................................................................................................... 138 II. Ma trận của dạng song tuyến tính, dạng toàn phương:................................ 139 III. Bài toán xác định dấu của dạng toàn phương: ............................................ 139 §5.2: KHÔNG GIAN EUCLIDE ......................................................................... 141 I. Tích vô hướng và không gian có tích có hướng: ............................................ 141 II. Phép trực chuẩn hóa Gram-Schmidt: .......................................................... 146 III. Hình chiếu của một vecto lên một không gian vecto: ................................. 147 §5.3: RÚT GỌN MỘT DẠNG TOÀN PHƯƠNG ............................................... 157 I. Phương pháp Langrange: .............................................................................. 157 II. Phương pháp chéo hóa trực giao: ............................................................... 158 III. Bài toán nhận dạng đường cong phẳng:...................................................... 161 IV. Bài toán nhận diện mặt bậc hai: ................................................................. 164 V. Bài toán cực trị có điều kiện: ...................................................................... 168 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  5. lOMoARcPSD|16911414 Pham Thanh Tung CHƯƠNG I: TẬP HỢP – LOGIC – ÁNH XẠ - SỐ PHỨC ____________________________________________________ §1.1: LOGIC I. Các phép toán logic: 1. Phép phủ định: 𝐴 𝐴̅ 1 0 0 1 2. Phép hội: 𝐴 𝐵 𝐴∧𝐵 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Cách nhớ: Phép hội 𝐴 ∧ 𝐵 chỉ đúng khi cả 𝐴 và 𝐵 cùng đúng. 3. Phép tuyển: 𝐴 𝐵 𝐴∨𝐵 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Cách nhớ: Phép tuyển 𝐴 ∨ 𝐵 chỉ sai khi cả 𝐴 và 𝐵 cùng sai. 4. Phép kéo theo: 𝐴 𝐵 𝐴→𝐵 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  6. lOMoARcPSD|16911414 Pham Thanh Tung Cách nhớ: Từ cái sai thì suy ra điều gì cũng đúng, từ cái đúng thì không thể suy ra cái sai. 5. Phép tương đương: 𝐴 𝐵 𝐴↔𝐵 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Cách nhớ: Phép tương đương chỉ đúng khi 𝐴 và 𝐵 có cùng giá trị. II. Các tính chất của phép