Luận văn Thạc sĩ: Nghiên cứu dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn liên hệ mô hình hóa Toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

--------------

Phạm Anh Lý

Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số

: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập,những

trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Thị Nga, người

đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê Văn

Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung đã nhiệt tình

giảng dạy cho chúng tôi những kiến thức về didactic toán, cung cấp cho chúng tôi

những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu.

Ngoài ra tôi cũng xin chân thành cảm ơn:

- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng sau đại học Trường ĐHSP TP.HCM đã

tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khóa học.

- Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ toán Trường THCS Phường 1, thị

xã Gò Công – Tiền Giang đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi tiến hành thực nghiệm.

Xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các bạn cùng khóa, những

người đã cùng tôi chia sẻ những khó khăn trong suốt khóa học.

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến những người thân yêu trong

gia đình đã luôn động viên tôi hoàn thành khóa học.

PHẠM ANH LÝ

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC BẢNG

MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1

1. Những ghi nhận ban đầu ..................................................................................... 1

2. Câu hỏi nghiên cứu ............................................................................................. 3

3. Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu ............................................. 3

3.1. Nghiên cứu thể chế ....................................................................................... 3

3.2. Đồ án sư phạm ............................................................................................. 4

4. Tổ chức của luận văn .......................................................................................... 5

Chương 1: TỔNG HỢP MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VỀ MÔ HÌNH HÓA

TOÁN HỌC ................................................................................................... 6

1. Mô hình hóa toán học. Quá trình mô hình hóa toán học ..................................... 6

1.1. Mô hình hóa toán học ................................................................................... 6

1.2. Quá trình mô hình hóa toán học ................................................................... 9

1.3. Dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa ................................. 11

2. Lợi ích của mô hình hóa trong dạy học toán ..................................................... 12

3. Những khó khăn và trở ngại của việc dạy học mô hình hóa toán học .............. 14

4. Sự quan tâm đến dạy học mô hình hóa toán học ở các nước và ở Việt Nam ... 15

4.1. Ở Pháp ........................................................................................................ 15

4.2. Ở một số nước khác ................................................................................... 15

4.3. Ở Việt Nam ................................................................................................ 17

Chương 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG MỐI LIÊN HỆ VỚI MÔ

HÌNH HÓA TOÁN HỌC ............................................................................ 21

1. Ở bậc đại học ..................................................................................................... 22

1.1. Mô hình thu nhập quốc dân (Keynes) ........................................................ 24

1.2. Mô hình cân bằng thị trường ...................................................................... 25

1.3. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô ................................................................ 27

1.4. Kết luận ...................................................................................................... 28

2. Ở bậc phổ thông ................................................................................................ 29

2.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - giai đoạn công cụ ngầm ẩn .................. 29

2.2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - giai đoạn đối tượng và công cụ tường

minh ................................................................................................................... 33

2.2.1. Phân tích chương trình ........................................................................ 33

2.2.2. Phân tích sách giáo khoa ..................................................................... 34

2.2.3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK10................................... 46

2.3. Kết luận ...................................................................................................... 48

Chương 3: THỰC NGHIỆM (ĐỒ ÁN DẠY HỌC) ................................................. 52

1. Mục đích thực nghiệm....................................................................................... 52

2. Nội dung thực nghiệm ....................................................................................... 53

2.1. Giới thiệu các tình huống thực nghiệm ...................................................... 53

2.2 Dàn dựng kịch bản ...................................................................................... 55

3. Đối tượng thực nghiệm ..................................................................................... 57

4. Phân tích tiên nghiệm ........................................................................................ 57

4.1. Biến và giá trị của chúng ............................................................................ 57

4.2. Chiến lược và cái có thể quan sát được, ảnh hưởng của biến .................... 59

4.2.1. Phiếu số 1 ............................................................................................ 59

4.2.2. Phiếu số 2 và phiếu số 3 ...................................................................... 59

4.2.3. Phiếu số 4 ............................................................................................ 64

4.2.4. Phiếu số 5 ............................................................................................ 64

4.3. Phân tích kịch bản ...................................................................................... 66

5. Phân tích hậu nghiệm ........................................................................................ 68

5.1. Ghi nhận tổng quát ..................................................................................... 68

5.2. Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm ....................................................... 69

5.2.1. Pha 1 .................................................................................................... 69

5.2.2. Pha 2 và pha 3: Tiếp cận và sử dụng hệ phương trình ........................ 70

5.2.3. Pha 4: Thể chế hóa .............................................................................. 77

5.2.4. Pha 5 và pha 6: Vận dụng ................................................................... 79

6. Kết luận ............................................................................................................. 83

KẾT LUẬN ............................................................................................................... 85

TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 88

PHỤ LỤC 1: ĐỒ ÁN ................................................................................................ 90

PHỤ LỤC 2: MỘT SỐ BÀI LÀM CỦA HỌC SINH............................................... 94

PHỤ LỤC 3: Protocole ........................................................................................... 101

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

BTĐS10 : Bài tập Đại số 10 cơ bản.

HS : Học sinh.

GV : Giáo viên.

PTTT : Phương trình tuyến tính.

SGK : Sách giáo khoa.

SGK4 : Sách giáo khoa toán lớp 4.

SGK5 : Sách giáo khoa toán lớp 5.

SGK8 : Sách giáo khoa toán lớp 8.

SGK9 : Sách giáo khoa toán lớp 9 tập 2.

SGK10 : Sách giáo khoa Đại số 10 cơ bản.

SGK10NC : Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao.

SGV : Sách giáo viên.

SGV9 : Sách giáo viên toán lớp 9 tập 2.

SGV10 : Sách giáo viên Đại số 10 cơ bản.

THCS : Trung học cơ sở.

THPT : Trung học phổ thông.

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1. Giá trị các biến được lựa chọn trong tình huống ....................................... 58

Bảng 2. Thống kê số nhóm giải theo chiến lược ..................................................... 68

Bảng 3. Thống kê kết quả pha 1 .............................................................................. 69

Bảng 4. Thống kê chiến lược giải các nhóm trong pha 2 và pha 3 ......................... 70

Bảng 5. Thống kê kết quả pha 5 .............................................................................. 79

MỞ ĐẦU

1. Những ghi nhận ban đầu

Trong chương trình toán phổ thông, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là một

chủ đề quan trọng xuyên suốt từ bậc tiểu học đến bậc trung học. Nó không chỉ xuất

hiện trong chương trình môn toán mà còn hiện diện như một công cụ trong nhiều

môn học khác và trong thực tiễn cuộc sống. Ngoài ra, hệ phương trình tuyến tính

cũng là một chủ đề quan trọng trong chương trình toán cao cấp ở bậc đại học.

Những ghi nhận này thúc đẩy chúng tôi đi tìm hiểu việc dạy và học tri thức hệ

phương trình tuyến tính.

Ngày nay, mục đích lớn nhất của việc dạy học toán là phải mang lại cho học

sinh những kiến thức phổ thông, những kỹ năng cơ bản để bước vào cuộc sống sau

này. Ngoài ra, đa số học sinh phổ thông sau này không phải là người làm toán mà là

người sử dụng toán cho nên việc dạy học toán cần phải chuẩn bị cho học sinh khả

năng áp dụng kiến thức linh hoạt vào thực tiễn cuộc sống, hình thành và nâng cao

năng lực tự học của học sinh. Để đạt được mục đích này, việc chú trọng vấn đề mô

hình hóa trong dạy học là thật sự cần thiết.

Chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA (Programme for International

Student Assessment) là chương trình hợp tác của các quốc gia thành viên của tổ

chức Hợp tác và phát triển kinh tế (OECD – Organization for Economic

Cooperation and Development) đánh giá mức độ chuẩn bị của học sinh tuổi mười

lăm nhằm đáp ứng những thách thức của xã hội. Bắt đầu từ năm 1997, chương trình

PISA đánh giá theo chu kỳ ba năm một lần với quy mô toàn cầu, hiện đã có trên 70

quốc gia và nền kinh tế tham gia. Chương trình PISA đưa ra cho học sinh những

vấn đề được đặt trong các tình huống lấy từ thực tế cuộc sống và được xây dựng sao

cho toán học giải quyết các vấn đề đó. Mục tiêu của điều tra PISA là xác định trong

chừng mực nào học sinh có khả năng khai thác các tri thức và kĩ năng toán học của

họ để giải quyết các vấn đề được đặt ra. Chương trình này không chỉ đánh giá kiến

thức mà còn xem xét những khả năng, kĩ năng cần thiết của học sinh trong độ tuổi

mười lăm trong việc áp dụng kinh nghiệm và kiến thức của mình vào giải quyết các

vấn đề thực tế. Dưới đây là một ví dụ đã được PISA đưa ra đánh giá: Bài toán “Đèn

“Hội đồng thành phố quyết định dựng một cây đèn đường trong một công viên nhỏ hình tam giác sao cho nó chiếu sáng toàn bộ công viên.

Người ta nên đặt nó ở đâu?”

đường”.

[The Pisa (2003); tr.26]

Chương trình PISA làm nổi bật vai trò của mô hình hóa trong toán học cũng

như trong các khoa học khác.

Từ ghi nhận về tầm quan trọng của mô hình hóa trong dạy học và vai trò

công cụ của hệ phương trình tuyến tính trong việc giải quyết các bài toán thực tế,

chúng tôi xác định chủ đề nghiên cứu của mình là dạy học hệ phương trình tuyến

tính trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học.

Về vấn đề mô hình hóa trong chương trình toán trung học Việt Nam, nghiên

“Vấn đề dạy học mô hình hóa không hề được đề cập trong chương trình và sách giáo khoa ở Việt Nam. Sách giáo khoa chỉ đưa vào các bài tập áp dụng kiến thức toán để giải quyết một số vấn đề thực tế. Trong các bài tập, những mô hình toán học (…) được cung cấp trong đề bài và thực tế đã được mô hình hóa chỉ là cái cớ để làm việc toán học trong mô hình đã được xác định rõ.”

cứu của tác giả Nguyễn Thị Nga (2011) đã đưa ra kết luận như sau:

Theo tác giả này, việc dạy học mô hình hóa ở Việt Nam và Pháp thực sự đặt ra một

“Như vậy, thực sự tồn tại một vấn đề dạy học: hoặc người ta tránh dạy học mô hình hóa bằng cách xây dựng mối quan hệ giữa toán học và các môn khoa học khác như mối quan hệ ứng dụng (Việt Nam), hoặc người ta khuyến khích sự quan tâm đến mô hình hóa nhưng không cung cấp cho giáo viên những phương tiện để dạy học nó (Pháp)”. [Nguyễn Thị Nga (2011); tr.318]

vấn đề:

Liên quan đến hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn, chúng tôi có ghi

nhận việc trình bày của sách giáo khoa lớp 9 về tri thức này như sau: Nêu bài toán

thực tiễn→Trình bày định nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn → Trình bày các

cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn → Củng cố bằng cách giải các hệ phương

trình, các bài toán thực tiễn. Bài toán thực tiễn ban đầu được đưa vào chỉ nhằm mục

đích dẫn dắt vào bài học. SGK9 đưa vào định nghĩa hệ phương trình trực tiếp bằng

ngôn ngữ toán học, tách rời với bài toán thực tiễn ban đầu. Các bài toán thực tiễn

khác chỉ được giải quyết sau khi các kiến thức về hệ phương trình đã được trình

bày. Như vậy, ở đây, mối liên hệ giữa toán học và vấn đề thực tiễn là mối quan hệ

ứng dụng. Câu hỏi cần thiết đặt ra là liệu có thể đưa vào hệ phương trình tuyến tính

bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với mô hình hóa hay không?

2. Câu hỏi nghiên cứu

Những ghi nhận trên dẫn chúng tôi đến việc đặt ra một số câu hỏi ban đầu

để định hướng cho nghiên cứu như sau:

1) Hệ phương trình tuyến tính và sự mô hình hóa toán học bởi hệ phương

trình tuyến tính được trình bày như thế nào ở bậc đại học? Chúng nhằm giải

quyết những vấn đề gì?

2) Việc nghiên cứu hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn được thể hiện

như thế nào trong chương trình toán ở bậc phổ thông? Có sự chênh lệch nào

giữa tri thức toán học và tri thức cần giảng dạy về đối tượng hệ phương trình

tuyến tính bậc nhất hai ẩn? Việc dạy học tri thức này có mối liên hệ nào với

việc mô hình hóa toán học?

3) Liệu có thể tổ chức dạy học hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn

bằng mô hình hóa trong đó có tính đến các điều kiện và ràng buộc của thể

chế?

3. Phương pháp nghiên cứu và mục đích nghiên cứu

3.1. Nghiên cứu thể chế

Chúng tôi thực hiện nghiên cứu này nhằm trả lời các câu hỏi 1 và 2.

Để nghiên cứu thể chế chúng tôi dựa vào lý thuyết nhân chủng học. Lý

thuyết này nghiên cứu và chỉ ra tầm quan trọng của mối quan hệ thể chế với đối

tượng tri thức; đưa vào khái niệm tổ chức toán học để làm rõ đặc trưng của mối

quan hệ thể chế với đối tượng tri thức đã chọn.

Phân tích các kiểu nhiệm vụ liên quan đến hệ phương trình tuyến tính và các

tổ chức toán học liên quan giúp chúng tôi làm rõ mối quan hệ thể chế với đối tượng

tri thức này và lý do của các lựa chọn của thể chế. Chúng tôi nghiên cứu thể chế dạy

học hệ phương trình tuyến tính trong mối liên hệ với mô hình hóa ở bậc đại học làm

tham chiếu cho thể chế dạy học ở bậc phổ thông. Việc nghiên cứu đồng thời hai thể

chế và so sánh chúng với nhau giúp chúng tôi hiểu rõ ràng buộc thể chế đối với đối

tượng hệ phương trình tuyến tính ở bậc phổ thông.

Ngoài ra khái niệm hợp đồng sư phạm giúp chúng tôi tìm hiểu ứng xử của

giáo viên và học sinh: có những quy tắc ngầm ẩn nào liên quan đến việc dạy học hệ

phương trình tuyến tính được hình thành giữa họ?

Chúng tôi cụ thể hóa các câu hỏi 1 và 2 như sau:

CH1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, hệ phương trình tuyến tính được trình

bày như thế nào? Vai trò công cụ của hệ phương trình tuyến tính là gì? Việc mô

hình hóa bằng hệ phương trình tuyến tính cho phép giải quyết những vấn đề thực

tiễn nào?

CH2: Trong thể chế dạy học ở bậc phổ thông, hệ phương trình tuyến tính bậc nhất

hai ẩn xuất hiện ngầm ẩn, tường minh khi nào? Có sự tiến triển nào qua các giai

đoạn? Việc dạy học các bài toán thực tiễn gắn liền với hệ phương trình tuyến tính

được trình bày như thế nào trong chương trình phổ thông? Việc dạy học mô hình

hóa, dạy học bằng mô hình hóa hệ phương trình tuyến tính được quan tâm như thế

nào và có những đặc trưng, ràng buộc gì?

3.2. Đồ án sư phạm

Dựa vào khái niệm đồ án dạy học trong lý thuyết tình huống kết hợp với lý

thuyết mô hình hóa chúng tôi sẽ xây dựng một tình huống dạy học hệ phương trình

tuyến tính bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa. Tình huống này được xây dựng theo

các ràng buộc thể chế.

Có thể trình bày phương pháp luận nghiên cứu theo sơ đồ:

NGHIÊN CỨU TRI THỨC KHOA HỌC Thể chế dạy học bậc đại học

NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY Thể chế dạy học PT ở Việt Nam

GIẢ THUYẾT NGHIÊN CỨU

NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ĐỒ ÁN DẠY HỌC

4. Tổ chức của luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận và các chương sau:

Chương 1: Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu về mô hình hóa toán học.

Trong chương này chúng tôi trình bày hai phần:

- Các khái niệm chung về mô hình hóa toán học.

- Tổng hợp một số kết quả nghiên cứu về mô hình hóa.

Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học.

Trong chương này chúng tôi sẽ phân tích hai thể chế (thể chế dạy học ở bậc đại học

và thể chế dạy học phổ thông) để làm rõ các đặc trưng của việc dạy học hệ phương

trình tuyến tính trong mối liên hệ với mô hình hóa. Cụ thể, kiểu nhiệm vụ “Giải bài

toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình” sẽ được xem xét trong cả hai thể chế để

so sánh các đặc trưng, ràng buộc của chúng.

Chương 3: Thực nghiệm (Đồ án dạy học).

Trong chương này chúng tôi xây dựng, thực nghiệm và phân tích tình huống

dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa.

Chương 1:

TỔNG HỢP MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

VỀ MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

1. Mô hình hóa toán học. Quá trình mô hình hóa toán học

1.1. Mô hình hóa toán học

Trong ba thập kỷ qua, các nhà nghiên cứu nhấn mạnh tầm quan trọng và thảo

luận về vai trò của mô hình toán học và các ứng dụng trong toán học giảng dạy và

học tập (Pollak, 1970; Blum Niss năm 1991; Lesh & Doerr, 2003). Henry Pollak

(1970) ghi nhận rằng truyền thống toán học giảng dạy nên chuyển từ việc hiểu “Đây

là một bài toán, giải quyết bài toán” hoặc “Đây là một định lý, chứng minh điều

đó", sang việc hiểu "Ở đây là một tình huống, suy nghĩ về nó”. Ông cũng chỉ ra rằng

có một nhu cầu mạnh mẽ để cho phép sinh viên khám phá một tình huống có vấn

đề, đặt ra các giả thuyết và tìm hiểu các công cụ thích hợp hoặc định lý họ cần sử

dụng để giải quyết tình hình trong thế giới thực dựa trên tình huống đó.

Ngày nay, mô hình hóa được hầu hết mọi người ưa chuộng, giải quyết vấn

đề, hoạt động học tập và các hoạt động khác, liên kết toán học với các đối tượng

khác, có thể đóng góp phần nào trong việc hướng tới ý nghĩa của việc học tập và

“Theo Từ điển bách khoa toàn thư, mô hình hóa là sự chuyển đổi trừu tượng một thực tiễn cụ thể nhằm mục đích mô tả thế giới trực giác hay thế giới đã được quan niệm hóa bằng ngôn ngữ tự nhiên. Sự chuyển đổi này được đặt dưới sự kiểm tra của tư duy lôgic hay tư duy toán học. Nói cách khác, mô hình hóa toán học là sự giải thích toán học cho một hệ thống ngoài toán học nhằm trả lời cho những câu hỏi mà người ta đặt ra trên hệ thống này.”

giảng dạy toán học.

[Quách Huỳnh Hạnh (2009); tr.8]

Mô hình toán học có thể được thể hiện thông qua đồ thị, bảng biểu, phương

trình, hệ thống các phương trình…

Mô hình hóa toán học có vai trò hết sức quan trọng, ứng dụng trong nhiều

lĩnh vực khác nhau của khoa học và cuộc sống. Những tình huống được mô hình

hóa có tình huống trong toán học và cả tình huống ngoài toán học.

Một số ví dụ về mô hình toán học:

+ Trong sinh học: Mô hình về sự phát triển của dân số. Một mô hình đơn giản cho

bài toán này là mô hình phát triển Malthus, là một mô hình mô tả sự tăng trưởng

của dân số theo hàm mũ dựa trên sự bất biến của tỉ lệ của hệ số phức. Mô hình này

được đặt theo tên của Thomas Malthus. Mô hình này xác định bởi công thức:

P(t) = P0er.t

Với P0: Số dân ban đầu (Initial Population); r: tỉ lệ tăng trưởng, t: thời gian.

Tuy nhiên, theo Joel E. Cohen thì sự đơn giản của mô hình đưa ra chỉ hữu ích cho

việc dự đoán trong khoảng thời gian ngắn, và không tốt nếu áp dụng cho khoảng

thời gian 10 hay 20 năm hoặc lâu hơn. Để khắc phục yếu điểm này Pierre Francois

Verhulst đã phát triển mô hình hàm logistic (logistic function) vào năm 1838.

+ Trong kinh tế: Mô hình mô tả hành vi (có lí trí) của một khách hàng. Khách

hàng mong muốn mua nhiều nhất các mặt hàng trong số tiền hiện có. Trong mô

hình này, ta xem xét trường hợp một khách hàng phải lựa chọn để mua trong số n

mặt hàng được đánh nhãn 1,2,...,n, mỗi thứ có giá là p1, p2,..., pn. Giả thiết rằng

khách hàng có một hàm tiện ích U với mục đích là gán một giá trị (tương ứng cho

số lượng) với mỗi mặt hàng mà khách hàng định mua x1, x2,..., xn. Mô hình còn giả

thiết là khách hàng sở hữu số tiền giá trị M dùng để mua các mặt hàng và mục đích

là cực đại U(x1, x2,..., xn). Bài toán cần giải quyết về mô hình hành vi của khách

max

,...,

)

( U x x 1 2

x n

hàng trở thành bài toán tối ưu hóa, nghĩa là:

p x M i i

≤∑

= 1

≥ ∀ ∈

thỏa mãn:

} n

{ 1, 2,...,

Mô hình này được sử dụng trong lý thuyết cân bằng chung, đặc biệt dùng để chứng

minh sự tồn tại và tối ưu hóa Pareto của cân bằng kinh tế. Tuy nhiên, việc sử dụng

mô hình này gán giá trị số để phân mức thỏa mãn của khách hàng vẫn là vấn đề

tranh cãi.

+ Trong vật lí: Mô hình biểu diễn cho một hạt (phần tử) trong trường-điện thế

(potential-field). Trong mô hình này, một phần tử được xem là một khối điểm m với quĩ đạo của nó được mô hình bởi hàm x: R → R3, với tọa độ của nó trong không gian là một hàm theo thời gian. Trường-điện thế được cho bởi hàm V: R3 → R và

= −

( ) x t

quĩ đạo là nghiệm của phương trình sai phân:

(

)

( ( ) grad V x t

)

d dt

Chú ý mô hình này lấy giả thiết phần tử là một khối điểm, điều mà không đúng

trong nhiều trường hợp, ví dụ: mô hình cho chuyển động của hành tinh.

+ Trong cơ học cổ điển: Mô hình dao động của dây, của màng; mô hình chuyển

động của tên lửa; mô hình chuyển động của tàu ngầm... Một dạng đặc biệt của dao

động có chu kỳ chiếm vị trí quan trọng trong thực tế là dao động điều hòa. Về mặt

động học dao động điều hòa được miêu tả bởi hệ thức:

q = Asin(kt + α)

Ở đây: q là toạ độ của điểm dao động tính từ vị trí trung bình của nó (chọn làm gốc

toạ độ); A là toạ độ của q ứng với độ lệch lớn nhất của điểm về một phía và được

gọi là biên độ dao động; (kt + α) là argument của sin gọi là pha dao động; α là pha

ban đầu; k là tần số vòng (riêng) của dao động. Tần số riêng k liên quan với chu kỳ

rad s

(

)

π 2 T

T bởi hệ thức:

T 1 = T π 2

Số lần dao động trong một đơn vị thời gian được tính theo công thức:

1.2. Quá trình mô hình hóa toán học

Quá trình mô hình hóa vấn đề thực tiễn được thực hiện theo sơ đồ sau: (Theo

Nguyễn Thị Nga (2011))

Sơ đồ này chia quá trình mô hình hóa thành 4 bước: (Tham khảo Nguyễn Thị Nga

(2011))

- Bước 1: Chuyển hệ thống ngoài toán học thành một mô hình trung gian.

Xây dựng mô hình định tính của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan

trọng nhất và xác lập những quy luật mà chúng phải tuân theo. Mô hình trung gian

giữa tình huống ngoài toán học và mô hình toán học cần xây dựng biểu thị một cấp

độ trừu tượng hóa đầu tiên của “thực tiễn”. Mô hình này tiến triển từ từ qua việc mô

hình hóa: một mô hình trung gian có thể gần về ngữ nghĩa ít hoặc nhiều hơn so với

tình huống thực tế được xem xét hoặc so với mô hình toán học cần xây dựng.

- Bước 2: Chuyển mô hình trung gian thành mô hình toán học, tức là diễn tả

lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình định tính. Khi có mô hình trung gian

ta chọn các biến đặc trưng cho các yếu tố của tình huống đang xét. Từ đó dẫn đến

việc lập mô hình toán học thiết lập mối quan hệ giữa các biến số và các tham số của

tình huống. Như vậy mô hình hóa toán học là trừu tượng hóa dưới dạng ngôn ngữ

toán học của hiện tượng thực tế, cần phải được xây dựng sao cho việc phân tích nó

cho phép ta hiểu được bản chất của hiện tượng.

- Bước 3: Hoạt động toán học trong mô hình toán học. Sử dụng các công cụ

toán học để khảo sát và giải quyết mô hình toán học hình thành ở bước thứ hai. Căn

cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho

phù hợp.

- Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba. Trở

lại tình huống được nghiên cứu để chuyển câu trả lời của vấn đề toán học thành câu

trả lời của những câu hỏi ban đầu và đối chiếu chúng với thực tiễn được mô hình

hóa.

Trong bước này có hai khả năng:

* Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế.

* Khả năng 2: Mô hình và các kết quả tính toán không phù hợp với thực tế. Khi đó

cần xem xét các nguyên nhân sau:

- Tính chính xác của lời giải toán học, thuật toán, quy trình.

- Mô hình định tính đã xây dựng chưa phản ánh đầy đủ vấn đề đang xét.

- Tính thỏa đáng của mô hình toán học đang xây dựng.

- Các số liệu ban đầu không phản ánh đúng thực tế.

Có thể phải thực hiện lại quy trình cho đến khi tìm mô hình toán học thích hợp cho

tình huống đang xét.

Ngoài ra theo Coulange (1998), bước 1 chuyển bài toán thực tiễn thành bài

toán phỏng thực tiễn như là tiến hành mô tả các vấn đề bản chất của một hệ thống,

tình huống cần giải quyết để đưa vào một bài toán phỏng thực tiễn bằng cách loại

bỏ những chi tiết không quan trọng làm cho bài toán có nội dung thực tiễn trở nên

dễ hiểu và dễ nắm bắt hơn. Từ đó, xác định các yếu tố, khía cạnh cốt lõi của hệ

thống rút ra những mối liên hệ, điều kiện, ràng buộc liên quan đến các yếu tố cốt lõi

của hệ thống.

Những bước của quy trình mô hình hóa trên chỉ có ý nghĩa với tình huống

thực tế thực sự, còn đối với những tình huống trong dạy – học toán ở trường phổ

thông chỉ là những tình huống nhân tạo liên quan đến một số chủ đề toán học. Quá

trình mô hình hóa chỉ chủ yếu thực hiện bước 2, bước 3 và quá trình mô hình hóa

dừng lại khi chu kỳ chỉ có một.

1.3. Dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa

Theo Lê Thị Hoài Châu (2011) “Để nâng cao năng lực hiểu biết toán1 cho

học sinh, không thể coi nhẹ việc dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học để

giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra”. Mô hình hóa toán học không thể

thiếu trong việc nâng cao năng lực hiểu biết của học sinh, do đó việc áp dụng mô

hình hóa vào dạy – học toán ở trường phổ thông là rất cần thiết. Việc giảng dạy toán

ở trường phổ thông thường có thể theo hai tiến trình sau (Tham khảo Lê Văn Tiến

“…, dạy học mô hình hoá là dạy học cách thức xây dựng mô hình toán học của thực tiễn, nhắm tới trả lời cho những câu hỏi, vấn đề nảy sinh từ thực tiễn.

…, quy trình daïy hoïc coù theå là: Dạy học tri thức toán học lí thuyết → Vận dụng các tri thức này vào việc giải các bài toán thực tiễn và do đó vào việc xây dựng mô hình của thực tiễn.

Quy trình này làm mất đi vai trò động cơ của các bài toán thực tiễn và do đó làm mất đi nguồn gốc thực tiễn của các tri thức toán học: tri thức toán học không còn nảy sinh từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tiễn.

