TR NG ĐI H C S PH M TP. HCMƯỜ Ạ Ọ Ư Ạ
KHOA GIÁO D C TI U H CỤ Ể Ọ
Đ TÀI:Ề PH NG PHÁP GI I PH NG TRÌNHƯƠ Ả ƯƠ
NGHI M NGUYÊNỆ
Môn: C s Toán Ti u h c 3ơ ở ở ể ọ
Gi ng viên: ả
L p:ớ
Các thành viên cùng th c hi n:ự ệ
C S TOÁN TI U H C 3 – BT P GK Ơ Ở Ở Ể Ọ Ậ Ỳ
2
L I M ĐUỜ Ở Ầ
Không gi ng nh các ph ng trình nghi m th c hay nghi m ph c, ph ng trình ố ư ươ ệ ự ệ ứ ươ
nghi m nguyên khó gi i quy t h n vì đi u ki n ràng bu c nguyên c a ệ ả ế ơ ề ệ ộ ủ
nhi m. Vì v y v i ph ng trình nghi m nguyên, ta th ng không có ệ ậ ớ ươ ệ ườ
m t ph ng pháp ho c đnh h ng gi i c th nào nh v i ph ng ộ ươ ặ ị ướ ả ụ ể ư ớ ươ
trình nghi m th c và nghi m ph c. Tuy nhiên, ta có th áp d ng m t s ệ ự ệ ứ ể ụ ộ ố
ph ngươ pháp hi u qu đ gi i quy t l p ph ng trình này. Trong chuyên đ này ta s ệ ả ể ả ế ớ ươ ề ẽ
nêu ra m t s ph ng pháp gi i ph ng trình nghi m nguyên. Tùy vào t ng bài toán mà ta có nh ng ộ ố ươ ả ươ ệ ừ ữ
d u hi u nh n bi t đ ch n ph ng pháp thích h p.ấ ệ ậ ế ể ọ ươ ợ
C S TOÁN TI U H C 3 – BT P GK Ơ Ở Ở Ể Ọ Ậ Ỳ
3
PH NG PHÁP 1:ƯƠ XÉT S D C A T NG VỐ Ư Ủ Ừ Ế
Ví d 1:ụ Ch ng minh các ph ng trình sau không có nghi m nguyên:ứ ươ ệ
Gi iả
D ch ng minh chia cho 4 ch có s d 0 ho c 1 nênễ ứ ỉ ố ư ặ
chia cho 4 có s d 0, 1, 3. Còn v ph i 1998 chia cho 4 d 2. V y ph ng trình đã cho không có nghi mố ư ế ả ư ậ ươ ệ
nguyên.
chia cho 4 có s d là 0, 1 nên chia cho 4 có các s d 0, 1, 2. Còn v ph i 1999 chia cho 4 d 3.ố ư ố ư ế ả ư
V y ph ng trình không có nghi m nguyên.ậ ươ ệ
Ví d 2:ụ Tìm các nghi m nguyên c a ph ng trình:ệ ủ ươ
Gi iả
Bi n đi ph ng trình: ế ổ ươ
Ta th y v trái c a ph ng trình là s chia h t cho 3 d 2 nên chia h t cho 3 d 2.ấ ế ủ ươ ố ế ư ế ư
Ch có th : ỉ ể
Khi đó:
Th l i: , th a mãn ph ng trình đã cho.ử ạ ỏ ươ
Đáp s : v i là s nguyên tùy ý.ố ớ ố
PH NG PHÁP 2:ƯƠ ĐA V D NG T NGƯ Ề Ạ Ổ
Bi n đi ph ng trình v d ng: v trái là t ng c a các ph ng trình, v ph i là t ng c a các s chính ế ổ ươ ề ạ ế ổ ủ ươ ế ả ổ ủ ố
ph ng.ươ
Ví d :ụ Tìm các nghi m nguyên c a ph ng trình:ệ ủ ươ
Gi iả
B ng ph ng pháp th ch n ta th y 34 ch có m t d ng phân tích thành t ng c a hai s chính ph ng . ằ ươ ử ọ ấ ỉ ộ ạ ổ ủ ố ươ
Do đó ph ng trình th a mãn ch trong hai kh năng:ươ ỏ ỉ ả
ho c ặ
Gi i các h trên suy ra ph ng trình (1) có b n nghi m nguyên là: .ả ệ ươ ố ệ
PH NG PHÁP 3:ƯƠ DÙNG B T ĐNG TH CẤ Ẳ Ứ
