Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Hệ thức Vi-ét trong chương trình toán phổ thông

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:120

Thêm vào BST

Báo xấu

79
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mời các bạn tham khảo luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Hệ thức Vi-ét trong chương trình toán phổ thông sau đây để nắm bắt những nội dung về thể chế dạy học ở bậc đại học đối với định lí Vi-ét; thể chế dạy học ở bậc phổ thông đối với định lí Vi-ét; điều kiện sinh thái của hệ thức Vi-ét; thực nghiệm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Hệ thức Vi-ét trong chương trình toán phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Hoàng Trung Kiên HỆ THỨC VI-ÉT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Hoàng Trung Kiên HỆ THỨC VI-ÉT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học Toán Mã số: 60 14 10 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Nguyễn Chí Thành Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Chí Thành, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong quá trình làm luận văn dù không thuận tiện về mặt địa lý. Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp những thắc mắc, đóng góp nhiều ý kiến chân thành và xác đáng, giúp chúng tôi có những cảm nhận và tiếp thu một cách tốt nhất về chuyên ngành Didactic Toán. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn : • Ban lãnh đạo và chuyên viên phòng KHCN - SĐH, ban chủ nhiệm và giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi cho chúng tôi trong suốt khoá học vừa qua. • Ban giám hiệu và các giáo viên các trường THPT Nguyễn Hữu Tiến (TP.HCM), trường THCS Bình Quới Tây (TP.HCM) đã hỗ trợ tôi thực hiện các thực nghiệm đối với học sinh. Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã luôn sát cánh cùng tôi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, tận đáy lòng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến những người thân yêu trong gia đình tôi, những bạn bè tâm giao của tôi. Họ, những người đã luôn ở bên tôi mọi lúc và chính là động lực để tôi hoàn tất tốt luận văn. Hoàng Trung Kiên
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT CCGD : cải cách giáo dục GV : giáo viên HS : học sinh MTBT : máy tính bỏ túi SGK : sách giáo khoa SBT : sách bài tập SGV : sách giáo viên TCTH : tổ chức toán học THCS : trung học cơ sở THPT : trung học phổ thông
MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Danh mục các chữ viết tắt MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ....................................................1 2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu ......................................2 3. Phương pháp nghiên cứu .....................................................................................3 4. Cấu trúc của luận văn ..........................................................................................4 Chương 1: Phân tích thể chế dạy học ở bậc đại học đối với định lí Vi-ét ............6 1.1. Định lý Vi-ét trong giáo trình [a] .....................................................................6 1.2. Định lí Vi-ét trong giáo trình [b] ....................................................................13 Kết luận chương 1 .................................................................................................18 Chương 2: Phân tích thể chế dạy học ở bậc phổ thông đối với định lí Vi-ét .....20 2.1. Phân tích SGK, SBT Toán 9 ..........................................................................21 2.2. Phân tích SGK, SBT nâng cao Toán 10 .........................................................34 2.3. Phân tích SGK 11, 12 nâng cao ......................................................................48 Chương 3: Điều kiện sinh thái của hệ thức Vi-ét .................................................53 3.1. Trong chương trình toán THCS .....................................................................53 3.2. Trong chương trình toán THPT ......................................................................57 Kết luận chương 3 .................................................................................................60 Chương 4: Thực nghiệm .........................................................................................62 4.1. LỚP 9..............................................................................................................62 4.1.