toán logic: 1. Tính giao hoán: 𝐴 ∧ 𝐵 ⇔ 𝐵 ∧ 𝐴, 𝐴 ∨ 𝐵 ⇔ 𝐵 ∨ 𝐴 2. Tính kết hợp: ( 𝐴 ∨ 𝐵 ) ∨ 𝐶 ⇔ 𝐴 ∨ (𝐵 ∨ 𝐶 ), ( 𝐴 ∧ 𝐵 ) ∧ 𝐶 ⇔ 𝐴 ∧ (𝐵 ∧ 𝐶 ) 3. Tính phân phối: 𝐴 ∧ (𝐵 ∨ 𝐶 ) ⇔ (𝐴 ∧ 𝐵 ) ∨ (𝐴 ∧ 𝐶 ), 𝐴 ∨ (𝐵 ∧ 𝐶 ) ⇔ (𝐴 ∨ 𝐵 ) ∧ (𝐴 ∨ 𝐶 ) 4. Tính chất của phép kéo theo: 𝐴 → 𝐵 ⇔ 𝐴̅ ∨ 𝐵 5. Tính chất của phép tương đương: 𝐴 ↔ 𝐵 ⇔ (𝐴 → 𝐵 ) ∧ (𝐵 → 𝐴) 6. Tính chất của phép phủ định: ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴̅ ∧ 𝐵̅, ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴 ∧ 𝐵 = 𝐴̅ ∨ 𝐵̅ III. Phương pháp làm bài: 1. Lập bảng giá trị chân lý.  Ưu điểm: dễ sử dụng, có thể giải quyết đa số bài tập.  Nhược điểm: khá dài dòng. ⇒ đi thi nên dùng cách này để tránh phải mất thời gian suy nghĩ, ít nhầm lẫn 2. Sử dụng các tính chất của các phép logic để biến đổi.  Ưu điểm: ngắn gọn.  Nhược điểm: đòi hỏi kĩ năng biến đổi tốt, nếu không nắm vững rất dễ biến đổi sai. ⇒ chỉ sử dụng khi đã thực sự thành thạo khả năng biến đổi. 3. Sử dụng phản chứng:  Ưu điểm: ngắn gọn. 2 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  7. lOMoARcPSD|16911414 Pham Thanh Tung  Nhược điểm: đòi hỏi khả năng tư duy cao. 4. Chú ý:  Mệnh đề 𝑝 → 𝑞 có thể được viết dưới dạng: o 𝑝 suy ra 𝑞 o Nếu 𝑝 thì 𝑞 o 𝑞 khi 𝑝 o 𝑝 chỉ khi 𝑞 o Giả thiết 𝑝, kết luận 𝑞  Mệnh đề 𝑝 ↔ 𝑞 có thể được viết dưới dạng: o 𝑞 khi và chỉ khi 𝑝 o 𝑞 nếu và chỉ nếu 𝑝 o 𝑝 là điền kiện cần và đủ cho 𝑞 IV. Các bài tập: VD1: Cho 𝑝, 𝑞 là các mệnh đề. Chứng minh biểu thức mệnh đề sau là hằng đúng. (𝑝 → 𝑞 ) ∨ 𝑞̅ Giải: Cách 1: Lập bảng trị chân lý: 𝑝 𝑞 𝑞̅ 𝑝→𝑞 (𝑝 → 𝑞 ) ∨ 𝑞̅ 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 Từ bảng trị chận lý ⇒ (𝑝 → 𝑞 ) ∨ 𝑞̅ là hằng đúng. Cách 2: Biến đổi (𝑝 → 𝑞 ) ∨ 𝑞̅ ⇔ (𝑝̅ ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑞̅ ⇔ 𝑝̅ ∨ (𝑞 ∨ 𝑞̅ ) ⇔ 𝑝̅ ∨ 1 ⇔ 1 (Do phép hội chỉ sai khi cả 2 mệnh đề cùng sai) VD2: Cho 𝑝, 𝑞 là các mệnh đề. Hai mệnh đề (𝑝̅ → 𝑞̅ ) ∧ 𝑞 và 𝑝 ∧ 𝑞 có tương đương logic không? Vì sao? Giải: Đặt 𝐴 là mệnh đề [(𝑝̅ → 𝑞̅ ) ∧ 𝑞 ] ↔ (𝑝 ∧ 𝑞 ) Lập bảng trị chân lý: 3 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  8. lOMoARcPSD|16911414 Pham Thanh Tung 𝑝 𝑞 𝑝̅ 𝑞̅ 𝑝̅ → 𝑞̅ (𝑝̅ → 𝑞̅ ) ∧ 𝑞 𝑝∧𝑞 𝐴 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 Vậy (𝑝̅ → 𝑞̅ ) ∧ 𝑞 và 𝑝 ∧ 𝑞 tương đương