Trong khi gi i các ph ng trình nghi m nguyên r t c n đánh giá các mi n giá tr c a các bi n, n u s ả ươ ệ ấ ầ ề ị ủ ế ế ố
giá tr mà bi n s có th nh n không nhi u có th dùng ph ng pháp th tr c ti p đ ki m tra. Đ đánh giá ị ế ố ể ậ ề ể ươ ử ự ế ể ể ể
đc mi n giá tr c a bi n s c n v n d ng linh ho t các tính ch t chia h t, đng d , b t đng th c …ượ ề ị ủ ế ố ầ ậ ụ ạ ấ ế ồ ư ấ ẳ ứ
1. Ph ng pháp s p x p th t các n:ươ ắ ế ứ ự ẩ
C S TOÁN TI U H C 3 – BT P GK Ơ Ở Ở Ể Ọ Ậ Ỳ
4
Ví d 1:ụ Tìm ba s nguyên d ng sao cho t ng c a chúng b ng tích c a chúng.ố ươ ổ ủ ằ ủ
Gi iả
G i các s nguyên d ng ph i tìm làọ ố ươ ả x, y, z. Ta có:
x+ y+ z= xyz (1)
Cách 1: Chú ý r ng các nằ ẩ x, y, z có vai trò bình đng trong ph ng trình nên có th s p x p th t giá ẳ ươ ể ắ ế ứ ự
tr c a các n, ch ng h n:ị ủ ẩ ẳ ạ 1 x yz
Do đó: xyz = x+ y+ z3z
Chia hai v c a b t đng th cế ủ ấ ẳ ứ xyz3z cho s d ng z ta đc:ố ươ ượ xy3
Do đó xy{1; 2; 3}
V iớ xy = 1, ta có x= 1, y= 1. Thay vào (1) đcượ 2+ z= z (lo i)ạ
V iớ xy = 2, ta có x= 1, y= 2. Thay vào (1) đcượ z= 3
V iớ xy = 3, ta có x= 1, y= 3. Thay vào (1) đcượ z= 2 (lo i vìạ yz)
V y ba s ph i tìm là 1; 2; 3.ậ ố ả
Cách 2: Chia hai v c a (1) choế ủ xyz 0 đc:ượ
+ + = 1
Gi sả ử x y z 1 ta có:
1= + + + + =
Suy ra 1 do đó z2 3 nên z = 1. Thay z = 1 vào (1):
x+ y+ 1= xy
⇔ xy – x– y= 1 ⇔x( y− 1) − ( y− 1) = 2 ⇔ ( x− 1)( y− 1) = 2
Ta có: x− 1 y− 10 nên ( x− 1, y− 1) = (2, 1)
Suy ra (x, y) = (3, 2)
Ba s ph i tìm là 1; 2; 3ố ả
Ví d 2:ụ Tìm nghi m nguyên d ng c a ph ng trình sau:ệ ươ ủ ươ
5( x+ y+ z+ t) + 10 = 2xyzt
Gi iả
Vì vai trò c aủ x, y, z, t nh nhau nên có th gi thi t:ư ể ả ế x ≥ y ≥ z ≥ t
Khi đó : 2xyzt = 5(x + y + z + t) +10 ≤ 20x + 10
⇒ yzt ≤ 15 ⇒t3 ≤ 15 ⇒ t≤ 2
V i t = 1 ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15ớ
⇒2 yz ≤ 30 ⇒2z2 ≤ 30 ⇒z ≤ 3
N u z = 1 thì 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay (2x – 5)(2y – 5) = 65ế
D th y r ng ph ng trình này có nghi m là:ễ ấ ằ ươ ệ
(x = 35; y = 3) và (x = 9; y = 5).
Gi i t ng t cho các tr ng còn l i và tr ng h pả ươ ự ườ ạ ườ ợ t= 2.
Cu i cùng ta tìm đc nghi m nguyên d ng c a ph ng trình đã cho làố ượ ệ ươ ủ ươ (x; y; z; t) = (35; 3; 1; 1);
(9; 5; 1; 1) và các hoán v c a các b s này.ị ủ ộ ố
2. Ph ng pháp xét t ng kho ng giá tr c a n: ươ ừ ả ị ủ ẩ
Ví d :ụ Tìm các nghi m nguyên d ng c a ph ng trình: ệ ươ ủ ươ + =
Gi iả
C S TOÁN TI U H C 3 – BT P GK Ơ Ở Ở Ể Ọ Ậ Ỳ
5