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................62 4.1.2. Tổ chức thực nghiệm ...............................................................................62 4.1.3. Phân tích tiên nghiệm ..............................................................................63 4.1.4. Phân tích hậu nghiệm...............................................................................70 4.2. LỚP 10............................................................................................................77 4.2.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................77 4.2.2. Tổ chức thực nghiệm ...............................................................................77 4.2.3. Phân tích tiên nghiệm ..............................................................................77 4.2.4. Phân tích hậu nghiệm...............................................................................78 4.3. LỚP 12............................................................................................................85 4.3.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................82 4.3.2. Hình thức thực nghiệm ............................................................................82 4.3.3. Phân tích tiên nghiệm ..............................................................................82 4.3.4. Phân tích hậu nghiệm...............................................................................85 KẾT LUẬN ..............................................................................................................91 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC
1 MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Phương trình và hệ phương trình là hai trong số những kiến thức đại số cơ bản nhất của toán học ở trường phổ thông. Khái niệm về phương trình đã được đưa vào chương trình toán phổ thông từ rất sớm. Ở bậc tiểu học các em đã được tiếp xúc với phương trình bậc nhất một ẩn thông qua bài toán “tìm x”, phương trình được chính thức giới thiệu trong SGK Toán 8. Trong các kì thi tuyển sinh lớp 10 và tuyển sinh đại học, việc nắm vững kiến thức cũng như công cụ để giải các bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình là không thể thiếu nếu như muốn đạt kết quả cao. Một trong những công cụ mạnh mẽ và hữu ích đó chính là “hệ thức Vi-ét”. Hệ thức Vi-ét được trình bày ở SGK Toán 9 tập 2 sau khi học sinh đã học xong hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và phương trình bậc hai. Qua ứng dụng của hệ thức Vi-ét học sinh có thể giải quyết được các bài toán liên quan đến tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc 2, một dạng toán luôn nằm trong đề thi tuyển sinh 10 cũng như tuyển sinh vào lớp 10 chuyên trên khắp cả nước trong nhiều năm qua. Tuy nhiên, ứng dụng của nó vào việc giải hệ phương trình ở cấp học này còn mờ nhạt. Ở lớp 10, định lý Vi-ét được trình bày ngắn gọn với mục đích ôn lại cho học sinh nhưng đến năm học 2011- 2012 thì nó được nằm trong phần giảm tải của Bộ giáo dục đào tạo với mục tiêu “cắt giảm các nội dung trùng lặp”. Vậy để tìm hiểu sự tồn tại của hệ thức Vi-ét trong chương trình toán phổ thông hiện nay, những câu hỏi sau đây cần thiết được giải đáp: Những ứng dụng của hệ thức Vi-ét đã xuất hiện, tồn tại và tiến triển như thế nào trong các SGK? Chúng có thực sự được khai thác hết trong chương trình toán phổ thông hiện hành? Liệu học sinh có thực sự hiểu và nắm rõ công cụ giải toán mạnh mẽ này? Trong nội dung thi tuyển sinh lớp 10 thì việc sử dụng hệ thức Vi-ét luôn được đề cập, điều đó nói lên tầm quan trọng của nó ở cấp học này. Hệ thức