Quan niệm “Dạy học bằng mô hình hoá” cho phép khắc phục khiếm khuyết này. Theo quan niệm này, vấn đề là dạy học toán thông qua dạy học mô hình hoá. Như vậy, tri thức toán học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải quyết các bài toán thức tiễn. Quy trình dạy học tương ứng có thể là:

Bài toán thực tiễn → Xây dựng mô hình toán học → Câu trả lời cho bài toán thực tiễn→ Tri thức cần giảng dạy → Vận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn.”

(2005)):

[Lê Văn Tiến (2005); tr.171-172]

Tiến trình dạy học bằng mô hình hoá đã khắc phục được khuyết điểm của

tiến trình dạy học mô hình hoá và giúp học sinh nâng cao khả năng vận dụng toán

sống, đưa ra những phán xét có cơ sở và gắn kết với toán học theo những cách khác nhau nhằm đáp ứng nhu

cầu cuộc sống của cá nhân đó với tư cách là một công dân có tinh thần xây dựng, biết quan tâm và biết phản

ánh.” (xem [2]).

1 “Hiểu biết toán là năng lực của một cá nhân, cho phép xác định và hiểu vai trò của toán học trong cuộc

học vào cuộc sống hằng ngày. Điều này rất cần thiết trong dạy – học toán ở trường

phổ thông hiện nay. Việc tăng cường dạy toán thông qua dạy học bằng mô hình hóa

giúp học sinh có khả năng áp dụng nhiều hơn vào các môn học khác (mô hình toán

học cũng được sử dụng nhiều trong các môn vật lý, hóa học, sinh học,…) cũng như

cuộc sống hằng ngày.

2. Lợi ích của mô hình hóa trong dạy học toán

Hiện nay, nhiều chương trình giáo dục mong muốn nâng cao năng lực hiểu

biết toán học cho học sinh và khả năng ứng dụng toán học vào cuộc sống. Từ năm

1997 chương trình đánh giá quốc tế PISA ra đời chú trọng đánh giá khả năng sử

dụng các kiến thức đã học vào thực tế và năng lực xử lý các tình huống mà các học

sinh có thể sẽ đối mặt trong cuộc sống sau khi rời ghế nhà trường. Điều này cho

thấy vai trò của mô hình hóa trong dạy – học toán ngày càng được chú trọng.

Mô hình hóa cho phép làm rõ lợi ích của toán học, giúp phát triển ở học sinh

khả năng phê phán đối với việc giải quyết các vấn đề trong cuộc sống thực tiễn,

chuẩn bị cho họ những kiến thức và kỹ năng cần thiết cho hoạt động nghề nghiệp đa

dạng sau này và nối liền toán học với các môn học khác.

Theo W.Blum (1993), gần đây trong dạy – học toán đã có một xu hướng thay

đổi, đó là xu hướng nhấn mạnh quá trình chuyển đổi về mô hình toán học (bước 1

và bước 2: quá trình “dịch” tình huống ban đầu về mô hình toán học). Ngày nay, có

nhiều lý do khác nhau để ứng dụng mô hình hóa trong giảng dạy toán. W.Blum

(1993) đã đề cập đến bốn lý do chính sau đây:

- Toán học được thiết kế để giúp học sinh hiểu và đối phó với tình huống và

các vấn đề của thế giới thực.

- Học sinh cần được học các chủ đề toán học như là một nguồn cho sự phản

ánh, hoặc để tạo ra một hình ảnh toàn diện và cân bằng của toán học như một khoa

học và một phần của lịch sử và văn hóa của con người.

- Chúng ta hy vọng học sinh có được trình độ chung (chẳng hạn như khả

năng để giải quyết vấn đề) hoặc thái độ (chẳng hạn như sự cởi mở đối với những

tình huống mới). Mô hình hóa là một trong những cách quan trọng để phát triển các

vấn đề này.

- Nội dung toán học có thể thúc đẩy hoặc củng cố bằng các ví dụ mô hình

hóa phù hợp, và có thể góp phần hướng tới sự hiểu biết sâu sắc hơn và duy trì lâu

hơn các chủ đề toán học, hoặc nó có thể cải thiện thái độ của học sinh đối với toán

học.

Theo quan điểm của Barbosa (2002), mô hình hóa như là một môi trường

học tập thuận lợi để tìm hiểu các lĩnh vực khác của kiến thức thông qua toán học

“Mô hình hóa là một môi trường học tập mà học sinh được mời đến để tìm hiểu và /

hoặc điều tra, bằng phương tiện của toán học, những tình huống phát sinh trong

các lĩnh vực kiến thức khác.”

Lợi ích của mô hình hóa trong dạy học toán thật rõ ràng và ngày càng được

rất nhiều người quan tâm đến. Theo Aslan Doosti & Alireza M.Ashtiani, việc ứng

“• Các học sinh quan tâm trong một hoạt động như mô hình hóa toán học nhiều hơn so với học tập các bối cảnh, giải quyết một số vấn đề, và tìm hiểu làm thế nào để giải quyết một phương trình. […]

• Các học sinh tìm hiểu làm thế nào để kết nối với các tình huống khác, đặc biệt là các tình huống vật lý, trong thực tế học sinh sẽ cảm thấy được chuẩn bị nhiều cho việc sử dụng của toán học trong các lĩnh vực khác;

• Việc học tập sẽ có một ý nghĩa thực sự, nói cách khác, nó trở nên dễ dàng kết nối với các tình huống và các vấn đề khác;

• Hầu hết các học sinh dễ nhớ một vấn đề mô hình hóa mà họ đã dành nhiều thời gian so với một phương trình toán học;

• Việc này có thể xảy ra ở bất kỳ mức độ giáo dục, tiểu học và giáo dục trung học; […]”

dụng mô hình hóa trong dạy học toán có những ưu điểm sau:

Tuy nhiên, trong giáo dục toán học ở các nước khác nhau có những mục tiêu

khác nhau và có những lý luận khác nhau cho việc tích hợp mô hình hóa với giảng

dạy toán học.

3. Những khó khăn và trở ngại của việc dạy học mô hình hóa toán học

Mặc dù mô hình hóa rất có ích trong việc tổ chức dạy học toán học ở trường

phổ thông nhưng cũng có không ít trở ngại, theo Werner Blum (1993) và Aslan

Doosti & Alireza M.Ashtiani thì có các trở ngại sau:

- Những trở ngại từ quan điểm của giáo viên. Lựa chọn các vấn đề để thảo luận

trong lớp học không phải là đơn giản, trong thực tế đó là nghệ thuật của giáo viên.

Một tình huống thực tế thực sự hay một tình huống nhân tạo ở mức độ mô hình hóa

như thế nào? Tình huống như thế nào là phù hợp, đủ cho việc giảng dạy? Điều này

đòi hỏi giáo viên phải đầu tư rất nhiều và những cái họ có trong tay phải được cập

nhật và phải được điều chỉnh phù hợp cho từng lớp học, ngoài ra cũng đòi hỏi khả

năng quản lý tình hình mở trong lớp học của giáo viên.

- Những trở ngại từ quan điểm của học sinh. Mô hình hoá làm cho bài học và các kỳ

thi toán học được yêu cầu cao hơn và khó dự đoán hơn. Các học sinh không muốn

thử nghiệm một phương pháp tiếp cận mới. Vì vậy, giáo viên cần thiết phải chọn

được một vấn đề hoặc tình huống hay, kích thích tính tò mò của học sinh.

Từ hai trở ngại trên chúng tôi thấy, việc thiết kế những tình huống dạy học

mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa để chuyển giao cho giáo viên áp dụng

vào thực tế dạy học là một việc làm thực sự cần thiết. Việc thiết kế này đòi hỏi phải

được thực hiện theo một phương pháp luận chặt chẽ và phải được thực nghiệm kiểm

chứng (nghiên cứu tri thức luận và nghiên cứu thực tiễn dạy học).

- Những trở ngại từ quan điểm dạy và đánh giá. Mô hình hoá đòi hỏi mất nhiều thời

gian hơn so với các phương pháp truyền thống. Mô hình hoá thật khó khăn để đánh

giá, và những gì không kiểm tra sẽ không được thực hiện nghiêm túc bởi các học

sinh hoặc giáo viên.

Trở ngại này cho thấy để tạo ra “vùng sống” cho mô hình hóa trong dạy học

ở trường phổ thông, cần thiết phải thay đổi cách kiểm tra, đánh giá. Nếu kiểm tra,

đánh giá chỉ dựa trên việc đánh giá kiến thức toán học của học sinh thì việc dạy học

mô hình hóa sẽ khó được thực hiện bởi ảnh hưởng của tư tưởng “học để thi”. Ngược

lại, nếu các đề thi, đề kiểm tra tập trung vào việc kiểm tra khả năng mô hình hóa

toán học của học sinh (khả năng áp dụng toán học vào giải quyết các vấn đề thực

tiễn, khả năng xây dựng mô hình toán học,…) thì mô hình hóa sẽ có “đất sống”

trong dạy học toán ở trường phổ thông.

4. Sự quan tâm đến dạy học mô hình hóa toán học ở các nước và ở Việt Nam

4.1. Ở Pháp

Theo nghiên cứu của Nguyễn Thị Nga (2011), tương tự như nhiều nước

khác, thể chế Pháp mong muốn đưa mô hình hóa vào dạy học toán và các môn học

“Trong luật về định hướng và chương trình cho tương lai của trường học (23/05/2005), liên quan đến phạm vi văn hóa khoa học và công nghệ, việc thực hành một “phương pháp tiếp cận khoa học” được yêu cầu như một năng lực của học sinh. Phương pháp đó được mô tả như sau:

- Biết quan sát, đặt câu hỏi, trình bày một giả thuyết và hợp thức hóa nó, tranh luận, mô hình hóa theo cách cơ bản;

- Hiểu sự liên hệ giữa các hiện tượng tự nhiên và ngôn ngữ toán học được áp dụng ở đó và hỗ trợ mô tả các hiện tượng này.”

khác.

[Nguyễn Thị Nga (2011); tr.315]

Tài liệu kèm theo chương trình lớp Terminale2 S, ES đã đưa vào tường minh những

“Ở cấp độ THPT, chúng ta hướng dẫn bước đầu cho học sinh việc mô hình hóa nhờ vào một số tình huống thực tế mà chúng ta cố ý làm đơn giản hóa đến mức tối đa và vì vậy đối với chúng, mô hình thô đã được thiết lập trở nên sáng sủa hoặc cho phép đưa ra một dự đoán: khó khăn lúc đó là việc giữ lại nghĩa và sự nhất quán cho vấn đề được đơn giản hóa.”

chỉ dẫn về việc giảng dạy mô hình hóa ở THPT:

[Nguyễn Thị Nga (2011); tr.316]

4.2. Ở một số nước khác

Phần này được trích từ Werner Blum (1993) - Mathematical modelling in

mathematics education and instruction, Mathematics Department, Kassel

2 Tương đương lớp 12 của Việt Nam

University, Germany. Ở các nước, có nhiều tài liệu về dạy học bằng mô hình hóa và

dạy học mô hình hóa được chính thức phát hành ở tất cả các cấp độ từ tiểu học đến

“Ở Úc

- Hai tập tài liệu của Carr và Galbraith (1987, 1991) từ các dự án PAM, với các ví dụ chi tiết và các bài giảng dạy cho các cấp độ thấp hơn trung học, bao gồm một loạt các đối tượng trong và ngoài toán học.

- Hai cuốn sách của Lovitt và Clarke (1988), một bộ sưu tập các ví dụ chi tiết cho các cấp độ thấp hơn trung học, hướng tới hoạt động của học sinh.

- Hai cuốn sách của Lowe (1988, 1991), với rất nhiều ví dụ chi tiết cho lớp 7- 12, bao gồm một loạt các đối tượng, chủ yếu là đề cập đến máy tính như một công cụ.

- Ở Úc, cũng có nhiều nỗ lực hướng tới phương thức đánh giá mới cho chương trình giảng dạy theo định hướng mô hình hóa (xem Clatworthy và Galbraith, 1991).

trung học phổ thông và đại học.

Ở Hà Lan

- Các Viện Freudenthal (trước năm 1991 được gọi là OW & OC) tại Đại học Utrecht đã phát triển rất nhiều tài liệu, bao gồm cả sách giáo khoa, cho tất cả các lớp ở trường tiểu học (các dự án Wiskobas Treffers et al), trung học phổ thông (các dự án Hewet de Lange et al ), và gần đây cho cấp thấp hơn trung học. Nhiều loại tài liệu cũng đã được xuất bản bằng tiếng Anh, đặc biệt là trong kết nối với các dự án Madison (xem de Lange, 1992). Tất cả các tài liệu được cấu trúc theo chủ đề toán học, và các ví dụ mô hình hóa nhằm hỗ trợ việc học toán học.

Ở Anh

- Một số tập tài liệu Toán thông qua dự án giải quyết vấn đề, phát triển tại Trung tâm Shell Giáo dục toán học tại Đại học Nottingham (liên quan đến Burkhardt et al).

- Toán học với doanh nghiệp từ Trung tâm Sáng tạo trong giảng dạy Toán tại đại học Exeter (Burghes et al). […]

- Một loạt các tập tài liệu cho các cấp độ A-Tập đoàn Spode (1992), với các ví dụ chi tiết để sử dụng trực tiếp trong lớp học.

Ở Mỹ

- Hai các cuốn sách có rất nhiều ví dụ mô hình từ Hiệp hội Toán học và ứng dụng của nó (liên quan đến Garfunkel, Aragon, Malkevitch et al) Modules HIMAP (1985-1992) cho cấp trung học và các Modules UMAP (1981- 1992) cấp độ đại học và trung học phổ thông.

- Cuốn sách viết bởi Garfunkel Steen (1991), giới thiệu các ứng dụng toán học trong thực tế gần đây, đặc biệt là kết nối với máy tính, phù hợp với cấp trung học và đại học, với một số chủ đề toán học như được nêu ra bên ngoài chương trình dạy học hiện nay.

- Một loạt các sách giáo khoa theo định hướng ứng dụng (1989-1992) của trường Đại học Chicago School Toán dự án (liên quan đến Usiskin, Bell et al), bao gồm số học, đại số, hình học, thống kê, vi tích phân và toán học rời rạc.

- Từ NCTM giới thiệu toán học cao đẳng (1988), được phát triển bởi Trường Khoa học và Toán học Bắc Carolina (Teague et ai), và một cuốn sách bởi Swetz và Hartzler (1991) với các ví dụ mô hình cho cấp trung học, định hướng hoạt động của sinh viên.

Ở Đức

- MUED dự án (MatheInatik-Unterrichtseinheiten-Datei liên quan đến Boer, Volk et al) đã phát triển một số bài giảng dạy chi tiết toàn cầu nhằm tăng khả năng làm việc thành thạo của học sinh trong các tình huống thực tế.

- Một số dự án tại các thỏa thuận cấp độ đại học với thực tế sử dụng của toán học trong ngành công nghiệp và sử dụng chúng trong việc đào tạo các nhà toán học hoặc giáo viên toán học trong tương lai. Một ví dụ là nghiên cứu trong trường hợp của Knauer (1992).”

Như vậy vấn đề dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa đã được

nhiều nước quan tâm, ứng dụng vào dạy học toán. Đặc biệt, các tài liệu hỗ trợ dạy

học mô hình hóa với các tình huống cụ thể đã được soạn thảo để cung cấp cho giáo

viên sử dụng. Điều này là thực sự có ý nghĩa để tạo “vùng sống” cho dạy học mô

hình hóa vì nó khắc phục được các trở ngại đã nêu ra ở phần trên.

Ở Việt Nam, vấn đề dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa được

quan tâm ở mức độ nào? Nó có những đặc trưng gì?

4.3. Ở Việt Nam

Trong các năm gần đây, việc áp dụng toán học để giải quyết các vấn đề của

thực tiễn và của các môn khoa học khác khá được quan tâm trong chương trình và

sách giáo khoa toán của Việt Nam.

“Quan điểm tăng tính thực tiễn, tính sư phạm được thể hiện rõ nét trong chương trình 2002, tạo điều kiện để học sinh được tăng cường luyện tập, thực hành, rèn

Chẳng hạn, chương trình toán lớp 9 nêu rõ:

luyện kỹ năng tính toán và vận dụng kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác.”

[SGV9; tr.8-9]

Tương tự, chương trình môn toán ở trung học phổ thông (THPT) cũng nhấn mạnh

“Chương trình được xây dựng và phát triển theo các quan điểm sau:

[…]

+ Lựa chọn các kiến thức toán học cơ bản, cập nhật, thiết thực, có hệ thống, theo hướng tinh giản, phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh, thể hiện tính liên môn và tích hợp các nội dung giáo dục, thể hiện vai trò công cụ của môn toán.

+ Tăng cường thực hành và vận dụng, thực hiện dạy học toán gắn liền với thực tiễn.

quan điểm này như sau :

“Mục tiêu đầu tiên của chương trình cần đạt được là ý nghĩa, ứng dụng của các kiến thức toán học vào đời sống, vào việc phục vụ các môn học khác.”

[…] [Trích chương trình THPT môn Toán, 2006]

[Trích chương trình Đại số và Giải tích 11, 2006]

Như vậy, sự liên môn, gắn liền với vai trò công cụ của toán học, đã được đề

cập tường minh trong chương trình trung học. Tuy nhiên, theo nghiên cứu của

Nguyễn Thị Nga (2011), vấn đề dạy học mô hình hóa không được quan tâm ở Việt

“Vấn đề dạy học mô hình hóa không hề được đặt ra trong khi soạn thảo chương trình và sách giáo khoa ở Việt Nam. Chúng tôi chỉ tìm thấy dấu vết của sự mô hình hóa trong việc ứng dụng các kiến thức toán học vào một số vấn đề nảy sinh từ thực tế. Trong sách giáo khoa toán THPT, các bài tập loại này rất hiếm và thường được đặt trong phần bài đọc thêm hoặc ở phần đầu một số chương với vai trò dẫn dắt đến kiến thức mới.”

Nam.

[Nguyễn Thị Nga (2011); tr.315]

Thật vậy, ở Việt Nam, chúng tôi chưa tìm thấy tài liệu chính thức nào về mô

hình hóa cũng như tài liệu hướng dẫn dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô

hình hóa. Các tình huống dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa còn

thiếu vắng thật sự.

Chúng tôi chỉ tìm thấy vấn đề này trong một số nghiên cứu. Các nghiên cứu

này đều rút ra kết luận dạy học bằng mô hình hóa chưa được quan tâm ở Việt Nam.

Trong phần sau, chúng tôi sẽ điểm qua một số kết luận của các nghiên cứu này về

việc dạy học mô hình hóa một số chủ đề cụ thể ở Việt Nam.

Chủ đề Xác suất thống kê

Nghiên cứu của Quách Huỳnh Hạnh (2009) về thống kê, một lĩnh vực mà mô

“Căn cứ vào đặc trưng của bốn bước trong quá trình mô hình hóa toán học, chúng tôi nhận thấy với tất cả các kiểu nhiệm vụ xuất hiện ở cả SGK13 và SGK24 thì kỹ thuật dùng để giải quyết đều chỉ mới dừng lại ở bước thứ ba, tức là sử dụng kiến thức toán học để giải quyết bài toán đã có sẵn. Học sinh không hề được đặt trước yêu cầu thực hiện bước chuyển từ hệ thống hay tình huống ngoài toán học vào trong mô hình toán học, đồng thời cũng không có yêu cầu kiểm tra tính thỏa đáng của những kết quả có được.”

hình hóa có môi trường “sống” rất tốt đã kết luận như sau:

[Quách Huỳnh Hạnh (2009); tr.42]

Chủ đề Hàm số

Trong nghiên cứu của Nguyễn Thị Hồng Cúc (2010) - Dạy học mô hình hóa

hàm số thông qua bài toán tính diện tích trong môi trường tích hợp phần mềm

“… năm bước của quá trình mô hình hoá có được thể chế quan tâm. Nhưng thực tế cho thấy nó bị xem nhẹ và không là mục tiêu nhắm đến của chương, chúng chỉ mang nặng tính hình thức. Tham chiếu với năm bước của quá trình mô hình hoá 1 bài toán thực phỏng thực tế, ta thấy:

Bước 1: Những bài toán thực tế được đưa ra chỉ là những bài toán toán học hoặc phỏng thực tế nên bước 1 không có điều kiện xuất hiện.

Bước 2: Việc chuyển từ bài toán phỏng thực tế sang bài toán toán học (hàm số bậc hai) chỉ mang tính hình thức.

Bước 3: Việc giải bài toán toán học được chú trọng đến cả chi tiết tiến trình giải lẫn kết quả. Trong khi chỉ cần kết quả đúng để cung cấp cho bài toán phỏng thực tế.

Cabri II Plus, tác giả có kết luận:

4 Đoàn Quỳnh (2008), “Đại số 10 nâng cao”, NXB giáo dục

3 Phan Đức Chính (2008), “Toán 7 – tập 2”, NXB giáo dục

Bước 4: Khâu chuyển từ kết quả của bài toán toán học sang bài toán phỏng thực tế thường chỉ mang tính hình thức: kết quả đa phần là trùng nhau. Bài toán phỏng thực tế bao giờ cũng có nghiệm.

Bước 5: Không có điều kiện xuất hiện.”

[Nguyễn Thị Hồng Cúc (2010); tr.20-21]

Đặc biệt hơn với khái niệm hàm số tuần hoàn, một lĩnh vực mà mô hình hóa

toán học có môi trường tốt để tồn tại nhưng theo nghiên cứu của Nguyễn Thị Nga

“…, việc dạy học mô hình hóa, đặc biệt là mô hình hóa các hiện tượng tuần hoàn thu hẹp thành dạy học sử dụng các mô hình. Đặc biệt, nếu hàm số thuộc vào mô hình thì nó sẽ được trình bày trong đề bài ngay khi giới thiệu thực tế cần mô hình hóa.”

(2011) thì vấn đề dạy học mô hình hóa cũng không được đề cập.

[Nguyễn Thị Nga (2011); tr.16]

Từ kết quả của những nghiên cứu trên, chúng tôi nhận thấy vấn đề dạy học bằng mô

hình hóa không được đề cập đến trong dạy học toán ở Việt Nam. Vấn đề dạy học

mô hình hóa cũng chưa được quan tâm đầy đủ và còn rất hạn chế. Trong khuôn khổ

của luận văn này chúng tôi tìm hiểu việc dạy học hệ phương trình tuyến trong mối

liên hệ với mô hình hóa toán học trong thể chế dạy học đại học và thể chế dạy học

phổ thông để làm rõ các đặc trưng ràng buộc của từng thể chế với vấn đề này.

Chương 2:

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TRONG MỐI LIÊN HỆ

VỚI MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC

Mục tiêu của chương

Khái niệm hệ phương trình tuyến tính đã được nghiên cứu trong một số luận

văn Thạc sỹ chuyên ngành Didactic Toán trước đây, chẳng hạn như luận văn của tác

giả Nguyễn Thùy Trang (2006) - Algorit và tham số trong dạy- học phương trình ở

trường trung học phổ thông. Trường hợp: hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn hay

luận văn của Trần Thị Mỹ Dung (2008) - Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong

dạy học hệ phương trình tuyến tính ở lớp 10.

Trong những luận văn này, các tác giả đã nghiên cứu sự xuất hiện và vai trò

của hệ phương trình tuyến tính trong các giáo trình đại học cũng như các tổ chức

toán học xoay quanh khái niệm này. Tương tự, vết của các tổ chức toán học này

trong chương trình toán ở bậc phổ thông cũng đã được làm rõ. Vì vậy, trong nghiên

cứu này, chúng tôi sẽ không lặp lại một sự phân tích mối quan hệ thể chế với khái

niệm hệ phương trình tuyến tính mà chỉ tập trung vào nghiên cứu việc dạy học hệ

phương trình tuyến tính trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học. Điều này thể

hiện rõ nét qua việc tập trung nghiên cứu kiểu nhiệm vụ Giải bài toán thực tế bằng

cách lập hệ phương trình tuyến tính.

Vấn đề Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình tuyến tính cũng đã được

đề cập trong luận văn của Nguyễn Thị Minh Vân (2012). Tuy nhiên, tác giả nghiên

cứu nó trong sự liên hệ với giải toán bằng cách lập phương trình để chỉ ra các quy

tắc hợp đồng gắn liền với nó mà chưa sử dụng cách tiếp cận dạy học mô hình hóa,

đặc biệt là chưa đối chiếu việc dạy học kiểu nhiệm vụ này với các bước của quá

trình mô hình hóa toán học.

Việc tham khảo các luận văn trên chưa cho phép chúng tôi trả lời các câu hỏi

đặt ra ban đầu và đòi hỏi chúng tôi phải tiến hành nghiên cứu một số giáo trình đại

học và sách giáo khoa toán ở phổ thông theo cách tiếp cận mô hình hóa toán học để

tìm câu trả lời cho chúng. Cụ thể, chúng tôi nhắc lại các câu hỏi đó như sau:

CH1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, hệ phương trình tuyến tính được trình

bày như thế nào? Vai trò công cụ của hệ phương trình tuyến tính là gì? Việc mô

hình hóa bằng hệ phương trình tuyến tính cho phép giải quyết những vấn đề thực

tiễn nào?

CH2: Trong thể chế dạy học ở bậc phổ thông, hệ phương trình tuyến tính bậc nhất

hai ẩn xuất hiện ngầm ẩn, tường minh khi nào? Có sự tiến triển nào qua các giai

đoạn? Việc dạy học các bài toán thực tiễn gắn liền với hệ phương trình tuyến tính

được trình bày như thế nào trong chương trình phổ thông? Việc dạy học mô hình

hóa, dạy học bằng mô hình hóa hệ phương trình tuyến tính được quan tâm như thế

nào và có những đặc trưng, ràng buộc gì?

Câu trả lời cho những câu hỏi này sẽ được làm rõ trong những phân tích dưới

đây của chúng tôi. Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, hệ phương trình tuyến tính

được trình bày trong hai loại giáo trình chính: giáo trình về Toán lý thuyết và giáo

trình về Toán ứng dụng. Trong luận văn này chúng tôi quan tâm đến các tài liệu về

Toán ứng dụng.

1. Ở bậc đại học

Tác giả Trần Thị Mỹ Dung (2008) đã chỉ ra trong các giáo trình đại học (về

Toán lý thuyết) hai kiểu nhiệm vụ thường gặp trong hình học mà ở đó hệ phương

trình tuyến tính đóng vai trò công cụ.

Đưa về hệ PTTT

Sự tương giao các phẳng

Tvt: Biểu thị tuyến tính một vectơ qua một hệ hữu hạn các vectơ PTTT

T2p: Xét vị trí tương đối của 2 cái phẳng

T∩2p : “Tìm giao của các phẳng có phương trình cho trước”

Theo tác giả, đây cũng là hai kiểu nhiệm vụ được nghiên cứu trong chương

trình môn toán ở trường phổ thông. Vai trò công cụ của hệ phương trình tuyến tính

“Khi xét hệ PTTT với tư cách một công cụ toán học, ta thấy một hệ PTTT lại có thể dùng để biểu diễn cho một phẳng hoặc giao của các phẳng (trường hợp đặc biệt là siêu phẳng). Chính điều đó đã mở rộng giá trị công cụ của hệ PTTT vào việc giải các bài toán liên quan đến sự tương giao của các phẳng (vốn khó hoặc không thể giải quyết bằng các công cụ của hình học (trực quan) trong không gian từ 3 chiều trở lên).”

được nhấn mạnh qua hai kiểu nhiệm vụ này:

[Trần Thị Mỹ Dung (2008); tr.21]

Chúng ta thấy rằng các bài toán thuộc các kiểu nhiệm vụ trên đều là các bài

toán toán học thuần túy. Việc xây dựng một mô hình toán học là hệ phương trình

tuyến tính cho phép giải quyết tốt các vấn đề đó. Câu hỏi đặt ra là liệu hệ phương

trình tuyến tính cho phép giải quyết những vấn đề ngoài toán học nào?

