LINH HOẠT SỬ DỤNG
HỆ THỨC VI-ÉT
“tailieumontoan.com”
Date
1. Hệ thức Vi-ét
Nếu
12
;
xx
là hai nghiệm của phương trình
( )
200
ax bx c a
+ += ≠
thì:
12
12
.
b
xx a
c
xx a
−
+=
=
Nếu phương trình
( )
200
ax bx c a
+ += ≠
có
thì phương trình có một nghiệm là
1
1
x
=
, còn nghiệm kia là
2
c
xa
=
Nếu phương trình
( )
200
ax bx c a
+ += ≠
có
thì phương trình có một nghiệm là
11
x
= −
, còn nghiệm kia là
2
c
xa
= −
2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng
Nếu hai số đó có tổng bằng
S
và tích bằng
P
thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình
20
x Sx P
− +=
Điều kiện để có hai số đó là:
( )
240 0
SP
− ≥ ∆≥
I. Lý Thuyêt
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Bài 1.
Cho phương trình
( )
22
8 8 10 *
x xm
− + +=
Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm
12
,xx
mà
44 33
1212
xxxx
−=−
Nhận xét:
Ta thấy hệ thức đề bài đưa ra có vẻ phức tạp
và gây khó khăn khi đưa về
12
xx
+
và
12
.
xx
nhưng ta có
thể biến đổi
12
,
xx
thông qua phương trình (*) để sử dụng
hệ thức vi-ét.
Lời giải.
Ta có
2
'88
m
∆= −
. Để PT(
*) có nghi
ệm thì
' 0 1 1.
m
∆ ≥ ⇔− ≤ ≤
Khi đó theo hệ thức Vi-ét ta có:
( )
2
1 2 12
1; 1 : 8.
x x xx m
+= = +
Vì
12
,
xx
là hai nghiệm của PT(1) nên
( )
( )
( )
22
11
22
22
88 1
88 1
xx m I
xx m
−=−+
−=−+
Ta có:
44 33
1212
xxxx
−=−
( ) ( )
( )
22 22
11 1 22 2
88 88 01
xx x xx x
⇔ −− − =
Thay (I) vào (1) ta được
( )( )
( )( )
( )
( )
22 2
11
2
1212
2
12 12
10
10
0 1; 1 0
xx m
xxxx m
x x do x x m
− − −=
⇔ − + − −=
⇔ − = + = − −≠
Do đó
12
1
2
xx
= =
mà
( )
2
12
1.
8
m
xx
+
=
Suy ra
1
m
= ±
(thỏa mãn bài toán)
II. Bài tâp
Bài 2.
Cho PT
( )
22
2 10 1
x mx m m
− + − +=
Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt
12
,
xx
thỏ
a mãn
2
12
2 9.
x mx
+=
Lời giải.
'0 10 1
mm
∆>⇔ −>⇔ >
thì PT có hai nghiệm
phân biệt
12
,
xx
và theo hệ thức Vi-ét ta có:
2
1 2 12
2 ; . 1.
x x mx x m m
+ = = −+
Vì
1
x
là nghiệm của PT(1) nên:
22
11
22
11
2 10
21
x mx m m
x mx m m
− + − +=
⇔ = − +−
Kết hợp với đầu bài ta có:
2
12
2 9.
x mx
+=
( )
( )
2
12
2
12
2
2 12 9
2 10 0
3 10 0
2
5()
3
mx m m mx
mx x m m
mm
m loai
m TM
⇔ − + −+ =
⇔ + − +− =
⇔ +−=
= −
⇔=
Bài 3.
Cho phương trình:
( )
22
2 1 40
x m xm
− + + +=
(m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm
12
,
xx
thỏa mãn
( )
22
12
2 1 3 16.
x mxm
++ ≤+
Lời giải.
( )
3
'0 *
2
m
∆> ⇔ ≥
thì phương trình có hai nghiệm
12
,
xx
khi đó:
( )
2
1 2 12
2 1; . 4
x x m xx m
+= + = +
và
( )
22
11
21 4
x m xm
= + −−
Theo đề bài
( )
22
12
2 1 3 16.
x mxm
++ ≤+
( )( )
( ) ( )
( )
2
12
22
12
2 1 4 20 0
214200 21
8 16 0
2.
m xx m
m m do x x m
m
m
⇔ + + − −≤

