Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số bài toán bằng nhiều cách

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

89
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Sáng kiến kinh nghiệm THCS "Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số bài toán bằng nhiều cách" nghiên cứu về các phương pháp giải bài toán bằng nhiều cách khi dạy học Toán lớp 7 nhằm giúp học sinh khắc sâu và nắm vững kiến thức tổng hợp, phong phú để vận dụng vào việc giải bài tập Toán theo nhiều các khác nhau. Tạo niềm say mê, hứng thú học Toán của học sinh, đồng thời nâng cao năng lực, phát triển trí tuệ và óc sáng tạo cho học sinh. Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo nội dung chi tiết tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THCS: Hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số bài toán bằng nhiều cách

NỘI DUNG TRANG I. PHẦN MỞ ĐẦU 02 02 1. Lý do M ỤC L ọC chỤ n đề tài 03 03 04 2. Mục tiêu, nhiệm vụ c ủa đề tài 04 04 04 05 3. Đối tượng nghiên cứu 05 06 04 08 4. Phạm vi nghiên cứu 08 04 09 5. Phương pháp nghiên cứu 22 23 04 II. PHẦN NỘI DUNG 24 1. Cơ sở lý luận 24 05 2. Thực trạng 25 06 3. Biện pháp: 3.1 Mục tiêu của biện pháp 3.2 Nội dung và cách thức thực hiện biện pháp 3.3 Điều kiện thực hiện 4. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu 1 III. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 1. Kết luận:
I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Trong dạy học Toán ở bậc THCS, việc cần nhất là hình thành cho học sinh một hệ thống khái niệm Toán học quan trọng; làm cho học sinh nắm vững bản chất kiến thức một cách sâu và rộng. Đó chính là cơ sở, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho học sinh khả năng vận dụng kiến thức đã học để giải một số bài toán theo nhiều cách khác nhau. Tuy nhiên, tôi nhận thấy đa số học sinh chưa nắm vững bản chất kiến thức, chưa có khả năng vận dụng tốt kiến thức để giải bài tập theo nhiều cách khác nhau, chưa nắm được nhiều phương pháp giải các dạng toán nên học sinh thường gặp khó khăn khi giáo viên yêu cầu học sinh giải một bài toán theo nhiều cách khác nhau. Nguyên nhân chủ yếu là do: + Học sinh thường cảm thấy khó khăn, ngại học lý thuyết, chưa nắm vững bản chất kiến thức hoặc nắm kiến thức cơ bản chưa sâu. Mặt khác do ý thức học tập của học sinh chưa cao, chưa thật sự tập trung chú ý để hiểu và ghi nhớ các công thức, quy tắc, định lý, tính chất và các hệ quả nên khi làm một bài Toán không nhớ kiến thức nào để vận dụng. Nhiều học sinh học toán tốt nhưng khi tìm được lời giải cho bài toán này rồi thì làm tiếp qua bài khác ngay chứ không suy nghĩ tìm tòi xem bài toán đó còn cách giải nào khác nữa không. + Phương pháp giảng dạy của giáo viên chưa phù hợp với nhiều đối tượng học sinh, các tiết dạy và học chưa sinh động, chưa gây được niềm say mê, hứng thú học Toán của người học. Khi giảng dạy một số giáo viên chưa tổng hợp, liên hệ kiến thức 2
cho học sinh. Hơn nữa trong một tiết học ngắn ngủi, giáo viên thường dạy nhanh phần lý thuyết, chưa lật lại vấn đề để khắc sâu kiến thức cho học sinh. Mặt khác, một số giáo viên ít tìm tòi, nghiên cứu các cách giải khác nhau cho một bài toán nên khi đưa ra một bài toán, sau khi học sinh giải đúng thì qua bài khác chứ không đưa ra được nhiều cách giải khác nhau cho bài toán đó để mở rộng và nâng cao kiến thức cho học sinh, chưa kích thích được trí tò mò và chưa phát huy được sự thông minh sáng tạo của học sinh. + Trong quá trình giảng dạy Toán lớp 7, tôi nhận thấy khi giáo viên đưa ra các một bài toán có thể giải bằng nhiều cách rồi yêu cầu học sinh tìm ra các cách giải khác nhau, học sinh sẽ rất hứng thú và tích cực suy nghĩ, tìm tòi phương pháp giải khác cho bài toán, tạo ra được các tình huống bất ngờ thú vị làm tiết học trở nên nhẹ nhàng, sôi