Câu hỏi này khiến chúng tôi đặc biệt quan tâm đến kiểu nhiệm vụ Giải bài

toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình tuyến tính. Xem xét các giáo trình đại

học mà các tác giả luận văn trước đây đã nghiên cứu về hệ phương trình tuyến tính

thì kiểu nhiệm vụ này hoàn toàn vắng bóng. Chúng tôi cũng nhận được kết quả này

khi xem xét các giáo trình Toán cao cấp hoặc Đại số tuyến tính dành cho các trường

Đại học Sư phạm và Đại học khoa học tự nhiên. Đặc biệt, kiểu nhiệm vụ này chỉ

xuất hiện duy nhất trong các giáo trình Toán cao cấp dành cho sinh viên kinh tế.

Vì vậy, trong phần này, chúng tôi sẽ chọn phân tích một số giáo trình Toán

cao cấp dành cho sinh viên kinh tế sau đây:

- Trương Lâm Đông (2007), Toán cao cấp – Phần 1: Đại số tuyến tính (cho

sinh viên các ngành kinh tế), Tài liệu lưu hành nội bộ trường đại học kinh tế. (I)

- Nguyễn Huy Hoàng (2010), Toán cao cấp – Tập 1: Đại số tuyến tính (dùng

cho sinh viên các ngành kinh tế và quản trị kinh doanh), NXB Giáo dục. (II)

Trong các giáo trình này, sau khi trình bày các khái niệm liên quan đến hệ

phương trình tuyến tính như ma trận, định thức,…, lý thuyết về hệ phương trình

tuyến tính (bao gồm các cách định nghĩa hệ phương trình tuyến tính và kỹ thuật

giải) được đưa vào tương tự như các giáo trình Đại số tuyến tính khác. Điểm đặc

biệt trong các giáo trình này là sự xuất hiện của một mục chuyên biệt dành cho sinh

viên kinh tế: Một số mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế. Trong phần này,

một số mô hình kinh tế sau được đề cập đến.

1.1. Mô hình thu nhập quốc dân (Keynes)

“Mô hình này gồm hai phương trình: C = a + b.Y

(2.4)

(2.5)

Và điều kiện cân bằng Y = C + I0 + G0.

Trong đó:

- Y: tổng thu nhập quốc dân; C: chi phí tiêu dùng của xã hội.

- I0: tổng chi phí đầu tư; G0: chi tiêu của chính phủ.

- a, b là các tham số.

Điều kiện các tham số:

- Nếu tổng thu nhập quốc dân Y = 0 thì xã hội vẫn tiêu dùng nên a > 0.

- Khi thu nhập quốc dân Y tăng thì chi tiêu C cũng tăng nên b > 0; mặt khác chi phí tiêu dùng của xã hội không thể vượt quá tổng thu nhập quốc dân nên b < 1. Vậy 0 < b < 1.

Mô hình này được trình bày trong (II) như sau:

Giải hệ gồm hai phương trình (2.4), (2.5) ta được giá trị cân bằng thu nhập quốc

(2.6)

dân

a I G 0 0 −

)

(2.7)”

Và giá trị cân bằng của chi phí tiêu dùng

( a b I G 0 0 − 1

[Nguyễn Huy Hoàng (2010); tr.114-115]

Từ đó ta có: “ Khi b càng gần 1, từ phương trình (2.7) suy ra chi phí tiêu dùng cân

bằng của xã hội càng lớn, đồng thời từ (2.6) suy ra tổng thu nhập quốc dân cân

bằng Y cũng sẽ càng lớn. Điều này có ý nghĩa là: xã hội càng tiêu dùng nhiều bao

nhiêu thì càng kích thích sản xuất phát triển và tổng thu nhập quốc dân tăng lên

bấy nhiêu.” [Nguyễn Huy Hoàng (2010); tr.115]

Phần trích dẫn trên cho thấy, giáo trình (II) đã đưa ra ngay từ đầu mô hình

toán học của vấn đề và chỉ giải thích các biến, điều kiện của biến. Vấn đề tổng quát

xuất phát từ thực tiễn đã không được nêu ra. Tại sao lại cần thiết lập hệ phương

trình tuyến tính?

So với các bước của quá trình mô hình hóa thì bước 1 không có điều kiện

xuất hiện và bước 2 đã được thực hiện sẵn. Nhiệm vụ của sinh viên chỉ là thực hiện

bước 3 và 4 tức là giải hệ và trả lời câu hỏi đặt ra trong bài toán. Trong mô hình

tuyến tính được đề cập, chúng tôi nhận thấy có hai biến C và Y, hệ phương trình

đưa ra là hệ hai phương trình hai ẩn bậc nhất và đều giải quyết được (ở đây giáo

trình đã đưa ra nghiệm tổng quát của hệ). Với các điều kiện của tham số thỏa mãn

thì nghiệm tìm ra được chính là kết quả của bài toán. Vì vậy, bước 4 của quá trình

mô hình hóa cũng chỉ được thực hiện một cách hình thức. Tất cả các kết quả toán

học nhận được cũng chính là kết quả của bài toán kinh tế. Sinh viên không có trách

nhiệm phải chuyển câu trả lời của bài toán toán học về bài toán ban đầu.

1.2. Mô hình cân bằng thị trường

Mô hình này được trình bày trong (I), (II). Tương tự như mô hình thu nhập

quốc dân, các giáo trình này không giới thiệu một bài toán tổng quát trong kinh tế

mà đưa ra trực tiếp mô hình toán học.

Xét thị trường có n loại hàng hóa. Mỗi loại hàng hóa đều có nhiều loại hàng

“Các yếu tố được quan tâm:

- Lượng hàng hóa yêu cầu của loại hàng thứ i (hàm cầu): Qdi

- Lượng hàng hóa cung ứng của loại hàng thứ i (hàm cung): Qsi

- Đơn giá của loại hàng thứ i: Pi

Hàm cung và hàm cầu tuyến tính của thị trường n loại hàng hóa có dạng:

1 1

+ + ... + + ...

1, 2,...,

Q si Q di

a i b i

+ a P a P 2 2 i + b P b P 2 2 i

1 1

a P in n b P i ; in n

Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa được biểu diễn dưới dạng hệ phương = i trình tuyến tính:

1, 2,...,

Qsi = Qdi ;

Chuyển vế và đặt cik = aik – bik ta được hệ:

= −

+ + ... + + ...

c P n n 1 c P n n 2

c 10 = − c 20

(2.9)”

= −

+ + ...

c P nn n

c n

+  c P c P 11 1 12 2  + c P c P  21 1 22 2  ..................   + c P c P  n 1 1 2 2

hóa khác thay thế hoặc bổ sung.

[Trương Lâm Đông (2007); tr.78]

Giải hệ (2.9) chúng ta sẽ tính được giá cân bằng của n loại hàng hóa, từ đó

tính được lượng hàng cung, cầu cân bằng của n loại hàng hóa.

Mô hình này được đưa vào giống như các mô hình mà chúng tôi đã xét ở

trên. Các giáo trình đưa ra ngay các mô hình toán học của vấn đề kinh tế trong thực

tiễn. Mô hình này gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn P1, P2, …, Pn. Giáo trình

có lưu ý “Lời giải chỉ có ý nghĩa kinh tế khi các thành phần của nghiệm phải dương

và khi thay những giá trị đó vào các hàm cung, hàm cầu, giá trị các hàm đó cũng

phải dương”.[ Nguyễn Huy Hoàng (2010); tr.121].

Như vậy, vấn đề kiểm nghiệm lại kết quả toán học để đưa ra câu trả lời cho

bài toán ban đầu đã được nhấn mạnh. Tuy nhiên, vì các phương trình tuyến tính đều

được cho sẵn nên nghiệm của chúng luôn thỏa mãn điều kiện dương và theo đó giá,

lượng hàng cung, lượng hàng cầu cũng dương. Vì sinh viên không có trách nhiệm

lập hệ phương trình tuyến tính nên việc xem xét lại kết quả toán học có phù hợp với

thực tế hay không để điều chỉnh lại mô hình toán học hoàn toàn không được đặt ra.

1.3. Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô

Mô hình này được trình bày trong (I), tương tự các mô hình trên, giáo trình

này không giới thiệu một bài toán tổng quát trong kinh tế mà đưa ra trực tiếp mô

“Trong kinh tế vĩ mô xét mô hình cân bằng dạng:

= +

0,0

< < b

với

(2.10)

+ I G 0 0 − a b Y T (

)

0,0

< < t

( (

) 1 ) 1

 Y c  = + c   = + T d 

Với:- Y: Tổng thu nhập quốc dân.

- c: Tiêu dùng của cư dân.

- T: Thuế.

- I0: Mức đầu tư cố định theo kế hoạch.

- G0: Mức chi tiêu cố định của chính phủ.

hình toán học.

[Trương Lâm Đông (2007); tr.79-80]

Mô hình toán học cũng được đưa trước, sinh viên không được giới thiệu vấn

đề thực tế như thế nào và tại sao phải có những phương trình này. Mô hình toán học

thu được là một hệ ba phương trình ba ẩn Y, c, T. Hệ phương trình này luôn giải

được.

Ngoài ra trong (I) và (II) còn giới thiệu mô hình IS-LM và mô hình Input-

output. Mô hình IS-LM được dùng để phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế

trong cả hai thị trường: thị trường hàng hóa và thị trường tiền tệ. Mô hình Input-

output là mô hình cân đối liên ngành, đề cập đến việc xác định mức tổng cầu đối

với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế. Tuy hai mô hình

này có đề cập việc thiết lập mô hình tổng quát nhưng khá sơ sài, việc kiểm tra kết

quả là không cần thiết (bài toán đã cho sẵn dữ kiện cũng như kết quả thỏa yêu cầu).

Phần bài tập trong các giáo trình được cho giống như phần đã trình bày trong

lý thuyết: cho sẵn phương trình và các yếu tố đầu vào, sinh viên chỉ cần lập hệ như

“8. Xét thị trường có hai loại hàng hóa. Biết hàm cung, hàm cầu của hai loại hàng hóa là:

Qs1 = - 1 + 3P

Qd1 = 10 – 2P1 + 2P2

Qs2 = - 3 + 5P

Qd2 = 15 + P1 – 3P2

Tìm điểm cân bằng của thị trường.”

phần lý thuyết và giải hệ đó.

“4.9 Xét mô hình Input – Output mở gồm 3 ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào là:

0, 2 0,3 0, 4

0,3 0, 2 0,1

0, 2 0,3 0,1

  =   

    

Và yêu cầu của ngành kinh tế mở đối với 3 ngành kinh tế trên là: 22, 98, 56.

Tìm mức sản lượng của 3 ngành kinh tế trên.”

[Trương Lâm Đông (2007); tr.88]

[Nguyễn Huy Hoàng (2010); tr.177-178]

Các bài tập trong các giáo trình đưa ra giống như các mô hình mà giáo trình

đưa ra trong lý thuyết, đều đưa về hệ phương trình tuyến tính và có lời giải thỏa

mãn yêu cầu đề bài.

Qua các mô hình đã trình bày chúng tôi có nhận xét:

Tình huống thực tế thực sự đã không được nêu ra, tất cả các mô hình kinh tế

đều đưa ra sẵn mô hình toán học, không được giải thích. Quá trình mô hình hóa

không được thực hiện đầy đủ. Sinh viên chỉ việc thực hiện bước 3 và bước 4: giải

hệ phương trình đã có và trả kết quả tìm được về yêu cầu bài toán. Điều này có thể

hiểu được do sinh viên năm nhất chưa được học về các kiến thức kinh tế, vì vậy tiếp

cận với các mô hình này là một khó khăn với sinh viên.

1.4. Kết luận

Qua phần trình bày trên chúng tôi đã tìm được câu trả lời cho câu hỏi 1. Từ

những ghi nhận trên chúng tôi có các kết luận:

Hệ phương trình tuyến tính thể hiện vai trò công cụ không chỉ trong toán học

mà còn trong nhiều lĩnh vực khoa học khác, đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế.

Trong các bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ

phương trình trong các giáo trình đại học thì các mô hình toán học hầu hết được cho

sẵn, không được giải thích. Các công thức được liệt kê sẵn từ đó dẫn đến việc lập hệ

phương trình bậc nhất và giải. Mô hình toán học được cho trực tiếp mà không thông

qua một mô hình trung gian nào cả. Một lý do dẫn đến các giáo trình trình bày như

trên là do sinh viên năm nhất chưa được học các kiến thức về kinh tế, vì vậy, việc

lập luận để xây dựng các mô hình này là một khó khăn đối với sinh viên.

Qua các giáo trình tham khảo, chúng tôi nhận thấy rằng việc dạy học mô

hình hóa không được quan tâm đúng mức. Các giáo trình có quan tâm đến việc vận

dụng hệ phương trình tuyến tính để giải quyết một số vấn đề kinh tế còn việc dạy

học mô hình hóa đặc biệt là bước thiết lập mô hình toán học không được chú trọng.

Các mô hình hầu hết đã cho sẵn sinh viên chỉ chủ yếu thực hiện bước 3 (hoạt động

toán học). Việc kiểm tra đối chiếu kết quả toán học có phù hợp với thực tế được mô

hình hóa không thuộc trách nhiệm của sinh viên.

2. Ở bậc phổ thông

2.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - giai đoạn công cụ ngầm ẩn

Trong chương trình tiểu học, phương trình chưa được chính thức đề cập đến

một cách tường minh. Dù vậy học sinh vẫn gặp các bài toán tìm x, một dạng

phương trình bậc nhất một ẩn. Học sinh tìm x theo các quy tắc về tìm một số hạng

trong các biểu thức tổng, hiệu, tích, thương. Trong lớp 4 học sinh gặp các biểu thức

“Nhận biết một số biểu thức chứa hai chữ đơn giản.

Biết tính giá trị của một số biểu thức đơn giản chứa hai chữ.”

chứa hai chữ đơn giản (a + b; a – b; a.b;…) với yêu cầu:

[SGV4; tr.81]

Việc tính giá trị các biểu thức này được cho cũng rất đơn giản, chẳng hạn như “Tính

giá trị của c + d nếu c = 10 và d = 25” [SGK4; tr.42].

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn xuất hiện ngầm ẩn trong bài toán “Tìm hai

số khi biết tổng và hiệu của hai số đó” năm lớp 4.

Bài toán: Tổng của hai số là 70. Hiệu của hai số đó là 10. Tìm hai số đó.

Cách thứ nhất:

Số lớn:

Số bé:

Bài giải Hai lần số bé là: 70 – 10 = 60 Số bé là: 60:2 = 30 Số lớn là: 30 + 10 = 40 Đáp số: Số lớn: 40; Số bé : 30.

Nhận xét: Số bé = (Tổng – Hiệu) : 2

Cách thứ hai:

Số lớn:

Số bé:

Bài giải Hai lần số lớn là: 70 + 10 = 80 Số lớn là: 80:2 = 40 Số bé là: 40 + 10 = 30 Đáp số: Số lớn: 40; Số bé : 30.

Nhận xét: Số lớn = (Tổng + Hiệu) : 2

[SGK4; tr.47]

Yêu cầu của SGV4 là giáo viên hướng dẫn học sinh tìm lời giải bằng sơ đồ

như trên. Thuật ngữ hệ phương trình và các kí hiệu ẩn số chưa được đưa vào. Tuy

nhiên, nếu đặt hai ẩn số tương ứng với hai số chưa biết trong bài toán là x, y chúng

x x

+ = y − = y

70 10

  

ta sẽ được một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn . Có thể xem cách giải

mà SGK4 yêu cầu tương ứng ngầm ẩn với cách giải hệ phương trình bằng phương

pháp cộng đại số trong SGK9. Các sơ đồ đoạn thẳng ở đây có thể xem như một mô

hình trung gian để lập luận đi đến giải quyết bài toán. Thật vậy, mô hình trung gian

này cho phép chuyển bài toán ban đầu về một bài toán trực quan hơn, dẫn đến việc

lập luận sau đó để giải quyết bài toán dễ dàng hơn.

Ngoài các bài toán liên quan đến số tự nhiên, SGK4 cũng bắt đầu đưa vào

“Tuổi bố và tuổi con cộng lại được 58 tuổi. Bố hơn con 38 tuổi. Hỏi bố bao nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuổi?

Hai phân xưởng làm được 1200 sản phẩm. Phân xưởng thứ nhất làm được ít hơn phân xưởng thứ hai 120 sản phẩm. Hỏi mỗi phân xưởng làm được bao nhiêu sản phẩm?

các bài toán dạng này có nội dung ngoài toán học.

Thu hoạch từ hai thửa ruộng được 5 tấn 2 tạ thóc. Thu hoạch ở thửa ruộng thứ nhất được nhiều hơn ở thửa ruộng thứ hai 8 tạ thóc. Hỏi thu hoạch ở mỗi thửa ruộng được bao nhiêu ki-lo-gam thóc?”

“Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 530m, chiều rộng kém chiều dài 47m. Tính diện tích thửa ruộng.”

[SGK4; tr.47-48]

[SGK4; tr.175]

Mặc dù các đại lượng của “thực tế” được đưa vào nhưng giả thiết luôn cho

biết tổng (qua thuật ngữ “cộng lại”, “hai”….) và hiệu (qua thuật ngữ “ít hơn”,

“nhiều hơn”, “kém”,..) của hai đại lượng cần tìm. Vì vậy, có thể thấy rằng việc đưa

về bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng là khá dễ dàng. Công việc của

học sinh chỉ cần xác định đưa về bài toán tìm hai số, quy lạ về quen. Thật vậy, mục

tiêu của SGK4 khi đưa ra các bài toán này là “Giúp học sinh rèn kĩ năng giải bài

toán “Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó” ” [SGV4; tr310].

Số lượng bài tập của hai dạng toán này gần tương đương nhau (9 bài tập tìm

hai số và 10 bài tập có nội dung thực tế).

Đến cuối lớp 5 học sinh tiếp tục gặp lại các bài toán đưa về tổng hiệu của hai

“Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 120m. Chiều dài hơn chiều rộng 10m. Tính diện tích mảnh đất đó.”

số, cách giải cũng không có gì khác so với lớp 4. Số lượng bài khá ít chỉ có ba bài.

“Một thửa ruộng hình thang có trung bình cộng hai đáy là 36m…. Biết hiệu hai đáy là 10m, tính độ dài mỗi cạnh đáy của hình thang.”

[SGK5; tr.170]

“Một tàu thủy khi xuôi dòng có vận tốc 28,4 km/giờ, khi ngược dòng có vận tốc 18,6 km/giờ. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước lặng và vận tốc của dòng nước.”

[SGK5; tr.172]

[SGK5; tr.178]

Bài thứ nhất và thứ hai đòi hỏi học sinh phải xác định tổng, hiệu của hai số.

Trong bài toán thứ nhất học sinh chỉ cần biết cách tính chu vi của hình chữ nhật thì

sẽ chuyển giả thiết của bài toán về tổng của hai số. Bài toán thứ hai giả thiết cho

“trung bình cộng của hai đáy”, việc chuyển giả thiết này sang tổng của hai đáy cũng

không gây khó khăn nhiều cho học sinh. Với bài toán toán thứ ba, tổng hiệu của hai

số ngầm ẩn trong giả thiết “xuôi dòng, ngược dòng”. Việc hiểu vận tốc xuôi dòng là

tổng vận tốc tàu thủy và vận tốc dòng nước, vận tốc ngược dòng là hiệu vận tốc tàu

thủy và vận tốc dòng nước sẽ cho phép xác định tổng và hiệu hai số cần tìm. Với

việc “dịch” giả thiết bài toán về tổng, hiệu của hai số cần tìm học sinh sẽ đưa bài

toán về kiểu nhiệm vụ tìm hai số quen thuộc đã được biết ở lớp 4.

Như vậy hệ phương trình bậc nhất hai ẩn đã xuất hiện ngầm ẩn từ bậc tiểu học

với vai trò là một công cụ ngầm ẩn để giải quyết bài toán: “Tìm hai số khi biết tổng

và hiệu của hai số đó”. Việc giải các bài toán đó luôn được thực hiện với kỹ thuật vẽ

sơ đồ đoạn thẳng. Việc lập luận thể hiện việc áp dụng ngầm ẩn phương pháp cộng

đại số để giải hệ phương trình. Trong những bài toán thực tế luôn luôn định sẵn

tổng và hiệu của hai số (tường minh hoặc ngầm ẩn), học sinh chỉ cần xác định và

quy về quy trình đã biết để tìm lời giải và trả lại kết quả cho bài toán ban đầu.

2.2. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn - giai đoạn đối tượng và công cụ

tường minh

2.2.1. Phân tích chương trình

Một trong những nguyên tắc xây dựng chương trình THCS được đề cập

“Không quá coi trọng tính cấu trúc, tính chính xác của hệ thống kiến thức toán học trong chương trình; hạn chế đưa vào chương trình những kết quả có ý nghĩa lý thuyết thuần túy và các phép chứng minh dài dòng, phức tạp không phù hợp với đại đa số học sinh. Tăng tính thực tiễn và tính sư phạm, tạo điều kiện để học sinh được tăng cường luyện tập, thực hành, rèn luyện kỹ năng tính toán và vận dụng các kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác”

trong SGV9 như sau:

[SGV9; tr.3]

Như vậy, tính thực tiễn của môn học và vấn đề áp dụng toán vào giải quyết

các vấn đề của đời sống được tăng cường khi xây dựng chương trình. Rõ ràng quan

điểm của chương trình lớp 9 cũng muốn tăng khả năng hiểu biết toán học và khả

năng vận dụng toán học của học sinh vào cuộc sống. Chương trình giáo dục toán

học được cải cách từ năm 2002 (năm chính thức thực hiện) với mong muốn giảm

tính hàn lâm, tăng tính tích cực chủ động của học sinh và gắn liền toán học với thực

tế qua các bài toán thực tế. Mặc dù thuật ngữ “mô hình hóa” không được nhắc đến

nhưng với quan điểm này, chương trình tạo vùng sống cho vấn đề dạy học mô hình

hóa và dạy học bằng mô hình hóa. Tuy nhiên, việc dạy học các bài toán thực tế

trong chương trình có những đặc trưng gì? Quá trình mô hình hóa toán học có được

rèn luyện cho học sinh hay không?

Để tìm hiểu rõ hơn vấn đề đã nêu trên, chúng tôi sẽ phân tích chi tiết SGK để

làm rõ việc trình bày hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với mô hình

hóa như thế nào?

2.2.2. Phân tích sách giáo khoa

Như trên chúng tôi đã đề cập, khái niệm hệ phương trình tuyến tính đã được

nghiên cứu trong một số luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Didactic Toán trước đây:

- Nguyễn Thùy Trang (2006) - Algorit và tham số trong dạy- học phương

trình ở trường trung học phổ thông. Trường hợp: hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn.

- Trần Thị Mỹ Dung (2008) - Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy

học hệ phương trình tuyến tính ở lớp 10

- Nguyễn Thị Minh Vân (2012) – Nghiên cứu didactic về giải toán bằng cách

lập hệ phương trình ở trung học cơ sở.

Trong phần phân tích của chúng tôi sẽ không lặp lại những gì đã trình bày

trong các luận văn trên mà chúng tôi chỉ chú ý đến kiểu nhiệm vụ Giải bài toán

thực tế bằng cách lập hệ phương trình tuyến tính với cách tiếp cận dạy học mô hình

hóa, đặc biệt là đối chiếu việc dạy học kiểu nhiệm vụ này với các bước của quá

trình mô hình hóa toán học.

Các nội dung liên quan đến hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được trình bày ở

chương 3 trong SGK9 tập 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn với các yêu cầu

“Học sinh nắm được:

- Khái niệm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn;

- Phương pháp minh họa hình học tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc

nhất hai ẩn;

- Khái niệm hai hệ phương trình tương đương.”

sau theo SGV9:

“ - Giúp HS hiểu cách biến đổi hệ phương trình bằng quy tắc thế.

- HS nắm vững cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế.

- HS không bị lúng túng khi gặp các trường hợp đặc biệt (hệ vô nghiệm hoặc hệ có vô số nghiệm).”

[SGV9; tr.6]

“- Giúp HS hiểu cách biến đổi hệ phương trình bằng quy tắc cộng đại số.

- HS nắm vững cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số. Kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bắt đầu được nâng cao dần.”

[SGV9; tr.11]

“- HS nắm được phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

- HS có kĩ năng giải các loại toán được đề cập trong SGK.”

[SGV9; tr.15]

[SGV9; tr.20]

Yêu cầu của SGV9 chủ yếu rèn luyện học sinh về mặt toán học: kỹ năng biến

đổi và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Đối với kiểu nhiệm vụ Giải bài toán

thực tế bằng cách lập hệ phương trình tuyến tính thì yêu cầu của SGV9 là HS nắm

được phương pháp giải và giải quyết được các loại toán đề cập trong SGK. Việc mở

rộng các loại toán cũng như kỹ năng mô hình hóa toán học tổng quát không phải là

mục tiêu mà SGK nhắm đến.

Trước khi vào nội dung chương 3 SGK9 giới thiệu bài toán:

“Trở lại bài toán cổ quen thuộc sau đây:

Vừa gà vừa chó

Bó lại cho tròn

Ba mươi sáu con

Một trăm chân chẵn

Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?

Ở lớp 8, ta đã biết cách giải bài toán trên bằng cách lập phương trình bậc nhất một ẩn. Muốn vậy ta chọn một đại lượng chưa biết, số gà chẳng hạn, làm ẩn x rồi dựa vào các mối quan hệ giữa các đại lượng để lập nên một phương trình với ẩn x.

Nhưng trong bài toán trên, ngoài các đại lượng chưa biết là số gà, ta thấy còn có một đại lượng chưa biết khác là số chó. Nếu kí hiệu x là số gà, y là số chó thì:

- Giả thiết có tất cả 36 con vừa gà vừa chó được mô tả bởi hệ thức x + y = 36.

- Giả thiết có tất cả 100 chân được mô tả bởi hệ thức 2x + 4y = 100.

Các hệ thức trên là những ví dụ về phương trình bậc nhất hai ẩn.”

[SGK9; tr.4]

Ta thấy, sách giáo khoa nhắc lại phương pháp giải bài toán bằng cách lập

phương trình (đã biết ở lớp 8) và trình bày một cách đặt hai ẩn tương ứng với hai

đại lượng chưa biết trong bài toán. Hai đại lượng này xuất hiện trong câu hỏi ở cuối

bài toán. Việc lập các phương trình chỉ là việc dịch các giả thiết bằng lời ra thành

các phương trình. Bài toán thực tiễn trên được nêu ra nhưng không là mục tiêu được

giải quyết. Bài toán này hoàn toàn có thể sử dụng để đưa vào hệ phương trình bậc

nhất hai ẩn như là một công cụ để giải quyết nó nhưng mục đích của SGK9 chỉ

dùng để dẫn vào bài “Phương trình bậc nhất hai ẩn”.

Sau đó, SGK trình bày định nghĩa phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương

trình bậc nhất hai ẩn và nghiệm của chúng. Tiếp đó, các phương pháp giải hệ

phương trình tuyến tính (phương pháp thế và phương pháp cộng đại số) được đưa

vào. Hầu hết các ví dụ và bài tập đều xoay quanh kiểu nhiệm vụ giải hệ phương

trình với một hệ phương trình được cho sẵn để áp dụng các kỹ thuật vừa được trình

bày. Vấn đề mô hình hóa toán học hoàn toàn không được đề cập ở đây.

Bài 5 và bài 6 của chương (chiếm 2/13 tiết của toàn chương) được dành cho

việc giải toán bằng cách lập hệ phương trình. Theo Nguyễn Thị Thùy Trang (2006)

liên quan đến hệ phương trình có các kiểu nhiệm vụ sau:

- Kiểu nhiệm vụ T1: “Giải hệ phương trình”

- Kiểu nhiệm vụ T2: “Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình”

- Kiểu nhiệm vụ T3: “Đoán số nghiệm hệ phương trình”

Trong đó kiểu nhiệm vụ T1 được chú ý nhiều nhất (kiểu nhiệm vụ T1

(79/148), kiểu nhiệm vụ T2 (44/148), kiểu nhiệm vụ T3 (25/148)).

Trong phần phân tích này, chúng tôi chỉ quan tâm đến kiểu nhiệm vụ giải

toán bằng cách lập hệ phương trình. Kiểu nhiệm vụ này được SGK9 đưa vào thông

“Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục một đơn vị, và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được số mới (có hai chữ số) bé hơn số cũ 27 đơn vị.