⇔ + − −≤ += +

⇔ −≤
⇔≤
Kết hợp với (*) ta có:
32.
2
m
≤≤
Bài 4.
Cho Pt
( ) ( )
2
2 1 2 501
x m xm
− − + −=
Tìm m để Pt (1) có hai nghiệm phân biết
12
,
xx
thỏa mãn
( )(
)
( )
22
11 22
2 21 2 2102
x mx m x mx m
− +− − +−<
Lời giải.
( )
2
' 2 20
m
∆= − + >
luôn đúng với mọi m, vậy Pt (1)
luôn có hai nghiệm phân biệt
12
,
xx
với mọi m. Khi đó:
( )
1 2 12
2 1 ; . 2 5.
x x m xx m
+= − = −
Vì
12
,
xx
là hai nghiệm PT(1) nên:
( )
( )
2
11
2
22
2
11 1
2
22 2
2 1 2 50
2 1 2 50
2 2 142
2 2 142
x mxm
x mxm
x mx m x
x mx m x
− − + −=
− − + −=
− + −=−
⇔− + −=−
Từ (2) suy ra:
( )( )
12
42 42 0
xx
− −<
( )
(
) ( )
12 1 2
4 8 16 0
4 2 5 8.2. 1 16 0
3.
2
xx x x
mm
m
⇔ − + +<
⇔ −− −+<
⇔>
Bài 5.
Cho Pt
( ) ( )
2
1 601
xmx
+ − −=
Tìm m để Pt có hai nghiệm phân biết
12
,
xx
mà
( )( )
22
12
94
Bx x
=−−
đạt GTLN
Lời giải.
Ta thấy (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
12
,
xx
với mọi
m vì có:
. 6 0.
ac
=−<
Theo hệ thức Vi-ét:
12 2
1
6
.6
xx x x
−
=−⇔ =
và
12
1
xx m
+=−
( )( ) ( )
2 2 22 2 2
1 2 12 1 2
2
12
1
9 4 . 4 9 36
324
36 4 36
B x x xx x x
xx
= − −= − + +

=−++



2
12
1
324
36 2 4 . 36 0.
Bx
x
≤− +=
Đẳng thức xảy ra khi
24
1 1 11
2
1
324
4 81 3 3
x x xx
x
= ⇔ =⇔=∨=−
Khi
13
x
=
thì
22
x
= −
suy ra
0
m
=
Khi
13
x
= −
thì
22
x
=
suy ra
2
m
=
Vậy minB = 0 khi m = 0 và m = 2.
Bài 6.
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương
trình
2
5 2 20
x xm
− + −=
có hai nghiệm dương
phân biệt
12
;
xx
thỏa mãn
2
11 2
422 3
xxm x
− + −+ =
.
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Lời giải
Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt
12
,
xx
( )
12
12
25 4 2 2 0 33
50 1 8
. 2 20
m
Sxx m
P xx m
∆= − − >
⇔ = + => ⇔< <
= = −>
Ta có:
( )
( )
2
11 2
2
11 1 2
2
12
1 2 12
12
422 3
522 3
3 5 2 20
29
2
2 24
3
xxm x
xxm x x
x x do x x m
x x xx
xx
m
m TM
− + −+ =
⇔ − + −+ + =
⇔ + = − + −=
⇔++ =
⇔=
⇔ −=
⇔=
Bài 7.
Cho Pt
( )
22
1 20
x m xm
+ − − −=
(*)
(
x
là ẩn,
m
là tham số). Tìm giá trị của
m
để phương
trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn
12
24
xx
−=
(biết
12
xx
<
).
Lời giải
- Lập luận được phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu
thì
P
< 0
( )
2
1. 2 0
ac m
=−−<
nên phương trình có hai nghiệm
trái dấu với mọi giá trị
m
.
- Do phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trái dấu
và
12
xx
<
Suy ra
1
0
x
<
,
20
x
>
1 12 2
,
x xx x
⇒=− =
do đó từ gt:
12
24
xx
−=
( )
12
2 4 1
xx
⇒− − =
- Theo định lí Viet ta có:
12
2
12
1 (2)
. 2 (3)
xx m
xx m
+=−
=−−
- Giải hệ
12 1
12 2
1 (2) 5
2 4 (1) 6 2
xx m xm
xx x m
+ =− =−
⇔