logic. VD3: Cho 𝑝, 𝑞 là các mệnh đề. Hỏi mệnh đề 𝑝 → 𝑞 và 𝑞 → 𝑝 có tương đương logic không? Vì sao? Giải: Lập bảng trị chân lý: 𝑝 𝑞 𝑝→𝑞 𝑞→𝑝 (𝑝 → 𝑞 ) ↔ (𝑞 → 𝑝) 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 Mệnh đề 𝑝 → 𝑞 và 𝑞 → 𝑝 không tương đương logic. VD4: Cho các mệnh đề 𝑝, 𝑞, 𝑟. Các mệnh đề (𝑝 → 𝑞 ) → 𝑟 và 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) có tương đương logic không? Tại sao? Giải: Đặt 𝐴 là mệnh đề [(𝑝 → 𝑞 ) → 𝑟] ↔ [𝑝 → (𝑞 → 𝑟)] Lập bảng trị chân lý: 𝑝 𝑞 𝑟 𝑝→𝑞 𝑞→𝑟 (𝑝 → 𝑞 ) → 𝑟 𝑝 → (𝑞 → 𝑟 ) 𝐴 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 Vậy (𝑝 → 𝑞 ) → 𝑟 và 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) không tương đương logic. 4 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  9. lOMoARcPSD|16911414 Pham Thanh Tung VD5: Cho 𝐴, 𝐵 là các mệnh đề. Chứng minh mệnh đề (𝐴̅ ∧ 𝐵) → 𝐵 là hằng đúng. Giải: Lập bảng trị chân lý: 𝐴 𝐵 𝐴̅ 𝐴̅ ∧ 𝐵 (𝐴̅ ∧ 𝐵) → 𝐵 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 Vậy (𝐴̅ ∧ 𝐵) → 𝐵 là hằng đúng. VD6: Cho các mệnh đề 𝐴 và 𝐵. Chứng minh hai mệnh đề 𝐴 → 𝐵 và 𝐴̅ ∨ 𝐵 tương đương logic. Giải: Lập bảng trị chân lý: 𝐴 𝐵 𝐴̅ 𝐴→𝐵 𝐴̅ ∨ 𝐵 (𝐴 → 𝐵) ↔ (𝐴̅ ∨ 𝐵) 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 Vậy hai mệnh đề 𝐴 → 𝐵 và 𝐴̅ ∨ 𝐵 tương đương logic. VD7: Cho 3 mệnh đề 𝑝, 𝑞, 𝑟. Biết 𝑝 → 𝑞 là mệnh đề đúng. Hỏi mệnh đề (𝑝 ∨ 𝑟) → (𝑞 ∨ 𝑟) đúng hay sai? Vì sao? Giải: Cách 1: lập bảng trị chân lý Do 𝑝 → 𝑞 là mệnh đề đúng nên sẽ xảy ra các trường hợp: 𝑝 𝑞 0 0 0 1 1 1 5 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  10. lOMoARcPSD|16911414 Pham Thanh Tung Lập bảng trị chân lý: 𝑝 𝑞 𝑟 𝑝∨𝑟 𝑞∨𝑟 (𝑝 ∨ 𝑟 ) → (𝑞 ∨ 𝑟 ) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vậy mệnh đề (𝑝 ∨ 𝑟) → (𝑞 ∨ 𝑟) đúng. Cách 2: biến đổi (𝑝 ∨ 𝑟) → (𝑞 ∨ 𝑟) ⇔ (̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑝 ∨ 𝑟) ∨ (𝑞 ∨ 𝑟) ⇔ (𝑝̅ ∧ 𝑟̅ ) ∨ (𝑞 ∨ 𝑟) ⇔ (𝑞 ∨ 𝑟) ∨ (𝑝̅ ∧ 𝑟̅ ) ⇔ (𝑞 ∨ 𝑟 ∨ 𝑝̅ ) ∧ (𝑞 ∨ 𝑟 ∨ 𝑟̅ ) ⇔ [(𝑝̅ ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟] ∧ [𝑞 ∨ (𝑟 ∨ 𝑟̅ )] ⇔ [(𝑝 → 𝑞 ) ∨ 𝑟] ∧ [𝑞 ∨ 1] ⇔ [ 1 ∨ 𝑟 ] ∧ 1 ⇔ 1 ∧ [ 1 ∨ 𝑟 ] ⇔ (1 ∧ 1) ∨ (1 ∧ 𝑟 ) ⇔ 1 ∨ (1 ∧ 𝑟 ) ⇔ 1 Vậy mệnh đề (𝑝 ∨ 𝑟) → (𝑞 ∨ 𝑟) đúng. VD8: Cho 𝐴, 𝐵, 𝐶 là các mệnh đề. Hỏi hai mệnh đề (𝐴̅ → 𝐵) ∧ 𝐶 và (𝐴 ∧ 𝐶 ) ∨ (𝐵 ∧ 𝐶 ) có tương đương logic