2 Vi-ét và ứng dụng được trình bày trong SGK lớp 9 là một bài học, nhưng lên lớp 10 thì chỉ được đề cập dưới dạng một mục nhỏ trong bài 2 “Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai”, sau đó không còn xuất hiện nữa và hiện nay đã được giảm tải, theo văn bản của Bộ giáo dục thì phần “I. Ôn tập về phương trình bậc nhất, bậc hai” trong bài 2 là không dạy. Vậy phải chăng ứng dụng của nó không còn thích hợp nữa hoặc quá ít môi trường để sử dụng. Một cách hệ thống hơn, chúng tôi thấy cần thiết phải đặt ra những câu hỏi sau: - Ở cấp độ tri thức khoa học, hệ thức Vi-ét và ứng dụng được trình bày như thế nào? Có sự khác biệt nào với sự trình bày tri thức này ở trường phổ thông? Tại sao lại có sự khác biệt này? - Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, chúng xuất hiện như thế nào? Chúng được trình bày để giải quyết những bài toán gì? - Có sự tương đồng và khác biệt nào về ứng dụng của hệ thức Vi-ét giữa 2 cấp học (THCS và THPT)? - Tại sao hệ thức Vi-ét xuất hiện lại ở chương trình toán THPT? Có gì mới mà SGK ở cấp học này muốn giới thiệu? Những sai lầm mắc phải của học sinh ở THCS có còn xuất hiện? Tương lai của hệ thức Vi-ét trong chương trình toán phổ thông ở nước ta? 2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm cách trả lời cho các câu hỏi được nêu ra ở trên. Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi sẽ vận dụng những yếu tố công cụ của Didactic Toán: hợp đồng didactic, lý thuyết nhân chủng học và cách tiếp cận sinh thái học. Cụ thể đó là các khái niệm của lý thuyết nhân chủng học: chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức, quy tắc hành động, tổ chức toán học và quan hệ dinh dưỡng theo cách tiếp cận sinh thái. Bằng những công cụ của các lý thuyết này, chúng tôi sẽ rút ra được các quy tắc của hợp đồng didactic trong thực tế
3 dạy học. Ngoài ra chúng tôi sẽ sử dụng cách tiếp cận sinh thái học để nghiên cứu sức sống của tri thức trong thể chế dạy học ở trường phổ thông hiện nay. Trong phạm vi lý thuyết nêu trên, chúng tôi xin trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu của mình như sau: CH1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, mối quan hệ thể chế gắn với hệ thức Vi-ét có những đặc trưng gì? Vai trò và chức năng của chúng ra sao? CH2: Mối quan hệ thể chế thể chế với hệ thức Vi-ét đã được xây dựng và tiến triển như thế nào trong chương trình toán phổ thông? Có sự chuyển hóa didactic nào gắn với tri thức này? CH3: Có sự tương đồng và khác biệt nào giữa 2 mối quan hệ thể chế với hệ thức Vi-ét và ở cấp THCS và THPT? Tại sao lại có sự khác biệt này? Đặc trưng của các TCTH liên quan đến hệ thức này ở từng cấp học? Có sự ràng buộc nào gắn với các TCTH này? CH4: Hệ thức Vi-ét có thể tồn tại lâu trong thể chế dạy học hiện nay ở Việt Nam? Sự tồn tại của nó gắn liền với những điều kiện ràng buộc nào? 3. Phương pháp nghiên cứu Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi xác định phương pháp nghiên cứu được minh họa bằng sơ đồ sau: Nghiên cứu tri thức khoa học Thể chế dạy học Toán ở bậc đại học Nghiên cứu tri thức cần giảng dạy Thể chế dạy học Toán ở trường phổ thông Nghiên cứu thực nghiệm Quan hệ cá nhân của học sinh
4 Trên đây là sơ đồ phương pháp nghiên cứu, cụ thể chúng tôi sẽ làm các công việc sau: - Trước tiên chúng tôi sẽ phân tích các giáo trình ở bậc đại học để nghiên cứu hệ thức Vi-ét ở cấp độ tri thức khoa học. Qua sự phân tích này, chúng ta sẽ thấy được sự chuyển hóa sư phạm liên quan đến tri thức. - Sau đó, chúng tôi sẽ phân tích các sách giáo khoa, sách bài tập ở cấp THCS (lớp 9) và cấp THPT (lớp 10, 11, 12) song song với việc tham khảo sách giáo viên. Cụ thể sẽ phân tích các TCTH liên quan đến hệ thức này để thấy được sự tiến triển cũng như ứng dụng của nó qua từng cấp học. Ngoài ra chúng tôi sẽ tham khảo thêm “Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên” để hiểu thêm về sự ràng buộc của thể chế gắn liền với tri thức. Qua đó chúng ta sẽ thấy được “quan hệ dinh dưỡng” của tri thức trong thể chế dạy học hiện nay. - Những kết quả nghiên cứu ở trên có thể giúp ta rút ra các giả thuyết nghiên cứu cũng như một số hợp đồng dạy học ngầm ẩn giữa giáo viên và học sinh mà chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng. 4. Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 4 chương - Phần mở đầu gồm một số ghi nhận ban đầu và những câu hỏi xuất phát dẫn đến việc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn. - Trong chương 1 chúng tôi sẽ nghiên cứu sự trình bày hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó ở cấp độ tri thức khoa học qua việc nghiên cứu các giáo trình đại học. - Mở đầu chương 2 là sự phân tích SGK Toán 9, cụ thể là các TCTH liên quan đến hệ thức Vi-ét. Tiếp đến sẽ phân tích SGK Toán 10 nâng cao để thấy được sự tiến triển và khác biệt so với cấp THCS. Qua đó giúp ta nắm được đặc trưng của 2 mối quan hệ thể chế đối với hệ thức này ở từng bậc học. Sau
5 cùng chúng tôi sẽ phân tích SGK Toán 11, 12 nâng cao để tìm hiểu quan hệ dinh dưỡng của hệ thức Vi-ét. - Chương 3 được đúc kết từ những kết quả của chương 2 kèm thêm những phân tích chương trình trong SGK Toán 9, 10, 11, 12 để khảo sát “kênh dinh dưỡng” của hệ thức Vi-ét. - Chương 4 trình bày thực nghiệm với học sinh. Qua bộ câu hỏi thực nghiệm sẽ kiểm chứng được hợp đồng didactic cũng như giả thuyết nghiên cứu đã nêu ra ở chương 2, 3. - Phần kết luận sẽ tóm tắt lại các kết quả nghiên cứu đạt được ở các chương trước đồng thời đề cập đến những hướng mới có thể mở ra từ luận văn. Trong nội dung trình bày luận văn, sử dụng từ “hệ thức” hoặc “công thức” nhằm mục đích tránh sự trùng lặp làm câu văn lủng củng. “Hệ thức” và “công thức” đều mang ý nghĩa giống nhau, “hệ thức” được sử dụng nhiều hơn trong các sách giáo khoa Toán phổ thông ở Việt Nam hiện nay. Ngoài ra, khi sử dụng “định lí Vi-ét” thay cho “công thức Vi-ét”, chúng tôi muốn đề cập đến “điều kiện để sử dụng công thức Vi-ét: phương trình đã cho phải có nghiệm” được trình bày một cách tường minh trong sách giáo khoa, từ đó chúng tôi có thể rút ra được sự chuyển hóa sư phạm liên quan đến tri thức này.
6 Chương 1 PHÂN TÍCH THỂ CHẾ VỚI ĐỊNH LÍ VI-ÉT Ở BẬC ĐẠI HỌC Mục tiêu của chương Chương này có mục tiêu làm rõ những đặc trưng của hệ thức Vi-ét và đặc biệt là ứng dụng của nó ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể hơn, qua việc phân tích một số giáo trình đại học chúng tôi sẽ cố gắng nghiên cứu để làm rõ nguồn gốc và tiến trình mà công thức Vi-ét được đưa vào, vai trò và chức năng của chúng ở bậc học này. Ở đây, chúng tôi chọn phân tích hai giáo trình sau: - Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục. (ký hiệu là [a]). -Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội (2005), Đại số đại cương, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh. (ký hiệu là [b]). Mục tiêu của việc lựa chọn hai giáo trình này là việc trình bày các vấn đề liên quan đến hệ thức Vi-ét tương đối phong phú hơn các giáo trình khác và đây cũng là hai giáo trình thường được nhiều trường đại học lựa chọn để sinh viên tham khảo. Cụ thể, giáo trình [a] đặc biệt làm rõ những dẫn xuất của công thức Vi-ét, còn các ứng dụng của nó thì được trình bày đầy đủ hơn ở giáo trình [b]. 1.1. Định lý Vi-ét trong giáo trình [a] Trong giáo trình này, định lý Vi-ét được đề cập chính thức ở chương V với nhan đề “Vành chính và vành Ơclit”. Nhưng hình dáng của công thức Vi-ét và ứng dụng của nó đã được trình bày ở chương trước, đó là chương IV “ Vành đa thức”. Cụ thể trong bài 2 “Vành đa thức nhiều ẩn”, khái niệm đa thức đối xứng đã được trình bày ở trang 116 như sau: “ Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị. Trước hết ta hãy xét vành đa thức 2 ẩn A[x 1 ,x 2]. Trong vành này ta chú ý tới hai đa thức đặc biệt sau đây: f(x 1 ,x 2 )= x 1 + x 2 , g(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 ”.
