intTypePromotion=1

Chuyên đề: Bất đẳng thức Hình học

Chia sẻ: Huynh Duc Vu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:121

0
112
lượt xem
24
download

Chuyên đề: Bất đẳng thức Hình học

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề "Bất đẳng thức Hình" học được biên soạn với các nội dung: Bất đẳng thức hình học trong mặt phẳng, bất đẳng thức hình học trong không gian, thiết diện, phương pháp chứng minh chung trong các bài bất đẳng thức hình học trong không gian. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung chuyên đề.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề: Bất đẳng thức Hình học

Chuyên đ b t đ ng th c hình h c<br /> <br /> Nhóm 5<br /> <br /> PH N I: B T Đ NG TH C HÌNH H C TRONG M T<br /> PH NG.<br /> BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP KÉO THEO<br /> <br /> I . Sơ lư c v phương pháp kéo theo:<br /> Xu t phát t các b t đ ng th c đã bi t, v n d ng các tính ch t c a b t đ ng th c đ suy<br /> ra b t đ ng th c c n ch ng minh. Sau đây là các ví d :<br /> Vd<br /> S ABC<br /> <br /> 1: Cho tam giác ABC,<br /> 1<br /> 1<br /> ≤ AB. AC ; S ABC ≤ BM . AC<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> M<br /> <br /> AC.<br /> <br /> thu c<br /> <br /> Ch ng<br /> <br /> minh<br /> <br /> r ng:<br /> <br /> Gi i:<br /> B<br /> <br /> M<br /> <br /> A<br /> <br /> C<br /> <br /> H<br /> <br /> G i BH là đư ng cao c a tam giác ABC ⇒ BH ≤ AB<br /> 1<br /> 1<br /> S ABC = BH . AC ≤ AB. AC<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> M ∈ BC ⇒ BH ≤ BM ⇒ S ABC = BH . AC ≤ BM . AC<br /> 2<br /> 2<br /> B t đ ng th c đư c ch ng minh xong.<br /> <br /> Vd2: Cho tam giác ABC, AM là trung tuy n. Ch ng minh: AM ≤<br /> <br /> BC<br /> thì BAC ≥ 90o và<br /> 2<br /> <br /> ngư c l i.<br /> Gi i:<br /> B<br /> <br /> A<br /> <br /> M<br /> <br /> C<br /> <br /> D<br /> <br /> 3<br /> <br /> Chuyên đ b t đ ng th c hình h c<br /> <br /> Nhóm 5<br /> <br /> a) Gi s BAC < 90o .<br /> G i D là đi m đ i x ng c a A qua M. Suy ra AD=2AM. M là trung đi m hai đo n th ng<br /> BC và AD.<br /> <br /> ⇒ AB = DC & AB / / DC ⇒ BAC + ACD = 180O mà BAC < 90o<br /> ⇒ ACD > 90O ⇒ BAC < ACD<br /> Xét tam giác ABC và tam giác CDB có: AB=DC, BC là c nh chung, BAC < ACD<br /> BC<br /> Do đó: BC<br /> (Vô lí).<br /> 2<br /> ⇒ BAC ≥ 90o<br /> Vd 3: Cho t giác l i ABCD sao cho AB c t CD t i E, AD c t BC t i F, và E,F,C cùng<br /> thu c n a m t ph ng có b BD. Đ t AED = α , AFB = β ; và S ABCD = S . Ch ng minh<br /> r ng: AB.CD.sin α + AD.BC.sin β ≤ 2 S ≤ AB.CD + AD.BC .<br /> <br /> Gi i:<br /> <br /> F<br /> β<br /> D<br /> <br /> P<br /> <br /> β<br /> <br /> C<br /> K<br /> <br /> E<br /> <br /> α<br /> <br /> α<br /> B<br /> <br /> A<br /> <br />  ABF > α<br /> <br /> D th y: <br />  ACE > β<br /> <br />  BK / / DE<br /> * Trong ∆ABD ta l y đi m K sao cho <br />  DK / / BF<br /> 1<br /> 1<br /> T đó ta có S ACK + S ADK ≤ S ⇒ AB.BK .sin α + AD.DK .sin β ≤ S<br /> 2<br /> 2<br /> ⇔ AB.BK .sin α + AD.DK .sin β ≤ 2 S<br /> (1)<br /> D th y DKBC là hình bình hành.