không? Giải: Cách 1: Đặt mệnh đề [(𝐴̅ → 𝐵) ∧ 𝐶 ] ↔ [(𝐴 ∧ 𝐶 ) ∨ (𝐵 ∧ 𝐶 )] là 𝑋 Lập bảng trị chân lý: 𝐴 𝐵 𝐶 𝐴̅ 𝐴̅ → 𝐵 𝐴 ∧ 𝐶 𝐵 ∧ 𝐶 (𝐴̅ → 𝐵) ∧ 𝐶 (𝐴 ∧ 𝐶 ) ∨ (𝐵 ∧ 𝐶 ) 𝑋 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Vậy hai mệnh đề (𝐴̅ → 𝐵) ∧ 𝐶 và (𝐴 ∧ 𝐶 ) ∨ (𝐵 ∧ 𝐶 ) tương đương logic. Cách 2: Ta có: (𝐴̅ → 𝐵) ∧ 𝐶 ⇔ (𝐴̅ ∨ 𝐵) ∧ 𝐶 ⇔ (𝐴 ∨ 𝐵) ∧ 𝐶 ⇔ (𝐴 ∧ 𝐶 ) ∨ (𝐵 ∧ 𝐶) ⇒ [(𝐴̅ → 𝐵) ∧ 𝐶 ] ↔ [(𝐴 ∧ 𝐶 ) ∨ (𝐵 ∧ 𝐶 )] ⇔ [(𝐴 ∧ 𝐶 ) ∨ (𝐵 ∧ 𝐶)] ↔ [(𝐴 ∧ 𝐶 ) ∨ (𝐵 ∧ 𝐶 )] ⇔ 1 6 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  11. lOMoARcPSD|16911414 Pham Thanh Tung Vậy hai mệnh đề (𝐴̅ → 𝐵) ∧ 𝐶 và (𝐴 ∧ 𝐶 ) ∨ (𝐵 ∧ 𝐶 ) tương đương logic. VD9: Khẳng định sau đây là đúng hay sai? Giải thích! “Nếu 𝐴, 𝐵, 𝐶 là các tập hợp thỏa mãn 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐶 thì 𝐵 = 𝐶” Giải: Đặt mệnh đề “𝐴, 𝐵, 𝐶 là các tập hợp thỏa mãn 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐶” là 𝑝 Đặt mệnh đề “𝐵 = 𝐶” là 𝑞 ⇒ Mệnh đề “Nếu 𝐴, 𝐵, 𝐶 là các tập hợp thỏa mãn 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐶 thì 𝐵 = 𝐶” có thể được viết thành 𝑝 → 𝑞 Lập bảng trị chân lý: 𝑝 𝑞 𝑝→𝑞 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Từ bẳng trị chân lý ⇒ khẳng định đề bài là khẳng định sai. 1 −3 VD10: Mệnh đề “Hạng của ma trận 𝐴 = [ ] bằng một nên bất phương trình 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 ≤ 0 2 6 vô nghiệm” đúng hay sai? Tại sao? Giải: 1 −3 1 −3 𝐴=[ ]→[ ] ⇒ 𝑟 (𝐴 ) = 2 2 6 0 12 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ 𝑥 ≤ 5 1 −3 Đặt mệnh đề “Hạng của ma trận 𝐴 = [ ] bằng một” là 𝑝 ⇒ mệnh đề 𝑝 là mệnh đề sai. 2 6 Đặt mệnh đề “bất phương trình 𝑥 2 − 6𝑥 + 5 ≤ 0 vô nghiệm” là 𝑞 ⇒ mệnh đề 𝑞 là mệnh đề sai. Mệnh đề đề bài có thể viết thành 𝑝 → 𝑞. Bảng trị chân lý: 𝑝 𝑞 𝑝→𝑞 0 0 1 Vậy mệnh đề đề bài là mệnh đề đúng. 7 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  12. lOMoARcPSD|16911414 Pham Thanh Tung §1.2: Tập hợp I. Các phép toán trên tập hợp: 1. Phép hợp: 𝑥∈𝐴 𝑥∉𝐴 𝑥 ∈𝐴∪𝐵 ⇔[ , 𝑥 ∉𝐴∪𝐵 ⇔{ 𝑥∈𝐵 𝑥∉𝐵 *Đặc biệt: 𝐴 ∪ ∅ = ∅ ∪ 𝐴 = 𝐴 2. Phép giao: 𝑥∈𝐴 𝑥∉𝐴 𝑥 ∈𝐴∩𝐵 ⇔{ , 𝑥 ∉𝐴∩𝐵 ⇔[ 𝑥∈𝐵 𝑥∉𝐵 *Đặc biệt: 𝐴 ∩ ∅ = ∅ ∩ 𝐴 = ∅ 3. Phép trừ: 𝑥∈𝐴 𝑥∉𝐴 𝑥 ∈ 𝐴\𝐵 ⇔ { , 𝑥 ∉ 𝐴\𝐵 ⇔ [ 𝑥∉𝐵 𝑥∈𝐵 4. Phép lấy phần bù: Nếu 𝐴 ⊂ 𝑋 thì 𝐴̅ = 𝑋\𝐴 được gọi là phần bù của 𝐴 trong 𝑋. II. Tính