Cách giải

Trong bài toán trên, ta thấy hai đại lượng chưa biết là chữ số hàng và chục chữ số hàng đơn vị của số cần tìm. Theo giả thiết, khi viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại, ta vẫn được một số có hai chữ số. Điều đó chứng tỏ rằng cả hai chữ số ấy đều phải khác 0.

Gọi chữ số hàng chục cần tìm là x, chữ số hàng đơn vị là y. Điều kiện của ẩn: x, y là những số nguyên, 0 < x ≤ 9, 0 < y ≤ 9.

Khi đó, số cần tìm là 10x + y. Khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại, ta được số 10y + x.

Theo điều kiện đầu, ta có 2y – x = 1 hay – x + 2y = 1.

Theo điều kiện sau, ta có (10x + y) – (10y + x) = 27  9x – 9y = 27

hay x – y = 3.

….”

Từ đó, ta có hệ phương trình

− + x y 2 − = y

  

qua các ví dụ cụ thể.

[SGK9; tr.20-21]

Trong ví dụ đầu tiên về kiểu nhiệm vụ giải bài toán bằng cách lập hệ phương

trình SGK9 đề cập về mối quan hệ giữa các chữ số khi biểu diễn một số trong hệ

thập phân. Đây là một bài toán toán học thuần túy và SGK9 hướng dẫn khá chi tiết

về cách chọn ẩn, điều kiện cho ẩn, cách lập hệ phương trình.

Ẩn được chọn trong sách giáo khoa chính là các đại lượng được đề cập trong

yêu cầu của bài toán: hai chữ số của số tự nhiên cần tìm. Điều kiện của hai ẩn cũng

được sách giáo khoa chú ý từ đầu, điều kiện này chính là ràng buộc về số tự nhiên

mà học sinh đã biết.

Việc lập các phương trình trong hệ cũng được sách giáo khoa hướng dẫn chi

tiết. Phương trình thứ nhất chỉ là việc dịch giả thiết bằng lời thành phương trình.

Phương trình thứ hai không dễ thực hiện như vậy, học sinh phải biết về cách biểu

diễn số tự nhiên có hai chữ số là 10x + y và khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược

lại, ta được số 10y + x. Từ đó, suy ra được phương trình thứ hai (10x + y) – (10y +

x) = 27 và được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, giải hệ so sánh kết quả tìm được

với điều kiện ban đầu chúng ta sẽ tìm được kết quả bài toán. Tuy nhiên, nếu chỉ

yx−

dịch lời từ phương trình thứ hai này thì ta được phương trình và dẫn

đến phương pháp giải bài toán này là dùng phương pháp thử sai.

1 y x = 2y - 1 1

11 2 3 32 3 5 53 4 7 74 5 9 95 6 11 loại

11 23 35 47 59

yx−

0 9 18 27 36

Từ bảng trên ta được x = 7 và y = 4, số cần tìm là 74. Tuy nhiên, trong bài

toán này sách giáo khoa mong muốn sử dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nên

đã hướng dẫn học sinh lập phương trình thứ hai như trên. Phương pháp giải bằng

cách thử sai không hề được đề cập đến.

Như vậy, bài toán này là một cơ hội để học sinh thấy được một vấn đề (toán

học) có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau và việc cân nhắc, lựa chọn mô

hình phù hợp là cần thiết. Tuy nhiên, SGK đã không tận dụng cơ hội này để giới

thiệu việc lựa chọn, thiết lập mô hình toán học cho học sinh. Mô hình hệ phương

trình tuyến tính được lựa chọn và trình bày trực tiếp cho học sinh.

Trong cả hai lần lập phương trình chúng tôi thấy rằng cả hai lần sách giáo

khoa đều đưa phương trình về dạng chính tắc. Mục đích của sách giáo khoa là gì?

Qua tìm hiểu chúng tôi nhận thấy rằng mục đích của việc đưa hệ về dạng chính tắc

là để dự đoán số nghiệm của hệ phương trình trước khi giải hệ.

−

, ta chỉ cần biến đổi thành hệ

Chẳng hạn, đối với hệ

2 +

1 =

−

 3 x  − 

 3  3 

rồi kết luận hệ vô nghiệm; …”

“Trước khi giải hệ phương trình nói chung, học sinh nên có thói quen đoán nhận về số nghiệm của hệ phương trình để giải để sơ bộ biết trước rằng hệ phương trình sẽ có nghiệm duy nhất hay vô nghiệm hay vô số nghiệm.

[SGV9; tr.11]

Đến ví dụ thứ hai SGK9 đề cập đến một bài toán trong vật lý liên quan đến

quan hệ giữa các đại lượng quãng đường, vận tốc và thời gian của chuyển động đều

“ Ví dụ 2: Một chiếc xe tải đi từ TP.Hồ Chí Minh đến TP.Cần Thơ, quãng đường dài 189 km. Sau khi xe tải xuất phát một giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ TP.Cần Thơ về TP.Hồ Chí Minh và gặp xe tải sau khi đã đi được 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc mỗi xe, biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.

Cách giải

Từ giả thiết của bài toán, ta thấy khi hai xe gặp nhau thì:

giờ.

- Thời gian của xe khách đã đi là 1 giờ 48 phút, tức là

9 5

giờ =

giờ (vì xe tải khởi hành trước

- Thời gian của xe tải đã đi là 1 giờ +

9 5

14 5

xe khách 1 giờ)

Gọi vận tốc của xe tải là x (km/h) và vận tốc của xe khách y (km/h).

Điều kiện của ẩn là x và y là những số dương.

Ta tiếp tục giải bài toán này bằng cách thực hiện các hoạt động sau:

và cũng được SGK9 hướng dẫn chi tiết bằng các hoạt động 3, 4, 5 trang 21.

?3 Lập phương trình biểu thị giả thiết: Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.

?4 Viết các biểu thức chứa ẩn biểu thị quãng đường mỗi xe đi được, tính đến khi hai xe gặp nhau. Từ đó suy ra phương trình biểu thị giả thiết quãng đường từ TP.Hồ Chí Minh đến TP.Cần Thơ dài 189 km.”

[SGK9; tr 21]

Trong ví dụ thứ hai, việc lập các phương trình đòi hỏi học sinh hiểu biết về

các quy luật trong chuyển động đều. Cách chọn ẩn của SGK cũng không khác gì so

với ví dụ 1: ẩn là các đại lượng cần tìm được nêu trong yêu cầu của bài toán, ẩn của

bài toán đã được nêu tường minh. Tại sao SGK lại chọn ẩn x, y không phải là v1, v2

- các ký hiệu dùng cho vận tốc? Theo chúng tôi, SGK hướng đến các ẩn đã sử dụng

trong hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ẩn toán học x, y gắn liền với hệ phương trình

bậc nhất hai ẩn mà học sinh đã được học. Hai ẩn x, y làm cho việc chuyển bài toán

về mô hình toán học không gắn với tình huống thực tế, không tạo được mối liên hệ

trực quan giữa mô hình toán học và tình huống ban đầu. Do đó, khi lập được hệ

phương trình với hai ẩn x, y, SGK đã thoát khỏi tình huống ban đầu mà bài toán đặt

ra.

Với việc chọn ẩn như trên, việc dịch giả thiết “mỗi giờ xe khách đi nhanh

hơn xe tải 13 km” thành phương trình y – x = 13 không gặp trở ngại. Với giả thiết

còn lại, học sinh phải hiểu được quy luật về mối quan hệ của quãng đường, thời

189

gian, vận tốc; xác định được quãng đường hai xe đi được đến lúc gặp nhau thì mới

14 5

9 y+ 5

có thể lập được phương trình .

Trong ví dụ này, bài toán liên quan đến quãng đường nhưng SGK không đề

cập đến mô hình trung gian là các sơ đồ đường đi.

Thực tế thì kiểu nhiệm vụ này được xem như là học sinh đã biết và không

còn bỡ ngỡ nữa. Theo SGV9 “Điều khác biệt duy nhất là việc chọn hai ẩn thay vì

trước đây chỉ chọn một ẩn. Do đó, GV có điều kiện tập trung vào phân tích các mối

quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán để từ đó đưa ra cách chọn ẩn thích hợp

và lập được hệ phương trình bậc nhất hai ẩn thích hợp.” [SGV9; tr.20]

Như vậy SGV có nhấn mạnh sự cần thiết của việc phân tích bài toán để đưa

ra cách chọn ẩn và lập được hệ phương trình thích hợp nghĩa là xây dựng mô hình

toán học phù hợp. Thực tế, việc trình bày của SGK có nhắm đến mục tiêu này hay

không hay nó hoàn toàn thuộc về trách nhiệm của giáo viên.

Đến tiết thứ hai, SGK9 đề cập đến vấn đề tương đối mới với học sinh đó là

“Ví dụ 3: Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?

Cách giải

Từ giả thiết hai đội cùng làm trong 24 ngày thì xong cả đoạn đường (và được

xem là một công việc), ta suy ra trong một ngày hai đội làm chung được

1 24

(công việc). Tương tự, số phần công việc mà mỗi đội làm được trong một ngày và số ngày cần thiết để hoàn thành công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (trong bài toán này, ta hiểu số ngày là một đại lượng không nhất thiết phải nguyên).

Vậy ta có thể giải bài toán như sau:

Gọi x là số ngày để đội A làm một mình hoàn thành toàn bộ công việc; y là số ngày để đội B làm một mình hoàn thành toàn bộ công việc. Điều kiện của ẩn x và y là những số dương.

(công việc), đội B làm được

(công việc).

Mỗi ngày, đội A làm được

1 y

1 x

Do mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B nên ta có phương

1,5

trình:

hay:

(2.14)

1 x

1 y

1 x

3 1 y 2

Hai đội làm chung 24 ngày thì xong công việc nên mỗi ngày hai đội cùng làm

thì được

1 24 (công việc). Ta có phương trình:

(2.15)

1 x

1 y

1 24

Từ (2.14) và (2.15) ta có hệ phương trình:

(2.16)”

3 1 . y 2 1 y

1 24

 1  = x   1   x

năng suất và thời gian để hoàn thành công việc.

[SGK9; tr.22-23]

Mô hình toán học đã được định sẵn ngầm ẩn trong bài toán. Việc chọn ẩn

trong ví dụ này SGK9 cũng thực hiện như các ví dụ trên: chọn ẩn là đại lượng cần

tìm được nêu trong đề “Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó

trong bao lâu?”. Ta thấy mặc dù ẩn liên quan đến thời gian nhưng SGK không

dùng kí hiệu t (kí hiệu thường dùng cho thời gian) mà gọi ẩn là x và y. Các mối

quan hệ trong bài toán trên ít nhiều gây khó khăn cho học sinh trong việc lập

phương trình (các đại lượng năng suất và thời gian tỉ lệ nghịch với nhau). Để lập

được phương trình từ giả thiết “Mỗi ngày, phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi

đội B”, với cách đặt ẩn như trên, học sinh trước hết cần tính số phần công việc mà

1,5

1 x

1 y

mỗi đội làm được trong một ngày từ đó mới lập được phương trình . Việc

lập phương trình thứ hai cũng vậy đòi hỏi học sinh phải hiểu được mối quan hệ giữa

năng suất và thời gian.

Hệ phương trình lập được không phải là hệ phương trình bậc nhất nhưng nó

“Giải hệ (2.16) bằng cách đặt ẩn phụ

rồi trả lời bài toán đã cho.”

;

1 x

1 y

  

  

được hướng dẫn giải quyết bằng hoạt động 6:

. v

[SGK9; tr.23]

;

3 2

1 x

1 y

  = u    + u v 

1 24

Với việc đặt ẩn phụ ta được hệ phương trình:

= x  = y

 = u   = v 

1 40 1 60

, từ đó ta có kết quả . Giải hệ phương trình này ta được

Thực tế việc giải hệ phương trình bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ phương

trình bậc nhất hai ẩn thì học sinh đã gặp trong bài tập 27 trang 20 SGK9.

Bài toán trên có thể có những cách chọn ẩn khác nhau. SGK9 hướng dẫn

cách chọn ẩn khác thông qua hoạt động 7.

“Hãy giải bài toán trên bằng cách khác (gọi x là số phần công việc làm trong một ngày của đội A; y là số phần công việc làm trong một ngày của đội B). Em có nhận xét gì về cách giải này?”

[SGK9; tr.23]

Theo hướng dẫn trên chúng ta có thể gọi x là số phần công việc làm trong

một ngày của đội A; y là số phần công việc làm trong một ngày của đội B. Khi đó ta

3 2

 = x   + = x 

1 24

có hệ:

 = x   = y 

1 40 1 60

Giải hệ phương trình này ta được , từ đó chúng ta suy ra được kết quả

bài toán: đội A hoàn thành công việc trong 40 ngày; đội B hoàn thành công việc

trong 60 ngày. Để suy ra được kết quả này đòi hỏi học sinh phải suy luận.

Trong cách gọi ẩn như trên, ẩn không phải là đại lượng được nêu trong bài

toán.

Trong hai cách chọn ẩn được hướng dẫn bởi SGK thì cách thứ nhất dễ thực

hiện hơn (vì ẩn được nêu tường minh trong câu hỏi). Cách chọn ẩn này chúng ta lập

được hệ không phải là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và cần thiết phải đặt ẩn phụ

để giải.

Theo SGV9, “Trong bài giải, SGK dùng phương án chọn ẩn trực tiếp, tức là

chọn chính đại lượng mà bài toán cần tìm làm ẩn. Cách chọn ẩn như vậy cho phép

dễ dàng lập hệ phương trình”[SGV9; tr.20].

Như vậy, qua ví dụ 3, SGK đã ngầm ẩn đề cập đến một khía cạnh quan trọng

của quá trình mô hình hóa, đó là cần thiết lập mô hình toán học sao cho phù hợp với

tình huống thực tế và cho phép giải quyết tình huống tối ưu nhất. Với một tình

huống thực tế, có thể tồn tại nhiều mô hình toán học khác nhau. Vấn đề là cần phải

đánh giá để lựa chọn ra mô hình tốt. Tuy nhiên, vấn đề có thể chọn ẩn khác nhau

trong kiểu nhiệm vụ giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình chỉ được đề cập

đến duy nhất một lần trong ví dụ 3 này. Trong tất cả các bài tập còn lại, ẩn luôn

được chọn là đại lượng cần tìm trong đề toán. Đặc trưng này cùng với chỉ dẫn của

SGK “Cách chọn ẩn như vậy cho phép dễ dàng lập hệ phương trình” sẽ dẫn đến

hình thành nơi học sinh quy tắc hợp đồng là luôn chọn ẩn là đại lượng cần tìm trong

đề toán.

Ở cuối bài, SGK9 đưa ra các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương

“Bước 1: Lập hệ phương trình.

- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng.

- Biễu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn.

- Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải hệ hai phương trình nói trên.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.”

trình.

[SGK9; tr.26]

Mô hình toán học trong các bài toán của kiểu nhiệm vụ “Giải bài toán bằng

cách lập hệ phương trình” hầu hết đã định sẵn (ngầm ẩn hoặc tường minh), học sinh

chỉ cần đặt ẩn và lập hệ. Trong các bước của quá trình mô hình hóa toán học, chỉ có

bước 3 được giải thích bởi các kiến thức có trong phần lý thuyết (các phương pháp

giải hệ phương trình). Hệ phương trình lập được luôn luôn là hệ có số phương trình

bằng số ẩn (hệ hai phương trình hai ẩn, bậc nhất hoặc không phải bậc nhất nhưng

đưa về hệ bậc nhất bằng cách đặt ẩn phụ) và giải được nghiệm thỏa yêu cầu bài

toán. Trong bước 2 ẩn luôn được chọn là các đại lượng được hỏi trong bài toán.

Bước 3 luôn cho kết quả vì các nghiệm tìm được luôn thỏa mãn điều kiện. Trong lời

giải của SGV9, chúng tôi thấy luôn luôn có bước đặt điều kiện cho ẩn. Tuy vậy,

bước này dường như chỉ là hình thức vì các dữ kiện của bài toán luôn luôn được

chọn sao cho nghiệm của hệ thỏa mãn các điều kiện của ẩn. Do đó, học sinh không

có trách nhiệm kiểm tra các kết quả toán học nhận được có phù hợp với thực tế hay

không.

Các bài toán thực tế không biểu diễn những tình huống “thực tế” với tất cả sự

phức tạp của nó mà chỉ là những mô hình khá gần với mô hình toán học cần xây

dựng (mô hình toán học đã xác định trước). Các bài toán này luôn cho đủ dữ kiện,

nhiệm vụ của học sinh là lập hệ và giải hệ đã lập rồi trả lời yêu cầu bài toán. Đại

lượng cần tính đến như ẩn luôn được nêu tường minh trong câu hỏi ở cuối bài toán.

Hệ phương trình tìm được luôn có nghiệm duy nhất và thỏa mãn yêu cầu đề bài, có

thể đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn hoặc hệ phương trình hai ẩn không bậc

1 1 , x y

nhất (trường hợp này hầu như học sinh chỉ gặp dạng ). Kiểu nhiệm vụ T1 (giải

hệ cho sẵn thuần túy toán học) được chú trọng nhiều nhất (79/148). Kiểu nhiệm vụ

T2 cũng được quan tâm, số lượng bài tập đưa ra nhiều (44/148). Số bài toán đưa về

hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là 33, số bài toán đưa về hệ phương trình hai ẩn

không bậc nhất là 11.

Sách giáo khoa ưu tiên sử dụng hệ phương trình tuyến tính để giải quyết các

bài toán thuộc kiểu nhiệm vụ T2, các phương pháp khác như phương pháp thử sai;

phương pháp lập phương trình một ẩn;… không hề được đề cập. Học sinh sử dụng

công cụ sẵn có là hệ phương trình tuyến tính, không có trách nhiệm đặt ra câu hỏi

lựa chọn công cụ toán học nào hữu hiệu nhất.

Các bài toán được xây dựng xung quanh các chủ đề: tìm hai số; quãng

đường, thời gian và vận tốc; năng suất và thời gian; hình học và các bài toán khác

về hỗn hợp 2 chất, các bài toán về sách, các bài toán về tỉ lệ, các bài toán yêu cầu

tìm số quả quýt, quả cam; số ghế, số học sinh....

Những phân tích trên cho phép chúng tôi dự đoán sự tồn tại ở học sinh các

quy tắc hợp đồng sau liên quan đến vấn đề mô hình hóa toán học bằng hệ phương

trình bậc nhất hai ẩn:

R1: Để giải bài toán cần lập một hệ hai phương trình hai ẩn.

R25: Ẩn được chọn là đại lượng cần tìm trong đề toán và xuất hiện tường

minh trong đề toán. Ẩn được kí hiệu là x, y.

2.2.3. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK106

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong SGK10 được trình bày trong “Chương

3: Phương trình , hệ phương trình”. SGK10 xem như học sinh đã học về hệ phương

“Ôn tập về phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.

…

Vì học sinh đã học phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ở lớp 9 nên SGK không trình bày lại cách giải mà nhắc lại bằng các hoạt động 1,2 và 3.”

trình này nên mục đích chỉ là nhắc lại kiến thức cũ. SGV10 nêu rõ:

[SGV10; tr.75]

Trước tiên, SGK10 nhắc lại định nghĩa về phương trình bậc nhất hai ẩn, biểu

diễn hình học tập nghiệm của phương trình này cũng được nhắc lại.

Sau đó, SGK10 nêu định nghĩa tổng quát về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Các kỹ thuật giải cũng không được nhắc lại, SGK10 thông qua hoạt động 3

yêu cầu học sinh tự thực hiện lại các kỹ thuật (ở đây chỉ có kỹ thuật thế và cộng đại

số).

Chúng tôi nhận thấy SGK10 cũng chỉ chú ý đến kiểu nhiệm vụ T1, kiểu

nhiệm vụ T2 không được chú ý, không được nhắc đến trong phần lý thuyết và số

lượng bài tập ít (chỉ có 8 bài kể cả sách giáo khoa và sách bài tập). Các bài trong

kiểu nhiệm vụ này giống như lớp 9: Tìm hai số; quãng đường, thời gian và vận tốc;

năng suất và thời gian, hình học. Việc chọn ẩn trong kiểu nhiệm vụ này cũng chính

là các đại lượng cần tìm trong yêu cầu bài toán; theo hướng dẫn giải trong SGV10

Liên quan đến, kiểu nhiệm vụ Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, SGK10NC chỉ có 1 bài tập về

vận tốc xuôi dòng và ngược dòng, tương tự như ở lớp 9. Số lượng bài tập trong SGK10 phong phú hơn. Vì

vậy, chúng tôi chỉ phân tích SGK10.

5 Một phần của R2 đã được kiểm chứng trong luận văn của Nguyễn Thị Minh Vân (2012).

và BTĐS10 thì đa số trường hợp ẩn vẫn được kí hiệu là x, y; hệ phương trình lập

1 1 ; x y

được là hệ bậc nhất hai ẩn hoặc không bậc nhất (vẫn là trường hợp ).

Tuy nhiên, có một trường hợp SGV đề cập một bài toán (năng suất – thời

gian) mà kí hiệu ẩn có liên quan đến tình huống thực tế hơn:

bức tường. Sau

được 7 giờ và người thứ hai sơn được 4 giờ thì họ sơn được

bức tường chưa

đó họ cùng làm việc với nhau trong 4 giờ nữa thì chỉ còn lại

5 9 1 18

sơn. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sau bao nhiêu giờ mỗi người mới sơn xong bức tường.”

“Hai công nhân được giao việc sơn một bức tường. Sau khi người thứ nhất làm

[SGK10; tr.70]

“Gọi t1 (giờ) là thời gian người thứ nhất sơn xong bức tường, t2 (giờ) là thời gian người thứ hai sơn xong bức tường; điều kiện t1 > 0, t2 > 0. Trong một giờ

bức tường, người thứ hai sơn được

bức tường.

người thứ nhất sơn được

1 t

1 t 1

Theo đầu bài ta có:

4 t

5 = 9

7 t 1

Sau 4 giờ làm việc chung họ sơn được:

(bức tường)

4 1 − 9 18

7 18

[…]”

Vậy ta có

4 t

7 18

4 t 1

Hướng dẫn giải trong sách giáo viên:

[SGV10; tr.79]

Trong bài toán này SGV gọi ẩn là t1, t2 gắn với tình huống thực tế hơn, đến

khi đặt ẩn phụ giải hệ thì mới chọn ẩn là x, y. Việc lập các phương trình trong bài

toán này đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ bản chất của tình huống mối liên hệ giữa

năng suất và thời gian. Hai phương trình trong bài toán này đòi hỏi học sinh phải

tính được số phần làm được trong một giờ của mỗi công nhân. Ngoài cách gọi ẩn

trực tiếp như hướng dẫn của SGV, bài toán này chúng ta có thể gọi ẩn gián tiếp: x, y

là năng suất làm việc lần lượt của mỗi công nhân (số phần công việc hoàn thành

trong một giờ). Tuy nhiên, với cách gọi ẩn trực tiếp thì hệ phương trình nhận được

dễ dàng hơn và cũng không khó để giải (tương tự SGK9). Vì vậy, SGV đã chọn

cách này.

Mô hình toán học trong kiểu nhiệm vụ này cũng đã được định sẵn, học sinh

chỉ có nhiệm vụ chọn ẩn, lập hệ phương trình và giải. Quá trình mô hình hóa không

được thực hiện đầy đủ các bước và đúng nghĩa.

Thật vậy, các bài toán trong kiểu nhiệm vụ này được cho với những điều

kiện ràng buộc như SGK9. Bài toán cho đủ dữ kiện, không thừa, không thiếu, yêu

cầu tìm hai đại lượng, hệ phương trình lập được giải được bằng các phương pháp đã

học và ra nghiệm thỏa yêu cầu đề bài. Việc đối chiếu kết quả với tình huống thực tế

chỉ là hình thức vì tất cả các nghiệm tìm được đều thỏa mãn bài toán.

2.3. Kết luận

Phần phân tích trên đã cho phép chúng tôi làm rõ những đặc trưng và ràng

buộc của thể chế dạy học Việt Nam đối với việc dạy học hệ phương trình tuyến tính

bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học. Chúng tôi có một số kết

luận sau:

- Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, các bài toán thực tiễn được giải quyết

bằng công cụ hệ phương trình tuyến tính chỉ được đề cập trong các giáo trình Đại số

tuyến tính dành cho kinh tế. Ở đó, vấn đề mô hình hóa toán học không được quan

tâm vì trong các bài toán, mô hình toán học luôn được cho sẵn. Sinh viên chỉ có

trách nhiệm làm việc với mô hình toán học và chuyển câu trả lời toán học về câu trả

lời cho bài toán kinh tế.

- Trong thể chế dạy học ở bậc phổ thông, trước khi hệ phương trình tuyến

tính bậc nhất hai ẩn chính thức được dạy trong chương trình lớp 9, tri thức này đã

xuất hiện ngầm ẩn trong chương trình lớp 4 thông qua bài toán “Tìm hai số khi biết

tổng và hiệu của hai số đó”, các bài toán này bước đầu đã có nội dung thực tế.

Phương pháp giải bài toán này là sơ đồ đoạn thẳng tương ứng với cách giải hệ

phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng đại số.

Kiểu nhiệm vụ giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình chủ yếu

xuất hiện ở lớp 9 còn ở lớp 10 ít được chú trọng. Mô hình toán học trong các bài

toán này hầu hết đã được định sẵn, quá trình mô hình hóa được thực hiện không đầy

đủ chỉ thực hiện ở bước 2, bước 3. Bước 4 chỉ là hình thức và chu kì kiểm tra dừng

lại ngay lần thực hiện đầu, vì kết quả tìm được luôn là kết quả của bài toán. Bước 2

bị chi phối bởi các quy tắc hợp đồng R1 và R2:

R1: Để giải bài toán cần lập một hệ hai phương trình hai ẩn.

R2: Ẩn được chọn là đại lượng cần tìm trong đề toán và xuất hiện tường

minh trong đề toán. Ẩn được kí hiệu là x, y.

Chúng tôi cũng đồng ý với các kết luận của tác giả Nguyễn Thị Minh Vân (2012) về

những ràng buộc của kiểu nhiệm vụ này:

+ Đề toán yêu cầu tìm 2 đại lượng.

+ Mối liên hệ giữa hai giá trị cần tìm không được chỉ ra một cách rõ ràng.

+ Hệ phương trình lập được từ đề toán phải đưa được về một hệ hai phương

trình tuyến tính hai ẩn.

+ Dữ kiện của bài toán rõ ràng, vừa đủ cho việc lập hệ phương trình.

Kiểu nhiệm vụ này được đề cập xoay quanh 5 loại bài toán: tìm hai số; quãng

đường, thời gian và vận tốc; năng suất và thời gian; hình học và các bài toán khác

(về hỗn hợp 2 chất, các bài toán về sách, các bài toán về tỉ lệ, các bài toán yêu cầu

tìm số quả quýt, quả cam; số ghế, số học sinh....). Chúng tôi không tìm thấy dấu vết

của các mô hình tuyến tính trong kinh tế (được trình bày ở bậc đại học) trong SGK

phổ thông. Đặc biệt hơn, ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong các bài

toán trong lĩnh vực kinh tế (liên quan đến giá cả, chi phí…) hoàn toàn vắng bóng

trong SGK phổ thông Việt Nam.

Qua phân tích SGK phổ thông chúng ta nhận thấy việc dạy học hệ phương

trình bậc nhất hai ẩn được tiến hành theo tiến trình sau:

Dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và các phương pháp giải  Áp

dụng hệ phương trình tuyến tính để giải quyết một số vấn đề thực tế.

Theo Lê Văn Tiến (2005), đây là quy trình dạy học mô hình hóa. Tuy nhiên,

với các đặc trưng và ràng buộc của thể chế như trên đã phân tích thì việc dạy học

mô hình hóa này chưa thực sự diễn ra theo đúng các bước của quá trình mô hình

hóa. Vấn đề cốt lõi ở đây chỉ là áp dụng kiến thức toán học đã xác định (hệ phương

trình bậc nhất hai ẩn) vào việc giải quyết một số dạng toán quen thuộc. Nguồn gốc

thực tiễn của khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cũng như vai trò công cụ

của nó khá mờ nhạt.