nổi, thú vị và bớt căng thẳng hơn, làm cho học sinh cảm thấy hứng thú hơn với việc học Toán, đồng thời nâng cao năng lực, phát triển trí tuệ và óc sáng tạo cho học sinh. Để giúp học sinh nắm vững kiến thức một cách sâu và rộng trong quá trình giải bài tập Toán, nắm được nhiều phương pháp giải Toán khác nhau, giáo viên có thể linh động đưa ra các dạng toán và phương pháp giải dạng toán đó, sau đó vận dụng kiến thức đã học hoặc mở rộng thêm kiến thức khác để giúp học sinh giải dạng toán đó bằng nhiều cách khác nhau. Việc giải một bài toán bằng nhiều cách khi dạy học Toán không chỉ có hiệu quả cao trong tất cả các cấp học mà còn vận dụng được trong nhiều môn học khác nhau. Để học sinh THCS nói chung và học sinh lớp 7 nói riêng có thể hiểu sâu và nắm vững kiến thức từ đó áp dụng vào giải bài tập Toán, nắm được nhiều phương pháp giải Toán khác nhau, giúp cho học sinh cảm thấy việc học nhẹ nhàng và có hiệu quả hơn, có hứng thú với việc học toán hơn, nâng cao năng lực, phát triển trí tuệ và óc sáng tạo cho học sinh, đồng thời cũng là để rèn luyện, nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ của bản thân nên tôi xin trao đổi một số kinh nghiệm: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số bài toán bằng nhiều cách”. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để sáng kiến này được hoàn thiện, mang lại hiệu quả cao hơn trong dạy học Toán ở trường THCS. 3
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài: Nghiên cứu về các phương pháp giải bài toán bằng nhiều cách khi dạy học Toán lớp 7 nhằm giúp học sinh khắc sâu và nắm vững kiến thức tổng hợp, phong phú để vận dụng vào việc giải bài tập Toán theo nhiều các khác nhau. Tạo niềm say mê, hứng thú học Toán của học sinh, đồng thời nâng cao năng lực, phát triển trí tuệ và óc sáng tạo cho học sinh. Đưa ra các một số phương pháp để giáo viên và học sinh có thể áp dụng trong việc giải một bài toán theo nhiều cách khác nhau nhằm nâng cao chất lượng giáo dục và hiệu quả giảng dạy, phát huy được tính tích cực, chủ động và sáng tạo của giáo viên cũng như của học sinh trong quá trình dạy học môn Toán 7. Bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ của bản thân, làm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp. Giúp đồng nghiệp thấy được sự quan trọng của việc giải một bài toán bằng nhiều cách khi dạy học Toán 7. 3. Đối tượng nghiên cứu: Một số phương pháp giải khác nhau đối với một số dạng toán 7. 4. Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu về một số phương pháp giải khác nhau đối với một số dạng toán 7 ở trường THCS Nguyễn Lân. 5. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu tài liệu, tham khảo ý kiến của đồng nghiệp. Phương pháp điều tra, khảo sát, nghiên cứu các sản phẩm hoạt động. Phương pháp khảo nghiệm, thử nghiệm. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. 4
II. PHẦN NỘI DUNG 1. Cơ sở lý luận: Toán học là môn trong các môn học có nhiều khả năng trong việc rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, muốn đạt hiệu quả cao trong việc dạy và học Toán thì phải có phương pháp dạy và học tốt. Không có phương pháp tốt, không có hiệu quả cao. Biết cách dạy Toán và biết cách học Toán, hiệu quả dạy và học sẽ tăng gấp nhiều lần. Bên cạnh việc giảng dạy của giáo viên thì khi giải các dạng Toán đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức cơ bản; biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức từ đơn giản đến phức tạp để có thể giải một bài toán theo nhiều cách khác nhau. Làm cho học sinh nắm được nhiều phương giải khác nhau đối với một bài toán là vô cùng quan trọng. Vì vậy trong mỗi tiết dạy bài mới, luyện tập, ôn tập, ôn thi học sinh giỏi giáo viên cần linh động đưa ra các dạng toán với các phương pháp giải khác nhau một cách sáng tạo, hiệu quả, phù hợp với đối tượng và tâm sinh lý của học sinh. Sau khi học xong các em sẽ tự hệ thống hóa được các kiến thức và các phương pháp 5