chất của tập hợp: 1. Tính giao hoán: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴, 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴 2. Tính kết hợp: (𝐴 ∪ 𝐵 ) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶 ), (𝐴 ∩ 𝐵 ) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶 ) 3. Tính phân phối: 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶 ) = (𝐴 ∪ 𝐵 ) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶 ), 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶 ) = (𝐴 ∩ 𝐵 ) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶 ) 4. Tính chất của phép trừ: Nếu 𝐴, 𝐵 ⊂ 𝑋 thì 𝐴\𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵̅ 5. Công thức De Moorgan: ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐴̅ ∪ 𝐵̅, ̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴̅ ∩ 𝐵̅ 6. Đặc biệt: 𝐴 ∪ 𝐴̅ = 𝑋 𝐴∩𝑋=𝐴 Với 𝐴 ⊂ 𝑋 ⇒ 𝐴 ∪ 𝑋 = 𝑋 𝐴\𝑋 = ∅ { 𝑋\𝐴 = 𝐴̅ III. Phương pháp làm bài:  Phương pháp phần tử, kết hợp sơ đồ ven (dễ hiểu, dễ sử dụng) 𝑥∈𝐵⇒𝐴⊂𝐵  Cho hai tập hợp 𝐴, 𝐵, giả sử ∀𝑥 ∈ 𝐴 → [ 𝑥 ∉ 𝐵 ⇒ 𝐴 𝑘ℎô𝑛𝑔 ⊂ 𝐵  Phương pháp biến đổi tập hợp (cần kĩ năng biến đổi tốt) 8 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  13. lOMoARcPSD|16911414 Pham Thanh Tung o Sử dụng các tính chất của tập hợp để biến đổi tập hợp ở vế trái thành tập hợp ở vế phải hoặc ngược lại.  Phương pháp phản chứng (khó sử dụng nhất) Chú ý: Nếu dùng phương pháp phần tử để chứng minh 𝐴 = 𝐵 thì phải đi chứng minh 𝐴 ⊂ 𝐵 và 𝐵 ⊂ 𝐴. IV. Các bài tập: VD1: Cho 𝐴, 𝐵 là các tập hợp thỏa mãn 𝐴\𝐵 ⊂ 𝐵\𝐴. Chứng minh 𝐴⊂𝐵. Giải: 𝑥∈𝐴 𝑥∈𝐵 Giả sử: ∀𝑥 ∈ 𝐴\𝐵 ⇔ { (1). Mà 𝐴\𝐵 ⊂ 𝐵\𝐴 ⇒ 𝑥 ∈ 𝐵\𝐴 ⇔ { (2) 𝑥∉𝐵 𝑥∉𝐴 (1) và (2) mâu thuẫn nhau vì vậy để 𝐴\𝐵 ⊂ 𝐵\𝐴 xảy ra thì 𝐴\𝐵 = ∅ (Nhớ rằng tập hợp rỗng ∅ là con của mọi tập hợp) 𝐴\𝐵 = ∅ ⇒ ∀𝑦 ∈ 𝐴 đều ∈ 𝐵 ⇒ 𝐴⊂𝐵 VD2: Cho các tập hợp 𝐴, 𝐵, 𝐶. Chứng minh: [(𝐴 ∪ 𝐵)\𝐶 ] ⊂ [(𝐴\𝐵) ∪ (𝐵\𝐶 )] Giải: 𝑥∈𝐴 𝑥 ∈ 𝐴 { 𝑥 ∈ 𝐴\𝐶 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵 ) [ 𝑥∉𝐶 Giả sử: ∀𝑥 ∈ [(𝐴 ∪ 𝐵)\𝐶 ] ⇔ { ⇔{ 𝑥∈𝐵⇔[ ⇔[ 𝑥∉𝐶 𝑥∈𝐵 𝑥 ∈ 𝐵\𝐶 𝑥∉𝐶 { 𝑥∉𝐶 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)\𝐶 ⇔ [𝑥 ∈ 𝐴\(𝐵 ∪ 𝐶 ) 𝑥 ∈ 𝐵\𝐶 (Chia tập 𝐴\𝐶 thành 2 tập (𝐴 ∩ 𝐵)\𝐶 và 𝐴\(𝐵 ∪ 𝐶 ), có thể sử dụng sơ đồ ven để nhìn rõ hơn) [(𝐴 ∩ 𝐵)\𝐶 ] ⊂ 𝐵\𝐶 [(𝐴 ∩ 𝐵)\𝐶 ] ⊂ [(𝐴\𝐵) ∪ (𝐵\𝐶 )] [𝐴\(𝐵 ∪ 𝐶 )] ⊂ (𝐴\𝐵) Do ⇒ { (𝐴\𝐵) ⊂ [(𝐴\𝐵) ∪ (𝐵\𝐶 )] (𝐵\𝐶 ) ⊂ [(𝐴\𝐵) ∪ (𝐵\𝐶 )] (𝐵\𝐶 ) ⊂ [(𝐴\𝐵) ∪ (𝐵\𝐶 )] {(𝐴\𝐵) ⊂ [(𝐴\𝐵) ∪ (𝐵\𝐶 )] ⇒ 𝑥 ∈ [(𝐴\𝐵) ∪ (𝐵\𝐶 )] Vậy [(𝐴 ∪ 𝐵)\𝐶 ] ⊂ [(𝐴\𝐵) ∪ (𝐵\𝐶 )] VD3: Cho 𝐴, 𝐵, 𝐶 là các tập hợp. Chứng minh 𝐴\(𝐵 ∪ 𝐶 ) là tập con của (𝐵\𝐶 ) ∪ (𝐴\𝐵) Giải: 9 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  14. lOMoARcPSD|16911414 Pham Thanh Tung 𝑥∈𝐴 𝑥∈𝐴 Giả sử ∀𝑥 ∈ 𝐴\(𝐵 ∪ 𝐶 ) ⇔ { ⇔ { 𝑥 ∉ 𝐵 ⇒ 𝑥 ∈ (𝐴\𝐵) ⇒ 𝑥 ∈ [(𝐵\𝐶 ) ∪ (𝐴\𝐵)] 𝑥 ∉ (𝐵 ∪ 𝐶 ) 𝑥∉𝐶 Vậy 𝐴\(𝐵 ∪ 𝐶 ) ⊂ [(𝐵\𝐶 ) ∪ (𝐴\𝐵)] VD4: Cho các tập hợp con của 𝑅 là 𝐴 = [1,3], 𝐵 = (𝑚; 𝑚 + 3). Tìm 𝑚 để (𝐴\𝐵) ⊂ (𝐴 ∩ 𝐵). Giải: 𝑥∈𝐴 Giả sử: ∀𝑥 ∈ (𝐴\𝐵) ⇔ { (1) 𝑥∉𝐵 𝑥∈𝐵 ( ) Do (𝐴\𝐵) ⊂ (𝐴 ∩ 𝐵) ⇒ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵) ⇔ { 2 𝑥∈𝐴 (1) và (2) mâu thuẫn ⇒ (𝐴\𝐵) ⊂ (𝐴 ∩ 𝐵) xảy ra ⇔ (𝐴\𝐵) = ∅ (Tập rỗng là con của mọi tập hợp) 𝐴=𝐵 𝑚+3 >3 Với 𝐴 = [1,3], 𝐵 = (𝑚 ; 𝑚 + 3) để (𝐴\𝐵) = ∅ ⇔ [ ⇔{ ⇔0
  15. lOMoARcPSD|16911414 Pham Thanh Tung VD7: Cho 𝐴, 𝐵, 𝐶 là các tập hợp bất kì. Chứng minh rằng: [(𝐴 ∪ 𝐶 )\(𝐵 ∪ 𝐷) ] ⊂ [(𝐴\𝐵) ∪ (𝐶\𝐷) ] Giải: 𝑥∈𝐴 𝑥∈𝐴 {𝑥 ∉ 𝐵 [ 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ 𝐶 ) 𝑥∉𝐷 Giả sử: ∀𝑥 ∈ [(𝐴 ∪ 𝐶 )\(𝐵 ∪ 𝐷) ] ⇔ { ⇔{ 𝑥∈𝐶 ⇔ 𝑥 ∉ (𝐵 ∪ 𝐷 ) 𝑥∉𝐷 𝑥∈𝐶 { 𝑥∉𝐵 {𝑥 ∉ 𝐵 [ 𝑥∉𝐷 ⇒ 𝑥 ∈ [(𝐴\𝐵) ∪ (𝐶\𝐷) ] Vậy [(𝐴 ∪ 𝐶 )\(𝐵 ∪ 𝐷) ] ⊂ [(𝐴\𝐵) ∪ (𝐶\𝐷)] VD8: Cho hai tập hợp 𝐴, 𝐵 ⊂ 𝑋. Chứng minh 𝐴 ∪ (𝐵\𝐴) = 𝐴 ∪ 𝐵 Giải: 𝐴 ∪ (𝐵\𝐴) = 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐴̅) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐴̅) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝑋 = 𝐴 ∪ 𝐵 VD9: Cho các tập hợp 𝐴 = [𝑎 − 1, 𝑎], 𝐵 = [𝑏, 𝑏 + 1] với 𝑎, 𝑏 là các số thực. Tìm điều kiện của 𝑎, 𝑏 sao cho 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ Giải: Để 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ sẽ có 2 trường hợp TH1: tập 𝐵 “nằm” hoàn toàn bên phải tập 𝐴 trên trục số ⇔ 𝑏 > 𝑎 𝑎−1 𝑎 𝑏 𝑏+1 TH2: tập 𝐵 “nằm” hoàn toàn bên trái tập 𝐴 trên trục số ⇔ 𝑏 + 1 < 𝑎 − 1 ⇔ 𝑏 < 𝑎 − 2 𝑏 𝑏+1 𝑎−1 𝑎 VD10: Cho 𝐴, 𝐵, 𝐶 là ba tập hợp bất kì. Chứng minh rằng (𝐵\𝐴) ∩ 𝐶 = (𝐵\𝐴)\(𝐴 ∪ 𝐶̅ ) Giải: (𝐵\𝐴)\(𝐴 ∪ 𝐶̅ ) = (𝐵\𝐴) ∩ (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴 ∪ 𝐶̅ ) = (𝐵\𝐴) ∩ (𝐴̅ ∩ 𝐶̅ ) = (𝐵\𝐴) ∩ (𝐶 ∩ 𝐴̅) = (𝐵\𝐴) ∩ (𝐶\𝐴) = (𝐵\𝐴) ∩ 𝐶 Vậy (𝐵\𝐴) ∩ 𝐶 = (𝐵\𝐴)\(𝐴 ∪ 𝐶̅ ) 11 