intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:16

Thêm vào BST
Báo xấu
29
lượt xem 8
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm THCS "Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6" được thực hiện nhằm đề ra các phương pháp sư phạm với mục đích: “Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6”, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán 6 nói riêng và toán THCS nói chung.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6

  1. Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6 A- ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lý do chọn đề tài Ngày nay, với sự phát triển như vũ bão của khoa học kĩ thuật và sự phát triển mạnh mẽ của đất nước, đòi hỏi ngành giáo dục phải thay đổi tầm nhìn và phương thức hoạt động là yêu cầu tất yếu, vì sản phẩm của giáo dục là con người. Nó quyết định vận mệnh tương lai của một đất nước, điều này thể hiện rõ trong chính sách: “Coi giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu cùng với khoa học công nghệ là yếu tố quyết định góp phần phát triển khoa học và xã hội”. Do đó cần phải đổi mới căn bản, toàn diện nền giáo dục và đào tạo của Việt Nam theo hướng chuẩn hóa, hiện đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa và hội nhập quốc tế. Toán học ra đời gắn liền với con người, với lịch sử phát triển và cuộc sống xã hội loài người nói chung, con người nói riêng. Nó có lí luận thực tiễn lớn lao và quan trọng như đồng chí: Phạm Văn Đồng đã nói: “Toán học là môn thể thao của trí tuệ nó giúp chúng ta rèn luyện tính thông minh và sáng tạo”. Trong giáo dục, môn toán có một vị trí quan trọng. Trong nhà trường các tri thức toán giúp học sinh học tốt các môn học khác, trong đời sống hàng ngày thì toán học giúp con người có được các kĩ năng tính toán, vẽ hình, đọc, vẽ biểu đồ, đo đạc, ước lượng,... từ đó giúp con người có điều kiện thuận lợi để tiến hành các hoạt động lao động sản xuất trong thời kì công nghiệp hóa và hiện đại hóa đất nước. Qua thực tế giảng dạy tôi thấy, học sinh lớp 6 bước đầu làm quen với chương trình THCS nên còn nhiều bỡ ngỡ gặp không ít khó khăn. Đặc biệt với phân môn số học, mặc dù đã được học ở tiểu học, nhưng với những đòi hỏi ở cấp THCS buộc các em trình bày bài toán phải lôgíc, có cơ sở nên đã khó khăn lại càng khó khăn hơn. Việc giải toán được coi như là nghệ thuật thực hành giống như các môn thể thao, võ thuật… Vì vậy để có kĩ năng giải bài tập phải trải qua quá trình luyện tập. Tuy nhiên không phải là cứ giải bài tập là có kĩ năng. Việc luyện tập sẽ có hiệu quả nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó, nhằm rèn luyện một phương pháp chứng minh nào đó. Thực tiễn cho thấy học sinh thường học toán không chú ý nhiều đến phương pháp giải nên khi gặp những bài toán có sử dụng phương pháp tương tự gặp nhiều lúng túng. Xuất phát từ lý do trên và sự tâm huyết với nghề, tình yêu thương các em học sinh, niềm đam mê dành cho bộ môn toán tôi không ngừng trau dồi kiến thức, học hỏi kinh nghiệm, nâng cao tay nghề trong việc soạn giảng bằng những kinh nghiệm riêng của bản thân và đây cũng là lý do để tôi chọn đề tài này. 2. Đối tượng nghiên cứu: 1/16