<br />  BK = CD<br /> (2)<br /> <br />  BC = DK<br /> Thay (2) vào (1) ta có:<br /> AB.CD.sin α + AD.BC.sin β ≤ 2 S<br /> (1)<br /> <br /> 4<br /> <br /> Chuyên đ b t đ ng th c hình h c<br /> <br /> Nhóm 5<br /> <br />  DP = BC<br /> * Trong n a m t ph ng có b là BD ta l y đi m P sao cho <br /> .<br />  BP = CD<br /> D th y<br /> 1<br /> 1<br /> S ABCD = S ABPD = S ADP + S ABP = AD.DP sin ADP + BA.BP.sin ABP<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> ≤ AD.DP + BA.BP<br /> 2<br /> 2<br /> ⇔ 2 S ≤ AB.CD + AD.BC<br /> V y AB.CD sin α + AD.BC.sin β ≤ 2 S ≤ AB.CD + AD.BC<br /> <br /> *M t s ki n th c thư ng dùng đ gi i tóan c c tr trong m t ph ng:<br /> - S d ng quan h gi a đư ng vuông góc và đư ng xiên, hình chi u.<br /> - Trong các tam giác vuông (có th suy bi n thành đo n th ng) có c nh góc vuông AH và<br /> c nh huy n AB thì AH ≤ AB . X y ra d u b ng khi H ≡ B .<br /> - Trong các đo n th ng n i t đi m đ n đư ng th ng, đo n nào vuông góc v i đư ng<br /> th ng là đo n th ng có đ dài nh nh t.<br /> - Trong các đo n th ng n i 2 đi m thu c hai đư ng th ng song song, đo n th ng vuông<br /> góc v i hai đư ng th ng song song có đ dài ng n nh t.<br /> - Trong hai đư ng xiên k t 1 đi m đ n cùng m t đư ng th ng, đư ng xiên l n hơn khi<br /> và ch khi hình chi u c a nó l n hơn.<br /> - M t t giác l i b ch a trong m t t giác khác (không nh t thi t là l i) thì chu vi c a t<br /> giác b ch a s nh hơn chu vi c a t giác ch a nó bên trong.<br /> - Đ dài đo n th ng n m trong m t đa giác l i không l n hơn đ dài đư ng chéo l n<br /> nh t..<br /> - Trong t t c các dây cung qua m t đi m cho trư c trong m t đư ng tròn thì dây cung có<br /> đ dài nh nh t là dây cung vuông góc v i đo n th ng n i tâm đư ng tròn v i đi m đó.<br /> - Trong các tam giác có cùng chu vi thì tam giác đ u có di n tích l n nh t.<br /> - M t đư ng th ng có th c t nhi u nh t hai c nh c a m t tam giác.(nguyên t c<br /> Dirichlet).<br /> <br /> * M t s ví d :<br /> Vd1: Cho đo n th ng AB có đ dài 2a. V v m t phía c a AB các tia Ax và By vuông<br /> góc v i AB. Qua trung đi m M c a AB có 2 đư ng th ng thay đ i luôn vuông góc v i<br /> nhau và c t Ax, By l n lư t t i C,D. Xác đ nh v trí c a các đi m C,D sao cho ∆MCD có<br /> di n tích nh nh t. Tính di n tích đó.<br /> Gi i:<br /> D<br /> 1<br /> <br /> H<br /> <br /> 2<br /> C<br /> <br /> a<br /> A<br /> <br /> M<br /> <br /> B<br /> <br /> 5<br /> <br /> Chuyên đ b t đ ng th c hình h c<br /> <br /> Nhóm 5<br /> <br /> G i K là giao đi m c a CM và DB,<br /> ∆MAC = ∆MBK ( gcg ) ⇒ MC = MK<br /> ∆DCK cân ⇒ D1 = D2<br /> K MH ⊥ CD Do M thu c phân giác góc D nên MH=MB=a.<br /> 1<br /> S MCD = CD.MH .<br /> 2<br /> Do CD ≥ AB = 2a & MH = a nên:<br /> 1<br /> S MCD ≥ 2a.a = a 2 ⇒ CD ⊥ Ax . Các đi m C,D đư c xác đ nh trên Ax, By sao cho<br /> 2<br /> AC=BD=a<br /> <br /> 1<br /> CP.MH . Sau khi ch ng minh MH không<br /> 2<br /> đ i, ta th y SMCD nh nh t khi và ch khi CD nh nh t.