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  16. lOMoARcPSD|16911414 Pham Thanh Tung VD11: Cho 𝐴, 𝐵, 𝐶 là các tập hợp bất kì. Chứng minh: a) 𝐴 ∩ (𝐵\𝐶 ) = (𝐴 ∩ 𝐵)\(𝐴 ∩ 𝐶 ) b) 𝐴 ∪ (𝐵\𝐴) = 𝐴 ∪ 𝐵 c) (𝐴\𝐵) ∩ (𝐶\𝐷) = (𝐴 ∩ 𝐶 )\(𝐵 ∪ 𝐷) Giải: a) Giả sử 𝐴, 𝐵, 𝐶 ⊂ 𝑋 (𝐴 ∩ 𝐵)\(𝐴 ∩ 𝐶 ) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐴 ∩ 𝐶 ) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∩ (𝐴̅ ∪ 𝐶̅ ) = (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐴̅) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶̅ ) = [(𝐴 ∩ 𝐴̅) ∩ 𝐵] ∪ [(𝐴 ∩ 𝐶̅ ) ∩ 𝐵] = (∅ ∩ 𝐵) ∪ [(𝐴\𝐵) ∩ 𝐵] = ∅ ∪ [(𝐴\𝐶 ) ∩ 𝐵] = (𝐴\𝐶 ) ∩ 𝐵 Vậy 𝐴 ∩ (𝐵\𝐶 ) = (𝐴 ∩ 𝐵)\(𝐴 ∩ 𝐶 ) b) Giả sử 𝐴, 𝐵, 𝐶 ⊂ 𝑋 𝐴 ∪ (𝐵\𝐴) = 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐴̅) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐴̅) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝑋 = (𝐴 ∪ 𝐵) c) Giả sử 𝐴, 𝐵, 𝐶. 𝐷 ⊂ 𝑋 (𝐴 ∩ 𝐶 )\(𝐵 ∪ 𝐷) = (𝐴 ∩ 𝐶 ) ∩ (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝐵 ∪ 𝐷) = (𝐴 ∩ 𝐶 ) ∩ (𝐵̅ ∩ 𝐷 ̅) = 𝐴 ∩ 𝐶 ∩ 𝐵̅ ∩ 𝐷 ̅ = (𝐴 ∩ 𝐵̅) ∩ (𝐶 ∩ 𝐷 ̅) = (𝐴\𝐵) ∩ (𝐶\𝐷) 12 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  17. lOMoARcPSD|16911414 Pham Thanh Tung §𝟏. 𝟑: ÁNH XẠ I. Định nghĩa:  Cho 2 tập hợp 𝐸, 𝐹 ≠ ∅ và một phép biến đổi 𝑓. Khi đó 𝑓 được gọi là ánh xạ nếu với mỗi phần tử 𝑥 ∈ 𝐸 thông qua phép biến đổi 𝑓 tạo ra duy nhất một phần 𝑦 ∈ 𝐹 và kí hiệu 𝑦 = 𝑓(𝑥).  Kí hiệu ánh xạ: 𝑓: 𝐸 → 𝐹 Trong đó: 𝐸 là tập nguồn, 𝐹 là tập đích 𝑥 ↦ 𝑦 = 𝑓(𝑥). 𝑥 là nghịch ảnh, 𝑦 = 𝑓(𝑥 ) là ảnh. 𝑓 𝐸 → 𝐹 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝑥3 𝑦3 o VD1 𝑓: Người → Người . Bố ↦ Con Ở phép biến đổi 𝑓 này, dễ dàng nhận thấy rằng: 1 bố có thể có 1 con, 2 con, 3 con … ⇒ vi phạm định nghĩa ánh xạ ⇒ 𝑓 không là ánh xạ. o VD2: 𝑓: Người → Người . Con ↦ Bố Ở phép biến đổi 𝑓 này, dễ dàng nhận thấy rằng: 1 con thì chỉ có thể có duy nhất 1 bố ⇒ 𝑓 là một ánh xạ. o VD3: 𝑓: Địa phương → Địa phương Xã ↦ Huyện Dễ thấy rằng: 1 xã thì chỉ có thế thuộc duy nhất 1 huyện ⇒ 𝑓 là một ánh xạ. o VD4: 𝑓: Con người → Trường học Sinh viên ↦ Trường Đại học Dễ thấy rằng: Sinh viên hoàn toàn có thể học ở nhiều trường Đại học, có nhiều bằng ĐH ⇒ 𝑓 không là ánh xạ 13 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  18. lOMoARcPSD|16911414 