− −= =−

Mà
12
x0
x
<<
nên ta được
3
m
<
.
- Thay
15
xm
= −
,
2
62
xm
= −
vào
(3)
ta được
phương trình:
2
(m 5)(6 2m) 2
m
− − =−−
2
14
m
m
=
⇔=
.
Kết hợp
3
m
<
ta được
2
m
=
thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 8.
Cho phương trình:
22
2( 3) 3 8 5 0
x m xm m
− − + − +=
, với
m
là tham
số. Tìm
m
để phương trình có
2
nghiệm
12
;
xx
phân
biệt thỏa mãn điều kiện
22
1 2 12 1 2
23
x x xx x x
+− =−
Lời giải
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì
( )
22
22
2
3 3 8 50
6 93 8 50
2 2 40 1 2
m mm
mm mm
mm m
′
∆= − − + − >
⇔ − +− + −>
⇔− + + > ⇔− < <
Theo định lý Vi-et ta có:
12
2
12
2( 3) (1)
3 8 5 (2)
xx m
xx m m
+= −
= −+
Theo đề ta có
( )
( )
22
1 2 12 1 2
121 2 12
12
12
23
2
0
2 10
x x xx x x
xxx x xx
xx
xx
+− =−
⇔− − =−
− =
⇔− −=
• TH1:
12
0
xx
−=
(loại vì
12
xx
≠
).
• TH2:
12
2 10xx− −=
, kết hợp với (1) ta có hệ:
( )
12 2
12
12
2
1
23 3 27
21
2 10
27
3
4 11
3
xx m xm
xx
xx
m
x
m
x
+= − =−
⇔

= +
− −=
−
=
⇔−
=
Thay
12
;
xx
tìm được vào (2) ta có:
( )
( )
2
2
4 11 2 7
. 3 85
33
2
19 22 32 0 16
19
mm mm
ml
mm m tm
−−
= −+
=
⇔ − −=⇔ −
=
Kết hợp với điều kiện ta có
16
19
m
−
=
thỏa mãn bài toán
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Bài 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để pt
( )
( )
3 22 2
21 21 0
x m x m m xm m
− + + + − − +=
có ba nghiệm phân biệt
123
,,
xxx
thỏa mãn
222
1 2 3 123
3
xxx xxx
++−
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương với
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 10
1 1 0*
xmx m xm
xm
x m xm

− − + +− =

=
⇔− + + −=
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi pt
(*) có 2 nghiệm phân biệt khác m
( )
2
2
2 50
1 10
mm m
m m mm
∆= − + >
⇔ ⇔∈
− + + −≠
nên
phương trình đã cho luôn có 3 nghiệm phân biệt với
mọi m. từ giả thiết ta có :
( ) ( )
22
1 2 12 12
2 3 0 **
x x xx m mxx
+ − +− =
Theo hệ thức Vi-et ta có :
12
12
1
1
xx m
xx m
+ =+
= −
.
Thay vào (**) được :
( ) ( ) ( )
22
1 2 1 3 10
3 21
2
m m m mm
m
+ − −+ − −=
±
⇔=
Bài 10.
Cho phương trình bậc hai
2
3 2 52 0
xx m
− +− =
với
m
là tham số. Tìm m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
;
xx
là
độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có độ dài
cạnh huyền bằng
1
2
Lời giải
Đặt phương trình bậc hai
( )
( ) ( )
2
2
3 2 5 2 01
1 3 5 2 6 14
xx m
mm
− +− =
⇒∆= − − − = −
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
( )
7
' 6 14 0 2
3
mm
⇔∆ = − > ⇔ >
Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có :
12
12
2
3
52
3
xx
m
xx
+=
−
=
Phương trình
( )
1
có hai nghiệm thỏa mãn đề bài :
( )
12
12
21 2 12
22
12
2
205
3
52 2
01
3.2 2 4
1
2
5
2113 ( (2))
48
2 52 1
2.
3 34
xx
m
m
xx
x x xx
xx
m
m tm
m
+=>
<
−
= >⇔