giải cần nhớ để áp dụng vào bài tập và vào thực tế, việc học vì thế cũng sẽ nhẹ nhàng và có hiệu quả hơn, các em sẽ giải được bài Toán nhẹ nhàng và nhanh chóng, không còn thụ động trông chờ vào người khác. Việc đưa ra các dạng toán với các phương pháp giải khác nhau một cách hợp lý trong phần luyện tập, ôn tập, ôn thi học sinh giỏi sẽ có tác dụng rất lớn trong việc phát triển tư duy đồng thời gây hứng thú học tập cho HS. Phát triển trí tuệ cho HS lớp 7 qua bộ môn Toán là một vấn đề rất quan trọng, cần được quán triệt trong mọi khâu của việc giảng dạy Toán: cách đặt vấn đề, nội dung các câu hỏi gợi mở của GV khi giảng bài, cách GV kiểm tra và nội dung các câu hỏi, bài tập kiểm tra, cách yêu cầu HS phân tích đề bài, phê phán các câu trả lời, các bài làm có tác dụng rất lớn đến việc giáo dục tư duy độc lập, sáng tạo, óc phê phán cho HS, giúp các em biết thắc mắc, biết trình bày lập luận vấn đề một cách chặt chẽ, logic, phát huy khả năng tìm tòi, nghiên cứu kiến thức mới... Chính vì thế trong quá trình dạy học Toán, giáo viên cần: Đặt mình vào vị trí của học sinh vì điều quen thuộc với giáo viên có thể là điều rất mới đối với học sinh. Sử dụng các phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh. Tạo ra các tình huống có vấn đề làm xuất hiện ở học sinh nhu cầu nghiên cứu kiến thức mới, tìm ra các cách giải mới cho một số bài toán. Không dạy theo cách truyền đạt kiến thức một chiều, chọn hệ thống câu hỏi, bài tập hợp lý để lôi cuốn học sinh tham gia vào bài học. Không bỏ qua mà hãy khai thác ngay câu trả lời của học sinh để sửa sai giúp học sinh khắc sâu kiến thức đồng thời khuyến khích các câu trả lời tốt, các phương pháp giải hay, ngắn gọn. Vừa giảng vừa luyện, vận dụng kiến thức là cách tốt nhất để nắm vững kiến thức. Thường xuyên nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo, sách nâng cao, tìm tòi các phương pháp giải hay cho các bài toán trong quá trình giảng dạy. Không ngừng học hỏi để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ của bản thân. Đây là những vấn đề không mới, xong trong quá trình giảng dạy, nhiều giáo viên chưa thực sự chú tâm và chưa khai thác triệt để do đó hiệu quả tiết dạy chưa cao. 6
Trong quá trình giảng dạy Toán, tôi nhận thấy việc đưa ra một số dạng toán có thể giải theo nhiều cách khác nhau làm cho tiết học có những tình huống bất ngờ, sinh động và vui vẻ hơn, tạo được hứng thú học tập cho học sinh, nhờ đó hiệu quả của tiết dạy cũng tăng lên, khắc sâu được kiến thức cho học sinh, giúp học sinh tiếp thu kiến thức mới một cách nhẹ nhàng hơn, nhớ được lâu hơn để từ đó áp dụng được vào bài tập tương tự dễ dàng, biết chọn lựa phương pháp giải hay, hợp lý, ngắn gọn khi giải một bài toán, phát triển tư duy và khả năng sáng tạo của học sinh. Bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứ và tìm tòi khám phá kiến thức mới cho học sinh. “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số bài toán bằng nhiều cách” sẽ giúp giáo viên trau dồi được kiến thức, nâng cao chất lượng và hiệu quả giảng dạy, giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong giải Toán, đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học Toán cho học sinh lớp 7. Chính vì lẽ đó, tôi muốn trao đổi cùng quý Thầy cô và các em học sinh “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 7 giải một số bài toán bằng nhiều cách” với mong muốn giúp các em học sinh lớp 7 yêu thích môn Toán hơn qua những bài toán với nhiều cách giải khác nhau. 2. Thực trạng: 2.1.Thuận lợi, khó khăn: * Thuận lợi: Trong quá trình thực hiện đề tài, tôi đã được Nhà trường, các Thầy cô, bạn bè đồng nghiệp của trường THCS Nguyễn Lân giúp đỡ tận tình và tạo điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu, được dự giờ một số giáo viên có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy, được tiếp xúc với nhiều đối tượng học sinh khác nhau, trong đó có một số HS khá giỏi đã biết giải một bài toán theo nhiều cách khác nhau. * Khó khăn: Chưa có nhiều tài liệu viết về phương pháp giải bài toán bằng nhiều cách trong dạy học Toán 7. Việc đưa ra bài toán với nhiều cách giải khác nhau của một số giáo viên trong các tiết dự giờ chưa nhiều nên hầu như nghiên cứu được thực hiện dựa trên 7