Pham Thanh Tung o VD5: 𝑓 𝐸 → 𝐹 𝑥1 𝑦1 o 𝑥2 𝑦2 𝑥3 Phép biến đổi 𝑓 được mô tả ở hình vẽ trên là một ánh xạ. o VD6: 𝑓 𝐸 → 𝐹 𝑥1 𝑦1 o 𝑥2 𝑦2 𝑦3 Phép biến đổi 𝑓 được mô tả ở hình vẽ trên là một ánh xạ. o VD7: 𝑓 𝐸 → 𝐹 𝑥1 𝑦1 o 𝑥2 𝑦2 𝑥3 𝑦3 14 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  19. lOMoARcPSD|16911414 Pham Thanh Tung Phép biến đổi 𝑓 được mô tả ở hình vẽ trên là một ánh xạ. Các ví dụ trên là những ví dụ trong thực tế để mọi người có thể dễ dàng tiếp cận và hình dung về ánh xạ hơn. Trong các bài tập, ánh xạ thường được cho dưới dạng hàm số 𝑦 = 𝑓 (𝑥) với tập nguồn và tập đích là các tập hợp quen thuộc như: 𝑅, 𝑍, 𝑁, 𝐶, … ngoài ra sẽ được mở rộng thêm với tích Đề-các (𝑅2 , 𝑅3 , 𝐶 2 , … ). o VD8: 𝑓: 𝑅 → 𝑅 là một ánh xạ. 𝑥 ↦ 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 + 1 o VD9: 𝑓: 𝑅 → 𝑅 1 𝑥 ↦ 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥−1 1 Phép biến đổi 𝑓 ở VD5 không phải là 1 ánh xạ vì với 𝑥 = 1 ∈ 𝑅 thì sẽ không tồn tại 𝑓(𝑥 ) = 𝑥−1 ⇒ vi phạm định nghĩa của ánh xạ. o VD10: 𝑓: 𝑅 → 𝑅\{3} 𝑥 ↦ 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 + 2 Phép biến đổi 𝑓 ở VD6 không phải là 1 ánh xạ vì với 𝑥 = 1 ∈ R thì 𝑓 (1) = 3 ∉ R\{3} ⇒ vi phạm quy tắc ánh xạ. II. Tập ảnh và tập nghịch ảnh: Cho 𝑓: 𝐸 → 𝐹 là một ánh xạ, giả sử 𝐴 ⊂ 𝐸, 𝐵 ⊂ 𝐹. Ta có:  Tập ảnh ánh của 𝐴 qua ánh xạ 𝑓, kí hiệu: 𝑓 (𝐴) = {𝑦 = 𝑓(𝑥 ) ∈ 𝐹 | 𝑥 ∈ 𝐴}. 𝑓 𝑋 → 𝑌 𝑦2 𝑦3 𝐴 𝑓 (𝐴) 15 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
  20. lOMoARcPSD|16911414 Pham Thanh Tung  Tập nghịch ảnh của 𝐵 qua ánh xạ 𝑓, kí hiệu 𝑓 −1 (𝐵) = {𝑥 ∈ 𝐸 | 𝑓(𝑥 ) ∈ 𝐵}. 𝑓 𝑋 → 𝑌 𝑓 −1(𝐵 ) 𝐵 III. Đơn ánh, song ánh, toàn ánh: Cho 𝑓: 𝑋 → 𝑌 là một ánh xạ.  Đơn ánh: Ánh xạ 𝑓 được gọi là đơn ánh nếu: o 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) ⇔ 𝑥1 = 𝑥2 o Hay phương trình 𝑓 (𝑥 ) = 𝑦 có tối đa một nghiệm 𝑥 ∈ 𝑋 với ∀𝑦 ∈ 𝑌 𝑓 𝑋 → 𝑌 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝑦3 𝑥3  Toàn ánh: Ánh xạ 𝑓 được gọi là toàn ánh nếu: o Với mỗi 𝑦 ∈ 𝑌 đều tồn tại tối thiểu một giá trị 𝑥 ∈ 𝑋 sao cho 𝑓(𝑥 ) = 𝑦 o Hay phương trình 𝑓 (𝑥 ) = 𝑦 có tối thiểu 1 nghiệm 𝑥 ∈ 𝑋 với ∀𝑦 ∈ 𝑌. 𝑓 𝑋 → 𝑌 𝑦1 𝑥1 𝑦2 𝑥2 𝑥3 16 Downloaded by Nguynhavy Ha Vy (Ntkphuong205@gmail.com)
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2