  2. Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6 + Lớp áp dụng đề tài: Học sinh lớp 6A trường THCS Tản Hồng – Ba Vì – Hà Nội. + Lớp đối chứng (không áp dụng đề tài): Học sinh lớp 6C trường THCS Tản Hồng – Ba Vì – Hà Nội. 3 Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu nhằm đề ra các phương pháp sư phạm với mục đích: “Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6”, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán 6 nói riêng và toán THCS nói chung. 4. Phạm vi nghiên cứu: - Trong năm học 2019 – 2020 chương trình số học 6. 5. Nhiệm vụ nghiên cứu: Để đạt được mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm sáng tỏ một số vấn đề như sau: + Làm sáng tỏ cơ sở lí luận về kĩ năng giải Toán. + Đề xuất các phương pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải Toán cho học sinh. + Thực nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi của đề tài. 6. Phương pháp nghiên cứu: + Phương pháp nghiên cứu thực tiễn, lí thuyết. + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. + Phương pháp thực nghiệm sư phạm. PHẦN II – NỘI DUNG A. CỞ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN: Địa phương tôi đời sống còn nhiều khó khăn so với nhiều địa phương khác. Do đó việc mua sắm tài liệu tham khảo rất ít đặc biệt là những học sinh thuộc diện hộ nghèo và cận nghèo. Vì vậy, khả năng giải toán của các em còn rất nhiều hạn chế. Trong quá trình dạy học nhiều năm ở trường THCS tôi nhận thấy đa số học sinh chưa phát huy hết năng lực giải toán của mình, nhất là học sinh đầu cấp THCS . Đặc biệt là đối với môn số học 6 là bước khởi đầu quan trọng nhất để hình thành khả năng phát triển tư duy giải toán cho học sinh trong những năm học tiếp theo. Học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải bài tập. Thực tiễn dạy học cũng cho thấy: Học sinh khá, giỏi thường đúc kết những tri thức, phương pháp cấn thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm, học sinh TB, yếu kém gặp nhiều lúng túng. Để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập. Việc luyện tập sẽ có nhiều hiệu quả nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập tương tự nhằm vận dung linh hoạt một dạng toán, một tính chất nào đó, nhằm rèn luyện một phương pháp chứng minh nào đó. Quan sát đặc điểm bài toán, khái quát đặc điểm đề mục là vô cùng quan trọng hơn là sự khái 2/16
  3. Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6 quát hướng suy nghĩ và phương pháp giải. Sự thực là khi giải bài tập thì không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải đề bài trong một loạt vấn đề nào đó. Do đó hướng suy nghĩ và phương pháp giải bài tập cũng nhất định có một ý nghĩa chung nào đó. Nếu ta chú ý từ đó mà khái quát được hướng suy nghĩ và cách giải của vấn đề nào đó là gì thì ta sẽ có thể dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra. Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý khai thác hướng suy nghĩ và cách giải. Trước khi thực hiện đề tài tôi cho học sinh 2 lớp 6A và lớp 6C của trường THCS Tản Hồng làm bài kiểm tra có nội dung liên quan đến dãy số theo quy luật và kết quả cụ thể như sau: * Lớp 6A: Tổng số Giỏi Khá Trung bình Dưới trung bình 36 5 15 9 7 % 13,9 41,7 25 19,4 * Lớp 6C: Tổng số Giỏi Khá Trung bình Dưới trung bình 32 2 10 12 8 % 6,2 31,3 37,5 25 Thông qua kết quả trên tôi thấy rằng cần phải khuấy động phong trào học toán, khơi dậy lòng ham học của các em để các em đạt được kết quả cao hơn. Vì vậy tôi đã áp dụng đề tài vào học sinh lớp 6A của trường THCS Tản Hồng mà tôi đang trực tiếp giảng dạy. B. GIẢI PHÁP VÀ CÁCH THỰC HIỆN: XÉT BÀI TẬP 9.3 TRANG 24 SÁCH BÀI TẬP TOÁN 6 – TẬP 2 1 1 1 a. Chứng tỏ rằng với n ∈ N, n ≠ 0 thì: = − (1) n(n + 1) n n + 1 1 1 1 1 b. Áp dụng kết quả ở câu a) để tính nhanh: A = + + + ... + 1.2 2.3 3.4 9.10 Hướng dẫn: a. Với n ∈ N, n ≠ 0. Biến đổi vế phải thành vế trái bằng cách quy đồng mẫu 1 1 n +1− n 1 − = = (đpcm) n n + 1 n(n + 1) n(n + 1) b. Xét đặc điểm đẳng thức câu a: Ta thấy VT có mẫu là một tích 2 biểu thức cách 1 1 1 nhau một đơn vị, 1 chính là tử thì ta có = − n(n + 1) n n + 1 3/16