Hơn nữa, vấn đề dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa

đã không được tính đến. Thật vậy, hệ phương trình được đưa vào SGK một cách

trực tiếp như là một đối tượng nghiên cứu chứ không xuất phát từ nhu cầu giải

quyết các vấn đề của toán học và của thực tế.

Làm thế nào để xây dựng được những tình huống dạy học sao cho khái niệm

hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nảy sinh qua nhu cầu giải quyết các bài toán thực

tế, đồng thời nâng cao khả năng vận dụng toán học vào cuộc sống hằng ngày ở học

sinh?

Câu hỏi này thúc đẩy chúng tôi nghiên cứu xây dựng một tiến trình dạy học

hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa nhằm giúp học sinh thấy được

động cơ, nhu cầu thực tiễn của việc nghiên cứu hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Tiến trình này bao gồm các bước sau:

Xuất phát từ bài toán thực tiễn → Xây dựng mô hình toán học (hệ phương

trình bậc nhất hai ẩn) → Câu trả lời cho bài toán thực tiễn → Tri thức cần giảng dạy

(định nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, các phương pháp giải hệ phương trình

bậc nhất hai ẩn) → Vận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn khác.

Việc xây dựng tiến trình dạy học này dựa trên giả thuyết nghiên cứu sau:

“ Có thể làm nảy sinh khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như là

công cụ để giải quyết các vấn đề thực tiễn trước khi xem nó như một đối tượng

nghiên cứu. Nói cách khác, có thể tổ chức dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

bằng mô hình hóa và học sinh có thể tiếp cận bước đầu với quá trình mô hình hóa

toán học.”

Việc xây dựng thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết này và kết quả thực

nghiệm sẽ được trình bày trong chương 3 tiếp theo.

Chương 3:

THỰC NGHIỆM

(ĐỒ ÁN DẠY HỌC)

Nghiên cứu chương 2 cho thấy rõ vấn đề dạy học bằng mô hình hóa và dạy

học mô hình hóa chưa được quan tâm đầy đủ trong việc dạy học hệ phương trình

tuyến tính bậc nhất hai ẩn. Trong chương 2 chúng tôi cũng đã nghiên cứu các ràng

buộc thể chế đối với kiểu nhiệm vụ giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương

trình, kết quả nghiên cứu cho thấy các bước của quá trình mô hình hóa không được

thực hiện đầy đủ (chủ yếu học sinh chỉ thực hiện bước 2 và bước 3, tức là hoạt động

trong mô hình toán học).

Trong chương này, chúng tôi xây dựng một tình huống dạy học hệ phương

trình bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa với mong muốn giúp học sinh tiếp cận với

các bước của quá trình mô hình hóa toán học và giúp học sinh thấy được động cơ,

nhu cầu thực tiễn của việc nghiên cứu hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cụ thể chúng tôi xây dựng tiến trình dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

như sau: Xuất phát từ bài toán thực tiễn → Xây dựng mô hình toán học (hệ phương

trình bậc nhất hai ẩn) → Câu trả lời cho bài toán thực tiễn → Tri thức cần giảng dạy

(định nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, các phương pháp giải hệ phương trình

bậc nhất hai ẩn) → Vận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn khác.

1. Mục đích thực nghiệm

Thực nghiệm nhằm kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết nghiên cứu sau:

“ Có thể làm nảy sinh khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như là

công cụ để giải quyết các vấn đề thực tiễn trước khi xem nó như một đối tượng

nghiên cứu. Nói cách khác, có thể tổ chức dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

bằng mô hình hóa và học sinh có thể tiếp cận bước đầu với quá trình mô hình hóa

toán học.”

Cụ thể, mục đích thực nghiệm của chúng tôi là:

+ Thiết lập một tình huống cho phép học sinh tiếp cận khái niệm hệ phương

trình bậc nhất hai ẩn và các phương pháp giải hệ. Khái niệm hệ phương trình bậc

nhất hai ẩn và các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn xuất hiện như

là kết quả của việc giải quyết một số bài toán thực tiễn đặt ra ban đầu.

+ Thông qua hoạt động giúp học sinh tăng cường khả năng vận dụng hệ

phương trình như công cụ giải quyết bài toán thực tế và phát triển khả năng mô hình

hóa toán học ở học sinh.

2. Nội dung thực nghiệm

2.1. Giới thiệu các tình huống thực nghiệm

 Phiếu số 1:

An: Tôi có hai số. Nếu thêm vào số thứ hai hai lần số thứ nhất thì ta được

115. An hỏi Bình hai số đó là hai số nào?

Câu hỏi 1

Theo em, Bình có trả lời được câu hỏi của An hay không? Vì sao?

 Phiếu số 2:

An phát hiện trong câu đố bị thiếu dữ kiện nên An thêm vào dữ kiện sau:

“Nếu bớt số thứ hai một giá trị bằng hai lần số thứ nhất ta được 15”. Vậy hai số đó

là hai số nào?

Câu hỏi 2

2.1. Theo nhóm em, Bình có thể trả lời được câu đố của An chưa?

2.2. Nhóm em hãy thảo luận và viết hướng dẫn gởi bạn Bình để Bình giải

được câu đố của An bằng ít nhất ba cách.

 Phiếu số 3:

Cô Ba là người bán các loại cá ngoài chợ, cô mua cá của những người nuôi cá

và đem ra chợ bán kiếm lời. Cô thu mua nhiều loại cá: cá rô, cá phi, cá điêu hồng,…

Ngày hôm qua cô mua 20kg cá điêu hồng, lúc đầu cô bán hết 16kg thì chợ bắt đầu

thưa người, cô quyết định giảm giá bán và bán hết số cá điêu hồng còn lại thu được

tiền lời từ bán cá điêu hồng trong ngày là 76000 đồng. Ngày hôm sau cô thu mua

15kg cá điêu hồng, tương tự ngày trước đó lúc đầu cô bán được 13kg thì chợ bắt

đầu thưa người, cô quyết định giảm giá bán và bán hết số cá điêu hồng còn lại thu

được tiền lời từ bán cá điêu hồng là 63000 đồng. Biết rằng giá bán cá điêu hồng và

giá giảm giá trong hai ngày không đổi. Hỏi khi bán với giá giảm giá thì cô Ba lời

hay lỗ, số tiền này là bao nhiêu?

Câu hỏi 3

Em hãy giải bài toán trên.

 Phiếu số 4:

Hai nhà bạn An và Bình cách nhau 3600m. Mỗi buổi sáng hai bạn thường đi

bộ ngược chiều nhau, ngày đầu tiên hai bạn xuất phát cùng lúc và gặp nhau tại địa

điểm cách nhà bạn An 2000m. Ngày thứ hai do bạn Bình xuất phát sớm hơn bạn An

6 phút nên hai bạn gặp nhau ngay giữa đoạn đường. Hỏi An và Bình đi bộ với vận

tốc bao nhiêu?

Câu hỏi 4

Trong các hệ phương trình cho dưới đây, em hãy chọn những hệ tương ứng

với đề toán trên, giải thích và nêu rõ ý nghĩa các biến? Theo em, em chọn trường

2000 1600 −

1600 v 2

hợp nào? Vì sao?

= −

360

1800 v 2

    1800 1800  − 

 2000  v  1  1800   v 1

(1) (2)

−

2000

1600

t 2000 1

−

0 = −

1600 t 2 = t 360 1800

1800

360

  1800 

  1800 t  1

(3) (4)

 Phiếu số 5:

Một gia đình muốn bơm nước và quyết định đi thuê. Có hai hình thức thuê

một loại máy bơm. Loại thứ nhất giá thuê là 150 ngàn đồng một tháng, loại thứ hai

giá thuê 15 ngàn đồng một giờ. Tuy nhiên, nếu thuê máy bơm loại thứ nhất thì mỗi

giờ tốn thêm phí nhiên liệu là 5 ngàn đồng.

Gọi y là số tiền mà gia đình này phải trả cho việc sử dụng máy bơm trong x giờ

trong một tháng.

Câu hỏi 5

5.1. Hãy viết và vẽ đồ thị của những hàm số biểu diễn chi phí phải trả cho

việc sử dụng máy bơm theo hai hình thức trên cùng một hệ trục tọa độ. Suy ra giao

điểm. Giao điểm này có ý nghĩa gì?

5.2. Nếu cần sử dụng máy bơm trong một tháng và mỗi ngày cần phải sử

dụng trong ít nhất 1 giờ thì gia đình này nên chọn hình thức nào để chi phí phải trả

thấp hơn.

2.2 Dàn dựng kịch bản

 Pha 1: (Làm việc cá nhân – 10 phút).

♦ Giáo viên phát thông báo phiếu số 1. Học sinh làm việc cá nhân để nghiên

cứu trả lời câu hỏi trong phiếu số 1.

♦ Giáo viên thu lại bài làm của học sinh và tổng kết các câu trả lời của học

sinh.

♦ Giáo viên kết luận: An yêu cầu tìm hai số nhưng chỉ có một dữ kiện về mối

liên hệ giữa chúng nên hai số đó chưa xác định.

 Pha 2: (Làm việc nhóm – 20 phút)

♦ Giáo viên phát thông báo phiếu số 2. Học sinh làm việc nhóm để nghiên

cứu trả lời phiếu số 2 vào tờ giấy A0.

♦ Các nhóm dán sản phẩm của nhóm lên bảng. Giáo viên yêu cầu một số

nhóm giải thích lời giải của nhóm. Chú ý chiến lược giải bằng cách lập hệ phương

trình (ngầm ẩn hoặc tường minh) mà học sinh đưa ra, và các kỹ thuật giải hệ mà học

sinh đã sử dụng.

 Pha 3: (Làm việc nhóm – 20 phút)

♦ Giáo viên phát thông báo phiếu số 3. Học sinh làm việc nhóm để nghiên

cứu trả lời phiếu số 3 vào tờ giấy A0.

♦ Các nhóm dán sản phẩm của nhóm lên bảng. Giáo viên yêu cầu một số

nhóm giải thích lời giải của nhóm.

♦ Giáo viên tổng kết pha 3: Nhấn mạnh các bước của quá trình mô hình hóa

toán học một tình huống thực tế (xây dựng mô hình toán học, đối chiếu lời giải toán

học với thực tế,…).

 Pha 4: (Làm việc tập thể (Thể chế hóa) – 15 phút)

♦ Giáo viên trình bày kiến thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương

pháp giải hệ và phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.

 Pha 5: (Làm việc cá nhân – 10 phút)

♦ Giáo viên phát thông báo phiếu số 4. Học sinh làm việc cá nhân.

♦ GV thu lại bài làm của HS, yêu cầu một số HS đưa ra câu trả lời.

♦ Giáo viên tổng kết pha 5, chú ý việc chọn ẩn trong một bài toán.

 Pha 6: (Làm việc nhóm – 25 phút)

♦ Giáo viên phát thông báo phiếu số 5. Học sinh làm việc theo nhóm.

♦ Học sinh dán câu trả lời của nhóm lên bảng. Giáo viên yêu cầu một số

nhóm giải thích lời giải của nhóm.

♦ Giáo viên tổng kết pha 6: Giới thiệu phương pháp giải hệ phương trình bậc

nhất hai ẩn bằng đồ thị và ý nghĩa của nó.

3. Đối tượng thực nghiệm

Thực nghiệm này được thực hiện trên học sinh lớp 9 sau khi học sinh đã học

về hàm số bậc nhất y = ax + b và phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by + c = 0.

4. Phân tích tiên nghiệm

4.1. Biến và giá trị của chúng

♦ V1: Hình thức làm việc. Cá nhân, theo nhóm, cả lớp.

+ Làm việc cá nhân: Phát huy tinh thần làm việc của từng học sinh, giúp học

sinh hiểu bài toán và cung cấp tư liệu cho làm việc nhóm.

+ Làm việc nhóm: có sự trao đổi thảo luận giúp tìm nhanh cách giải quyết

bài toán.

+ Làm việc cả lớp: tạo sự tranh luận trong thời điểm tổng kết các pha và tổng

kết tiết học.

♦ V2: Nguồn gốc của bài toán: Trong toán học hay ngoài toán học.

♦ V3: Yêu cầu của bài toán.

+ Giải bằng nhiều cách .

+ Giải bài toán.

+ Chọn câu trả lời cho sẵn.

♦ V4: Biến liên quan đến đại lượng cần tính đến như ẩn số.

+ Đại lượng cần tính đến như ẩn số được nêu tường minh trong câu hỏi đặt ra

ở cuối bài toán.

+ Đại lượng cần tính đến như ẩn số không được nêu tường minh trong câu

hỏi đặt ra ở cuối bài toán.

Bảng 1: Giá trị của các biến được lựa chọn trong tình huống

V1 V2 V4 V3

Câu 1 Làm việc cá nhân Trong toán học

Tường minh Câu 2.2 Làm việc nhóm Trong toán học Giải bằng nhiều cách

Giải bài toán Câu 3 Làm việc nhóm Ngoài toán học Không tường minh

Tường minh Câu 4 Làm việc cá nhân Ngoài toán học Chọn câu trả lời

Giải bài toán Câu 5 Làm việc nhóm Ngoài toán học

Chúng tôi xây dựng các tình huống trong phiếu số 3, 4 và 5 là các tình huống

phá vỡ hợp đồng trong thể chế dạy học ở Việt Nam.

Với bài toán trong phiếu số 3, ẩn cần chọn để lập hệ phương trình (tiền lời

khi bán 1 kg cá lúc đầu và sau khi giảm giá) không được chỉ ra tường minh trong đề

toán dưới dạng các phương trình ngầm ẩn. Mặt khác, các biến này cũng không được

nêu ra tường minh trong câu hỏi ở cuối đề toán (Hỏi khi bán với giá giảm giá thì cô

Ba lời hay lỗ, số tiền này là bao nhiêu?).

Vì vậy, ở đây, nếu chọn ẩn là đại lượng được nêu tường minh trong bài toán

thì sẽ là giá bán 1 kg cá lúc đầu và lúc sau chứ không phải tiền lời. Tuy nhiên, cách

lựa chọn ẩn như vậy sẽ dẫn đến sự bất hợp lí trong câu trả lời cuối cùng (giá bán là

một số âm). Việc đối chiếu câu trả lời với tình huống thực tế cho thấy mô hình toán

học đã xây dựng không phù hợp và đòi hỏi phải điều chỉnh cách chọn ẩn để xây

dựng một mô hình mới phù hợp hơn. Ta thấy rằng ở đây, quá trình mô hình hóa

toán học được nhấn mạnh thông qua việc xây dựng và điều chỉnh mô hình toán học,

đối chiếu mô hình với thực tế,…

Với bài toán trong phiếu số 4, dạng bài tập lựa chọn mô hình toán học tương

ứng với bài toán thực tế là hoàn toàn vắng mặt trong sách giáo khoa của Việt Nam.

Như chương 2 chúng tôi đã phân tích, các bài tập trong sách giáo khoa Việt Nam

luôn ưu tiên việc chọn ẩn bằng cách trực tiếp (chọn ẩn là đại lượng cần tìm trong đề

toán) và ẩn thường được kí hiệu là x, y. Cách chọn ẩn gián tiếp chỉ được đề cập sơ

lược qua 1 ví dụ và sau đó không xuất hiện lại. Với bài toán ở phiếu số 4, học sinh

đứng trước sự lưỡng lự cần phải đánh giá hệ phương trình nào tương ứng với đề

toán thông qua các cách chọn ẩn khác nhau. Tình huống này cũng cho thấy có nhiều

cách để xây dựng các mô hình toán học khác nhau của một bài toán thực tế. Vấn đề

quan trọng là xác định được mô hình vừa đơn giản vừa cho phép giải quyết bài toán

tốt nhất.

Với bài toán trong phiếu số 5, việc giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng

đồ thị được đề cập đến trong sách giáo khoa một cách thuần túy toán học. Ý nghĩa

của các đồ thị và giao điểm của chúng không được nói đến. Tình huống này yêu cầu

học sinh ngoài việc xây dựng mô hình toán học và làm việc trên chúng, cần phải

khai thác tốt các mô hình này về mặt ý nghĩa của chúng đối với bài toán thực tế để

tìm câu trả lời cho bài toán thực tế.

4.2. Chiến lược và cái có thể quan sát được, ảnh hưởng của biến

4.2.1. Phiếu số 1

Chúng tôi dự đoán học sinh có thể trả lời theo hai khả năng:

+ Học sinh trả lời có và chọn một cặp số thỏa mãn yêu cầu của bài toán. Có

thể học sinh sẽ đưa ra nhiều cặp số thỏa mãn yêu cầu.

+ Học sinh trả lời không vì chưa đủ dữ kiện hoặc có nhiều cặp số thỏa mãn.

Trong khả năng này chúng tôi mong muốn học sinh thiết lập được biểu thức 2x + y

= 115 (với x, y là hai số cần tìm).

4.2.2. Phiếu số 2 và phiếu số 3

 Các chiến lược có thể của các bài toán ở phiếu số 2 và phiếu số 3

♦Sthử-sai: Chiến lược “Thử - sai”

Lập mối liên hệ giữa hai số. Lần lượt thử các số đến khi tìm được một cặp số

thỏa yêu cầu.

♦Ssđ: Chiến lược “Lập sơ đồ”

Vẽ sơ đồ đoạn thẳng và dựa vào quy tắc tìm số lớn số bé trong bài toán tìm

hai số khi biết tổng hiệu hai số đó.

♦ Spt: Chiến lược “Lập phương trình”

+ Gọi một ẩn và lập phương trình để giải.

+ Kết luận.

♦ S2h: Chiến lược “Lập hệ hai phương trình hai ẩn”

+ Gọi hai ẩn

+ Lập các phương trình từ giả thiết.

+ Lập hệ và giải hệ phương trình tìm được.

+ Kết luận.

 Phân tích chi tiết cái có thể quan sát được:

♦ Pha 2

Với chiến lược Sthử-sai, chúng tôi có thể dự đoán học sinh trình bày như sau:

Chọn cặp số thỏa điều kiện thứ nhất, sau đó thử điều kiện thứ hai cho đến khi

có một cặp số thích hợp.

Cái có thể quan sát gắn với chiến lược Ssđ,

115

Hai lần số thứ nhất:

Số thứ hai:

+ 115 15 2

Vậy số thứ hai là .

− 115 15 2

Hai lần số thứ nhất là . Số thứ nhất là 25.

Cái có thể quan sát gắn với chiến lược Spt, học sinh có thể gọi một ẩn là số thứ nhất

hoặc số thứ hai.

Gọi x là số thứ nhất. Suy ra số thứ hai là 115 – 2x.

Theo giả thiết ta có phương trình 115 – 2x – 2x = 15.

Giải phương trình trên ta được x = 25.

Vậy số thứ nhất là 25, số thứ hai là 65.

Đối với chiến lược S2h, học sinh có thể trình bày như sau:

Gọi x, y lần lượt là hai số cần tìm.

Theo giả thiết ta có hai phương trình:

2x + y = 115

y – 2x = 15

Cộng vế theo vế hai phương trình ta được 2y = 130, suy ra y = 65 và x = 25.

Vậy số thứ nhất là 25, số thứ hai là 65.

Trong chiến lược này học sinh có thể giải hai phương trình trên bằng kỹ

thuật thế.

Giá trị của biến V2 được chọn ở pha này là tình huống trong toán học, cụ thể

là bài toán tìm hai số được cho dưới dạng câu đố. Đây là bài toán quen thuộc đối

với học sinh với chiến lược sơ đồ hoặc chiến lược phương trình. Giá trị biến V1

chúng tôi chọn là làm việc theo nhóm sau pha 1 tạo điều kiện cho học sinh tìm ra

được nhiều cách giải theo yêu cầu. Giá trị của biến V3 là giải bằng ít nhất ba cách

cùng với giá trị của V4 là đại lượng cần tính đến như ẩn số được nêu tường minh

trong câu hỏi đặt ra ở cuối bài toán tạo điều kiện thuận lợi để học sinh tìm ra chiến

lược S2h. Ngoài ra, nếu trong pha 1 học sinh thiết lập được phương trình bậc nhất

hai ẩn liên hệ giữa hai số thì chiến lược hệ phương trình sẽ có nhiều khả năng xuất

hiện.

♦ Pha 3

Chi tiết cái có thể quan sát được trong pha này như sau:

Với chiến lược Spt,

Gọi x là số tiền lời khi chưa giảm giá bán

x−

Suy ra số tiền lời lúc giảm giá bán là 139000 – x

4 76000

x 29

139000 6

Từ đó ta có phương trình

−

= −

Từ đó tìm x = 145000.

6000

Số tiền lời sau khi giảm giá 139000 145000

Bài toán cho kết quả âm nhưng trên thực tế, số tiền lời phải là số dương nên

có thể học sinh kết luận bài toán sai hoặc không tìm được. Chiến lược này học sinh

gặp trở ngại trong việc lập phương trình nên theo chúng tôi chiến lược này sẽ ít xuất

hiện.

Với chiến lược S2h : Với việc học sinh đã được tiếp cận ngầm ẩn kiểu nhiệm vụ

“Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình” trong pha 2, chiến lược này có khả

năng xuất hiện nhiều.

Tùy theo việc gọi ẩn số mà các phương trình lập được sẽ khác nhau và mô hình

nhận được có phù hợp hay không đối với tình huống. Chẳng hạn, sau đây là một số

cách gọi ẩn số có thể và lời giải tương ứng.

1) Gọi x là số tiền lời khi bán 1kg cá lúc đầu; y là số tiền lời từ 1kg cá lúc

sau.

Theo giả thiết ta có hai phương trình:

16x + 4y = 76000

13x + 2y = 63000

Giải hai phương trình trên ta được x = 5000; y = - 1000.

Giá trị y < 0 cho thấy khi bán cá với giá giảm giá thì cô Ba sẽ bị lỗ 1000

đồng cho mỗi kg cá. Đây là lời giải tối ưu của bài toán. Tuy nhiên, nếu học sinh

quan niệm số tiền lời (hay tổng quát hơn là ẩn được chọn trong bài toán) luôn luôn

phải là số dương thì có thể học sinh sẽ loại nghiệm y.

2) Gọi x là số tiền lời lúc đầu; y là số tiền lời sau khi giảm giá bán.

Theo giả thiết ta có hai phương trình:

+ = 16 4 76000

+ = 13 2 63000 x 29 x 29 y 6 y 6

Giải hai phương trình trên ta được x = 145000; y = - 6000.

Tương tự như trong trường hợp 1, nghiệm y < 0 có thể sẽ bị loại. Việc lập

hai phương trình theo cách chọn ẩn này sẽ khó khăn hơn vì vậy, nó khó có khả năng

xuất hiện.

3) Nếu ẩn số được chọn là đại lượng được đề cập tường minh trong đề bài

(giá bán 1 kg cá lúc đầu và lúc sau) thì có thể xuất hiện lời giải sau:

Gọi x là giá bán 1kg lúc đầu; y là giá bán 1kg cá lúc sau.

Theo giả thiết ta có hai phương trình:

16x + 4y = 76000

13x + 2y = 63000

Giải hai phương trình trên ta được x = 5000; y = - 1000.

Nếu đối chiếu với thực tế thì học sinh sẽ thấy sự vô lý ở đây vì giá bán 1 kg cá lúc

sau là một số âm. Điều này tạo môi trường phản hồi cho phép học sinh điều chỉnh

lại lời giải.

Đây là một bài toán thực tế nên nó sẽ hạn chế chiến lược sơ đồ, tạo thuận lợi

cho chiến lược phương trình và hệ phương trình xuất hiện. Biến V4 chúng tôi chọn

giá trị là các ẩn cần chọn không được nêu tường minh trong câu hỏi ở cuối đề toán.

4.2.3. Phiếu số 4

Chúng tôi đặt học sinh trong tình huống chọn lựa mô hình toán học tương

ứng với bài toán thực tế. Với yêu cầu xác định rõ các yếu tố tương ứng với mô hình

đó, chúng tôi có thể dự đoán học sinh trả lời theo hai hướng như sau:

+ Chọn ẩn trực tiếp.

+ Chọn ẩn gián tiếp.

Chi tiết cái có thể quan sát được như sau :

Chọn hệ (1) với v1, v2 lần lượt là vận tốc của An và Bình (m/s).

Chọn hệ (2) với x, y lần lượt là vận tốc của An và Bình (m/s).

Chọn hệ (3) với t1, t2 lần lượt là thời gian của An và Bình đi mỗi mét (s).

Chọn hệ (4) với x, y lần lượt là thời gian của An và Bình đi mỗi mét (s).

Trong hệ (1) và (2), các ẩn được gọi trực tiếp từ các đại lượng được nêu tường

minh trong đề toán. Việc lập các phương trình cũng không gặp trở ngại. Tuy nhiên,

việc giải hệ phương trình lập được sẽ khó khăn hơn (cần phải đặt ẩn phụ). Các ẩn

của hệ (1) gắn liền với tình huống (vận tốc kí hiệu là v) trong khi các ẩn của hệ (2)

tách rời khỏi tình huống thực tế (ẩn là x, y).

Với hệ (3) và (4), cách chọn ẩn gián tiếp (đại lượng được chọn làm ẩn không

được nêu tường minh trong câu hỏi ở cuối đề toán), việc gọi ẩn sẽ khó khăn hơn.

Tuy nhiên, hệ phương trình lập được lại đơn giản và cho phép giải quyết nhanh bài

toán. Các ẩn của hệ (3) gắn liền với tình huống (thời gian kí hiệu là t) trong khi các

ẩn của hệ (4) tách rời khỏi tình huống thực tế (ẩn là x, y).

4.2.4. Phiếu số 5

 Chi tiết cái có thể quan sát được

Câu hỏi 5.1:

Chi phí sử dụng loại thứ nhất y = 5x + 150.

Chi phí sử dụng loại thứ hai y = 15x.

Đồ thị

y

225

200

150

100

x

Tọa độ giao điểm (15; 225).

Ý nghĩa của giao điểm: Nếu trong tháng gia đình này chỉ sử dụng 15 giờ

150

bơm thì chọn hình thức nào cũng như nhau. Ngoài ra, về mặt toán học tọa độ giao

x 5 x 15

=  y  = y

điểm này chính là nghiệm của hệ .

Câu hỏi 5.2:

Với thời gian sử dụng máy bơm ít nhất 30 giờ thì gia đình này nên chọn loại

thứ nhất.

Chúng tôi dự đoán học sinh sẽ giải thích theo các chiến lược sau:

+ Chiến lược đồ thị: Dựa vào hình vẽ. Theo hướng này học sinh sẽ chọn loại

thứ nhất, do số giờ bơm lớn hơn 30 giờ và theo đồ thị nếu số giờ bơm lớn hơn 15

giờ thì loại thứ nhất có chi phí thấp hơn.

+ Chiến lược đại số: Tính chi phí sử dụng theo hai hình thức và so sánh.

Chi phí sử dụng loại thứ nhất y = 5.30 + 150 = 300 (ngàn đồng).

Chi phí sử dụng loại thứ hai y = 15.30 = 450 (ngàn đồng)

Vậy gia đình này nên chọn loại thứ nhất.

Bài toán này đặt ra vấn đề khai thác mô hình toán học để giải thích cho tình

huống thực tế, ngoài ra cũng tạo điều kiện giúp học sinh tiếp cận kỹ thuật giải hệ

phương trình bằng đồ thị.

4.3. Phân tích kịch bản

Các pha của đồ án dạy học được dàn dựng nhằm thực hiện tiến trình dạy học

hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng mô hình hóa:

Xuất phát từ bài toán thực tiễn → Xây dựng mô hình toán học (hệ phương

trình bậc nhất hai ẩn) → Câu trả lời cho bài toán thực tiễn → Tri thức cần giảng dạy

(định nghĩa hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, các phương pháp giải hệ phương trình

bậc nhất hai ẩn) → Vận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn khác.

