Luận văn Thạc sĩ: Cơ sở Wavelet trong không gian L2(R)

Trong bối cảnh khoa học công nghệ, đặc biệt là công nghệ thông tin và truyền thông phát triển mạnh mẽ, việc xử lý tín hiệu số ngày càng đóng vai trò quan trọng. Khái niệm wavelet, ra đời từ những năm 1970, đã trở thành công cụ hữu hiệu với nhiều ứng dụng thực tiễn. Luận văn này tập trung nghiên cứu cơ sở wavelet trong không gian L²(R), giải quyết các hạn chế của các cơ sở truyền thống.

Luận văn này hướng đến sinh viên, nghiên cứu sinh và các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực toán ứng dụng, giải tích hàm và xử lý tín hiệu, những người quan tâm đến lý thuyết và ứng dụng của wavelet.

Luận văn này trình bày chi tiết về cơ sở wavelet trong không gian Hilbert L²(R), một lĩnh vực quan trọng trong toán ứng dụng và xử lý tín hiệu. Mở đầu bằng việc giới thiệu các khái niệm cơ bản về không gian L²(R) và biến đổi Fourier, luận văn đi sâu vào định nghĩa và đặc trưng của cơ sở wavelet. Điểm nhấn quan trọng là việc trình bày Định lí Balian-Low, mô tả các điều kiện cần thiết để một hàm số có thể tạo thành cơ sở trực chuẩn thông qua phép tịnh tiến và phép nhân. Luận văn tiếp đó phát triển các phương pháp xây dựng cơ sở trực chuẩn trong không gian L²(R) bằng cách sử dụng phép chiếu trơn, một kỹ thuật cho phép phân hoạch không gian thành các phần trực giao. Các hàm hình chuông và khái niệm phân cực được áp dụng để xây dựng các phép chiếu này. Đặc biệt, luận văn khám phá việc tạo lập cơ sở trực chuẩn từ các hàm sin và cosin, giải quyết các "hiệu ứng cạnh" không mong muốn thường gặp ở các cơ sở cổ điển. Từ các phương pháp này, luận văn chỉ ra cách thức xây dựng cơ sở wavelet trực chuẩn một cách hiệu quả, cung cấp nền tảng lý thuyết vững chắc cho các ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật và khoa học.