Chuyên đề: Bất đẳng thức Hình học

Chuyên đ b t đ ng th c hình h c<br /> <br /> Nhóm 5<br /> <br /> PH N I: B T Đ NG TH C HÌNH H C TRONG M T<br /> PH NG.<br /> BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP KÉO THEO<br /> <br /> I . Sơ lư c v phương pháp kéo theo:<br /> Xu t phát t các b t đ ng th c đã bi t, v n d ng các tính ch t c a b t đ ng th c đ suy<br /> ra b t đ ng th c c n ch ng minh. Sau đây là các ví d :<br /> Vd<br /> S ABC<br /> <br /> 1: Cho tam giác ABC,<br /> 1<br /> 1<br /> ≤ AB. AC ; S ABC ≤ BM . AC<br /> 2<br /> 2<br /> <br /> M<br /> <br /> AC.<br /> <br /> thu c<br /> <br /> Ch ng<br /> <br /> minh<br /> <br /> r ng:<br /> <br /> Gi i:<br /> B<br /> <br /> M<br /> <br /> A<br /> <br /> C<br /> <br /> H<br /> <br /> G i BH là đư ng cao c a tam giác ABC ⇒ BH ≤ AB<br /> 1<br /> 1<br /> S ABC = BH . AC ≤ AB. AC<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> M ∈ BC ⇒ BH ≤ BM ⇒ S ABC = BH . AC ≤ BM . AC<br /> 2<br /> 2<br /> B t đ ng th c đư c ch ng minh xong.<br /> <br /> Vd2: Cho tam giác ABC, AM là trung tuy n. Ch ng minh: AM ≤<br /> <br /> BC<br /> thì BAC ≥ 90o và<br /> 2<br /> <br /> ngư c l i.<br /> Gi i:<br /> B<br /> <br /> A<br /> <br /> M<br /> <br /> C<br /> <br /> D<br /> <br /> 3<br /> <br /> Chuyên đ b t đ ng th c hình h c<br /> <br /> Nhóm 5<br /> <br /> a) Gi s BAC < 90o .<br /> G i D là đi m đ i x ng c a A qua M. Suy ra AD=2AM. M là trung đi m hai đo n th ng<br /> BC và AD.<br /> <br /> ⇒ AB = DC & AB / / DC ⇒ BAC + ACD = 180O mà BAC < 90o<br /> ⇒ ACD > 90O ⇒ BAC < ACD<br /> Xét tam giác ABC và tam giác CDB có: AB=DC, BC là c nh chung, BAC < ACD<br /> BC<br /> Do đó: BC<br /> (Vô lí).<br /> 2<br /> ⇒ BAC ≥ 90o<br /> Vd 3: Cho t giác l i ABCD sao cho AB c t CD t i E, AD c t BC t i F, và E,F,C cùng<br /> thu c n a m t ph ng có b BD. Đ t AED = α , AFB = β ; và S ABCD = S . Ch ng minh<br /> r ng: AB.CD.sin α + AD.BC.sin β ≤ 2 S ≤ AB.CD + AD.BC .<br /> <br /> Gi i:<br /> <br /> F<br /> β<br /> D<br /> <br /> P<br /> <br /> β<br /> <br /> C<br /> K<br /> <br /> E<br /> <br /> α<br /> <br /> α<br /> B<br /> <br /> A<br /> <br />  ABF > α<br /> <br /> D th y: <br />  ACE > β<br /> <br />  BK / / DE<br /> * Trong ∆ABD ta l y đi m K sao cho <br />  DK / / BF<br /> 1<br /> 1<br /> T đó ta có S ACK + S ADK ≤ S ⇒ AB.BK .sin α + AD.DK .sin β ≤ S<br /> 2<br /> 2<br /> ⇔ AB.BK .sin α + AD.DK .sin β ≤ 2 S<br /> (1)<br /> D th y DKBC là hình bình hành.<br />  BK = CD<br /> (2)<br /> <br />  BC = DK<br /> Thay (2) vào (1) ta có:<br /> AB.CD.sin α + AD.BC.sin β ≤ 2 S<br /> (1)<br /> <br /> 4<br /> <br /> Chuyên đ b t đ ng th c hình h c<br /> <br /> Nhóm 5<br /> <br />  DP = BC<br /> * Trong n a m t ph ng có b là BD ta l y đi m P sao cho <br /> .