Cụ thể, pha 1, pha 2 và pha 3 nhằm thực hiện 3 mắt xích đầu tiên của tiến trình

dạy học. Pha 4 tương ứng với mắt xích thứ tư và pha 5, pha 6 thực hiện mắt xích

thứ năm của tiến trình. Cụ thể tiến trình dạy học được chúng tôi xây dựng như sau:

pha 1, pha 2 và pha 3: Tiếp cận và sử dụng hệ phương trình → pha 4: Thể chế hóa

→ pha 5 và pha 6: Vận dụng.

Trong pha 1 chúng tôi mong muốn học sinh từ mối liên hệ của hai số thiết lập

thành một biểu thức chứa hai ẩn (phương trình bậc nhất hai ẩn). Pha này là bước

đệm giúp học sinh dễ dàng xây dựng hệ phương trình trong pha 2.

Pha 2 là bước chuẩn bị cần thiết giúp học sinh có suy nghĩ đến việc lập hệ và

giải hệ phương trình trong pha 3. Thực tế trong pha 2 chúng tôi đã chọn bài toán mà

hệ phương trình lập được có thể giải bằng kỹ thuật cộng đại số hoặc kỹ thuật thế

một cách dễ dàng. Điều này giúp học sinh trong việc hình thành kỹ thuật giải hệ

trong pha 3.

Pha 1 và pha 2 đặt ra bài toán khá quen thuộc với học sinh (tìm hai số) với các

chiến lược học sinh đã biết là lập sơ đồ, lập phương trình. Tuy nhiên, với câu hỏi ở

pha 1 yêu cầu học sinh giải thích tại sao Bình không trả lời được câu đố của An và

yêu cầu giải bằng ít nhất 3 cách trong pha 2, chúng tôi mong muốn sẽ xuất hiện

chiến lược hệ phương trình ở học sinh (ngầm ẩn hoặc tường minh). Pha này làm

tiền đề cho bước chuyển sang pha 3 vì ở pha 3, các chiến lược thử-sai và chiến lược

“lập sơ đồ” không cho phép giải quyết bài toán. Chiến lược phương trình cũng khá

đắt giá vì sự khó khăn trong việc lập phương trình. Như vậy, trong khi ở pha 2 các

chiến lược lập sơ đồ, lập phương trình hay hệ phương trình đều đi đến lời giải tối ưu

thì ở pha 3, chỉ có chiến lược hệ phương trình là chiến lược tối ưu cho phép giải

quyết bài toán.

Như vậy, pha 3 nhấn mạnh hơn vai trò công cụ của hệ phương trình bậc nhất

hai ẩn và mối liên hệ giữa tình huống thực tế và mô hình toán học. Qua pha này,

chúng tôi mong muốn cho học sinh tiếp cận việc mô hình hóa toán học một tình

huống thực tế. Bước đầu tiên học sinh cần phải xác định yêu cầu bài tìm cụ thể là

yếu tố nào để từ đó xây dựng mô hình toán học. Kết quả bài toán cũng đòi hỏi học

sinh quay trở lại tình huống thực tế kết luận người bán cá bị lỗ (tương ứng bước 4

của quá trình mô hình hóa).

Pha 4 nhằm ghi nhận kết quả thu được từ pha 2, pha 3, đưa ra khái niệm hệ

phương trình và các phương pháp giải hệ, các bước thực hiện kiểu nhiệm vụ giải bài

toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình.

Pha 5 và pha 6 nhằm tạo điều kiện cho học sinh vận dụng hệ phương trình như

một công cụ trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Pha 5 chúng tôi đặt cho học

sinh vấn đề sự tương ứng bài toán và mô hình toán học. Từ đó chúng tôi mong

muốn học sinh nhận ra được một bài toán có thể có nhiều mô hình toán học tương

ứng khác nhau, tùy theo mô hình được chọn mà bài toán trở nên dễ dàng hơn hay

khó khăn hơn. Pha 6 giúp học sinh có khả năng khai thác mô hình toán học rút ra

các nhận xét cho tình huống thực tế. Ngoài ra chúng tôi cũng mong muốn học sinh

tiếp xúc với kỹ thuật giải hệ bằng đồ thị.

5. Phân tích hậu nghiệm

Thực nghiệm được triển khai tại lớp 96 (24 học sinh) của trường Trung học

cơ sở Phường 1 – thị xã Gò Công, Tiền Giang.

Dữ liệu thu thập được bao gồm: Bài làm cá nhân của học sinh trên phiếu số 1

và phiếu số 4, lời giải phiếu số 2, phiếu số 3 và phiếu số 5 của 6 nhóm được trình

bày trên giấy A0, giấy nháp của các học sinh, ghi âm buổi học và ghi âm trao đổi

của các nhóm.

5.1. Ghi nhận tổng quát

Việc tiếp cận với phương trình bậc nhất hai ẩn trước đó đã giúp đa số học

sinh nhận ra trong câu đố của An là thiếu dữ kiện và học sinh lập được phương trình

y + 2x = 115.

Trong pha 2, pha 3 và pha 6, các nhóm học sinh thảo luận rất sôi nổi để giải

quyết các câu hỏi đặt ra.

Bảng 2. Thống kê số nhóm giải theo các chiến lược

Câu 2.2 Câu 3

1 0 Ssđ

3 0 Spt

6 3 S2h

0 0 Sthử-sai

Chiến lược hệ phương trình đã xuất hiện ở tất cả các nhóm trong pha 2 với

bài toán tìm hai số (tình huống trong toán học và quen thuộc) và xuất hiện ở 3/6

nhóm trong pha 3 với bài toán trong lĩnh vực kinh tế. Như vậy, kiến thức nhắm đến

(hệ phương trình bậc nhất hai ẩn) đã xuất hiện ở đa số các nhóm học sinh.

5.2. Phân tích chi tiết kết quả thực nghiệm

5.2.1. Pha 1

Kết quả pha 1 như sau:

Bảng 3. Thống kê kết quả pha 1

Tổng Lập phương trình hai ẩn Không lập biểu thức Đúng Sai

1 0 4 5 Bình trả lời được

6 4 9 19 Bình không trả lời được

11 13 24 Tổng

Đa số học sinh nhận ra thiếu dữ kiện nên Bình không trả lời được (19/24 học

sinh).

(Trích bài làm của H4)

Nhiều học sinh đã biết lập phương trình hai ẩn (11/24 học sinh trong đó có

7/11 học sinh lập đúng phương trình 2x + y = 115).

(Trích bài làm của H8)

Kết thúc pha 1, giáo viên gọi một học sinh giải thích câu trả lời của mình.

- GV: Thầy mời em H7, em hãy giải thích cách làm của em.

- H7: Bình không trả lời được câu hỏi của bạn An vì nếu gọi số thứ nhất là x số thứ hai là y thì từ giả thiết ta có phương trình 2x + y = 115. Như vậy có vô số cặp số x và y thỏa mãn phương trình trên cho nên Bình không thể trả lời chính xác câu hỏi của bạn An. (Protocole câu 3-4)

Giáo viên kết luận:

- GV: An yêu cầu tìm hai số nhưng chỉ có một dữ kiện về mối liên hệ giữa chúng nên hai số đó chưa xác định.(Protocole câu 12)

5.2.2. Pha 2 và pha 3: Tiếp cận và sử dụng hệ phương trình

 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và các kỹ thuật giải hệ xuất hiện

như là kết quả của việc giải quyết các bài toán trong toán học và ngoài toán

học

Bảng 4. Thống kê chiến lược giải của các nhóm trong pha 2 và pha 3

Chiến S2h Không lược Ssđ Spt trả lời khác

Không trình bày Câu 2.2 N3 N1, N2, N6 Kỹ thuật thế N1, N3, N4 Kỹ thuật cộng N2, N5, N6

N2, N5 Câu 3 N4 N1 N3, N6

♦ Pha 2

Trong pha 1, học sinh đã xác định được phương trình y + 2x = 115 nên sau

khi thảo luận về đề thì các nhóm thiết lập được phương trình thứ hai mà không gặp

nhiều trở ngại.

- H17: Nếu bớt số thứ hai một giá trị bằng hai lần số thứ nhất ta được 15. Vậy

y – 2x = 15. (Protocole câu 63, nhóm 5)

Sau khi lập được hai phương trình các nhóm bắt đầu tìm cách giải tìm x, y.

- H2: Sao Bình có thể trả lời được? Giải không được.

- H3: Hai dữ kiện đúng không? Có phương trình 1 là: 2x + y = 115, phương

trình 2 là y – 2x = 15.

- H4: x = (y –15):(- 2) (Protocole câu 18-20, nhóm 1)

Trong phần tranh luận, các nhóm đã đưa ra cách thực hiện các kỹ thuật giải

hệ (kỹ thuật thế và kỹ thuật cộng đại số) mặc dù tên gọi của chúng chưa xuất hiện.

- H8: Muốn giải hai phương trình này lấy hai vế trừ nhau. (Protocole câu 31,

nhóm 2)

- H11: y = 2x +15, thế vào trên là tìm được x rồi. (Protocole câu 42, nhóm 3)

- H21: Cộng hai vế phương trình lại – 2x + 2x = 0 rồi. (Protocole câu 68, nhóm

Sau khi tranh luận, các nhóm đã trình bày khá rõ ràng các kỹ thuật giải hệ.

Bài làm của nhóm 4 đã thể hiện kỹ thuật thế bằng nhiều cách khác nhau. Nhóm 1 và

nhóm 3 cũng giải hệ bằng kỹ thuật thế.

Theo đề bài, ta có:

2x + y = 115 (1)

y – 2x = 15 ⇒ y = 15 + 2x (2)

Thế (2) vào (1) ta được:

⇔ x = 25 ⇒ y = 15 + 2x = 15 + 25.2 = 65

2x + 15 + 2x = 115 […]

(Trích bài làm nhóm 4 pha 2)

Nhóm 2, nhóm 5 và nhóm 6 giải hệ bằng kỹ thuật cộng đại số.

Gọi x, y lần lượt là số thứ nhất và số thứ hai (0 ≤ x ≤ 57,5)

(0 ≤ y ≤ 115)

Theo đề bài, ta có 2 phương trình:

2x + y = 115 (1)

y – 2x = 15 (2)

Ta lấy (1) + (2) ta được:

⇒ y = 65

2y = 130

Ta có: 2x = y – 15 = 65 – 15 = 50 ⇒ x = 25

(Trích bài làm nhóm 6 pha 2)

Nhóm 6 đặt điều kiện chặt cho ẩn, nhóm 3 cũng có điều kiện x, y nguyên

dương mặc dù trong bài toán này hoàn toàn không có điều kiện nào cho hai số. Điều

“Học sinh luôn đặt điều kiện cho ẩn, thậm chí là “điều kiện chặt” nhưng không

có thói quen kiểm tra, suy nghĩ liệu đáp án có thỏa điều kiện và phù hợp với bài

toán hay không. Đối với học sinh ẩn luôn có giá trị dương.”

[Nguyễn Thị Minh Vân (2012); tr.71]

này cũng phù hợp với kết luận của Nguyễn Thị Minh Vân (2012):

Chúng tôi chọn các giá trị đủ khó đã làm chiến lược thử - sai hoàn toàn

không xuất hiện (kể cả trong phần tranh luận của các nhóm). Chiến lược Ssđ chỉ có

nhóm 3 thực hiện.

Chiến lược phương trình chỉ có 3/6 nhóm thực hiện mặc dù học sinh mới gặp

trong lớp 8. Theo chúng tôi có thể do trong pha 1 nhiều học sinh đã thiết lập được

phương trình bậc nhất hai ẩn. Ngoài ra, giả thiết thứ hai được cho tương tự như giả

thiết thứ nhất nên việc lập phương trình hai ẩn thứ hai này không có nhiều trở ngại.

Kết thúc pha 2 giáo viên đã yêu cầu hai nhóm giải thích cách làm của nhóm và

giáo viên lưu ý vấn đề đặt điều kiện cho ẩn của học sinh.

- H10: Cách làm của nhóm 3 tụi con là gọi x là số thứ nhất y là số thứ hai, điều kiện

x, y nguyên dương.

- GV: Tại sao có điều kiện x, y nguyên dương?

- H10: Tại vì hai số không thể nào là số thập phân được, là số nguyên dương?

- GV: Các em có đồng ý với ý kiến của bạn không?

- GV: Bạn An có yêu cầu điều kiện này không các em?

- Cả lớp: Không. (Protocole câu 84-89)

Như vậy qua pha 2 tất cả các nhóm đã thiết lập được hai phương trình và sử

dụng ngầm ẩn các kỹ thuật giải hệ (kỹ thuật thế và kỹ thuật cộng đại số). Với bài

toán này thì cả ba chiến lược Ssđ, Spt và S2h đều là chiến lược tối ưu nhưng chiến

lược S2h vẫn chiếm ưu thế. Điều này có được là do việc chọn giá trị các biến khi

chúng tôi đưa vào bài toán này: Đây là bài toán quen thuộc trong toán học (V2), ẩn

được chọn trực tiếp từ câu hỏi trong bài toán (V4). Giá trị biến V4 làm cho học sinh

dễ dàng phiên dịch dữ kiện bài toán thành các phương trình.

Với bài toán tìm hai số này, kiến thức về hệ phương trình và kỹ thuật giải hệ

phương trình xuất hiện một cách tự nhiên ở học sinh trong quá trình giải quyết bài

toán.

♦ Pha 3

Đến pha 3, bài toán chúng tôi đặt ra với câu hỏi “Hỏi khi bán với giá giảm giá

thì cô Ba lời hay lỗ, số tiền này là bao nhiêu?”, đại lượng cần tính đến như ẩn số

không được nêu tường minh trong câu hỏi. Điều này gây không ít khó khăn cho học

sinh khi gọi ẩn. Nhóm 3 và nhóm 6 đã không trả lời được. Nhóm 3 tranh luận về đề

bài khá lâu để xác định đại lượng cần tìm và cách gọi ẩn.

- H11: Gọi x là số tiền bán cá được ngày hôm qua, y là số tiền bán cá được

ngày hôm sau. (Protocole câu 113, nhóm 3)

- H10: Phải gọi x là số tiền bán cá điêu hồng lúc giảm giá thì đúng hơn.

(Protocole câu 115, nhóm 3)

Nhóm 6 cũng dành nhiều thời gian để thảo luận đề và nhất là tranh luận làm thế

nào để tính tiền lời.

- H22: Gọi x số tiền lúc bình thường, y số tiền lúc giảm giá.

- H21: Lời hay lỗ mình tính cái gì?

- H22: 29x + 6y = 139000. (Protocole câu 154 - 156, nhóm 6)

Nhóm 6 lập được một phương trình bậc nhất hai ẩn nên không thể tìm được x,

y. Nhóm này đã gộp hai giả thiết làm một (tính số kg cá bán được lúc chưa giảm giá

và lúc giảm giá sau đó lập phương trình thể hiện tổng tiền lời trong hai ngày). Theo

chúng tôi việc không xác định được đi tìm cái gì đã khiến nhóm này không lập được

các phương trình tương ứng.

Nhóm 1 tuy có trả lời nhưng không phải dùng chiến lược hệ mà dùng số tiền

lời tổng chia cho số kg cá tính ra tiền lời mỗi kg cá. Nhóm này đã không hiểu được

yêu cầu bài toán và cũng như nhóm 6 nhóm này cũng không xác định được đại

lượng thực tế cần phải tìm.

Các nhóm còn lại mặc dù có trả lời nhưng đều gọi ẩn là đại lượng được nêu

tường minh trong bài toán (giá bán trước và sau giảm giá).

Gọi x là giá tiền bán cá lúc đầu

y là giá tiền bán cá khi giảm giá

−

Theo đề bài ta có:

⇒ = 2

76000 16 2

16x + 4y = 76000 (1)

13x + 2y = 63000 (2)

63000 (...)

− 76000 16 2

⇔

5000

−

= −

⇒ y = – 1000

Thay (1) vào (2) ta được:

2000

76000 16 2

− 76000 16.5000 2

Vì

Vậy khi giảm giá cô Ba lỗ và lỗ 1000/kg.

(Trích bài làm nhóm 4 pha 3)

Trong pha này, do có bước đệm là pha 1 và pha 2 nên các nhóm trả lời đều

thiết lập hai phương trình và giải bằng kỹ thuật thế. Học sinh chọn ẩn là hai đại

lượng được đề cập tường minh trong bài toán đó là giá bán mỗi kg cá trước và sau

giảm giá. Như vậy, mặc dù cách gọi ẩn số chưa đúng nhưng công cụ hệ phương

trình bậc nhất hai ẩn đã được sử dụng bởi hầu hết các nhóm học sinh.

Chúng tôi có thể kết luận rằng qua pha 2 và pha 3, hệ phương trình bậc nhất

hai ẩn xuất hiện ở học sinh như là kết quả của việc giải quyết các bài toán thực tế.

 Tiếp cận mô hình hóa toán học

Đối với bài toán ngoài toán học ở pha 3, các nhóm học sinh đã tích cực tìm

mô hình toán học của nó. Tuy nhiên, như chúng tôi đã phân tích ở trên, ngay từ

bước đầu tiên các nhóm đã gặp khó khăn trong việc xác định phải tìm đại lượng nào

và gọi ẩn là đại lượng nào vì đại lượng cần tính đến như ẩn không được nêu tường

minh ở cuối đề toán. Bài toán cho số tiền lời mỗi ngày, việc gọi ẩn phải liên quan

đến số tiền lời này. Tuy nhiên, các nhóm theo chiến lược hệ phương trình đã không

xác định được chính xác đại lượng thực sự cần tìm. Nhóm 2, nhóm 4 và nhóm 5 đều

gọi ẩn là giá bán trước và sau giảm giá. Như vậy, bước xây dựng mô hình toán học

của tình huống này là một vấn đề đối với học sinh.

Quan sát bài làm của nhóm 2, chúng tôi ghi nhận nhóm này chỉ nêu cách gọi

ẩn và lập được hai phương trình nhưng đã bị gạch đi. Tuy nhiên, trong phần tranh

luận nhóm đã lập được hai phương trình bậc nhất hai ẩn và tính ra được các giá trị

x, y.

- H5: 16x + 4y = 76000; 13x +2y = 63000.

- H8: x = 5000; y = - 1000.

- H6: Tìm x, y là tìm ra cái gì?

- H7: Số tiền lời lỗ là bao nhiêu?

- H7: Có cá nào – 1000 kg?

- H5: Hay gọi x, y là cái khác đi. Gọi x là tiền vốn.(Protocole câu 107 – 112)

Mặc dù trước đó có thành viên của nhóm nêu cách gọi ẩn là tiền lời (H8: Gọi

x là số tiền lời mỗi kg,…) nhưng khi trình bày thì nhóm lại gọi “x là số tiền bán

đúng giá trên kg, y là số tiền bán giảm giá trên kg”. Điều này chứng tỏ học sinh bị

ảnh hưởng của cách gọi ẩn là đại lượng tường minh được nêu trong bài toán trong

phần “giải bài toán bằng cách lập phương trình”. Khi tính được kết quả y = - 1000

nhóm đã có những suy nghĩ đối chiếu với thực tế (Có cá nào – 1000 kg?). Thành

viên H5 đã có suy nghĩ đến việc điều chỉnh cách gọi ẩn chứng tỏ đã có học sinh

quan tâm đến bước 4 (đối chiếu kết quả thực tế, xây dựng lại mô hình cho phù hợp).

Việc chưa tìm ra cách gọi ẩn phù hợp đã làm cho nhóm này không trình bày đầy đủ

bài làm của mình và cũng chứng tỏ nhóm đã nhận ra mô hình toán học mình đang

xây dựng là không phù hợp.

Nhóm 4 và nhóm 5 đã không kiểm tra kết quả thu được có phù hợp với thực

tế hay không. Tuy hai nhóm này đều gọi ẩn là giá bán trước và sau lúc giảm giá

nhưng khi giải các phương trình ra kết quả âm thì trả lời cô Ba lỗ. Chúng tôi nghĩ

rằng do ở bài toán này chúng tôi đặt câu hỏi cô Ba lời hay lỗ nên học sinh đã tìm

cách trả lời cho câu hỏi này. Thực tế khi gọi ẩn bằng cách này và giải được y = -

1000 thì lẽ ra các nhóm cần phải đặt lại vấn đề tại sao giá bán mà lại âm?

Hai nhóm này đã không nhận ra việc lập mô hình toán học như trên là không

phù hợp đòi hỏi quá trình này phải thực hiện lại lần nữa.

Kết thúc pha 3, giáo viên gọi nhóm 4 và nhóm 5 giải thích cách làm của

nhóm. Cả hai nhóm đều gọi ẩn là giá bán trước và sau giảm giá, đều ra kết quả y = -

1000 và kết luận cô Ba lỗ.

- GV: Các em có đồng ý với cách làm của hai nhóm 4 và 5 không?

- GV: x là giá bán mỗi kg cá khi chưa giảm giá. x = 5000 thầy có thể hiểu là khi

chưa giảm giá mỗi kg bán được 5000 đồng, y là giá bán lúc giảm, vậy y = -

1000 có nghĩa là sao? Em nào có thể giải thích được? […]

- GV: Bài toán cho dữ kiện liên quan đến số tiền lời, vậy chúng ta phải gọi ẩn

là số tiền lời. […]

- H20: x là tiền lời mỗi kg cá lúc chưa giảm giá, y là tiền lời mỗi kg cá khi giảm

giá. (Protocole câu 163 – 168).

Thông qua pha này giáo viên cũng tổng kết quá trình làm việc của học sinh

và đưa ra thuật ngữ mô hình hóa toán học.

- GV: Đây là một bài toán có nội dung thực tế, như các em đã thấy muốn giải

cần phải xây dựng các phương trình toán học, giải các phương trình ta được

kết quả của bài toán toán học, sau đó phải đối chiếu với thực tế trả kết quả cho

bài toán ban đầu. Quá trình này gọi là quá trình mô hình hóa toán học.

- GV: Các em thấy rằng quá trình đó không phải chỉ dừng lại trong một lần

thực hiện. Ví dụ như các bạn nhóm 5 gọi ẩn là giá bán thì kết quả nhận được

không hợp lý, giá bán thì không thể âm. Khi đó quá trình trên phải được thực

hiện lại để thiết lập được bài toán toán học phù hợp hơn. […](Protocole câu

170 – 171).

Từ đây học sinh đã được tiếp cận mô hình hóa toán học.

5.2.3. Pha 4: Thể chế hóa

Pha này giáo viên sẽ tổng kết và thể chế hóa các kiến thức về hệ phương

trình bậc nhất hai ẩn mà học sinh đã đạt được qua các pha trước.

- GV: Em có thể nêu dạng tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn.

- H12: Thưa thầy nó có dạng ax + by + c = 0.

- GV: Khi ghép hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a’x + b’y = c’

c =

+ ax by + a x b y

  

thành một hệ thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn .

- GV: Giống như ở đây trong pha 2 chúng ta có hai phương trình này chúng ta

ghép lại tạo thành một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, tương tự trong pha 3

chúng ta ghép hai phương trình này ta được một hệ. (GV chỉ lên các phương

trình tương ứng trên màn chiếu) (Protocole câu 172 – 176).

Sau đó giáo viên giới thiệu các khái niệm hệ phương trình, nghiệm của hệ, hệ

vô nghiệm, giải hệ phương trình và hai hệ phương trình tương đương. Tiếp theo

giáo viên giới thiệu các kỹ thuật giải hệ. Các kỹ thuật này được rút ra từ bài làm của

các nhóm.

- GV: Trong câu hỏi 2 và 3, các em đã biến đổi các phương trình để tìm ra

nghiệm của các hệ phương trình. Người ta gọi cách giải của nhóm 3 trong pha

2 là cách giải hệ bằng phương pháp thế và cách giải của nhóm 6 là cách giải

hệ bằng phương pháp cộng đại số. (GV dán lại bài làm có trình bày các

phương pháp này và dựa vào đó gọi tên)

- GV: Nguyên tắc chung của hai phương pháp này là gì?

- H6: Tìm một ẩn trước.

- GV: Đúng rồi. Nguyên tắc chung của hai phương pháp này là khử bớt một ẩn

của hệ đưa về phương trình một ẩn.

- GV: Bây giờ các em nhìn lên đây, đây là hệ bạn giải theo phương pháp thế.

Vậy theo các em để giải hệ phương trình bằng phương pháp thế chúng ta phải

làm gì?

- H6: Suy ra một ẩn từ một phương trình rồi thế vào phương trình còn lại và

giải phương trình đó.

GV tổng kết trình bày các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Nêu ví dụ và gọi một học sinh trình bày lên bảng, sau đó gọi một học sinh nhận

xét, chiếu lời giải theo cách thế còn lại.

- GV: Dùng phương pháp thế chúng ta chọn phương trình và biểu diễn y theo x

hoặc x theo y sao cho đơn giản.

- GV: Bây giờ các em xem bài giải của bạn bằng phương pháp cộng đại số và

các em cho thầy biết là để giải hệ bằng phương pháp cộng đại số ta cần thực

hiện như thế nào?

- H11: Thưa thầy cộng hai phương trình của hệ ta được phương trình một ẩn.

− = y

- GV: Em nào có ý kiến khác không?

x +

  

- GV: Thầy lấy ví dụ như hệ có thể thực hiện như bạn nêu được

không các em?

- GV: Ở hệ trên hai hệ số này đối nhau nên cộng lại sẽ mất, còn hệ số của hệ

này thế nào các em?

- Cả lớp: Không đối nhau.

- GV: Vậy chúng ta phải làm thế nào?

- Cả lớp: Nhân hai vế cho 2. […] (Protocole câu 182 -196)

Ngoài ra trong pha này giáo viên còn tổng kết các bước giải bài toán thực tế

bằng cách lập hệ phương trình.

- GV: Trong pha 2 và 3 các em đã gặp bài toán được giải bằng cách lập hệ

phương trình. Như bài toán tìm hai số và bài toán bán cá. Các em hãy nêu các

bước cần thực hiện để giải quyết các bài toán đó?

- H13: Thưa thầy gọi ẩn, lập các phương trình, giải hệ phương trình tìm được.

- GV: Các bước này cũng tương ứng với các bước của quá trình mô hình hóa toán học. Bước 1 chính là bước xây dựng các phương trình toán học, bước 2 là giải các phương trình ta được kết quả của bài toán toán học, việc đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện tương ứng với bước cuối của quá trình mô hình hóa. (Protocole câu 197 -199)

5.2.4. Pha 5 và pha 6: Vận dụng

 Pha 5

Bảng 5. Thống kê kết quả pha 5

Hệ (1) Hệ (2) Hệ (3) Hệ (4) Không chọn Tổng

11 9 2 0 3 25 Số lượng

Chỉ có hai học sinh chọn hệ (3) chứng tỏ cách chọn ẩn gián tiếp khó nhận ra.

H15 chọn hệ (3) với giải thích về biến liên quan đến thời gian mặc dù chưa chính

xác.

- t1: là thời gian xuất phát đến lúc hai bạn gặp nhau của An.

- t2: là thời gian xuất phát đến lúc hai bạn gặp nhau của Bình.

Hơn nữa, ta nhận thấy có 10 học sinh chọn hệ (1) mà không chọn hệ (2) và 2 học

sinh chọn hệ (3) mà không chọn hệ (4). Kết quả này cho thấy với kí hiệu ẩn số liên

quan đến bài toán thực tiễn (vận tốc v và thời gian t) thì có khả năng học sinh sẽ

nhận ra sự tương ứng của mô hình thực tế và mô hình toán học cao hơn vì khi đó

mô hình toán học gần gũi về ngữ nghĩa so với thực tế hơn.

Hệ (1) được nhiều học sinh chọn nhất và kèm theo lời giải thích là v1 là vận

tốc của An, v2 là vận tốc của Bình.

(Trích bài làm H15)

Tuy nhiên, vẫn có 8/24 học sinh chỉ chọn hệ (2) mà không chọn hệ (1). Điều

này chứng tỏ một số học sinh cho rằng ẩn được chọn phải là x, y giống như các ẩn

trong hệ phương trình tổng quát.