  4. Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6 Tương tự với đặc điểm ở câu a ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1− ; = − ; = − ; ...; = − 1.2 2 2.3 2 3 3.4 3 4 9.10 9 10 1 1 1 1 Vậy A = + + + ... + 1.2 2.3 3.4 9.10 1 1 1 1 1 1 1 1 9 = 1 − + − + − + ... + − = 1 − = 2 2 3 3 4 9 10 10 10 I. KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN ỨNG DỤNG BÀI 9.3 SÁCH BÀI TẬP TRANG 24 TẬP II TRONG TÍNH TOÁN, TRONG TOÁN RÚT GỌN. Ví dụ 1: (Bài 327/T76 – Sách bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6) Tính các tổng sau bằng phương pháp hợp lí nhất: 1 1 1 1 1 a. A = + + + + ... + 1.2 2.3 3.4 4.5 49.50 2 2 2 2 b. B = + + + ... + 3.5 5.7 7.9 37.39 3 3 3 3 c. C = + + + ... + 4.7 7.10 10.13 73.76 Hướng dẫn: Các hạng tử trong tổng trên có mẫu là một tích của 2 thừa số cách đều nhau một đơn vị, hai đơn vị, ba đơn vị chính bằng tử ta áp dụng bài mẫu trên biến đổi mỗi số hạng thành một hiệu của hai phân số để dùng phép khử liên tiếp ta có: 1 1 1 1 1 a. A = + + + + ... + 1.2 2.3 3.4 4.5 49.50 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 49 = − + − + − + − + ... + − =1− = 1 2 2 3 3 4 4 5 49 50 50 50 2 2 2 2 b. B = + + + ... + 3.5 5.7 7.9 37.39 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 4 = − + − + − + ... + − = − = = 3 5 5 7 7 9 37 39 3 39 39 13 3 3 3 3 c. C = + + + ... + 4.7 7.10 10.13 73.76 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + ... + − 4 7 7 10 10 13 73 76 1 1 18 9 = − = = 4 76 76 38 Từ đó ta có bài toán tổng quát: Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau: 4/16
  5. Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6 2 2 2 2 E= + + + ... + với n N* 1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) Hướng dẫn: Nhận xét: 2 (2n + 1) − (2n − 1) 1 1 = = − (2n − 1)(2n + 1) (2n − 1)(2n + 1) 2n − 1 2n + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n Do đó: E = 1 − + − + − + ... + − =1− = 3 3 5 5 7 2n − 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 *Nhận xét: Với một số bài toán để tính được tổng mà đi quy đồng mẫu thì rất phức tạp ta biến đổi một bước qui lạ về quen để áp dụng được bài mẫu (1) chẳng hạn: Ví dụ 3: (Ví dụ 46/T83 – Sách toán nâng cao và các chuyên đề toán 6). 1 1 1 1 1 1 1 Tính: B = + + + + + + 20 30 42 56 72 90 110 Hướng dẫn: Để tính được tổng sau mà đi quy đồng mẫu thì rất phức tạp ta nhận thấy 20 = 4.5; 30 = 5.6; 42 = 6.7; ...; 110 = 10.11 nên ta biến đổi mỗi mẫu thành tích của 2 số để áp dụng bài mẫu (1) 1 1 1 1 1 1 1 B= + + + + + + 20 30 42 56 72 90 110 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − + − + − + − 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 1 1 7 = − = 4 11 44 *Nhận xét: Với một số bài toán có tử các phân số không giống nhau, khoảng cách của từng mẫu không cách đều nhau ta biến đổi như thế nào để vận dụng được bài mẫu (1) chẳng hạn: Ví dụ 4: (Bài 76/T79 – Sách chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6) 3 11 12 70 99 Tính: A = + + + + 5.8 8.19 19.31 31.101 101.200 Hướng dẫn: Khi quan sát học sinh lúng túng gặp khó khăn vì tử các phân thức không giống nhau, khoảng cách của từng mẫu không cách đều nhau nhưng quan sát kĩ ta nhận thấy mỗi mẫu hơn kém nhau đúng bằng tử, áp dụng bài mẫu (1) ta làm như sau: 3 11 12 70 99 A= + + + + 5.8 8.19 19.31 31.101 101.200 5/16
