Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến "Ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán" nhằm đề ra các phương pháp sư phạm với mục đích: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán”, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán 9 nói riêng và toán THCS nói chung.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán

1/17 A- ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Ngày nay, với sự phát triển như vũ bão của khoa học kĩ thuật và sự phát triển mạnh mẽ của đất nước, đòi hỏi ngành giáo dục phải thay đổi tầm nhìn và phương thức hoạt động là yêu cầu tất yếu, vì sản phẩm của giáo dục là con người. Nó quyết định vận mệnh tương lai của một đất nước, điều này thể hiện rõ trong chính sách: “Coi giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu cùng với khoa học công nghệ là yếu tố quyết định góp phần phát triển khoa học và xã hội”. Do đó cần phải đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục và đào tạo của Việt Nam theo hướng chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế. Toán học ra đời gắn liền với con người, với lịch sử phát triển và cuộc sống xã hội loài người nói chung, con người nói riêng. Nó có lí luận thực tiễn lớn lao và quan trọng như đồng chí: Phạm Văn Đồng đã nói: “Toán học là môn thể thao của trí tuệ nó giúp chúng ta rèn luyện tính thông minh và sáng tạo”. Như chúng ta đã biết, hệ thức Vi-ét là một trong những kiến thức trọng tâm trong chương trình lớp 9. Đây là một trong những chuyên đề ôn thi trọng tâm vào lớp 10 - THPT. Nhìn hệ thức thì rất đơn giản nhưng để áp dụng được hệ thức Vi-ét vào giả các loại toán thì quả là một vấn đề không đơn giản. Nó cần đòi hỏi sự chuyên cần, nhanh nhạy của học sinh. Nó cần sự giúp đỡ hay sự hướng dẫn của giáo viên. Người giáo viên cần phân thành từng dạng toán cụ thể và đưa ra cách làm để hướng dẫn các em. Qua thực tế giảng dạy môn toán 9 cũng như ôn thi vào 10 cho học sinh lớp 9, đồng thời qua quá trình kiểm tra đánh giá sự tiếp thu của học sinh và sự vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán. Tôi nhận thấy học sinh vận dụng các kiến thức toán học trong phần này còn nhiều hạn chế và thiếu sót. Đặc biệt là các em rất lúng túng khi vận dụng hệ thức Vi-ét, biến đổi bài toán như thế nào để có thể áp dụng được hệ thức Vi-ét. Trên cơ sở nghiên cứu đó tôi đã phân chia thành nhiều dạng toán, cùng áp dụng hệ thức Vi-ét vào để biến đổi, tôi rút ra một vài kinh nghiệm nhỏ để giúp các em có được phương pháp để áp dụng vào giải toán trong năm học 2020 – 2021 và đồng thời chia sẻ cùng đồng nghiệp một số kinh nghiệm khi thực hiện đề tài này. Xuất phát từ lý do trên và sự tâm huyết với nghề, tình yêu thương các em học sinh, niềm đam mê dành cho bộ môn toán tôi không ngừng trau dồi kiến thức, học hỏi kinh nghiệm, nâng cao tay nghề trong việc soạn giảng bằng những kinh nghiệm riêng của bản thân và đây cũng là lý do để tôi chọn đề tài này.