7 Đến đây công thức Vi-ét đã phần nào được giới thiệu, đó là hai công thức: tổng và tích. Trong phần này, giáo trình đã lưu ý chúng như là hai đa thức đặc biệt . Đa thức đối xứng có thể được coi là yếu tố lý thuyết giải thích cho các kĩ thuật giải các dạng toán liên quan đến định lí Vi-ét ở phổ thông. Tiếp đến, giáo trình còn đề cập: “Các đa thức sau đây σ 1 = x1 + x2 + ... + xn σ 2 = x1 x2 + x1 x3 + ... + xn−1 xn σ=3 x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + ... + xn − 2 xn −1 xn ... σ n−1 =x1 x2 ...xn −1 + x1 x2 ...xn − 2 xn + ...x2 x3 ...xn σ n = x1 x2 ...xn cũng là những đa thức đối xứng, gọi là các đa thức đối xứng cơ bản.” Các đa thức đối xứng cơ bản này tổng quát hơn là hai đa thức đặc biệt mà giáo trình đã chú ý ở phần trên, đó cũng chính là khái niệm liên quan trực tiếp đến việc hình thành công thức Vi-ét tổng quát sau này. Ngoài ra, trong phần ứng dụng được [a] nhắc tới sau đó thì hình bóng của hệ thức Vi-ét đã rõ ràng hơn. “ Tìm các số nguyên α , β , γ sao cho αβγ = 6 α3 + β3 +γ 3 =36 α + β +γ = 6 Theo ví dụ trên ta có α 3 + β 3 + γ 3 = (α + β + γ )3 − 3(α + β + γ )(αβ + αγ + βγ ) Ta suy ra αβ + αγ + βγ = 11 Mặt khác xét đa thức f(x) ∈ Ζ [x] f ( x) =( x − α )( x − β )( x − γ ) Giả sử a ∈ Ζ , ta có f (a) =(a − α )(a − β )(a − γ )
8 Vì f(a) = 0 khi và chỉ khi một trong các thừa số a − α , a − β , a − γ bằng 0, cho nên các nghiệm của f(x) là α , β , γ . Khai triển f(x) ta được f ( x) = x3 − (α + β + γ ) x 2 + (αβ + αγ + βγ ) x − αβγ =x3 − 6 x 2 + 11x − 6 vì α + β += γ 6,αβ + αγ + βγ = 11,αβγ = 6. Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0, do đó f(x) có một nghiệm là 1. Theo hệ quả của định lí 4 trong (§1, 4), f(x) chia hết cho x -1. Chia f(x) cho x-1 ta được f ( x) = ( x − 1)( x 2 − 5 x + 6) Đa thức x 2 − 5 x + 6 cho ta hai nghiệm là 2 và 3. Vậy các số nguyên α , β , γ cần tìm là 1, 2, 3. ” Phần ứng dụng này chính là một trong những công cụ giải hệ phương trình nhờ vào công thức Vi-ét mà yếu tố lý thuyết nền tảng chính là các đa thức đối xứng cơ bản. Ở chương V “ Vành chính và vành Ơclit”, công thức Vi-ét được trình bày trong phần ứng dụng để nghiên cứu vành đa thức K[x] với K là một trường. Cụ thể trong định lí 2 thì công thức đã xuất hiện như sau: “ Định lí 2. Giả sử f(x) là một đa thức bậc n>1 của vành K[x], với K là một trường. Thế thì f(x) có không quá n nghiệm trong K, các nghiệm có thể phân biệt có thể trùng nhau. … Gọi α1 , α 2 ,..., α n là n nghiệm của f(x) trong K, các nghiệm có thể phân biệt có thể trùng nhau, và giả sử (1) f ( x)= c0 x n + c1 x n −1 + ... + cn−1 x + cn . f(x) phải có dạng phân tích là f ( x) =c0 ( x − α1 )( x − α 2 )...( x − α n ). sau khi nhân các đa thức x − α i , i = 1, 2, …, n, ta được ) c0 [ x n − x n −1 (α1 + α 2 + ... + α n ) (2) f ( x=