  6. Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6 8 − 5 19 − 8 31 − 19 101 − 31 200 − 101 = + + + + 5.8 8.19 19.31 31.101 101.200 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − + − 5 8 8 19 19 31 31 101 101 200 1 1 39 = − = 5 200 200 * Nhận xét đặc điểm mẫu các phân thức để từ đó ta có các dạng bài toán khác, các hạng tử trong tổng trên đều là những phân thức có dạng: Mẫu là một tích 2 nhân tử cách nhau 1 hay 2 hay 3 đơn vị chính bằng tử. Vậy mẫu là tích hai nhân tử cách nhau 2 hay 3 hay 4...đơn vị thì giải bài toán như thế nào? Chẳng hạn: Ví dụ 5: (Bài 8/T153 – Sách các dạng toán điển hình 6) 1 1 1 1 Tính tổng sau: + + + ... + 2.5 5.8 8.11 97.100 Hướng dẫn: Mỗi hạng tử có mẫu là tích của hai số cách đều ba đơn vị mà tử lại là 1 đơn vị để đưa về dạng bài toán mẫu (1) đã biết cách giải ta nhân cả tử và mẫu với 3 đối với mỗi số hạng trong tổng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: = ( − ); = ( − ); = ( − ) ; ...; 2.5 3 2 5 5.8 3 5 8 8.11 3 8 11 1 1 1 1 = ( − ) 97.100 3 97 100 1 1 1 1 Vậy + + + ... + 2.5 5.8 8.11 97.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 49 = ( − + − + − + ... + − )= ( − )= 3 2 5 5 8 8 11 97 100 3 2 100 300 Ta xét bài tổng quát sau: Ví dụ 6: Rút gọn biểu thức sau: 1 1 1 1 F= + + + ... + với n N * 1.4 4.7 7.10 n(n + 3) Hướng dẫn: 3 (n + 3) − n 1 1 Nhận xét = = − n(n + 3) n(n + 3) n n +3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n+2 Do đó F = (1 − + − + − + ... + − ) = (1 − )= 3 4 4 7 7 10 n n +3 3 n + 3 3(n + 3) + Tương tự như vậy có thể đề xuất một loạt bài toán cùng loại và giải quyết với cùng phương pháp. 6/16
  7. Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6 * Chú ý đến đặc điểm tử và mẫu các phân số ta có bài toán tổng quát hơn, tử là một số bất kì, mẫu là tích của hai số cách đều nhau thì giải quyết bài toán như thế nào? Chẳng hạn: Ví dụ 7: (Bài 8/T105 – Sách tuyển tập các bài toán hay và khó lớp 6) 3 3 3 3 Tính tổng: + + + ... + 1.3 3.5 5.7 49.51 Hướng dẫn: Quan sát các mẫu là tích của hai số cách đều nhau 2 đơn vị, tử lại là 5 nên ta viết các hạng tử trong tổng dưới dạng hiệu như sau: 3 3 1 3 3 1 1 3 3 1 1 Ta có: = (1 − ) ; = ( − ); = ( − ) ; ....; 1.3 2 3 3.5 2 3 5 5.7 2 5 7 3 3 1 1 = ( − ) 49.51 2 49 51 3 3 3 3 Do đó + + + ... + 1.3 3.5 5.7 49.51 3 1 1 1 1 1 1 1 3 1 25 = (1 − + − + − + ... + − ) = (1 − ) = 2 3 3 5 5 7 49 51 2 51 17 * Nhận xét: Nếu mẫu là tích của 3 hay 4 số tự nhiên cách đều nhau thì sao? Từ đó ta có bài toán khó hơn. Ví dụ 8: (Bài 450/T22 – Sách nâng cao và phát triển toán 6 tập 2) 1 1 1 1 Tính tổng sau: a) C = + + + ... + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 1 1 1 1 b) D = + + + ... + 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30 Hướng dẫn: 1 1 2 1 1 2 1 1 2 a) Nhận xét: − = ; − = ; − = ; ...; 1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4 3.4 4.5 3.4.5 1 1 2 − = . 98.99 99.100 98.99.100 Do đó ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C= ( − + − + − + ... + − ) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 98.99 99.100 1 1 1 1 4949 4949 = ( − )= . = 2 1.2 99.100 2 9900 19800 1 1 3 1 1 3 b. Nhận xét: − = ; − = ; 1.2.3 2.3.4 1.2.3.4 2.3.4 3.4.5 2.3.4.5 7/16
  8. Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6 1 1 3 1 1 3 − = ; ...; − = . 3.4.5 4.5.6 3.4.5.6 27.28.29 28.29.30 27.28.29.30 Do đó ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D= ( − + − + − + ... + − ) 3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 3.4.5 4.5.6 27.28.29 28.29.30 1 1 1 1 4059 451 = ( − )= . = 3 1.2.3 28.29.30 3 28.29.30 8120 Qua bài tập trên ta có các bài tổng quát sau: Ví dụ 9: (Bài 15/T69 – Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6) 1 1 1 1 Tính tổng sau: A = + + + ... + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n + 1)(n + 2) Hướng dẫn: Phương pháp giải tương tự như các bài trên. Viết các hạng tử dưới dạng hiệu. 1 1 1 1 Nhận xét: = ( − ) n(n + 1)(n + 2) 2 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Do đó: A = ( − + − + − + ... + − ) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) 1 1 1 = ( − ) 2 1.2 (n + 1)(n + 2) Ví dụ 10: (Bài 168/T59 – Sách toán bồi dưỡng học sinh lớp 6) 1 1 1 1 Tính tổng sau: B = + + + ... + 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Hướng dẫn: Phương pháp giải tương tự như các bài trên. 1 1 1 1 Nhận xét: = ( − ) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 3 n(n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3) Do đó ta có: 1 1 1 1 1 1 1 B= ( − + − + − + ... + 3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 3.4.5 4.5.6 1 1 − ) n(n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3) 1 1 1 = ( − ) 3 1.2.3 (n + 1)(n + 2)(n + 3) *Nhận xét: Nếu mẫu không là tích của 3 hay 4 số tự nhiên cách đều nhau mà là tổng của các số tự nhiên liên tiếp thì sao? Ta xét bài toán sau: Ví dụ 11: Thực hiện phép tính: 8/16
  9. Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6 2.2012 D= 1 1 1 1 1+ + + + ... + 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + ... + 2012 Hướng dẫn: 1 Nhận xét: 1 + 2 + 3 + ... + n = (1 + n)n ( Với n là số tự nhiên khác 0) 2 1 2 1 1 Do đó: = = 2( − ) 1 + 2 + 3 + ... + n n(1 + n) n n +1 1 2 1 1 1 2 1 1 Suy ra: = = 2( − ) ; = = 2( − ) ; ...; 1 + 2 2.3 2 3 1 + 2 + 3 3.4 3 4 1 2 1 1 = = 2( − ) 1 + 2 + 3 + ... + 2012 2012.2013 2012 2013 1 1 1 1 Nên 1 + + + + ... + 1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + ... + 2012 1 1 1 1 1 1 = 1 + 2( − + − + ... + − ) 2 3 3 4 2012 2013 2.2012 D= Vậy 1 1 1 1 1 1 1 + 2( − + − + ... + − ) 2 3 3 4 2012 2013 2.2012 2.2012.2013 = = = 2013 1 1 2.2012 1 + 2( − ) 2 2013 II. KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN ỨNG DỤNG BÀI 9.3 SÁCH BÀI TẬP TRANG 24 TẬP II TRONG DẠNG TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC. Ví dụ 12: (Ví dụ 15.12/T96 – Sách tài liệu chuyên toán THCS toán 6 tập 1 số học) 1 1 1 1 1 n Chứng minh: + + + + ... + = với n N* 2 2.3 3.4 4.5 n(n + 1) n + 1 1 (n + 1) − n 1 1 Hướng dẫn: Nhận xét: = = − n(n + 1) n(n + 1) n n +1 1 1 1 1 1 Ta biến đổi VT = + + + + ... + 2 2.3 3.4 4.5 n(n + 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n = + − + − + − + ... + − =1− = = VP (đpcm) 2 2 3 3 4 4 5 n n +1 n +1 n +1 * Nhận xét: Với ví dụ 12 ta quan sát thấy các hạng tử mỗi mẫu là tích của 2 số tự nhiên khác 0 liên tiếp cách nhau đúng bằng tử ta áp dụng luôn bài mẫu (1) chứng minh được bài toán. Còn mẫu là 2 số tự nhiên cách nhau không bằng tử ta biến đổi như thế nào? Chẳng hạn: 9/16
  10. Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6 Ví dụ 13: (Bài 3.167/T60 – Sách các chuyên đề chọn lọc toán 6 tập 2) Chứng tỏ rẳng với mọi n N ta luôn có: 1 1 1 1 n +1 + + + ... + = 1.3 3.5 5.7 (2n + 1)(2n + 3) 2n + 3 1 1 2 Hướng dẫn: Nhận xét: − = 2n + 1 2n + 3 (2n + 1)(2n + 3) 1 1 1 1 Do đó ta biến đổi VT = + + + ... + 1.3 3.5 5.7 (2n + 1)(2n + 3) 1 2 2 2 2 = ( + + + ... + ) 2 1.3 3.5 5.7 (2n − 1)(2n + 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 − + − + − + ... + − ) 2 3 3 5 5 7 2n + 1 2n + 3 1 1 n +1 = (1 − )= = VP (đpcm) 2 2n + 3 2n + 3 Ví dụ 14: Chứng minh: 1 1 1 1 (n − 1)(n + 2) + + + ... + = với n 2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n − 1)n(n + 1) 4n(n + 1) 2 1 1 Hướng dẫn: Nhận xét: = − (n − 1)n(n + 1) (n − 1)n n(n + 1) Do đó ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 VT = ( − + − + − ... + − ) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 (n − 1)n n(n + 1) 1 1 1 1 n 2 + n − 2 (n − 1)(n + 2) = [ − ]= [ ]= = VP (đpcm) 2 2 n(n + 1) 2 2n(n + 1) 4n(n + 1) III. KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN ỨNG DỤNG BÀI 9.3 SÁCH BÀI TẬP TRANG 24 TẬP II TRONG DẠNG TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. Ví dụ 15: (Bài 329/T76 sách bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 6) 3 3 3 3 Chứng minh với mọi n N* : S = + + + ... +