2/17 2. Đối tượng nghiên cứu: - Đối tượng học sinh đại trà lớp 9 - Đối tượng học sinh khá giỏi lớp 9 3 Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu nhằm đề ra các phương pháp sư phạm với mục đích: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán”, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán 9 nói riêng và toán THCS nói chung. 4. Phạm vi nghiên cứu: Để thực hiện đề tài này, tôi thực hiện nghiên cứu với các em học sinh tại đơn vị công tác là Trường THCS Tản Hồng. Cụ thể là học sinh lớp 9b,9c 5.Thời gian nghiên cứu: Đề tài được thực hiện từ ngày 18/ 1/ 2020 đến ngày 30/ 4/ 2021 6. Nhiệm vụ nghiên cứu: Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm sáng tỏ một số vấn đề như sau: + Làm sáng tỏ cơ sở lí luận về kĩ năng giải Toán. + Đề xuất các phương pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải Toán cho học sinh. + Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài. 7. Cơ sở nghiên cứu: Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức đã học ở Trường sư phạm, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng thường xuyên, sách giáo khoa, sách bài tập, sách nâng cao, sách chuyên đề và nhiều sách tham khảo của bộ môn Toán bậc trung học cơ sở. 8. Phương pháp nghiên cứu: Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây: – Phương pháp nghiên cứu lý luận thông qua tài liệu – Phương pháp khảo sát thực tiễn giải bài tập của học sinh . – Phương pháp phân tích – Phương pháp tổng hợp và đưa ra giải pháp – Phương pháp khái quát hóa – Phương pháp kiểm tra nắm bắt kết quả của học sinh – Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
3/17 PHẦN II – NỘI DUNG A. CỞ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN: Hệ thức Vi-ét là một trong những kiến thức trọng tâm của học sinh lớp 9. Mặc dù số lượng tiết học dành cho phần kiến thức này là không nhiều, xong tính ứng dụng của nó để giải các dạng bài tập thì quả là không nhỏ. Nhìn thì rất đơn giản nhưng để áp dụng nó vào bài tập thì đòi hỏi học sinh phải có lượng kiến thức sâu, rộng, không những thế, nó đòi hỏi học sinh phải linh hoạt để biến đổi đưa được bài toán về dạng để có thể áp dụng được hệ thức Vi-ét. Khi ứng dụng được hệ thức Vi-ét, học sinh có thể tìm ngay được nghiệm của phương trình bậc hai trong những trường hợp đặc biệt mà không cần sử dụng tới công thức nghiệm. Bởi vậy, học sinh có thể tiết kiệm thời gian khi làm bài, tránh được những sai sót không đáng có. Hơn nữa, nó lại là một trong những nội dung kiến thức cơ bản trong kì thi tuyển vào cấp 3. Bởi vậy người giáo viên cần xây dựng hệ thống bài tập, phân dạng bài tập, đồng thời khái quát cách giải để đáp ứng được cho nhu cầu của học sinh. Tránh cho các em tâm lý sợ khi gặp dạng toán này, giúp các em thật tự tin trong thi cử . B. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ. 1/ Tình trạng thực tế khi chưa thực hiện: Trước khi thực hiện đề tài, tôi nhận thấy các em học sinh đã nắm được nội dung của hệ thức Vi-ét, xong ứng dụng của nó vào giải toán thì rất còn lúng túng, vì các em chưa biết cách biến đổi các hệ thức để có thể áp dụng được hệ thức vi-ét. Phần nhiều các em chưa được làm quen với các dạng toán , chưa biết làm cách nào để có thể áp dụng được hệ thức Vi-ét. Học sinh chỉ biết giải các bài toán một số bài toán đơn giản, khi gặp các bài toán phức tạp thì các em chưa biết cách định hướng. 2/ Số liệu điều tra trước khi thực hiện: Khi chưa đưa đề tài này vào áp dụng thì qua kiểm tra cho thấy học sinh nắm được nội dung hệ thức Vi-ét là 90%. Nhưng số lượng học sinh chưa biết cách biến đổi các hệ thức để đưa về dạng có thể áp dụng Vi-ét là 70%. Số lượng học sinh không biết phân dạng bài toán để đưa ra định hướng cách giải là 80%. Thông qua kết quả trên tôi thấy rằng cần phải khuấy động phong trào học toán, khơi dậy lòng ham học của các em để các em đạt được kết quả cao hơn. Vì vậy tôi đã áp dụng đề tài này vào lớp 9c trường THCS Tản Hồng mà tôi đang trực tiếp giảng dạy.