9 + x n− 2 (α1α 2 + α1α 3 + ... + α n−1α n ) + ... + (−1) n α1α 2 ...α n ] So sánh (1) và (2) ta được công thức Vi-ét: c1 α1 + α 2 + ... + α n =− c0 c α1α 2 + α1α 3 + ... + α n−1α n =2 c0 c3 α1α 2α 3 + α1α 2α 4 + ... + α n−2α n−1α n =− c0 ... cn α1α 2 ...α n = (−1) n c0 Ta nhận thấy rằng các vế trái của công thức trên chẳng qua là các đa thức đối xứng cơ bản của các phần tử α1 , α 2 ,..., α n (chương IV). ” Như vậy công thức Vi-ét được rút ra sau khi so sánh 2 dạng phân tích của một đa thức f(x) có không quá n nghiệm trong trường K. Trong phần trình bày ở định lí 2 này thì câu “ các nghiệm có thể phân biệt có thể trùng nhau” được lặp lại hai lần, điều này có nghĩa là nếu f(x) có nghiệm bội cấp m (m>1) thì công thức Vi-ét vẫn có thể được áp dụng. Ngoài ra, trong định lí 2 có đề cập “f(x) là một đa thức bậc n>1 của vành K[x], với K là một trường”. Do đó ta có thể hiểu công thức Vi-ét có tầm áp dụng rộng rãi ở mọi trường số, bao gồm trường số thực R và cả trường số phức C. Qua sự trình bày những yếu tố lí thuyết liên quan trực tiếp đến hệ thức Vi-ét trong giáo trình [a], ta thấy công thức này được xuất hiện dưới dạng một công cụ, nó được gắn liền với việc xét nghiệm của các đa thức f(x) thuộc vành K[x] với K là một trường số bất kỳ. Chúng ta cũng có thể thấy được một yếu tố lý thuyết quan trọng dẫn đến việc hình thành công thức này đó là các đa thức đối xứng cơ bản. Để tìm hiểu xem ứng dụng của hệ thức Vi-ét rộng rãi đến đâu, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích các tổ chức toán học liên quan đến hệ thức này trong [a].
10 Tổ chức toán học liên quan đến hệ thức Vi-ét trong giáo trình [a] Kiểu nhiệm vụ T1: “ Giải hệ phương trình đối xứng loại 1” Theo chúng tôi, đây là kiểu nhiệm vụ trọng yếu liên quan đến việc sử dụng hệ thức Vi-ét. Vì số lượng bài tập trong giáo trình [a] khá hạn chế nên chỉ có 1 bài tập thuộc kiểu nhiệm vụ T1. Bài 3 trang 129: “ Giải hệ phương trình  x + y + z =−3  3 x + y + z = −27 ” 3 3  x4 + y 4 + z 4 =  113 Kĩ thuật τ 11 : + Biểu diễn các phương trình trong hệ qua các đa thức đối xứng cơ bản (x+y+z, xy+xz+yz, xyz) + Tính giá trị của các đa thức đối xứng vừa tìm được + Xét đa thức f(a) nhận x, y, z làm nghiệm (f(a)=(a-x)(a-y)(a-z)). + Sử dụng công thức Vi-ét để thay các hệ số của khai triển f(a). f (a ) = a 3 − ( x + y + z )a 2 + ( xy + xz + yz )a − xyz + Phân tích thành nhân tử đa thức f(a) vừa tìm được, suy ra các giá trị x, y, z cần tìm. Để minh họa cho kĩ thuật τ 1 , ta có thể giải hệ phương trình trên như sau: x3 + y 3 + z 3 = ( x + y + z )3 − 3( x + y + z )( xy + xz + yz ) + 3xyz −27 = −27 + 9( xy + xz + yz ) + 3 xyz xyz = −3( xy + xz + yz ) x 4 + y 4 + z 4 = ( x + y + z ) 4 − 4( x + y + z ) 2 ( xy + xz + yz ) +2( xy + xz + yz ) 2 + 4( x + y + z ) xyz 113 = 81 − 36( xy + xz + yz ) + 2( xy + xz + yz ) 2 − 12 xyz −3( xy + xz + yz ) ta được: Thay xyz = 2( xy + xz + yz ) 2 = 32