  11. Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6 0 cách nhau 1; 2; 3.. đơn vị không bằng tử ta thêm một bước biến đổi đưa về dạng áp dụng bài mẫu (1) như sau: 1 1 1 1 1 Ví dụ 16: Chứng minh: A = + + + ... + < 1.3 3.5 5.7 2011.2013 2 Hướng dẫn: Tương tự như ví dụ 5 ta nhân cả tử và mẫu với 2 đối với mỗi số hạng trong tổng: 1 1 1 1 A= + + + ... + 1.3 3.5 5.7 2011.2013 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 − + − + ... + − ) = (1 − )= − < (đpcm) 2 3 3 5 2011 2013 2 2013 2 2.2013 2 * Nhận xét: Có một số bài toán chứng minh ta sử dụng phương pháp làm trội để áp dụng bài mẫu (1) chẳng hạn như ví dụ sau: Ví dụ 17: (Bài 3.169/T60 - Sách các chuyên đề chọn lọc toán 6 tập 2) 1 1 1 1 Chứng tỏ rằng: 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 1 với n γ N;n 2 2 3 4 n Hướng dẫn: 1 1 1 1 1 Nhận xét: Với k = 2; 3; 4;...; n ta có: 2 < hay 2 < − (2) k (k − 1)k k k −1 k 1 1 1 1 1 1 1 1 Do đó < ; < ; < ; ...; < 22 1.2 32 2.3 42 3.4 n 2 (n − 1)n 1 1 1 1 1 1 1 1 Cộng vế với vế ta có: 2 + 2 + 2 + ... + 2 < + + + 2 3 4 n 1.2 2.3 3.4 (n − 1).n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + ... + − = 1 − < 1 (đpcm) 1 2 2 3 3 4 n −1 n n Ví dụ 18: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 3 1 1 1 1 1 A = 3 + 3 + 3 + ... + 3 < 3 4 5 n 12 Hướng dẫn: Để áp dụng bài mẫu (1) ta sử dụng phương pháp làm trội, cách vận dụng nó như thế nào? Có giống ví dụ mẫu là luỹ thừa bậc 2 của các số tự nhiên không ta có nhận xét sau: 1 1 1 1 (n + 1) − (n − 1) 1 1 1 < 3 = = . = ( − ) n 3 n − n (n − 1)n(n + 1) 2 (n − 1)n(n + 1) 2 (n − 1)n n(n + 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Do đó: A < ( − + − + ... + − ) < . = (đpcm) 2 2.3 3.4 3.4 4.5 (n − 1)n n(n + 1) 2 6 12 IV. KHAI THÁC, PHÁT TRIỂN ỨNG DỤNG BÀI 9.3 SÁCH BÀI TẬP 11/16
  12. Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6 TRANG 24 TẬP II TRONG DẠNG TOÁN TÌM X. Ví dụ 19: (Bài 100/T87 – Sách chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6) 1 1 1 1 2008 Tìm x, biết: + + + ... + = 1.2 2.3 3.4 x(x + 1) 2009 Hướng dẫn: Biến đổi mỗi phân số ở vế trái dưới dạng hiệu hai phân số có tử bằng 1 để áp dụng bài mẫu (1) ta có: 1 1 1 1 2008 + + + ... + = 1.2 2.3 3.4 x(x + 1) 2009 1 1 1 1 1 1 1 2008 1− + − + − + ... + − = 2 2 3 3 4 x x + 1 2009 1 2008 1 2008 1− = =1− x + 1 2009 x +1 2009 1 1 = x + 1 = 2009 x = 2008 x + 1 2009 * Nhận xét: Với ví dụ 19 ta áp dụng luôn được bài mẫu (1), còn một số bài toán mỗi mẫu không theo quy luật ta biến đổi 1 bước bài toán lại trở về dạng quen áp dụng bài mẫu (1) chẳng hạn: Ví dụ 20: (Bài 15/T110 – Sách tuyển tập các bài toán hay và khó bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6) 1 1 1 2 1999 Tìm x, biết: + + + ... + = (*) 3 6 10 x(x + 1) 2001 1 Hướng dẫn: Nhân vào 2 vế của (*) ta có: 2 1 1 1 1 1999 1 + + + ... + = . 6 12 20 x(x + 1) 2001 2 1 1 1 1 1999 1 + + + ... + = . 2.3 3.4 4.5 x(x + 1) 2001 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1999 1 − + − + − + ... + − = . 2 3 3 4 4 5 x x + 1 2001 2 1 1 1999 1 x −1 1999 1 − = . = . 2 x + 1 2001 2 2(x + 1) 2001 2 x − 1 1999 = 2001x − 2001 = 1999x + 1999 x + 1 2001 2x = 4000 x = 2000 . *Nhận xét: Với những bài tìm x khó hơn ta sử dụng bài mẫu (1) giải bài toán một 12/16