4/17 C. BIỆN PHÁP VÀ CÁCH THỰC HIỆN: Biện pháp chủ chốt: PHÂN DẠNG LOẠI TOÁN VÀ CÁCH GIẢI Trong quá trình giảng dạy, một điều hết sức quan trọng đó là: Giáo viên phải phân dạng từng loại toán. Đặc biệt đối với bài tập áp dụng hệ thức Vi-ét, giáo viên cần phân dạng bài tập và giới thiệu cách giải chung từng loại, các công thức, các kiến thức có liên quan từng loại bài. Rồi đưa ra hệ thống bài tập theo từng dạng, sau đó giáo viên đưa ra hệ thống bài tập tổng hợp để học sinh dễ dàng hệ thống kiến thức và biết liên kết các dạng bài tập. NỘI DUNG THỰC HIỆN * Nội dung hệ thức Vi-ét: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1) a 0 Điều kiện để áp dụng được Vi-ét: Nếu ∆ = b 2 − 4ac 0 −b S = x1 + x 2 = a Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) thì c P = x1 x 2 = a S: là tổng hai nghiệm P: là tích hai nghiệm. * Nội dung ứng dụng hệ thức Vi-ét. Các dạng toán 1. ỨNG DỤNG 1: NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH: 1.1 .Phương trình bậc hai có dạng đặc biệt: Nếu phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a 0) (1) có : c +) a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1 và nghiệm còn lại x2 = a +) a − b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = −1 và nghiệm còn lại −c x2 = a BÀI TẬP ÁP DỤNG Dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) 2 x 2 + 5 x + 3 = 0 (1) b) 3x 2 + 8 x − 11 = 0 (2) c) x 2 + ( 3 − 5) x − 15 = 0 (3) d) x 2 + (3 − 2 7) x − 6 7 = 0 (4) Giải: Ta thấy: −3 a) Phương trình (1) có dạng a − b + c = 0 nên có nghiệm x1 = −1 và x2 = 2
5/17 −11 b) Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm x1 = 1 và x2 = 3 c) x 2 + ( 3 − 5) x − 15 = 0 (3) có : a.c = − 15 < 0 , phương trình có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: −b S = x1 + x 2 = a x1 + x 2 = − ( ) 3− 5 =− 3+ 5 c x1x 2 = − 15 = − 3. 5 P = x1 x 2 = a x1 = − 3 ; x2 = 5 Vậy phương trình có hai nghiệm là : x1 = 5 ; x2 = − 3 1.2/ Phương trình bậc hai chứa tham số cho trước một nghiệm, tìm giá trị của tham số và tìm nghiệm còn lại. Cách giải: - Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm - Thay giá trị nghiệm đã cho vào phương trình, tìm được giá trị của tham số, đối chiếu với điều kiện - Tìm nghiệm còn lại bằng một trong hai cách sau: + Thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giải phương trình + Thay giá trị tìm được của tham số và giá trị nghiệm đã cho vào tổng hai nghiệm hoặc tích hai nghiệm để tìm nghiệm còn lại BÀI TẬP ÁP DỤNG Cho phương trình: x2 - 2(m - 3)x - 1 = 0 (1). Xác định m để (1) có nghiệm x = -2, tìm nghiệm còn lại. Giải: PT : x2 - 2( m - 3 )x - 1 = 0 có: a = 1; b = - 2(m - 3); c = -1; b’ = - (m - 3) ∆ ' = (b ') 2 − ac = − ( m − 3) + 1 = ( m − 3) + 1 0, ∀m 2 2 Phương trình luôn có nghiệm. x1 + x2 = 2(m − 3) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: x1.x2 = −1 9 Thay x1 = −2 vào phương trình (1) ta được : 4 + 4(m − 3) − 1 = 0 m = (TM ) 4 −1 −1 1 Từ x1 x2 = −1 suy ra x2 = x = −2 = 2 1 9 1 Vậy với m = thì phương trình có một nghiệm là x = -2, nghiệm còn lại là x = 4 2 2. ỨNG DỤNG 2: LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