<br />  BP = CD<br /> D th y<br /> 1<br /> 1<br /> S ABCD = S ABPD = S ADP + S ABP = AD.DP sin ADP + BA.BP.sin ABP<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> ≤ AD.DP + BA.BP<br /> 2<br /> 2<br /> ⇔ 2 S ≤ AB.CD + AD.BC<br /> V y AB.CD sin α + AD.BC.sin β ≤ 2 S ≤ AB.CD + AD.BC<br /> <br /> *M t s ki n th c thư ng dùng đ gi i tóan c c tr trong m t ph ng:<br /> - S d ng quan h gi a đư ng vuông góc và đư ng xiên, hình chi u.<br /> - Trong các tam giác vuông (có th suy bi n thành đo n th ng) có c nh góc vuông AH và<br /> c nh huy n AB thì AH ≤ AB . X y ra d u b ng khi H ≡ B .<br /> - Trong các đo n th ng n i t đi m đ n đư ng th ng, đo n nào vuông góc v i đư ng<br /> th ng là đo n th ng có đ dài nh nh t.<br /> - Trong các đo n th ng n i 2 đi m thu c hai đư ng th ng song song, đo n th ng vuông<br /> góc v i hai đư ng th ng song song có đ dài ng n nh t.<br /> - Trong hai đư ng xiên k t 1 đi m đ n cùng m t đư ng th ng, đư ng xiên l n hơn khi<br /> và ch khi hình chi u c a nó l n hơn.<br /> - M t t giác l i b ch a trong m t t giác khác (không nh t thi t là l i) thì chu vi c a t<br /> giác b ch a s nh hơn chu vi c a t giác ch a nó bên trong.<br /> - Đ dài đo n th ng n m trong m t đa giác l i không l n hơn đ dài đư ng chéo l n<br /> nh t..<br /> - Trong t t c các dây cung qua m t đi m cho trư c trong m t đư ng tròn thì dây cung có<br /> đ dài nh nh t là dây cung vuông góc v i đo n th ng n i tâm đư ng tròn v i đi m đó.<br /> - Trong các tam giác có cùng chu vi thì tam giác đ u có di n tích l n nh t.<br /> - M t đư ng th ng có th c t nhi u nh t hai c nh c a m t tam giác.(nguyên t c<br /> Dirichlet).<br /> <br /> * M t s ví d :<br /> Vd1: Cho đo n th ng AB có đ dài 2a. V v m t phía c a AB các tia Ax và By vuông<br /> góc v i AB. Qua trung đi m M c a AB có 2 đư ng th ng thay đ i luôn vuông góc v i<br /> nhau và c t Ax, By l n lư t t i C,D. Xác đ nh v trí c a các đi m C,D sao cho ∆MCD có<br /> di n tích nh nh t. Tính di n tích đó.<br /> Gi i:<br /> D<br /> 1<br /> <br /> H<br /> <br /> 2<br /> C<br /> <br /> a<br /> A<br /> <br /> M<br /> <br /> B<br /> <br /> 5<br /> <br /> Chuyên đ b t đ ng th c hình h c<br /> <br /> Nhóm 5<br /> <br /> G i K là giao đi m c a CM và DB,<br /> ∆MAC = ∆MBK ( gcg ) ⇒ MC = MK<br /> ∆DCK cân ⇒ D1 = D2<br /> K MH ⊥ CD Do M thu c phân giác góc D nên MH=MB=a.<br /> 1<br /> S MCD = CD.MH .<br /> 2<br /> Do CD ≥ AB = 2a & MH = a nên:<br /> 1<br /> S MCD ≥ 2a.a = a 2 ⇒ CD ⊥ Ax . Các đi m C,D đư c xác đ nh trên Ax, By sao cho<br /> 2<br /> AC=BD=a<br /> <br /> 1<br /> CP.MH . Sau khi ch ng minh MH không<br /> 2<br /> đ i, ta th y SMCD nh nh t khi và ch khi CD nh nh t.