  13. Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6 cách đơn giản, chẳng hạn: Ví dụ 21: (Ví dụ 15.39/T106 – Sách tài liệu chuyên toán THCS toán 6 tập 1 số học) 1 1 1 2012 2012 2012 2012 Tìm x biết: ( + + ... + ).x = + + ... + + 1.2 3.4 99.100 51 52 99 100 Hướng dẫn: 1 1 1 2012 2012 2012 2012 ( + + ... + ).x = + + ... + + 1.2 3.4 99.100 51 52 99 100 1 1 1 1 1 1 1 ( + + ... + ).x = 2012( + + ... + + ) 1.2 3.4 99.100 51 52 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Xét + + ... + = − + − + ... + − 1.2 3.4 99.100 1 2 3 4 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + ... + + − 2( + + ... + ) 1 2 3 4 99 100 2 4 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + ... + + − (1 + + + ... + ) 1 2 3 4 99 100 2 3 50 1 1 1 1 = + + ... + + Do đó: x = 2012 . 51 52 99 100 Bài tập tự luyện: 1 1 1 1 1 Bài 1: Tính tổng A = + + + ... + + 15.16 16.17 17.18 2011.2012 2012.2013 2 2 2 2 B= + + + ... + 1.7 7.13 13.19 601.607 1 1 1 1 Bài 2: Rút gọn biểu thức sau: A = + + + ... + 1.5 5.9 9.13 (4n − 3)(4n + 1) 7 7 7 7 1 B= + + + ... + + 1.8 8.15 15.22 (7n − 6)(7n + 1) 7n + 1 Bài 3: Thực hiện phép tính sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 C= − + − + − + ... + − 1.2 1.2.3 2.3 2.3.4 3.4 3.4.5 99.100 99.100.101 Bài 4: Cho biết a, b, c là các số tự nhiên khác nhau. Chứng minh: b−c c−a a −b 2 2 2 + + = + + (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) a − b b − c c − a Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tụ nhiên n 1 ta có: 1 1 1 1 1 A = 2 + 2 + 2 + ... + < 3 5 7 (2n + 1) 2 4 13/16
  14. Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6 1 1 1 1 Bài 6: Cho E = 2 + 2 + 2 + ... + . Chứng minh rằng E < 1 2 3 4 1002 1 1 1 1 3 Bài 7: Tìm x biết: + + + ... + = 3.4 4.5 5.6 x(x + 1) 10 2 2 2 221 7 Bài 8: Tìm x biết ( + + ... + )−x+4+ = 11.13 13.15 19.21 231 3 Trên đây là hệ thống bài tập tôi đã trang bị cho học sinh trong năm học vừa qua. Mong được các thầy cô góp ý thêm. C. Kết quả sau thực nghiệm: Qua nghiên cứu, theo dõi và thực hiện sáng kiến kinh nghiệm của bản thân ở lớp 6A sau một năm học thực hiện đề tài trang bị cho các em hệ thống bài tập vận dụng khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6 tôi đã thấy có kết quả rõ rệt, có sự chuyển biến rõ nét trong nhận thức của các em. Việc tiếp thu chắc chắn kiến thức ngay từ gốc, biết cách phân tích bài toán, nắm chắc cách trình bày và được mở mang kiến thức qua các bài tập nâng cao học sinh có sự hứng thú học tập một cách thực sự phát huy được tính tích cực của học sinh. Các em học sinh khá, giỏi có điều kiện để trau rồi kiến thức của mình. Những học sinh trung bình nắm chắc kiến thức cơ bản để vận dụng cho những năm tiếp theo. *Kết quả cụ thể như sau: + Khi chưa áp dụng đề tài: * Lớp 6A: Tổng số Giỏi Khá Trung bình Dưới trung bình 36 5 14 10 7 % 13,9 38,9 27,8 19,4 * Lớp 6C: Tổng số Giỏi Khá Trung bình Dưới trung bình 32 2 10 12 8 % 6,2 31,3 37,5 25 + Sau khi áp dụng đề tài :(qua thực tế áp dụng đề tài) * Lớp 6A:(Áp dụng đề tài) Tổng số Giỏi Khá Trung bình Dưới trung bình 36 21 10 5 0 % 58,3 27,8 13,9 0 14/16
  15. Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6 - Học sinh có hứng thú hơn rất nhiều so với lớp tôi dạy theo cách bình thường. - Học sinh định hướng một cách chính xác các dạng bài toán. - Học sinh có cách trình bày chặt chẽ rõ ràng và đặc biệt thời gian hoàn thành bài toán được rút ngắn khoảng 50% so với lớp đối chứng. - Nhiều HS tự tin hơn trong cách giải những bài tập khó. * Lớp 6C:(Không áp dụng đề tài) Tổng số Giỏi Khá Trung bình Dưới trung bình 32 5 13 10 4 % 15,6 40,6 31,3 12,5 PHẦN III : KẾT LUẬN - BÀI HỌC KINH NGHIỆM VÀ KHUYẾN NGHỊ 1. Kết luận : Qua thực tế giảng dạy và trong quá trình thực hiện đề tài này tôi thấy rằng việc trang bị và rèn luyện cho học sinh lí thuyết và kiến thức cơ bản là rất quan trọng giúp học sinh từ chỗ nắm chắc kiến thức cơ bản dẫn đến hứng thú và say mê học tập. Từ đó nâng cao dần, mở mang thêm cho học sinh thông qua các bài tập nâng cao giúp cho học sinh khá, giỏi phát huy được khả