6/17 2.1. Lập phương trình bậc hai khi biết giá trị hai nghiệm x1 ; x2 * Nếu có hai số x1 , x2 mà x1.x2 = S và x1 + x2 = P thì hai số đó là nghiệm của phương trình: x 2 − Sx + P = 0 Từ kiến thức trên học sinh muốn lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x1 ; x2 thì học sinh chỉ cần S = x1 + x2 + Áp dụng tính được P = x1 x2 + Kết luận x1 ; x2 là nghiệm của phương trình có dạng: x 2 − Sx + P = 0 BÀI TẬP ÁP DỤNG Cho x1 = 3 ; x2 = 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên. Giải: S = x1 + x2 = 5 Theo hệ thức Vi-ét ta có P = x1 x2 = 6 Vậy x1 ; x2 là nghiệm của phương trình có dạng: x 2 − Sx + P = 0 x 2 − 5 x + 6 = 0 2.2/ Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình bậc hai cho trước: BÀI TẬP ÁP DỤNG Cho phương trình: x 2 − 3x + 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 . Không giải phương 1 trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y1 , y2 thoả mãn: y1 = x2 + x và 1 1 y2 = x1 + x2 Giải: x1 + x2 = 3 Từ phương trình: x 2 − 3x + 2 = 0 . Theo hệ thức Vi- ét: x1 x2 = 2 Ta có: 1 1 1 1 x +x 3 9 S = y1 + y2 = x2 + + x1 + = ( x1 + x2 ) + + = ( x1 + x2 ) + 1 2 = 3 + = x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 2 1 1 1 1 9 P = y1 y2 = ( x2 + )( x1 + ) = x1 x2 + 1 + 1 + = 2 +1+1+ = x1 x2 x1 x2 2 2 Vậy phương trình cần lập có dạng: y 2 − Sy + P = 0 9 9 hay y 2 − y + = 0 2 y2 − 9 y + 9 = 0 2 2 3. ỨNG DỤNG 3: TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN HỆ THỨC CHỨA HAI NGHIỆM ĐÃ CHO
7/17 * Cách giải - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (a 0 và 0), áp dụng hệ thức Vi-ét tìm được ( x1 + x2 ) và x1 x2 theo tham số. - Từ hệ thức chứa nghiệm đã cho, biến đổi hệ thức để xuất hiện ( x1 + x2 ) và x1 x2 , kết hợp với hệ thức Vi-ét để giải phương trình có ẩn là tham số. - Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. * Chú ý: Đối với các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là học sinh phải biết cách biến đổi hệ thức chứa hai nghiệm đã cho về hệ thức có chứa tổng hai nghiệm S và tích hai nghiệm P để áp dụng được hệ thức Vi-ét Một số phép biến đổi để xuất hiện ( x1 + x2 ) và x1 x2 1) x12 + x2 = ( x12 + 2 x1 x2 + x22 ) − 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 2 2) x1 + x2 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 3 3 2 2 2 3) x14 + x2 = ( x12 )2 + ( x2 )2 = ( x12 + x22 ) − 2 x12 x22 = ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 − 2 x12 x2 4 2 2 2 2 1 1 x +x 4) x + x = x x 1 2 1 2 1 2 5) x1 − x2 = ? ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 2 2 ( x1 + x2 ) 2 x1 − x2 = − 4 x1 x2 6. x12 − x22 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) =……. 7. x13 − x2 = ( x1 − x2 ) ( x1 + x1 x2 + x2 ) = ( x1 − x2 ) ( x1 + x2 ) − x1 x2 =……. 3 2 2 2 8. x14 − x24 = ( x1 + x2 ) ( x1 − x2 ) =…… 2 2 2 2 9. x16 + x2 = ( x1 ) + ( x2 ) = ( x1 + x2 ) ( x1 − x1 x2 + x2 ) =…… 6 2 3 2 3 2 2 4 2 2 4 BÀI TẬP ÁP DỤNG Cho phương trình: mx − 6 ( m − 1) x + 9 ( m − 3) = 0 (1) 2 Tìm giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: x1 + x2 = x1.x2 Giải: Phương trình: mx − 6 ( m − 1) x + 9 ( m − 3) = 0 (1) có hệ số: 2 a = m; b = −6(m − 1); b , = −3( m − 1); c = 9.(m − 3) Điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 và x2 là:
8/17 a 0 m 0 m 0 m 0 ∆' 0 ∆ ' = 9 ( m − 2m + 1) − 9m + 27 m 0 2 2 ∆ ' = 9 ( m + 1) 0 m −1 6(m − 1) x1 + x2 = m Theo hệ thức Vi-ét ta có: (*) 9(m − 3) x1 x2 = m Từ giả thiết: x1 + x2 = x1 x2 (**), thay (*) vào (**) ta có: 6(m − 1) 9(m − 3) = 6(m − 1) = 9(m − 3) 6m − 6 = 9m − 27 3m = 21 m = 7 (TMĐK) m m Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: x1 + x2 = x1.x2 4. ỨNG DỤNG 4: TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO THAM SỐ Phương pháp giải: - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x 1 và x2 (a 0 và 0) - Áp dụng hệ thức Vi-ét viết S = x1 + x2 và P = x1 x2 theo tham số - Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x 1 và x2. Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2. BÀI TẬP ÁP DỤNG Gọi x1 ; x2 là nghiệm của phương trình: ( m − 1) x − 2mx + m − 4 = 0 (1) 2 Chứng minh rằng biểu thức A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 không phụ thuộc giá trị của m. Giải Để phương trình (2) có hai nghiệm x1 và x2 thì: m 1 m −1 0 m 1 m 1 4 V' 0 m 2 − (m − 1)(m − 4) 0 5m − 4 0 m 5 2m x1 + x2 = m −1 Theo hệ thức Vi-ét ta có : thay vào biểu thức A ta có: m−4 x1.x2 = m −1 2m m−4 6m + 2m − 8 − 8(m − 1) 0 A = 3 ( x1 + x2 ) + 2 x1 x2 − 8 = 3. + 2. −8 = = =0 m −1 m −1 m −1 m −1 4 Vậy A = 0 với mọi m 1 và m . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m. 5 5. ỨNG DỤNG 5: TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