<br /> - N u bài toán trên không cho M là trung đi m AB thì ta ph i gi i quy t ra sao?<br /> * Trong l i gi i trên, SMCD đư c bi u th b i<br /> <br /> D<br /> <br /> C<br /> <br /> α<br /> A<br /> <br /> a<br /> <br /> M<br /> <br /> b<br /> <br /> B<br /> <br /> 1<br /> MC.MD, MAC = MDB = α (cùng ph BMD )<br /> 2<br /> a<br /> b<br /> ⇒ MC =<br /> , MD =<br /> nên<br /> cosα<br /> sin α<br /> 1<br /> ab<br /> S MCD =<br /> 2 sin α cos α<br /> Do a,b,c là h ng s nên SMCD nh nh t khi và ch khi 2 sin α cosα l n nh t.<br /> 2 sin α cos α ≤ sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ S MCD ≥ ab<br /> S MCD =<br /> <br /> min SMCD = ab ⇔ sin α = cos α ⇔ tan α = 1 ⇔ α = 45o<br /> ⇒ Các đi m C,D trên Ax, By đư c xác đ nh sao cho AC=AM, BD=BM<br /> Đây đư c xem là bài toán t ng quát.<br /> Vd 2: Cho ∆ABC có B là góc tù, D di đ ng trên BC. Xác đ nh v trí c a D sao cho t ng<br /> các kh ang cách t B và t C đ n đư ng th ng AD có giá tr l n nh t.<br /> 6<br /> <br /> Chuyên đ b t đ ng th c hình h c<br /> <br /> Nhóm 5<br /> <br /> Gi i:<br /> <br /> A<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> E<br /> AH .BC = BE. AD + CF . AD<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2S<br /> B<br /> D<br /> ⇒ BE + CF = ABC .<br /> Do<br /> đó H<br /> AD<br /> ( BE + CF ) max ⇔ AD min<br /> AD nh nh t khi và ch khi hình chi u HD nh nh t. HD ≥ HB và HD=HB khi D ≡ B<br /> Suy ra đpcm.<br /> Ta có : S ABC =<br /> <br /> C<br /> F<br /> <br /> Vd3: Cho tam giác ABC vuông có đ dài c nh góc vuông AB=6cm, AC=8cm. M là đi m<br /> di đ ng trên c nh huy n BC. G i D và E là chân các đư ng vuông góc k t M đ n AB<br /> và AC. Tính di n tích l n nh t c a t giác ADME.<br /> Gi i:<br /> Đ t AD = x thì ME = x . Theo Thalet:<br /> EM CE<br /> x CE<br /> 4<br /> 4<br /> =<br /> ⇒ =<br /> ⇒ CE = x ⇒ AE = 8 − x<br /> AB CA<br /> 6<br /> 8<br /> 3<br /> 3<br /> Ta có:<br /> 4 <br /> 4<br /> <br /> S ADME = AD. AE = x  8 − x  = 8 x − x 2<br /> 3 <br /> 3<br /> <br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> 2<br /> = − ( x 2 − 6 x ) = − ( x 2 − 6 x + 9 ) + 12 = − ( x − 3) + 12 ≤ 12<br /> 3<br /> 3<br /> 3<br /> S ADME = 12cm 2 ⇔ x = 3 ⇒ D là trung đi m c a AB, M là trung đi m BC, E là trung đi m<br /> AC.<br /> Vd4: Cho tam giác ABC, đi m M di chuy n trên c nh BC. Qua M k các đư ng th ng<br /> song song v i AC và AB, chúng c t AB và AC theo th t D và E. Xác đ nh v trí M sao<br /> cho ADME có Smax.<br /> Gi i:<br /> <br /> A<br /> K<br /> D<br /> H<br /> 1<br /> <br /> E<br /> 2<br /> <br /> B<br /> <br /> C<br /> x<br /> <br /> y<br /> <br /> G i SABC=S, SBDM=S1, SEMC=S2.<br /> S1 + S2<br /> min<br /> S<br /> Các ∆DBM & ∆EMC đ ng d nh v i ∆ABC nên:<br /> <br /> Ta nh n th y SADME max ⇔ ( S1 + S2 ) min ⇔<br /> <br /> 7<br /> <br />
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2