năng của mình tạo nên một không khí học tập sôi nổi trên lớp học sinh tự tin vào bản thân mình. Phương pháp giải bài tập có hệ thống là một yếu tố cơ bản giúp học sinh nắm vững kiến thức, giải quyết linh hoạt các bài tập toán và đạt kết quả cao trong học tập môn toán điều quan trọng nhất cần đề cập bài toán theo nhiều cách khác nhau, nghiên cứu kĩ, khảo sát kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết của bài toán theo nhiều cách để mở rộng cho các bài toán khác. Đồng thời qua đó có thể khai thác các ứng dụng của một bài toán cơ bản vào giải quyết các bài toán cùng dạng. Hy vọng rằng với một số ví dụ tôi đưa ra trong đề tài này giúp các em học sinh sẽ biết làm chủ được kiến thức của mình, thêm yêu môn toán, ham học hỏi tìm tòi, sáng tạo, tự tin trong quá trình học tập và vững bước vào tương lai sau này. Tôi mong rằng, cùng với việc triển khai các chuyên đề, để phát huy tính tích cực của học sinh trong quá trình học toán, lấy học sinh làm trung tâm và những vấn đề mà tôi trình bày trên đây sẽ góp một phần nhỏ bé vào việc nâng cao hiệu suất lên lớp, nâng dần chất lượng học môn toán. Sau khi áp dụng đề tài này vào trong giảng dạy, tôi đã nhận thấy rằng hiệu quả của đề tài mang lại rất tốt: Tăng khả năng phân tích, khả năng tính toán, khả năng tư duy, khả năng lập luận chính xác và logic, khả năng sáng tạo, hứng thú và say mê học toán của học sinh được nâng lên đáng kể. Đặc biệt chất lượng dạy học được nâng lên một cách rõ rệt thể hiện ở kết quả áp dụng đề tài. 15/16
  16. Hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển một vài ứng dụng từ một bài tập số học 6 2. Bài học kinh nghiệm: Đề tài này tôi đã áp dụng tương đối thành công trong quá trình giảng dạy: - Học sinh nắm vững các kiến thức và khắc sâu được kiến thức đã học. - Rèn luyện khả năng phân tích và tìm mối các quan hệ giữa các bài toán. - Tăng khả năng tính toán, suy luận logic, lập luận chặt chẽ. - Định hướng được các dạng bài toán để thực hiện. - Tăng khả năng sáng tạo và khả năng tự học của các em. - Đề tài mạng lại chất lượng và hiệu quả dạy học rất tốt. 3. Khuyến nghị: - Do thời gian học chính khoá có hạn mà kiến thức toán rộng lớn, trong đó có nhiều chuyên đề, nhiều dạng toán đòi hỏi người học sinh phải tích luỹ được nhiều kinh nghiệm thì mới có thể giải được những dạng bài đó. Do đó tôi đề nghị nhà trường tạo điều kiện về thời gian và cơ sở vật chất giúp giáo viên và học sinh có thêm những buổi ngoại khoá để cô trò cùng nhau trao đổi, tháo gỡ những thắc mắc, khó khăn trong việc học môn toán nói chung và môn số học nói riêng, giúp học sinh có thêm những kinh nghiệm giải toán và vốn kiến thức vững vàng để các em tiếp thu những kiến thức mới ở các lớp trên một cách tốt hơn. - Đối với ngành tổ chức những chuyên đề để giáo viên có điều kiện học hỏi và nâng cao nghiệp vụ chuyên môn để thúc đẩy được lòng yêu nghề của các thầy cô và thúc đẩy được sự tiến bộ của ngành. Đề tài của tôi được áp dụng ở lớp 6A trường THCS Tản Hồng đã mang lại kết quả đáng mừng và rất rõ nét. Tuy nhiên trong đề tài chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết. Vì vậy tôi rất mong được các quý thầy cô đóng góp ý kiến cho tôi để tôi rút ra những kinh nghiệm và tiếp tục phát triển thêm đề tài này nói riêng và những kinh nghiệm trong việc giảng dạy môn toán nói chung. Xin chân thành cảm ơn các cấp ban ngành, cảm ơn các thầy cô! Tản Hồng, ngày 25/ 06/ 2020 Người viết đề tài Nguyễn Hải Yến Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm này không sao chép của người khác. Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm với lời cam đoan trên 16/16
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2