9/17 Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: x 2 − Sx + P = 0 (Điều kiện để có hai số đó là S2 − 4P 0) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = -3 và tích P = ab = -4 Giải Vì a + b = -3 và ab = - 4 nên a, b là nghiệm của phương trình: x 2 + 3x − 4 = 0 Giải phương trình trên ta được x = 1 và x2 = −4 1 Vậy: Nếu a = 1 thì b = - 4. Nếu a = - 4 thì b = 1 Bài 2: Tìm 2 số a và b biết: a + b = 9 và a2 + b2 = 41 Giải Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b, vậy để áp dụng hệ thức Vi-ét thì cần tìm tích của a và b. a+b =9 a+b = 9 a + b = 41 2 2 (a + b) 2 − 2ab = 41 Từ a+b = 9 a+b = 9 a+b = 9 (a + b) 2 − 41 2ab = (a + b) 2 − 41 ab = ab = 20 2 x1 = 4 Suy ra: a, b là nghiệm của phương trình có dạng: x − 9 x + 20 = 0 2 x2 = 5 Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5. Nếu a = 5 thì b = 4 6. ỨNG DỤNG 6: XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (a 0). Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm …. Ta dựa vào bảng xét dấu sau để tìm điều kiện của bài toán. Dấu nghiệm x1 x2 S = x1 + x2 P = x1 x2 Điều kiện chung trái dấu m P0 0 0; P > 0 cùng dương + + S>0 P>0 0 0; P > 0; S > 0 cùng âm − − S0 0 0; P > 0; S < 0 BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Xác định tham số m sao cho phương trình: 2 x 2 − ( 3m + 1) x + m 2 − m − 6 = 0 có 2 nghiệm trái dấu. Giải: PT: 2 x − ( 3m + 1) x + m − m − 6 = 0 . Có: a = 2; b = -(3m + 1); c = m2 - m - 6 2 2
10/17 ∆ = [ −(3m + 1) ] − 4.2.(m − m − 6) = 9m 2 + 6m + 1 − 8m 2 + 8m + 48 2 2 = m 2 + 14m + 49 = (m + 7) 2 0, ∀m Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì: (m − 7) 2 > 0 ∆>0 m 7 m2 − m − 6 −2 < m < 3 P 0 2(m + 1) m>0 >0 m>2 S >0 m m < −1 P>0 3(m − 2) >0 m>2 m m 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dương. Bài 3. Xác định tham số m sao cho phương trình x 2 + 2(2m + 1) x + 4m = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng âm. Giải: PT: x + 2(2m + 1) x + 4m = 0 có: a = 1; b = 2(2m + 1); c = 4m; b’= (2m + 1) 2 ∆ ' = ( 2m + 1) − 4m = 4m 2 + 4m + 1 − 4m = 4m2 + 1 > 0, ∀m 2 x1 + x2 = −2(2m + 1) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: x1.x2 = 4m
11/17 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng âm thì : a 0 1 0 (TM ) −1 ∆>0 4m 2 + 1 > 0, ∀m 2m + 1 > 0 m> 2 m>0 S 0 m>0 P>0 4m > 0 Vậy m > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng âm. 7. ỨNG DỤNG 7: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Cách giải: Muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức C, ta áp dụng tính chất về bất đẳng thức: Trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được: A2 + m C= (trong đó A, B là các biểu thức, m, k là hằng số) (*) k − B2 + Nếu C m (vì A 0 ) min C = m A = 0 + Nếu C k (vì B 0 ) max C = k B = 0 Bài 1: Cho phương trình: x + ( 2m − 1) x − m = 0 . Gọi x1 và x2 là các nghiệm của 2 phương trình. Tìm m để: A = x12 + x2 − 6 x1 x2 có giá trị nhỏ nhất. 2 Giải: Phương trình: x + ( 2m − 1) x − m = 0 , có a = 1, b = 2m – 1, c = -m 2 ∆ , = ( 2m − 1) − 4m = 4m 2 − 4m + 1 + 4m = 4m 2 + 1 > 0, ∀m 2 x1 + x2 = −(2m − 1) Theo Vi-ét ta có:: x1 x2 = −m Theo đề bài: A = x12 + x2 − 6 x1 x2 = ( x1 + x2 ) − 8 x1 x2 = [ − ( 2m − 1) ]2 + 8m = 4m 2 + 4m + 1 = (2m + 1) 2 2 2 0 −1 −1 Suy ra: min A = 0 2m + 1 = 0 m= . Vậy m = thì min A = 0 2 2 Bài 2: Cho phương trình: x − mx + m − 1 = 0 . Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương 2 trình. 2x x + 3 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B = x 2 + x 2 + 2 ( x x + 1) 1 2 1 2 1 2 Giải: Phương trình x 2 − mx + m − 1 = 0 có a = 1, b = -m, c = m-1 ∆ , = ( −m ) − 4(m − 1) = m 2 − 4m + 4 = (m − 2) 2 2 0, ∀m