(Trích bài làm H8)

Chỉ có duy nhất 1 học sinh chọn cả hai hệ (1) và (2). Các học sinh còn lại chỉ

chọn 1 trong 3 hệ đầu tiên. Điều này khiến chúng tôi đặt ra câu hỏi “Tại sao?”. Câu

trả lời có thể là học sinh chưa quan tâm đến câu hỏi: “Trong các hệ phương trình

cho dưới đây, em hãy chọn những hệ tương ứng với đề toán trên?” hoặc học sinh

chỉ chấp nhận 1 hệ mà họ cho là phù hợp nhất với đề toán mà không chấp nhận

những hệ khác.

Kết thúc pha 5 giáo viên gọi học sinh giải thích cách chọn.

- GV: Thầy mời em (H16) nêu câu trả lời của em và giải thích.

- H16: Hệ (1) tương ứng, v1 là vận tốc của An đi (km/h), v2 là vận tốc của Bình

đi (km/h).

- GV: Em thấy hệ (1) và (2) có gì khác nhau không?

- H16: Có.

- GV: Hay là chỉ chuyển vế qua lại.

- H16: Dạ. Chuyển vế.

- GV: Như vậy hệ (2) có tương ứng với bài toán không?[…] (Protocole câu

201-207)

- GV: Thực ra không chỉ có hệ (1), (2) là tương ứng với bài toán mà cả hệ (3), (4) cũng tương ứng. […] Trong các hệ trên những hệ nào cho phép giải quyết nhanh bài toán? (Protocole câu 210)

- GV: Một bài toán thực tế có thể tương ứng với nhiều bài toán toán học khác nhau. Như trong bài toán ở pha này, có nhiều cách chọn ẩn khác nhau để lập hệ phương trình tương ứng với đề toán. Có cách chọn ẩn sẽ ra được bài toán toán học đơn giản dễ giải quyết nhưng cũng có cách chọn ẩn sẽ gây khó khăn. Do vậy tùy tình huống thực tế mà chúng ta có cách chọn ẩn khác nhau (trực tiếp hoặc gián tiếp) để xây dựng những mô hình toán học (hệ phương trình bậc nhất hai ẩn) khác nhau. (Protocole câu 212)

Như vậy, qua pha này, vấn đề xây dựng và chọn lựa mô hình toán học thích

hợp cho một bài toán thực tế đã được lưu ý đối với học sinh. Bước xây dựng mô

hình toán học trong quá trình mô hình hóa một tình huống thực tế là rất quan trọng.

 Pha 6

Trong pha 6 học sinh gặp khó khăn khi vẽ đồ thị hai hàm số và xác định tọa độ

giao điểm (các giá trị tương đối lớn không quen thuộc như những đồ thị mà học

sinh thường gặp). Tọa độ giao điểm của hai đồ thị này là (15; 225). Chúng tôi cho

phép học sinh làm việc trên giấy A0 có kẻ lưới ô vuông sẽ tạo điều kiện thuận lợi

cho học sinh xác định tọa độ giao điểm.

Ở câu 5.1, tất cả các nhóm đều lập được hai hàm số. Tuy nhiên chỉ có nhóm 1,

nhóm 2 và nhóm 6 vẽ đủ hai đồ thị trong đó nhóm 1, nhóm 2 dựa vào đồ thị để xác

định giao điểm.

(Trích bài làm nhóm 1 pha 6)

Nhóm 4 tuy đã xác định được hai hàm số nhưng do xác định dạng y = 5000x

+ 150000 và y = 15000x nên đã không vẽ được đồ thị.

Ý nghĩa giao điểm chỉ có nhóm 1 trả lời, các nhóm khác không có câu trả lời.

Câu trả lời của nhóm 1 liên quan đến chi phí (Tại giao điểm thì hai chi phí bằng

nhau – Trích bài làm nhóm 1 pha 6). Nhóm 5 giải hệ để xác định giao điểm tuy

nhiên nhóm này cũng không nêu được ý nghĩa giao điểm của hai đồ thị chính là

 150 5 x  15 y x 

nghiệm của hệ phương trình . Điều này chứng tỏ học sinh thường chú

trọng làm việc trên biểu thức đại số, chưa chú trọng mối quan hệ giữa biểu thức đại

số của hàm số và đồ thị.

Ở câu 5.2, có 3 nhóm trả lời nhưng tất cả đều tính giá trị để so sánh. Trong

khi đó đồ thị hai hàm số đã có nhưng các nhóm không tận dụng được mô hình toán

học này. Điều này chứng tỏ học sinh chưa có khả năng khai thác trên mô hình toán

học có sẵn (đồ thị) để xác định kết quả của tình huống thực tế. Kết quả này cũng

phù hợp với kết quả của nhiều nghiên cứu khác là học sinh Việt Nam không có thói

quen làm việc trên đồ thị của hàm số mà việc giải quyết bài toán thường quy về làm

việc trên biểu thức đại số của nó.

Kết thúc pha 6 giáo viên gọi nhóm 1 và nhóm 2 giải thích cách làm của

nhóm.

- GV: Thầy mời đại diện nhóm 1 giải thích cách làm của nhóm.

- H4: Thưa thầy x là số giờ nên hình thức 1 có chi phí y = 150 +5x, hình thức 2

có chi phí y = 15x. Tại giao điểm hai chi phí bằng nhau. Đối với câu 2, gia đình

này nên chọn hình thức 1 vì có chi phí rẻ hơn.

- GV: Thầy mời đại diện nhóm 2 giải thích cách làm của nhóm.

- H7: Thưa thầy cách làm của nhóm em như nhóm 1, giao điểm là nghiệm hệ

phương trình trên. (Protocole câu 261 -264)

Giáo viên nhấn mạnh việc khai thác mô hình toán học có sẵn để trả lời kết quả

bài toán ban đầu.

- GV: Qua hoạt động này các em thấy dựa vào mô hình toán học của một bài toán thực tế chúng ta có thể dự đoán kết quả ứng với nhiều trường hợp khác nhau trong thực tế. Chẳng hạn với bài toán trên chúng ta quyết định được chọn hình thức nào khi số giờ bơm nhỏ hơn 15, bằng 15 và lớn hơn 15. - GV: Ngoài ra chúng ta có thêm một cách khác để giải hệ phương trình là cách dùng đồ thị. Em nào có thể nêu các bước giải hệ phương trình bằng đồ thị? - H14: Vẽ đồ thị hai phương trình sau đó xác định giao điểm, giao điểm đó chính là nghiệm của hệ. (Protocole câu 270 -272)

Kết thúc pha này giáo viên đã giới thiệu kỹ thuật giải hệ bằng đồ thị và nhấn

mạnh kỹ năng đọc đồ thị để tìm câu trả lời cho bài toán thực tế trong các trường hợp

khác nhau.

6. Kết luận

- Trong thực nghiệm, trước khi khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

được đưa vào, ở phần lớn học sinh đã xuất hiện những ý tưởng về việc thành lập hệ

hai phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết các bài toán liên quan đến hai số hoặc

hai đại lượng đặt ra cho họ. Các kỹ thuật giải hệ bằng phương pháp cộng đại số và

phương pháp thế cũng được khám phá bởi chính học sinh. Trước pha thể chế hóa

của giáo viên, kiến thức nhắm đến (hệ phương trình bậc nhất hai ẩn) đã xuất hiện ở

đa số các nhóm học sinh.

- Đồ án đã tạo ra một cách tiếp cận mới về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn,

tạo ra sự ngắt quãng với các thực hành của thể chế, vì các kiến thức về hệ phương

trình bậc nhất hai ẩn nảy sinh như là kết quả của việc giải quyết các tình huống toán

học và ngoài toán học.

- Thực nghiệm chứng tỏ học sinh đã vận dụng được hệ phương trình bậc nhất

hai ẩn trong việc giải quyết các bài toán toán học và ngoài toán học. Họ không gặp

phải khó khăn khi làm việc với mô hình toán học (giải hệ phương trình bậc nhất hai

ẩn) mà họ gặp vấn đề khi xây dựng và chọn lựa mô hình toán học phù hợp với tình

huống (đặc biệt là trường hợp các đại lượng được tính đến như ẩn số không được

nêu tường minh trong yêu cầu của bài toán). Hơn nữa, học sinh chưa quen với việc

khai thác mô hình toán học để trả lời các câu hỏi của thực tế cũng như đối chiếu câu

trả lời của bài toán toán học với tình huống thực tế để kiểm chứng về sự hợp thức

của mô hình toán học và của câu trả lời. Đồ án đã tạo cơ hội cho học sinh tiếp cận

với quá trình mô hình hóa toán học, đặc biệt là bước thiết lập mô hình toán học và

đối chiếu mô hình với thực tế – hai bước hầu như vắng mặt trong sách giáo khoa.

+ Thực nghiệm chứng tỏ có thể tổ chức dạy học hệ phương trình bậc nhất hai

ẩn cho học sinh bằng mô hình hóa toán học, giúp họ thấy được động cơ, nhu cầu

thực tiễn của việc nghiên cứu hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Cụ thể, thực nghiệm cho phép khẳng định giả thuyết nghiên cứu mà chúng tôi đặt ra

ở cuối chương 2:

“ Có thể làm nảy sinh khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như là công cụ để

giải quyết các vấn đề thực tiễn trước khi xem nó như một đối tượng nghiên cứu. Nói

cách khác, có thể tổ chức dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng mô hình

hóa và học sinh có thể tiếp cận bước đầu với quá trình mô hình hóa toán học.”

KẾT LUẬN

Việc nghiên cứu hệ phương trình bậc nhất, đặc biệt là kiểu nhiệm vụ giải bài toán

thực tế bằng cách lập hệ phương trình, ở bậc đại học và ở bậc phổ thông cũng như

kết quả thu được từ thực nghiệm cho phép chúng tôi có câu trả lời thỏa đáng cho

những câu hỏi đặt ra từ đầu luận văn. Sau đây là một số kết quả chính của nghiên

cứu.

1. Trong chương 1, chúng tôi nghiên cứu vài nét cơ bản về mô hình hóa và

quá trình mô hình hóa toán học, khái niệm dạy học mô hình hóa và dạy học bằng

mô hình hóa. Trong đó có một số thuận lợi và trở ngại khi áp dụng mô hình hóa vào

dạy – học toán hiện nay cũng như sự quan tâm ở một số nước và ở Việt Nam.

Chúng tôi ghi nhận bắt đầu từ những năm cuối thập niên 80 nhiều nước đã bắt đầu

quan tâm nhiều hơn đến việc dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa.

Từ năm 2006, Việt Nam bắt đầu có quan tâm đến việc gắn liền vai trò công cụ của

toán học với thực tiễn tuy nhiên việc dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình

hóa vẫn chưa được quan tâm đúng mức.

2. Trong chương 2, chúng tôi nghiên cứu tri thức hệ phương trình ở hai cấp

bậc: Bậc đại học và bậc phổ thông. Trong đó chúng tôi đặc biệt chú ý đến kiểu

nhiệm vụ giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình để làm rõ những đặc

trưng và ràng buộc của thể chế dạy học Việt Nam đối với việc dạy học hệ phương

trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn trong mối liên hệ với mô hình hóa toán học.

Ở bậc đại học, hệ phương trình tuyến tính thể hiện vai trò công cụ không chỉ

trong toán học mà còn trong nhiều lĩnh vực khoa học khác, đặc biệt là trong lĩnh

vực kinh tế. Kiểu nhiệm vụ mà chúng tôi quan tâm chỉ xuất hiện trong một số giáo

trình Toán cao cấp dành cho sinh viên kinh tế. Tuy nhiên, các mô hình hầu hết đã

cho sẵn, sinh viên chủ yếu chỉ thực hiện bước 3 (hoạt động toán học). Việc đối

chiếu kết quả toán học với thực tế cũng không được quan tâm (không thuộc trách

nhiệm của sinh viên). Như vậy, ở bậc đại học dường như người ta chỉ chú trọng đến

việc minh họa một số ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong kinh tế chứ

không quan tâm đến dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa.

Ở bậc phổ thông, phương trình bậc nhất hai ẩn xuất hiện ngầm ẩn từ lớp 4

cùng với kỹ thuật giải hệ là sơ đồ đoạn thẳng tương ứng với kỹ thuật cộng đại số.

Đến lớp 9 mới xuất hiện tường minh các kỹ thuật giải hệ: Kỹ thuật đồ thị, kỹ thuật

cộng đại số, kỹ thuật thế. Kiểu nhiệm vụ giải bài toán thực tế bằng cách lập hệ

phương trình cũng xuất hiện từ đây. Ẩn luôn được chọn là các đại lượng cần tìm

được nêu tường minh trong yêu cầu của bài toán. Trong sách giáo khoa, tất cả các

ẩn đều được kí hiệu là x, y. Theo chúng tôi, SGK hướng đến các ẩn đã sử dụng

trong hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ẩn toán học x, y gắn liền với hệ phương trình

bậc nhất hai ẩn mà học sinh đã được học. Hai ẩn x, y làm cho việc chuyển bài toán

về mô hình toán học không gắn với tình huống thực tế, không tạo được mối liên hệ

trực quan giữa mô hình toán học và tình huống ban đầu. Do đó, khi lập được hệ

phương trình với hai ẩn x, y, SGK đã thoát khỏi tình huống ban đầu mà bài toán đặt

ra.

Việc mô hình hóa toán học một tình huống thực tế không được thực hiện

đầy đủ, chỉ là hình thức vì hầu hết mô hình trong các bài toán này đều được định

sẵn. Việc dạy học mô hình hóa cũng không được quan tâm đầy đủ, vì ở bước 2 các

ẩn đã được nêu tường minh trong câu hỏi nên công việc của học sinh chỉ là thiết lập

hệ phương trình với các ẩn đó. Bước 4 chỉ là hình thức và chu kì thực hiện dừng lại

ngay lần thực hiện đầu. Nghiệm của hệ tìm được luôn thỏa mãn bài toán ban đầu.

Do đó, học sinh không có trách nhiệm kiểm tra các kết quả toán học nhận được có

phù hợp với thực tế hay không.

Sách giáo khoa ưu tiên sử dụng hệ phương trình tuyến tính để giải quyết tất

cả các bài toán về tìm hai số hay hai đại lượng trong chương này. Các phương pháp

khác như phương pháp thử sai; phương pháp lập phương trình một ẩn;… không hề

được đề cập. Học sinh sử dụng công cụ sẵn có là hệ phương trình tuyến tính, không

có trách nhiệm đặt ra câu hỏi lựa chọn công cụ toán học nào hữu hiệu nhất.

3. Chương 3 bao gồm việc xây dựng và triển khai một đồ án dạy học cho

phép học sinh lớp 9 tiếp cận với khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng mô

hình hóa và cũng giúp học sinh tiếp cận với mô hình hóa toán học. Ở đây, các kiến

thức về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nảy sinh như là kết quả của việc giải quyết

các tình huống toán học và ngoài toán học. Thực nghiệm đã tạo điều kiện cho học

sinh vận dụng hệ phương trình như là một công cụ để giải quyết các bài toán thực

tế, giúp họ thấy được động cơ, nhu cầu thực tiễn của việc nghiên cứu hệ phương

trình bậc nhất hai ẩn.

+ Thực nghiệm chứng tỏ có thể tổ chức dạy học hệ phương trình bậc nhất hai

ẩn cho học sinh bằng mô hình hóa toán học và cho phép khẳng định giả thuyết

nghiên cứu sau:

“ Có thể làm nảy sinh khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn như là

công cụ để giải quyết các vấn đề thực tiễn trước khi xem nó như một đối tượng

nghiên cứu. Nói cách khác, có thể tổ chức dạy học hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

bằng mô hình hóa và học sinh có thể tiếp cận bước đầu với quá trình mô hình hóa

toán học.”

Kết quả nghiên cứu dẫn chúng tôi đến việc đặt ra câu hỏi về khả năng dạy

học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình hóa ở trường phổ thông Việt Nam. Làm

thế nào để khuyến khích giáo viên dạy học mô hình hóa và dạy học bằng mô hình

hóa? Cần phải chuẩn bị cho họ những công cụ nào? Những tổ chức praxéologie nào

mà thể chế cần xây dựng để tạo điều kiện cho giáo viên dạy học mô hình hóa toán

học?

Những câu hỏi trên cùng với việc hoàn thiện hơn nữa đồ án dạy học là những

hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn này.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng việt

[1]. Annie Bessot, Nguyễn Thị Nga (2011), Mô hình hóa toán học các hiện tượng biến thiên trong dạy học nhờ hình học động – dự án nghiên cứu MIRA, Tạp chí khoa học giáo dục trường ĐH Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh Số 28(62)/KHGD.

[2]. Lê Thị Hoài Châu (2011), Dạy học Thống kê ở trường phổ thông và vấn đề nâng cao năng lực hiểu biết toán cho học sinh, Tạp chí khoa học giáo dục trường ĐH Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh Số 25(59)/KHGD. [3]. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên) (2011), Bài tập Toán 9 – Tập hai, Nxb Giáo dục.

[4]. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên) (2011), Toán 9 – Tập hai, Nxb Giáo dục.

[5]. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên) (2011), Toán 9 – Tập hai – Sách giáo viên, Nxb Giáo dục.

[6]. Nguyễn Thị Hồng Cúc (2010), Dạy học mô hình hóa hàm số thông qua bài toán tính diện tích trong môi trường tích hợp phần mềm Cabri II Plus, Luận văn thạc sĩ, Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh.

[7]. Văn Như Cương (Chủ biên) (2011), Bài tập Hình học 10 nâng cao, Nxb Giáo dục.

[8]. Văn Như Cương (Chủ biên) (2011), Hình học 10 nâng cao, Nxb Giáo dục. [9]. Văn Như Cương (Chủ biên) (2011), Hình học 10 nâng cao– Sách giáo viên, Nxb Giáo dục.

[10]. Trần Thị Mỹ Dung (2008), Nghiên cứu thực hành của giáo viên trong dạy học hệ phương trình tuyến tính ở lớp 10, Luận văn thạc sĩ, Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh.

[11]. Trương Lâm Đông (2007), Toán cao cấp – Phần 1: Đại số tuyến tính (cho sinh viên các ngành kinh tế), Tài liệu lưu hành nội bộ trường đại học kinh tế.

[12]. Lê Sĩ Đồng (2010), Toán cao cấp - Đại số tuyến tính, Nxb Giáo dục. [13]. Quách Huỳnh Hạnh (2009), Nghiên cứu thực hành giảng dạy thống kê mô tả ở trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ, Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh.

[14]. Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2011), Toán 4, Nxb Giáo dục. [15]. Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2011), Toán 4 Sách giáo viên, Nxb Giáo dục. [16]. Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2011), Toán 5, Nxb Giáo dục. [17]. Đỗ Đình Hoan (chủ biên) (2011), Toán 5 Sách giáo viên, Nxb Giáo dục. [18]. Nguyễn Thị Nga (2011), La périodicité dans les enseignements scientifiques en France et au Viet Nam: une ingénierie didactique d’introduction aux fonctions périodiques par la modélisation, Luận án Tiến sĩ, Đại học Joseph Fourier và Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh.

[19]. Trần Thị Linh Phương (2011), Nâng cao năng lực hiểu biết toán cho học sinh qua dạy học thống kê, Luận văn tốt nghiệp, Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh.

[20]. Bùi Thế Tâm, Trần Vũ Thiệu (1998), Các phương pháp tối ưu hóa, Nxb Giao thông Vận tải – Hà Nội.

[21]. Lê Văn Tiến (2005), Phương pháp dạy học môn toán ở trường phổ thông, Nxb Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh.

[22]. Nguyễn Thùy Trang (2006), Algorit và tham số trong dạy- học phương trình ở trường trung học phổ thông. Trường hợp: hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn, Luận văn thạc sĩ, Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh.

[23]. Vũ Tuấn (Chủ biên) (2011), Bài tập Đại số 10, Nxb Giáo dục. [24]. Vũ Tuấn (Chủ biên) (2011), Đại số 10, Nxb Giáo dục. [25]. Vũ Tuấn (Chủ biên) (2011), Đại số 10 – Sách giáo viên, Nxb Giáo dục. [26]. Nguyễn Thị Minh Vân (2012) , Nghiên cứu didactic về giải toán bằng cách lập hệ phương trình ở trung học cơ sở, Luận văn thạc sĩ, Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh.

Song ngữ Pháp – Việt

[27]. Annie Bessot, Claude Comiti (Đại học Joseph Fourrier – Grenoble I), Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh) (2009), Những vấn đề cơ bản của Didactic Toán – NXB Đại học quốc gia TP.Hồ Chí Minh. Tiếng Anh – Tiếng Pháp

[28]. The Pisa (2003), Assessement framework, Mathematics, reading, science and problem solving, Knowledge and skills, Programme for international student Assessement.

[29]. Werner Blum (1993), Mathematical modelling in mathematics education and instruction, Mathematics Department, Kassel University, Germany.

[30]. Lalina Coulange (1997), Les problèmes “concrets” à “mettre en équations” dans l’enseignent, petit x, n047.

[31]. Lalina Coulange (2000) Évolution du passage arithmétique – algèbre dans les manuels et les programs du 20ème siècle”, petit x, n057.

[32]. Aslan Doosti & Alireza M. Ashtiani (?), Mathematical Modeling: a new

approach for mathematics teaching in different levels.

Internet

[33]. http://vi.wikipedia.org/wiki/M%C3%B4_h%C3%ACnh_ph%C3%A1t_tri%E

1%BB%83n_Malthus (http://vi.wikipedia.org/wiki/Mô_hình_phát_triển_Malthus) [34]. http://vi.wikipedia.org/wiki/M%C3%B4_h%C3%ACnh_to%C3%A1n_h%E

1%BB%8Dc (http://vi.wikipedia.org/wiki/Mô_hình_toán_học)

PHỤ LỤC 1: ĐỒ ÁN

PHIẾU SỐ 1

(Làm việc cá nhân – Thời gian 10 phút)

Họ và tên: …………………………………………………….

CÂU HỎI

An: Tôi có hai số. Nếu thêm vào số thứ hai hai lần số thứ nhất thì ta được 115.

An hỏi Bình hai số đó là hai số nào?

Câu hỏi 1

Theo em, Bình có trả lời được câu hỏi của An hay không? Vì sao?

TRẢ LỜI

.......................................................................................................................................

PHIẾU SỐ 2

(Làm việc nhóm – Thời gian 20 phút)

NHÓM: ………

CÂU HỎI

 An: Tôi có hai số. Nếu thêm vào số thứ hai hai lần số thứ nhất thì ta được 115. An hỏi Bình hai số đó là hai số nào?

Câu hỏi 1

Theo em, Bình có trả lời được câu hỏi của An hay không? Vì sao?

 An phát hiện trong câu đố bị thiếu dữ kiện nên An thêm vào dữ kiện sau: “Nếu bớt số thứ hai một giá trị bằng hai lần số thứ nhất ta được 15”. Vậy hai số đó là hai số nào?

Câu hỏi 2

2.1. Theo nhóm em, Bình có thể trả lời được câu đố của An chưa?

2.2. Nhóm em hãy thảo luận và viết hướng dẫn gởi bạn Bình để Bình giải được câu đố của An bằng ít nhất ba cách.

PHIẾU SỐ 3

(Làm việc nhóm – Thời gian 20 phút)

NHÓM: ………

CÂU HỎI

Cô Ba là người bán các loại cá ngoài chợ, cô mua cá của những người nuôi cá và đem ra chợ bán kiếm lời. Cô thu mua nhiều loại cá: cá rô, cá phi, cá điêu hồng,… Ngày hôm qua cô mua 20kg cá điêu hồng, lúc đầu cô bán hết 16kg thì chợ bắt đầu thưa người, cô quyết định giảm giá bán và bán hết số cá điêu hồng còn lại thu được tiền lời từ bán cá điêu hồng trong ngày là 76000 đồng. Ngày hôm sau cô thu mua 15kg cá điêu hồng, tương tự ngày trước đó lúc đầu cô bán được 13kg thì chợ bắt đầu thưa người, cô quyết định giảm giá bán và bán hết số cá điêu hồng còn lại thu được tiền lời từ bán cá điêu hồng là 63000 đồng. Biết rằng giá bán cá điêu hồng và giá giảm giá trong hai ngày không đổi. Hỏi khi bán với giá giảm giá thì cô Ba lời hay lỗ, số tiền này là bao nhiêu?

Câu hỏi 3

Em hãy giải bài toán trên.

PHIẾU SỐ 4

(Làm việc cá nhân – Thời gian 10 phút)

Họ và tên: …………………………………………………….

CÂU HỎI

Hai nhà bạn An và Bình cách nhau 3600m. Mỗi buổi sáng hai bạn đi bộ ngược chiều nhau, ngày đầu tiên hai bạn xuất phát cùng lúc và gặp nhau tại địa điểm cách nhà bạn An 2000m. Ngày thứ hai do bạn Bình xuất phát sớm hơn bạn An

6 phút nên hai bạn gặp nhau ngay giữa đoạn đường. Hỏi An và Bình đi bộ với vận tốc bao nhiêu?

Câu hỏi 4

2000 1600 −

1600 v 2

Trong các hệ phương trình cho dưới đây, em hãy chọn những hệ tương ứng với đề toán trên, giải thích và nêu rõ ý nghĩa các biến? Theo em, em chọn trường hợp nào? Vì sao?

= −

360

1800 v 2

    1800 1800  − 

 2000  v  1  1800   v 1

t 2000 1

(1) (2)

− −

t 1600 2 = 360 1800 t

1600 1800

y y

= 0 = − 360

 x 2000  1800 x 

  1800 t  1

(4) (3)

TRẢ LỜI

.......................................................................................................................................

PHIẾU SỐ 5

(Làm việc nhóm – Thời gian 25 phút)

NHÓM: ………

CÂU HỎI

Một gia đình muốn bơm nước và quyết định đi thuê. Có hai hình thức thuê một loại máy bơm. Loại thứ nhất giá thuê là 150 ngàn đồng một tháng, loại thứ hai giá thuê 15 ngàn đồng một giờ. Tuy nhiên, nếu thuê máy bơm loại thứ nhất thì mỗi giờ tốn thêm phí nhiên liệu là 5 ngàn đồng.

Gọi y là số tiền mà gia đình này phải trả cho việc sử dụng máy bơm x giờ trong một tháng.

Câu hỏi 5

5.1. Hãy viết và vẽ đồ thị của những hàm số biểu diễn chi phí phải trả cho việc sử dụng máy bơm theo hai hình thức trên cùng một hệ trục tọa độ. Suy ra giao điểm. Giao điểm này có ý nghĩa gì?

5.2. Nếu cần sử dụng máy bơm trong một tháng và mỗi ngày cần phải sử dụng trong ít nhất 1 giờ thì gia đình này nên chọn hình thức nào để chi phí phải trả thấp hơn.

PHỤ LỤC 2: MỘT SỐ BÀI LÀM CỦA HỌC SINH

PHA 1

H4

H8

PHA 2

PHA 3

PHA 5

H8

H15

100

PHA 6

101

PHỤ LỤC 3: Protocole

1. GV: Các em làm việc cá nhân trong khoảng 10 phút trả lời câu hỏi số 1 ghi vào phiếu số 1. Sau 10 phút các em nộp lại phiếu số 1 cho thầy. Thời gian làm việc của các em là 10 phút.

2. GV: Thầy có hai câu trả lời của các em. Một nhóm em Bình trả lời được câu hỏi của

bạn An và một nhóm em Bình không trả lời được câu hỏi của bạn An.

3. GV: Thầy mời em H7, em hãy giải thích cách làm của em. 4. H7: Bình không trả lời được câu hỏi của bạn An vì nếu gọi số thứ nhất là x số thứ hai là y thì từ giả thiết ta có phương trình 2x + y = 115. Như vậy có vô số cặp số x và y thỏa mãn phương trình trên cho nên Bình không thể trả lời chính xác câu hỏi của bạn An.

5. GV: Các em có đồng ý với câu trả lời của bạn không? Bây giờ thầy mời em H12 cho

rằng Bình trả lời được.