+− =

+=


<
⇔ ⇔=
 −
−=


Vậy
113
48
m
=
Bài 11.
Cho pt
( ) ( )
2
2 1 01
x m xm
− + + +=
(với
m
là
tham số). Gọi
12
;
xx
là hai nghiệm phân biệt của phương
trình (1). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để
12
;
xx
là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân
Lời giải
Với
0
m
≠
thì (1) có hai nghiệm phân biệt
12
1; 1
x xm
= = +
Vì
12
;
xx
là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân
nên
10 1
mm
+ > ⇔ >−
Khi đó xảy ra hai trường hợp như sau :
Th1: Cạnh góc vuông có độ dài là
1
x
thì độ dài cạnh
huyền là
2
x
Do tam giác vuông cân nên ta có
21
2 1 2 2 1( )
x x m m tm
= ⇔ += ⇔ = −
Th2: cạnh góc vuông có độ dài là
2
x
thì
1
x
là độ dài cạnh
huyền
Do tam giác vuông cân nên ta có
( )
12
2
2 1 2 1 1 ()
2
x x m m tm
= ⇔ + = ⇔ =−+
Vậy
2
1 2; 1 2
m


∈−+ −+



Bài 1.
Cho phương trình
( )
22
5 2 60m x mx m+ − −=
(1) với
m
là tham số
a) Tìm
m
sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. Chứng minh rằng khi đó tổng của hai nghiệm không
thể là số nguyên.
b) Tìm
m
sao cho phương trình (1) có hai nghiệm
12
,xx
thỏa mãn điều kiện
( )
4
12 1 2 16xx x x−+ =
.
Bài 2.
Cho phương trình
( )
( )
( )
2
2 4 1 8 20x xx m xm− − + + − −=
(
x
là ẩn số).
Tìm
m
để phương trình có ba nghiệm phân biệt
123
,,xxx
thỏa mãn điều kiện:
222
1 23
11xxx++=
Bài 3.
Cho phương trình:
( )
2
2 1 10xmxm+ − − −=
(
m
là tham số). Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm là số đo 2
cạnh của một tam giác vuông có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông là
4
5
(đơn vị độ dài).
Bài 4.
Cho phương trình
2
30x mx m− −=
(
m
là tham số khác 0) có hai nghiệm phân biệt
12
;xx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2
2
12
22
21
33
33
x mx m
m
Ax mx m m
++
= +
++
Bài 5.
Cho phương trình
22 40x mx m− + −=
a) Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm phân biệt
12
;xx
thỏa mãn
33
12
26xx m+=
b) Tìm
m
nguyên để phương trình có hai nghiệm nguyên.
Bài 6.
Cho phương trình
2
2 10x mx− +=
(ẩn
x
)
a) Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm dương
b) Gọi
( )
12 1 2
;xx x x≤
là hai nghiệm dương của phương trình
Tính
12
Px x= −
theo
m
và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
12
12
2
Qx x xx
=+++
Bài 7.
Cho phương trình
( )
22 30x m xm+ − + −=
(
x
là ẩn số,
m
là tham số Tìm
m
để phương trình có hai nghiệm
phân biệt
12
,xx
sao cho biểu thức
( )
2
12 1 2
23A xx x x= −− +
đạt giá trị lớn nhất
Bài 8.
Trong mặt phẳng tọa độ
,Oxy
cho parabol
( )
2
:P y ax=
qua
( )
3;3M
và đường thẳng
( )
1
:2
d y xm=−+
(với m là tham số). Xác định phương trình của parabol
( )
,P
từ đó tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để đường
thẳng
( )
d
cắt parabol
( )
P
tại hai điểm phân biệt
( ) ( )
;, ;
AA BB
Axy Bxy
khác gốc tọa độ, sao cho
25
16
AB
BA
yy
xx
+=
Bài 9.
Trên mặt phẳng tọa độ
,Oxy
cho parabol
( )
2
:Pyx=
và đường thẳng
( )
: 2.d y kx= +
Gọi
I
là giao điểm của
( )
d
và trục tung. Tìm tất cả các giá trị của đường thẳng
( )
d
cắt (P) tại hai điểm phân biệt
( ) ( )
11 2 2
;, ;Ax y Bx y
thỏa mãn
12
xx<
và
2IA IB=
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