kinh nghiệm và tìm tòi nghiên cứu tài liệu của bản thân trong quá trình dạy học Toán 7. Số học sinh giỏi và đam mê Toán học không nhiều. 2.2. Thành công, hạn chế: * Thành công: Giải bài toán bằng nhiều cách trong quá trình dạy học môn Toán 7 không những giúp cho học sinh nắm vững kiến thức hơn, hiểu kiến thức sâu và rộng hơn, nắm được nhiều phương pháp giải toán hơn mà còn tạo ra các tình huống bất ngờ, thú vị làm cho tiết học nhẹ nhàng và vui vẻ hơn, thu hút được sự chú ý vào bài giảng và tạo hứng thú học tập cho HS. HS biết chọn lựa cách giải hay, ngắn gọn, hợp lý cho một bài toán. Giải bài toán bằng nhiều cách không chỉ áp dụng đối với môn Hình học, Đại số, Số học mà ngay cả các môn học khác cũng rất có hiệu quả. Giải bài toán bằng nhiều cách không chỉ tạo được hứng thú học tập cho học sinh mà còn rèn khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác, phát triển khả năng tư duy của học sinh. * Hạn chế: Đưa ra quá nhiều phương pháp giải một bài toán một cách không hợp lý sẽ gây tâm lý hoang mang cho học sinh, học sinh khá giỏi ít hoặc ngại phát biểu xây dựng bài vì sợ mình trả lời sai. HS yếu kém thì học thụ động, không biết phải làm như thế nào, chỉ biết trông chờ vào câu trả lời của người khác. Để giải được một bài toán bằng nhiều cách thì đòi hỏi cả giáo viên và học sinh đều phải nắm vững kiến thức Toán học một cách sâu và rộng, nắm được phương pháp giải của nhiều dạng toán khác nhau. Hơn nữa không phải lúc nào việc giải một bài toán bằng nhiều cách c8ũng có hiệu quả, nếu không áp dụng hợp lý thì càng làm cho học sinh tiếp nhận kiến thức một cách mơ hồ và không biết nên vận dụng kiến thức nào, cách giải nào để giải bài tập cho phù hợp. Mặt khác không phải bài toán nào cũng có nhiều cách giải khác nhau để có thể vận dụng. 2.3. Phân tích, đánh giá thực trạng mà đề tài đã đặt ra: Trong quá trình dạy học Toán tôi nhận thấy có rất nhiều học sinh bị hổng kiến thức, nhiều em chưa nắm vững được các kiến thức cơ bản cần thiết. Chính vì thế các em cảm thấy thực sự khó khăn khi học Toán, tâm lý e ngại, dẫn đến tư tưởng lười 8
học, lười suy nghĩ, thiếu tự tin, sợ học môn Toán. Việc giải bài toán theo nhiều cách không chỉ khó khăn với học sinh trung bình, yếu, kém mà ngay cả học sinh khá giỏi cũng cảm thấy ngại và lười suy nghĩ, tìm tòi để tìm ra cách giải khác. Khi đọc đề bài toán, học sinh chưa phân tích được các yếu tố bài toán đã cho, không biết vẽ hình hoặc vẽ hình không chính xác, chưa biết sử dụng kiến thức nào, phương pháp nào để giải dẫn đến không làm được bài tập. Một số học sinh định hướng được cách giải khác nhưng lại không biết cách trình bày bài như thế nào cho chặt chẽ, logic. Chính vì thế mà việc giúp HS nắm vững kiến thức, nắm vững được các dạng toán và phương pháp giải của dạng toán đó để vận dụng vào làm bài tập và giải quyết các vấn đề thực tế cuộc sống, tạo niềm say mê, hứng thú học Toán cho HS là vô cùng quan trọng. Qua các vấn đề về thực trạng đã nêu ở trên có thể thấy được những thuận lợi, thành công và mặt mạnh của việc giải bài toán bằng nhiều cách trong dạy học Toán 7, có thể thấy việc giải bài toán bằng nhiều cách trong dạy và học mang lại hiệu quả rất lớn, ngoài ra nó còn có tác dụng giáo dục học sinh về mọi mặt, đặc biệt là rèn tính cẩn thận, rèn khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác, chính vì thế giáo viên thực sự nên kết hợp việc giải bài toán bằng nhiều cách trong quá trình dạy học môn Toán 7. Tuy nhiên bên cạnh những mặt tích cực thì việc giải bài toán bằng nhiều cách ở lớp 7 cũng còn có những khó khăn, hạn chế nhất định, nhưng nếu giáo viên thực sự có tâm và yêu nghề, ham tìm tòi, nghiên cứu, học hỏi thì vẫn có thể khắc phục được những khó khăn, hạn chế và mặt yếu của việc giải bài toán bằng nhiều cách trong quá trình dạy học. 3. Biện pháp: 3.1. Mục tiêu của biện pháp: Giúp GV nhận biết được trường hợp nào nên đưa ra bài toán có nhiều cách giải khi dạy học môn Toán lớp 7 cho phù hợp để tạo hứng thú học tập cho học sinh và nâng cao chất lượng, hiệu quả giảng dạy. Giúp HS nắm vững được bản chất kiến thức, khắc sâu, mở rộng và nâng cao kiến thức cho HS, từ đó có thể vận dụng vào giải bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Giúp HS tránh được những sai lầm thường gặp khi giải toán, nắm được nhiều phương pháp giải khác nhau cho một bài toán, biết chọn lựa cách giải hay, ngắn gọn, 9
hợp lý để vận dụng vào giải bài tập, làm cho học sinh thấy được cái hay, cái đẹp của Toán học. Tạo ra các tình huống có vấn đề, khơi dậy trí tò mò, óc sáng tạo, niềm say mê, hứng thú học tập môn Toán của HS. Tạo ra các tình huống bất ngờ, thú vị, làm tiết học nhẹ nhàng, vui vẻ hơn, tạo sự thân thiện giữa GV và HS. Phát triển tư duy độc lập sáng tạo, óc phê phán cho HS, giúp các em biết thắc mắc, biết lật đi lật lại vấn đề, biết tìm tòi, suy nghĩ, rèn kỹ năng vẽ hình và khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh... 3.2. Nội dung và cách thức thực hiện biện pháp: a. Sử dụng bài toán có nhiều cách giải để tạo tình huống có vấn đề: Trong quá trình giảng dạy, giáo viên thường tạo ra các tình huống có vấn đề để khơi dậy trí tò mò và tạo hứng thú học tập cho học sinh khi vào bài mới, kiến thức mới hoặc chuyển từ mục này sang mục khác. Trước khi dạy học bài mới, ở phần kiểm tra bài cũ giáo viên có thể đưa ra một bài toán mà học sinh vừa có thể giải bằng cách dùng kiến thức đã học vừa có thể giải bằng cách dùng kiến thức bài mới, sau đó giáo viên đặt vấn đề để vào bài mới. Bài toán 1: Khi dạy bài “Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu”. Trong phần khởi động tiết học, giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải bài toán: “Cho tam giác ABC vuông tại B, trên cạnh BC lấy điểm D khác B và C. So sánh AB, AD và AC”. Học sinh vừa được học bài “Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác” nên sẽ nghĩ ngay đến việc áp dụng kiến thức bài này để giải như sau: A 1 2 B D C 10
* Cách 1: ∆ ABD vuông tại B nên góc B là góc lớn nhất, mà cạnh AD đối diện với góc B nên cạnh AD là cạnh lớn nhất AD > AB (1) ﾶ là góc nhọn, mà D ∆ ABC vuông tại B nên D ﾶ và D ﾶ là hai góc kề bù ﾶ tù. D 1 1 2 2 ﾶ tù nên AC > AD (2) ∆ ACD có cạnh AC đối diện với D2 Từ (1) và (2) AC > AD > AB. Sau khi nhận xét, giáo viên yêu cầu học sinh giải theo cách khác. HS cũng đã học định lý Pitago nên có thể giải bài toán trên như sau: * Cách 2: ∆ ABD vuông tại B nên theo định lý Pitago, ta có: AD2 = AB2 + BD2 AB2
Như vậy, với việc vận dụng kiến thức về “Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu”, cách giải thứ 3 ngắn gọn hơn nhiều. Vấn đề giáo viên đặt ra đã được giải quyết dựa vào kiến thức bài mới. Bài toán 2: Khi dạy bài “Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”. Trong phần khởi động tiết học, giáo viên yêu cầu học sinh giải bài toán: x y z “Tìm ba số x, y, z biết: = = và x + y – z =14’’ 3 8 4 Học sinh đã học bài tỉ lệ thức nên có thể giải theo cách sau: * Cách 1: x y z x y x z = = � = ; = 3 8 4 3 8 3 4 Từ 8x 4x �y= ; z= (1) 3 3 Ta có: x + y – z =14 (2) 8x 4 x Từ (1) và (2) � x + − = 14 � 3x + 8x − 4x = 42 � 7x = 42 � x = 6 3 3 8 x 8.6 4 x 4.6 Khi đó: y = = = 16; z = = =8 3 3 3 3 Vậy x = 6; y = 16; z = 8 Trong cách giải này, học sinh phải biết cách tách thành hai tỉ lệ thức để rút y và z theo x rồi thay vào đẳng thức (2) để đưa về đẳng thức chỉ chứa một ẩn x, từ đó có thể tìm x rồi thay vào (1) để tìm y, z. Học sinh cũng có thể giải bài toán trên theo cách sau : * Cách 2: x y z Đặt = = = k � x = 3k ; y = 8k ; z = 4k (1) 3 8 4 Ta có: x + y – z =14 (2) Từ (1) và (2) 3k + 8k 4k = 14 7k = 14 k = 2 Khi đó: x = 3k = 3.2 = 6 ; y = 8k = 8.2 = 16; z = 4k = 4.2 = 8 Vậy x = 6; y = 16; z = 8 12