6. H12: Theo em Bình có thể trả lời được câu hỏi của bạn An. 7. GV: Theo em tại sao Bình trả lời được câu hỏi của bạn An? 8. H12: Vì theo đề bài ta có thể lập phương trình và tìm hai số đó. 9. GV: Thầy cho cặp số (0; 15) có thỏa điều kiện mà An yêu cầu không các em? 10. GV: Ví dụ cặp số thứ hai là (5; 105). Như vậy từ một giả thiết đó chúng ta có thể tìm

được một cặp số mà bạn An yêu cầu không các em?

11. GV: Như vậy bài toán này yêu cầu tìm mấy số … tìm hai số nhưng chúng ta có mấy

giả thiết … một giả thiết. Cho nên chúng ta không tìm được hai số đó.

12. GV: An yêu cầu tìm hai số nhưng chỉ có một dữ kiện về mối liên hệ giữa chúng nên

hai số đó chưa xác định.

 Pha 1

13. GV: Các em làm việc nhóm trong khoảng 20 phút trả lời câu hỏi số 3 ghi vào giấy A0.

 Pha 2

14. H2: Nếu bớt số thứ hai một giá trị là x – 2y – y 15. H3: Số thứ hai là y đúng không? Bớt số thứ hai một giá trị phải là – 2x. 16. H2: Vậy y – 2x = 15. 17. H1: Bình có thể trả lời được? 18. H2: Sao Bình có thể trả lời được? Giải không được. 19. H3: Hai dữ kiện đúng không? Có phương trình 1 là: 2x + y = 115, phương trình 2 là y

– 2x = 15.

20. H4: x = (y –15):(- 2)

NHÓM 1 (gồm các học sinh H1, H2, H3, H4)

102

21. H2: Bình có thể trả lời câu hỏi của An với x = - 85/3, y = 215/3. 22. H2: Tổng hiệu là lấy số lớn cộng số bé nhân hai. Không chia. 23. H1: Số lớn – số bé = hiệu, Số lớn + số bé = tổng. 24. H3: Nhân 2 hay chia 2? 25. H1: Số lớn nhân 2, số bé chia 2. 26. H4: Số lớn = (tổng + hiệu):2, số bé = (tổng - hiệu):2

27. H5: Phương trình trên 2x + y = 115. 28. H6: Giả thiết thứ hai y – 2x = 15. 29. H7: Giải được, bấm máy hả? 30. H6: Bình trả lời được câu hỏi của An. 31. H8: Muốn giải hai phương trình này lấy hai vế trừ nhau. 32. H7: Cho cách 2 đi. 33. H6: Giải bằng cách lập phương trình một ẩn chứ không phải hai ẩn. 34. H7: Có hai dữ kiện lập một phương trình. 35. H8: Số thứ nhất là x, số thứ hai là 115 – 2x. 36. H6: Không gọi x, y gọi a, b đi.

NHÓM 2 (gồm các học sinh H5, H6, H7, H8)

37. H11: Bình có thể trả lời câu hỏi của An. 38. H9: Vì sao? 39. H12: Ta có phương trình y + 2x = 115. 40. H11: Nếu bớt …15 nên y – 2x = 15 41. H10: Làm sao tìm x, y? 42. H11: y = 2x +15, thế vào trên là tìm được x rồi. 43. H9: Có điều kiện x, y nguyên dương nữa. 44. H12: Làm cách tiểu học à? 45. H10: Tổng – hiệu. 46. H9: Số lớn cộng số bé là tổng, số lớn trừ số bé là hiệu nhưng tìm thế nào?

NHÓM 3 (gồm các học sinh H9, H10, H11, H12)

47. H15: Bình có trả lời được câu hỏi của An không? 48. H16: Chắc là không vì vẫn còn x với y. 49. H16: Gọi số thứ nhất là x, số thứ hai là y. 50. H15: x + 2y = 115 51. H14: 2y – x =15. 52. H15: 2y – 2x =15 53. H16: Đơn giản cho 2 được mà.

NHÓM 4 (gồm các học sinh H13, H14, H15, H16)

103

54. H14: 15 là hiệu hay là tổng. 55. H15: Phương trình này sai rồi. 56. H13: x = 115 – 15 = 100. 57. H14: Số thứ hai là 100 + 2y =115 suy ra y = 7,5. 58. H13: Đúng không đó. Đọc kỹ đề đi. 59. H14: Giả thiết 2: y – 2x = 15. 60. H15: Làm sao giải phương trình? 61. H14: Lấy hai vế trừ nhau. 62. H15: Chuyển về một phương trình.

HS tìm các cách khác nhau để giải các phương trình này (thế và cộng).

63. H17: Nếu bớt số thứ hai một giá trị bằng hai lần số thứ nhất ta được 15. Vậy y – 2x =

15.

64. H18: Trong đây có cộng 2x nữa. 65. H18: Vậy y = 15, x = 50. 66. H19: Bình có thể trả lời câu hỏi của An. 67. H18: Mới đầu cho hai số trước rồi cho thêm vào nữa là 3x chứ sao 2x. 68. H19: Không có hai số là số thứ nhất và số thứ hai nè. 69. H20: Khi thêm vào… ta có phương trình 2x + y = 115. 70. H20: Phương trình thứ 2 sai rồi, đọc kỹ đề đi. 71. H19: y – 2x = 15. 72. H17: Giải các phương trình này thế nào? 73. H18: Trừ hai phương trình sẽ mất y ngay, tìm được x mà.

NHÓM 5 (gồm các học sinh H17, H18, H19, H20)

(Học sinh thảo luận đề) 74. H21: Mình lấy cả hai dữ kiện trên. 75. H22: Số thứ hai 115 – 2x. 76. H23: Bình trả lời được rồi. 77. H22: x = 25, y = 65. 78. H21: Cộng hai vế phương trình lại – 2x + 2x = 0 rồi.

Hết thời gian đại diện các nhóm dán bài làm của mình trên bảng.

79. GV: Thầy mời đại diện nhóm 1 giải thích cách làm của nhóm. 80. H1: Theo đề bài ta có hai phương trình là x + 2y = 115, ta suy ra được x = 115 – 2y,

phương trình 2 là y – 2x = 15 suy ra x = - (15 – y):2.

81. GV: x là gì? y là gì? 82. H1: x là số thứ nhất, y là số thứ hai.

NHÓM 6 (gồm các học sinh H21, H22, H23, H24)

104

83. GV: Thầy mời đại diện nhóm 3 giải thích cách làm của nhóm. 84. H10: Cách làm của nhóm 3 tụi con là gọi x là số thứ nhất y là số thứ hai, điều kiện x, y

nguyên dương.

85. GV: Tại sao có điều kiện x, y nguyên dương? 86. H10: Tại vì hai số không thể nào là số thập phân được, là số nguyên dương? 87. GV: Các em có đồng ý với ý kiến của bạn không? 88. GV: Bạn An có yêu cầu điều kiện này không các em? 89. Cả lớp: Không. 90. H10: Theo đề bài “Nếu thêm …” nên y + 2x = 115 (1), “Nếu bớt …” nên y – 2x =15,

suy ra y = 2x + 15 (2). Thế (2) vào (1).

91. GV: Đề yêu cầu giải bài toán bằng các cách khác nhau chứ không phải yêu cầu giải các phương trình này bằng các cách khác nhau. Ở đây có nhóm đã tìm nhiều cách khác nhau để giải phương trình.

92. GV: Vậy nhóm nào làm đúng nhóm nào làm sai các em? 93. GV: Đây là một bài toán quen thuộc về tìm hai số, chúng ta có thể giải bằng nhiều cách. Như các bạn đã trình bày ở đây gọi hai ẩn là hai số đó và lập các phương trình và giải các phương trình này sẽ tìm được hai số cần tìm. Ngoài ra chúng ta có thể giải như bài toán tìm hai số khi biết tổng - hiệu hai số đó, hoặc lập phương trình một ẩn.

94. GV: Các em làm việc nhóm trong khoảng 20 phút trả lời câu hỏi số 3 ghi vào giấy

A0.

 Pha 3

Học sinh thảo luận tóm tắt đề.

95. H4: Ngày 1 mua 20 kg cá, 16 kg cá bán còn 4kg chưa bán. 96. H1: Ngày hôm sau, 15 kg cá, 13 kg cá bán còn 2 kg. 97. H3: Số tiền lời là của cả hai lần bán trong ngày hay chỉ của số cá giảm giá. 98. H2: Tính năng suất ngày 1 đi. Năng suất bằng số sản phẩm chia cho số ngày. 99. H3: Năng suất bằng số kg cá chia cho số tiền lời. 100. H3: Cái này chỉ tính tiền lời thôi không tính vốn. 101. H2: Mình không biết vốn là bao nhiêu làm sao tính được. 102. H2: Không biết 4kg sau cô Ba giảm bao nhiêu. Gọi x là số tiền đã giảm.

NHÓM 1 (gồm các học sinh H1, H2, H3, H4)

103. H5: Gọi x là số tiền mỗi kg. 104. H7: Mình tìm số tiền lời lỗ. 105. H5: Số tiền lời âm là lỗ, dương là lời. 106. H8: Gọi x là số tiền lời mỗi kg, y là số giảm giá mỗi kg.

NHÓM 2 (gồm các học sinh H5, H6, H7, H8)

105

107. H5: 16x + 4y = 76000; 13x +2y = 63000. 108. H8: x = 5000; y = - 1000. 109. H6: Tìm x, y là tìm ra cái gì? 110. H7: Số tiền lời lỗ là bao nhiêu? 111. H7: Có cá nào – 1000 kg? 112. H5: Hay gọi x, y là cái khác đi. Gọi x là tiền vốn.

113. H11: Gọi x là số tiền bán cá được ngày hôm qua, y là số tiền bán cá được ngày hôm

sau.

114. H10: Số tiền ngày hôm qua, hôm nay là bao nhiêu? 115. H10: Phải gọi x là số tiền bán cá điêu hồng lúc giảm giá thì đúng hơn. 116. H11: x = y. 117. H12: 4kg là số cá giảm giá. 118. H10: 76000 – x là số tiền bán 16kg cá. 119. H11: Số cá giảm giá với số tiền giảm giá có liên quan gì nhau không? 120. H12: Gọi x là cái khác đi.

NHÓM 3 (gồm các học sinh H9, H10, H11, H12)

121. H16: Gọi x là số tiền bán cá. 122. H16: 16x + 4 .số giảm. 123. H14: Gọi số giảm là y. 124. H16: 16x + 4y = 76000. 125. H15: Vậy gọi x là số tiền lúc đầu bán, y là số tiền lúc giảm giá. 126. H13: Vậy 16x + 4y = 76000 và 13x + 2y = 63000. 127. H14: Vậy có thể lấy hai cái cộng lại, cộng lại tiền lời là 139000. 128. H15: 29x + 6y = 139000. 129. H13: Làm sao được? 130. H14: Bấm máy tính sẽ tính được x, y. 131. H15: Cô Ba lỗ tiền bán cá rồi, - 1000. 132. H16: Lúc không giảm giá thì lời lúc giảm giá thì lỗ. 133. H14: Làm sao tính ra? 134. H13: Ghi giải hệ phương trình ta được. 135. H16: Đâu có được. Đâu phải hóa đâu mà giải hệ phương trình.

Học sinh loay hoay tìm cách giải nhưng sau đó quyết định bấm máy.

136. H14: Tìm cách thế như trên mà không thấy gì để thế. 137. H15: Hai cái này giải quyết sao cho nó ra 2y. 138. H16: Vậy cái này chia cho 2 đi.

NHÓM 4 (gồm các học sinh H13, H14, H15, H16)

106

139. H18: Ngày đầu giảm 4kg, ngày sau giảm 2kg. 140. H19: Tổng cộng 6kg. 141. H18: Cả hai ngày giảm như nhau. 142. H17: 76000 + 63000 là tiền gì? 143. H20: Gọi x là số tiền lúc chưa giảm giá, y là số tiền lúc giảm giá rồi. 144. H17: 13x + 2y = 63000.

Học sinh thảo luận câu hỏi tranh luận tiền lời, tiền lỗ.

145. H18: Đặt điều kiện. 146. H17: Điều kiện gì? 147. H18: Ở đây có một điều kiện.

Học sinh tranh luận giải các phương trình, sau đó bấm máy tính.

148. H19: x = 5000, y = - 1000. 149. H18: y = -1000. Vậy lỗ à! 150. H19: Vậy lỗ hết 6000.

NHÓM 5 (gồm các học sinh H17, H18, H19, H20)

151. H24: Gọi x là số tiền lúc giảm giá. 152. H23: Đọc kỹ đề đi. 153. H22: Bình thường bán được 29kg, giảm giá 6kg. 154. H22: Gọi x số tiền lúc bình thường, y số tiền lúc giảm giá. 155. H21: Lời hay lỗ mình tính cái gì? 156. H22: 29x + 6y = 139000.

Học sinh thảo luận cách tính tiền lời nhưng không có kết quả.

Hết thời gian, đại diện các nhóm dán bài làm của mình trên bảng.

157. GV: Thầy mời đại diện nhóm 4 giải thích cách làm của nhóm. 158. H15: Gọi x là giá tiền bán cá lúc đầu, y là giá tiền bán cá khi giảm giá. Ngày hôm qua … 76000, có phương trình 16x + 4y = 76000. Suy ra 2y = (76000 – 63000):2. Ngày hôm nay … 63000, có phương trình 13x + 2y = 63000 (2). Thế (1) vào (2) tính được x = 5000, y = - 1000. Vậy khi giảm giá cô Ba lỗ 1000.

159. GV: Thầy mời đại diện nhóm 5 giải thích cách làm của nhóm. 160. H18: Gọi x là giá bán mỗi kg cá lúc đầu, y là giá bán mỗi kg cá khi giảm giá. Theo đề ta có các phương trình 16x + 4y = 76000, 13x + 2y = 63000. Giải hệ ta được x = 5000, y = - 1000. Vậy khi giảm giá cô Ba lỗ 6000.

161. GV: Nhóm em giải các phương trình bằng cách nào? 162. H18: Thưa thầy nhóm em bấm máy. 163. GV: Các em có đồng ý với cách làm của hai nhóm 4 và 5 không?

NHÓM 6 (gồm các học sinh H21, H22, H23, H24)

107

164. GV: x là giá bán mỗi kg cá khi chưa giảm giá. x = 5000 thầy có thể hiểu là khi chưa giảm giá mỗi kg bán được 5000 đồng, y là giá bán lúc giảm, vậy y = - 1000 có nghĩa là sao? Em nào có thể giải thích được?

165. Phải gọi ẩn là gì? 166. GV: Bài toán đưa ra số tiền lời, vậy chúng ta phải gọi ẩn là số tiền lời. 167. GV: Theo các em phải gọi ẩn chính xác là gì? Thầy mời em H20. 168. H20: x là tiền lời mỗi kg cá lúc chưa giảm giá, y là tiền lời mỗi kg cá khi giảm giá. 169. GV: Khi đó chúng ta hiểu rằng khi giảm giá mỗi kg cá cô Ba lỗ 1000. 170. GV: Đây là một bài toán có nội dung thực tế, như các em đã thấy muốn giải cần phải xây dựng các phương trình toán học, giải các phương trình ta được kết quả của bài toán toán học, sau đó phải đối chiếu với thực tế trả kết quả cho bài toán ban đầu. Quá trình này gọi là quá trình mô hình hóa toán học.

171. GV: Các em thấy rằng quá trình đó không phải chỉ dừng lại trong một lần thực hiện. Ví dụ như các bạn nhóm 5 gọi ẩn là giá bán thì kết quả nhận được không hợp lý, giá bán thì không thể âm. Khi đó quá trình trên phải được thực hiện lại để thiết lập được bài toán toán học phù hợp hơn. Như vậy, việc thiết lập được bài toán toán học phù hợp cho phép cho phép trả lời được các câu hỏi của bài toán thực tế là thực sự quan trọng.

172. GV: Qua pha 2 và 3, để giải các bài toán đó chúng ta đã lập ra các phương trình này (GV chỉ lên các phương trình trên màn chiếu). Chúng được gọi là các phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy thế nào là phương trình bậc nhất hai ẩn?

173. GV: Em có thể nêu dạng tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn. 174. H12: Thưa thầy nó có dạng ax + by + c = 0. 175. GV: Khi ghép hai phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c và a’x + b’y = c’ thành

một hệ thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

c =

+ ax by + a x b y

  

176. GV: Giống như ở đây trong pha 2 chúng ta có hai phương trình này chúng ta ghép lại tạo thành một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, tương tự trong pha 3 chúng ta ghép hai phương trình này ta được một hệ. (GV chỉ lên các phương trình tương ứng trên màn chiếu)

177. GV: Hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

(GV trình bày các khái niệm hệ phương trình, nghiệm của hệ, hệ vô nghiệm và giải hệ phương trình)

178. GV: Hai phương trình như thế nào thì được gọi là hai phương trình tương đương? 179. H16: Thưa thầy hai phương trình tương đương là hai phương trình có hai nghiệm

giống nhau.

180. GV: Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

 Pha 4

108

181. GV: Tương tự hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập

nghiệm.

182. GV: Trong câu hỏi 2 và 3, các em đã biến đổi các phương trình để tìm ra nghiệm của các hệ phương trình. Người ta gọi cách giải của nhóm 3 trong pha 2 là cách giải hệ bằng phương pháp thế và cách giải của nhóm 6 là cách giải hệ bằng phương pháp cộng đại số. (GV dán lại bài làm có trình các phương pháp này và dựa vào đó gọi tên)

183. GV: Nguyên tắc chung của hai phương pháp này là gì? 184. H6: Tìm một ẩn trước. 185. GV: Nguyên tắc chung của hai phương pháp này là khử bớt một ẩn của hệ đưa về

phương trình một ẩn.

186. GV: Bây giờ các em nhìn lên đây, đây là hệ bạn giải theo phương pháp thế. Vậy theo

các em để giải hệ phương trình bằng phương pháp thế chúng ta phải làm gì?

187. H6: Suy ra một ẩn từ một phương trình rồi thế vào phương trình còn lại và giải

phương trình đó.

GV tổng kết trình bày các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp thế. Nêu ví dụ và gọi một học sinh trình bày lên bảng, sau đó gọi một học sinh nhận xét, chiếu lời giải theo cách thế còn lại.

188. GV: Dùng phương pháp thế chúng ta chọn phương trình và biểu diễn y theo x hoặc x

theo y sao cho đơn giản.

189. GV: Bây giờ các em xem bài giải của bạn bằng phương pháp cộng đại số và các em cho thầy biết là để giải hệ bằng phương pháp cộng đại số ta cần thực hiện như thế nào?

190. H11: Thưa thầy cộng hai phương trình của hệ ta được phương trình một ẩn. 191. GV: Em nào có ý kiến khác không?

− = y

có thể thực hiện như bạn nêu được không các

192. GV: Thầy lấy ví dụ như hệ

x +

  

em?

193. GV: Ở hệ trên hai hệ số này đối nhau nên cộng lại sẽ mất, còn hệ số của hệ này thế

nào các em?

194. Cả lớp: Không đối nhau. 195. GV: Vậy chúng ta phải làm thế nào? 196. Cả lớp: Nhân hai vế cho 2.

GV tổng kết trình bày các bước giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số. Nêu ví dụ và gọi một học sinh trình bày lên bảng, sau đó gọi một học sinh nhận xét, chiếu lời giải theo cách khử ẩn còn lại.

197. GV: Trong pha 2 và 3 các em đã gặp bài toán có nội dung thực tế được giải bằng cách lập hệ phương trình. Như bài toán tìm hai số và bài toán bán cá. Các hãy nêu các bước cần thực hiện để giải quyết các bài toán đó?

109

198. H13: Thưa thầy gọi ẩn, lập các phương trình, giải hệ phương trình tìm được.

GV tổng kết trình bày các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình. 199. GV: Ngoài ra các bước này cũng tương ứng với các bước của quá trình mô hình hóa toán học. Bước 1 chính là bước xây dựng các phương trình toán học, bước 2 là giải các phương trình ta được kết quả của bài toán toán học, việc đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện tương ứng với bước cuối của quá trình mô hình hóa.

200. GV: Các em làm việc cá nhân trong khoảng 10 phút trả lời câu hỏi số 4 ghi vào phiếu

số 4. Sau khi trả lời xong các em nộp lại phiếu số 4 cho thầy. 201. GV: Thầy mời em (H16) nêu câu trả lời của em và giải thích. 202. H16: Hệ (1) tương ứng, v1 là vận tốc của An đi (km/h), v2 là vận tốc của Bình đi

(km/h).

203. GV: Em thấy hệ (1) và (2) có gì khác nhau không? 204. H16: Có. 205. GV: Hay là chỉ chuyển vế qua lại. 206. H16: Dạ. Chuyển vế. 207. GV: Như vậy hệ (2) có tương ứng với bài toán không? Đơn vị của v1, v2 có đúng

không? 208. H16: Có. 209. GV: Đơn vị của v1, v2 trong bài toán này là gì các em? 210. GV: Thực ra không chỉ có hệ (1), (2) là tương ứng với bài toán mà cả hệ (3), (4) cũng

tương ứng.

Hệ (1) v1, v2 lần lượt là vận tốc của An và Bình (m/s).

Hệ (2) x, y lần lượt là vận tốc của An và Bình (m/s).

Hệ (3) t1, t2 lần lượt là thời gian của An và Bình đi mỗi mét (s).

Hệ (4) x, y lần lượt là thời gian của An và Bình đi mỗi mét (s).

Trong các hệ trên những hệ nào theo các em là dễ giải?

211. Cả lớp: Hệ (3), (4). 212. GV: Một bài toán thực tế có thể tương ứng với nhiều bài toán toán học khác nhau. Như trong bài toán ở pha này, có nhiều cách chọn ẩn khác nhau để lập hệ phương trình tương ứng với đề toán. Có cách chọn ẩn sẽ ra được bài toán toán học đơn giản dễ giải quyết nhưng cũng có cách chọn ẩn sẽ gây khó khăn. Do vậy tùy tình huống thực tế mà chúng ta có cách chọn ẩn khác nhau (trực tiếp hoặc gián tiếp).

 Pha 5

 Pha 6

110

213. Các em làm việc nhóm trong khoảng 25 phút trả lời câu hỏi số 5 ghi vào giấy A0. Sau

khi trả lời xong các em dán bài làm của nhóm trên bảng.

214. H3: Một tháng có bao nhiêu giờ? 215. H4: 720 giờ. 216. H1: Vậy là sao? 217. H2: Theo hình thức 1, tiền thuê một tháng 150 ngàn, phí nhiên liệu 5 ngàn một giờ là

sao?

218. H1: y = 150 +5x. 219. H3: Vậy theo hình thức 2 là y = 15x. 220. H1: Giao điểm có chính xác không? Chổ này là bao nhiêu? 221. H4: Giao điểm này có liên quan gì đến chi phí đâu? 222. H2: Mỗi ngày cần phải sử dụng trong ít nhất 1 giờ. Vậy trong tháng đó gia đình này sử

dụng bao nhiêu giờ?

223. H3: Làm sao tính được chứ. 224. H1: Mỗi ngày một giờ, vậy một tháng sử dụng hết 30 giờ. 225. H4: Chọn loại nào bây giờ? 226. H1: Dễ mà tính ra là biết thôi.

NHÓM 1 (gồm các học sinh H1, H2, H3, H4)

227. H6: y = 15x 228. H5: 15x – y = 0. 229. H3: 150 + 5x = y 230. H5: 5x – y = 150. 231. H8: Giao điểm tìm thế nào? 232. H5: Bấm máy tìm được mà. 233. H7: Nó có ý nghĩa gì đây? 234. H6: Tính chi phí được không? 235. H5: Biết bao nhiêu giờ mà tính.

NHÓM 2 (gồm các học sinh H5, H6, H7, H8)

236. H9: 15 ngàn một giờ, một tháng biết bao nhiêu giờ? 237. H11: Lấy 12x24. 238. H9: 15x = 150y. 239. H12: Hình như sai rồi, y = 15x , y = 5x +150.

NHÓM 3 (gồm các học sinh H9, H10, H11, H12)

240. H15: Sử dụng loại 1 5y +150000.

NHÓM 4 (gồm các học sinh H13, H14, H15, H16)

111

241. H14: Sử dụng loại 2 15000x = y. 242. H15: Phương trình đầu sai rồi phải là 5000x + 150000 = y. 243. H16: Câu 2 tính chi phí được không? 244. H13: Biết bao nhiêu giờ mà tính. 245. H14: Mỗi ngày một giờ cứ cho là 30 giờ đi.

246. H19: 150 ngàn một tháng giống như bao trọn gói vậy. 247. H20: 150 + 5x = y. 248. H17: Loại 2 15 ngàn một giờ y = 15x. 249. H18: Bấm máy tính sao được. 250. H18: Bấm máy giải hệ có x, y ngay mà, ra luôn giao điểm nữa. 251. H19: Câu 2 chọn loại 1, tính chi phí ra đi.

NHÓM 5 (gồm các học sinh H17, H18, H19, H20)

252. H24: x giờ trong một tháng mà một tháng 30 ngày chia ra là mỗi ngày… 253. H22: Nhưng biết giờ nào sử dụng, giờ nào không sử dụng đâu. 254. H24: Mỗi ngày 24 giờ mà một tháng 30 ngày, vậy là 720 giờ. 255. H23: Đọc kỹ đề đi. Hãy viết và vẽ đồ thị… 256. H21: Biểu diễn chi phí theo số giờ à? 257. H22: 150 + 5x = y. 258. H21: Vậy thì 15x = y. 259. H21: Giao điểm có ý nghĩa gì? Nó nằm ở đâu? 260. H22: Nó biểu thị cái gì?

Hết thời gian đại diện các nhóm dán bài làm của mình trên bảng.

261. GV: Thầy mời đại diện nhóm 1 giải thích cách làm của nhóm. 262. H4: Thưa thầy x là số giờ nên hình thức 1 có chi phí y = 150 +5x, hình thức 2 có chi phí y = 15x. Tại giao điểm hai chi phí bằng nhau. Đối với câu 2, gia đình này nên chọn hình thức 1 vì có chi phí rẻ hơn.

263. GV: Thầy mời đại diện nhóm 2 giải thích cách làm của nhóm. 264. H7: Thưa thầy cách làm của nhóm em như nhóm 1, giao điểm là nghiệm hệ phương

trình trên.

265. GV: Các em có đồng ý với cách làm của nhóm 1 và 2 không? 266. GV: Ý nghĩa giao điểm. Nếu trong tháng gia đình này chỉ sử dụng 15 giờ bơm thì chọn hình thức nào chi phí cũng như nhau. Như nhóm 2 đã trình bày, giao điểm cũng là nghiệm của hệ hai phương trình trên.

267. GV: Đối với câu hỏi 5.2 thì cả hai nhóm đều tính chi phi để so sánh. Em nào có cách

chọn mà không cần tính chi phí.

NHÓM 6 (gồm các học sinh H21, H22, H23, H24)

112

268. GV: Có thể dựa vào hình vẽ không? 269. GV: dựa vào đồ thị, các em thấy chi phí của hai hình thức đều tăng, ban đầu chi phí sử dụng hình thức 1 lớn hơn nhưng từ giao điểm trở đi thì chi phí sử dụng hình thức 2 lớn hơn. Do số giờ sử dụng ít nhất là 30 giờ nên gia đình này chọn hình thức 1.

270. GV: Qua hoạt động này các em thấy dựa vào mô hình toán học của một bài toán thực tế chúng ta có thể dự đoán kết quả ứng với nhiều trường hợp khác nhau trong thực tế. Chẳng hạn với bài toán trên chúng ta quyết định được chọn hình thức nào khi số giờ bơm nhỏ hơn 15, bằng 15 và lớn hơn 15.

271. GV: Ngoài ra chúng ta có thêm một cách khác để giải hệ phương trình là cách dùng đồ

thị. Em nào có thể nêu các bước giải hệ phương trình bằng đồ thị?

272. H14: Vẽ đồ thị hai phương trình sau đó xác định giao điểm, giao điểm đó chính là

nghiệm của hệ.

GV trình bày các bước giải hệ phương trình bằng đồ thị, nêu khó khăn của phương pháp này.

273. GV: Chúng ta vừa tìm hiểu xong về hệ phương trình. Tiết học đến đây kết thúc.