11 Suy ra : xy + xz + yz = ±4 và xyz = ±12 Xét đa thức f(a) ∈ K[a] : f(a) = (a – x)(a – y)(a – z) Nghiệm của phương trình f(a) = 0 là x, y, z. Khai triển f(a) ta được: f (a ) = a 3 − ( x + y + z )a 2 + ( xy + xz + yz )a − xyz ±4 và xyz = ±12 , ta được : Thay xy + xz + yz = f (a ) = a 3 + 3a 2 + 4a + 12 hay f (a ) = a 3 + 3a 2 − 4a − 12 Với f (a ) = a 3 + 3a 2 + 4a + 12 , phân tích thành nhân tử ta được: f (a) = f (a) =(a + 3)(a − 2i )(a + 2i ) Với f (a ) = a 3 + 3a 2 − 4a − 12 , phân tích thành nhân tử ta được: f (a) =(a − 2)(a + 2)(a + 3) Vậy (x, y, z) cần tìm là:(2, -2, -3); (2, -3, -2); ( -2, 2, -3); (-2, -3, 2); (-3, 2, -2); (-3, -2, 2); (-3, 2i, -2i); (-3, -2i, 2i); (-2i, -3, 2i); (-2i, 2i, -3); (2i, -2i, -3);(2i, -3, -2i). Đây là một hệ phương trình tương đối phức tạp đối với học sinh phổ thông và ngay cả với sinh viên đại học. Việc sử dụng hệ thức Vi-ét nhờ vào phương pháp tìm giá trị của các đa thức đối xứng cơ bản đã giúp giải bài toán không quá khó khăn. Ví dụ trên đã cho ta thấy được ứng dụng công cụ của công thức Vi-ét trong việc giải hệ phương trình. Công nghệ θ1 : công thức Vi-ét. Kĩ thuật τ 12 : z σ 1 ; xy + xz + = + Đặt ẩn phụ: x + y += yz σ 2 ; xyz = σ3 + Biểu thị các phương trình trong hệ đã cho thông qua các đa thức đối xứng cơ bản σ 1 , σ 2 , σ 3 + Tính giá trị σ 1 , σ 2 , σ 3 + Xét đa thức f(a) nhận x, y, z làm nghiệm (f(a)=(a-x)(a-y)(a-z)). + Sử dụng công thức Vi-ét thay để thay các hệ số của khai triển f(a). f (a ) =a 3 − σ 1a 2 + σ 2 a − σ 3
12 + Phân tích thành nhân tử đa thức f(a) vừa tìm được, suy ra các giá trị x, y, z cần tìm. Công nghệ θ1 : công thức Vi-ét. Kĩ thuật τ 12 này không khác kĩ thuật τ 11 là mấy vì chúng dựa trên cùng một môi trường công nghệ và lí thuyết giống nhau. Nhưng khi dùng kĩ thuật τ 12 thì lời giải được trình bày gọn gẽ hơn và tiết kiệm được thời gian hơn khi làm bài. Kiểu nhiệm vụ T2: “ Chứng minh một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm” Bài 9 trang 170: “ Chứng minh : ( x1 − x2 ) 2 ( x2 − x3 ) 2 ( x1 − x3 ) 2 = −4 p 3 − 27 q 2 với x1 , x2 , x3 là các nghiệm của phương trình x3 + px + q =0 ” Kĩ thuật τ 21 : Biến đổi vế trái thành vế phải: + Biến đổi đại số để biểu thị đa thức qua các đa thức đối xứng cơ bản + Sử dụng công thức Vi-ét, suy ra điều phải chứng minh. Hoặc biến đổi vế phải thành vế trái: + Dùng công thức Vi-ét, + Biến đổi đại số, suy ra điều phải chứng minh. Lời giải bài tập minh họa cho kĩ thuật τ 21 : Ta có: VT =− ( x1 x2 ) 2 ( x2 − x3 ) 2 ( x1 − x3 ) 2 2 =( x1 − x2 ) ( x2 − x3 ) ( x1 − x3 )  = ( x1 x2 x3 − x12 x2 − x1 x32 + x12 x3 − x2 2 x3 + x2 2 x1 + x2 x32 − x1 x2 x3 ) 2 Do x1 , x2 , x3 là các nghiệm của phương trình x3 + px + q =0 Nên