Trong cách giải này, học sinh phải nắm được khi các tỉ số bằng nhau thì chúng có cùng chung một giá trị, vì thế có thể đặt giá trị chung của các tỉ số là k để rút x, y, z theo k rồi thay vào (2) để đưa về đẳng thức chỉ chứa một ẩn k, từ đó có thể tìm k rồi thay vào (1) để tìm x, y, z. Sau khi nhận xét cách giải của học sinh, giáo viên đặt vấn đề: Bài toán trên còn có thể giải theo cách nào khác không? Ta cùng tìm hiểu trong bài hôm nay. Câu hỏi này sẽ khơi dậy trí tò mò của học sinh, để trả lời được câu hỏi này học sinh phải chú ý để nắm được kiến thức của bài mới. Sau khi học xong bài “Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau”, giáo viên yêu cầu học sinh giải lại bài toán ở phần đặt vấn đề. Khi đó học sinh sẽ dễ dàng nhận thấy có thể giải bài toán trên bằng cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau như sau : * Cách 3 : Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có : x y z x + y − z 14 = = = = =2 3 8 4 3+8−4 7 x = 2 � x = 2.3 = 6 3 y = 2 � y = 2.8 = 16 8 z = 2 � z = 2.4 = 8 4 Vậy x = 6; y = 16; z = 8 Với cách thứ 3, học sinh sẽ cảm thấy dễ nhớ và dễ áp dụng hơn khi giải dạng toán trên. : Cho ∆ ABC, có ﾶA = 1000 , C Bài toán 3 ﾶ = 300 . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho ﾶ D = 100 . Vẽ đường phân giác của góc BAD cắt BC tại E. Chứng minh rằng AE CB là đường trung trực của đoạn thẳng BD. * Cách 1: Học sinh đã được học định nghĩa đường trung trực của một đoạn thẳng, các trường hợp bằng nhau của hai tam giác, tam giác cân nên có thể chứng minh AE vuông góc với BD tại trung điểm của BD bắng cách chứng minh ∆ ABD cân tại A suy ra AB 13
=AD. Gọi I là giao điểm của AE và BD. Chứng minh ∆ AIB = ∆ AID, từ đó suy ra IB = ID và ﾶAIB = 900 , suy ra AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD. Giải: A 40 D I 40 30 B 10 C E ∆ ABC, có ﾶA = 1000 , C ﾶ = 300 nên B ﾶ = 1800 − ﾶA − C ﾶ = 1800 − 1000 − 300 = 500. Lại có CB ﾶ D = 100 � ﾶABD = ﾶABC − CB ﾶ D = 500 − 100 = 400 Mặt khác góc ADB là góc ngoài tại đỉnh D của ∆ BCD nên ﾶADB = CB ﾶ D+C ﾶ = 100 + 300 = 400 � ﾶABD = ﾶADB � ∆ ABD cân tại A AB = AD. Gọi I là giao điểm của AE với BD Xét ∆ AIB và ∆ AID có: ﾶ B = IﾶAD (gt), AI là cạnh chung AB =AD (cmt), IA ∆ AIB = ∆ AID (c.g.c) IB = ID (1) (2 cạnh tương ứng); ﾶAIB = ﾶAID (2 góc tương ứng) Ta lại có: ﾶAIB + ﾶAID = 1800 (kb) � ﾶAIB = ﾶAID = 1800 : 2 = 900 � AI ⊥ BD tại I (2) Từ (1) và (2) AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD . * Cách 2: 14
A 40 D I 40 30 B 10 C E Chứng minh A và E cách đều B và D. Trong bài toán này, để chứng minh AB = AD, EB = ED, ta chưa thể chứng minh ∆ AEB = ∆ AED vì chưa đủ yếu tố bằng nhau, trong trường hợp này ta có thể chứng minh ∆ ABD cân tại A để suy ra AB = AD bằng cách chứng minh ﾶABD = ﾶADB (tính số đo hai góc này dựa vào tính chất tổng ba góc và tính chất góc ngoài của một tam giác rồi so sánh hai góc). Để chứng minh EB = ED, ta chứng minh ∆ AEB = ∆ AED. Giải: ∆ ABC, có ﾶA = 1000 , C ﾶ = 300 nên B ﾶ = 1800 − ﾶA − C ﾶ = 1800 − 1000 − 300 = 500. Lại có CB ﾶ D = 100 � ﾶABD = ﾶABC − CB ﾶ D = 500 − 100 = 400 Mặt khác góc ADB là góc ngoài tại đỉnh D của ∆ BCD nên ﾶADB = CB ﾶ D+C ﾶ = 100 + 300 = 400 � ﾶABD = ﾶADB � ∆ ABD cân tại A AB = AD. Xét ∆ AEB và ∆ AED có: AB =AD (cmt), EA ﾶ AD (gt), AE là cạnh chung ﾶ B=E ∆ AEB = ∆ AED (c.g.c) EB = ED (2 cạnh tương ứng) Ta có: AB = AD nên A thuộc đường trung trực của BD (1) EB = ED nên E thuộc đường trung trực của BD (2) Từ (1) và (2) AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD. Với cách 2 này thì giáo viên có thể sử dụng bài toán trên để tạo tình huống có vấn đề khi dạy bài “Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng”. Sau khi học sinh nắm được định lý đảo “Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó” thì giáo viên có thể yêu cầu học sinh giải bài 15
toán trên, như vậy học sinh sẽ nắm kiến thức vững hơn và biết cách vận dụng kiến thức vừa học để giải bài toán trên theo cách khác. * Cách 3: Dựa vào tính chất: “Trong một tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời đường trung trực của tam giác”. Tức là cần chứng minh ∆ ABD cân tại A. Gọi I là giao điểm của AE và BD. Ta chứng minh AI là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BD, từ đó suy ra AI hay AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD. Giải: A 40 D I 40 30 B 10 C E ∆ ABC, có ﾶA = 1000 , C ﾶ = 300 nên B ﾶ = 1800 − ﾶA − C ﾶ = 1800 − 1000 − 300 = 500. Lại có CB ﾶ D = 100 � ﾶABD = ﾶABC − CB ﾶ D = 500 − 100 = 400 Mặt khác góc ADB là góc ngoài tại đỉnh D của ∆ BCD nên ﾶADB = CB ﾶ D+C ﾶ = 100 + 300 = 400 � ﾶABD = ﾶADB � ∆ ABD cân tại A AB = AD. Gọi I là giao điểm của AE với BD Xét ∆ AIB và ∆ AID có: ﾶ B = IﾶAD (gt), AI là cạnh chung AB =AD (cmt), IA ∆ AIB = ∆ AID (c.g.c) IB = ID (2 cạnh tương ứng) ∆ ABD cân tại A, có AI là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BD nên AI là đường trung trực của đoạn thẳng BD. Suy ra AE là đường trung trực của đoạn thẳng BD. Với cách 3 này thì giáo viên có thể sử dụng bài toán trên để tạo tình huống có vấn đề khi dạy về “Tính chất của tam giác cân” trong bài “Tính chất ba đường cao của tam giác”. Sau khi học sinh nắm được tính chất của tam giác cân thì giáo viên có thể 16
yêu cầu học sinh giải bài toán trên, như vậy học sinh sẽ nắm kiến thức vững hơn và biết cách vận dụng kiến thức vừa học để giải bài toán trên theo cách khác nữa. b. Sử dụng bài toán có nhiều cách giải để mở rộng, nâng cao kiến thức cho học sinh: Trong quá trình giảng dạy, và bồi dưỡng học sinh giỏi, việc mở rộng và nâng cao kiến thức đã học nhằm phát triển tư duy, phát huy tính độc lập, sáng tạo và bồi dưỡng năng lực tự học cho học sinh là vô cùng quan trọng. Chính vì thế giáo viên cần phải tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra các phương pháp giải hay cho một bài toán. Trong các tiết luyện tập, ôn tập, bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo viên khéo léo chọn lựa, cho học sinh làm một số bài toán có thể giải bằng nhiều cách. Trong đó học sinh có thể dùng kiến thức và phương pháp giải đã học để giải bài toán. Sau khi giải xong, giáo viên yêu cầu học sinh giải bài toán đó theo cách khác. Điều đó sẽ tạo yếu tố bất ngờ, thú vị, kích thích trí tò mò và phát huy khả năng sáng tạo của học sinh. Học sinh sẽ cảm thấy rất hứng thú và say mê học Toán khi phát hiện ra các cách giải mới cho một bài toán mà mình chưa biết. Bài toán 1: Tính giá trị của đa thức P(x) tại x = 11 với P(x) = x17 12x16 + 12x15 12x14 + ... + 12x – 1 * Cách 1: P(11) = 1117 – 12.1116 + 12.1115 – 12.1114 + ... + 12.11 – 1 = 1117 – (11+1).1116 + (11+1).1115 – (11+1).1114 + ... + (11+1).11 – 1 = 1117 – 1117 – 1116 + 1116 + 1115 – 1115 – 1114 + ... + 112 + 11 – 1 = 11 – 1 = 10 Vậy P(11) = 10 Khi gặp dạng toán tính giá trị đa thức một biến đã thu gọn, thông thường học sinh sẽ thay ngay giá trị của biến vào đa thức rồi thực hiện phép tính. Tuy nhiên trong cách giải này, hầu hết học sinh chỉ dừng lại ở bước thay giá trị rồi không biết phải thực hiện phép tính như thế nào, vì thế giáo viên thường phải gợi ý tách hết các số 12 thành tổng 11 + 1 rồi tiếp tục sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép 17