12/17 x1 + x2 = m Theo hệ thức Vi-ét thì: x1 x2 = m − 1 2 x1 x2 + 3 2 x1 x2 + 3 2(m − 1) + 3 2m + 1 B= = = = 2 x + x2 + 2 ( x1 x2 + 1) ( x1 + x2 ) + 2 2 1 2 2 m2 + 2 m +2 Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn m 2 + 2 − ( m 2 − 2m + 1) ( m − 1) 2 Ta biến đổi B như sau: B = = 1− m2 + 2 m2 + 2 ( m − 1) 2 Vì ( m 1− ) 2 0 0 B 1 . Vậy max B = 1 m=1 m2 + 2 Với cách thêm bớt khác ta lại có: 1 2 1 1 2 m + 2m + 1 − m 2 ( m + 4m + 4 ) − 1 ( m 2 + 2 ) ( m + 2 ) 2 1 B= 2 2 =2 2 = − m2 + 2 m2 + 2 2 ( m2 + 2 ) 2 ( m + 2) 2 1 1 Vì ( m− 2 ) + 0 2 0 B . Vậy min B = − m = −2 2 ( m + 2) 2 2 2 Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m. 2m + 1 B= Bm 2 − 2m + 2 B − 1 = 0 (Với m là ẩn, B là tham số) (**) m2 + 2 Ta có: ∆ = 1 − B(2 B − 1) = 1 − 2 B 2 + B Để phương trình (**) luôn có nghiệm với mọi m thì 0 hay −2 B + B + 1 0 2 2B2 − B −1 0 ( 2 B + 1) ( B − 1) 0 1 B − 2 B +1 0 2 B −1 0 B 1 1 − B 1 2 B +1 0 1 2 B − B −1 0 2 B 1 1 Vậy: max B = 1 m = 1; min B = − m = −2 2 Bài tập tự luyện: Bài 1: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau: a) 2003x 2 − x − 2004 = 0 b) 7 x 2 + 500 x − 507 = 0 c) x 2 − 49 x − 50 = 0 d) x 2 + (3 − 2 7) x − 6 7 = 0 Bài 2: Lập một phương trình bậc hai để các cặp x1 ; x2 sau là hai nghiệm của phương trình đó. a. x1 = 8 và x2 = -3 b. x1 = 3a và x2 = a
13/17 c. x1 = 36 và x2 = -104 d. x1 = 1 + 2 và x2 = 1 − 2 Bài 3: Cho phương trình bậc hai: x 2 − 2 x − m 2 = 0 có các nghiệm x1 ; x2 . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm y1; y2 sao cho: a) y1 = x1 − 3 và y2 = x2 − 3 b) y1 = 2 x1 − 1 và y2 = 2 x2 − 1 Bài 4: 1. Cho phương trình: mx + 2 ( m − 4 ) x + m + 7 = 0 . (1) 2 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 − 2 x2 = 0 2. Cho phương trình: x + ( m − 1) x + 5m − 6 = 0 . (2) 2 Tìm m để phương trình (2) có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4 x1 + 3x2 = 1 Bài 5: Cho phương trình : x + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 . 2 Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m. Bài 6: 1/ Tìm 2 số a và b biết tổng S = a +b và tích P = a.b a) S = 3 và P = 2 b) S = − 3 và P = 6 2/ Tìm 2 số a và b biết: a) a − b = 5 và ab = 36 b) a2 + b2 = 61 và ab = 30 Bài 7: 1. Cho phương trình: x + ( 4m + 1) x + 2 ( m − 4 ) = 0 . 2 Tìm m để biểu thức A = ( x1 − x2 ) có giá trị nhỏ nhất. 2 2. Cho phương trình: x 2 − 2(m − 4) x + m 2 − 8 = 0 xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: a) A = x1 + x2 − 3x1 x2 đạt giá trị lớn nhất b) B = x12 + x22 − x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất Trên đây là hệ thống bài tập tôi đã trang bị cho học sinh trong năm học vừa qua. Mong được các thầy cô góp ý thêm. D. KẾT QUẢ SAU THỰC NGHIỆM: Với những phương pháp như đã nêu ở trên, bản thân tôi tự nghiên cứu áp dụng, bước đầu tôi thấy thu được một số kết quả sau: - Phần lớn học sinh đã hứng thú giải những phương trình bậc hai có chứa tham số, có áp dụng hệ thức Vi-ét. - 100% học sinh biết cách áp dụng hệ thức Vi-ét. - Đa số các em đã biết biến đổi hệ thức đã cho về dạng biểu thức có chứa x1 + x2 và x1.x2 để áp dụng được hệ thức Vi-ét. - Các em không còn lúng túng khi gặp các dạng toán cần ứng dụng hệ thức Vi-ét.