<br /> - N u bài toán trên không cho M là trung đi m AB thì ta ph i gi i quy t ra sao?<br /> * Trong l i gi i trên, SMCD đư c bi u th b i<br /> <br /> D<br /> <br /> C<br /> <br /> α<br /> A<br /> <br /> a<br /> <br /> M<br /> <br /> b<br /> <br /> B<br /> <br /> 1<br /> MC.MD, MAC = MDB = α (cùng ph BMD )<br /> 2<br /> a<br /> b<br /> ⇒ MC =<br /> , MD =<br /> nên<br /> cosα<br /> sin α<br /> 1<br /> ab<br /> S MCD =<br /> 2 sin α cos α<br /> Do a,b,c là h ng s nên SMCD nh nh t khi và ch khi 2 sin α cosα l n nh t.<br /> 2 sin α cos α ≤ sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ S MCD ≥ ab<br /> S MCD =<br /> <br /> min SMCD = ab ⇔ sin α = cos α ⇔ tan α = 1 ⇔ α = 45o<br /> ⇒ Các đi m C,D trên Ax, By đư c xác đ nh sao cho AC=AM, BD=BM<br /> Đây đư c xem là bài toán t ng quát.<br /> Vd 2: Cho ∆ABC có B là góc tù, D di đ ng trên BC. Xác đ nh v trí c a D sao cho t ng<br /> các kh ang cách t B và t C đ n đư ng th ng AD có giá tr l n nh t.<br /> 6<br /> <br /> Chuyên đ b t đ ng th c hình h c<br /> <br /> Nhóm 5<br /> <br /> Gi i:<br /> <br /> A<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> E<br /> AH .BC = BE. AD + CF . AD<br /> 2<br /> 2<br /> 2<br /> 2S<br /> B<br /> D<br /> ⇒ BE + CF = ABC .<br /> Do<br /> đó H<br /> AD<br /> ( BE + CF ) max ⇔ AD min<br /> AD nh nh t khi và ch khi hình chi u HD nh nh t. HD ≥ HB và HD=HB khi D ≡ B<br /> Suy ra đpcm.<br /> Ta có : S ABC =<br /> <br /> C<br /> F<br /> <br /> Vd3: Cho tam giác ABC vuông có đ dài c nh góc vuông AB=6cm, AC=8cm. M là đi m<br /> di đ ng trên c nh huy n BC. G i D và E là chân các đư ng vuông góc k t M đ n AB<br /> và AC. Tính di n tích l n nh t c a t giác ADME.<br /> Gi i:<br /> Đ t AD = x thì ME = x . Theo Thalet:<br /> EM CE<br /> x CE<br /> 4<br /> 4<br /> =<br /> ⇒ =<br /> ⇒ CE = x ⇒ AE = 8 − x<br /> AB CA<br /> 6<br /> 8<br /> 3<br /> 3<br /> Ta có:<br /> 4 <br /> 4<br /> <br /> S ADME = AD. AE = x  8 − x  = 8 x − x 2<br /> 3 <br /> 3<br /> <br /> 4<br /> 4<br /> 4<br /> 2<br /> = − ( x 2 − 6 x ) = − ( x 2 − 6 x + 9 ) + 12 = − ( x − 3) + 12 ≤ 12<br /> 3<br /> 3<br /> 3<br /> S ADME = 12cm 2 ⇔ x = 3 ⇒ D là trung đi m c a AB, M là trung đi m BC, E là trung đi m<br /> AC.<br /> Vd4: Cho tam giác ABC, đi m M di chuy n trên c nh BC. Qua M k các đư ng th ng<br /> song song v i AC và AB, chúng c t AB và AC theo th t D và E. Xác đ nh v trí M sao<br /> cho ADME có Smax.<br /> Gi i:<br /> <br /> A<br /> K<br /> D<br /> H<br /> 1<br /> <br /> E<br /> 2<br /> <br /> B<br /> <br /> C<br /> x<br /> <br /> y<br /> <br /> G i SABC=S, SBDM=S1, SEMC=S2.<br /> S1 + S2<br /> min<br /> S<br /> Các ∆DBM & ∆EMC đ ng d nh v i ∆ABC nên:<br /> <br /> Ta nh n th y SADME max ⇔ ( S1 + S2 ) min ⇔<br /> <br /> 7<br /> <br />