cộng để thực hiện phép tính, học sinh sẽ thấy ngay được kết quả sau khi rút gọn các hạng tử đối nhau. * Cách 2: Thay 12 bằng x + 1, ta có: P(x) = x17 – (x + 1)x16 + (x + 1)x15 – (x + 1)x14 + ... + (x + 1)x – 1 = x17 – x17 – x16 + x16 + x15 – x15 – x14 + ... + x2 + x – 1 = x – 1 Khi đó : P(11) = 11 – 1 = 10 Trong cách giải này, ta có thể thay hết các số 12 thành tổng x + 1 rồi tiếp tục sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, sau đó thu gọn đa thức trước khi tính giá trị. Mấu chốt của cách giải này là ở chỗ học sinh phải phát hiện được x.xn1 = xn và xn xn = 0. * Cách 3 : Ta có: x = 11 nên x – 11 = 0 Do đó : P(x) = x17 – 11x16 – x16 + 11x15 + x15 – 11 x14 – x14 + ... + 11x + x – 1 = (x – 11)x16 – (x – 11)x15 + (x –11)x14 – ... – (x –11)x + x – 1 = x – 1 Khi đó : P(11) = 11 – 1 = 10 Trong cách giải này, ta có thể tận dụng ngay giá trị x = 11 nên x – 11 = 0 để thu gọn đa thức bằng cách tách các hạng tử rồi đặt thừa số chung để làm xuất hiện các thừa số x – 11. Tính A = (1).(1)2.(1)3 ... (1)2015.(1)2016 Bài toán 2: * Cách 1: A = (1).(1)2.(1)3 ... (1)2015.(1)2016 = (1)1+2+3+...+2015+2016 = (1)2017.2016:2 = (1)2017.1008 = 1 Trong cách giải trên ta có thể sử dụng công thức tính tích các lũy thừa cùng cơ số 1 sau đó áp dụng công thứ tính tổng dãy số cách đều để tính số mũ của thừa số 1. * Cách 2: A = (1).(1)2.(1)3 ... (1)2015.(1)2016 = (1).1.(1).1.(1) ... (1).1 (có 2016 thừa số trong đó có 1008 thừa số 1) 18
= 1 Trong cách giải này ta có thể tính lũy thừa của từng thừa số sau đó tính xem trong tích có bao nhiêu thừa số 1 để suy ra kết quả. Để giải được bài toán theo hai cách trên thì học sinh phải nắm được công thức (1)2n = 1 và (1)2n+1 = 1 với n N * Bài toán 3: Cho tam giác ABC. D và E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và 1 AC. Chứng minh rằng: DE // BC và DE = BC . 2 A * Cách 1: Trên tia đối của tia ED lấy điểm M sao cho EM = E M D 1 1 2 ED. Xét ∆ EAD và ∆ ECM có: 1 2 ﾶ =E EA = EC (gt), E ﾶ (đđ), ED = EM (theo cách vẽ) B C 1 2 ∆ EAD = ∆ ECM (cgc) AD = CM (2 cạnh tương ứng); ﾶA = C ﾶ (2 góc tương ứng) 1 Ta có : ﾶA = C ﾶ , mà ﾶA và C 1 ﾶ là hai góc so le trong 1 AD // CM ﾶ DC = MC B ﾶ D (hai góc so le trong ) Xét ∆ BDC và ∆ MCD có: ﾶ DC = MC BD = MC (= AD) , B ﾶ D (cmt), DC chung. ∆ BDC = ∆ MCD (c – g – c) ﾶ =C BC = DM (2 cạnh tương ứng); D ﾶ (2 góc tương ứng) 1 2 ﾶ =C Ta có : D ﾶ , mà D ﾶ và C ﾶ là hai góc so le trong DE // BC 1 2 1 2 1 1 Vì DE = DM mà DM = BC � DE = BC . 2 2 1 Vậy DE // BC và DE = BC . 2 19
Để giải bài toán trên ta có thể vẽ thêm yếu tố phụ là lấy điểm M trên tia đối của tia ED sao cho EM = ED để tạo ra các cặp tam giác bằng nhau, từ đó chứng minh 1 được DE // BC và DE = BC . 2 * Cách 2 : A Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ tia Cx // x E D 1 N AB. 1 3 2 Trên tia Cx lấy điểm N sao cho CN = AD. 2 1 B C Xét ∆ EAD và ∆ ECN có: EA = EC (gt), ﾶA = C ﾶ (vì AD // CN), AD= CN (theo cách vẽ) 1 ∆ EAD = ∆ ECN (cgc) ﾶ =E �E ﾶ (2 góc tương ứng); và DE = EN (2 cạnh tương ứng); 1 2 ﾶ +E Mà E ﾶ = 1800 (kb) nên E ﾶ +E ﾶ = 1800 1 3 2 3 ED và EN là hai tia đối nhau D, E, N thẳng hàng. Xét ∆ BDC và ∆ NCD có: ﾶ DC = NC BD = CN (= AD) , B ﾶ D (BD // CN), DC chung. ∆ BDC = ∆ NCD (c – g – c) ﾶ =C BC = DN (2 cạnh tương ứng); D ﾶ (2 góc tương ứng) 1 2 ﾶ =C Ta có : D ﾶ , mà D ﾶ và C ﾶ 1 2 1 2 là hai góc so le trong DE // BC 1 1 Vì DE = DN mà DN = BC � DE = BC 2 2 1 Vậy DE // BC và DE = BC . 2 Ngoài cách vẽ thêm yếu tố phụ như cách 1, ta cũng có thể vẽ thêm yếu tố phụ là trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, vẽ tia Cx // AB. Trên tia Cx lấy điểm N sao cho CN = AD để tạo ra các cặp tam giác bằng nhau, từ đó chứng minh được DE // 1 BC và DE = BC . 2 20