14/17 - Các em có niềm tin, niềm say mê trong học toán, từ đó tạo cho các em tính tự tin độc lập suy nghĩ, giúp các em tự tin trong thi cử. - Phát triển tư duy logic, óc quan sát, suy luận toán học, kết hợp chặt chẽ trong sự kết hợp điều kiện. - Trong quá trình giải các bài tập đã giúp các em có khả năng phân tích, suy ngẫm, khái quát vấn đề một cách chặt chẽ, các em không còn ngại khó, mà rất tự tin vào khả năng học tập của mình. - Nhiều em khá giỏi đã tìm ra được cách giải hay và ngắn gọn phù hợp. Tuy vậy bên cạnh những kết quả đạt được thì vẫn còn một số ít học sinh học yếu, lười học, chưa có khả năng tự mình biến đổi các hệ thức . Đối với các em yếu, đây là một việc thực sự khó khăn một phần cũng là do khả năng học toán của các em còn hạn chế, mặt khác dạng toán này lại rất khó, đòi hỏi sự tư duy nhiều ở các em. - Một số em chưa có khả năng tổng hợp các điều kiện để đưa ra điều kiện chung cho bài toán. - Những biện pháp và việc làm của tôi như đã trình bày ở trên, bước đầu chưa đạt được kết quả chưa thật mỹ mãn đối với tâm ý của bản thân. Tuy nhiên, nếu thực hiện tốt tôi nghĩ nó cũng góp phần đổi mới phương pháp dạy học mà ngành đang quan tâm và chỉ đạo. Mặt khác, với cách trình bày như trên tôi thiết nghĩ, chúng ta có thể tin tưởng rằng với cách phân dạng như vậy thì đây sẽ là một lượng tri thức rất tốt để góp phần giúp cho các em thi vào 10 có kết quả cao. So với trước kia thì phương pháp phân dạng toán để ứng dụng hệ thức Vi-ét tôi trình bày ở trên đã thu được kết quả rất khả quan. Hầu hết học trò đã nắm được phương pháp giải từng dạng toán, học sinh đã hiểu vấn đề, biết vận dụng vào bài tập. Kết quả đã có 88,5% học sinh hiểu bài và vận dụng được vào bài tập dạng cơ bản, tăng hơn nhiều so với trước kia chưa thực hiện phương pháp này. Cụ thể tôi đã đưa ra một bài toán tổng hợp để thử sức và kiểm nghiệm học sinh sau khi thực hiện đề tài. BÀI TẬP KHẢO SÁT Cho phương trình: x − 2(m + 1) x + 4m = 0 (1) 2 1/ Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. 2/ Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tìm nghiệm còn lại. 3/ Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm trái dấu. 4/ Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: x1 − 2 x2 = 0 5/ Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x1 ; x2 mà không phụ thuộc vào m. 6/ Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho biểu thức:
15/17 A = 2 x + 2 x2 − 2 x1.x2 nhận giá trị nhỏ nhất. 1 2 2 ĐÁP ÁN: x 2 − 2(m + 1) x + 4m = 0 (1) ∆ ' = (m + 1) − 4m = m − 2m + 1 = ( m − 1) 2 2 2 0, ∀m x1 + x2 = 2.(m + 1) Áp dụng hệ thức Vi-ét: x1 x2 = 4m a 0 1 0(tm) 1/ Để phương trình (1) có nghiệm kép thì m =1 ∆ =0' m −1 = 0 Với m = 1, thì phương trình có nghiệm kép: −b 2(m + 1) x1 = x2 = = =2 x1 = x2 = 2 2a 2 2/ Thay x = 4 vào phương trình (1), tìm được m = 2 (TMĐK)và nghiệm còn lại là: x= 2 ∆' > 0 (m − 1) 2 > 0 m 1 3/ Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: x1.x2 < 0 4m < 0 m