13  x1 + x2 + x3 = 0   x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = p (*)  x x x = −q  1 2 3 Thay (*) vào VT ta được: VT = −4 p 3 − 27 q 2 = VP (đpcm) Công nghệ θ1 : công thức Vi-ét. Nhận xét: Ở giáo trình [a] này có hai kiểu nhiệm vụ liên quan trực tiếp đến công thức Vi-ét là kiểu nhiệm vụ T1 “giải hệ phương trình đối xứng loại 1” và T2 “chứng minh một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm”. Đặc trưng của hai kiểu nhiệm vụ trên là các phương trình được cho đều là phương trình bậc 3, do đó mức độ phức tạp của các bài tập chỉ tương đối. Mỗi kiểu nhiệm vụ chỉ có 1 bài tập nhưng qua đó chúng ta không chỉ thấy được công cụ Vi-ét hữu ích thế nào trong việc giải hệ phương trình bậc cao với số ẩn lớn hơn 2 mà còn mối quan hệ mật thiết giữa công thức này và lí thuyết về các đa thức đối xứng cơ bản. 1.2. Định lí Vi-ét trong giáo trình [b] Trong giáo trình [b], công thức Vi-ét xuất hiện ở chương III “ Vành đa thức”. Cụ thể là ở bài 2 “ Nghiệm của đa thức”, công thức đã được đưa vào trang 97 như sau: “ Cho đa thức f(x) ∈ K[x] f ( x= ) an x n + ... + a1 x + a0 , an ≠ 0 Giả sử f(x) có n nghiệm (kể cả số bội) là α1 , α 2 ,..., α n ∈ K . Khi đó ta có f ( x) =an ( x − α1 )( x − α 2 )...( x − α n ) . Khai triển vế phải và so sánh các hệ số của các lũy thừa giống nhau ta sẽ được công thức sau gọi là công thức Vi-ét, chúng biểu thị các hệ số của đa thức theo các nghiệm của nó:
14 α n−1 n =−(α1 + α 2 + ... + α n ) =−∑ α i ; αn i =1 α n−2 = ∑ αα ; α n 1≤i < j ≤n i j ... α n−k αn = (−1) k ∑ α i α i ...α i ; 1 1≤i
15  x + y + z =2  2 x + y + z = 2 2 14 ” 1 1 1 5  + + =  x y z 6 Ta cũng sẽ sử dụng kĩ thuật τ 11 hoặc kĩ thuật τ 12 để giải các bài toán liên quan đến kiểu nhiệm vụ T1. Kiểu nhiệm vụ T2 cũng xuất hiện ở giáo trình [b] với số lượng 1 bài. Ngoài ra ở [b] còn có thêm kiểu nhiệm vụ tương tự T2 mà chúng tôi tạm gọi là kiểu nhiệm vụ T2’ với số lượng bài tập là 5. Kiểu nhiệm vụ T2’: “ Tính hệ thức liên quan giữa các nghiệm” Ví dụ: D øk 3. 22 t r ang 127 “a) Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình x3 + 2 x − 3 =0. b) Tính x13 x2 + x1 x23 + x23 x3 + x2 x33 + x33 x1 + x3 x13 trong đó x1 , x2 , x3 là các nghiệm của phương trình x3 − x 2 − 4 x + 1 =0. c) Giả sử x1 , x2 , x3 là các nghiệm của phương trình x3 + px + q =0 Tính x1 x2 x3 x2 x3 x1 + + + + + x2 x3 x1 x1 x2 x3 Kĩ thuật τ 22 : + Biểu thị các biểu thức cần tính thông qua các đa thức đối xứng cơ bản ( x1 x2 x3 , x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 , x1 + x2 + x3 ). + Dùng công thức Vi-ét suy ra các giá trị cần tính.