16/17 1 Vậy minA = 6 khi m = 2 BẢNG KẾT QUẢ THU ĐƯỢC Qua bài tập tổng hợp trên, tôi đã sát hạch với hai đối tượng học sinh đó là 9b, 9c. tôi thu được kết quả như sau: Lớp Sĩ Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 số SL - % SL - % SL - % SL - % SL - % SL - % 9c 37 37-100% 37-100% 33-89,1% 30-81,1% 25-67,6% 22- 59,5% 9b 37 28-75,6% 25-67,6% 23-62,2% 14-37,8% 8-21,6% 5-13,5% PHẦN III : KẾT LUẬN - BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ KHUYẾN NGHỊ 1. Kết luận : Ứng dụng hệ thức vi-ét vào giải toán là một chuyên đề dành cho mọi đối tượng học sinh lớp 9. Nếu học sinh nắm chắc nội dung hệ thức Vi-ét, biết cách phân dạng bài và nắm được cách làm từng dạng thì giải một bài toán như vậy không còn là thách thức với học sinh. Phần ứng dụng này đặc biệt đã giúp các em trong học sinh phần nào tự tin khi bước vào kì thi vào 10 trong năm học này. Với đề tài “Ứng dụng hệ thức vi-ét vào giải toán” này, tôi hy vọng sẽ ít nhiều cung cấp được một số tài liệu cho các bạn đồng nghiệp trong chương trình giảng dạy lớp 9, đồng thời đây cũng là tài liệu có ích cho giáo viên ôn thi vào 10. 2. Bài học kinh nghiệm: Phần ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán là một trong những phần kiến thức quan trọng nhưng dạng bài tập lại hết sức đa dạng. Tuy nhiên, với khả năng của mình, tôi chỉ đề cập đến một số dạng đơn giản mà các em thường gặp ở chương trình lớp 9, tôi cũng chỉ đi sâu vào vấn đề nhỏ đó là hướng dẫn, giúp các em có kỹ năng định hướng dạng và cách giải bài toán, biết cách biến đổi để từ đó có thể áp dụng được hệ thức Vi-ét. Những kinh nghiệm của tôi trên đây cũng chỉ là một trong những biện pháp nhỏ bé trong vô vàn kinh nghiệm được đúc kết.Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ được rút ra từ thực tế những năm giảng dạy và ôn thi lớp 9 của bản thân tôi, cũng như của quý thầy giáo, cô giáo đi trước và các bạn đồng nghiệp. Vì vậy, tôi rất mong được sự góp ý, xây dựng của quý thầy giáo, cô giáo, cùng các bạn đồng nghiệp, nhằm giúp tôi từng bước hoàn thiện phương pháp giảng
17/17 dạy của mình. Từ đósẽ giúp cho các em học sinh có nhiều kiến thức hơn, dễ hiểu bài hơn và yêu thích môn toán hơn, tự tin trong thi cử. 3. Khuyến nghị: - Do thời gian học chính khoá có hạn mà kiến thức toán rộng lớn, trong đó có nhiều chuyên đề, nhiều dạng toán đòi hỏi người học sinh phải tích luỹ được nhiều kinh nghiệm thì mới có thể giải được những dạng bài đó. Do đó tôi đề nghị nhà trường tạo điều kiện về thời gian và cơ sở vật chất giúp giáo viên và học sinh có thêm những buổi ngoại khoá để cô trò cùng nhau trao đổi, tháo gỡ những thắc mắc, khó khăn trong việc học môn toán nói chung và môn số học nói riêng, giúp học sinh có thêm những kinh nghiệm giải toán và vốn kiến thức vững vàng để các em tiếp thu những kiến thức mới ở các lớp trên một cách tốt hơn. - Đối với ngành tổ chức những chuyên đề để giáo viên có điều kiện học hỏi và nâng cao nghiệp vụ chuyên môn để thúc đẩy được lòng yêu nghề của các thầy cô và thúc đẩy được sự tiến bộ của ngành. Đề tài của tôi được áp dụng ở lớp 9c trường THCS Tản Hồng đã mang lại kết quả đáng mừng và rất rõ nét. Tuy nhiên trong đề tài chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết. Vì vậy tôi rất mong được các quý thầy cô đóng góp ý kiến cho tôi để tôi rút ra những kinh nghiệm và tiếp tục phát triển thêm đề tài này nói riêng và những kinh nghiệm trong việc giảng dạy môn toán nói chung. Xin chân thành cảm ơn các cấp ban ngành, cảm ơn các thầy cô! Tản Hồng, ngày 10/ 05/ 2021 Người viết đề tài Nguyễn Hải Yến Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này không sao chép của người khác. Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm với lời cam đoan trên.